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(完整word版)高等代数最重要的基本概念汇总

第一章基本概念

1.5 数环和数域

定义1 设S 是复数集C 的一个非空子集,如果对于S 中任意两个数a 、b 来说，a+b,a-b,ab

都在S 内，那么称S 是一个数环。

定义2 设F 是一个数环。如果

（i ）F 是一个不等于零的数；（ii ）如果a 、b ∈F,，并且b 0≠，

F b

∈，那么就称F 是一个数域。定理任何数域都包含有理数域，有理数域是最小的数域。

第二章多项式

2.1 一元多项式的定义和运算

定义1 数环R 上的一个文字的多项式或一元多项式指的是形式表达式

()1 2012n

n a a x a x a x ++++L ，

是非负整数而012,,,n a a a a L 都是R 中的数。

项式()1中，0a 叫作零次项或常数项，i

i a x 叫作一次项，一般，i a 叫作i 次项的系数。

定义2 若是数环R 上两个一元多项式()f x 和()g x 有完全相同的项，或者只差一些系数

为零的项，那么就说()f x 和()g x 就说是相等

()()f x g x =

定义3 n

n a x 叫作多项式2012n n a a x a x a x ++++L ，0n a ≠的最高次项，非负整数n 叫作

多项式2012n

n a a x a x a x ++++L ，0n a ≠的次数。

定理2.1.1 设()f x 和()g x 是数环R 上两个多项式，并且()0f x ≠，()0g x ≠，那么 ()i 当()()0f x g x +≠时， ()()()()()()()()0

max ,;f x g x f x g x ?

+≤??

()ii ()()()()()()()0

f x

g x f x g x ?

=?+?。

多项式的加法和乘法满足以下运算规则： 1）加法交换律：

()()()()f x g x g x f x +=+；

2）加法结合律：

()()()()()()()()f x g x h x f x g x h x ++=++；

3）乘法交换律：

()()()()f x g x g x f x =； 4）乘法结合律：

()()()()()()()()f x g x h x f x g x h x =；

5）乘法对加法的分配律：

()()()(

)

()()()()f x g x h x f x g x f x h x +=+。

推论2.1.1 ()()0f x g x = 当且仅当()f x 和()g x 中至少有一个是零多项式推论2.1.2 若()()()()f x g x f x h x =，且()0f x ≠，那么()()g x h x =

2.2 多项式的整除性

设F 是一个数域。[]f x 是F 上一元多项式环

定义令()f x 和()g x 是数域F 上多项式环[]f x 的两个多项式。如果存在[]f x 的多项式

()h x ，使()()()g x f x h x =，我们说，()f x 整除（能除尽）()g x 。

多项式整除的一些基本性质：

1）如果()()f x g x |，()()g x h x |，那么()()f x h x |

2）如果()()h x f x |，()()h x g x |，那么()()()()

h x f x g x |±

3）如果()()h x f x |，那么对于[]f x 中的任意多项式()g x 来说，()()()h x f x g x | 4）果()(),1,2,3,,,i h x f x i t |=L 那么对于[]f x 中任意()1,2,3,,,i g x i t ,=L ()()()()()()()()

1212i i h x f x g x f x g x f x g x |±±±L 5）次多项式，也就是F 中不等于零的数，整除任意多项式。

6）每一个多项式()f x 都能被()cf x 整除，这里c 是F 中任意一个不等于零的数。 7）如果()()f x g x |，()()g x f x |，那么()()f x cg x =，这里c 是F 中的一个不等于

零的数

设()f x ，()g x 是两个任意的多项式，并且()0g x ≠。那么()f x 可以写成以下形式

()()()()f x g x q x r x =+，这里()0r x =，或者()r x 的次数小于()g x 的次数。

定理2.2.1 设()f x 和()g x 是[]f x 的任意两个多项式，并且()0g x ≠。那么在[]f x 中

可以找到多项式()q x 和()r x ，使

（3）

()()()()

f x

g x q x r x =+

这里或者()0r x =，或者()r x 的次数小于()g x 的次数，满足以上条件的多项式

()()q x r x 和只有一对。

设数域F 含有数域F 而()f x 和()g x 是[]f x 的两个多项式，如果在[]f x 里()g x 不能整除()f x ，那么在[]F x 里()g x 也不能整除()f x 。

1）定义1 假定()h x 是()f x 和()g x 的任一公因式，那么由

2） ()()()()()()()()()()()

32112111,

k k k k k k k k k k r x r x q x r x r x r x q x r x r x r x q x -------+=+=+=

3）中的第一个等式，()h x 也一定能整除()1r x 。同理，由第二个等式，()h x 也一定能整

除()2r x 。如此逐步推下去，最后得出()h x 能整除()k r x ，这样，()k r x 的确是()f x 和()g x 的一个最大公因式，这种求最大公因式的方法叫做展转相除法。 4）定义 2 设以()g x x a =-除()1

110n

n n n f x a x a x

a x a --=++++L 时，所得的商

()121210

n n n n q x b x b x b x b ----=++++L 及余式

()0

r x c =，

比

较

()()()()

f x

g x q x r x =+两端同次幂的系数得1n n b a -=，211n n n b a ab ---=+，…

011b a ab =+，000c a ab =+，这种计算可以排成以下格式

()

2011

))))n n n

n n n n n n a a a a a a

ab ab ab ab b a b b b c -------++++=∣

L L L

5）用这种方法求商和余式（的系数）称为综合除法。

6） 2.3 多项式的最大公因式

7）设F 是一个数域。[]f x 是F 上一元多项式环

8）定义1 令设()f x 和()g x 是[]f x 的任意两个多项式，若是[]f x 的一个多项式()h x 同时整除()f x 和()g x ，那么()h x 叫作()f x 与()g x 的一个公因式。

9）定义2 设()d x 是多项式()f x 与()g x 的一个公因式。若是()d x 能被()f x 与()g x 的每一个公因式整除，那么()d x 叫作()f x 与()g x 的一个最大公因式。

10）定理2.3.1 []f x 的任意两个多项式()f x 与()g x 一定有最大公因式。除一个零次因

式外，()f x 与()g x 的最大公因式是唯一确定的，这就说，若()d x 是()f x 与()g x 的一个最大公因式，那么数域F 的任何一个不为零的数c 与()d x 的乘积c ()d x 也是

()f x 与()g x 的一个最大公因式；而且当()f x 与()g x 不完全为零时，只有这样的乘

积才是()f x 与()g x 的最大公因式。

11）从数域F 过度渡到数域F 时，()f x 与()g x 的最大公因式本质上没有改变。 12）定理2.3.2 若()d x 是[]f x 的多项式()f x 与()g x 的最大公因式，那么在[]f x 里可

以求得多项式()()u x x 和v ，使以下等式成立： 13）（2）()()()()()f x u x g x x d x +v =。

14）注意：定理2.3.2的逆命题不成立。例如，令()(),f x x g x x ==+1，那么以下等式成

立：()()()2

2221x x x x x x ++=+-+1-1但2

221x x +-显然不是()f x 与()g x 的最

大公因。

15）定义3 如果[]f x 的两个多项式除零次多项式外不在有其他的公因式，我们就说，这

两个多项式互素。

16）定理2.3.3 []f x 的两个多项式()f x 与()g x 互素的充要条件是：在[]f x 中可以求

得多项式()()u x x 和v ，使

17）（4） ()()()()1f x u x g x x +v =

18）从这个定理我们可以推出关于互素多项式的以下重要事实：

19）若多项式()f x 与()g x 都与多项式()h x 互素，那么乘积()()f x g x 也与()h x 互素。 20）若多项式()h x 整除多项式()f x 与()g x 的乘积，而()h x 与()f x 互素，那么()h x 一

定整除()g x 。

21）若多项式()g x 与()h x 都整除多项式()f x ，而()g x 与()h x 互素，那么乘积

()()g x h x 也整除()f x

最大公因式的定义可以推广到()2n n >个多项式的情形：

若是多项式()h x 整除多多项式()()()12,,,n f x f x f x L 中的每一个，那么()h x 叫作这n 个多项式的一个公因式。若是()()()12,,,n f x f x f x L 的公因式()d x 能被这n 个多项式的每一个公因式整除，那么()d x 叫作()()()12,,,n f x f x f x L 的一个最大公因式。若()0d x 是多项式()()()121,,,n f x f x f x -L 的一个最大公因式，那么()0d x 是多项式

