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几何证明的思路与方法(一).

几何证明的思路与方法(一).
几何证明的思路与方法(一).

几何证明的思路与方法(一)

宝山区教师进修学院张波

图形与几何的学习,帮助我们认识了丰富多彩的几何图形、发展了我们的空间观念、增进了我们逻辑推理的意识与能力,并增强了运用这些知识认识世界与改造世界的能力。

学习几何离不开几何证明。几何学是适合培养我们逻辑思维能力的绝好资源。

但是,我们发现有不少学生害怕几何,害怕几何证明。原因之一是大家感到几何证明似乎找不到一种通用的方法,不同的问题常常需要不同的处理。

我们很容易掌握解方程,因为它们有着较为固定的处理程序。如解一个一元一次方程,我们只要按照“去分母、去括号、移项、合并、未知数的系数化为1”这样的步骤,就可以求出一元一次方程的解。

而几何问题的解决就很难形成这样的程序步骤,它常常需要我们根据具体的问题做出具体的分析,才能找到解决问题的路径和方法。

但这并不是说几何问题的解决没有规律。我们还是可以在实践与反思的基础上,整理、归纳出一些思考问题的一般次序,这样的思维序列可以指导我们面对几何问题如何去思考,进而找到解决问题的办法。

下面我们就来一起梳理处理几何证明问题时值得总结的思维角度与思维次序。

一、思路梳理:

我们都知道,证明题的结构基本上由“题设”和“结论”两部分组成,通常的表现形式是“已知------,求证------。”这里的“已知------”就是题设,或者称为条件,“求证------”就是结论。

拿到一个几何证明题,我们都是如何思考的呢?我们都思考什么?有哪些思考的角度?有没有一个思考的次序?

很多同学可能会说:“拿到一个几何证明题,我要先弄清楚已知条件。”

很好。那么,怎样算是弄清楚了已知条件呢?你都做些什么事情去帮助自己弄清楚已知条件?

同学们会说:“我会把已知条件在图上标记出来。”

这是一个不错的做法,在图上做标记。

事实上,图形是几何证明题的一个重要组成部分。几何问题离不开图形,如果一个几何

问题没有相应的图形,我们首先要做的事情就是画一张符合条件的图形。

又有同学说:“我会思考条件的作用,由某些条件会推出些什么样的结论。”

这也是一个好的习惯,思考条件的可能作用。

大家还会说:“在清楚条件之后,我会从结论入手,进行分析。”

非常好!从结论入手,分析要证结论成立,需要证什么。

不同的结论形式,我们会有不同的想法。如“要证明线段相等,我们可能会想证明三角形全等、或者等角对等边、或者平行四边形对边相等,还有线段垂直平分线的性质、角平分线的性质,或者通过等量代换等等,最近,我们有时还会利用比例式去证明线段相等。”

要证明某个结论成立,可能的路径、方法有很多种。我们又如何选择呢?

大家可能会说,这时要结合条件进行判断,也有的同学会说,要看图形,看图形的结构特点,直觉判断有怎样的可能,或者排除某些方法。

非常好!图形结构。这又是解决几何问题时,一个非常值得关注的部分。事实上,几何离不开图形,图形中蕴含着重要的信息。

对图形及其结构的整体感觉,我们可以称为“图感”。就像学习语言需要“语感”、学习音乐需要“乐感”一样,“图感”对几何学习也是非常重要的。我们在几何学习过程中,要有意识地去积累、丰富和不断完善我们的图形感觉。

比如,最近我们研究相似形有关内容时,就提炼和总结了许多的图形结构。在我们优化学习系列讲座的前面几讲中,老师们曾总结过如下的一些基本图形结构:

看到这些基本的图形结构,我们就会非常迅速地做出与之相应的反应。立即想到可能有怎样的线段成比例,或者某两个三角形相似。

小结:拿到一个几何证明题(事实上,几何计算等其它几何问题也基本如此),我们常常从条件、图形结构和结论等方面去加以思考。我们可以根据已知条件在图上适当做标记,并思考条件的可能作用;

我们可以观察图形的结构特点,通过观察,获得一定的直觉判断(如某两条线段或某两个角可能相等、某两条直线可能平行或垂直、两个三角形可能全等或相似等等);我们看问题的结论,分析要证明结论成立,需要证什么。事实上,结论本身也是重要的信息。

二、证明举例:

例1. 已知△ABC 中,AC AB =,D 是边BC 上一点,且2:1:=DC BD ,AD CE ⊥,垂足为点E ,联结BE 。求证:DAB DBE ∠=∠.

【分析】看题目中的条件,作标记、思考条件的可能作用。

旋转型 相交线型

平行线型

本题的条件似乎都较为明了,没有特别复杂的条件。

看结论(即要证明的目标),分析要证明结论成立, 需要证什么。

要证:DAB DBE ∠=∠,结合已知图形,我们应该 很容易发现一个熟悉的结构——“A ”型图。

于是,要证:DAB DBE ∠=∠,想证DBE ?∽DAB ?. 这两个三角形有一个公共角ADB BDE ∠=∠, 因此要么证明另一对角相等,要么证明夹边成比例。 结合已知条件,应该选择证明夹边成比例,

即想证明DA

DB DB DE =,也就是想证明DA DE DB ?=2

. 要证

DA

DB DB DE =(或DA DE DB ?=2

),我们的目光肯定会向图形的右侧转移。因为仅仅看上述的“A ”型图,所有条件都几乎派不上用场。

当我们的目光转移到右侧、重新审视整个图形时,我们可能做什么呢? 【思路一】我们可能由2:1:=DC BD ,想到取DC 的中点F

然后会注意到△CDE 是直角三角形,F 是斜边中点, 因此联结EF .

这样一来,我们就有BD FC DF EF ===. 因此,比例式

DA

DB

DB DE =中的线段DB

就可以有 很多种方式进行替换。如:DA DF DF DE =、DA EF EF DE =或DA

FC

FC DE =等等, 然后,我们逐一地观察。我们大多会选择DA

DF

DF DE =.

这时,我们又会看到一个基本的图形结构(如右图)。 于是,我们联结AE ,进而想证△DEF 与△ADF 相似。

我们不难注意到△DEF 是等腰三角形,我们自然希望△ADF 也是等腰三角形,由图形的对称性,我们不难证明它确实是。又它们有一个公共的底角ADF ∠,因此它们相似,从而得证。

【法一】取DC 的中点F ,联结EF .、AF ,则DF=EF 、B

A

D

E

C

A

D E F

又易证ACF ABD ???,所以AF AD =,

从而得到 △DEF ∽△DF A ,即DA

DF

DF DE =. 又DB DF =,所以DA

DB

DB DE = , 所以DBE ?∽DAB ?,DAB DBE ∠=∠.

回到我们的目标,要证

DA

DB

DB DE =,并且我们的目光转移到右侧。我们重新审视整个条件与图形结构。我们也可能从△ABC 是等腰三角形着手。对等腰三角形而言,作底边上的高,从而三线合一,是最基本、最常用的辅助线。于是有以下尝试: 【思路二】 作AH ⊥BC ,垂足为点H 。

高AH 一出现,我们应该注意到AH 、CE 是 △ACD 的两条高(我们的目光正在关注右侧的图形)。 又有一个熟悉的图形结构,呈现在我们眼前, 我们不难发现CDE ?∽ADH ?.

于是,我们得到

DA

DC

DH DE =,即DC DH DA DE ?=?. 我们心中应该一直在想着我们的目标:DA DE DB ?=2

。 于是,现在只要证DC DH DB ?=2

.

对此,我们应该感觉到前途光明。因为2:1:=DC BD , 点H 又是BC 的中点。因此线段BC 、BC 、BC 之间存在着 丰富的数量关系(如设1=BC ,则31=BD ,32=DC ,6

1

3121=-=-=BD BH DH .),这些数量关系可以帮助我们解决问题。

【法二】作AH ⊥BC 、垂足为点H ,易证CDE ?∽ADH ?,

从而

DA

DC

DH DE =,即DC DH DA DE ?=?. 设1=BC ,则31=BD ,32=DC ,61

3121=-=-=BD BH DH .

于是9

13261=?=?DC DH ,即2

DB DC DH =?.

所以 2

DB DA DE =?,从而DBE ?∽DAB ?,DAB DBE ∠=∠.

