渐开线直齿圆柱齿轮齿厚测量方法及其计公算式
渐开线圆柱齿轮常用的齿厚测量方法有公法线长度、量柱（或球）距、分度圆弦齿厚、固定弦齿厚四种方法。后两种方法是测量单个齿，一般用于大型齿轮。对于精度要求不太高的齿轮也常用分度圆弦测量法。公法线长度测量在外齿轮上用得最多，内齿轮也可用；大齿轮测量因受量具限制很少用。量柱距测量主要用于内齿轮和小模数齿轮。 1. 公法线长度测量
（1）公法线及其长度计算式
对于渐开线齿廓，根据渐开线的性质，其上任意点的法线总是和基圆相切，因此用两个平行的卡爪卡住几个齿时（见图1），两个卡爪接触点A 、B 的连线必定与基圆相切于某一点C ，这条AB 连线就叫公法线，一般用W k 表示；下标k 表示卡住的齿数。
图1中，根据渐开线的性质，
A C ＝A C '
；
B C ＝B C '⌒；A B ＝A B ''⌒。A B 是（k-1）个基圆齿距p b
和一个基圆齿厚S b 之和，即：
(1)(1)cos k b b b W k p S k m S πα=-+=-+……（1-1） 式中，k –跨测齿数；
α–压力角（°）；
m –模数，mm ；
分度圆和基圆上的齿厚具有如下关系：
22b b
s s
inv invo r r α+=+ 由上等式可得：
(2tan )22b b b r m
s xm r inv r παα=
++ 图1 公法线长度的测量计算 =1
cos 2sin cos 2
m xm zm inv παααα++…………（1-2） 将（1-2）式代入（1-1）式，经整理后可得公法线长度计算式为：
cos [(0.5)2tan ]k W m zinv k x ααπα=+-+…………（1-3）
式中，z –齿轮的齿数； inv α–渐开线函数；
x –变位系数；
若模数m=1,（1-3）式变为：
cos [(0.5)2tan ]
k W zinv k x ααπα=+-+
cos [(0.5)2sin zinv k x ααπα=+-]+
K k W W **=+?…………（1-4）
（1-4）式中第二行的前一项cos (0.5)k W k ααπ*
=+-［zinv ］就是m=1的标准齿轮的公法线长度。 后一项2sin k W x α*
?=为m=1的齿轮变位后公法线长度的附加量。
k W *和k W *?二项的数据可直接由《机械设计手册》或《齿轮手册》等资料中查取，将其值相加再乘以模数
便得到齿轮的公法线长度。所以，查表计算的公法线长度为：
()k k k W W W m **=+?…………（1-5）
对于斜齿轮，公式中的α和x 应为法面值n α和n x ，齿数z 应为假想齿数z '。其中t
n
inv z z inv αα'
=? 式中，t α为端面压力角。
公式（1-3）、（1-4）、（1-5）同样适用于内齿轮，只是其中的k 值代表跨齿槽数而已。当α=20°时，其公法线长度也可同外齿轮一样直接由《机械设计手册》或《齿轮手册》等资料中查取。
（2）跨测齿数k 的确定
跨测齿数选择要适当，多或少均不合适，所以要选择一个合适的齿数。
对于不变位的标准齿轮，公法线千分尺的两个测量平面应相切于分度圆附近。若正好切于分度圆上A 、B 两点（图2），则公法线长度为：
2sin k A B r W α==…………（1-6）
这时，A B 间所跨的齿数为：
A 1b b
B S k p ''-=+⌒……………(1-7)
因为A B ''
⌒
＝A B ＝2rsin α,
将该式与（1-2）式(式中x=0)代入(1-7)式，可得：
0.5z
k απ
=
+（式中α为弧度）
； 将α转换为以度为单位（360°＝2π弧度），则：
0.5180
z
k α=
+…………………（1-8）
上式计算出的结果四舍五入予以圆整。 图2卡爪与齿轮相切于分度圆
当α＝20°，跨测齿数计算式为：
0.59
z
k =
+，……………（1-9） 当－≤x ≤+时，跨测齿数k 均可用此式计算。
对于变位齿轮，是假定卡尺在轮齿中部所在的中圆附近接触，可据此推出：
22122[
(1)cos tan ]0.5cos z
x x
k inv z z αααπα=
+---+
当x ＞∣±∣时，可按下计算跨测齿数。
20.5180
z
xctg k αα
π
=
++
…………………（1-10）
20α=时的k 值可查《机械设计手册》中的线图确定（内齿轮的k 值是跨测齿槽数）。
2.量柱距测量
（1）量柱（或球）直径d p
量柱（或球）测量可以比较自由地选取量柱直径，只要直径合适即可。合适的含义是： ○量柱直径要足够大，在齿槽中放上量柱以后，其外表应高出齿顶，以便测量时测头不碰齿顶。 ○量柱应与齿槽两侧的渐开线齿面部分接触，通常选择在轮齿中部。
量柱直径的取值通常用模数m 来表示。
对于内齿轮，量柱直径的适用范围大约为（~）m 。通常取d p =，有时也有取的，甚至取到，但有时会低于齿面，不便测量。
对于外齿轮，量柱直径的适用范围大约为（~）m 。常取d p =，或、等，大约在啮合节圆附近接触。 （2）量柱距M 的计算
计算M 值分偶数齿（双数，齿槽相对）和奇数齿（单数），见图3。 ○首先要计算通过量柱中心的量柱接触点的渐开线压力角M α（见图4，公式推导从略）
.
图3 内、外齿轮量柱距测量 图4 量柱接触点压力角m α计算
2tan cos 2p M d x inv inv mz z
z
π
α
ααα
=±
+
……………………………（2-1） 当20α=时，M inv α按下式计算：
1
0.014904(1.06418 1.57080.728)p
M d inv x z m
α=±+………………（2-2）
○M 值计算： 对于偶数齿： cos cos p M
mz M d α
α=
±………………………………………（2-3）
对于奇数齿： cos 90
cos cos p M mz M d z
αα=
±…………………………………（2-4）
公式（2-1）~（2-4）中的±号或
号，上面的用于外齿轮，下面的用于内齿轮；x 为变位系数。
○ M 值的上、下偏差E Ms 和E Mi 的确定
M 值的上、下偏差由齿轮的公法线平均长度上、下偏差 换算得出，其换算公式见表1。 内齿轮
偶数齿
上偏差Ms E
sin sin wms wm wm
Ms M M E E T E αα+||+=
=
公式中：
wms E -齿轮的公法线平均长度上偏差 wmi E -齿轮的公法线平均长度下偏差
wm wms wmi T E E =--齿轮的公法线平均长度公差
下偏差Mi E sin sin wmi wm Mi M M
E E E αα+||
=
=
奇
数
齿
上偏差
Ms
E
9090
cos cos
sin sin
wms wm wm
Ms
M M
E E T
E
Z Z
αα
??
+||+
==
Z-齿轮的齿数
M
α-通过量柱中心的量柱接触点的渐开线压力角
wm
E-齿轮的公法线平均长度最小偏差值，通常按
wms
E取值，例如
直径为200mm，模数为8mm的8级精度直齿轮，其公法线平
均长度上、下偏差代号为FH,对应的偏差值为-128μm和
-256μm,则
wm
E取值为-128μm。
下偏差
Mi
E
9090
cos cos
sin sin
wmi wm
Mi
M M
E E
E
Z Z
αα
+||
??
