第十八周 面积计算（一）
专题简析：
计算平面图形的面积时，有些问题乍一看，在已知条件与所求问题之间找不到任何联系，会使你感到无从下手。这时，如果我们能认真观察图形，分析、研究已知条件，并加以深化，再运用我们已有的基本几何知识，适当添加辅助线，搭一座连通已知条件与所求问题的小“桥”，就会使你顺利达到目的。有些平面图形的面积计算必须借助于图形本身的特征，添加一些辅助线，运用平移旋转、剪拼组合等方法，对图形进行恰当合理的变形，再经过分析推导，方能寻求出解题的途径。
例题1。
已知图18－1中，三角形ABC 的面积为8平方厘米，AE ＝ED ，BD=23
BC ，求阴影部分的面积。
【思路导航】阴影部分为两个三角形，但三角形AEF 的面积无法直接计算。由于AE=ED,
连接DF ，可知S △AEF =S △EDF （等底等高），采用移补的方法，将所求阴影部分
转化为求三角形BDF 的面积。
因为BD=23
BC ，所以S △BDF ＝2S △DCF 。又因为AE ＝ED ，所以S △ABF ＝S △BDF ＝2S △DCF 。 因此，S △ABC ＝5 S △DCF 。由于S △ABC ＝8平方厘米，所以S △DCF ＝8÷5＝1.6（平方厘米），则阴影部分的面积为1.6×2＝3.2（平方厘米）。
练习1
1、 如图18－2所示，AE ＝ED ，BC=3BD ，S △ABC ＝30平方厘米。求阴影部分的面积。
2、 如图18－3所示，AE=ED ，DC ＝13
BD ，S △ABC ＝21平方厘米。求阴影部分的面积。 3、 如图18－4所示，DE ＝12
AE ，BD ＝2DC ，S △EBD ＝5平方厘米。求三角形ABC 的面积。
B
D 18
－2 C D 18－1 C D 18－3 C D 18－4
例题2。
两条对角线把梯形ABCD 分割成四个三角形，如图18－5所示，已知两个三角形的面积，求另两个三角形的面积各是多少？
【思路导航】已知S △BOC 是S △DOC 的2倍，且高相等，可知：BO ＝2DO ；从S △ABD 与S △ACD
相等（等底等高）可知：S △ABO 等于6，而△ABO 与△AOD 的高相等，底是△AOD
的2倍。所以△AOD 的面积为6÷2＝3。
因为S △ABD 与S △ACD 等底等高 所以S △ABO ＝6
因为S △BOC 是S △DOC 的2倍 所以△ABO 是△AOD 的2倍
所以△AOD ＝6÷2＝3。
答：△AOD 的面积是3。
练习2
1、 两条对角线把梯形ABCD 分割成四个三角形，（如图18－6所示），已知两个三角形的
面积，求另两个三角形的面积是多少？
2、 已知AO ＝13
OC ，求梯形ABCD 的面积（如图18－7所示）。 3、 已知三角形AOB 的面积为15平方厘米，线段OB 的长度为OD 的3倍。求梯形ABCD
的面积。（如图18－8所示）。
例题3。
四边形ABCD 的对角线BD 被E 、F 两点三等分，且四边形AECF 的面积为15平方厘米。求四边形ABCD 的面积（如图18－9所示）。
B
C
C 18－5 18－
6 C 18－7
18－9 B
C
【思路导航】由于E 、F 三等分BD ，所以三角形ABE 、AEF 、AFD 是等底等高的三角形，
它们的面积相等。同理，三角形BEC 、CEF 、CFD 的面积也相等。由此可知，
三角形ABD 的面积是三角形AEF 面积的3倍，三角形BCD 的面积是三角形
CEF 面积的3倍，从而得出四边形ABCD 的面积是四边形AECF 面积的3倍。
15×3＝45（平方厘米）
答：四边形ABCD 的面积为45平方厘米。
练习3
1、 四边形ABCD 的对角线BD 被E 、F 、G 三点四等分，且四边形AECG 的面积为15平
方厘米。求四边形ABCD 的面积（如图18－10）。