()n f x 的最大公因式也是多项式()()()121,,,n f x f x f x -L 的最大公因式。

若多项式()()()12,,,n f x f x f x L 除零次多项式外，没有其他的公因式，就是说这一组多项式互素。

2.4 多项式的分解

定义1 []f x 的任何一个多项式()f x ，那么F 的任何不为零的元素c 都是()f x 的因式，

另一方面，c 与()f x 的乘积c ()f x 也总是()f x 的因式。我们把()f x 这样的因式叫作它的平凡因式，

定义2 令()f x 是[]f x 的一个次数大于零的多项式。若是()f x 在[]f x 只有平凡因式，

()f x 说是在数域F 上（或在[]f x 中）不可约。若()f x 除平凡因式外，在[]f x 中

还有其他因式，()f x 就说是在 F 上（或在[]f x 中）可约。

如果[]f x 的一个n （n>0）次多项式能够分解成[]f x 中两个次数小于n 的多项式

()()g x h x 与的乘积：

（1） ()()()f x g x h x =，那么()f x 在F 上可约。

若是()f x 在[]f x 中的任一个形如（1）的分解式总含有一个零次因式，那么()f x 在F

上不可约。

不可约多项式的一些重要性质：

1）如果多项式()p x 不可约，那么F 中任一不为零的元素c 与()p x 的乘积c ()p x 也不可

约。

2）设()p x 是一个不可约多项式而()f x 是一个任意多项式，那么或者()p x 与()f x 互

素，或者()p x 整除()f x 。

3）如果多项式()f x 与()g x 的乘积能被不可约多项式()p x 整除，那么至少有一个因式

被整除。

4）如果多项式()()()()12,,,2s f x f x f x s ≥L 的乘积能被不可约多项式()p x 整除，那么

至少有一个因式被()p x 整除。

定理2.4.1 []f x 的每一个n(n>0)次多项式()f x 都可以分解成[]f x 的不可约多项式的乘

积。

定理2.4.2 令()f x 是[]f x 的一个次数大于零的多项式，并且 ()()()()()()()1212r s f x p x p x p x q x q x q x ==L L

此处i c 与()()1,2,,,1,2,,j q x i r j s ==L L 都是[]f x 的不可约多项式，那么

r s =，并且适当调换()j q x 的次序后可使()()(),1,2,,,

j i i q x c x p x i r ==L 此处()i c x 是F 上的不为零的元素。换句话说，如果不计零次因式的差异，多项式()f x 分解成不可约因式乘积的分解式是唯一的。

形如

()()

()()1

212k k kt

t f x ap x p x p x =L 的多项式叫作多项()f x 的典型分解式，每一个

典型分解式都是唯一确定的。

2.5 重因式

定义 []f x 的多项式

()0122n

n f x a a x a x a x =++++L

的导数或一阶导数指的是[]f x 的多项式()1

122n n f x a a x na x

-'=+++L

一阶导数()f x '的导数叫作()f x 的二阶导数，记作()f x ''，()f x ''的导数叫作()f x 的

三阶导数，记作()f x '''，等等。()f x 的k 阶导数也记作()

()k f x 。

关于和与积的导数公式仍然成立：

（1） ()()()()f x g x f x g x ''+=+????

（2） ()()()()()()f x g x f x g x g x f x '''=+????

（3） ()()()1

k k f x kf x f x -''??=??

定理2.5.1 设()p x 是多项式()f x 的一个()1k k ≥重因式。那么()p x 是()f x 的导数的一个k-1重因式。

定理2.5.2 多项式()f x 没有重因式的充要条件是()f x 与它的导数()f x '互素。

2.6 多项式函数多项式的根

设给定了1∈R 的一个多项式

()2

012n

n f x a a x a x a x =++++L

和一个数c ∈R,那么在()f x 的表示式里，把x 用c 来代替，就得到R 的一个数

2012n

n a a c a c a c ++++L

这个数叫作当x c =时，()f x 的值，并且用()f c 来表示。对于R 上的每一个数c ，就有 R 中唯一确定的数()f c 与它对应。就得到R 与R 的一个影射。这个影射是由多项式()f x 所确定的，叫作R 上的一个多项式函数。

定理2.6.1 设()[],f x R x c R ∈∈，用x c -除()f x 所得的余式等于当x c =时()f x 的值

()f c

定义令()f x 是[]R x 的一个多项式而c 是R 中的一个数，若是当x c =时()f x 的值

()0f c =，那么c 叫作()f x 在数环R 中的一个根。

定理2.6.2 数c 是()f x 的根的充要条件是()f x 能被x c -整除。

定理2.6.3 设x c -是[]R x 中一个0n ≥次多项式。那么()f x 在R 中至多有n 个不同的根。定理2.6.4 设()()f x g x 与是[]R x 的两个多项式，它们的次数都不大于n 。若是以R 中

n+1个或更多不同的数来代替x 时，每次所得()()f x g x 与的值都相等，那么

()()f x g x =。

定理2.6.5 []R x 的两个多项式()()f x g x 与相等，当且仅当她们所定义的R 上多项式函

数相等。

()()()()()

()()()()

111111111n i i i n i i i i i i n b x a x a x a x a f x a a a a a a a a +-++=-++----=----∑L L L L

这个公式叫作拉格朗日(Lagrange)插值公式。

2.7 复数和实数域上多项式

定理2.7.1 （代数基本定理）任何()0n n >次多项式在复数域中至少有一个根。定理2.7.2 任何()0n n >次多项式在复数域中有n 个根（按重根重数计算）。

复数域C 上任一()0n n >次多项式可以在[]C x 里分解为一次因式的乘积。负数域上任一次大于1的多项式都是可约的。

定理2.7.6 若实数多项式()f x 有一个非实的复数根α，那么的共轭数α也是()f x 的根，

并且αα与有同一重数。换句话说，实系数多项式的非实的非实的复数根两两

成对。

定理2.7.4 实数域上不可约多项式，除一次多项式外，只含非实共轭复数根的二次多项式。定理2.7.5 每一个次数大于0的实系数多项式都可以分解为实系数的一次和二次不可约因

式的乘积。

2.8 有理数域上多项式

令()f x 是整数环Z 上的一个()0n >次多项式。如果存在()()(),g x h x Z x ∈????，它们

的次数都小于n ，使得()()()f x g x h x =，（1）

那么()()()f x g x h x 、、自然可以看成有理数域Q 上的多项式。等式（1）表明，()f x 在

[]Q x 中是可约的。

定义若是一个整系数多项式()f x 的系数互素，那么()f x 叫作一个原本多项式。引理2.8.1 两个原本多项式的乘积仍然是一个原本多项式。

定理2.8.1 若是一个整系数()0n >次多项式()f x 在有理数域上可约，那么()f x 总可以分解成次数都小于n 的两个整系数多项式的乘积。定理2.8.2 （艾森斯坦（Eisenstein ）判别法）设 ()2

012n

n f x a a x a x a x =++++L

是一个整系数多项式。若是能够找到一个素数p ，使得（i ）最高次项系数n a 不能被p 整除；（ii ）其余各项都能被p 整除；（iii ）常数项0a 不能被2

p 整除，那么多项式()f x 在有理数域上不可约。有理数域上任意次的不可约多项式都存在。

定理2.8.3 设()101n n n f x a x a x a -=+++L 是一个整系数多项式。若是有理数

是()f x 的一个根，这里u 和v 是互素的整数，那么

（i ）v 整除()f x 的最高次项系数0a ，而u 整除()f x 的常数项n a ；（ii ）()()u f x x q x v ??

???

，这里()q x 是一个整系数多项式。 2.9 多元多项式

在这一节里，R 总表示一个数环，且1R ∈

令123,,,,n x x x x L 是n 个文字，形如1212k k kn

n ax x x L 的表示式。其中12,,,n a R k k k ∈L 是

非负整数，叫作R 上12,,,n x x x L 的一个单项式。数a 叫作这个单项式的系数，如果某一

0i k =，那么ki

i x 可以不写，约定1

11111

ki ki ki ki i i i i k kn

k kn i n n ax

x x x x ax x x x -+-+-+-+=L L L L 。

因此，()m m n <个文字的单项式总可以看成n 个文字的单项式。特别，当

1230n k k k k ====L 时，我们有00012

n ax x x a R =∈L 。形式表达式11121212221211

21212,k k k n k k k n ks ks ksn

n n s n i a x x

x a x x x a x x x a R +++∈L L L L ，ij k 是

非负整数()1,2,3,,;1,2,,i s j n ==L L ，叫作R 上n 个文字123,,,,n x x x x L 的一个多项式，或简称R 上一个n 元多项式。

我们通常用符号()12,,,n f x x x L ，()12,,,n g x x x L 等来表示R 上n 个文字

123,,,,n x x x x L 的多项式。

定理2.9.1 数环R 上的两个n 元多项式()12,,,n f x x x L 与()12,,,n g x x x L 的乘积是首项等于这两个多项式首项的乘积。特别，两个非零多项式的乘积也不等于零。定理2.9.2 数环R 上两个不等于零的n 元多项式的乘积的次数等于这两个多项式次数的和。定理 2.9.3 设()12,,,n f x x x L 是数环R 上的一个n 元多项式，如果对于任意

