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2006全国高中数学联赛江苏赛区初赛试卷精华版

2011年全国高中数学联赛江苏赛区初赛题

一、填空题（本题共10小题，满分70分，每小题7分．要求直接将答案写在横线上） 1．复数44(1i)(1i)++-= ．

2．已知直线10x my -+=是圆22:4450C x y x y +-+-=的一条对称轴，则实数

m = .

3．某班共有30名学生，若随机抽查两位学生的作业，则班长或团支书的作业被抽中的概率

是（结果用最简分数表示）．

4．已知1

cos45

θ=，则44sin cos θθ+= ．

5．已知向量a ，b 满足π

2,,3

==<>=

a b a b ，则以向量2+a b 与3-a b 表示的有向线段为邻边的平行四边形的面积为．

6．设数列{a n }的前n 项和为S n ．若{S n }是首项及公比都为2的等比数列，则数列{a n 3}的前

n 项和等于．

7．设函数2()2f x x =-．若f (a )＝f (b )，且0＜a ＜b ，则ab 的取值范围是． 8．设f (m )为数列{a n }中小于m 的项的个数，其中2,n a n n =∈N *，

则[(2011)]f f = ．

9．一个等腰直角三角形的顶点分别在底边长为4的正三棱柱的三条侧棱上，则此直角三角

形的斜边长是． 10．已知m 是正整数，且方程210100x m x m ---+=有整数解，则m 所有可能的值是．

二、解答题（本大题共4小题，每小题20分，共80分）

11．已知圆221x y +=与抛物线2y x h =+有公共点，求实数h 的取值范围．

A B C

P 12．设2()(,)f x x bx c b c =++∈R ．若2x ≥时，()0f x ≥，且()f x 在区间(]2,3上的最大值为

1，求22b c +的最大值和最小值．

13．如图，P 是ABC 内一点．

（1）若P 是ABC 的内心，证明：1

902

BPC BAC ∠=+∠；

（2）若1902BPC BAC ∠=+∠且1

902

APC ABC ∠=+∠，证明：P 是ABC 的内心．

14．已知α是实数，且存在正整数n 0，使得0n α+为正有理数．

证明：存在无穷多个正整数n ，使得n α+为有理数．

2011年全国高中数学联赛江苏赛区初赛题答案及点评

一、填空题（本题共10小题，满分70分，每小题7分．要求直接将答案写在横线上） 1．复数44(1i)(1i)++-= ．

答案：－8

基础题，送分题，高考难度

2．已知直线10x my -+=是圆22:4450C x y x y +-+-=的一条对称轴，则实数

m = .

答案：3

基础题，送分题，高考难度

3．某班共有30名学生，若随机抽查两位学生的作业，则班长或团支书的作业被抽中的概率

是（结果用最简分数表示）．答案：

19145

基础题，送分题，高考难度，但需要认真审题，否则很容易有错

4．已知1

cos45

θ=，则44sin cos θθ+= ．

答案：

计算量挺大的，要注重计算的方法，对于打酱油的同学有一定难度 5．已知向量a ，b 满足π

2,,3

==<>=

a b a b ，则以向量2+a b 与3-a b 表示的有向线段为邻边的平行四边形的面积为．

答案：103

可以用特殊法，把向量放在直角坐标系中，很容易可以得出答案

6．设数列{a n }的前n 项和为S n ．若{S n }是首项及公比都为2的等比数列，则数列{a n 3}的前

n 项和等于．

答案：1

(848)7

n +

高考难度级别，基础好的同学可以做出来

7．设函数2()2f x x =-．若f (a )＝f (b )，且0＜a ＜b ，则ab 的取值范围是．答案：(0,2)

这是一道高考题

8．设f (m )为数列{a n }中小于m 的项的个数，其中2,n a n n =∈N *，

则[(2011)]f f = ．

答案：6

这也是一道高考题

9．一个等腰直角三角形的顶点分别在底边长为4的正三棱柱的三条侧棱上，则此直角三角

形的斜边长是．答案：4 3

还是一道高考题

10．已知m 是正整数，且方程210100x m x m ---+=有整数解，则m 所有可能的值是．答案：3,14,30

这是2011年苏州市一模的第十四题。

二、解答题（本大题共4小题，每小题20分，共80分）

11．已知圆221x y +=与抛物线2y x h =+有公共点，求实数h 的取值范围．解：设公共点（cos θ，sin θ），代入抛物线方程，

得22215

sin cos sin sin 1(sin )24

h θθθθθ=-=+-=+-

因为[]sin 1,1θ∈-，所以5,14h ??

∈-????