==
外
齿
轮
偶
数
齿
上偏差
Ms
E
sin sin
wms wm
Ms
M M
E E
E
αα
-||
==
下偏差
Mi
E
sin sin
wmi wm wm
Mi
M M
E E T
E
αα
-||-
==
○内、外齿轮M值及其上、下偏差的标注形式为Ems
Emi
M。
3.弦齿厚测量
弦齿厚测量多用于大模数齿轮，测单个齿。通过以齿顶圆为基准，测量一定高度上的齿厚来控制齿轮的尺寸。常用的有测量分度圆弦齿厚（图5）和固定弦齿厚（图6）两种方法。这两种方法都要以齿顶圆为基准，因此齿顶圆尺寸精度要求高(6~8精度齿轮为IT8)。
测量分度圆弦齿厚，当变位系数较大时不方便，有的可能不能测量。对于斜齿轮，还要换算成当量齿数，也不方便。此外，其测量精度也不高。固定弦测量计算比较简单，但也有测量精度不高，模数小时测量不方便的缺点。
图5 分度圆弦齿厚测量图6 固定弦齿厚测量
（1）分度圆弦齿厚测量：
分度圆弦齿厚的计算与测量内、外齿轮有别，外齿轮应用较多。其测量尺寸的计算公式根据图5所示几何关系推出。计算测量尺寸的公式列于表 2中。
名称直齿轮
外
齿
轮
标准
齿轮
弦齿厚2sin sin
2
s r mz
mz
φπ
==（见图5）；式中，m—模数，z—齿数
弦齿高
11
(1cos)[(1cos)]
2222
a a
h h m mz m h z
z z
ππ
**
=+-=+-；式中，
a
h*—齿顶高系数
变位
齿轮
弦齿厚
2tan
sin()
2
x
s mz
z z
πα
=+；式中，x—变位系数；α—压力角（°）；
弦齿高
12tan
[1cos()]
22
a
x
h h m mz
z z
πα
*
=+-+
内
齿
轮
标准
齿轮
弦齿厚
2
sin
s mz
mz
π
=
2
弦齿高
2
1
(1cos)
22
a
h h mz h
z
π
=--+?
22
2
；式中，2
2
(1cos);
2
a
a
d
hδ
?=-
222
2
2
a a
inv inv
z
π
δαα
=-+；
2
a
d—齿顶圆直径；
2
a
α—齿顶圆压力角，
22
arccos(/)
a b a
d d
α=，其中，
2
cos cos
b
d d mz
αα
==—基圆直径。
变位
齿轮
弦齿厚2
2
22
2tan
sin()
2
x
s mz
z z
α
π
=-；
为使用方便，通常将各种齿数20α=，m=1, 1a h *
=的非变位标准直齿圆柱外齿轮的分度圆弦齿厚和
弦齿高制成参数表，使用时按外齿轮的实际齿数查取相应数值再分别乘以模数数值即得所需数值。 （2）固定弦齿厚测量：
以外齿轮为例，所谓固定弦就是将产形齿条的齿槽跨在齿轮的齿上，齿条与轮齿的切点A 和B 之间的距离即是固定弦c s 。固定弦齿厚可根据其固定弦长与齿条基准线上的距离CD （CD 等于/2m π）之间的几何关系推导出来。固定弦不涉及齿轮变位，也不涉及拱高。计算固定弦测量尺寸的公式列于表3中。
为方便使用，通常也将201a h α*==，的各种模数的标准外齿轮以及20α=，
1,m =1a h *
=的变位外齿轮的固定弦齿厚和弦齿高制成参数表供直接查询。
圆锥齿轮的画法 单个圆锥齿轮结构画法 ［文本］ 圆锥齿轮通常用于交角90°的两轴之间的传动，其各部分结构如图所示。齿顶圆所在的锥面称为顶锥面、大端端面所在的锥面称为背锥，小端端面所在的锥面称为前锥，分度圆所在的锥面称为分度圆锥，该锥顶角的半角称为分锥角，用δ表示。 圆锥齿轮的轮齿是在圆锥面上加工出来的，在齿的长度方向上模数、齿数、齿厚均不相同，大端尺寸最大，其它部分向锥顶方向缩
小。为了计算、制造方便，规定以大端的模数为准计算圆锥齿轮各部分的尺寸，计算公式见下表。 其实与圆柱齿轮区别也不大，只是圆锥齿轮的计算参数都是打 断的参数，齿根高是 1.2 倍的模数，比同模数的标准圆柱齿轮的齿顶 高要小，另外尺高的方向垂直于分度圆圆锥的母线，不是州县的平行 方向。 单个圆锥齿轮的画法规则同标准圆柱齿轮一样，在投影为非圆 的视图中常用剖视图表示，轮齿按不剖处理，用粗实线画出齿顶线、 齿根线，用点画线画出分度线。在投影为非圆的视图中，只用粗实线 画出大端和小端的齿顶圆，用点画线画出大端的分度圆，齿根圆不画。 ［文本］ 注意：圆锥齿轮计算的模数为大端的模数，所有计算的数据都是大端的参数，根据大端的分度圆直径，分锥角画出分度线细点画线，
量出齿顶高、齿根高，即可画出齿顶和齿根线，根据齿宽，画出齿形 部分，其余部分根据需要进行设计。 单个齿轮的画法同圆柱齿轮的规定完全相同。应当根据分锥 角，画出分度圆锥的分度线，根据分度圆半径量出大端的位置，根据 齿顶高、齿根高找出大端齿顶和齿根的位置，向分度锥顶连线，就是 顶锥（齿顶圆锥）和根锥（齿根圆锥），根据齿宽量出分度圆上小端 的位置，做分度圆线的垂直线，其他的次要结构根据需要设计即可。 啮合画法 [ 文本 ] 锥齿轮的啮合画法同圆柱齿轮相同，如图所示。
标准齿轮模数齿数计算公式 找对应表太不现实了！ 告诉你一简单的： 齿轮的直径计算方法： 齿顶圆直径=（齿数+2）*模数 分度圆直径=齿数*模数 齿根圆直径=齿顶圆直径-(4.5×模数) 比如：M4 32齿34*3.5 齿顶圆直径=（32+2）*4=136mm 分度圆直径=32*4=128mm 齿根圆直径=136-4.5*4=118mm 7M 12齿中心距D=（分度圆直径1+分度圆直径2）/2 就是 （12+2）*7=98mm 这种计算方法针对所有的模数齿轮（不包括变位齿轮）。 模数表示齿轮牙的大小。 齿轮模数=分度圆直径÷齿数 =齿轮外径÷（齿数-2） 齿轮模数是有国家标准的（GB1357-78） 模数标准系列（优先选用）1、1.25、1.5、2、2.5、3、4、5、6、8、10、12、14、16、20、25、32、40、50 模数标准系列（可以选用）1.75，2.25，2.75，3.5，4.5，5.5，7，9，14，18，22，28，36，45 模数标准系列（尽可能不用）3.25，3.75，6.5，11，30 上面数值以外为非标准齿轮，不要采用！ 塑胶齿轮注塑后要不要入水除应力 精确测定斜齿轮螺旋角的新方法 Circular Pitch （CP）周节 齿轮分度圆直径d的大小可以用模数(m)、径节(DP)或周节(CP)与齿数(z)表示 径节P(DP)是指按齿轮分度圆直径(以英寸计算)每英寸上所占有的齿数而言 径节与模数有这样的关系: m=25.4/DP CP1/8模=25.4/DP8=3.175 3.175/3.1416(π)=1.0106模 1) 什么是「模数」？ 模数表示轮齿的大小。 R模数是分度圆齿距与圆周率（π）之比,单位为毫米(mm)。 除模数外,表示轮齿大小的还有ＣＰ（周节：Circular pitch）与ＤＰ（径节：Diametral pitch）。 【参考】齿距是相邻两齿上相当点间的分度圆弧长。 2) 什么是「分度圆直径」？ 分度圆直径是齿轮的基准直径。 决定齿轮大小的两大要素是模数和齿数、 分度圆直径等于齿数与模数(端面)的乘积。 过去,分度圆直径被称为基准节径。最近,按ISO标准,统一称为分度圆直径。 3) 什么是「压力角」？