C

小结:几何证明的基本思考角度与思考次序:看条件,根据已知条件在图上适当做标记,并思考条件的可能作用;看结论,分析要证明结论成立,需要证什么。分析的过程是一个逆向的思维过程,即逐步地分析使得结论成立的各种可能条件,从中寻找与题设及图形结构相匹配的条件和路径。同时,我们还应该关注图形,事实上,几何证明题不仅仅只有“条件”和“结论”两个要素,图形是几何证明题的又一个非常重要的组成部分。下图反映了我们的思维角度与思维次序。

接下来,我们以最近研究比较多的“证明线段比例式(或乘积式)”为例,进一步梳理几何证明的思维次序与方法(以思路分析为主,证明过程略)。

总是先化为比例式)所处的位置(横看或竖看)方式有两种,一种是替换线段,一种是 替换比式。

在刚才的讨论中,

我们来看具体的例子。 例2.如图,已知D 、E 分别是△ABC 的边AB 、AC 上的点,AD

AE

AC AB =,CD 与BE 相交于点F ,求证:

CF

BF

EF DF = 【分析】(一)根据上述讨论,首先,我们会看已知条件,

做标记,思考条件的作用。

条件中的哪些部分引起你更多的注意?应该是“AD

AE

AC AB =” 条件“

AD

AE

AC AB =”引起你怎样的思考?它可能会有什么作用? 同学们肯定会说看到这个条件,我会想到相似。 那么,是哪两个三角形相似? 我们会“横看”:分子上,线段AB 、AE ,是△ABE 的两条边;

分母上,线段AC 、AD ,是△ACD 的两条边;

又A ∠是公共角,从而我们得到△ABE ∽△ACD 。

我们还可能“竖看”:等式左边的比式中,线段AB 、AC ,是△ABC 的两条边;

等式右边的比式中,线段AE 、AD ,是△AED 的两条边;

又A ∠是公共角,从而我们得到△ABC ∽△AED 。

所得到的相似三角形是否有用,又有怎样的作用,我们可能还要看目标的需要。

(二)看图形结构。该图形中有好几个基本图形,看到这些基本图形,我们也会有相似三角形的直觉判断。

(三)看结论,分析要证明结论成立,需要证什么。 要证的的结论是

CF

BF

EF DF =,即要证明四条线段成比例。因此,我们想证三角形相似。证哪两个三角形相似呢?我们观察比例式中的四条线段,“横看”或者“竖看”。我们就会看到这四条线段分别是△DBF 与△ECF 的两条边(横看),或者分别是△DEF 与△BCF 的两条边(竖看)。因此我们就想要证明△DBF ∽△ECF 或者△DEF ∽△BCF .

然后,我们应该在需要证明的结论与已知推出的结论之间不断地观察与比较,然后找到解决问题的路径。

通过上述几方面的分析,我们不难找到本题的证明思路:

AD

AE

AC AB =

△ABE ∽△ACD

ACD ABE ∠=∠△DBF ∽△ECF

CF

BF

EF DF =

事实上,对本题来说,上述几方面的思考,任何一方面都可能帮助我们找到解决问题的办法。当然,如果问题复杂一些,就可能需要多方面的思考,并把这些思考有机地结合起

来,而且这三方面的思考可能是交替使用、多次反复的。

例3. 如图:已知△ABC ,AD 平分∠BAC ,F 为AD 中点,过点F 作AD 的垂线,交AB 于点G ,交AC 于点H ,交BC延长线于点E,求证:CE BE DE ?=2

我们依然按照上述的思考步骤和方法进行思考。

【分析】(一)看已知条件,根据已知条件在图上适当做标记,

根据条件,我们在图上做出标记(如图)。

什么条件引起你更多的注意?

部分同学可能会说,角平分线、线段的垂直平分线等条件, 会让我们想到角平分线的性质和线段垂直平分线的性质。

(二)看图形结构。初看,可能没有什么引起大家特别 注意的地方。

(三)看结论,分析要证明结论成立,需要证什么。 要证的的结论是CE BE DE ?=2

,立即化为比例式

DE

CE

BE DE =。因此,我们想证三角形相似。

我们观察比例式中的四条线段(“横看”与“竖看”)。我们发现这四条线段都位于同一条直线上,因此,不可能是某个三角形的两条边。

这时,我们怎么办?我们常规的思考是什么? 我们常规的思考是考虑“替换”。 那么替换什么?又如何进行替换呢?

我们说可以替换线段,也可以替换比式。

先考虑替换线段。我们会观察图中有没有和DE 、BE 或CE 相等的线段,如果有,我们就用这样的线段替换比例式中的线段。

这时,我们可能会想到线段垂直平分线的性质,于是,联结AE ,则DE AE =.

用线段AE 替换要证结论中的DE ,则我们的目标式变为:

AE

CE

BE AE = 我们观察新的比例式中的四条线段(“横看”或者“竖看”)。我们就会看到这四条线段分别是△ABE 与△CAE 的两条边,从而,想证△ABE ∽△CAE 。

图形看上去有些复杂,这种时候我们常常可以重新画一张图去除暂时无关的点和线,只关注当前的问题。

当前的问题是什么呢?

当前的问题是△ABE 与△CAE 相似吗?又如何证明?

B

B

这时,我们眼中出现的应该是右边这样一张图,凭直观 观察,我们差不多可以判断△ABE ∽△CAE 。

我们应该看到,它是一个典型的基本图形,两个三角形 有一个公共角(CEA AEB ∠=∠),还需要再证明另外一对 对应角相等,比如想证CAE ABE ∠=∠.

那么,如何证CAE ABE ∠=∠呢?通过全等?等边对等角?相似?我们会在心中快速地搜索可行的方案。

【我们曾经观察过不少学生对这个问题的思考过程,我们发现许多同学基本上能够作出上述的思考、分析和判断,但其中有相当一部分同学在证明CAE ABE ∠=∠时受阻。】

我们如何选择证明CAE ABE ∠=∠的路径?这时,我们应该结合已知条件及图形结构特征。我们会排除全等、相似等方法。

这时,我们可能会回到原图,进一步搜索可以利用的条件和信息。我们有可能发现EAD EDA ∠=∠,即 CAD CAE DAB B ∠+∠=∠+∠,从而CAE ABE ∠=∠

在上述思考过程中,部分同学可能会遇到各种各样的困难。当我们遇到困难时,我们

(四)再次观察图形结构。有的同学注意到AF 平分GAH ∠且GH AF ⊥这个图形局部。因此就会作出FH GF =的反应。于是AD 与GH 互相垂直平分,所以如果联结DG 、DH ,则

四边形AGDH 是菱形。

这样我们就不难得到

DH ∥AB 且DG ∥AC ,而平行线

会推出比例式。

由DH ∥AB

推出

EG EH

BE DE =, DG ∥AC 推出EG

EH

DE CE =,

从而得证。

这里的思考过程中,同学们抓住了一个特殊的条件组合 (AF 平分GAH ∠,且GH AF ⊥),及其相应的图形结构。 从而作出了合理的反应:AF 平分GH (事实上还有AH AG =, AHG AGH ∠=∠等)。

这样的条件组合,我们在以前的学习过程中,是使用过的。如:

题1.已知△ABC 中,AC AB =,?=∠90BAC ,BD 平分ABC ∠,BD CE ⊥交BD

的延长线于点E ,求证:BD CE 2

1

=

。 简析:延长CE 与BA 的延长线交于点F ,则EF CE =,即CF CE 2

1

=

, B B

H

F

又ABD ACF ???,所以BD CF =,从而BD CE 2

1

=

题2. 已知△ABC 中,AC AB >,AD 平分BAC ∠,AD BE ⊥交AD 的延长线于

点E ,F 是BC 的中点,求证:)(2

1

AC AB EF -=

。 简析:延长BE 与AC 的延长线交于点G ,则EG BE =,AB AG =,又CF BF =,

所以)(21

)(2121AC AB AC AG CG EF -=-==。

在学习过程中,我们要注意积累和总结这样的条件组合及相应的图形结构。它们是几何问题与几何图形的重要构成模块,就像是围棋中的定式。这样的模块积累的越多、熟悉程度越高,我们面对几何问题时的思考就会越迅速和有效。事实上,前面曾总结过的基本图形都是一定的条件组合及其图形结构。类似地,

如图1

,AD 平分EAC ∠,AD ∥BC ,则AC AB =.

如图2,?=∠90BAC ,BC AD ⊥,则B CAD ∠=∠,C BAD ∠=∠. 如图3,AC AB ⊥,AC CD ⊥,?=∠90BED ,则ABE ?∽CED ?. 如图4,AC AB =,B EDF ∠=∠,则B FDC ∠=∠,EBD ?∽DCF ?. 等等。

A B C D E A B C

D E

F

(图1) B C

A D E

B C A D

E F B C A

D

E

F

G B C A

D

(图2)

B

C

A D E

(图3)

B

D

(图4)

小结:(1)证明线段成比例的思考流程如下图所示。

要证明线段成比例(乘积式总是先化为比例式),我们通常会想证相似。然后我们会观察比例式中四条线段所处的位置,通过横看或竖看,判断这四条线段是否分别是两个三角形的两条边。如果是,我们再直观判断它们是否相似,如果也是,我们就想办法去证明这对三角形相似;如果这四条线段不能够得到两个三角形,或者,虽然得到两个三角形,但是它们不相似,这时,我们常常会考虑替换。替换的方式有两种,一种是替换线段,一种是替换比式。替换后得到新的比例式,要证这个新的比例式成立,我们又会重复上述思考。

(2)我们要注意扑捉问题中的特殊条件与条件组合,及其相应的图形结构,并作出合理的反应。

例4. 已知△ABC 中,AC AB =,?=∠90BAC ,D 是边BC 上一点,AD EF ⊥,EF 交AB 于点E ,交AC 于点F 。求证:

DC

BD

AF AE =.

【分析】(一)看已知条件,看图形结构。 根据已知条件在图上适当做标记,思考条件的作用, 关注图形结构,特别是一些特殊的条件组合及其对应 的图形模块。

根据已知条件,这图上作出适当的标记。

条件中的哪些部分引起你更多的注意?