2、 已知四边形ABCD 的对角线被E 、F 、G 三点四等分，且阴影部分面积为15平方厘米。
求四边形ABCD 的面积（如图18－11所示）。
3、 如图18－12所示，求阴影部分的面积（ABCD 为正方形）。
例题4。
如图18－13所示，BO ＝2DO ，阴影部分的面积是4平方厘米。那么，梯形ABCD 的面积是多少平方厘米？
【思路导航】因为BO ＝2DO ，取BO 中点E ，连接AE 。根据三角形等底等高面积相等的性
质，可知S △DBC ＝S △CDA ；S △COB ＝S △DOA ＝4，类推可得每个三角形的面积。所
以，
S △CDO ＝4÷2＝2（平方厘米） S △DAB ＝4×3＝12平方厘米
S 梯形ABCD ＝12+4+2＝18（平方厘米）
答：梯形ABCD 的面积是18平方厘米。
练习4
1、 如图18－14所示，阴影部分面积是4平方厘米，OC ＝2AO 。求梯形面积。
2、 已知OC ＝2AO ，S △BOC ＝14平方厘米。求梯形的面积（如图18－15所示）。
3、 已知S △AOB ＝6平方厘米。OC ＝3AO ，求梯形的面积（如图18－16所示）。
B
C 18－
10 C
18－11 E 18－12 B
B
B
B 18－13 18－14
18－15 18－16
例题5。
如图18－17所示，长方形ADEF 的面积是16，三角形ADB 的面积是3，三角形ACF 的面积是4，求三角形ABC 的面积。
【思路导航】连接AE 。仔细观察添加辅助线AE 后，使问题可有如下解法。
由图上看出：三角形ADE 的面积等于长方形面积的一半（16÷2）＝8。用8减去3得到
三角形ABE 的面积为5。同理，用8减去4得到三角形AEC 的面积也为4。
因此可知三角形AEC 与三角形ACF 等底等高，C 为EF 的中点，而三角形ABE
与三角形BEC 等底，高是三角形BEC 的2倍，三角形BEC 的面积为5÷2＝
2.5，所以，三角形ABC 的面积为16－3－4－2.5＝6.5。
练习5
1、 如图18－18所示，长方形ABCD 的面积是20平方厘米，三角形ADF 的面积为5平
方厘米，三角形ABE 的面积为7平方厘米，求三角形AEF 的面积。
2、 如图18－19所示，长方形ABCD 的面积为20平方厘米，S △ABE ＝4平方厘米，S △AFD
＝6平方厘米，求三角形AEF 的面积。
3、 如图18－20所示，长方形ABCD 的面积为24平方厘米，三角形ABE 、AFD 的面积
均为4平方厘米，求三角形AEF 的面积。
答案：
练1
1、 30÷5×2＝12平方厘米
2、 21÷7×3＝9平方厘米
3、 5×3÷23 ＝2212
平方厘米 练2
1、 4÷2＝2 8÷2＝4
2、 8×2＝16 16+8×2+4＝36
3、 15×3＝45 15+5+15+45＝80
练3
1、 15×2＝30平方厘米
B A D
C F F C 18－
17 D F 18－18
A B C D F 18－19 E 18－20
2、 15×4＝60平方厘米
3、 6×6÷2－6×4÷2＝6平方厘米 6×2÷4＝3平方厘米
（6+3）×6÷2＝27平方厘米
练4
1、 4×2＝8平方厘米 8×2＝16平方厘米
16+8+8+4＝36平方厘米
2、 14÷2＝7平方厘米 7÷2＝3.5平方厘米
14+7+7+3.5＝31.5平方厘米
3、 6×（3+1）＝24 6÷3＝2 24+6+2＝32
练5
1、 20÷2－7＝3 3×12
＝1.5 20－7－5－1.5＝6.5 2、 20÷2＝10 （10－4）×10－610 ＝225 20－6－4－225 ＝735
3、 24÷2＝12平方厘米 （12－4）×（1－412 ）＝513
