习题五 Z 变换
1． 求以下序列的z 变换，并画出零极点图和收敛域。
分析：
Z 变换定义
∑∞
-∞
=-=
=n n
z
n x z X n x Z )()()]([，
n 的取值是)(n x 的有值范围。Z 变换的收敛域 是满足
∞
<=∑∞
-∞
=-M z
n x n n
)(
的z 值范围。
解：(1) 由Z 变换的定义可知：
∞
====<<< z a z a z a z a az ,0 1 , 1 1,1 零点为：极点为：即：且 收敛域： n n n z a z X -∞ -∞ =?= ∑)(n n n n n n z a z a -∞ =---∞ =-∑∑+= 1 n n n n n n z a z a -∞ =∞ =∑∑+=0 1) )(1 ()1() 1)(1(1111212a z a z a z a az az a z a az az ---= ---= -+-=-) (21)()2(n u n x n ?? ? ??=) (21)() 2(n u n x n ?? ? ??=) 1(21)() 3(--?? ? ??-=n u n x n )1(,1 )() 4(≥=n n n x 为常数） 00(0,) sin()()5(ωω≥=n n n n x 1 0,) ()cos()() 6(0<<+=r n u n Ar n x n Φω)1||()() 1(<=a a n x n 解：(2) 由z 变换的定义可知： n n n z n u z X -∞ -∞=∑=)()2 1 ()( ∑∞ =-= 0)2 1(n n n z 12 111 --= z 2 1 1121 > 0 2 1 ==z z 零点为：极点为： 解:（3） n n n z n u z X -∞ -∞=∑---=)1()21()(∑--∞ =--=1 )21(n n n z ∑∞ =-= 1 2n n n z z z 212-- = 12 111 --= z 2 1 1 2 < 0 2 1 ==z z 零点为：极点为： 解： (4) ∑ -?∞ ==1 1)(n n z n z X ) 1(21)()3(--?? ? ??-=n u n x n )1(,1 )()4(≥= n n n x ∑∞--=-=? ? ?11 )(1)(n n z n n dz z dX 2 1)(1 1z z z n n -=-=∑ ∞ =-- ，1||>z 。 的收敛域为故的收敛域相同， 的收敛域和因为1||)() ()(1ln )1ln(ln )(>-=--=∴z z X dz z dX z X z z z z z X ∞===z 1,0 零点为： 极点为：z z 解：(5) 设 )()sin()(0n u n n y ?=ω 则有 1||cos 21sin )()(2010 1>+-=?= ----∞ -∞ =∑z z z z z n y z Y n n ，ωω 而 )()(n y n n x ?= ∴)()(z Y dz d z z X ?-=1||,)cos 21(sin )1(2 201021>+--=----z z z z z ωω 因此，收敛域为 ：1>z ∞ ==-====-z z z z e z e z j j ,0,1,1 , 00零点为：（极点为二阶）极点为：ωω 解：(6) 1 ,cos 21)cos(cos cos 21sin sin cos 21cos 1cos )( )()sin(sin )()cos(cos ) (]sin )sin(cos )[(cos( ) ()cos()( 2 01 012 010 12 010100000>+---= +-?-+--?=∴??-??=?-?=?+=---------z z z z z z z z z z z Y n u n n u n n u n n n u n n y ωωφφωωφωωφωφωφφωφωφω设 为常数） 00(0,sin )()5(ωω≥=n n n n x 1 0),()cos()()6(0<<+=r n u n Ar n x n φω [] 。 ：的收敛域为则而的收敛域为则 || )( cos 21)cos(cos )()( )()( 1 )( 2 20101r z z X z r r z r z A r z Y A z X n y Ar n x z z Y n >+---=?=∴?=>---ωωφφ 2 . 假如)(n x 的z 变换代数表示式是下式，问)(z X 可能有多少 不同的收敛域。 ) 8 3451)(411(411)(2 122 ----+++- =z z z z z X 分析： ） 要单独讨论，（环状、圆外、圆内：有三种收敛域：双边序列的收敛域为：特殊情况有：左边序列的收敛域为：因果序列的收敛域为：右边序列的收敛域为：特殊情况有：有限长序列的收敛域为 0 0 , , 0 0 , , 0 , 0 0 , 0 , 0 22112121∞==<<≤≤<≤<<≥≥∞≤<≥∞<<≤∞<≤≥∞≤<≤≤∞<<+ -++--z R z R n n R z n n R z n n z R n n z R n z n z n n n z x x x x x x 解 : 对X(Z)的分子和分母进行因式分解得 ) 4 3 1)(211)(211(2111111 ----+-+- =Z jZ jZ Z X(Z)的零点为 : 1/2 ， 极点为 : j/2 , -j/2 , -3/4 ∴ X(Z)的收敛域为 : (1) 1/2 < | Z | < 3/4 , 为双边序列， 请看 <图形一> (2) | Z | < 1/2 , 为左边序列，请看 <图形二> (3) | Z | > 3/4 ， 为右边序列， 请看 <图形三> ) 4 3 1)(211)(411()21 1)(211()(11211-----++++- = Z Z Z Z Z Z X a az a z z X z z z X z z z X z z X 1 z ,1)()3( 41z ,41121)( )2( 21z ,411211)( )1( )(,,.31121 > --=<--=>--=----反变换 的部分分式法求以下留数定理用长除法 分析： 长除法：对右边序列（包括因果序列）H （z ）的分子、分母都要按 z 的降幂排列，对左边序列（包括反因果序列）H （z ）的分子、分 母都要按z 的升幂排列。 部分分式法：若X （z ）用z 的正幂表示，则按X(z)/z 写成部分分 式，然后求各极点的留数，最后利用已知变换关系求z 反变换可得 x （n ）。 留数定理法： 。 号（负号）”数时要取“用围线外极点留，号（负号）”必取“用围线内极点留数时不）（。 现的错误这是常出，相抵消）（来和不能用，消的形式才能相抵的表达式中也要化成因而注意留数表示是）（ 2 )1/(1 )/(1 )( )()() )(( Re 1111 1-----=-==----k k k n k n k k n z z z z z z z z X z z z z X z z z z z z X s （1）（i ）长除法： 1 21 2 111411211)(---+= -- =z z z z X ,2/1||,2/1>-=z z 而收敛域为：极点为 按降幂排列 分母要为因果序列，所以分子因而知)(n x ? ??-+---214 12 11z z 1 1 2 1112 11--++ z z 2 11 4 12121------ z z z 24 1-z ∑ ∞ =---???? ? ?-=-+- =???02 121 4 1211)(n n n z z z z X 所以：)(21)(n u n x n ??? ? ??-= （1）(ii)留数定理法： ?--+=c n dz z z j n x 1 1 2 11121)(π, 设 c 为 2 1 >z 内的逆时针方向闭合曲线： 当0≥n 时， n n z z z z 2 11112111+=+--在c 内有 2 1 -=z 一个单极点 则0 ,2121Re )(2 1 ≥??? ??-=?????? ??????+=-=n z z s n x n n z ，是因果序列由于 )( n x 0)( 0 = )(21)( n u n x n ??? ? ??-=所以 （1）(iii)部分分式法： 212111411211)(121 += +=--=---z z z z z z X 因为 2 1 >z 所以 )(21)(n u n x n ??? ? ??-= （2）(i). 长除法： 41 ,41<=z z 而收敛域为由于极点为 , 因而 )(n x 是左边序列,所以要按z 的 升幂排列： ???+++2112288z z z z z 8224 1 --- 2 2877z z z - 3 2 2 1122828z z z - ∑∑--∞ =--∞ =??+ =??+=+++=? ??1 1 24 78 478 112288)(n n n n n n z z z z z X 所以 )1(417)(8)(--??? ? ???+?=n u n n x n δ （2）(ii)留数定理法: 4 1 )( 21)(1，为设<= ? -z c dz z z X j n x c n π 内的逆时针方向闭合曲线 时：当 0 1)(-n z z X 在c 外有一个单极点4 1 = z ) 0( ,)4 1 (7 ])([Re )(4 11 -n z z X s n x n z n 时：当 0 =n 1)(-n z z X 在c 内有一个单极点0=z ∴0,8])([Re )(01====-n z z X s n x z n ，内无极点在时：当 )( 0 1c z z X n n -> 0,0)( >=n n x 则： 综上所述，有： )1()4 1 (7)(8)(--+=n u n n x n δ (2)(iii). 