同学会注意到等腰直角三角形,从而会联想 它的有关特征。还应该发现图中有一个基本图形 结构——直角三角形及其斜边上的高,从而会立即 想到其中有许多角的关系。如:

AFE EAH ∠=∠,AEF FAH ∠=∠等。

这些信息是否有用?有什么用?又需要结合目标分析。

(二)看目标,分析要证明结论成立,需要证什么。

要证的的结论是四条线段成比例:

DC

BD

AF AE =。因此,我们想证三角形相似。 于是,我们观察比例式中的四条线段(“横看”与“竖看”)。我们发现线段AE 、AF 是AEF ?的两条边,但是线段BD 、DC 位于同一条直线上,不是某个三角形的两条边。

因此,我们考虑“替换”。先考虑替换线段。我们会观察图中有没有与要证的比例式中所涉及的线段AE 、AF 、BD 或DC 相等的线段,如果有,我们就用这样的线段替换比例式中的线段。

经过观察与思考,我们发现没有这样的线段。

接下来,我们尝试替换比式。我们想把哪个比式换掉呢?应该是

DC

BD

。 因为线段AE 、AF 是AEF ?的两条边,而且AEF ?还是一个直角三角形,AE 、AF 是其两条直角边。但BD 、DC 位于同一条直线上,不是某个三角形的两条边,所以想替换比式

DC

BD

,并且希望替换以后的两条线段恰好是一个直角三角形的两条直角边。 那么DC

BD 等于哪两条线段之比呢?经过观察与思考,

我们可能有以下方法。

【法一】过点D 作AB DH ⊥交AB 于点H .

B

F

于是DH ∥AC ,从而

HA

BH

DC BD =。 根据上述分析,我们希望BH 、HA 是某个

直角三角形的两条直角边。现在是吗?

不是。BH 、HA 也是在一条直线上。

这时,有一部分同学容易放弃当前的处理方法,而去考虑另外的办法。这很可惜。 我们应该再用我们的思维流程思考一下。

由于BH 、HA 在一条直线上,因此,我们想要替换。

先考虑替换线段。即图中有与线段BH 或HA 相等的线段吗?

当我们清楚地去问自己这个问题的时候,我们差不多就解决问题了。我们不难发现BH DH =,而DH 、HA 恰好是直角三角形HDA ?的两条直角边。

继而,我们想证AEF ?∽HDA ?,这是不难实现的。

当然,要替换比式

DC

BD

,也可能有其他做法。 【法二】过点B 作BK ∥AC 交AD 的延长线

于点K .则AC

BK

DC BD =。 以下请自己思考是否可行,若可行,完成证明。

【法三

】部分同学可能看到

DC

BD

会想到面积比。 即

ACD

ABD

S S DC BD ??=

。 进而,我们可以发现把ABD ?与ACD ?的 边AB 、AC 看作底边,它们也是等底的。因此过 点D 分别作AB DM

⊥、AC DN ⊥,垂足分别 是点M 、N ,则

DN

DM

S S ACD ABD =

??。 从而要证明原题结论成立,只需证DN

DM

AF AE =,这应该是不困难的事情。

(三)根据前面的分析,如果我们注意到线段AE 、AF 是直角三角形AEF ?的两条直角边。因此就希望找到(如果找不到,就想办法作出)一个直角三角形,使其两条直角边分别是线段BD 、DC 。

这样的想法也是合理的。

按照这样的想法,由于我们在现有的图形中找不到 这样的直角三角形,因此,我们就有可能过点D 或点C 去作CD 的垂线,从而构造出符合条件的直角三角形。

【法四】过点D 作BC DP ⊥交AB 于点P . 我们本需要截取BD DP =,注意到?=∠45B ,

因此,这个交点P 就是满足BD DP =的点。从而PDC ?就是以线段BD 、DC 为直角边的直角三角形。

现在要证明

DC BD AF AE =,就是要证明DC

PD

AF AE =,因此想证明AEF ?∽DPC ?。 从合情的角度思考,如果所证的结论正确,则一定有AEF ?∽DPC ?。 那么如何证明AEF ?∽DPC ?呢? 显然两个三角形都是直角三角形,并且已经有一对角相等。即?=∠=∠90PDC EAF .

因为边成比例是需要通过相似得到的,所以这里应该想证明另外一对角相等。

选择证哪一对角相等呢?是去证明DPC AEF ∠=∠,还是去证明DCP AFE ∠=∠? 当我们无法判断时,可以分别去观察和思考一下。

(如果我们具备四点共圆的知识,那么证明其中任何一对都是一样的。) 当我们观察与思考如何证明DCP AFE ∠=∠时,

我们可以发现DCP ∠也是BCP ?的一个内角,

而BAD AFE ∠=∠,因此只需要证明BCP BAD ∠=∠,

这时,我们的眼前会出现一个基本图形(如右图)。 因此我们想证BAD ?∽BCP ?。

这是可以实现的。因为B ∠是公共角, 又

2

1

==BC BA BP BD ,所以BAD ?∽BPC ?. 从而BCP BAD ∠=∠,进而DCP AFE ∠=∠, 所以AEF ?∽DPC ?,问题得证。

(如果有的同学说我过点D 作BC DP ⊥的时候, 是向下作的,并截取BD DP =。那么我想证明 AEF ?∽DPC ?,可以吗?

结论是肯定的。整个思路与上述方法类似, 留给同学们自己去完成。)

也有的同学可能会选择过点C 作BC CQ ⊥

【法五】过点C 作BC CQ ⊥,并截取BD CQ =。 联结DQ ,进而想证明AEF ?∽CQD ?。 这时,我们是否会联结AQ ,发现ACQ ?是 由ABD ?绕点A

逆时针方向旋转90°得到。 因此ABD ACQ ???,从而得到AD AQ =,

AD AQ ⊥,所以?=∠45ADQ 。

这时,我们的眼前就会出现?=∠=∠=∠45ACB ABC ADQ , 这又是一个基本的图形结构,我们不难得到BAD QDC ∠=∠

又AFE BAD ∠=∠,所以AFE QDC ∠=∠,

所以AEF ?∽CQD ?。

如果我们看到ABC ?中,AC AB =, 想到等腰三角形三线合一,于是就可能、会有以下尝试。

【法六】作AS 平分

BAC ∠交BC 于点S .

通过观察,我们会发现?=∠45SAC ,

BAD AFE ∠=∠,于是,如果记AS 与EF 的

交点T ,则AFT ?∽BAD ?.

从而BD

AT AB AF =,即

AT AB BD AF ?=?.

与要证结论的比较,我们发现只要证明AT AB CD AE ?=?.

即证明CD

AT

AB AE =. 通过横看、竖看,我们发现横看得到AET ?,

但分母中的AB 、CD 不是一个三角形的两条边。

这时,我们怎么办? 对,替换。

替换什么?

先考虑替换线段。

即我们会去观察图形中是否有和AB 或CD 相等的线段。这样,我们就不难发现AC AB =。而AC 、CD 是ACD ?的两条边。 这时我们可以重画一张图(如果需要),我们主要

关注AET ?和ACD ?,我们就不难发现:

?=∠=∠45ACD EAT ,DAC AET ∠=∠. 从而EAT ?∽ACD ?,问题得证。

(事实上,在发现AFT ?∽BAD ?的同时,部分同学就能够想到EAT ?∽ACD ?。这是一种对称的感觉,即如果图形左右两侧是平等的,那么某一侧具有的特征,另一侧也会具有类似特征。)

三、反思与感悟:

1.人们对几何图形的认识既需要形象思维,又需要抽象思维,两者相辅相成。直观、实 验是初级认识手段,逻辑推理则是高级认识手段。

D

B

B

但是,直觉引导思维。因此,我们要重视图形,重视直观观察与实验操作,帮助我们形成直觉判断。

2. 解题就像游泳、滑雪或弹钢琴一样,只有通过实践才能学到它。你想学会游泳,你就必须下水,你想成为解题的能手,你就必须去解题。

解题是一种实践活动,解题后的交流与讨论是一种社会活动。它们都需要在实践中充分体验,在体验的基础上获得经验与感悟,进而通过反思,归纳、提炼形成方法,发现规律。

3. 要提高解题能力,并不只是要一味地做题,以为多多益善。有的同学题目做了不少,其结果却是碰到稍微陌生的问题仍然无所适从,有的甚至还会不断重复自己的错误。导致这种现象的原因可能是缺少解题后的反思与整理。大多数同学都可以花半个小时以上的时间去思考和探求一个问题的解,但当问题获得解决之后,往往就立即把它扔掉了,这很可惜。

花费了一定的力气才解决的问题,非常值得我们及时地回顾、反思、整理、总结。

反思是对学习与思考过程的再认识、是对经验的总结与提升。反思的过程,常常同时伴随着概括、比较、推理、驳证等思维能力的发展,以及对数学思想方法的提炼。

我们可能需要回顾与反思的东西很多,如(1)该问题的特征特点(背景、条件、目标等方面),以前是否做过类似的问题,它们之间又有怎样的区别与联系;(2)解决该问题的方法以前是否使用过,这里有没有变化,使用这种方法的问题之间有着哪些共同的特征;(3)自己的思维过程是怎样的,走了些怎样的弯路,问题中的哪些信息对问题的解决起着关键作用,它们是否可以提醒自己少走这样的弯路;(4)解决问题的过程中出现了怎样的错误,如何才能避免今后不犯或少犯这样的错误等等。并在回顾、反思的基础上加以归类、总结和整理,这样我们解题的收获就增加了很多,渐渐地我们的解题能力就会不断提高。