()12,,n n c c c R ∈L 都有()12,,0n f c c c =L ，那么()12,,,0n f x x x =L

推论2.9.1 设()12,,,n f x x x L 与()12,,,n g x x x L 是数环R 上n 元多项式，如果对于任意

()12,,n

n c c c R ∈L 都有

()()

1212,,,,n n f c c c g c c c =L L ，那么

()()1212,,,,,.n n f x x x g c c c =L L 换句话说，如果由()12,,,n f x x x L 与()12,,,n g x x x L 确定的多项式函数f g 与相等，那么这两个多项式相等。

2.10 对称多项式

定义 1 设()12,,,n f x x x L 是数环R 上的一个n 元多项式，如果对于这n 个文字

123,,,,n x x x x L 的指标集{}1,2,,n L 施行任意一个置换后，()

12,,,n f x x x L 都不改变，那么就称()12,,,n f x x x L 是R 上一个n 元对称多项式。

定义2 （1）

11211222312,n n n n n n n

x x x x x x x x x x x x x σσ---=+++=L L L L L ，这里k σ表

示 123,,,,n x x x x L 中k 个所作的一切可能乘积的和，这样的n 个多项式显然都是n 元对称多项式。我们称这n 个多项式12,,,n σσσL 为n 元对等对称多项式。

引理2.10.1 设()12

121212

,,,n

n i i i n i i i n

f x x x a

x x x =

∑L L L 是数环R 上一个n 元对称多项式，以i σ代替i x ，1i n ≤≤，得到关于12,,,n σσσL 的一个多项式

()12

121212,,,n n i i i n i i i n

f a σσσσσσ=∑L L L 。如果()12,,,0n f σσσ=L ，那么一切系数120n i i i a =L ，即()12,,,0n f x x x =L

定理2.10.1 数环R 上一n 元对称多项式()12,,,n f x x x L 都可以表示成初等对称多项式

12,,,n σσσL 的系数在R 中的多项式，并且这种表示法是唯一的。

推论 2.10.1 设()f x 是数域F 上的一个一元n 次多项式，它的最高次项系数是1。令

12,,,n σσσL 是()f x 是复数域内的全部根（按重根重数计算）。那么12,,,n σσσL 的每一个系数取自F 的对称多项式都是()f x 的系数的多项式

（它的系数在F 内）因而是F 的一个数。

第三章行列式

3.2 排列

定义1 n 个数码1，2，…，n 的一个排列指的是由这n 个数码组成的一个有序组，叫做数码

的排列。

定义2 一般的在一个排列里，如果某一个较大的数码排在一个较小的数码前面，就说这两

个数码构成一个反序，在一个排列里出现的反序总数的总和叫做这个排列的反序数（逆序数）。

一个排列的逆序数可能是偶数也可能是奇数，有偶数个逆序数的排列叫作一个偶排列；有奇

数个逆序数的排列叫作一个奇排列。定义3 如果把这个排列里任意两个数码i j 与交换一下，而其余的数码保持不动，那么就得

到一个新的排列，对于排列所施行的这样一个变换叫作一个对换，并且用符号

(),i j 来表示。

定理3.2.1 设12n i i i L 和12n j j j L 是n 个数码的任意两个排列，那么总可以通过一系列对

换由12n i i i L 得出12n j j j L 。

定理3.2.2 每一个对换都改变排列的奇偶性。

定理3.2.3 2n ≥时，n 个数码的奇排列与偶排列的个数相等，各为

n !

个。 3.3 n 阶行列式

我们用符号()12n j j j τL 来表示排列12n j j j L 的逆序数。定义1 用符号

111212122212n n n n nn

a a a a a a a a a L L M M M L

表示的n 阶行列式指的是n !项的代数和，这些项是一切可能取自

1212221

2n n

n n nn

a a a a a a a a a L

L M M M L

的不同的行与不同的列上的n 个元素的乘积。项1212n j j n j a a a L 的符号为

()

121n j j j τ-L ，也就是说，当

12n j j j L 是偶排列时，这一项的符号为正，当12n

j j j L

是奇排列时，这一项的符号为负。定义2 n 阶行列式

111212122212n n n n nn a a a a a a D a a a =

L L M M M L

如果把D 的行变为列，就得到一个新的行列式

1121112

22212n n n n nn

a a a a a a D a a a '=

L L

M M M L

D '叫作D 的转置行列式。

引理 3.3.1 从n 阶行列式的第

12,,,n

i i i L 行和12,,,n j j j L 列取出的元素作积

1122n n i j i j i j a a a L ，这里12,,,n i i i L 和12,,,n j j j L 都是1，2，…，n 这n 个数码

的排列，那么这一项在行列式中的符号是

()()()12121,,s t

n n s i i i t j j j ττ+-==L L

命题3.3.1 行列式与它的转置行列式相等。命题3.3.2 交换一个行列式的两行（或两列），行列式改变符号。

推论3.3.1 如果一个行列式有两行（列）完全相同，那么这个行列式等于零。

命题3.3.3 把一个行列式的某一行（列）的所有元素同乘以某一个数k ，等于以数k 乘以这

个行列式。

推论3.3.2 一个行列式中某一行（列）所有元素的公因子可以提到行列式的符号外边。推论3.3.3 如果一个行列式中有一行（列）的元素全是零，那么这个行列式等于零。推论3.3.4 如果一个行列式有两行（列）的对应元素成比例，那么这个行列式等于零。命题 3.3.4 设行列式D 的第i 行的所有元素都可以表示成两项的和：

1112111221

n i i i i in in n n nn

a a a D

c b c b c a a a =+++L M M

M L

M M M L 那么D 等于两个行列式12D D 与的和，其中1D 的第i 行的元素是

12,,i i in b b b L ，2D 的第i 行元素是12,,,i i in c c c L ，而12D D 与的其他各行都

和D 的一样。

命题3.3.5 把行列式的某一行（列）的元素乘以同一数后加到另一行（列）的对应元素上，行列式不变。

3.4 子式和代数余子式行列式的依行列展开

定义1 在一个n 阶行列式D 中任意取定k 行和k 列。位于这些行列式的相交处的元素所构

成的k 阶行列式叫作行列式D 的一个k 阶子式。定义2 ()1n n >阶行列式

11111

1j n i ij in n nj nn

a a a a a a D a a a =L M M

M L M M M L

的某一元素ij a 的余子式ij M 指的是在D 中划去ij a 所在的行和列后所余下的1n -阶子式。定义3 n 阶行列式D 的元素ij a 的余子式ij M 附以符号()

1i j

+-后,叫作元素ij a 的代数余子

式。元素ij a 的代数余子式用符号ij A 来表示：()

1i j

ij i j A M ++=-。

定理3.4.1 若在一个n 阶行列式

11111

1j n i ij in n nj nn

a a a a a a D a a a =L L M

M M L

L M M M L

中，第i 行（或第j 列）的元素除ij a 都是零，那么这个行列式等于ij a 与它的代数余子式ij

A 的乘积： ij i j D a A =

定理3.4.2 行列式D 等于它任意一行（列）的所有元素与它们对应代数余子式的乘积的和。

换句话说，行列式有依行或依列展开式：

()

11221,2,,i i i i in in

D a A a A a A i n =+++=L L ()

11221,2,,j j j j jn jn

D a A a A a A j n =+++=L L

定理3.4.3 行列式

11121121212jn n i i in j j n n nn

a a a a a a D a a a a a a =L M M M L

M M

M L

M M M L

的某一行(或列)的元素与另一行(列)的对应元素的代数余子式的乘积的和等于

零。换句话说，

()11220i i i i in in a A a A a A i j +++=≠L ， ()11220s t s t ns nt a A a A a A s t +++=≠L

3.5 克拉默法则

设给定了一个含有n 个未知量n 个方程的线性方程组

11112211211222221122n n n n n n nn n n

a x a x a x

b a x a x a x b a x a x a x b +++=+++=+++=L L L L L L

L ()1

利用()1的系数可以构成一个n 阶行列式

111212122212n n n n nn

a a a a a a D a a a =

M M M L

，

这个行列式叫作方程组()1的行列式。

定理3.5.1 （克拉默Cramer ）法则)一个含有n 个未知量的n 个方程的线性方程组()1当它

的行列式0D ≠时，有且仅有一个解1212,,,n n D D D

x x x D D D

==L ，此处的j D 是把行列式的第j 列的元素换以方程组的常数项12,,,n b b b L 而得到的n 阶

行列式。

第四章线性方程组

4.1 消元法

定义我们对线性方程组施行这三个初等变换：

(i) 交换两个方程的位置；

(ii) 用一个不等于零的数乘以某个方程；

(iii) 用一个数乘以某个方程后加到另一个方程；叫作线性方程组的初等变换。

定理4.1.1 初等变换把一个线性方程组变为与它同解的线性方程组。定义1 由st 个数ij c 排成的一个s 行和t 列的表

111212122212n n n n nn

c c c c c c c c c L L M M M L

叫作一个s 行t 列（或s t ?）矩阵。ij c 叫作这个矩阵的元素。定义2 矩阵的行（或列）初等变换指的是对一个矩阵施行的下列变换：

（i ）交换矩阵的两行（或列）；

（ii ）用一个不等于零的数乘以矩阵的某一行（列），即用一个不等于零的数乘以矩阵的某一行（列）的每一个元素；

（iii ）用某一个数乘以矩阵的某一行（列）后加到另一行（列），即用某一数乘以矩阵的某一行（列）的每一个元素后加到另一行（列）的对应元素上。

定理4.1.2 设A 是一个m 行n 列的矩阵：

1112121

22212n n m m mn a a a a a a A a a a ?? ? ?