简单，很简单

12．设2()(,)f x x bx c b c =++∈R ．若2x ≥时，()0f x ≥，且()f x 在区间(]2,3上的最大值为

1，求22b c +的最大值和最小值．

解：由题意函数图象为开口向上的抛物线，且()f x 在区间(]2,3上的最大值只能在闭端点取得，

故有(2)(3)1f f =≤，从而5b -≥且38c b =--．

若()0f x =有实根，则240b c ?=-≥，

在区间[]2,2-有(2)0,(2)0,22,2f f b

?-????-?≥≥≤≤即420,420,44,b c b c b -+??

++??-?≥≥≤≤消去c ，解出4,5

4,44,b b b ?-??-??-??

≤≤≤≤

即4b =-，这时4c =，且0?=．

若()0f x =无实根，则240b c ?=-<，将38c b =--代入解得84b -<<-．综上54b --≤≤．

所以22222(38)104864b c b b b b +=+--=++，单调递减故2222min max ()32,()74b c b c +=+=．注重分类讨论

A B

P 13．如图，P 是ABC 内一点．

（1）若P 是ABC 的内心，证明：1

902

BPC BAC ∠=+∠；

（2）若1902BPC BAC ∠=+∠且1

902APC ABC ∠=+∠，证明：P 是ABC 的内心．

证明：（1）111

180()180(180)90222

BPC ABC ACB BAC BAC ∠=-∠+∠=--∠=+∠

这其实是平面几何一个很重要的结论，在一般的平面几何的参考书上都有 14．已知α是实数，且存在正整数n 0，使得0n α+为正有理数．

证明：存在无穷多个正整数n ，使得n α+为有理数．证明：设0q

n p

α+=，其中p ，q 为互质的正整数，则202q n p α+=．

设k 为任意的正整数，构造2202n p k qk n =++，则22

0222q q

n p k qk n p k qk pk p p

αα+=

+++=

++=+∈Q ．

非常非常常规的一道数论题，不需要数论的预备知识

总结：这张试卷大约90分以上应该可以出线了。一般说来，出线并不算太难，只要平时基础好，不粗心，填空题应该可以做满分（笔者错了一个），对于没有进行过竞赛辅导的同学来说，大题的1、2两题还是可以做做的。

尤其提醒一点，大题目不管会不会做，一定要写写，写写总是有份的，而且分很多。比如最后一题，只要把他设出来，就有8分。

2010年全国高中数学联赛江苏赛区初赛参考答案与评分细则

一、填空题（本题满分70分，每小题7分） 1．方程9135x

+-=的实数解为．

提示与答案：x ＜0无解; 当0x ≥时，原方程变形为32x +3x －6=0，解得3x =2，x =log 32． 2．函数sin cos y x x =+(x ∈R )的单调减区间是 .

提示与答案：与f (x )=y 2=1+|sin2x |的单调减区间相同， [

,],2422

k k k ππππ++∈Z ． 3．在△ABC 中，已知4AB AC ?=，12AB BC ?=-，则AB ＝ .

提示与答案：2

16AB AC AB BC AB ?-?==，得4AB =．

4．函数()()()2

21f x x x =-+在区间[]0,2上的最大值是，最小值是．

提示与答案：极小值－4，端点函数值f (2)=0，f (0)=－2，最小值－4，最大值0． 5．在直角坐标系xOy 中，已知圆心在原点O 、半径为R 的圆与△ABC 的边有公共点，

其中()4,0A =、()6,8B =、()2,4C =，则R 的取值范围为．

提示与答案：画图观察，R 最小时圆与直线段AC 相切，R 最大时圆过点B ．[85

5，10]．

6．设函数()f x 的定义域为R ，若()1f x +与()1f x -都是关于x 的奇函数，则函数

()y f x =在区间[]0,100上至少有个零点.

提示与答案：f (2k -1)=0，k ∈Z . 又可作一个函数()f x 满足问题中的条件，且()f x 的一个零点恰为21x k =-，k ∈Z . 所以至少有50个零点.

7．从正方体的12条棱和12条面对角线中选出n 条，使得其中任意

两条线段所在的直线都是异面直线，则n 的最大值为．提示与答案：不能有公共端点，最多4条，图上知4条可以．

8．圆环形手镯上等距地镶嵌着4颗小珍珠，每颗珍珠镀金、银两色中的一种．其中镀2金2银的概率是．

提示与答案：穷举法，注意可翻转，有6种情况，2金2银有两种，概率为 1

3 ．

9．在三棱锥A BCD -中，已知ACB CBD ∠=∠，ACD ADC BCD BDC ∠=∠=∠=∠

θ=，且10

cos 10

θ=

．已知棱AB 的长为62，则此棱锥的体积为．提示与答案：4面为全等的等腰三角形，由体积公式可求得三棱锥的体积为 144 ． 10．设复数列{}n x 满足1n x a ≠-，0，且11

n n a x x x +=

+．若对任意n ∈N * 都有3n n x x +=，

则a 的值是．

提示与答案：由11

n n n a x x x +=+，2321n n n a x x x +++=

=+()21111n n a x a x ++=++()3211n

n n a x x a a x =+++ 恒成立，即()