一个富有挑战性的问题,经过自己的艰苦努力获得解决,是一件非常令人高兴的事情,是一次愉快的体验,也是一种内在的激励。愿同学们在不断的解题实践与反思中,更加热爱数学、更加充满自信。

初中几何证明常用方法归纳

初中几何证明常用方法 归纳 Company Document number:WTUT-WT88Y-W8BBGB-BWYTT-19998

几何证明常用方法归纳 一、证明线段相等的常用办法 1、同一个三角形中,利用等角对等边:先证明某两个角相等。 2、不同的三角形中,利用两个三角形全等:A找到两个合适的目标三角形B确定已有几个 条件C还要增加什么条件。 3、通过平移或旋转或者折叠得到的线段相等。 4、线段垂直平分线性质:线段垂直平分线的一点到线段两个端点的距离相等。 5、角平分线的性质:角平分线上的一点到角两边的距离相等。 6、线段的和差。 二、求线段的长度的常用办法 1、利用线段的和差。 2、利用等量代换:先求其他线段的长度,再证明所求线段与已求的线段相等。 3、勾股定理。 三、证明角相等的常用办法 1、同(等)角的余(补)角相等。 2、两直线平行,内错角(同位角)相等。 3、角的和差 4、同一个三角形中,利用等边对等角:先证明某两条边相等。 5、不同的三角形中,利用两个三角形全等:A找到两个合适的目标三角形B确定已有几个 条件C还要增加什么条件。 四、求角的度数的常用方法 1、利用角的和差。 2、利用等量代换:先求其他角的长度,再证明所求角与已求的角相等。 3、三角形内角和定理。 五、证明直角三角形的常用方法 1、证明有一个角是直角。(从角) 2、有两个角互余。(从角) 3、勾股定理逆定理。(从边) 4、30度角所对的边是另一边的一半。 5、三角形一边上的中线等于这边的一半 六、证明等腰三角形的常用方法 1、证明有两边相等。(从边) 2、证明有两角相等。(从角) 七、证明等边三角形的常用方法 1、三边相等。 2、三角相等。 3、有一角是60度的等腰三角形。 八、证明角平分线的常用方法 1、两个角相等(定义)。 2、等就在:到角两边的距离相等的点在角平行线上。 九、证明线段垂直平分线的常用方法 1、把某条线段平分,并与它垂直。

初中数学几何证明技巧资料讲解

辅助线的添加 一、添辅助线有二种情况: 1.按定义添辅助线: 如:证明二直线垂直可延长使它们,相交后证交角为90°;证线段倍半关系可倍线段取中点或半线段加倍;证角的倍半关系也可类似添辅助线。 2.按基本图形添辅助线: 每个几何定理都有与它相对应的几何图形,我们把它叫做基本图形,添辅助线往往是具有基本图形的性质,但基本图形不完整时。因此“添线”应该叫做“补图”!这样可防止乱添线 也有规律可循。 (1)平行线是个基本图形: 当几何中出现平行线时,添辅助线的关键是:添与二条平行线都相交的第三条直线 (2)等腰三角形是个基本图形: 当几何问题中出现一点发出的二条相等线段时,往往要补全完整的等腰三角形; (3)等腰三角形中的重要线段是个重要的基本图形: 出现等腰三角形底边上的中点,添底边上的中线; (4)直角三角形斜边上中线基本图形 出现直角三角形斜边上的中点,往往添斜边上的中线。 (5)三角形中位线基本图形 几何问题中出现多个中点时,往往添加三角形中位线基本图形 (6)相似三角形: 相似三角形有平行线型(带平行线的相似三角形),相交线型,旋转型;当出现相比线段重叠在一直线上时,(中点可看成比为1)可添加平行线得平行线型相似三角形。 (8)特殊角直角三角形 当出现30,45,60,135,150度特殊角时可添加特殊角直角三角形,利用45角直角三角形三边比为 1:1:√2;30度角直角三角形三边比为1:2:√3 (9)半圆上的圆周角 出现直径与半圆上的点,添90度的圆周角;出现90度的圆周角则添它所对弦---直径; 二、基本图形的辅助线的画法 1.三角形问题添加辅助线方法 方法1:有关三角形中线的题目,常将中线加倍。含有中点的题目,常常利用三角形的中位线,通过这种方法,把要证的结论恰当的转移,很容易地解决了问题。 方法2:含有平分线的题目,常以角平分线为对称轴,利用角平分线的性质和题中的条件,构造出全等三角形,从而利用全等三角形的知识解决问题。 方法3:结论是两线段相等的题目常画辅助线构成全等三角形,或利用关于平分线段的一些定理。 方法4:结论是一条线段与另一条线段之和等于第三条线段这类题目,常采用截长法或补短法,所谓截长法就是把第三条线段分成两部分,证其中的一部分等于第一条线段,而另一部分等于第二条线段2.平行四边形中常用辅助线的添法 平行四边形(包括矩形、正方形、菱形)的两组对边、对角和对角线都具有某些相同性质,所以在添辅助线方法上也有共同之处,目的都是造就线段的平行、垂直,构成三角形的全等、相似,把平行四边形问题转化成常见的三角形、正方形等问题处理 (1)连对角线或平移对角线 (2)过顶点作对边的垂线构造直角三角形 (3)连接对角线交点与一边中点,或过对角线交点作一边的平行线,构造线段平行或中位线

如何做几何证明题(方法总结)

如何做几何证明题 知识归纳总结: 1. 几何证明是平面几何中的一个重要问题,它对培养学生逻辑思维能力有着很大作用。几何证明有两种基本类型:一是平面图形的数量关系;二是有关平面图形的位置关系。这两类问题常常可以相互转化,如证明平行关系可转化为证明角等或角互补的问题。 2. 掌握分析、证明几何问题的常用方法: (1)综合法(由因导果),从已知条件出发,通过有关定义、定理、公理的应用,逐步向前推进,直到问题的解决; (2)分析法(执果索因)从命题的结论考虑,推敲使其成立需要具备的条件,然后再把所需的条件看成要证的结论继续推敲,如此逐步往上逆求,直到已知事实为止; (3)两头凑法:将分析与综合法合并使用,比较起来,分析法利于思考,综合法易于表达,因此,在实际思考问题时,可合并使用,灵活处理,以利于缩短题设与结论的距离,最后达到证明目的。 3. 掌握构造基本图形的方法:复杂的图形都是由基本图形组成的,因此要善于将复杂图形分解成基本图形。在更多时候需要构造基本图形,在构造基本图形时往往需要添加辅助线,以达到集中条件、转化问题的目的。 一. 证明线段相等或角相等 两条线段或两个角相等是平面几何证明中最基本也是最重要的一种相等关系。很多其它问题最后都可化归为此类问题来证。证明两条线段或两角相等最常用的方法是利用全等三角形的性质,其它如线段中垂线的性质、角平分线的 系来证,也可通过边对应成比例、三角形中位线定理证明。证两条直线垂直,可转化为证一个角等于90°,或利用两

的角平分线AD、CE相交于O。 (补

AE=BD,连结CE、DE。

求证:BC=AC+AD B、C作此射线的垂线BP和CQ。 设M为BC的中点。求证:MP=MQ

初中数学几何证明题解题方法--

初中数学几何证明题解题方法--

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浅谈初中数学几何证明题解题方法 内容摘要:几何证明题的一般结构由已知条件和求证目标组成。做几何证明题的一般步骤:审题,寻找证明的思路,书写证明过程 关键词:几何证明 条件 结论 .执因索果 执果索因 辅助线 初中学生正处于自觉形象思维向逻辑思维的过度阶段,几何证明,是学生逻辑思维的起步。这种思维方式学生刚接触,会遇到一些困难。许多学生在几何证明这里“跌倒了”,丧失了信心,以至于几何越学越糟。为此,我根据自己几年的数学教学实践,就初中数学中几何证明题的一般结构,解题思路进行初步探讨。 学好几何证明,起步要稳,要求学生在学习几何时要扎扎实实,一步一个脚印,在掌握好几何基础知识的同时,还要培养学生的逻辑思维能力。 一、几何证明题的一般结构 初中几何证明题的一般结构由已知条件和求证目标两部分(即前提和结论)组成。已知条件是几何证明的前提,指题目中用文字和符号直接给出的明确条件,也包括所给图形中暗含的条件。求证指题目要求的经过推理最终得出的结论。已知条件是题目既定成立的、毋庸置疑而且必然正确的。求证是几何证明题的最终目标,就是根据题目给出的已知条件,利用数学中的公理、定理、性质,用合理的推理形式推导出的最后结果,而且只能出现在证明过程的最后。 例如:如图,在△ABC 和△DCB 中,AB = DC ,AC = DB ,AC 与DB 交于点M . 求证:△ABC ≌△DCB ; 已知条件:文字给出的有:△ABC 和△DCB ,AB = DC ,AC = DB ,AC 与DB 交于点M 图形给出的有:BC=CB,∠BMA 与∠CMD 是对顶角等等 求证目标是:△ABC ≌△DCB 注意,已知条件除了上面列出的,就没有其它的了,不可随意出现AM=DM ,BN=CN 等等 二、做几何证明题的一般步骤 (一)、审题 审题就是读题,这一步是解决几何证明题的关键,非常重要。许多学生读几何证明题时讲快,常常忽略了题目中蕴含的重要信息。和读其它类型的题有所不同,读几何证明题要求 B A M N