部分分式法： 417 8)41(2)(--+ =--=z z z z z z z X 则 14117 84 178)(---=- -=z z z z X 因为 4 1 所以 )1()4 1 (7)(8)(--+=n u n n x n δ (3)(i). 长除法： 因为极点为a z 1 = ，由a z 1>可知,)(n x 为 因果序列, 因而要按 z 的降幂排列: ???+-+-+- --221)1 (1)1(11z a a a z a a a a a z a z az 11- -+- 1 )1(1)1() 1(--+----z a a a a a a a ? ?????----+- --- 2211)1 (1)1(1 )1(1 z a a a z a a a z a a a 则∑∞=-???? ??-+-=11)1(1)(n n n z a a a a z X 所以 )1(1)1()(1)(-??? ? ???-+?-=n u a a a n a n x n δ (3)(ii). 留数定理法: a z dz z z X j n x c n 1 c )(21)(1>= ? -为，设π 内的逆时针方向闭合曲线。 [] [] []) 1(1)1()(1)( 0)( )( 01 1 )(Re )(Re )0(1 ,0 c )( 0 ) 0(,1)1( 11 )(Re )( 1 )( 0 0 111111111 -??? ? ??-+?-==<-=-- =+== ==>??? ???-=?? ? ?? ????????---===>=------===n u a a a n a n x n x n x n a a a a z z X s z z X s x a z z z z X n n a a a z a z a z a z z X s n x a z c z z X n n n n n n n n n z a z a z a z δ所以 。此时是因果序列，时：由于当两个单极点内有在时：当一个单极点 内有在时： 当 (3)(iii). 部分分式法： az a z a az z a z z z X --+-=--=11)1()(2 则1 111 )1()(--?-+-=z a a a a z X 所以 )(1)1()()()(n u a a a n a n x n ???? ???-+?-=δ )1(1)1()(1-???? ???-+?-=n u a a a n a n δ 4. 有一右边序列 )(n x ，其 z 变换为) 1)(2 1 1(1 )(11----= z z z X (a) 将上式作部分分式展开(用 1-z 表示)，由展开式求 )(n x 。 (b) 将上式表示成 z 的多项式之比，再作部分分式展开，由展开 式求 )(n x ,并说明所得到的序列与(a)所得的是一样的。 注意：不管哪种表示法最后求出x （n ）应该是相同的。 解：(a) 因为1112 2 111)(---+ --= z z z X 且x(n)是右边序列 所以 )()212()(n u n x n ??? ??-= (b) 12 2 1211 ) 1)(21 (21231 ) 1)(21 ()(2 -+ -- +=---+ =--= z z z z z z z z z X ) ()212( ) 1(2)1(21)()( n u n u n u n n x n n ?? ? ??-=-+-??? ??-=δ则 5．对因果序列,初值定理是 ) (lim )0(z X x z ∞ →=,如果序列为 0>n 时 0)(=n x ,问相应的定理是什么? )( n x 讨论一个序列,其 z 变换为： 值。试求其的收敛域包括单位圆， )0( )(x z X 分析： 这道题讨论如何由双边序列Z 变换)(z X 来求序列 初值)0(x ，把序列分成因果序列和反因果序列两部分， [它们各自由)(z X 求)0(x 表达式是不同的]，将它们 各自的)0(x 相加即得所求。 ) 0()(lim )2()1()0( )()(: ,0)(,00 20 x z X z x z x x z n x z X n x n z n n =+-+-+== =>→--∞ =-? ??