例题10-3试设计一减速器中的直齿锥齿轮传动。已知输入功率P=10kw，小齿轮转速n1=960r/min，齿数比u=3.2，由电动机驱动，工作寿命15年（设每年工作300天），两班制，带式输送机工作平稳，转向不变。 [解]1.选定齿轮类型、精度等级、材料及齿数 （1）选用标准直齿锥齿轮齿轮传动，压力角取为20°。 （2）齿轮精度和材料与例题10-1同。 （3）选小齿轮齿数z1=24，大齿轮齿数z2=uz1=3.224=76.8，取z2=77。 2.按齿面接触疲劳强度设计 （1）由式（10-29）试算小齿轮分度圆直径，即 1) =1.3 计算小齿轮传递的转矩。 9.948 选取齿宽系数=0.3。 查得区域系数 查得材料的弹性影响系数。 [] 由图 由式（ ， 由图10-23查取接触疲劳寿命系数 取失效概率为1%，安全系数S=1，由式（10-14）得 取和中的较小者作为该齿轮副的接触疲劳许用应力，即
2）试算小齿轮分度圆直径 (2) 1 3.630m/s ②当量齿轮的齿宽系数 0.342.832mm 2) ①由表查得使用系数 ②根据级精度（降低了一级精度） ④由表 由此，得到实际载荷系数 3)由式（10-12），可得按实际载荷系数算得的分度圆直径为 及相应的齿轮模数 3.按齿根弯曲疲劳强度设计 （1）由式（10-27）试算模数，即
1）确定公式中的各参数值。 ①试选 ②计算 由分锥角 由图 由图 由图查得小齿轮和大齿轮的齿根弯曲疲劳极限分别为 由图取弯曲疲劳寿命系数 ，由式（10-14）得 因为大齿轮的大于小齿轮，所以取 2)试算模数。 =1.840mm
传动 形式 齿轮形状主要特点 两轴平行的齿轮传动直齿圆柱齿 轮传动 1、两轮轴线互相平行。 2、齿轮的齿长方向与齿轮轴线 互相平行。 3、两轮传动方向相反。 4、此种传动形式英勇最广泛。 直齿圆柱齿 轮传动 1、两轮轴线互相平行。 2、齿轮的齿长方向与齿轮轴线 互相平行。 3、两轮传动方向相反； 斜齿圆柱齿 轮传动 1、轮齿齿长方向线与齿轮轴线 倾斜一个角度。 2、与直齿圆柱齿轮传动相比， 同时啮合的齿数增多，传动平 稳，传动的扭矩也比较大。 3、运转时存在轴向力。 4、加工制造比直齿圆柱齿轮传 动麻烦。 斜齿圆柱齿 轮传动 非圆齿轮传 动 1、目前常见的非圆齿轮有椭圆 形、扇形。 2、当主动轮等速转动时从动轮 可以实现有规则的不等速转动。 3、此种传动多见于自动化机构。
人字齿轮传 动1、具有斜齿圆柱齿轮的优点，同时运转时不产生轴向力。2、适用于传递功率大，需作正反向运转的机构中。 3、加工制造比斜齿圆柱齿轮麻烦。 传动 形式 齿轮形状主要特点 两轴相交的齿轮传动交叉轴斜齿 轮传动 1、两轮轴线不再同一平面上， 或者任意交错，或者垂直交错。 2、两轮的螺旋角可以相等，也 可以不相等。 3、两轮的螺旋方向可以相同， 也可以不相同。 蜗杆传动 1、蜗杆轴线与蜗轮轴线成垂直 交错。 2、可以实现大的传动比，传动 平稳，噪声小，有自锁。 3、传动效率较低，蜗杆线速度 受一定限制。 直齿锥齿轮 传动 1、两轮轴线相交于锥顶点，轴 交角α有三种，α〉90°，α =90°（正交），α〈90°。 2、轮齿齿线的延长线通过锥点。
斜齿锥齿轮传动 1、轮齿齿线呈斜向，或者说，齿线的延长线不通过锥点，而是 与某一圆相切。 2、两轮螺旋角相等，螺旋方向相反。 弧齿锥齿轮传动 1、轮齿齿线呈弧形。 2、两轮螺旋角相等，螺旋方向 相反。 3、与直齿锥齿轮传动相比，同 时参加啮合的齿数增多，传动平稳，传动的扭矩较大。 齿轮几何要素的名称、代号 齿顶圆：通过圆柱齿轮轮齿顶部的圆称为齿顶圆，其直径用 d a 表示。 齿根圆：通过圆柱齿轮齿根部的圆称为齿根圆，直径用 d f 表示。 齿顶高：齿顶圆 d a 与分度圆d 之间的径向距离称为齿顶高，用 h a 来表示。 齿根高：齿根圆 d f 与分度圆 d 之间的径向距离称为齿根高，用 h f 表示。 齿顶高与齿根高之和称为齿高，以h 表示，即齿顶圆与齿根圆之间的径向距离。以上所述的几何要素均与模数 m 、齿数z 有关。 齿形角：两齿轮圆心连线的节点Ｐ处，齿廓曲线的公法线（齿廓的受力方向）与两节圆的内公切线（节点P 处的瞬时运动方向）所夹的锐角，称为分度圆齿形角，以α表示，我国采用的齿形角一般为20°。 传动比：符号i ，传动比i 为主动齿轮的转速n 1（r/min ）与从动齿轮的转速n 2（r/min ）之比，或从动齿轮的齿数与主动齿轮的齿数之比。 即i= n 1/n 2 = z 2/z 1
圆柱齿轮齿廓的渐开线方程 By YGZ, 2001/12/2 -----------------------------------------------------------------------近日有网友来信询问关于渐开线的问题，这是用 Pro/ENGINEER 建立理论上精确的圆柱齿轮的基础，以下是站长推导的卡笛尔坐标系和圆柱坐标系的渐开线方程，在Pro/E 2000i 里已经测试成功，现公布给大家。我还没时间做一个完整的齿轮，等以后有时间做好了再升级这篇文章。 1.卡笛尔坐标下的渐开线参数方程 卡笛尔坐标系下的渐开线参数方程如下（设压力角 afa 由0到60度，基圆半径为 10）： afa=60*t x=10*cos(afa)+pi*10*afa/180 * sin(afa) y=10*sin(afa)-pi*10*afa/180 * cos(afa) z=0 2.圆柱坐标下的渐开线参数方程 圆柱坐标系下的渐开线参数方程如下（设基圆半径为10，压力角 afa 从0到60度）： afa = 60*t r = (10^2 + (pi*10*afa/180)^2)^0.5 theta = afa-atan((pi*10*afa/180)/10) z = 0