初中几何证明常用方法归纳

几何证明常用方法归纳 一、证明线段相等的常用办法 1、同一个三角形中,利用等角对等边:先证明某两个角相等。 2、不同的三角形中,利用两个三角形全等:A找到两个合适的目标三角形B确定已有几个 条件C还要增加什么条件。 3、通过平移或旋转或者折叠得到的线段相等。 4、线段垂直平分线性质:线段垂直平分线的一点到线段两个端点的距离相等。 5、角平分线的性质:角平分线上的一点到角两边的距离相等。 6、线段的和差。 二、求线段的长度的常用办法 1、利用线段的和差。 2、利用等量代换:先求其他线段的长度,再证明所求线段与已求的线段相等。 3、勾股定理。 三、证明角相等的常用办法 1、同(等)角的余(补)角相等。 2、两直线平行,内错角(同位角)相等。 3、角的和差 4、同一个三角形中,利用等边对等角:先证明某两条边相等。 5、不同的三角形中,利用两个三角形全等:A找到两个合适的目标三角形B确定已有几个 条件C还要增加什么条件。 四、求角的度数的常用方法 1、利用角的和差。 2、利用等量代换:先求其他角的长度,再证明所求角与已求的角相等。 3、三角形内角和定理。 五、证明直角三角形的常用方法 1、证明有一个角是直角。(从角) 2、有两个角互余。(从角) 3、勾股定理逆定理。(从边) 4、30度角所对的边是另一边的一半。 5、三角形一边上的中线等于这边的一半 六、证明等腰三角形的常用方法

1、证明有两边相等。(从边) 2、证明有两角相等。(从角) 七、证明等边三角形的常用方法 1、三边相等。 2、三角相等。 3、有一角是60度的等腰三角形。 八、证明角平分线的常用方法 1、两个角相等(定义)。 2、等就在:到角两边的距离相等的点在角平行线上。 九、证明线段垂直平分线的常用方法 1、把某条线段平分,并与它垂直。 2、等就在:有两个点它们到这条线段的两个端点的距离相等。重复强调是有两个点 十、证明线段垂直的常用方法。 1、两线的夹角90度。 2、等就在:有两个点它们到这条线段的两个端点的距离相等。重复强调是有两个点十一、证明线平行的常用方法内错角相等,同位角相等,同旁内角互补。十二、证明三角形全等的常用方法 SSS,SAS,AAS,ASA, 十三、证明直角三角形全等的常用方法 HL , SSS,SAS,AAS,ASA, 十四、证明两条线段等于第三线段的常用方法截一段证一段

(完整版)做几何证明题方法归纳

做几何证明题方法归纳 知识归纳: 1. 几何证明是平面几何中的一个重要问题,它对培养学生逻辑思维能力有着很大作用。几何证明有两种基本类型:一是平面图形的数量关系;二是有关平面图形的位置关系。这两类问题常常可以相互转化,如证明平行关系可转化为证明角等或角互补的问题。 2. 掌握分析、证明几何问题的常用方法: (1)综合法(由因导果),从已知条件出发,通过有关定义、定理、公理的应用,逐步向前推进,直到问题的解决; (2)分析法(执果索因)从命题的结论考虑,推敲使其成立需要具备的条件,然后再把所需的条件看成要证的结论继续推敲,如此逐步往上逆求,直到已知事实为止; (3)两头凑法:将分析与综合法合并使用,比较起来,分析法利于思考,综合法易于表达,因此,在实际思考问题时,可合并使用,灵活处理,以利于缩短题设与结论的距离,最后达到证明目的。 3. 掌握构造基本图形的方法:复杂的图形都是由基本图形组成的,因此要善于将复杂图形分解成基本图形。在更多时候需要构造基本图形,在构造基本图形时往往需要添加辅助线,以达到集中条件、转化问题的目的。 一. 证明线段相等或角相等 两条线段或两个角相等是平面几何证明中最基本也是最重要的一种相等关系。很多其它问题最后都可化归为此类问题来证。证明两条线段或两角相等最常用的方法是利用全等三角形的性质,其它如线段中垂线的性质、角平分线的性质、等腰三角形的判定与性质等也经常用到。 例1. 已知:如图1 求证:DE =DF 分析:由?ABC 连结CD ,易得CD = 证明:连结CD ΘΘΘAC BC A B ACB AD DB CD BD AD DCB B A AE CF A DCB AD CD =∴∠=∠∠=?=∴==∠=∠=∠=∠=∠=90,,,, ∴?∴=??ADE CDF DE DF 说明:在直角三角形中,作斜边上的中线是常用的辅助线;在等腰三角形中,作顶角的平分线或底边上的中线或高是常用的辅助线。显然,在等腰直角三角形中,更应该连结CD ,因为CD 既是斜边上的中线,又是底边上的中线。本题亦可延长ED 到G ,使DG =DE ,连

高中立体几何证明方法及例题

1. 空间角与空间距离 在高考的立体几何试题中,求角与距离是必考查的问题,其中最主要的是求线线角、线面角、面面角、点到面的距离,求角或距离的步骤是“一作、二证、三算”,即在添置必要的辅助线或辅助面后,通过推理论证某个角或线段就是所求空间角或空间距离的相关量,最后再计算。 2. 立体几体的探索性问题 立体几何的探索性问题在近年高考命题中经常出现,这种题型有利于考查学生归纳、判断等方面的能力,也有利于创新意识的培养。近几年立体几何探索题考查的类型主要有:(1)探索条件,即探索能使结论成立的条件是什么?(2)探索结论,即在给定的条件下命题的结论是什么。 对命题条件的探索常采用以下三种方法:(1)先观察,尝试给出条件再证明;(2)先通过命题成立的必要条件探索出命题成立的条件,再证明充分性;(3)把几何问题转化为代数问题,探索出命题成立的条件。 对命题结论的探索,常从条件出发,再根据所学知识,探索出要求的结论是什么,另外还有探索结论是否存在,常假设结论存在,再寻找与条件相容还是矛盾。 (一)平行与垂直关系的论证 由判定定理和性质定理构成一套完整的定理体系,在应用中:低一级位置关系判定高一级位置关系;高一级位置关系推出低一级位置关系,前者是判定定理,后者是性质定理。 1. 线线、线面、面面平行关系的转化: ?a c //) αβ αγβγ //,// ==???? a b a b 面面平行性质 线面平行性质 a a b a b ////αβαβ?=???? ? ? 面面平行性质1 αβαβ ////a a ??? ? ? 面面平行性质 αγβγαβ //////?? ?? 2. 线线、线面、面面垂直关系的转化:

初中数学几何证明题小妙招

初中数学几何证明题小妙招几何证明题入门难,证明题难做,是很多初中生在学习中的共识,这里面有很多因素,有主观的、也有客观的,学习不得法,没有适当的解题思路则是其中的一个重要原因。掌握证明题的一般思路、探讨证题过程中的数学思维、总结证题的基本规律是求解几何证明题的关键。在这里结合自己的教学经验,谈谈自己的一些方法与大家一起分享。 一要审题。很多学生在把一个题目读完后,还没有弄清楚题目讲的是什么意思,题目让你求证的是什么都不知道,这非常不可取。我们应该逐个条件的读,给的条件有什么用,在脑海中打个问号,再对应图形来对号入座,结论从什么地方入手去寻找,也在图中找到位置。 二要记。这里的记有两层意思。第一层意思是要标记,在读题的时候每个条件,你要在所给的图形中标记出来。如给出对边相等,就用边相等的符号来表示。第二层意思是要牢记,题目给出的条件不但要标记,还要记在脑海中,做到不看题,就能够把题目复述出来。 三要引申。难度大一点的题目往往把一些条件隐藏起来,所以我们要会引申,那么这里的引申就需要平时的积累,平时在课堂上学的基本知识点掌握牢固,平时训练的一些特殊图形要熟记,在审题与记的时候要想到由这些条件你还能够得到哪些结论(就像电脑一下,你一点击开始立刻弹出对应的菜单),然后在

图形旁边标注,虽然有些条件在证明时可能用不上,但是这样长期的积累,便于以后难题的学习。 四要分析综合法。分析综合法也就是要逆向推理,从题目要你证明的结论出发往回推理。看看结论是要证明角相等,还是边相等,等等,如证明角相等的方法有1.对顶角相等2.平行线里同位角相等、内错角相等3.余角、补角定理4.角平分线定义5.等腰三角形6.全等三角形的对应角等等方法。然后结合题意选出其中的一种方法,然后再考虑用这种方法证明还缺少哪些条件,把题目转换成证明其他的结论,通常缺少的条件会在第三步引申出的条件和题目中出现,这时再把这些条件综合在一起,很条理的写出证明过程。 五要归纳总结。很多同学把一个题做出来,长长的松了一口气,接下来去做其他的,这个也是不可取的,应该花上几分钟的时间,回过头来找找所用的定理、公理、定义,重新审视这个题,总结这个题的解题思路,往后出现同样类型的题该怎样入手。 以上是常见证明题的解题思路,当然有一些的题设计的很巧妙,往往需要我们在填加辅助线,分析已知、求证与图形,探索证明的思路。 (1)正向思维。对于一般简单的题目,我们正向思考,轻而易举能够做出,这里就不详细讲述了。 (2)逆向思维。顾名思义,就是从相反的方向思考问题。使用逆向思维解题,能使学生从不同角度,不同方向思考问题,