∑所以此时有：有时当序列满足解： 若序列)(n x 的Z 变换为： 2 1 ,2 )()()(2 1 3 2 4 ) 21)(2(2419 1272512419127)(21212211= =∴+=-+-=---=+--=---z z z X z X z X z z z z z z z z z z z z X 的极点为） （） （ 由题意可知：X(Z)的收敛域包括单位圆 则其收敛域应该为： 22 1 < )0()0()0(3 1 213lim )(lim )0(024lim )(lim )0( )( 0 )( 2122010121= +=∴= -===-==≤∞→∞→→→x x x z z z X x z z z X x n x n n x z z z z ） （） （为因果序列： 时为有值左边序列，为则 2 11 2 5 124 19127)(---+--=z z z z X 6. 有一信号)(n y ,它与另两个信号)(1n x 和)(2n x 的 关系是: )1()3()(21+-*+=n x n x n y 其中 )(21)(1n u n x n ??? ??= ，)(31)(2n u n x n ??? ??= 已知 1 11 )]([--= az n u a Z n ，a z > 。变换的变换性质求利用 )( )( z Y z n y z 分析： 。 则）（： 注意移位定理 )()()( )(*)()( 2)( )()( ) ()( )()( )1(212111z X z X z Y n x n x n y z X z m)n x(z X z m n x z X n x z X n x -m m ==?+-?+?-?-- 解：根据题目所给条件可得： 1 12 111)(-Z -?→←z n x 123111)(--?→ ←z n x Z 1312 11)3(--?→←+?z z n x Z 21 >z z z X n x Z 3 111 )()(122-= ?→←-- 311>-z z z n x Z 3 11)1(1 2-?→←+-- 3 而 )1( )3()(21+-*+=n x n x n y 所以 [][])1()3()(21+-?+=n x Z n x Z z Y z z z z 3 112111 13-?-=-- ) 2 1 )(3(33 --- =z z z 7. 求以下序列)(n x 的频谱)(ωj e X 。 (1) )(0n n -δ (2) )(n u e an - (3) )()(0n u e n j ωα+- (4) )cos()(0n n u e an ω- 分析： 可以先求序列的Z 变换)(z X 再求频率 ωωωj j j e z z X e X e X ==)()( )( 即 )(ωj e X 为单位圆上的Z 变换，或者直接求序列的 傅里叶变换 ∑∞ -∞ =-= n n j j e n x e X ωω )()( 解： 对题中所给的)(n x 先进行z 变换 再求频谱得： [][]0 )( )()( )1(0n z n n Z n x Z z X -=-==?? ? δ ω ωω0 |)()(jn e z j e z X e X j -===∴ [] 1 11 ) ()()2(----= =? ? ? z e n u e Z z X a an ω ωωj a e z j e e z X e X j --=-= =∴11 |)()( [] 1 )()(0011 )()()3(-+-+--= =?? ? z e n u e Z z X j n j ωαωα ) (011 |)()(ωωα ωω +--=?-= =∴j e z j e e z X e X j [ ]) cos()()() 4(0n n u e Z z X an ω-=? ?? a a a e z e z e z 22010 1cos 21cos 1------+--= ωω ∴ωωj e z j z X e X ==|)()( a j a j a j e e e e e e 2200 cos 21cos 1------+--=ωωωωω 8. 若)(),(21n x n x 是因果稳定序列，求证： ???- - - =π π ωπ π ωπ π ωωωπ ωπ ωπ })(21}{ )(21{ )()(212121d e X d e X d e X e X j j j j 分析： 利用时域卷积则频域是相乘的关系来求解 ωπ ωωπ π ωd e e X e X n x n x n j j j )()(21)(*)(2121? -= ， 而 )()(21 ) 0()0(0 ) (*)( 212121ωπ ω π πω d e X e X x x n n x n x j j ?- = == 再利用)()(21n x n x 、的傅里叶反变换，代入n = 0即可得所需结果。 证明: ?- ∴?=∴?=*=π πωωω ωωωω π d e e X e X e X e X e Y z X z X z Y n x n x n y n j j j j j j )()(21 )()()( )()()( )()()( 21212121则设 ) ()()()(2121n x n x n y d e e Y n j j *=== ?