()2

110n n a a x x a +++-=. 因为1n x a ≠-或0，故2

10a a ++=，所以

1322

a i =-±．

二、解答题（本题满分80分，每小题20分）

11．直角坐标系xOy 中，设A 、B 、M 是椭圆2

2:14

x C y +=上的三点．若3455

OM OA OB =+，证明：线段AB 的中点在椭圆2

2212x y +=上．

解：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则 x 124＋y 12

＝1，x 22

＋y 22＝1．

由3455

OM OA OB =

+，得 M (35x 1＋45x 2，35y 1＋4

5y 2)．因为M 是椭圆C 上一点，所以

(35x 1＋4

5x 2)24＋(35y 1＋45y 2)2＝1， …………………6分

即 (x 124＋y 12)(35)2＋(x 224＋y 22)(45)2+2(35)(45)(x 1x 2

4＋y 1y 2)=1，得 (35)2＋(45)2+2(35)(45)(x 1x 2

＋y 1y 2)＝1，故

x 1x 2

4＋y 1y 2＝0． …………………14分

又线段AB 的中点的坐标为 (x 1＋x 22，y 1＋y 2

)，

所以 (x 1＋x 22)2

2＋2(y 1＋y 22)2＝12(x 124＋y 12

)+12(x 224＋y 22)+x 1x 2

＋y 1y 2＝1，

从而线段AB 的中点(x 1＋x 22，y 1＋y 22)在椭圆x 2

＋2y 2＝1上． ………………20分

12．已知整数列{}n a 满足31a =-，74a =，前6项依次成等差数列，从第5项起依次成等比数列．

(1) 求数列{}n a 的通项公式；

(2) 求出所有的正整数m ，使得1212m m m m m m a a a a a a ++++++=．

解：(1) 设数列前6项的公差为d ，则a 5=－1+2d ，a 6=－1+3d ，d 为整数. 又a 5，a 6，a 7成等比数列，所以(3d －1)2=4(2d －1)，

即 9d 2－14d +5=0，得d =1. …………………6分当n ≤6时，a n =n －4，

由此a 5=1，a 6=2，数列从第5项起构成的等比数列的公比为2，所以，当n ≥5时，a n

=2n -5.

故 a n =?

????n －4，n ≤4，

2n -5， n ≥5． …………………10分

(2) 由（1）知，数列{}n a 为：－3，－2，－1，0，1，2，4，8，16，… 当m =1时等式成立，即－3－2－1=―6=(－3)(－2)(－1)；当m =3时等式成立，即－1+0+1=0；

当m =2、4时等式不成立； …………………15分当m ≥5时，a m a m +1a m +2 =23m -12， a m +a m +1+a m +2=2m -5(23

－1)=7×2m -5， 7×2m -5≠23m -12，

所以 a m +a m +1+a m +2≠a m a m +1a m +2 .

故所求 m = 1，或m =3． …………………20分

13．如图，圆内接五边形ABCDE 中，AD 是外接圆的直径，BE AD ⊥，垂足H . 过点

H 作平行于CE 的直线，与直线AC 、DC 分别交于点F 、G ．

证明： (1) 点A 、B 、F 、H 共圆； (2) 四边形BFCG 是矩形．

证明：(1) 由HG ∥CE ，得∠BHF =∠BEC ，又同弧的圆周角 ∠BAF =∠BEC ， ∴ ∠BAF =∠BHF ，

∴ 点 A 、B 、F 、H 共圆；

…………………8分

(2) 由(1)的结论，得 ∠BHA =∠BF A ， ∵ BE ⊥AD ， ∴ BF ⊥AC ，

又AD 是圆的直径，∴ CG ⊥AC ， …………………14分由A 、B 、C 、D 共圆及A 、B 、F 、H 共圆，

∴∠BFG =∠DAB =∠BCG ， ∴ B 、G 、C 、F 共圆. ∴ ∠BGC =∠AFB=900, ∴ BG ⊥GC ，

∴ 所以四边形BFCG 是矩形． …………………20分 14．求所有正整数x ，y ，使得2

3x y +与2

3y x +都是完全平方数．

解：若x =y ，则x 2+3x 是完全平方数.