平方厘米 24－4－4－513 ＝1023 平方厘米
修改整理加入目录，方便查用，六年级奥数举一反三 目录 第1讲定义新运算 (3) 第2讲简便运算（一） (6) 第3讲简便运算（二） (9) 第4讲简便运算（三） (11) 第5讲简便运算（四） (14) 第6讲转化单位“1”（一） (17) 第7讲转化单位“1”（二） (19) 第8讲转化单位“1”（三） (22) 第9讲设数法解题 (25) 第10讲假设法解题（一） (28) 第11讲假设法解题（二） (31) 第12讲倒推法解题 (34) 第13讲代数法解题 (37) 第14讲比的应用（一） (40) 第15讲比的应用（二） (43) 第16讲用“组合法”解工程问题 (47) 第17讲浓度问题 (50) 第18讲面积计算（一） (54) 第19讲面积计算（二） (59) 第20讲面积计算 (64)
第二十一周抓“不变量”解题 (69) 第二十二周特殊工程问题 (71) 第二十三周周期工程问题 (75) 第二十四周比较大小 (83) 第二十五周最大最小问题 (87) 第26周加法、乘法原理 (90) 第27周表面积与体积（一） (92) 第28周表面积与体积（二） (101) 第二十九周抽屉原理（一） (104) 第三十周抽屉原理（二） (109) 第三十一周逻辑推理（一） (114) 第三十二周逻辑推理（二） (121) 第三十三周行程问题（一） (127) 第三十四周行程问题（二） (135) 第三十五周行程问题（三） (144) 第三十六周流水行船问题 (151) 第三十七周对策问题 (154) 第三十八周应用同余问题 (156) 第三十九周“牛吃草”问题 (158) 第四十周不定方程 (161)
各种图形面积计算公式 1、长方形的周长=（长+宽）×2 C=(a+b)×2 2、正方形的周长=边长×4 C=4a 3、长方形的面积=长×宽S=ab 4、正方形的面积=边长×边长S=a.a= a 5、三角形的面积=底×高÷2 S=ah÷2 6、平行四边形的面积=底×高S=ah 7、梯形的面积=（上底+下底）×高÷2 S=（a＋b）h÷2 8、直径=半径×2 d=2r 半径=直径÷2 r= d÷2 9、圆的周长=圆周率×直径=圆周率×半径×2 c=πd =2πr 10、圆的面积=圆周率×半径×半径?=πr 11、长方体的表面积=（长×宽+长×高＋宽×高）×2 12、长方体的体积=长×宽×高V =abh 13、正方体的表面积=棱长×棱长×6 S =6a 14、正方体的体积=棱长×棱长×棱长V=a.a.a= a 15、圆柱的侧面积=底面圆的周长×高S=ch 16、圆柱的表面积=上下底面面积+侧面积 S=2πr +2πrh=2π(d÷2) +2π(d÷2)h=2π(C÷2÷π) +Ch 17、圆柱的体积=底面积×高V=Sh V=πr h=π(d÷2) h=π(C÷2÷π) h
18、圆锥的体积=底面积×高÷3 V=Sh÷3=πr h÷3=π(d÷2) h÷3=π(C÷2÷π) h÷3 19、长方体（正方体、圆柱体）的体积=底面积×高 V=Sh 各种图形体积计算公式 平面图形 名称符号周长C和面积S 1、正方形a—边长C＝4a S＝a2 2、长方形a和b－边长C＝2(a+b) S＝ab 3、三角形a,b,c－三边长 h－a边上的高 s－周长的一半 A,B,C－内角 其中s＝(a+b+c)/2 S＝ah/2 ＝ab/2·sinC ＝[s(s-a)(s-b)(s-c)]1/2 ＝a2sinBsinC/(2sinA) 4、四边形d,D－对角线长 α－对角线夹角S＝dD/2·sinα 5、平行四边形a,b－边长 h－a边的高 α－两边夹角S＝ah ＝absinα 6、菱形a－边长 α－夹角 D－长对角线长 d－短对角线长S＝Dd/2 ＝a2sinα 7、梯形a和b－上、下底长 h－高 m－中位线长S＝(a+b)h/2 ＝mh