-ππωωωπ ) 0()0( )()( |)()( )()(21 210 0210 2121x x k n x k x n x n x d e X e X n n k n j j ?=? ?? ???-=*=∴===-∑ ? ππ ωωωπ ??- - = = ?? ? π π ωωπ π ωωω π ωπd e e X n x d e e X n x n j j n j j )(21 )( )(21)(2211 ∴?-= ππω ωπd e X x j )(21)0(11 ?-=π π ωωπd e X x j )(21)0(22 ???---=∴ ππ ωππωππω ωωπωπωπ })(21 }{)(21{)()(212121d e X d e X d e X e X j j j j 9．求)()(5n R n x =的傅里叶变换。 分析: 这道题利用傅里叶变换的定义即可求解，但最后结果应化为模和相角的关系。 解：根据傅里叶变换的概念可得： []ωωωωωωω ω ωω21 212 2 212 10 11 1 )()( j j N j N j j N j j N n N j e e e e e e e e e n R DTFT e X N j n j -------=--?=--=?= =∑- ()() ???? ?????=≠?=??? ??--πωπωωωωk N k k N e N j 2 ,,2 , 2sin 2sin 21为整数 ( )() 2 sin 2sin )( 2 ωω πωω N e X k j =≠∴，时当 。 和即可得到所需的时，当 )(arg )( 5ωωj j e X e X N = ()()[] 2 sin 2sin arg 21) (arg ωωωωN N e X j +?? ? ??--= 10. 设)(ωj e X 是如下图所示的)(n x 信号的傅里叶变换， 不必求出)(ωj e X ，试完成下列计算： (a) )(0j e X (b) ?-π π ωωd e X j )( (c) ?-π π ωωd e X j 2 )( (d) ?-π π ω ωω d d e dX j 2 ) ( 分析： 利用序列傅里叶变换的定义、它的导数以及帕塞瓦公式 。 ) ()(212 2 ∑?∞ -∞ =-= n j n x d e x ωπ π π ω 解： π πω ωπ π ωπ π ω 4 )0( 2 )()( )(6 )()()( )(000 === == =??∑∑- - ∞ -∞ =∞ -∞ =?-x d e e X d e X b n x e n x e X a j j j n n n j j )(c 由帕塞瓦尔公式可得： ∑?∞ - -∞ ==n n x d e X j 2 2 )(2)(π ωπ π ω π28= )(d ∵∑∞ --∞ == n n j j e n x e X ωω )()( ∴ ∑ ∞ --∞ =-=n n j j e n x jn d e dX ωωω)()() ( ()1N 2 N 2 , 21+<≤+??? ??--=n n n N π ωπ πω 即[]ω ωd e dX n x jn DTFT j ) ()()(=- 由帕塞瓦尔公式可得： π ππ πωωπ π ω316)490256491019(2) (2|)()(|2) (22 2 2 =++++++++==-=∑∑ ?∞ ∞ - -∞ =-∞ =n n n x n n x jn d d e dX j 11．已知)(n x 有傅里叶变换)(ωj e X ，用)(ωj e X 表示下列信号的 傅里叶变换。 (a))1()1()(1n x n x n x --+-=(b) 2 ) ()()(3n x n x n x +-=* (c) )()1()(22n x n n x -= 分析： 利用序列翻褶后移位关系以及频域的取导数关系式来求解。 。 )]([d ) (e d j - , )()() ()( , )()(j n nx DTFT X e X e n m x e X n x e X n x j m j j j =?-?-?---ω ω ωωω ω 解： [])()( )(ωj e X n x DTFT a = [])()(ωj e X n x DTFT -=- [])()1(ωωj j e X e n x DTFT --=- [])()1(ωωj j e X e n x DTFT -=-- ω ω ωωcos )(2 ]()]([1j j j e X e e X n x DTFT --=+= )()]([ )(ωj e X n x DTFT b **=- )] (Re[ 2 ) ()()([*2ωωωj j j e X e X e X n x DTFT =+= 因而： (c) ∑∞ -∞ =-= n n j j e n x e X ωω )()( 则 ∑∞ -∞ =--=n n j j e n x jn d e dX ωωω)()()( []ω ωω ωd e dX j d j e dX n nx DTFT j j ) ( )()()( =-= 即 [] ) )(( ) (:2ω ωωd e jdX d d j n x n DTFT j ?