= ?

???

L L M M M L

通过行初等变换和第一种列初等变换能把A 化为以下形式：

行 1*****01****0

001**00000*000000?? ? ? ?

? ? ? ? ? ??

L L L L M M M M M M L L L L M M M M M M L

进而化为以下形式：

1,112,12,11

000010000010000000000

0r n r n r r rn c c c c c c +++?? ? ? ? ? ? ? ? ? ??

L L L L M M M M M M L L

L L

M M M M M M L

L 这里0,,,*r r m r n ≥≤≤表示矩阵的元素，但不同的位置上*的表示的元素未必

相同。

4.2 矩阵的秩线性方程组可解的判别法

定义1 在一个s 行t 列的矩阵中，任意取k 行k 列(),k s k t ≤≤。位于这些行列式的交点处的元素（不改变元素的相对位置）所构成的k 阶行列式叫作这个矩阵的一个k 阶子式。

定义2 一个矩阵中不等于零的子式的最大阶数叫作这个矩阵的秩。若一个矩阵没有不等于

领的子式，就认为这个矩阵的秩是；零。

定理4.2.1 初等变换不改变矩镇的秩。

定理4.2.2 （线性方程组可解的判别法）线性方程组()1有解的充要条件是：它的系数矩阵

和增广矩阵有相同的秩。

定理4.2.3 设线性方程组()1的系数矩阵和增广矩阵有相同的秩r ，那么r 等于方程组所含

有未知量的个数n 时，方程组有唯一解；当r n <时，方程组有无穷多个解。

4.3 线性方程组的公解

定理4.3.1 设方程组()1有解，它的系数矩阵A 和增广矩阵A 共同秩是0r ≠。那么可以在

()1的m 个方程中选出r 个方程，使得剩下的m r -个方程中的每一个都是这r

个方程的结果，因而解方程组()1可以归结为解这r 个方程所组成的线性方程

组。

定义3 若是一个线性方程组的常数项等于零，那么这个方程组叫作一个齐次线性方程组。定理4.3.2 一个齐次线性方程组有非零解的充要条件是：它的系数矩阵的秩r 小于它的未

知量的个数n 。

推论4.3.1 含有n 个未知量的n 个方程的齐次线性方程组有非零解的充要条件是：方程组

的系数行列式等于零。

4.3.2 若在一个齐次线性方程组中，方程的个数m 小于未知量的个数n ，那么这个方程组

一定有非零解。

4.4 结式和判别式

定理4.4.1 如果多项式

()()1

010m

m m f x a x a x

a m -=+++>L ，

()()1010n n n g x b x b x b n -=+++>L 有公共根，或者000a b ==，那么它们的结式等于零。

定理4.4.2 设

()()1

010m

m m f x a x a x

a m -=+++>L

()()1

010n

n n g x b x b x

b n -=+++>L

是复数域C 上多项式。(),R f g 是它们的结式。

（i ）如果00a ≠，而12,,,m C ααα∈L 是

()f x 的全部根，那么

()()()()012,;n m R f g a g g g ααα=L ()1

（ii ）

如果00b ≠，而12,,,n C βββ∈L 是()g x 的全部根，那么

()()()()()012,1nm

m n R f g b f f f βββ=-L 。 ()2

定理4.4.3 如果多项式()()f x g x 与的结式等于零，那么或者它们的最高次项系数都等于

零，或者这两个多项式有公共根。

第五章矩阵

5.1 矩阵的运算

定义令F 是一个数域。用F 的元素ij a 作成的一个m 行n 列的矩阵

1112121

22212n n m m mn a a a a a a D a a a ?? ? ?

= ?

???

L L M M M L 叫作一个F 上的矩阵。A 也简记作()

ij a ，为了指明A 的行数和列数，有时也把它

记作mn A a mn 或。

定义1 数域F 上的一个m n ?矩阵ij A a =的乘积aA 指的是m n ?矩阵()

ij aa 。求数与矩阵的乘积的运算叫作数与矩阵的乘法。

定义2 两个m n ?矩阵ij A a =，ij B b =的和A+B 指的是m n ?矩阵()

ij ij a b +。求两个矩阵的和的运算叫作矩阵的加法。

注意：我们只能把行数相同，列数相同的两个矩阵相加。以上两种运算的一个重要的特例是数列的运算

我们把由F 的n 个数所组成的数列12,,,n a a a L 叫作F 上的一个n 元数列。这样的一个n 元

素列可以理解为一个一行n 列矩阵()12,,,n a a a L ，也可以理解为一个n 行一列矩阵12n a a a ??

? ? ? ???

M ，这样，作为以上定义的矩阵运算的特例，就得到F 的数与n 元数列的乘法以及两个n 元数

列的加法：()()1212,,,,,,n n a a a a aa aa aa =L L ，

()()()

12121212,,,,,,,,,,,,n n n n a a a b b b a a a b b b +=+L L L L

由定义1和定义2，得出以下运算规律：

A+B=B+A; (A+B)+C=A+(B+C);

0+A=A; A+(-)A=0 a(A+B)= aA+Bb ； (a+b)A= aA+Ab; A(Ba)=(ab)A;

这里A ，B ，和C 表示任意m n ?矩阵，而a 和b 表示F 中的任意数。利用负矩阵我们定义矩阵的减法：

A-B=A+（-B ），

于是有 A B C A C B +=?=-。

定义3 数域F 上m n ?的矩阵()

ij A a =与n p ?矩阵()ij B b =的乘积AB 指的是这样的一

个m n ?矩阵，这个矩阵的第i 行和第列()1,2,,,1,2,,i m j p ==L L 的元素ij c 等于A 的第i 行的元素与B 的第j 列的对应元素的乘积的和：

1122ij i j i j in nj c a b a b a b =+++L

这个乘法可以图示如下：

矩阵乘法满足结合律：

（AB ）C=A （BC ）

定义我们把主对角线（从左上脚到右下脚的对角线）上元素都是1，而其他元素都是0的

n 阶方阵

1000100

01?? ? ?

? ???

L M M M L

叫作n 阶单位矩阵，记作n I ，有时简记作I 。

I 有以下性质：

,n np np mn n mn I A A A I A == 矩阵的乘法和加法满足分配律：

()A B C AB AC +=+，()B C A BA CA +=+。矩阵的乘法和数与矩阵的乘法显然满足以下运算规律： ()()()a AB aA B A aB ==。定义4 设m n ?矩阵

111212122212n n m m mn a a a a a a A a a a ??

? ?

???L L M M M L

把A 的行变为列所得到的m n ?矩阵

1112121

22212m m T n n mn a a a a a a A a a a ?? ? ?

= ?

???

L L M M M L

叫作矩阵A 的转置。矩阵的转置满足以下规律：

()()()(),

T T

T T T

T A A A B A B AB B A aA aA =+=+==

5.2 可逆矩阵矩阵乘积的行列式

定义令A 是数域F 上的一个n 阶矩阵，若是存在F 上的一个n 阶矩阵B ，使得

AB BA I ==，那么叫作一个可逆矩阵（或非奇异矩阵）

，而B 叫作A 的逆矩阵。定义我们把以下三种矩阵叫作初等矩阵：

1101

111

011ij i i P ??

? ? ? ?

? ? ?

? ? ? ? ??

O L

M O

O 第列第j 列第行；

第j 行 ()()110;11i i D k k i k ??

? ? ?

=≠

? ? ? ? ??