在 Pro/ENGINEER 里使用 Feature > Creat > Datum > Curve > From Equation 命令，选择一个坐标系，然后选择坐标类型（卡笛尔坐标/圆柱坐标/球坐标），在窗口里输入以上方程即可生成一段精确的渐开线。 说明： 本站部分学习资料来源于其他网站，凡引用或转载都有明确来源的注明了出处，版权归原作者及网站所有，有一部分因无法获知来源，所以未能注明出处。如果您对本站文章版权的归属存有异议或有侵权嫌疑，敬请立即通知我，本站将在第一时间予以更改或删除。 如有链接错误请给我留言或给我写信，谢谢您的支持！
课题渐开线标准直齿圆柱齿轮的 基本参数和几何尺寸的计算 教学目标1、知识目标： 熟悉渐开线标准直齿圆柱齿轮各部分名称，掌握直齿圆柱齿轮的基本参数，掌握直齿圆柱齿轮几何尺寸的计算。 2、能力目标： ⑴灵活运用计算公式； ⑵培养学生归纳总结能力。 3、情感目标： 理论联系实际，逐步培养学生分析、解决实际问题的能力和抽象思维能力。 教学重点直齿圆柱齿轮的基本参数、几何尺寸的计算 教学难点压力角与齿形角的关系、齿根圆直径、齿根高 教学方法采用模型直观教学法、挂图教学法、讲授法、演绎推理教学用具模型、多媒体 课时安排2课时 教学过程： 复习旧课 1、渐开线的性质 2、渐开线齿廓啮合特性 ⑴能保持瞬时传动比的恒定 ⑵具有传动的可分离性 新课教学 渐开线标准直齿圆柱齿轮的 基本参数和几何尺寸的计算教师用教具演示，请同学回答渐开线的性质？
任务一、渐开线标准直齿圆柱齿轮各部分名称 1、齿顶圆：通过轮齿顶部的圆周。齿顶圆直径以d a表示。 2、齿根圆：通过轮齿根部的圆周。齿根圆直径以d f表示。 3、分度圆：齿轮上具有标准模数和标准齿形角的圆。分度圆直径以d表示。 4、齿厚：在端平面上，一个齿的两侧端面齿廓之间的分度圆弧长。齿厚以s表示。 5、齿槽宽：在端平面上，一个齿槽的两侧端面齿廓之间的分度圆弧长。齿槽宽以e表示。 6、齿距：两个相邻且同侧端面齿廓之间的分度圆弧长。齿距以p表示。 7、齿宽：齿轮的有齿部位沿分度圆柱面直母线方向量度的宽度。齿宽以b表示。 8、齿顶高：齿顶圆与分度圆之间的径向距离。齿顶高以h a 表示。 9、齿根高：齿根圆与分度圆之间的径向距离。齿根高以h f 表示。展示多媒体图片，使学生对渐开线标准直齿圆柱齿轮各部分的名称认识更直观。
在UG中用表达式精确绘制渐开线齿形的步骤及参数 注：渐开线的参数方程是： x=rcosθ+rθsinθ y=rsinθ-rθcosθ 2．单击曲线工具条|【圆弧/圆】，在弹出的对话框中类型选择【从中心开始的圆弧/圆】，中心点（0,0,0），通过点的X坐标分别为da/2、d/2、db/2、df/2，Y坐标0，Z坐标0，勾选限制【整圆】，即分别绘制出齿顶圆、分度圆、基圆、齿根圆。 3．单击曲线工具条|【规律曲线】|【根据方程】，按提示操作：t确定→xt确定，t确定→yt确定，t确定→zt确定，单击【点构造器】，默认（0,0,0）确定，再次确定，绘制出如图1所示渐开线曲线。 图1 图2 4．单击【直线】工具，绘制直线1：起点捕捉圆心（0,0,0），终点捕捉渐开线与分度圆的交点；单击下拉菜单【编辑】|【移动对象】，在弹出的对话框中，变换运动类型选择【角度】、指定矢量为Z轴、指定轴点为（0,0,0）、角度为（360/z/4）、复制原先的、非关联副
本数1、选择对象为直线1，即得到直线2，如图2所示。 5．单击下拉菜单【编辑】|【变换】，在弹出的对话框中，选择对象为渐开线、单击确定，在弹出对话框中选择【通过一直线镜像】|【选择现有直线】，选择直线2（为镜像线）、单击【复制】、单击【取消】得另一渐开线，如图3所示。 图3 图4 6．单击下拉菜单【编辑】|【曲线】|【修剪】，在弹出修剪曲线对话框中设置输入曲线为【隐藏】，选择要修剪的曲线为渐开线、边界对象为齿顶圆，修剪后的效果如图4所示。 7．绘制一条通过X轴的直线，单击下拉菜单【编辑】|【移动对象】，在弹出的对话框中，变换运动类型选择【根据三点旋转】、指定矢量为Z轴、指定枢轴点为（0,0,0）、指定起点捕捉直线2的端点、指定终点捕捉X轴直线与分度圆的交点，复制原先的、非关联副本数1、选择对象为上一步修剪好的两条渐开线齿形，得到如图5所示齿形。 图5 图6 8．单击【圆弧/圆】，在弹出的对话框中类型选择【从中心开始的圆弧/圆】，中心点（0,0,0），通过点的X坐标为（d-db）/2，Y坐标0，Z坐标0，勾选限制【整圆】，即绘制出一个辅助圆。分别过上一步渐开线齿形两端点做辅助圆的切线，隐藏不需要的直线得如图6所示。9．将直线与齿根圆相交处倒圆角，半径为0.2*m=1.2（模数的0.2倍）：单击曲线工具条上的【基本曲线】，在弹出的对话框中选择【圆角】按钮、方法为2曲线圆角、输入半径0.2*m、修剪选项中将修剪第一条曲线、修剪第二条曲线前面的勾去掉（即不修剪两条曲线），结果如图7所示。 10．单击下拉菜单【编辑】|【曲线】|【修剪】，在弹出修剪曲线对话框中设置输入曲线为【隐藏】，选择要修剪的曲线为齿顶圆、边界对象为两渐开线，确定后，重复操作：选择要修剪的曲线为齿根圆、边界对象为两倒圆角，确定后，重复操作：选择要修剪的曲线为两直线、边界对象为两倒圆角，确定修剪后，隐藏不需要的曲线，得效果如图8所示精确
坐标系的介绍 笛卡尔坐标系(Cartesian coordinates），即空间直角坐标系。 柱坐标（Cylindrical coordinate） 如右图所示，柱坐标系中的三个坐标变量是r、?、 z。与直角坐标系相同，柱坐标系中也有一个z变量。各变量的变化范围是： r∈[0,+∞), φ∈[0, 2π] z∈R 柱坐标（Cylindrical coordinate）ANSYS中的柱坐标示意图 ANSY中的柱坐标（X,Y,Z)与上图中的（ r，?，z）相对应。 X相当于柱坐标的半径 r；Y相当于柱坐标中的旋转角度?（顺时针方向旋转为正，逆时针方向转为负）；Z 相当于柱坐标中的高度z 。