∵ x 2＜x 2+3x ＜x 2+4x +4= (x +2)2，∴ x 2+3x = (x +1)2，∴ x =y =1. ………………5分若x ＞y ，则x 2＜x 2+3y ＜x 2+3x ＜x 2+4x +4= (x +2)2. ∵ x 2+3y 是完全平方数，

∴ x 2+3y = (x +1)2，得3y = 2x +1，由此可知y 是奇数，设y = 2k +1，则x =3k +1，k 是正整数. 又 y 2+3x = 4k 2+4k +1+9k +3=4k 2+13k +4是完全平方数，且

F H G

(2k +2)2=4k 2+8k +4＜4k 2+13k +4＜4k 2+16k +16= (2k +4)2， ∴ y 2+3x =4k 2+13k +4=(2k +3)2，得 k =5，从而求得x =16，y =11. …………………15分若x ＜y ，同x ＞y 情形可求得 x =11，y =16.

综上所述，(x ，y )= (1，1), (11，16), (16，11)． …………………20分

2009年全国高中数学联赛（江苏赛区初赛）

(2009年5月3日8∶00－10∶00)

一、填空题(每小题7分，共70分)

1．已知sin αcos β＝1，则cos(α＋β)＝． 2．已知等差数列{a n }的前11项的和为55，去掉一项a k 后，余下10项的算术平均值为4．若a 1＝－5，则k ＝．

3．设一个椭圆的焦距、短轴长、长轴长成等比数列，则此椭圆的离心率e ＝．

4．已知3x ＋19x －1＝1

3－31－x

，则实数x ＝．

5．如图，在四面体ABCD 中，P 、Q 分别为棱BC 与CD 上的点，且BP ＝2PC ，CQ ＝2QD ．R 为棱AD 的中点，则点A 、B 到平面PQR 的距离的比值为．

6．设f (x )＝log 3x －4－x ，则满足f (x )≥0的x 的取值范围是．

7．右图是某种净水水箱结构的设计草图，其中净水器是一个宽10cm 、体积为3000cm 3

的长方体，长和高未定．净水水箱的长、宽、高比净水器的长、宽、高分别长20cm 、20cm 、60cm ．若不计净水器中的存水，则净水水箱中最少可以存水 cm 3．

8．设点O 是△ABC 的外心，AB ＝13，AC ＝12，则→BC ·→

AO ＝．

9．设数列{a n }满足：a n ＋1a n ＝2a n ＋1－2(n ＝1，2，…)，a 2009＝2，则此数列的前2009项的和为．

Q R

10．设a 是整数，0≤b ＜1．若a 2＝2b (a ＋b )，则b ＝．

二、解答题(本大题共4小题，每小题20分，共80分)

11．在直角坐标系xOy 中，直线x －2y ＋4＝0与椭圆x 29＋y 2

4＝1交于A ，B 两点，F 是椭

圆的左焦点．求以O ，F ，A ，B 为顶点的四边形的面积．

12．如图，设D 、E 是△ABC 的边AB 上的两点，已知∠ACD ＝∠BCE ，AC ＝14，AD ＝7，AB ＝28，CE ＝12．求BC ．

D A

13．若不等式x＋y≤k2x＋y对于任意正实数x，y成立，求k的取值范围．

14．⑴写出三个不同的自然数，使得其中任意两个数的乘积与10的和都是完全平方数，请予以验证；

⑵是否存在四个不同的自然数，使得其中任意两个数的乘积与10的和都是完全平方数？请证明你的结论．

2009年全国高中数学联赛江苏赛区初赛

(2009年5月3日8∶00－10∶00)

一、填空题(每小题7分，共70分)

1．已知sin αcos β＝1，则cos(α＋β)＝．填0．

解：由于|sin α|≤1，|cos β|≤1，现sin αcos β＝1，故sin α＝1，cos β＝1或sin α＝－1，cos β＝－1，

∴ α＝2kπ＋π2，β＝2lπ或α＝2kπ－π

2，β＝2lπ＋π

α＋β＝2(k ＋l )π＋π

(k ，l ∈Z )．

∴ cos(α＋β)＝0．

2．已知等差数列{a n }的前11项的和为55，去掉一项a k 后，余下10项的算术平均值为4．若a 1＝－5，则k ＝．

填11．

解：设公差为d ，则得 55＝－5×11＋1

×11×10d

55d ＝110

d ＝2．

a k ＝55－4×10＝15＝－5＋2(k －1)k ＝11．

3．设一个椭圆的焦距、短轴长、长轴长成等比数列，则此椭圆的离心率e ＝．填

－1＋5

．解：由(2b )2＝2c ×2a

a 2－c 2＝ac

e 2＋e －1＝0

e ＝－1＋52

．

4．已知3x ＋19x －1＝1

3－31－x ，则实数x ＝．

填1．

解：即13x －1＝3x

3(3x －1)