高中立体几何证明方法及例题

由判定定理和性质定理构成一套完整的定理体系,在应用中:低一级位置关系判定高一级位置关系;高一级位置关系推出低一级位置关系,前者是判定定理,后者是性质定理。 1. 线线、线面、面面平行关系的转化: αβ αγβγ //,// ==???? a b a b 面面平行性质 ??? ? ? 面面平行性质 αγβγαβ //////?? ?? 2. 线线、线面、面面垂直关系的转化: a a OA a PO a PO a AO ?⊥?⊥⊥?⊥αα 在内射影则 面面垂直判定 线面垂直定义 l a l a ⊥??⊥? ??α α 面面垂直性质,推论2 αβ αββα⊥=?⊥?⊥??? ? ? b a a b a , αγβγαβ γ⊥⊥=?⊥? ?? ? ? a a 面面垂直定义 αβαβαβ =--?⊥? ?? l l ,且二面角成直二面角

面面∥面面平行判定2 线面垂直性质2a b a b //⊥?⊥??? α α a b a b ⊥ ⊥???? αα// a a ⊥⊥?? ?? αβα β // αβα β//a a ⊥⊥? ?? a 4. 应用以上“转化”的基本思路——“由求证想判定,由已知想性质。” 5. 唯一性结论: 1. 三类角的定义: (1)异面直线所成的角θ:0°<θ≤90 ° (2)直线与平面所成的角:0°≤θ≤90° (3)二面角:二面角的平面角θ,0°<θ≤180° 2. 三类角的求法:转化为平面角“一找、二作、三算” 即:(1)找出或作出有关的角;(2)证明其符合定义; (3)指出所求作的角; (4)计算大小。

做几何证明题方法归纳

做几何证明题方法归纳

∴?∴=??A D E C D F DE DF 说明:在直角三角形中,作斜边上的中线是常用的辅助线;在等腰三角形中,作顶角的平分线或底边上的中线或高是常用的辅助线。显然,在等腰直角三角形中,更应该连结CD ,因为CD 既是斜边上的中线,又是底边上的中线。本题亦可延长ED 到G ,使DG =DE ,连结BG ,证?EFG 是等腰直角三角形。有兴趣的同学不妨一试。 例2. 已知:如图2所示,AB =CD ,AD =BC ,AE =CF 。 证明:连结AC 在?ABC 和?C D A 中, AB CD BC AD AC CA ABC CDA SSS B D AB CD AE CF BE DF ===∴?∴∠=∠==∴=,,,??() 在?B C E 和?D A F 中,

做几何证明题方法归纳 第 6 页 共 20 页 BE DF B D BC DA BCE DAF SAS E F =∠=∠=???? ?∴?∴∠=∠??() 说明:利用三角形全等证明线段求角相等。常须添辅助线,制造全等三角形,这时应注意: (1)制造的全等三角形应分别包括求证中一量; (2)添辅助线能够直接得到的两个全等三角形。 二. 证明直线平行或垂直 在两条直线的位置关系中,平行与垂直是两种特殊的位置。证两直线平行,可用同位角、内错角或同旁内角的关系来证,也可通过边对应成比例、三角形中位线定理证明。证两条直线垂直,可转化为证一个角等于90°,或利用两个锐角互余,或等腰三角形“三线合一”来证。 例3. 如图3所示,设BP 、CQ 是?ABC 的内角平分线,AH 、AK 分别为A 到BP 、CQ 的垂线。 求证:KH ∥BC

初中几何证明题思路及做辅助线总结

中考几何题证明思路总结 一、证明两线段相等 1.两全等三角形中对应边相等。 2.同一三角形中等角对等边。 3.等腰三角形顶角的平分线或底边的高平分底边。 4.平行四边形的对边或对角线被交点分成的两段相等。 5.直角三角形斜边的中点到三顶点距离相等。 6.线段垂直平分线上任意一点到线段两段距离相等。 7.角平分线上任一点到角的两边距离相等。 8.过三角形一边的中点且平行于第三边的直线分第二边所成的线段相等。 二、证明两角相等 1.两全等三角形的对应角相等。 2.同一三角形中等边对等角。 3.等腰三角形中,底边上的中线(或高)平分顶角。 4.两条平行线的同位角、错角或平行四边形的对角相等。 5.同角(或等角)的余角(或补角)相等。 6.同圆(或圆)中,等弦(或弧)所对的圆心角相等,圆周角相等,弦切角等于它所夹的弧对的圆周角。 三、证明两直线平行 1.垂直于同一直线的各直线平行。 2.同位角相等,错角相等或同旁角互补的两直线平行。 3.平行四边形的对边平行。 4.三角形的中位线平行于第三边。 5.梯形的中位线平行于两底。 6.平行于同一直线的两直线平行。 7.一条直线截三角形的两边(或延长线)所得的线段对应成比例,则这条直线平行于第三边。 四、证明两直线互相垂直 1.等腰三角形的顶角平分线或底边的中线垂直于底边。 2.三角形中一边的中线若等于这边一半,则这一边所对的角是直角。 3.在一个三角形中,若有两个角互余,则第三个角是直角。 4.邻补角的平分线互相垂直。 5.一条直线垂直于平行线中的一条,则必垂直于另一条。 6.两条直线相交成直角则两直线垂直。 7.利用到一线段两端的距离相等的点在线段的垂直平分线上。 8.利用勾股定理的逆定理。 9.利用菱形的对角线互相垂直。 10.在圆中平分弦(或弧)的直径垂直于弦。 11.利用半圆上的圆周角是直角。

几何证明的思路与方法(一).

几何证明的思路与方法(一) 宝山区教师进修学院张波 图形与几何的学习,帮助我们认识了丰富多彩的几何图形、发展了我们的空间观念、增进了我们逻辑推理的意识与能力,并增强了运用这些知识认识世界与改造世界的能力。 学习几何离不开几何证明。几何学是适合培养我们逻辑思维能力的绝好资源。 但是,我们发现有不少学生害怕几何,害怕几何证明。原因之一是大家感到几何证明似乎找不到一种通用的方法,不同的问题常常需要不同的处理。 我们很容易掌握解方程,因为它们有着较为固定的处理程序。如解一个一元一次方程,我们只要按照“去分母、去括号、移项、合并、未知数的系数化为1”这样的步骤,就可以求出一元一次方程的解。 而几何问题的解决就很难形成这样的程序步骤,它常常需要我们根据具体的问题做出具体的分析,才能找到解决问题的路径和方法。 但这并不是说几何问题的解决没有规律。我们还是可以在实践与反思的基础上,整理、归纳出一些思考问题的一般次序,这样的思维序列可以指导我们面对几何问题如何去思考,进而找到解决问题的办法。 下面我们就来一起梳理处理几何证明问题时值得总结的思维角度与思维次序。 一、思路梳理: 我们都知道,证明题的结构基本上由“题设”和“结论”两部分组成,通常的表现形式是“已知------,求证------。”这里的“已知------”就是题设,或者称为条件,“求证------”就是结论。

拿到一个几何证明题,我们都是如何思考的呢?我们都思考什么?有哪些思考的角度?有没有一个思考的次序? 很多同学可能会说:“拿到一个几何证明题,我要先弄清楚已知条件。” 很好。那么,怎样算是弄清楚了已知条件呢?你都做些什么事情去帮助自己弄清楚已知条件? 同学们会说:“我会把已知条件在图上标记出来。” 这是一个不错的做法,在图上做标记。 事实上,图形是几何证明题的一个重要组成部分。几何问题离不开图形,如果一个几何问题没有相应的图形,我们首先要做的事情就是画一张符合条件的图形。 又有同学说:“我会思考条件的作用,由某些条件会推出些什么样的结论。” 这也是一个好的习惯,思考条件的可能作用。 大家还会说:“在清楚条件之后,我会从结论入手,进行分析。” 非常好!从结论入手,分析要证结论成立,需要证什么。 不同的结论形式,我们会有不同的想法。如“要证明线段相等,我们可能会想证明三角形全等、或者等角对等边、或者平行四边形对边相等,还有线段垂直平分线的性质、角平分线的性质,或者通过等量代换等等,最近,我们有时还会利用比例式去证明线段相等。” 要证明某个结论成立,可能的路径、方法有很多种。我们又如何选择呢? 大家可能会说,这时要结合条件进行判断,也有的同学会说,要看图形,看图形的结构特点,直觉判断有怎样的可能,或者排除某些方法。 非常好!图形结构。这又是解决几何问题时,一个非常值得关注的部分。事实上,几何离不开图形,图形中蕴含着重要的信息。