渐开线齿轮的画法 渐开线的形成 渐开线的形示意成图 如图所示，当直线BC 沿一圆周作纯滚动的时候，直线BC 上任意一点K 的轨迹AK ，就是该圆的渐开线。这个圆称之为渐开线的基圆，他的半径用表 b r 示；直线BK 称之为渐开线的 发生线，渐开线上K 点的向径OK 与渐开线起始点A 的向径OA 间的夹角i θ称为渐开线AK 段的展角。由渐开线的形成可知BK =BK (弧长）。 渐开线的极坐标方程 如图所示，当渐开线做齿轮的吃苦廓时，齿廓上K 点的速度方向KD 与点K 法线BK 之间所夹的锐角称之为渐开线在K 点的压力角，用i α表示： i b i r r arccos =α 根据渐开线的形成方式推导渐开线齿轮的极坐标方程，O 为极点，OA 为极轴，如下建立渐开线方程： i b i r r αarccos = （a ） i i b i i b b AB b BK i r r r r θαθαα+ = += = = ) (tan （b ）
齿轮渐开线公式推导过 程 YKK standardization office【 YKK5AB- YKK08- YKK2C- YKK18】
2012-2-27 最近我在研究渐开线齿轮的参数化建模问题。经过一番搜索，在网上发现了一篇文章中关于用CATIA V5参数化建模的齿轮参数列表和计算公式。 序号参数 类型或单 位 公式描述 1 a 角度(deg) 标准值：20deg 压力角：（10deg≤a≤20deg） 2 m 长度(mm) ——模数 3 z 整数——齿数（5≤z≤200） 4 p 长度(mm) m * π齿距 5 ha 长度(mm) m 齿顶高=齿顶到分度圆的高度 6 hf 长度(mm) if m > ，hf = m * ； else hf = m * 齿根高=齿根到分度圆的深度 7 rp 长度(mm) m * z / 2 分度圆半径 8 ra 长度(mm) rp + ha 齿顶圆半径 9 rf 长度(mm) rp - hf 齿根圆半径 10 rb 长度(mm) rp * cos( a ) 基圆半径 11 rr 长度(mm) m * 齿根圆角半径 12 t 实数0≤t≤1渐开线变量 13 xd 长度(mm) rb * ( cos(t * π) +sin(t * π) * t * π )基于变量t的齿廓渐开线X坐标 14 yd 长度(mm) rb * ( sin(t * π) -cos(t * π) * t *π )基于变量t的齿廓渐开线X坐标 15 b 角度(deg) ——斜齿轮的分度圆螺旋角 16 L 长度(mm) ——齿轮的厚度 此表来自网络，多谢网友分享。（使用时个别地方还是要参考一下机械设计手册） 我觉得，干咱们这一行的不仅要知其然，更要知其所以然。下面我将渐开线的坐标公式做如下推导： 渐开线的形成及其性质：
第一章渐开线圆柱齿轮传动 §1-1 齿轮的基本概念 一．齿轮的分类及用途 齿轮是机械中常用的一种零件，它的用途传递动力或传递运动。通常齿轮同时起着这两种作用，但有主次之分。有些齿轮以传递动力为主，如各种减速机、变速器中的齿轮；有些齿轮以传递运动为主，如机床中的分度齿轮。 常用的齿轮按其轮廓外形不同可分为三类： 1．圆柱齿轮其轮廓外形是圆柱形。按其牙齿的直斜不同，又可分为： 1）直齿圆柱齿轮，简称直齿轮； 2）斜齿圆柱齿轮，简称斜齿轮。 在这类齿轮中，有两种特殊变态形式： 1）齿条齿数为无穷多的齿轮，其渐开线由曲线演变成直线，其外形由圆柱形演变为长条形，其运动由转动演变为直线移动。 2）蜗轮副斜齿轮的变态。 2．圆锥齿轮其轮廓外形是圆锥形。按其牙齿的直斜不同，又可分为： 1）直齿圆锥齿轮； 2）弧齿圆锥齿轮。 以上两类齿轮，常用于平行轴或交叉轴之间作等速传动。所谓等速传动是指当主动轮匀速转动时，被动轮也作匀速转动，不考虑传动的运动误差。 3．非圆齿轮这类齿轮的轮廓外形不是圆的，如椭圆。它们用于不等速传动。 二．齿轮传动的特点 1．在传动过程中，瞬时传动比稳定，传递运动准确可靠； 2．适用的功率和速度范围广泛； 3．传动效率高，使用寿命长； 4．与其它传动相比，在传动相同的功率情况下，尺寸小，结构紧凑。 三．齿轮传动的局限性 1．不适于传递轴间距长的运动； 2．传递直线运动不如液压平稳； 3．制造成本较高，特别是高速、精密的齿轮。
四．齿轮的传动类型 1．两轴线平行的传动：直齿圆柱齿轮、斜齿圆柱齿轮。 2．两轴线交叉或交错：直齿伞齿轮、螺旋齿伞齿轮，蜗轮副。 §1-2 齿廓啮合的基本定律 一对齿轮的传动比是主动轮的角速度ω1与从动轮角速度ω2之比，通常用i 12表示，即 一对齿轮的传动比是否恒定，取决于相互啮合的两个轮齿齿廓曲线的形状。 图1.2.1 定传动比传动的条件 图1.2.1 表示齿轮1的齿廓C 1和齿轮2的齿廓C 2相互啮合，两齿廓在K 点相切，tt 是两齿廓的公切线，K 点称为啮合点。过啮合点K 作两齿廓的公法线NN （与tt 相垂直），与两齿轮的连心线O 1O 2相交与P 点。设两轮的瞬时转动角速度各为ω1和ω2，向量半径为r k1和r k2，则，齿廓C 1在K 点的线速度为 其方向垂直于向量半径O 1K 。 齿廓C 2在K 点的线速度为 其方向垂直于向量半径O 2K 。 两齿廓在接触传动时，沿公法线NN 方向的分速度应该相等，即v 1N = v 2N 。 若v 1N ＞v 2N ，则齿廓C 1将嵌入齿廓C 2中；若v 1N ＜v 2N ，则齿廓C 1与齿廓C 2相离， 2 112ωω= i 1 11K r v ?=ω2 22K r v ?=ω
渐开线齿轮无侧隙啮合方程推导 需要的公式： 任意圆齿厚：)(2ααinv inv r r r s s i i i i --= 任意圆齿距：i i i m p p ααπααcos cos cos cos == 分度圆齿厚：απαtan 22tan 22xm m xm p s +=+= 则任意圆齿槽宽： )(2)tan 22(cos cos )(2cos cos αααπααπααααπinv inv r r r xm m m inv inv r r r s m s p e i i i i i i i i i i i -++-=-+-= -= 又：ααcos cos r i r i = ，故任意圆齿槽宽为： )(cos cos cos cos )tan 22(cos cos αααααααπααπinv inv mz xm m m e i i i i i -++-= 无侧隙啮合的条件是： 齿轮1的节圆齿厚等于齿轮2 的节圆齿槽宽；齿轮1的节圆齿槽宽 等于齿轮2 的节圆齿厚。即：,2,1e s = 或者,1 ,2e s = 因为)(cos cos cos cos )tan 22( ,1,1,1αααααααπinv inv mz m x m s i --+= )(cos cos cos cos )tan 22(cos cos ,2,2,,2ααααα ααπααπinv inv mz m x m m e i -++-= 代 入条件中即可求得：)(cos cos cos cos )tan 22(cos cos )(cos cos cos cos )tan 22(,2,2,,1,1αααααααπααπααααα ααπinv inv mz m x m m inv inv mz m x m i i -++-=--+