=同理 2 2)(ω ωd e X d j -= 而 )()(2)()(23n x n nx n x n n x +-= 所以 [])(3n x DTFT [] [][] )( )(2)(2n x DTFT n nx DTFT n x n DTFT +-= )()(2)(2 2ωωωω ωj j j e X d e dX j d e X d +--= 12. 已知用下列差分方程描述的一个线性移不变因果系统 )1()2()1()(-+-+-=n x n y n y n y (a) 求这个系统的系统函数，画出其零极点图并指出其收敛区域； (b) 求此系统的单位抽样响应； (c) 此系统是一个不稳定系统，请找一个满足上述差分方程的稳 定的（非因果）系统的单位抽样响应。 分析： Y(z) y(n), )()( , )()(???z H n h z X n x 则 )]([)(/ )()(n h Z z X z Y z H ==， 要求收敛域必须知道零点、极点 。收敛域为Z 平面 某个圆以外，则为因果系统（不一定稳定），收敛域 若包括单位圆，则为稳定系统（不一定因果）。 (a) 对题中给出的差分方程的两边作Z 变换，得： )()()()(121z X z z Y z z Y z z Y ---++= 所以))((1)()()(21211a z a z z z z z z X z Y z H --= --==--- 零点为z=0，极点为() 62.1515.01=+==a z ∞=z () 62.0515.02-=-==a z 因为是因果系统，所以|z|>1.62是其收敛区域。 零极点图如右图所示。 右边是本题的零极点图。 ?? ? ???----=--= 2121211))(()( a z z a z z a a a z a z z z H b 因为）（ ?? ????--=??????----= ∑∑∞ =-∞=---020******** 1111 111n n n n n n z a z a a a z a z a a a () 62 .0 , 62.1 ) (1)( 212121-==--= a a n u a a a a n h n n 式中所以 由于)(z H 的收敛区域不包括单位圆，故这是个不 稳定系统。 (c) 若要使系统稳定，则收敛区域应包括单位圆,因此选)(z H 的 收敛区域为 12a z a <<，即 62.162.0< ?? ?----= 212 11 )(a z z a z z a a z H 中第一项对应一个非因果序列，而第二项对应一个因果序列。 ?? ? ???-- -=∑ ∑∞=---∞=-0211211)( n n n n n n z a z a a a z H 所以 () [ ] ) ()62.0()1()62.1(447.0) ()1(1)(211 2n u n u n u a n u a a a n h n n n n -+--?-=+---= 则有 从结果可以看出此系统是稳定的，但不是因果的。 13. 研究一个输入为)(n x 和输出为)(n y 的时域线性离散移不变系 统，已知它满足 )()1()(3 10 )1(n x n y n y n y =++- - 并已知系统是稳定的。试求其单位抽样响应。 分析： 在Z 变换域中求出)(/)()(z X z Y z H =， 然后和题12（c ）一样分解成部分分式分别 求Z 反变换。 解： 对给定的差分方程两边作Z 变换，得： ) 3 1 )(3( 3101 ) () ()()()()(3 10 )(1 1--= +-== =+- --z z z z z z X z Y z H z X z zY z Y z Y z 则： 3 1 ,3 21==z z 极点为， 为了使它是稳定的，收敛区域必须包括 3 /1,3)( 3||3/1 21==< 单位圆，故取 即可求得 ??? ???????? ??+---=)(31)1(383)(n u n u n h n n 14.研究一个满足下列差分方程的线性移不变系统，该系统 不限定为因果、稳定系统。利用方程的零极点图，试求 系统单位抽样响应的三种可能选择方案。
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