立体几何证明方法大全

(二)立体几何证明方法汇总 1、线线平行判定定理 一个平面 点 平行于同一条直线的两条直线的 两条直线平行 线面平行性质如果一条直线和一个平面平行,经过这条直线的平面和这个平面相交, 面面平行的性一个平面与两个平行平面相交 则交线平行 线面垂直的性垂直于同 行

两条直线所成的角是 线面垂直的性质一条直线垂直于一个平面任何一条直线 一条直线垂直三角形两边则垂直一条直线垂直于三角形的两条边 第三边 三垂线定理 个平面的一条斜线的射影垂直,那么它和这条斜线垂直 三垂线定理逆定三垂线逆定理 这个平面的一条斜线垂直,那么它和这条斜线的射影垂直

一条直线与平面没有交点 线面平行判两个平面平行, 平行于另一个平面 如果一条直线垂直于平面内的任何一条 直线,则直线与平面垂直。 的一条直线垂直于平面内两条相交直线, 则平行于这个平面。 的推一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面,它也垂直于另一个平面 的若二平面垂直,那么在一个平面内垂直 于它们的交线的直线垂直于另一个平面

如果两个平面没有公共点,则两个平面平行。 面面平行的如果一个平面内有两条相交直线平行于另一 个平面,那么这两个平面平行 面面平行的判定定理推如果两个平面内两条相交直线平行于另一个平面内两条相交直线,则两个平面平行。 线面垂直的 垂直于同一直线的两个平面平行 两个平面相交, 这两个平面垂直。 面面垂直的判如果平面经过另一个平面的一条垂线, 面垂直。

公理 么这条直线上的所有点都在这个平面内。( ( 公理 它公共点,这些公共点的集合是一条直线( ( 公理 个平面。 干个点共面的依据 推论 有一个平面。 ( ( 推论 推论

初中几何证明很简单

几何证明题入门难,证明题难做,是许多初中生在学习中的共识,这里面有很多因素,有主观的、也有客观的,学习不得法,没有适当的解题思路则是其中的一个重要原因。掌握证明题的一般思路、探讨证题过程中的数学思维、总结证题的基本规律是求解几何证明题的关键。在这里结合自己的教学经验,谈谈自己的一些方法与大家一起分享。 一要审题。很多学生在把一个题目读完后,还没有弄清楚题目讲的是什么意思,题目让你求证的是什么都不知道,这非常不可取。我们应该逐个条件的读,给的条件有什么用,在脑海中打个问号,再对应图形来对号入座,结论从什么地方入手去寻找,也在图中找到位置。 二要记。这里的记有两层意思。第一层意思是要标记,在读题的时候每个条件,你要在所给的图形中标记出来。如给出对边相等,就用边相等的符号来表示。第二层意思是要牢记,题目给出的条件不仅要标记,还要记在脑海中,做到不看题,就可以把题目复述出来。 三要引申。难度大一点的题目往往把一些条件隐藏起来,所以我们要会引申,那么这里的引申就需要平时的积累,平时在课堂上学的基本知识点掌握牢固,平时训练的一些特殊图形要熟记,在审题与记的时候要想到由这些条件你还可以得到哪些结论(就像电脑一下,你一点击开始立刻弹出对应的菜单),然后在图形旁边标注,虽然有些条件在证明时可能用不上,但是这样长期的积累,便于以后难题的学习。 四要分析综合法。分析综合法也就是要逆向推理,从题目要你证明的结论出发往回推理。看看结论是要证明角相等,还是边相等,等等,如证明角相等的方法有(1.对顶角相等 2.平行线里同位角相等、内错角相等3.余角、补角定理4.角平分线定义5.等腰三角形6.全等三角形的对应角等等方法。然后结合题意选出其中的一种方法,然后再考虑用这种方法证明还缺少哪些条件,把题目转换成证明其他的结论,通常缺少的条件会在第三步引申出的条件和题目中出现,这时再把这些条件综合在一起,很条理的写出证明过程。 五要归纳总结。很多同学把一个题做出来,长长的松了一口气,接下来去做其他的,这个也是不可取的,应该花上几分钟的时间,回过头来找找所用的定理、公理、定义,重新审视这个题,总结这个题的解题思路,往后出现同样类型的题该怎样入手。 以上是常见证明题的解题思路,当然有一些的题设计的很巧妙,往往需要我们在填加辅助线,分析已知、求证与图形,探索证明的思路。 对于证明题,有三种思考方式: (1)正向思维。对于一般简单的题目,我们正向思考,轻而易举可以做出,这里就不详细讲述了。 (2)逆向思维。顾名思义,就是从相反的方向思考问题。运用逆向思维解题,能使学生从不同角度,不同方向思考问题,探索解题方法,从而拓宽学生的解题思路。这种方法是推

平面几何证明题的一般思路及方法简述

平面几何证明题的一般思路及方法简述 【摘要】惠特霍斯曾说过,“一般地,解题之所以成功,在很大程度上依赖于选择一种最适宜的方法。”灵活、恰当地选择解题方法是求解平面几何问题的良好途径。解决任何一道平面几何证明题,都要应用这样或那样的方法,而选择哪一种方法,就取决于我们用什么样的解题思路。本文试对平面几何证明题中常用的几种解题思路及方法进行分析。 【关键词】平面几何证明题思路方法 平面几何难学,是很多初中生在学习中的共识,这里面包含了很多主观和客观因素,而学习不得法,没有适当的解题思路则是其中的一个重要原因。波利亚曾说过,“解题的成功要靠正确思路的选择,要靠从可以接近它的方向去攻击堡垒。为了辨别哪一条思路正确,哪一个方向可接近它,就要试探各种方向和思路。”由此可见,掌握证明题的一般思路、探索证题过程中的数学思维、总结证题的基本规律是求解几何证明题的关键。常见的证题思路有直接式思路和间接式思路。 一、直接式思路 证题时,首先应仔细审查题意,细心观察题目,分清条件和结论,并尽量挖掘题目中隐含的一些解题信息,以在缜密审题的基础上,根据定义、公式、定理进行一系列正面的逻辑推理,最后得出命题的证明,这种证题的思路被称为直接式思路。由于思维方式的逆顺,在证题时运用的方法主要有“分析法”和“综合法”。 1.分析法。分析法是从命题的结论入手,先承认它是正确的,执果索因,寻求结论正确的条件,这样一步逆而推之,直到与题设会合,于是就得出了由题设通往结论的思维过程。在由结论向已知条件的寻求追溯过程中,则由于题设条件的不同,或已知条件之间关系的隐含程度不同等,寻求追溯的形式会有一定差异,因而常把分析法分为以下四种类型。 (1)选择型分析法。选择型分析法解题,首先要从题目要求解的结论A出发,逐步把问题转化为分析要得出结论A需要哪些充分条件。假设有条件B,就有结论A,那么B就成为选择找到的使A成立的充分条件,然后再分析在什么条件下能选择得到B……最终追溯到命题中的某一题设条件。

高中立体几何证明垂直的专题训练

高中立体几何证明垂直的专题训练 深圳龙岗区东升学校—— 罗虎胜 立体几何中证明线面垂直或面面垂直都可转化为 线线垂直,而证明线线垂直一般有以下的一些方法: (1) 通过“平移”。 (2) 利用等腰三角形底边上的中线的性质。 (3) 利用勾股定理。 (4) 利用三角形全等或三角行相似。 (5) 利用直径所对的圆周角是直角,等等。 (1) 通过“平移”,根据若αα平面则平面且⊥⊥a b b a ,,// 1.在四棱锥P-ABCD 中,△PBC 为正三角形,AB ⊥平面PBC ,AB ∥CD ,AB= 2 1 DC ,中点为PD E .求证:AE ⊥平面PDC. 分析:取PC 的中点F ,易证AE//BF ,易证 B F ⊥平面PDC 2.如图,四棱锥P -ABCD ABCD ,∠PDA=45°,点E 为棱AB 的中点. 求证:平面PCE ⊥平面PCD ; 分析:取PC 的中点G ,易证EG//AF ,又易证A F 于是E G ⊥平面PCD,则平面PCE ⊥平面PCD 3 、如图所示,在四棱锥P ABCD -中, (第2题图)

AB PAD ⊥平面,//AB CD ,PD AD =,E 是PB 的中点,F 是CD 上的点,且 1 2 DF AB = ,PH 为PAD ?中AD 边上的高。 (1)证明:PH ABCD ⊥平面; (2)若121PH AD FC ===,,,求三棱锥E BCF -的体积; (3)证明:EF PAB ⊥平面. 分析:要证EF PAB ⊥平面,只要把FE 平移到DG ,也即是取AP 的中点G ,易证EF//GD, 易证D G ⊥平面PAB 4.如图所示, 四棱锥P -ABCD 底面是直角梯形 ,,2,BA AD CD AD CD AB PA ⊥⊥=⊥底面ABCD , E 为PC 的中点, P A =AD 。 证明: BE PDC ⊥平面; 分析:取PD 的中点F ,易证AF//BE, 易证A F ⊥平面PDC (2)利用等腰三角形底边上的中线的性质 5、在三棱锥P ABC -中,2AC BC ==,90ACB ∠=,AP BP AB ==, PC AC ⊥. (Ⅰ)求证:PC AB ⊥; (Ⅱ)求二面角B AP C --的大小; 6、如图,在三棱锥P ABC -中,⊿PAB 是等边三角形,∠P AC =∠PBC =90 o A C B P