实验7 渐开线直齿圆柱齿轮几何参数测定与分析 7.1 实验目的 1. 掌握运用游标卡尺测定渐开线直齿圆柱齿轮基本参数的方法； 2. 通过测量和计算，熟练掌握齿轮各参数之间的相互关系和渐开线性质。 7.2 实验设备和工具 1. 一对齿轮（齿数为奇数和偶数的各一个）； 2. 游标卡尺（游标读数值不大于0.05mm ）； 3. 渐开线函数表、计算工具（学生自备）。 7.3 实验原理和方法 单个渐开线直齿圆柱齿轮的基本参数有：齿数z 、模数m 、压力角α、齿顶高系数* a h 、顶隙系数* c 、变位系数x ；一对渐开线直齿圆柱齿轮啮合的基本参数有：啮合角α'、中心距a 。 本实验用游标卡尺来测量轮齿，并通过计算得出一对直齿圆柱齿轮的基本参数。其原理如下： 1. 确定齿轮的模数和压力角 图7.1 齿轮公法线长度的测量 标准直齿圆柱齿轮公法线长度的计算如下：如图7.1所示，若卡尺跨n 个齿，其公法线长度为 b b n s p n l +-=)1( 同理，若卡尺跨1+n 个齿，其公法线长度则应为 b b n s np l +=+1 所以 b n n p l l =-+1 (7.1) 又因απαcos cos m p p b == 所以 απc o s b p m = (7.2) 式中b p 为齿轮基圆齿距，它由测量得到的公法线长度n l 和1+n l 代入式(7.1)求得。α可能是 15，也 可能是 20，故分别用 15和 20代入式(7.2)算出模数，取模数最接近标准值的一组m 和α，即为所求齿轮的模数和压力角。 为了使卡尺的两个卡脚能保证与齿廓的渐开线部分相切，所需的跨齿数n 按下式计算
标准直齿圆柱齿轮的测绘方法和步骤 一、测绘目的 掌握用测量工具对标准直齿轮进行测绘的方法和步骤；通过测绘，能计算并确定其主要参数及各部分尺寸，完成齿轮的工作图。 二、齿轮的作用 一级直齿圆柱齿轮减速器是通过装在箱体内的一对啮合齿轮的传动，使动力从输入轴传至输出轴来实现减速的。 三、直齿圆柱齿轮的画法 虽然标准直齿轮的结构有齿轮轴、实心式、腹板式、孔板式和轮辐式等多种形式，但国家标准只对齿轮的轮齿部分作了规定画法，其余部分按齿轮轮廓的真实投影绘制。 单个直齿圆柱齿轮的画法 四、标准直齿圆柱齿轮的测绘步骤 1、数出齿轮的齿数z 2、测量齿轮的齿顶圆直径da 如果是偶数齿，可直接测得，见图（ a ）。若是奇数齿，则可先测出轮毂孔的直径尺寸Ｄ1 及孔壁到齿顶间的单边径向尺寸Ｈ，见图（ c ）, 则齿顶圆直径：ｄa =2H+D1
3、计算和确定模数ｍ 依据公式ｍ= ｄa /( Z+2) 算出ｍ的测得值，然后与标准模数值比较，取较接近的标准模数为被测齿轮的模数。 4、计算齿轮各部分尺寸（主要计算d,da,df） 5、测量齿轮其它各部分尺寸 例如齿宽b，轮毂的孔径等，期中键槽的宽度，毂槽深需查表确定，在公差课本P196表8-1,根据孔径为28mm，查出键宽为8mm,毂槽深为3.3mm，其极限偏差为ES=+0.2mm,EI=0,标注尺寸为d+t1=31.3mm,极限偏差不变，还是ES=+0.2mm,EI=0，键槽宽度为8Js9。
6、绘制齿轮工作图 五、思考：与大齿轮相啮合的小齿轮的各几何尺寸如何确定？ 根据齿轮传动的正确啮合条件，两齿轮的模数相等，所以小齿轮的模数等于大齿轮的模数，再数出小齿数的齿数，就可以根据公式计算出其各部分几何尺寸。 六、本节小结 标准直齿轮的测绘步骤为： 1、数出齿轮的齿数z； 2、测量齿轮的齿顶圆直径da； 3、计算和确定模数ｍ； 4、计算齿轮各部分尺寸； 5、测量齿轮其它各部分尺寸； 6、绘制齿轮工作图。
第14章 弧齿锥齿轮的轮坯设计 14.1 弧齿锥齿轮的基本概念 14.1.1 锥齿轮的节锥 对于相交轴之间的齿轮传动，一般采用锥齿轮。锥齿轮有直齿锥齿轮和弧齿锥齿轮。弧齿锥齿轮副的形式如图14-1所示，与直齿锥齿轮相比，轮齿倾斜呈弧线形。但弧齿锥齿轮的节锥同直齿锥齿轮的节锥一样，相当于一对相切圆锥面作纯滚动，它是齿轮副相对运动的瞬时轴线绕齿轮轴线旋转形成的（图14-2）。两个相切圆锥的公切面成为齿轮副的节平面。齿轮轴线与节平面的夹角，即节锥的半锥角称为锥齿轮的节锥角δ1或δ2。两齿轮轴线之间的夹角称为锥齿轮副的轴交角∑。节锥任意一点到节锥顶点O 的距离称为该点的锥距R i ，节点P 的锥距为R 。因锥齿轮副两个节锥的顶点重合，则 21δδ+=∑ 大小轮的齿数之比称为锥齿轮的传动比 1 2 12z z i = (14-1) 小轮和大轮的节点半径r 1、r 2分别为 11sin δR r = 22sin δR r = (14-2) 它们与锥齿轮的齿数成正比，即 1 2 1212sin sin z z r r ==δδ (14-3) 传动比与轴交角已知，则节锥可惟一的确定，大、小轮节锥角计算公式为 ∑ +∑ = cos 1sin 12122i i tg δ 21δδ-∑= (14-4) 当0 90=∑时，即正交锥齿轮副，122i tg =δ 14.1.2弧齿锥齿轮的旋向与螺旋角 1．旋向 弧齿锥齿轮的轮齿对母线的倾斜方向称为旋向，有左旋和右旋两种（图14-3）。面对轮齿观察，由小端到大端顺时针倾斜者为右旋齿轮（图14-3b ），逆时针倾斜者则为左旋齿（图14-3a ）。 大小轮的旋向相图14-2 锥齿轮的节锥与节面 (a) 左旋 (b) 右旋 图14-1 弧齿锥齿轮副