32x －4×3x ＋3＝0

3x ＝1(舍去)，3x ＝3

x ＝1．

5．如图，在四面体ABCD 中，P 、Q 分别为棱BC 与CD 上的点，且BP ＝2PC ，CQ ＝2QD ．R 为棱AD 的中点，则点A 、B 到平面PQR 的距离的比值为．

填14

．解：A 、B 到平面PQR 的距离分别为三棱锥APQR 与BPQR 的以三角形

PQR 为底的高．故其比值等于这两个三棱锥的体积比．

V APQR ＝12V APQD ＝12×13V APCD ＝12×13×13V ABCD ＝1

18V ABCD ；

又，S BPQ ＝S BCD －S BDQ －S CPQ ＝(1－13－23×13)S BCD ＝4

9S BCD ，

V RBPQ ＝49V RBCD ＝12×49V ABCD ＝4

18V ABCD ．

∴ A 、B 到平面PQR 的距离的比＝1∶4．又，可以求出平面PQR 与AB 的交点来求此比值：

在面BCD 内，延长PQ 、BD 交于点M ，则M 为面PQR 与棱BD 的交点．由Menelaus 定理知，BM MD ·DQ QC ·CP PB ＝1，而DQ QC ＝12，CP PB ＝12，故BM

MD ＝4．

在面ABD 内，作射线MR 交AB 于点N ，则N 为面PQR 与AB 的交点．由Menelaus 定理知，BM MD ·DR RA ·AN NB ＝1，而BM MD ＝4，DR RA ＝1，故AN NB ＝1

4．

∴ A 、B 到平面PQR 的距离的比＝1∶4．

6．设f (x )＝log 3x －4－x ，则满足f (x )≥0的x 的取值范围是．填[3，4]．

解：定义域(0，4]．在定义域内f (x )单调增，且f (3)＝0．故f (x )≥0的x 的取值范围为[3，4]．

7．右图是某种净水水箱结构的设计草图，其中净水器是一个宽10cm 、体积为3000cm 3

填78000．

解：设净水器的长、高分别为x ，y cm ，则 xy ＝300，

V ＝30(20＋x )(60＋y )＝30(1200＋60x ＋20y ＋xy ) ≥30(1200＋260x ×20y ＋300)＝30(1500＋1200)

＝30×2700．

∴ 至少可以存水78000cm 3．

R Q P

8．设点O 是△ABC 的外心，AB ＝13，AC ＝12，则→BC ·→

AO ＝．填－252

．

解：设|→AO |＝|→BO |＝|→

OC |＝R ．则

→BC ·→AO ＝(→BO ＋→OC )·→AO ＝→BO ·→AO ＋→OC ·→

AO ＝R 2cos(π－2C )＋R 2cos2B

＝R 2(2sin 2C －2sin 2B )＝12(2R sin B )2－12(2R sin C )2＝12(122－132)＝－25

．

9．设数列{a n }满足：a n ＋1a n ＝2a n ＋1－2(n ＝1，2，…)，a 2009＝2，则此数列的前2009项的和为．

填2008＋2．

解：若a n ＋1≠0，则a n ＝2－2

a n ＋1，故a 2008＝2－2，a 2007＝2－22－2

＝－2，a 2006＝2＋2，a 2005＝2．

一般的，若a n ≠0，1，2，则a n ＝2－2a n ＋1，则a n －1＝a n ＋1－2a n ＋1－1，a n －2＝2

2－a n ＋1，a n －3＝a

＋1

，故a n －4＝a n ．于是，

Σk ＝1

2009a n

＝502(a 1

＋a 2

＋a 3

＋a 4

)＋a

2009＝502(a 2005＋a 2006＋a 2007＋a 2008)＋a 2009＝2008＋

2．

10．设a 是整数，0≤b ＜1．若a 2＝2b (a ＋b )，则b ＝．填0，

3－1

，3－1．解：若a 为负整数，则a 2＞0，2b (a ＋b )＜0，不可能，故a ≥0．于是a 2＝2b (a ＋b )＜2(a ＋1)a 2－2a －2＜0

0≤a ＜1＋3

a ＝0，1，2．

a ＝0时，

b ＝0； a ＝1时，2b 2＋2b －1＝0b ＝

3－1

2； a ＝2时，b 2＋2b －2＝0

b ＝3－1．

说明：本题也可以这样说：求实数x ，使[x ]2＝2{x }x ．二、解答题(本大题共4小题，每小题20分，共80分)

11．在直角坐标系xOy 中，直线x －2y ＋4＝0与椭圆x 29＋y 2

4＝1交于A ，B 两点，F 是椭

圆的左焦点．求以O ，F ，A ，B 为顶点的四边形的面积．

R B

A O

解：取方程组?