O O

第列第行()()110;11i D k k i k ??

? ? ?

=≠

? ? ? ? ??

O O

第行 ()1

111ij i j k i T k ??

? ?

? ? ? ? ??

O L O

第列第列第行

初等矩阵都是可逆的，并且它们的逆矩仍然是初等矩阵。

高等数学基本知识

一、函数与极限 1、集合的概念一般地我们把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫集合（简称集）。集合具有确定性（给定集合的元素必须是确定的）和互异性（给定集合中的元素是互不相同的）。比如“身材较高的人”不能构成集合，因为它的元素不是确定的。我们通常用大字拉丁字母A、B、C、……表示集合，用小写拉丁字母a、b、c……表示集合中的元素。如果a是集合A中的元素，就说a属于A，记作：a∈A，否则就说a不属于A，记作：a A。 ⑴、全体非负整数组成的集合叫做非负整数集（或自然数集）。记作N ⑵、所有正整数组成的集合叫做正整数集。记作N+或N+。 ⑶、全体整数组成的集合叫做整数集。记作Z。 ⑷、全体有理数组成的集合叫做有理数集。记作Q。 ⑸、全体实数组成的集合叫做实数集。记作R。集合的表示方法 ⑴、列举法：把集合的元素一一列举出来，并用“｛｝”括起来表示集合 ⑵、描述法：用集合所有元素的共同特征来表示集合。集合间的基本关系 ⑴、子集：一般地，对于两个集合A、B，如果集合A中的任意一个元素都是集合B的元素，我们就说A、B有包含关系，称集合A为集合B的子集，记作A B（或B A）。。 ⑵相等：如何集合A是集合B的子集，且集合B是集合A的子集，此时集合A中的元素与集合B中的元素完全一样，因此集合A与集合B相等，记作A＝B。 ⑶、真子集：如何集合A是集合B的子集，但存在一个元素属于B但不属于A，我们称集合A是集合B的真子集。 ⑷、空集：我们把不含任何元素的集合叫做空集。记作，并规定，空集是任何集合的子集。 ⑸、由上述集合之间的基本关系，可以得到下面的结论： ①、任何一个集合是它本身的子集。即A A ②、对于集合A、B、C，如果A是B的子集，B是C的子集，则A是C的子集。 ③、我们可以把相等的集合叫做“等集”，这样的话子集包括“真子集”和“等集”。集合的基本运算 ⑴、并集：一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合称为A与B的并集。记作A ∪B。（在求并集时，它们的公共元素在并集中只能出现一次。）即A∪B＝｛x|x∈A，或x∈B｝。 ⑵、交集：一般地，由所有属于集合A且属于集合B的元素组成的集合称为A与B的交集。记作A ∩B。即A∩B＝｛x|x∈A，且x∈B｝。 ⑶、补集： ①全集：一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中所涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集。通常记作U。

高等数学第9章参考答案

第八章多元函数的微分法及其应用 § 1 多元函数概念一、设]),,([:,),(,),(22222y y x f y x y x y x y x f ??求-=+=. 二、求下列函数的定义域： 1、2 221) 1(),(y x y x y x f ---= 222{(,)|(,)R ,1};x y x y y x ∈+≠ 2、x y z arcsin = };0,|),{(≠≤x x y y x 三、求下列极限： 1、22 2)0,0(),(sin lim y x y x y x +→ （0） 2、 x y x x y 3)2,(),()1(lim +∞→ (6e ) 四、证明极限 24 2)0,0(),(lim y x y x y x +→不存在. 证明：当沿着x 轴趋于（0，0）时，极限为零，当沿着2 x y =趋于（0，0）时，极限为2 1 , 二者不相等，所以极限不存在五、证明函数?? ??? =≠+=)0,0(),(,0)0,0(),(,1sin ),(22 y x y x y x xy y x f 在整个xoy 面上连续。证明：当)0,0(),(≠y x 时，为初等函数，连续),(y x f 。当)0,0(),(=y x 时， )0,0(01 sin lim 2 2)0,0(),(f y x xy y x ==+→，所以函数在（0，0）也连续。所以函数在整个xoy 面上连续。六、设)(2y x f y x z +++=且当y=0时2x z =，求f(x)及z 的表达式. 解：f(x)=x x -2，z y xy y x -++=2222 § 2 偏导数 1、设z=x y x e x y + ,验证 z xy +=??+??y z y x z x 证明：x y x y x y e x ,e x y e y +=??-+=??y z x z ，∴z xy xe xy xy x y +=++=??+??y z y x z x 4 2244222222)()),,((y y x x y y x y y x f +-=+-=?答案：

高等数学基本知识点大全

高等数学基本知识点

一、函数与极限 1、集合的概念 ⑴、全体非负整数组成的集合叫做非负整数集（或自然数集）。记作N ⑵、所有正整数组成的集合叫做正整数集。记作N+或N+。 ⑶、全体整数组成的集合叫做整数集。记作Z。 ⑷、全体有理数组成的集合叫做有理数集。记作Q。 ⑸、全体实数组成的集合叫做实数集。记作R。 ⑶、邻域：设α与δ是两个实数，且δ＞0.满足不等式│x-α│＜δ的实数x的全体称为点α的δ邻域，点α称为此邻域的中心，δ称为此邻域的半径。 2、函数 ⑴、函数的定义：如果当变量x在其变化范围内任意取定一个数值时，量y按照一定的法则f总有确定的数值与它对应，则称y是x的函数。变量x的变化范围叫做这个函数的定义域。通常x叫做自变量，y 叫做函数值（或因变量），变量y的变化范围叫做这个函数的值域。注：为了表明y是x的函数，我们用记号y=f(x)、y=F(x)等等来表示。这里的字母"f"、"F"表示y与x之间的对应法则即函数关系,它们是可以任意采用不同的字母来表示的。如果自变量在定义域内任取一个确定的值时，函数只有一个确定的值和它对应，这种函数叫做单值函数，否则叫做多值函数。这里我们只讨论单值函数。 ⑵、函数相等由函数的定义可知，一个函数的构成要素为：定义域、对应关系和值域。由于值域是由定义域和对应关系决定的，所以，如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，我们就称两个函数相等。 ⑶、域函数的表示方法 a)：解析法：用数学式子表示自变量和因变量之间的对应关系的方法即是解析法。例：直角坐标系中，半径为r、圆心在原点的圆的方程是：x2+y2=r2 b)：表格法：将一系列的自变量值与对应的函数值列成表来表示函数关系的方法即是表格法。例：在实际应用中，我们经常会用到的平方表，三角函数表等都是用表格法表示的函数。 c)：图示法：用坐标平面上曲线来表示函数的方法即是图示法。一般用横坐标表示自变量，纵坐标表示因变量。例：直角坐标系中，半径为r、圆心在原点的圆用图示法表示为： 3、函数的简单性态 ⑴、函数的有界性：如果对属于某一区间I的所有x值总有│f(x)│≤M成立，其中M是一个与x无关的常数，那么我们就称f(x)在区间I有界，否则便称无界。注：一个函数，如果在其整个定义域内有界，则称为有界函数例题：函数cosx在(-∞,+∞)内是有界的. ⑵、函数的单调性：如果函数在区间(a,b)内随着x增大而增大，即：对于(a,b)内任意两点x1

高数第9章答案

高等数学（化地生类专业）（下册）姜作廉主编《习题解答》习题9

1,{6,6,3},6(2)6(1)3(2)0,2280.3(2,3,n AB x y z x y z π==---++-=-+-=v v u u u v 指出下列平面与坐标系的位置关系，并作图：（1）x-2y+1=0;(2)3z+2=0;(3)x+2y+3z=1;(4)2y+z=0. 2已知A(2,-1,2)和B(8,-7,5),求一平面通过A 且垂直于线段AB. 解：设所求平面的法向量为n 由点法式方程，有：故平面方程为：求过点0),(2,3,4),(0,6,0)0,230 230,,,.46460 Ax By Cz D A B D D D D A B c D A B C B D --+++=++=?? --++==-=-=-? ?+=? ≠的平面方程。解：设所求平面方程为将已知三点带入，解得：显然，由题意D 0,故所求方程为：3x+2y+6z-12=0 4求过点(-1,-1,2)且在三个坐标轴上有相同截距的平面方程。解：设平面在三个坐标轴上的截距为t ，则平面方程由截距式1,,0,3 y z t t D x ++=?≠≠=可得：x 将点（1,-1,2）代入，1-1+2=t t=2.t 故平面方程：x+y+z-2=0.5(1)通过x 轴和M(2,-1,1) 解：设所求过x 轴平面方程为By+Cz+D=0,将M 代入：-B+C+D=0,又D=0,故B=C(0),平面方程y+z=0(2)平行于yOz 平面且经过点（3,0,5） D 解：设平面为Ax+D=0,将点代入：3A+D=0,A=-显然 3 故平面方程(0) ,202. 6(1,2,1),(3,2,1)31,,3121 133,3,.32121 3D B C y A B y x y z A B A C A C A C A C ? =-≠???? ???=?=--++=?+-=??=-=-? ?-++=??(3)通过(1,2,-1)和(-5,2,7)且平行于x 轴。解：设平面方程为By+Cz+D=0, 2B-C+D=0故平面方程：2B+7C+D=0平面过在轴的截距为解：设平面方程将代入解得：故平面方程为21,230333 x y z x y z -+-=-++=：即：