立体几何证明方法总结

一、线线平行的证明方法: 1、利用平行四边形。 2、利用三角形或梯形的中位线。 3、如果一条直线与一个平面平行,经过这条直线的平面与这个平面相交,那么这条直线就与交线平行。 (线面平行的性质定理) 4、如果两个平行平面同时与第三个平面相交,那么它们的交线平行。(面面平行的性质定理) 5、如果两条直线垂直于同一个平面,那么这两条直线平行。(线面垂直的性质定理) 6、平行于同一条直线的两条直线平行。 7、夹在两个平行平面之间的平行线段相等。(需证明) 二、线面平行的证明方法: 1、定义法:直线与平面没有公共点。 2、如果平面外一条直线与这个平面内的一条直线平行,那么这条直线与这个平面平行。(线面平行的判定定理) 3、两个平面平行,其中一个平面内的任何一条直线必平行于另一个平面。 三、面面平行的证明方法: 1、定义法:两平面没有公共点。 2、如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面,那么这两个平面平行。(面面平行的判定定理) 3、平行于同一平面的两个平面平行。 4、经过平面外一点,有且只有一个平面与已知平面平行。 5、垂直于同一直线的两个平面平行。 四、线线垂直的证明方法: 1、勾股定理。 2、等腰三角形。 3、菱形对角线。

4、圆所对的圆周角就是直角。 5、点在线上的射影。 6、如果一条直线与一个平面垂直,那么这条直线就与这个平面内任意的直线都垂直。 7、在平面内的一条直线,如果与这个平面一条斜线的射影垂直,那么它也与这条斜线垂直。(三垂线定理,需证明) 8、在平面内的一条直线,如果与这个平面一条斜线垂直,那么它也与这条斜线的射影垂直。(三垂线逆定理,需证明) 9、如果两条平行线中的一条垂直于一条直线,则另一条也垂直于这条直线。 五、线面垂直的证明方法: 1、定义法:直线与平面内任意直线都垂直。 2、点在面内的射影。 3、如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直,那么这条直线垂直于这个平面。(线面垂直的判定定理) 4、如果两个平面互相垂直,那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面。(面面垂直的性质定理) 5、两条平行直线中的一条垂直于平面,则另一条也垂直于这个平面。 6、一条直线垂直于两平行平面中的一个平面,则必垂直于另一个平面。 7、两相交平面同时垂直于第三个平面,那么两平面交线垂直于第三个平面。 8、过一点,有且只有一条直线与已知平面垂直。 9、过一点,有且只有一个平面与已知直线垂直。 六、面面垂直的证明方法: 1、定义法:两个平面的二面角就是直二面角。 2、如果一个平面经过另一个平面的一条垂线,那么这两个平面互相垂直。(面面垂直的判定定理) 3、如果一个平面与另一个平面的垂线平行,那么这两个平面互相垂直。 4、如果一个平面与另一个平面的垂面平行,那么这两个平面互相垂直。

立体几何证明方法总结

一、线线平行的证明方法: 1、利用平行四边形。 2、利用三角形或梯形的中位线。 3、如果一条直线和一个平面平行,经过这条直线的平面和这个平面相交,那么这条直线就和交线平行。 (线面平行的性质定理) 4、如果两个平行平面同时和第三个平面相交,那么它们的交线平行。(面面平行的性质定理) 5、如果两条直线垂直于同一个平面,那么这两条直线平行。(线面垂直的性质定理) 6、平行于同一条直线的两条直线平行。 7、夹在两个平行平面之间的平行线段相等。(需证明) 二、线面平行的证明方法: 1、定义法:直线与平面没有公共点。 2、如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平

行,那么这条直线和这个平面平行。(线面平行的判定定理) 3、两个平面平行,其中一个平面内的任何一条直线必平行于另一个平面。 三、面面平行的证明方法: 1、定义法:两平面没有公共点。 2、如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面,那么这两个平面平行。(面面平行的判定定理) 3、平行于同一平面的两个平面平行。 4、经过平面外一点,有且只有一个平面和已知平面平行。 5、垂直于同一直线的两个平面平行。 四、线线垂直的证明方法: 1、勾股定理。 2、等腰三角形。

3、菱形对角线。 4、圆所对的圆周角是直角。 5、点在线上的射影。 6、如果一条直线和一个平面垂直,那么这条直线就和这个平面内任意的直线都垂直。 7、在平面内的一条直线,如果和这个平面一条斜线的射影垂直,那么它也和这条斜线垂直。(三垂线定理,需证明) 8、在平面内的一条直线,如果和这个平面一条斜线垂直,那么它也和这条斜线的射影垂直。(三垂线逆定理,需证明) 9、如果两条平行线中的一条垂直于一条直线,则另一条也垂直于这条直线。 五、线面垂直的证明方法: 1、定义法:直线与平面内任意直线都垂直。 2、点在面内的射影。

平面几何常用证明方法

平面几何常见证明方法 1,分析法 分析法是从命题的结论入手,先承认它是正确的,执果索因,寻求结论正确的条件,这样一步一步逆而推之,直到与题设会合,于是就得出了由题设通往结论的思维过程。 分析法主要应用与的几何问题特点主要是:从证明推理的时候出现多个方向,不知道哪个方向能够成功推导到结论,也就是说从正向推导比较迷茫的时候,比较适合用分析法来解决这些问题。 例1 如图2.1.1,四边形ABCD 的一条对角线BD 平行于两对边之交点的连线EF ,求证:AC 平分BD 。[1] 证明:设AC 交BD 于M ,交EF 于N 则 NF MD EN BM =,欲证MD BM = 作方向猜测,只需证NF EN =或 1==NF EN MD BM 即可。 但我们意识到这不容易证明, (图2.1.1) 再作方向猜测,欲证MD BM =,只需证明 BM MD MD BM =即可。而NF EN MD BM =,从而只需证NF EN BM MD =即可,又只需证NF BM EN MD =即可。而NF BM CN MC EN MD ==,故得证。 2 综合法 综合法则是由命题的题设条件入手,由因导果,通过一系列的正确推理,逐步靠近目标,最终获得结论。再从已知条件着手,根据已知的定义、公式、定理,逐步推导出结论。综合法和分析法有些不同的是分析法的思路从结论开始,综合法的思路从题设开始。 例2如图2.2.1设D 是ABC ?底边BC 上任一点, 则CD BD BC BD AC CD AB BC AD ??-?+?=?2 22。[1] 证明:在ADB ?和ABC ?中 BD AD AB BD AD ADB ?-+=∠2cos 2 22 BD AD AC CD AD ADC ?-+=∠2cos 2 22 由ADC ADB ∠-=∠cos cos ,所以 (图2.2.1) BD AD AC CD AD BD AD AB BD AD ?-+-=?-+222 22222

几何证明的基本方法1.

几何证明的基本方法 一.割补法: 1.(全等)如图,点E 是BC 中点,CDE BAE ∠=∠,求证:CD AB = (相似)如图,点E 是BC 上一点,EC k BE ?=,CDE BAE ∠=∠,猜想AB 、CD 的数量关系. 2. (全等)如图,在ABC ?中,?=∠90BAC ,AC AB =,BA CD //,点P 是BC 上一点,连结AP ,过点P 做AP PE ⊥交CD 于E . 探究PE 与PA 的数量关系. (相似)如图,在ABC ?中,?=∠90BAC ,AC k AB ?=,BA CD //,点P 是BC 上一点,连结AP ,过点P 做AP PE ⊥交CD 于E . 探究PE 与PA 的数量关系. --1--

3. (全等)如图,在ABC ?中,AC AB =,点D 在AB 上,点E 在AC 的延长线上,且CE BD =,DE 交BC 于点P . 探究PE 与PD 的数量关系. (相似)如图,在ABC ?中,AC k AB ?=,点D 在AB 上,点E 在AC 的延长线上,且CE BD =,DE 交BC 于点P . 探究PE 与PD 的数量关系. 4. (全等)如图,在ABC ?中,A ECB DBC ∠=∠=∠2 1,BD 、CE 交于点P . 探究BE 与CD 的数量关系. (相似)如图,在ABC ?中,A ECB DBC ∠=∠+∠,BD 、CE 交于点P ,PC k PB ?=. 探究BE 与CD 的数量关系. --2--

5.(全等)如图,在EBC ?中,BD 平分EBC ∠,延长DE 至点A ,使得ED EA =,且C ABE ∠=∠. 探究AB 与CD 的数量关系. (相似)如图,BD 平分EBC ∠,D '是BD 上一点,且D B k BD '?=,连结C D '、DE ,并延长DE 至点A ,使得ED EA =,且C ABE ∠=∠. 探究AB 与D C '的数量关系. 6.(全等)如图,在ABC ?中,?=∠90C ,BC AC =,P 为AB 的中点,PF PE ⊥分别交AC 、BC 于E 、F . 探究PE 、PF 的数量关系. (相似)如图,在ABC ?中,?=∠90C ,BC AC =,P 为AB 上一点,且PB k AP ?=,PF PE ⊥分别交AC 、BC 于E 、F . 探究PE 、PF 的数量关系. --3--

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