??4x 2＋9y 2＝36，

x ＝2y －4．代入得，25y 2－64y ＋28＝0．

此方程的解为y ＝2，y ＝14

．

即得B (0，2)，A (－7225，14

25)，又左焦点F 1(－5，0)．

连OA 把四边形AFOB 分成两个三角形．得，S ＝12×2×7225＋12×5×1425＝1

25(72＋75)．

也可以这样计算面积：

直线与x 轴交于点C (－4，0)．所求面积＝12×4×2－12×(4－5)×1425＝1

25(72＋75)．

也可以这样计算面积：

所求面积＝12(0×2－0×0＋0×1425－(－7225)×2＋(－7225)×0－(－5)×14

25＋(－5)×0－0

×0)＝12(14425＋14255)＝1

(72＋75)．

12．如图，设D 、E 是△ABC 的边AB 上的两点，已知∠ACD ＝∠BCE ，AC ＝14，AD ＝7，AB ＝28，CE ＝12．求BC ．

解：AD AC ＝AC

?△ACD ∽△ABC

∠ABC ＝∠ACD ＝∠BCE ．

∴ CE ＝BE ＝12．AE ＝AB －BE ＝16．

∴ cos A ＝AC 2＋AE 2－CE 22AC ·AE ＝142＋162－1222·14·16＝142＋28·42·14·16＝11

16．

∴ BC 2＝AC 2＋AB 2－2AC ·AB cos A ＝142＋282－2·14·28·11

＝72·9

BC ＝21．

13．若不等式x ＋y ≤k 2x ＋y 对于任意正实数x ，y 成立，求k 的取值范围．解法一：显然k ＞0．(x ＋y )2≤k 2(2x ＋y )(2k 2－1)x －2xy ＋(k 2－1)y ≥0对于x ，y ＞0恒成立．

令t ＝

＞0，则得f (t )＝(2k 2－1)t 2－2t ＋(k 2－1)≥0对一切t ＞0恒成立．当2k 2－1≤0时，不等式不能恒成立，故2k 2－1＞0．

此时当t ＝12k 2－1时，f (t )取得最小值12k 2－1－22k 2－1＋k 2

－1＝2k 4－3k 22k 2－1＝k 2(2k 2－3)2k 2－1．

当2k 2－1＞0且2k 2－3≥0，即k ≥

时，不等式恒成立，且当x ＝4y ＞0时等号成立． E

y x

∴ k ∈[

，＋∞)．解法二：显然k ＞0，故k 2≥

(x ＋y )22x ＋y ＝x ＋2xy ＋y

2x ＋y

．令t ＝

x y ＞0，则k 2≥t 2＋2t ＋12t 2

＋1

＝1

2(1＋4t ＋12t 2＋1

)．令u ＝4t ＋1＞1，则t ＝u －14．只要求s (u )＝8u u 2－2u ＋9的最大值．

s (u )＝8

u ＋9

－2≤

2u ·9

u －2＝2，于是，12(1＋4t ＋12t 2＋1)≤12(1＋2)＝3

2．

∴k 2≥32，即k ≥6

2时，不等式恒成立(当x ＝4y ＞0时等号成立)．

又：令s (t )＝4t ＋12t 2＋1，则s

(t )＝8t 2＋4－4t (4t ＋1)(2t 2＋1)2＝－8t 2－4t ＋4(2t 2＋1)2

，t ＞0时有驻点t ＝

12．且在0＜t ＜1

2时，s (t )＞0，在t ＞1

时，s

(t )＜0，即s (t )在t ＝1

时取得最大值2，此时

有k 2≥12(1＋s (12))＝32

．

解法三：由Cauchy 不等式，(x ＋y )2≤(1

2＋1)(2x ＋y )．

即(x ＋y )≤6

2x ＋y 对一切正实数x ，y 成立．当k ＜

62时，取x ＝14，y ＝1，有x ＋y ＝32，而k 2x ＋y ＝k 62＜62×62＝3

．即不等式不能恒成立．

而当k ≥62时，由于对一切正实数x ，y ，都有x ＋y ≤62

2x ＋y ≤k 2x ＋y ，故不等式恒成立．

∴ k ∈[

，＋∞)． 14．⑴ 写出三个不同的自然数，使得其中任意两个数的乘积与10的和都是完全平方数，请予以验证；

⑵ 是否存在四个不同的自然数，使得其中任意两个数的乘积与10的和都是完全平方数？请证明你的结论．

解：对于任意n ∈N *，n 2≡0，1(mod 4)．

设a ，b 是两个不同的自然数，①若a ≡0(mod 4)或b ≡0(mod 4)，或a ≡b ≡2(mod 4)，均有ab ≡0(mod 4)，此时，ab ＋10≡2(mod 4)，故ab ＋10不是完全平方数；② 若a ≡b ≡