《高等数学》各章知识点总结——第9章

第9章多元函数微分学及其应用总结一、多元函数的极限与连续 1、n 维空间 2R 为二元数组),(y x 的全体，称为二维空间。3R 为三元数组),,(z y x 的全体，称为三维空间。 n R 为n 元数组),,,(21n x x x 的全体，称为n 维空间。 n 维空间中两点1212(,,,),(,,,)n n P x x x Q y y y 间的距离： ||PQ = 邻域: 设0P 是n R 的一个点，δ是某一正数，与点0P 距离小于 δ的点P 的全体称为点0P 的δ 邻域，记为),(0δP U ，即00(,){R |||}n U P P PP δδ=∈< 空心邻域: 0P 的 δ 邻域去掉中心点0P 就成为0P 的δ 空心邻域,记为 0(,)U P δ =0{0||}P PP δ<<。内点与边界点：设E 为n 维空间中的点集，n P ∈R 是一个点。如果存在点P 的某个邻域 ),(δP U ，使得E P U ?),(δ，则称点P 为集合E 的内点。如果点P 的任何邻域内都既有属于E 的点又有不属于E 的点，则称P 为集合E 的边界点, E 的边界点的全体称为E 的边界．聚点：设E 为n 维空间中的点集，n P ∈R 是一个点。如果点P 的任何空心邻域内都包含E 中的无穷多个点，则称P 为集合E 的聚点。开集与闭集: 若点集E 的点都是内点，则称E 是开集。设点集n E ?R , 如果E 的补集 n E -R 是开集，则称E 为闭集。区域与闭区域：设D 为开集，如果对于D 内任意两点，都可以用D 内的折线（其上的点都属于D ）连接起来, 则称开集D 是连通的．连通的开集称为区域或开区域．开区域与其边界的并集称为闭区域．有界集与无界集: 对于点集E ，若存在0>M ，使得(,)E U O M ?，即E 中所有点到原点的距离都不超过M ，则称点集E 为有界集，否则称为无界集．如果D 是区域而且有界，则称D 为有界区域．

高等代数最重要的基本概念汇总

第一章基本概念 1.5 数环和数域定义1 设S 是复数集C 的一个非空子集,如果对于S 中任意两个数a 、b 来说，a+b,a-b,ab 都在S 内，那么称S 是一个数环。定义2 设F 是一个数环。如果（i ）F 是一个不等于零的数；（ii ）如果a 、b ∈F,，并且b 0≠， a F b ∈，那么就称F 是一个数域。定理任何数域都包含有理数域，有理数域是最小的数域。第二章多项式 2.1 一元多项式的定义和运算定义1 数环R 上的一个文字的多项式或一元多项式指的是形式表达式 ()1 2012n n a a x a x a x ++++L ，是非负整数而012,,,n a a a a L 都是R 中的数。项式()1中，0a 叫作零次项或常数项，i i a x 叫作一次项，一般，i a 叫作i 次项的系数。定义2 若是数环R 上两个一元多项式()f x 和()g x 有完全相同的项，或者只差一些系数为零的项，那么就说()f x 和()g x 就说是相等 ()()f x g x = 定义3 n n a x 叫作多项式2012n n a a x a x a x ++++L ，0n a ≠的最高次项，非负整数n 叫作多项式2012n n a a x a x a x ++++L ，0n a ≠的次数。定理2.1.1 设()f x 和()g x 是数环R 上两个多项式，并且()0f x ≠，()0g x ≠，那么 ()i 当()()0f x g x +≠时， ()()()()()()()()0 max ,;f x g x f x g x ? +≤?? ()ii ()()()()()()()0 f x g x f x g x ? =?+?。多项式的加法和乘法满足以下运算规则： 1）加法交换律： ()()()()f x g x g x f x +=+；

高等数学课后习题答案第九章

习题九 1. 求函数u =xy 2+z 3-xyz 在点（1，1,2）处沿方向角为 πππ ,,343αβγ=== 的方向导数。解： (1,1,2)(1,1,2) (1,1,2)cos cos cos u u u u y l x z αβγ ????=++???? 22(1,1,2)(1,1,2)(1,1,2)πππ cos cos cos 5.(2)()(3)343xy xz y yz z xy =++=--- 2. 求函数u =xyz 在点（5,1,2）处沿从点A （5,1,2）到B （9，4，14）的方向导数。解： {4,3,12},13.AB AB == u u u r u u u r AB u u u r 的方向余弦为 4312cos ,cos ,cos 131313αβγ= == (5,1,2)(5,1,2)(5,1,2)(5,1,2)(5,1,2)(5,1,2)2105u yz x u xz y u xy z ?==??==??==? 故4312982105. 13131313u l ?=?+?+?=? 3. 求函数22221x y z a b ??=-+ ??? 在点处沿曲线22 2 21x y a b +=在这点的内法线方向的方向导数。解：设x 轴正向到椭圆内法线方向l 的转角为φ，它是第三象限的角，因为 2222220,x y b x y y a b a y ''+==- 所以在点处切线斜率为 2.b y a a ' ==- 法线斜率为 cos a b ?= . 于是tan sin ??== ∵2222,, z z x y x a y b ??=-=-??

华东理工大学高等数学(下册)第9章作业答案

第9章（之1）（总第44次）教学内容:§微分方程基本概念 *1．微分方程7 359)(2xy y y y =''''-''的阶数是（）（A ）3；（B ）4；（C ）6；（D ）7．答案（A ）解微分方程的阶数是未知函数导数的最高阶的阶数． *2．下列函数中的C 、α、λ及k 都是任意常数，这些函数中是微分方程04=+''y y 的通解的函数是（）（（A ）x C x C y 2sin )2912(2cos 3-+=；（B ）)2sin 1(2cos x x C y λ+=；（C ）x C k x kC y 2sin 12cos 22++=；（D ）)2cos(α+=x C y ．答案（D ）解二阶微分方程的通解中应该有两个独立的任意常数．（A ）中的函数只有一个任意常数C ；（B ）中的函数虽然有两个独立的任意常数，但经验算它不是方程的解；（C ）中的函数从表面上看来也有两个任意常数C 及k ，但当令kC C =时，函数就变成了 x C x C y 2sin 12cos 2 ++=，实质上只有一个任意常数；（D ）中的函数确实有两个独立的任意常数，而且经验算它也确实是方程的解． *3．在曲线族 x x e c e c y -+=21中，求出与直线x y =相切于坐标原点的曲线． : 解根据题意条件可归结出条件1)0(,0)0(='=y y ，由x x e c e c y -+=21， x x e c e c y --='21，可得1,02121=-=+c c c c ，故21,2121-==c c ，这样就得到所求曲线为)(2 1 x x e e y --=，即x y sinh =． *4．证明：函数y e x x =-233321 2 sin 是初值问题??? ????===++==1d d ,00d d d d 0022x x x y y y x y x y 的解．

数学基本概念

基本概念第一章数和数的运算一概念（一）整数 1整数的意义：自然数和0都是整数。2自然数：我们在数物体的时候，用来表示物体个数的1，2，3……叫做自然数。一个物体也没有，用0表示。0也是自然数。3计数单位一（个）、十、百、千、万、十万、百万、千万、亿……都是计数单位。每相邻两个计数单位之间的进率都是10。这样的计数法叫做十进制计数法。4数位：计数单位按照一定的顺序排列起来，它们所占的位置叫做数位。5数的整除整数a除以整数b(b≠0），除得的商是整数而没有余数，我们就说a 能被b整除，或者说b能整除a。如果数a能被数b（b≠0）整除，a就叫做b的倍数，b就叫做a的约数（或a的因数）。倍数和约数是相互依存的。因为35能被7整除，所以35是7的倍数，7是35的约数。一个数的约数的个数是有限的，其中最小的约数是1，最大的约数是它本身。例如：10的约数有1、2、5、10，其中最小的约数是1，最大的约数是10。一个数的倍数的个数是无限的，其中最小的倍数是它本身。3的倍数有：3、6、9、12……其中最小的倍数是3，没有最大的倍数。个位上是0、2、4、6、8的数，都能被2整除，例如：202、480、304，都能被2整除。。个位上是0或5的数，都能被5整除，例如：5、30、405都能被5整除。。

