《非参数统计》与MATLAB编程 第八章 相关分析

第八章 相关分析

协方差

命令：C = cov(X)

当X为行或列向量时，它等于 var(X) 样本标准差。

X=1:15;cov(X)

ans =

20

>> var(X)

ans =

20

当X为矩阵时，此时X的每行为一次观察值，每列为一个变量。cov（X）为协方差矩阵,它是对称矩阵。

例：x=rand(100,3);c= cov(x)

c=

0.089672 -0.012641 -0.0055434

-0.012641 0.07928 0.012326

-0.0055434 0.012326 0.082203

c的对角线为：diag(c)

ans =

0.0897

0.0793

0.0822 它等于：var(x)

ans =

0.0897 0.0793 0.0822

sqrt(diag(cov(x)))

ans =

0.2995

0.2816

0.2867

它等于：std(x)

ans =

0.2995 0.2816 0.2867

命令：c = cov(x,y)

其中x和y是等长度的列向量（不是行向量），它等于cov([x y])或cov([x,y])

例：x=[1;4;9];y=[5;8;6];

>> c=cov(x,y)

c =

16.3333 1.1667

1.1667 2.3333

>> cov([x,y])

ans =

16.3333 1.1667 1.1667 2.3333

COV(X)、 COV(X,0)[两者相等] 或COV(X,Y)、COV(X,Y,0) [两者相等]，它们都是除以n-1，而COV(X,1) or COV(X,Y,1)是除以n

x=[1;4;9];y=[5;8;6];

>> cov(x,y,1)

ans =

10.8889 0.7778

0.7778 1.5556

它的对角线与var([x y],1) 相等

ans =

10.8889 1.5556

协差阵的代数计算：

[n,p] = size(X);

X = X - ones(n,1) * mean(X);

Y = X'*X/(n-1); Y为X的协差阵

相关系数（一）

命令：r=corrcoef(x)

x为矩阵，此时x的每行为一次观察值，每列为一个变量。

r为相关系数矩阵。它称为Pearson相关系数

例：x=rand(18,3);r=corrcoef(x)

r =

1.0000 0.1509 -0.2008

0.1509 1.0000 0.1142

-0.2008 0.1142 1.0000

r为对称矩阵，主对角阵为1

命令：r=corrcoef(x,y)

其中x和y是等长度的列向量（不是行向量），它等于cov([x

y])或cov([x,y])，或x和y是等长度的行向量，r=corrcoef(x,y)它则等于r=corrcoef(x’,y’),

r=corrcoef([x’,y’])

例：x=[1;4;9];y=[5;8;6]; corrcoef(x,y)

ans =

1.0000 0.1890 0.1890 1.0000 

yy x x yy x x 22rcorrcoef([x,y])

ans =

1.0000 0.1890

0.1890 1.0000

C = COV(X)

Rij =C(i,j)/SQRT(C(i,i)*C(j,j))

如：X=[1 2 7 4 ;5 12 7 8;9 17 11 17];

cov(X)

ans =

16.0000 30.0000 8.0000 26.0000

30.0000 58.3333 13.3333 46.6667

8.0000 13.3333 5.3333 14.6667

26.0000 46.6667 14.6667 44.3333

corrcoef(X)

ans =

1.0000 0.9820 0.8660 0.9762

0.9820 1.0000 0.7559 0.9177

0.8660 0.7559 1.0000 0.9538

0.9762 0.9177 0.9538 1.0000

则有：30/sqrt(16*58.3333)

ans =

0.9820

命令：[r,p]=corrcoef[….]

它还将返回p值，原假设是变量之间不相关。

例：

销售量x 430 335 520 490 470 210 195 270 400 480

气温y 30 21 35 42 37 20 8 17 35 25

x = [430 335 520 490 470 210 195 270

400 480];

y=[30 21 35 42 37 20 8 17

35 25];

[r,p]=corrcoef(x,y)

r =

1.0000 0.8594

0.8594 1.0000

p =

1.0000 0.0014

0.0014 1.0000 P矩阵主对角矩阵全为1，

当总体变量X和Y都服从正态分布，并且总体相关系数等于0时，有：

)2(~122ntrnrt

P矩阵的计算，即上例中0.0014的算法。

4.75408594.012108594.01222rnrt (1-tcdf(4.7540,8))*2 得：0.0014

在显著性水平0.05下，0.0014小于0.05，拒绝两总体不相关的原假设，即销售量与气温相关。

命令：[r,p,rlo,rup]=corrcoef(….)

rlo与rup是与r矩阵大小相同的矩阵，rlo为相关系数r的下限，rup为相关系数r的上限。在缺失情况下，置信度为95%。

例：x = [430 335 520 490 470 210 195

270 400 480];

y=[30 21 35 42 37 20 8 17

35 25]; [r,p,rlo,rup]=corrcoef(x,y)

r =

1.0000 0.8594

0.8594 1.0000

p =

1.0000 0.0014

0.0014 1.0000

rlo =

1.0000 0.5006

0.5006 1.0000

rup =

1.0000 0.9662

0.9662 1.0000

因此销售量与气温相关系数95%的置信区间为

[0.5006，0.9662]

如果要求99%的销售量与气温相关系数的置信区间：

[r,p,rlo,rup]=corrcoef(x,y,'alpha',0.01)

注意不是：[r,p,rlo,rup]=corrcoef(x,y,0.01)

r =

1.0000 0.8594

0.8594 1.0000

p = 1.0000 0.0014

0.0014 1.0000

rlo =

1.0000 0.3071

0.3071 1.0000

rup =

1.0000 0.9786

0.9786 1.0000

得销售量与气温相关系数99%的置信区间为

[0.3071，0.9786]比95%的置信区间[0.5006，0.9662]

更宽。

rlo和rup具体怎么算出来的还没弄明白。帮助文件是这样说的：

The confidence bounds are based on an asymptotic normal

distribution of 0.5*log((1+R)/(1-R)), with an

approximate variance equal to 1/(n-3).

命令：[...]=corrcoef(...,'param1',val1,'param2',val2,...)

例：[...]=corrcoef(...,'alpha',0.01) 是求在置信度为99%，求r置信区间。

[...]=corrcoef(...,'rows', 'all') 只计算两个变量（两列）所有观察值（所有行）都存在的两个变量。缺失情况下，就是用这种方法计算。

例：

x =[ 3 9 2 34

5 NaN 6 66

NaN 4 9 7

8 7 33 9

9 14 11 22]

[r,p,rlo,rup]=corrcoef(x,'rows', 'all')

r =

NaN NaN NaN NaN

NaN NaN NaN NaN

NaN NaN 1.0000 -0.5296

NaN NaN -0.5296 1.0000

p =

NaN NaN NaN NaN

NaN NaN NaN NaN

NaN NaN 1.0000 0.3587

NaN NaN 0.3587 1.0000

rlo =

NaN NaN NaN NaN

NaN NaN NaN NaN