1(mod 4)，或a≡b≡3(mod 4)，则ab≡1(mod 4)，此时ab＋10≡3(mod 4)，故ab＋10不是完全平方数．

由此知，ab＋10是完全平方数的必要不充分条件是a≡/b(mod 4)且a与b均不能被4整除．

⑴由上可知，满足要求的三个自然数是可以存在的，例如取a＝2，b＝3，c＝13，则2×3＋10＝42，2×13＋10＝62，3×13＋10＝72．

即2，3，13是满足题意的一组自然数．

⑵由上证可知不存在满足要求的四个不同自然数．

这是因为，任取4个不同自然数，若其中有4的倍数，则它与其余任一个数的积加10后不是完全平方数，如果这4个数都不是4的倍数，则它们必有两个数mod 4同余，这两个数的积加10后不是完全平方数．

故证．

2008年全国高中数学联赛江苏赛区初赛试题

参考答案及评分标准

一、选择题（本题满分30分，每小题6分）

1. 如果实数m ，n ，x ，y 满足a n m =+22，b y x =+22，其中a ，b 为常数，那么mx +ny

的最大值为

2. 设)(x f y =为指数函数x a y =. 在P (1,1)，Q (1,2)，M (2,3)，??

??41,21N 四点中，

函数

)(x f y =与其反函数)(1x f y -=的图像的公共点只可能是点 A. P B. Q C. M D. N

3. 在如图的表格中，如果每格填上一个数后，每一横行成等差数列，每一纵列成等比

数列，那么z

y x ++的值为

A. 1

B. 2

C. 3

D. 4

4. 如果111C B A ?的三个内角的余弦值分别是222C B A ?的三个内角的正弦值，那么

A. 111C B A ?与222C B A ?都是锐角三角形

B. 111C B A ?是锐角三角形，222C B A ?是钝角三角形

C. 111C B A ?是钝角三角形，222C B A ?是锐角三角形

D. 111C B A ?与222C B A ?都是钝角三角形

1 2 0.5 1 x

5. 设a ，b 是夹角为30°的异面直线，则满足条件“α?a ，β?b ，且βα⊥”的

平面α，β

A. 不存在

B. 有且只有一对

C. 有且只有两对

D. 有无数对二、填空题（本题满分50分，每小题10分）

6. 设集合[]{}

{}222<==-=x x B x x x A 和，其中符号[]x 表示不大于x 的最大整数，则 =B A

7. 同时投掷三颗骰子，于少有一颗骰子掷出6点的概率是 (结果要求写成既约分数）.

8. 已知点O 在ABC ?内部，022=++OC OB OA .OCB ABC ??与的面积之比为 9. 与圆0422=-+x y x 外切，且与y 轴相切的动圆圆心的轨迹方程为或 .

10. 在ABC ?中，若tan A tan B =tan A tan C +tanctan B ，则 2

22c b a += .

三、解答题（本题满分70分，各小题分别为15分、15分、20分、20分） 11. 已知函数c bx x x f ++-=22)(在1=x 时有最大值1，n m <<0，并且[]

n m x ,∈时，)(x f 的取值范围为??

???m n 1,1. 试求m ，n 的值.

江苏省高中数学知识点大全

数学必修一知识点大全一．集合 1．集合的表示：描述法、列举法理解集合中元素的意义是解决集合问题的关键：元素是函数关系中自变量的取值？还是因变量的取值？还是曲线上的点？… ；如： ①已知集合}23|{},1lg |{2x x y y B x x A --==<=，则B A = ； ② 设集合},5|{},73|{>=<<∈=x x B x N x A 则B A = ； 2．子、交、并、补运算：数形结合是解集合问题常用方法：解题时要尽可能地借助数轴、韦恩图等工具如： ③集合}042|{},032|{2 2 2 ≤-+-=≤--=m mx x x B x x x A （1）若]3,0[=?B A ，求实数m 的值；（2）若B C A R ?，求实数m 的取值范围。 3．含n 个元素的集合的子集数为n 2,真子集数为12-n 4．B B A A B A B A =?=?? 注意：讨论的时候不要遗忘了?=A 的情况。如： ④设}1|{},0232|{2===--=ax x Q x x x P ，若P Q ?，则实数a 为：；

二．函数概念及基本初等函数： 1．函数概念－函数图象－函数性质（定义域、值域、单调性、奇偶性、对称性、周期性） ①求定义域: 使函数解析式有意义(如:分母0≠; 偶次根式被开方数非负; 对数真数0>,底数0>且1≠；零指数幂的底数0≠；实际问题有意义；如:（2009江西卷文）函数y =的定义域为: ; ②求值域常用方法: （求值域一定要注意函数定义域）（1）利用基本初等函数的值域：如函数1 31 -=x y 的值域是：（2）二次函数配方法：如223x x y +-= 的值域是______________. （3）利用函数单调性：如函数x x y 1 -=在]2,1[上的值域是_______________