一个数的各位上的数的和能被3整除，这个数就能被3整除，例如：12、108、204都能被3整除。一个数各位数上的和能被9整除，这个数就能被9整除。能被3整除的数不一定能被9整除，但是能被9整除的数一定能被3整除。一个数的末两位数能被4（或25）整除，这个数就能被4（或25）整除。例如：16、404、1256都能被4整除，50、325、500、1675都能被25整除。一个数的末三位数能被8（或125）整除，这个数就能被8（或125）整除。例如：1168、4600、5000、12344都能被8整除，1125、13375、5000都能被125整除。能被2整除的数叫做偶数。不能被2整除的数叫做奇数。 0也是偶数。自然数按能否被2整除的特征可分为奇数和偶数。一个数，如果只有1和它本身两个约数，这样的数叫做质数（或素数），100以内的质数有：2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97。一个数，如果除了1和它本身还有别的约数，这样的数叫做合数，例如4、6、8、9、12都是合数。 1不是质数也不是合数，自然数除了1外，不是质数就是合数。如果把自然数按其约数的个数的不同分类，可分为质数、合数和1。

(整理)高等数学基本公式概念和方法

高等数学基本公式、概念和方法一．函数 1．函数定义域由以下几点确定（１）0)(;) (1 ≠= x f x f y （２）0)(;)(2≥=x f x f y n （其中n 为正整数）（３）0)(:)(log >=x f x f y a 。（４）1 )(1);(arccos 1)(1);(arcsin ≤≤-=≤≤-=x f x f y x f x f y （５）函数代数和的定义域，取其定义域的交集．（６）对具有实际意义的函数，定义域由问题特点而定． 2．判断函数的奇偶性，依据以下两点确定，否则函数为非奇非偶的．（１）若)(),()(x f x f x f =-是偶函数，若)(),()(x f x f x f -=-是奇函数．（２）若)(x f y =的图象关于y 轴对称，则函数是偶函数．如x y x y cos ..2 ==等。若)(x f y =的图象关于坐标原点对称，则函数是奇函数．如x y x y x y sin (3) === ３．将函数分解成几个简单函数的合成．由六类基本初等函数的形式，对要分解的函数，由外层到内层，分别设出关系．函数与常数的四则运算，不必另设一层关系．二．极限与连续 1．主要概念和计算方法：（１）．A x f x f A x f x x x x x x ==?=+-→→→)(lim )(lim )(lim 0 （２）．若0)(lim 0 =→x f x x （极限过程不限），则当0x x →时)(x f 为无穷小量。（3）．若)()(lim 00 x f x f x x =→，则函数在0x 处是连续的。即（１）函数值存在、（２）极限存在、（３）极限值和函数值相等。若上述三条至少一条不满足，则0x 是函数的间段点。（4）．间断点的分类：设0x 是函数的间断点若左、右极限均存在，则0x 称为第一类间断点。若左、右极限至少有一个是无穷大，则0x 称为第二类间断点。（5）．重要公式：条件0)(lim =x ?（极限过程不限）

高数第九章习题答案

第九章振动习题答案 9-1 一．填空题1. kx F -=； 02 2 2 =+x dt x d ω；()?ω+=t A x cos 2. 2 20 20 ω v x A + =；??? ? ??-=00 arctan x v ω? 3. 旋转矢量端点在Ox 轴上的投影点；?ω+t 4. m k ； l g 5. 3 π ；3 π - 二．选择题 1. D 2. A 3. C 4. B 三．计算题 1.（1）Z H T s T s m A 11,12,,2,1.01 == =====-νω π π?πω (2)由))(2cos(1.0m t x ππ+=，得))(2sin(2.01 -?+-== s m t dt dx v πππ，))(2cos(4.02 2-?+-== s m t dt dv a πππ s t 1=时，24.0,0,1.0π==-=a v m x 2. ππω42== T （1）由旋转矢量法得2 π ?=，))(2 4cos(8cm t x π π+= （2）由旋转矢量法得3 π ?- =，))(34cos(8cm t x π π- = （3）由旋转矢量法得0=?，)(4cos 8cm t x π= 3.（1）平衡位置0kl mg =，任意位置kx x l k mg F -=+-=)(0，故为简谐运动。（2）)(14cos 02.0m t x = 9-2 一．填空题 1. 2 21kA ； 2 4 1kA ； 2 2 1kA ； 2. 1cm;6 π - 二．选择题 1. C ; 2. D ; 3. B ; 4. C ; 5. C 三、计算题 1. （1）2 2max 0.4-?==s m A a ω，J mA E E k 3 2 210 0.22 1-?== =ω （2）p k E E =， 2 2 02 24 12 12 1kA kx mA = = ω ，m A x 3 010 07.72 2-?±=± =

高等代数习题

高等代数习题第一章基本概念 §1.1 集合 1、设Z是一切整数的集合，X是一切不等于零的有理数的集合．Z是不是X的子集？ 2、设a是集A的一个元素。记号{a}表示什么？ {a} A是否正确？ 3、设写出和 . 4、写出含有四个元素的集合{ }的一切子集． 5、设A是含有n个元素的集合．A中含有k个元素的子集共有多少个？ 6、下列论断那些是对的，那些是错的？错的举出反例，并且进行改正． (i) (ii) (iii) (iv) 7．证明下列等式： (i)

(ii) (iii) §1.2映射 1、设A是前100个正整数所成的集合．找一个A到自身的映射，但不是满射． 2、找一个全体实数集到全体正实数集的双射． 3、是不是全体实数集到自身的映射？ 4．设f定义如下： f是不是R到R的映射？是不是单射？是不是满射？ 5、令A={1,2,3}.写出A到自身的一切映射.在这些映射中那些是双射？ 6、设a ,b是任意两个实数且a

9、设是映射，又令，证明 (i)如果是单射，那么也是单射； (ii)如果是满射，那么也是满射； (iii)如果都是双射，那么也是双射，并且 10．判断下列规则是不是所给的集合A的代数运算: 集合 A 规则 1 2 3 4 全体整数全体整数全体有理数全体实数 b a b a+ → |) , ( §1.3数学归纳法 1、证明: 2、设是一个正整数.证明 ,是任意自然数. 3、证明二项式定理: 这里，是个元素中取个的组合数.

高等数学基本知识大全

高等数学

高等数学思想方法

高等数学思想方法第一章函数与极限主要的思想方法： (1)函数的思想高等数学的核心内容是微积分，而函数是微积分的主要研究对象。我们在运用微积分解决实际问题时，首先就要从实际问题中抽象出变量与变量之间的函数关系，这是一个通过现象抽象出本质特征的思维过程，体现的是科学的抽象是数学的一个思维方法和主要特征。（2）极限的思想极限的思想方法是微积分的基础。极限是变量在无限变化过程中的变化趋势，是一个确定的数值。把一些实际问题的确定结果视为一系列的无限近似数值的变化趋势，即函数或者数列的极限，这是一种重要的数学思想方法。第二章导数与微分主要的思想方法：（1）微分的思想微分表示自变量有微小变化时函数的近似变化，一般地，求导的过程就称为微分;导数则反映函数相对于自变量的瞬时变化率。从导数与微分的概念中可看出，在局部的“以直代曲”的微分思想得到了充分的体现，而这也是微积分的一个基本思想。（2）数形结合的思想书本中在引入导数与微分概念时，也讨论了它们的几何意义，这显然更好地帮助我们理解这两个概念。通过几何图形来直观地理解概念以及定理的证明等等内容是高等数学中常用的方法，这是抽象思维与现象思维有机结合的典型体现。（3）极限的思想不难发现导数概念的引入与定义深刻地体现了极限的思想。（4）逻辑思维方法在本章中，归纳法（从特殊到一般），分类（整合）法等逻辑思维方法都得到了充分的体现，理解与掌握此类思维方法有助于良好的理性思维的形成。第三章中值定理与导数的应用主要的思想方法：导数本质上是一种刻画函数在某一点处变化率的数学模型，它实质上反映了函数在该点处的局部变化性态；而中值定理则是联系函数局部性质与整体性质的“桥梁”，利用中值定理我们就能够从函数的局部性质推断函数的整体性质，具体表现为在理论和实际问题中可利用中值定理把握函数在某区间内一点处的导数与函数在该区间整体性质的关系。