第27周表面积与体积（一） 专题简析： 小学阶段所学的立体图形主要有四种长方体、正方体、圆柱体和圆锥体。从平面图形到立体图形是认识上的一个飞跃，需要有更高水平的空间想象能力。因此，要牢固掌握这些几何图形的特征和有关的计算方法，能将公式作适当的变形，养成“数、形”结合的好习惯，解题时要认真细致观察，合理大胆想象，正确灵活地计算。 在解答立体图形的表面积问题时，要注意以下几点： （1）充分利用正方体六个面的面积都相等，每个面都是正方形的特点。 （2）把一个立体图形切成两部分，新增加的表面积等于切面面积的两倍。反之，把两个立体图形粘合到一起，减少的表面积等于粘合面积的两倍。 （3）若把几个长方体拼成一个表面积最大的长方体，应把它们最小的面拼合起来。若把几个长方体拼成一个表面积最小的长方体，应把它们最大的面拼合起来。 例题1： 从一个棱长10厘米的正方体木块上挖去一个长10厘米、宽2厘米、高2厘米的小长方体，剩下部分的表面积是多少？ 这是一道开放题，方法有多种： ①按图27-1所示，沿着一条棱挖，剩下部分的表面积为592平方厘米。 图27--1 ②按图27-2所示，在某个面挖，剩下部分的表面积为632平方厘米。
图27--2 ③按图27-3所示，挖通某两个对面，剩下部分的表面积为672平方厘米。 图27--3 练习1： 1、从一个长10厘米、宽6厘米、高5厘米的长方体木块上挖去一个棱长2厘米的小正方体，剩下部分的表面积是多少？ 2、把一个长为12分米，宽为6分米，高为9分米的长方体木块锯成两个想同的小厂房体木块，这两个小长方体的表面积之和，比原来长方体的表面积增加了多少平方分米？ 3、在一个棱长是4厘米的立方体上挖一个棱长是1厘米的小正方体后，表面积会发生怎样的变化？ 例题2： 把19个棱长为3厘米的正方体重叠起来，如图27-4所示，拼成一个立体图形，求这个立体图形的表面积。
第十八周面积计算（一） 专题简析： 计算平面图形的面积时，有些问题乍一看，在已知条件与所求问题之间找不到任何联系，会使你感到无从下手。这时，如果我们能认真观察图形，分析、研究已知条件，并加以深化，再运用我们已有的基本几何知识，适当添加辅助线，搭一座连通已知条件与所求问题的小“桥”，就会使你顺利达到目的。有些平面图形的面积计算必须借助于图形本身的特征，添加一些辅助线，运用平移旋转、剪拼组合等方法，对图形进行恰当合理的变形，再经过分析推导，方能寻求出解题的途径。 图形面积） 简单的面积计算是小学数学的一项重要内容.要会计算面积，首先要能识别一些特别的图形：正方形、三角形、平行四边形、梯形等等，然后会计算这些图形的面积.如果我们把这些图形画在方格纸上，不但容易识别，而且容易计算. 上面左图是边长为4的正方形，它的面积是4×4＝16（格）；右图是3×5的长方形，它的面积是3×5＝15（格）. 上面左图是一个锐角三角形，它的底是5，高是4，面积是5×4÷2＝10（格）；右图是一个钝角三角形，底是4，高也是4，它的面积是4×4÷2＝8（格）.这里特别说明，这两个三角形的高线一样长，钝角三角形的高线有可能在三角形的外面. 上面左图是一个平行四边形，底是5，高是3，它的面积是5×3＝15（格）；右图是一个梯形，上底是4，下底是7，高是4，它的面积是 （4+7）×4÷2＝22（格）. 上面面积计算的单位用“格”，一格就是一个小正方形.如果小正方形边长是1厘米，1格就是1平方厘米；如果小正方形边长是1米，1格就是1平方米.也就是说我们设定一个方格的边长是1个长度单位，1格就是一个面积单位.在这一讲中，我们直接用数表示长度或面积，省略了相应的长度单位和面积单位. 一、三角形的面积 用直线组成的图形，都可以划分成若干个三角形来计算面积.三角形面积的计算公式是：三角形面积= 底×高÷2. 这个公式是许多面积计算的基础.因此我们不仅要掌握这一公式，而且要会灵活运用. 例1 右图中BD长是4，DC长是2，那么三角形ABD的面积是三角形ADC面积的多少倍呢？