2015年江苏省高考数学试题及答案(理科)【解析版】

2015年江苏省高考数学试卷一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共计70分） 1．（5分）（2015?江苏）已知集合A={1，2，3}，B={2，4，5}，则集合A∪B中元素的个数为5．考点：并集及其运算．专题：集合．分析：求出A∪B，再明确元素个数解答：解：集合A={1，2，3}，B={2，4，5}，则A∪B={1，2，3，4，5}；所以A∪B中元素的个数为5；故答案为：5 点评：题考查了集合的并集的运算，根据定义解答，注意元素不重复即可，属于基础题 2．（5分）（2015?江苏）已知一组数据4，6，5，8，7，6，那么这组数据的平均数为6．考点：众数、中位数、平均数．专题：概率与统计．分析：直接求解数据的平均数即可．解答：解：数据4，6，5，8，7，6，那么这组数据的平均数为：=6．故答案为：6．点评：本题考查数据的均值的求法，基本知识的考查． 3．（5分）（2015?江苏）设复数z满足z2=3+4i（i是虚数单位），则z的模为．考点：复数求模．专题：数系的扩充和复数．分析：直接利用复数的模的求解法则，化简求解即可．解答：解：复数z满足z2=3+4i，可得|z||z|=|3+4i|==5， ∴|z|=．故答案为：．点评：本题考查复数的模的求法，注意复数的模的运算法则的应用，考查计算能力． 4．（5分）（2015?江苏）根据如图所示的伪代码，可知输出的结果S为7．

考点：伪代码．专题：图表型；算法和程序框图．分析：模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的I，S的值，当I=10时不满足条件I＜8，退出循环，输出S的值为7．解答：解：模拟执行程序，可得 S=1，I=1 满足条件I＜8，S=3，I=4 满足条件I＜8，S=5，I=7 满足条件I＜8，S=7，I=10 不满足条件I＜8，退出循环，输出S的值为7．故答案为：7．点评：本题主要考查了循环结构的程序，正确判断退出循环的条件是解题的关键，属于基础题． 5．（5分）（2015?江苏）袋中有形状、大小都相同的4只球，其中1只白球、1只红球、2 只黄球，从中一次随机摸出2只球，则这2只球颜色不同的概率为．考点：古典概型及其概率计算公式．专题：概率与统计．分析：根据题意，把4个小球分别编号，用列举法求出基本事件数，计算对应的概率即可．解答：解：根据题意，记白球为A，红球为B，黄球为C1、C2，则一次取出2只球，基本事件为AB、AC1、AC2、BC1、BC2、C1C2共6种，其中2只球的颜色不同的是AB、AC1、AC2、BC1、BC2共5种；所以所求的概率是P=．故答案为：．点评：本题考查了用列举法求古典概型的概率的应用问题，是基础题目． 6．（5分）（2015?江苏）已知向量=（2，1），=（1，﹣2），若m+n=（9，﹣8）（m， n∈R），则m﹣n的值为﹣3．考点：平面向量的基本定理及其意义．专题：平面向量及应用．

(完整)江苏省高中数学公式

高中数学公式（苏教版）使用说明：本资料需要有经验老师讲解每一个公式，然后根据公式出一个题来运用、理解公式，天天坚持直到高考。这样效果极佳；另外术业教育每天出一份高考数学挑战题卡（上传到学优高考网），保证你的学生数学成绩能够从20分迅速提高到100分，这项成果经过我们十几年的教学实践总结，效果绝对好。一、集合 1. 集合的运算符号：交集“I ”，并集“Y ”补集“C ”子集“?” 2. 非空集合的子集个数：n 2（n 是指该集合元素的个数） 3. 空集的符号为? 二、函数 1. 定义域（整式型：R x ∈；分式型：分母0≠；零次幂型：底数0≠；对数型：真数0>；根式型：被开方数0≥） 2. 偶函数：)()(x f x f -= 奇函数：0)()(=-+x f x f 在计算时：偶函数常用：)1()1(-=f f 奇函数常用：0)0(=f 或0)1()1(=-+f f 3. 单调增函数：当在x 递增，y 也递增；当x 在递减，y 也递减单调减函数：与增函数相反 4. 指数函数计算：n m n m a a a +=?；n m n m a a a -=÷；n m n m a a ?=)(；m n m n a a =；10=a 指数函数的性质：x a y =；当1>a 时，x a y =为增函数；当10<a 时，x a y log =为增函数