高等数学基础知识点归纳

第一讲函数，极限，连续性 1、集合的概念一般地我们把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫集合（简称集）。集合具有确定性（给定集合的元素必须是确定的）和互异性（给定集合中的元素是互不相同的）。比如“身材较高的人”不能构成集合，因为它的元素不是确定的。 ⑴、全体非负整数组成的集合叫做非负整数集（或自然数集）。记作N ⑵、所有正整数组成的集合叫做正整数集，记作N+。 ⑶、全体整数组成的集合叫做整数集，记作Z。 ⑷、全体有理数组成的集合叫做有理数集，记作Q。 ⑸、全体实数组成的集合叫做实数集，记作R。集合的表示方法 ⑴、列举法：把集合的元素一一列举出来，并用“｛｝”括起来表示集合 ⑵、描述法：用集合所有元素的共同特征来表示集合集合间的基本关系 ⑴、子集：一般地，对于两个集合A、B，如果集合A 中的任意一个元素都是集合B 的元素，我们就说A、B 有包含关系，称集合A 为集合B 的子集，记作A ?B。 ⑵、相等：如何集合A 是集合B 的子集，且集合B 是集合A 的子集，此时集合A 中的元素与集合B 中的元素完全一样，因此集合A 与集合B 相等，记作A＝B。 ⑶、真子集：如何集合A 是集合B 的子集，但存在一个元素属于B 但不属于A，我们称集合A 是集合 B 的真子集，记作A 。 ⑷、空集：我们把不含任何元素的集合叫做空集。记作，并规定，空集是任何集合的子集。 ⑸、由上述集合之间的基本关系，可以得到下面的结论： ①、任何一个集合是它本身的子集。 ②、对于集合A、B、C，如果A 是B 的子集，B 是C 的子集，则A 是C 的子集。 ③、我们可以把相等的集合叫做“等集”，这样的话子集包括“真子集”和“等集”。集合的基本运算 ⑴、并集：一般地，由所有属于集合A 或属于集合B 的元素组成的集合称为A 与B 的并集。记作A ∪B。（在求并集时，它们的公共元素在并集中只能出现一次。）即A∪B＝｛x|x∈A，或x∈B｝。 ⑵、交集：一般地，由所有属于集合A 且属于集合B 的元素组成的集合称为A 与B 的交集。记作A ∩B。即A∩B＝｛x|x∈A，且x∈B｝。 ⑶、全集：一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中所涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集。通常记作U。

高等代数最重要的基本概念汇总

第一章基本概念数环和数域定义1 设S 是复数集C 的一个非空子集,如果对于S 中任意两个数a 、b 来说，a+b,a-b,ab 都在S 内，那么称S 是一个数环。定义2 设F 是一个数环。如果（i ）F 是一个不等于零的数；（ii ）如果a 、b ∈F,，并且b 0≠， a F b ∈，那么就称F 是一个数域。定理任何数域都包含有理数域，有理数域是最小的数域。第二章多项式一元多项式的定义和运算定义1 数环R 上的一个文字的多项式或一元多项式指的是形式表达式 ()1 2 012n n a a x a x a x +++ +，是非负整数而012,,,n a a a a 都是R 中的数。项式()1中，0a 叫作零次项或常数项，i i a x 叫作一次项，一般，i a 叫作i 次项的系数。定义2 若是数环R 上两个一元多项式()f x 和()g x 有完全相同的项，或者只差一些系数为零的项，那么就说()f x 和()g x 就说是相等 ()()f x g x = 定义3 n n a x 叫作多项式2 012n n a a x a x a x +++ +，0n a ≠的最高次项，非负整数n 叫作多项式2 012n n a a x a x a x +++ +，0n a ≠的次数。定理2.1.1 设()f x 和()g x 是数环R 上两个多项式，并且()0f x ≠，()0g x ≠，那么 ()i 当()()0f x g x +≠时， ()()()()()()()()0 max ,;f x g x f x g x ? +≤?? ()ii ()()()()()()()0 f x g x f x g x ? =?+?。

814《高等代数》考研大纲

《高等代数》考研大纲一、基本要求要求考生全面系统地理解高等代数的基本概念和基本理论，熟练掌握高等代数的基本思想和基本方法。要求考生具有较强的抽象思维能力、逻辑推理能力、数学运算能力以及综合运用所学知识分析问题和解决问题的能力。二、考试范围（一）多项式．多项式的带余除法及整除性、最大公因式、互素多项式；．不可约多项式、因式分解唯一性定理、重因式、复系数与实系数多项式的因式分解、有理系数多项式不可约的判定；．多项式函数与多项式的根、代数基本定理、有理系数多项式的有理根的求法、根与系数的关系。（二）行列式．行列式的定义及性质，行列式的子式、余子式及代数余子式；．行列式按一行、列的展开定理、法则、定理和行列式乘法定理、行列式；．运用行列式的性质及展开定理等计算行列式。（三）线性方程组．消元法与初等变换；．向量组的线性相关性、向量组的秩与极大线性无关组、矩阵的秩；．线性方程组有解的判别定理与解的结构。（四）矩阵．矩阵的基本运算、矩阵的分块及常用分块方法；．矩阵的初等变换、初等矩阵、矩阵的等价、矩阵的迹、方阵的多项式；；．逆矩阵、矩阵可逆的条件及与矩阵的秩和初等矩阵之间的关系，伴随矩阵及其性质；．运用初等变换法求矩阵的秩及逆矩阵。（五）二次型理论．二次型及其矩阵表示、矩阵的合同、二次型的标准形与规范形、惯性定理；．实二次型在合同变换下的规范形以及在正交变换下的特征值标准型的求法；．实二次型或实对称矩阵的正定、半正定、负定、半负定的定义、判别法及其应用。（六）线性空间．线性空间、子空间的定义与性质，向量组的线性相关性，线性（子）空间的基、维数、向量关于基的坐标，基变换与坐标变换，线性空间的同构；．子空间的基扩张定理，生成子空间，子空间的和与直和、维数公式；．一些常见的子空间，如线性方程组的解空间、矩阵空间、多项式空间、函数空间。（七）线性变换．线性变换的定义、性质与运算，线性变换的矩阵表示，矩阵的相似、同一个线性变换关于不同基的矩阵之间的关系；．矩阵的特征多项式与最小多项式及其性质、线性变换及其矩阵的特征值和特征向量的概念和计算、特征子空间、实对称矩阵的特征值与特征向量的性质；．线性变换的不变子空间、核、值域的概念、关系及计算；．定理、矩阵可相似对角化的条件与方法、线性变换矩阵的化简、标准形。

高等数学常用概念及公式

高等数学常用概念及公式 ● 极限的概念当x 无限增大（x →∞）或x 无限的趋近于x 0（x →x 0）时，函数f(x)无限的趋近于常数A ，则称函数f(x)当x →∞或x →x 0时，以常数A 为极限，记作： lim ∞ →x f(x)=A 或 lim 0 x x →f(x)=A ● 导数的概念设函数y=f(x)在点x 0某邻域内有定义，对自变量的增量Δx ＝x- x 0，函数有增量Δy=f(x)-f(x 0)，如果增量比 x y ??当Δx →0时有极限，则称函数f(x)在点x 0可导，并把该极限值叫函数y=f(x)在点x 0的导数，记为f ’(x 0)，即 f ’(x0)＝lim →?x x y ??=lim 0x x →0 0)()(x x x f x f -- 也可以记为y ’=|x=x0，dx dy |x=x0或dx x df ) (|x=x0 ● 函数的微分概念设函数y=f （x ）在某区间内有定义，x 及x+Δx 都在此区间内，如果函数的增量 Δy=f （x+Δx ）-f(x)可表示成 Δy=A Δx+αΔx 其中A 是常数或只是x 的函数，而与Δx 无关，α当Δx →0时是无穷小量( 即αΔx 这一项是个比Δx 更高阶的无穷小)，那么称函数y=f （x ）在点x 可微，而A Δx 叫函数y=f （x ）在点x 的微分。记作dy ，即： dy=A Δx=f ’(x)dx

● 不定积分的概念原函数：设f(x)是定义在某个区间上的已知函数，如果存在一个函数F(x)，对于该区间上每一点都满足 F ’(x)= f(x) 或 d F(x)= f(x)dx 则称函数F(x)是已知函数f(x)在该区间上的一个原函数。不定积分：设F(x)是函数f(x)的任意一个原函数，则所有原函数F(x)+c （c 为任意常数）叫做函数f(x)的不定积分，记作 ?dx x f )( 求已知函数的原函数的方法，叫不定积分法，简称积分法。其中“?”是不定积分的记号；f(x)称为被积函数；f(x)dx 称为被积表达式；x 称为积分变量；c 为任意实数，称为积分常数。 ● 定积分的概念设函数f(x)在闭区间[a ，b]上连续，用分点 a=x 0

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