SolidWorks 2014画渐开线直齿轮的三种画法 摘要：本文详细介绍了SOLIDWORKS 画渐开线直齿轮的三种画法，分别是方程式驱动的参数法、TOOLBOX 标准库取样法以及GEAR TRAX 插件法，个人觉得GEAR TRAX 插件做出来的齿轮最精确，但是因为要下载插件比较繁琐，TOOLBOX 方法比较简单，但模型不够精确，方程式法需要对齿轮相关的参数有一定的了解，非常值得学习。 0 前言 本文针对的是初级学习者，所以对于SOILDWORKS 的大神一笑而过就好，勿喷。这三种方法百度上都有，但不够集中，初学者学起来很费劲，所以我就将三种方法集中起来供大家参考。 本文齿轮参数设模数为m=2，齿数为z=50，压力角ο20=α，齿宽B=20，则根据相关的公式得到： 分度圆直径：d=mz=100mm 齿顶圆直径：da=（z+2）m=104mm 齿根圆直径：df=（z -2.5）m=95mm 基圆直径：db=mzcos α=93.969mm 分度圆齿厚：s=0.5m π=π 齿轮齿根圆角：r=0.38m 注：当压力角为20度时，齿轮齿数在41及以下，基圆直径大于齿根圆直径，齿数在42及以上，基圆直径小于齿根圆直径，本例为第二种情况。 1、对于直齿圆柱齿轮，当基圆大于齿根圆时，整个齿形就会分为：工作部分和非工作部分，工作部分为渐开线，非工作部分为过渡曲线，它们可用计算法、查表法、和代圆弧法来确定。 2、当基圆小于齿根圆时，由于过渡曲线部分不参与啮合，因此可以做成任意曲线，只要不妨碍共轭齿条（或齿轮）齿顶的运转即可，通常用直线、圆弧与铣刀齿形的渐开线部分连接。 我们这里统一将齿根圆与基圆的过度设成圆角，大小为0.38m 。 渐开线方程式：???sin cos b b r r x += ???cos sin b b r r y -= 这里rb=db/2，是基圆半径，?为渐开线走过的角度，这里取0~π/4就好。 1 方程式法 打开SOLIDWORKS ，新建一个文件，打开方程式，方程式在工具选项卡里面
标准直齿圆柱齿轮计算 1、m （模数）——模数与齿数为齿轮基本数据，设计时，首先依强度传动计算或测绘确定，然后计算齿轮其它各部尺寸。 =m πt =??? ??π周节=??? ??齿数节径z d ?? ? ??++222e 齿数外径D 2、z （齿数） =??? ??=模数节径m d z ??? ????周节节径ππt d 3、t （周节）——有几个齿就有几个周节，周节之和等于分度圆周长。 π=t ｍ()=?模数π?? ? ????齿数节径ππ2d 4、D 分（分度圆）——设想圆界于齿顶圆与齿根圆之间，把齿轮分为齿 顶与齿根两部分。 ()齿数模数分??=z m D 5、d （节圆、节径）——两个齿轮啮合传动时设想的圆，两圆总是相切。此时节圆正好与分度圆重合。单个齿轮无所谓节圆。 ()()模数外径齿数模数2m 2e mz d --=?=D 6、D 顶（外径、顶圆直径） ()()[]222m +?+=齿数模数顶D ()模数节径?+?+=2m 2d ()()?? ????++=22z t 齿数周节ππ
7、D 根（根径） ()模数节径根5.2m 5.2d --=D ()()[]5.25.22m -?-=齿数模数 ()齿全高外圆顶径顶2-h 2-=D ()模数外圆顶径顶5.4m 5.4--=D 8、h 顶（齿顶高） ()??? ??==ππ周节模数顶t m h 9、h 根（齿根高） ()模数根25.1m 25.1h = 10、h 全（齿全高） ()模数全25.2m 25.2h = 11、S (弧齿厚)画齿形时用到这个尺寸。 12、B (齿长) ()个周节3~23t ~t 2=B 13、A （中心距） ??? ????+=模数两轮齿数相加2m 221 Z Z A ?? ? ??+=22d d 21两轮节径相加
渐开线标准直齿圆柱齿轮的主要参数及几何尺寸计算 12.3.1 齿轮各部分名称及符号 此主题相关图片如下： 此主题相关图片如下： 此主题相关图片如下： 此主题相关图片如下：554554.jpg
12.3.2 渐开线标准直齿圆柱齿轮的基本参数及几何尺寸计算 1 模数 齿轮圆周上轮齿的数目称为齿数，用z表示。根据齿距的定义知 此主题相关图片如下： 2 压力角 此主题相关图片如下：
此主题相关图片如下： 3 齿数 4 齿顶高系数 h a =h a *m （h a *=1） 5 顶隙系数 c=c*m (c*=0.25) h f =(h a *+c*)m 全齿高 h=h a +h f =(2h a *+c*)m 此主题相关图片如下：
标准齿轮是指模数、压力角、齿顶高系数和顶隙系数均为标准值，且分度圆上的齿厚等于齿槽宽的齿轮。 表12-2 标准直齿圆柱齿轮的几何尺寸计算公式 此主题相关图片如下：
4. 内齿轮与齿条 图示为一内齿圆柱齿轮，内齿轮的轮齿是分布在空心圆柱体的内表面上。与外齿轮相比有下列几个不同点： 1）内齿轮的齿厚相当于外齿轮的齿槽宽，内齿轮的齿槽宽相当于外齿轮的齿厚。 2）内齿轮的齿顶圆在它的分度圆之内，齿根圆在它的分度圆以外。 图示为一齿条，它可以看作齿轮的一种特殊型式。与齿轮相比有下列两个主要特点： 1）由于齿条的齿廓是直线，所以齿廓上各点的法线是平行的；传动时齿条是直线移动的，故各点的速度大小和方向均相同；齿条齿廓上各点的压力角也都相同，等于齿廓的倾斜角。 2）与分度线相平行的各直线上的齿距都相等。 此主题相关图片如下：
渐开线齿轮轮廓线方程的建立 摘要 根据范成法齿轮切削原理，利用包络线法推导出渐开线圆柱齿轮轮齿齿廓线参数方程。并且给出了确定渐开线段和过渡线段的参数变化范围的算法。该算法已在MATLAB中编程验证。利用该参数方程，可以精确建立齿轮的三维模型，以进行后续的刚度、强度分析。 关键词：范成法；包络线；渐开线齿轮；过渡曲线 引言 渐开线齿轮广泛应用于各行各业。对齿轮的性能要求越来越高，需要对其建立三维模型进行动力学，静力学分析等等。在进行运动学和动力学分析时，需要知道轮齿齿廓曲线方程。渐开线齿轮轮齿齿廓分为两部分：渐开线部分和过渡曲线部分。渐开线部分主要用于传递运动，其曲线方程容易求到；过渡曲线部分不传递运动，但是对轮齿强度有很大影响，然而鲜有文献介绍其具体方程，一般都是近似处理，这样势必会降低分析的准确性。本文根据范成法制造齿轮的过程，采用包络曲线法建立渐开线部分和过渡曲线部分的方程，提高后续的建模分析精度。 范成法 近代齿轮的加工方法很多，有铸造法、热轧法，冲压法、模锻法和切齿法等。其中最常用的是切削方法，就其原理可以概括分为仿形法和范成法两大类。范成法是最常用的一种方法。利用一对齿轮互相啮合传动时，两轮的齿廓互为包络线的原理来加工的。将一对互相啮合传动的齿轮之一变为刀具，而另一个作为轮坯，并使二者仍按照原传动比进行运动。在传动过程中，刀具的齿廓在轮坯上形成一
