微积分线性代数知识在matlab中的实现

第一章 微积分、线性代数的基础知识及其在Matlab中的实现

1．1 建模中常用微积分基础知识在Matlab中的实现

在数摸问题的计算中，经常要用到极限、导数、微分和积分等基本运算。利用数学软件Matlab可以使复杂的微积分运算变得很容易。本节介绍微积分的基本运算在计算机上如何实现，包括：微分、积分、极限、级数求和、方程求根以及Taylor展开等功能的实现方法。

下面是MATLAB中的基本符号运算函数（有关符号运算请参考附录A）：

1. x=sym(‘x’)

功能：创建一个符号变量x

2. syms x y z

功能：创建多个符号变量 x , y , z

3. r=collect(S,v)

功能：合并同类项，S是符号表达式,v是变量或表达式，R是合并同类项后的结果。

4. factor(S)

功能：符号计算的因式分解，X是待分解的符号多项式

5. expand(S)

功能：对符号多项式或函数S进行展开

6. r=simple(S) 或 r=simplify(S)

功能：对符号表达式S进行化简

7. subs(S,old,new)

功能：把符号变量中的变量old 用 new 代替，new 可以是一个符号，也可以是具体的数

8. vpa(S)

功能：对符号表达式S计算其任意精度的数值

9. eval(S)

功能：计算符号表达式（或字符串）S

1．1．1 导数、极值和积分、Talyor公式及在Matlab中的实现

一、极限运算

在MATLAB中，计算极限采用下面的命令：

命令 功能

limit(f,x,a) 计算)(limxfax

limit(f,x,inf) 计算)(limxfx

limit(f,x,a,’right’) 计算单侧极限)(limxfax

limit(f,x,a,’left’) 计算单侧极限)(limxfax

注意：在左右极限不相等或左右极限有一个不存在时，Matlab的默认状态是求右极限

例1 求极限xxx10)41(lim与极限xexx1lim0 解 Matlab命令为

syms x;

y1=(1+4*x)^(1/x); y2=(exp(x)-1)/x;

limit(y1,x,0)

ans= exp(4)

limit(y2,x,0)

ans= 1

例2 求极限)2(lim10xxx

解 syms x; y=sqrt(x)-2^(-1/x);

limit(y,x,0,’right’)

ans= 0

二、求导运算

导数是函数增量y与自变量增量x之比的极限（0x），即xxfxxfxf)()()(。在Matlab中求函数的导数及其他一些类似计算均由 diff 命令来完成。

1．一元函数的求导

命令形式1： diff(f)

功能：求函数f的一阶导数，其中f为符号函数。

命令形式2： diff(f,n)

功能：求函数f的n阶导数，其中f为符号函数。

例3 求函数 1533xx的二阶导数

解 Matlab的命令为

syms x ; f= 3*x^3+5*x+1 ;

diff(f,2) ;

ans= 18*x

例4 设1232xxy，求1'|xy

解 syms x ; y=3*x^2-2*x+1 ;

B=diff(y) , x=1 ;

eval(B)

运行结果为

B = 6*x – 2

ans = 4

2．多元函数的偏导数

将函数),(yxfz中的变量y看成常量而对变量x的导数称为二元函数),(yxf对变量x的偏导数，记为),(yxfx。若把x当作常量而对y求导的结果称为函数对y的偏导数，记为),(yxfy。求偏导的方法和一元函数的求导方法一样，只要把另一个变量看成常量即可。

命令形式1： diff(f,ix) 功能： 多函数f 对变量ix的一阶偏导。

命令形式2： diff(f,ix,n)

功能：多函数f 对变量ix的n阶偏导。

例5 求yxz2sin2关于x的偏导数

解 syms x y;

z= x^2*sin(2*y); B=diff(z,’x’);

运行结果为 B=2*x*sin(2*y)

3. 全微分、参数方程求导及隐函数求导

(1) 若函数),(yxfz在某点),(00yx的两个偏导数存在且连续，则函数在该点的全微分为

dyyxfdxyxfdzyx),(),(0000

Matlab中求函数全微分的命令为： diff(z,x)+diff(z,y)