第一周 定义新运算 专题简析： 定义新运算是指运用某种特殊符号来表示特定的意义，从而解答某些特殊算式的一种运算。 解答定义新运算，关键是要正确地理解新定义的算式含义，然后严格按照新定义的计算程序，将数值代入，转化为常规的四则运算算式进行计算。 定义新运算是一种人为的、临时性的运算形式，它使用的是一些特殊的运算符号，如：*、等，这是与四则运算中的“?、#、*、·”不同的。 新定义的算式中有括号的，要先算括号里面的。但它在没有转化前，是不适合于各种运算定律的。 例题1。 假设a*b=(a+b)+(a-b),求13*5和13*（5*4）。 13*5=（13+5）+（13-5）=18+8=26 5*4=（5+4）+（5-4）=10 13*（5*4）=13*10=（13+10）+（13-10）=26 练习1 1..将新运算“*”定义为：a*b=(a+b)×(a-b).求27*9。 2.设a*b=a 2 +2b ，那么求10*6和5*（2*8）。 3.设a*b=3a －1 2 ×b ，求（25*12）*（10*5）。 例题2。 设p 、q 是两个数，规定：p △q=4×q-(p+q)÷2。求3△(4△6). 3△(4△6). ＝3△【4×6－（4+6）÷2】 ＝3△19 ＝4×19－（3+19）÷2 ＝76－11 ＝65 练习2 1． 设p 、q 是两个数，规定p △q ＝4×q －（p+q ）÷2，求5△（6△4）。 2． 设p 、q 是两个数，规定p △q ＝p 2 +（p －q ）×2。求30△（5△3）。 3． 设M 、N 是两个数，规定M*N ＝M N +N M ，求10*20－14 。 例题3。 如果1*5=1+11+111+1111+11111，2*4=2+22+222+2222，3*3=3+33+333，4*2=4+44。那么7*4=？，210*2=？ 7*4=7+77+777+7777=8638 210*2=210+210210=210420
1、计容积率建筑面积一般不包括地下建筑面积,公用设施面积及用于公用交通活动场所的部分建筑面积.(如地下停车场;配电房;水泵房;骑楼下的架空层等)。 计容建筑面积计算规则 计容建筑面积指计入容积率的建筑面积，一般按照《建筑工程建筑面积计算规范》（GB/T50353—2005）规定的计算方式执行，出现下列情况的，执行本规则。 一、居住建筑层高大于米、小于或者等于米（即+）的，不论层内是否设有夹层，其计容建筑面积按照该层水平投影面积的2倍计算；层高大于米、小于或者等于8米（即+）的，不论层内是否设有夹层，其计容建筑面积按照该层水平投影面积的3倍计算；层高大于8米的，以此类推。 跃层式居住建筑，其门厅、起居室、餐厅的通高部分不超过该层套内建筑面积的35%且小于或者等于米的，该通高部分的计容建筑面积按照该层水平投影面积的1倍计算；通高部分超过该层套内建筑面积的35%或者大于米的，按照本条第一款的规则计算。除门厅、起居室、餐厅、与起居室相连的封闭式阳台之外的其他部分出现通高情况的，按照本条第一款的规则计算。 二、商业建筑（含各类配套服务建筑）按照单元式划分，单元面积小于3000平方米，层高大于米、小于或者等于米（即+）的，不论层内是否设有夹层，其计容建筑面积按照该层水平投影面积的2倍计算；层高大于米、小于或者等于米（即+）的，其计容建筑面积按照该层水平投影面积的3倍计算；层高大于米的，以此类推。 