系列的曲线族，该曲线族的包络线便为所切齿轮的轮廓，如下图所示： 图 1 齿条刀具轮廓曲线族 常用的刀具有齿轮插刀，齿条插刀和齿轮滚刀。齿条刀具几何轮廓线简单，其在展成运动中的曲线族方程容易得到。因此本文以齿条刀具展成切削齿轮过程为例，先求出齿条刀具轮廓在展成运动中的曲线族方程，再根据包络线法求出其曲线族的包络线方程，即可得到齿轮轮廓线方程。 包络线简介 在几何学中，某个曲线族的包络线，是跟该曲线族的每条线都至少有一点相切的一条曲线。（曲线族即一些曲线的无穷集，它们有一些特定的关系。） 一般地，设一个曲线族的每条曲线S C 可表示为()()(),,,t x s t y s t ，其中s 是曲线族的参数t 是特定曲线的参数。若包络线存在，它是由 ()( )()()() ,,,s x s h s y s h s 得出，其中 ()h s 以下的方程求得： y x y x h s s h ????=???? 若曲线族以隐函数形式(),,0F x y s =表示，其包络线的隐方程，便是以下面两个方程消去s 得到。
锥齿轮是圆锥齿轮的简称，它用来实现两相交轴之间的传动,两轴交角S称为轴角，其值可根据传动需要确定，一般多采用90°。锥齿轮的轮齿排列在截圆锥体上，轮齿由齿轮的大端到小端逐渐收缩变小，如下图所示。由于这一特点，对应于圆柱齿轮中的各有关"圆柱"在锥齿轮中就变成了"圆锥"，如分度锥、节锥、基锥、齿顶锥等。锥齿轮的轮齿有直齿、斜齿和曲线齿等形式。直齿和斜齿锥齿轮设计、制造及安装均较简单，但噪声较大，用于低速传动（＜5m/s）；曲线齿锥齿轮具有传动平稳、噪声小及承载能力大等特点，用于高速重载的场合。本节只讨论S=90°的标准直齿锥齿轮传动。 1. 齿廓曲面的形成 直齿锥齿轮齿廓曲面的形成与圆柱齿轮类似。如下图所示，发生平面1与基锥2相切并作纯滚动，该平面上过锥顶点O的任一直线OK的轨迹即为渐开锥面。渐开锥面与以O为球心，以锥长R为半径的球面的交线AK为球面渐开线，它应是锥齿轮的大端齿廓曲线。但球面无法展开成平面，这就给锥齿轮的设计制造带来很多困难。为此产生一种代替球面渐开线的近似方法。 2. 锥齿轮大端背锥、当量齿轮及当量齿数
(1) 背锥和当量齿轮 下图为一锥齿轮的轴向半剖面，其中DOAA为分度锥的轴剖面，锥长OA称锥距，用R表示；以锥顶O为圆心，以R为半径的圆应为球面的投影。若以球面渐开线作锥齿轮的齿廓，则园弧bAc为轮齿球面大端与轴剖面的交线，该球面齿形是不能展开成平面的。为此，再过A作O1A⊥OA，交齿轮的轴线于点O1。设想以OO1为轴线，以O1A为母线作圆锥面O1AA，该圆锥称为锥齿轮的大端背锥。显然，该背锥与球面切于锥齿轮大端的分度圆。由于大端背锥母线1A与锥齿轮的分度锥母线相互垂直，将球面齿形的圆弧bAc投影到背锥上得到线段b'Ac'，圆弧bAc与线段b'Ac'非常接近，且锥距R与锥齿轮大端模数m之比值愈大（一般R/m>30），两者就更接近。这说明：可用大端背锥上的齿形近似地作为锥齿轮的大端齿形。由于背锥可展开成平面并得到一扇形齿轮，扇形齿轮的模数m、压力角a和齿高系数ha*等参数分别与锥齿轮大端参数相同。再将扇形齿轮补足成完整的直齿圆柱齿轮，这个虚拟的圆柱齿轮称为该锥齿轮的大端当量齿轮。这样就可用大端当量齿轮的齿形近似地作为锥齿轮的大端齿形，即锥齿轮大端轮齿尺寸（ha、hf等）等于当量齿轮的轮齿尺寸。 (2) 基本参数 由于直齿锥齿轮大端的尺寸最大，测量方便。因此，规定锥齿轮的参数和几何尺寸均以大端为准。大端的模数m的值为标准值，按下表选取。在GB12369-90中规定了大端的压力角a=20。，齿顶高系数ha*=1，顶隙系数c*=0.2。 (3) 当量齿数 当量齿轮的齿数zv称为锥齿轮的当量齿数。zv与锥齿轮的齿数z的关系可由上图求出，由图可得当量齿轮的分度圆半径rv
渐开线圆柱齿轮传动设计报告 一、设计信息 设计者Name= 设计单位Comp= 设计日期Date=2 设计时间Time= 二、设计参数 传递功率P=7.50(kW) 传递转矩T=49.05(N·m) 齿轮1转速n1=1460(r/min) 齿轮2转速n2=486.67(r/min) 传动比i=3 原动机载荷特性SF=轻微振动 工作机载荷特性WF=轻微振动 预定寿命H=90000(小时) 三、布置与结构 结构形式ConS=闭式 齿轮1布置形式ConS1=非对称布置（轴钢性较大）齿轮2布置形式ConS2=非对称布置（轴钢性较大） 四、材料及热处理 齿面啮合类型GFace=软齿面 热处理质量级别Q=ML 齿轮1材料及热处理Met1=45<正火> 齿轮1硬度取值范围HBSP1=162～217 齿轮1硬度HBS1=190 齿轮1材料类别MetN1=0 齿轮1极限应力类别MetType1=7 齿轮2材料及热处理Met2=45<正火> 齿轮2硬度取值范围HBSP2=162～217 齿轮2硬度HBS2=190 齿轮2材料类别MetN2=0 齿轮2极限应力类别MetType2=7 五、齿轮精度 齿轮1第Ⅰ组精度JD11=7 齿轮1第Ⅱ组精度JD12=7 齿轮1第Ⅲ组精度JD13=7 齿轮1齿厚上偏差JDU1=F 齿轮1齿厚下偏差JDD1=L
齿轮2第Ⅰ组精度JD21=7 齿轮2第Ⅱ组精度JD22=7 齿轮2第Ⅲ组精度JD23=7 齿轮2齿厚上偏差JDU2=F 齿轮2齿厚下偏差JDD2=L 六、齿轮基本参数 模数(法面模数) Mn=4(mm) 端面模数Mt=4.14110(mm) 螺旋角β=15.00000(度) 基圆柱螺旋角βb=14.0760955(度) 齿轮1齿数Z1=19 齿轮1变位系数X1=0.00 齿轮1齿宽B1=56(mm) 齿轮1齿宽系数Φd1=0.712 齿轮2齿数Z2=55 齿轮2变位系数X2=0.00 齿轮2齿宽B2=51(mm) 齿轮2齿宽系数Φd2=0.224 总变位系数Xsum=0.000 标准中心距A0=153.22087(mm) 实际中心距A=153.22087(mm) 中心距变动系数yt=0.00000 齿高变动系数△yt=0.00000 齿数比U=2.89474 端面重合度εα=1.58031 纵向重合度εβ=1.05040 总重合度ε=2.63072 齿轮1分度圆直径d1=78.68099(mm) 齿轮1齿顶圆直径da1=86.68099(mm) 齿轮1齿根圆直径df1=68.68099(mm) 齿轮1基圆直径db1=73.62741(mm) 齿轮1齿顶高ha1=4.00000(mm) 齿轮1齿根高hf1=5.00000(mm) 齿轮1全齿高h1=9.00000(mm) 齿轮1齿顶压力角αat1=31.852811(度) 齿轮2分度圆直径d2=227.76076(mm) 齿轮2齿顶圆直径da2=235.76076(mm)