(2) 对参数方程)()(tyytxx所确定的函数)(xfy，根据公式dtdxdtdydxdy，连续两次利用diff(f)命令就可以求出结果。

(3) 隐函数求导

方程0),(yxF所确定的隐函数)(xyy，则其导数yxFFdxdy；方程0),,(zyxF确定的隐函数),(yxzz，其导数为zxFFxz，zyFFyz。在Matlab中按照上述公式，分别求出函数的偏导再相除就可得到隐函数的导数。

三、积分运算

1．一元函数的不定积分

命令形式1： int(f)

功能： 求函数f对默认变量的不定积分，用于函数中只有一个变量的情况。

命令形式2：int(f,v)

功能：求符号函数f对变量v的不定积分。

例6 计算dxxx22cossin1

解 Matlab命令为

syms x ;

y=1/(sin(x)^2*cos(x)^2) ;

int(y)

ans = )sin(/)cos(*2))cos(*)/(sin(1xxxx pretty(int(y)) %把int(y)化简为常用的数学形式的表达式

结果为 xxxxsincos2)cos()sin(1

例7 求dzzx21

解 Matlab的命令为

syms x z ; B=int(x/(1+z^2),z) ;

B=x*atan(z)

2．一元函数的定积分

命令形式： int(f,x,a,b)

功能：用微积分基本公式计算定积分badxxf)(

例8 求22121)11(dxxx

解 Matlab的命令为

syms x ;

t=1+x-1/x; y=exp(x+1/x) ;

t=t*y ;

int(f,x,1/2,2) ;

ans = 3/2*exp(5/2)

3. 多重积分运算

命令 功能

int(int(f,y),x) 计算不定积分dyyxfdx),(

int(int(f,y,c,d),x,a,b) 计算定积分dcbadyyxfdx),(

注意：对于三重积分的运算和二重积分的形式一致。

例9 计算 10122)1(xxdxdyyxA

解 Matlab的命令为

syms x y

A=int(int(x^2+y^2+1,y,x,x+1),x,0,1) %求二重积分

A=5/2

四、函数的Taylor展开

命令形式1：taylor(f)

功能：将函数f展开成默认变量的6阶麦克劳林公式

命令形式2： taylor(f, n)

功能：将函数f展开成默认变量的n阶麦克劳林公式

命令形式3： taylor(f, n, v, a)

功能： 将函数f(v)在v=a处展开n阶泰勒公式 例10 将函数 21lnarctan)(xxxxf展开为x的6阶麦克劳林公式。

解 Matlab命令为

syms x ;

f=x*atan(x) – log(sqrt(1+x^2));

taylor(f)

ans = 1/2*x^2-1/12*x^4

例11 将函数21)(xxf展开为关于)2(x的最高次为4的幂级数。

解 Matlab 命令为

syms x ;

f = 1/x^2 ;

taylor(f, 4, x, 2) ; pretty(taylor(f, 4, x, 2)) ;

32)2(81)2(163)2(4143xxx

1．1．2 数值积分法及其在Matlab中的实现

用定积分的符号解法求定积分有时会失效，此时，可以用数值方法来计算定积分的值。Matlab提供了如下一些计算定积分值的数值方法。

一、用数值方法计算定积分

（1） 复合梯形公式

复合梯形公式用小梯形面积代替小曲边梯形的面积，然后求和以获得定积分的近似值。

命令形式：trapz(x,y)

功能：用复合梯形公式计算定积分，变量x是积分变量在被积区间上的分点向量，y为被积函数在x处对应的函数值向量。

（2）复合辛普生公式

本方法用抛物线代替小曲边梯形的曲边计算小面积，然后求和以获得定积分的近试值。

命令形式1：),,,,'('tracetolbafunquad

命令形式2：),,,,'('8tracetolbafunquad

式中fun式被积函数表达式字符串或者是M函数文件名，ba,积分的下限与上限，tol代表精度，可以缺省；缺省时，001.0tol。1trace 时用图形展示积分过程，0trace时无图形，默认值为0。命令形式2比命令形式`1精度高。

例11 用复合梯形公式和复合辛普生公式求dxxx522ln的积分值。

解 Matlab命令为

syms x ;

x=2:0.1:5 ;

);,();2./().log(yxtrapztxxy

ff = inline(‘log(x)./(x.^2)’,’x’) ;