商业建筑（含各类配套服务建筑）按照单元式划分，单元面积大于或者等于3000平方米，层高大于6米、小于或者等于米（即6+）的，不论层内是否设有夹层，其计容建筑面积按照该层水平投影面积的2倍计算；层高大于米、小于或者等于米（即+）的，其计容建筑面积按照该层水平投影面积的3倍计算；层高大于米的，以此类推。有特殊功能要求的，须专题论证。 三、办公建筑、酒店建筑层高大于米、小于或者等于米（即+）的，不论其层内是否设有夹层，其计容建筑面积按照该层水平投影面积的2倍计算；层高大于米、小于或者等于米（即+）的，不论其层内是否设有夹层，其计容建筑面积按照该层水平投影面积的3倍计算；层高大于米的，以此类推。 四、建筑公共部分的门厅、大堂、中庭等有特殊功能需要的建筑通高部分按照一层计算计容建筑面积。 五、居住建筑底层架空部分净高大于或者等于米，且仅用于绿化、公共休闲活动空间、公共通道等非经营性用途的，其面积不计入计容建筑面积，但计入项目的建筑面积。 六、阳台计算 （一）套型建筑面积小于或者等于60平方米的住宅，其阳台进深大于米的，或者每户阳台结构底板投影面积之和大于10平方米的，超出部分按照全面积计入计容建筑面积，未超出部分按照一半计入计容建筑面积； （二）套型建筑面积大于60平方米的住宅，其阳台进深大于米的，或者每户阳台结构底板投影面积之和占该户套内面积的比例大于17%的，超出部分按照
第二十周 面积计算（三） 专题简析： 对于一些比较复杂的组合图形，有时直接分解有一定的困难，这时，可以通过把其中的部分图形进行平移、翻折或旋转，化难为易。有些图形可以根据“容斥问题“的原理来解答。在圆的半径r 用小学知识无法求出时，可以把“r 2”整体地代入面积公式求面积。 例题1。 如图20－1所示，求图中阴影部分的面积。 【思路导航】 解法一：阴影部分的一半，可以看做是扇形中减去一个等腰直角三角形（如图20－2），等 腰直角三角形的斜边等于圆的半径，斜边上的高等于斜边的一半，圆的半径为20÷2＝10厘米 【3.14×102×14 －10×（10÷2）】×2＝107（平方厘米） 答：阴影部分的面积是107平方厘米。 解法二：以等腰三角形底的中点为中心点。把图的右半部分向下旋转90度后，阴影部分的 面积就变为从半径为10厘米的半圆面积中，减去两直角边为10厘米的等腰直角三角形的面积所得的差。 （20÷2）2×12 －（20÷2）2×12 ＝107（平方厘米） 答：阴影部分的面积是107平方厘米。 练习1 1、 如图20－4所示，求阴影部分的面积（单位：厘米） 2、 如图20－5所示，用一张斜边为29厘米的红色直角三角形纸片，一张斜边为49厘 米的蓝色直角三角形纸片，一张黄色的正方形纸片，拼成一个直角三角形。求红蓝 20－1 20－2
两张三角形纸片面积之和是多少？ 例题2。 如图20－6所示，求图中阴影部分的面积（单位：厘米）。 【思路导航】 解法一：先用长方形的面积减去小扇形的面积，得空白部分（ a ）的面积，再用大扇形的面 积减去空白部分（a ）的面积。如图 20－7所示。 3.14×6 2×14 －（6×4－3.14×42×1 4 ）＝16.82（平方厘米） 解法二：把阴影部分看作（1）和（2）两部分如图20－8所示。把大、小两个扇形面积相加， 刚好多计算了空白部分和阴影（1）的面积，即长方形的面积。 3.14×42×14 +3.14×62×14 －4×6＝16.28（平方厘米） 答：阴影部分的面积是16.82平方厘米。 练习2 20－4 6 B A 20－5 49 29 29 49 20－6 6 4 减去 20－7 20－8 加 减 B C 20－9 B 20－10
第十八周 面积计算（一） 专题简析： 计算平面图形的面积时，有些问题乍一看，在已知条件与所求问题之间找不到任何联 系，会使你感到无从下手。这时，如果我们能认真观察图形，分析、研究已知条件，并加以深化，再运用我们已有的基本几何知识，适当添加辅助线，搭一座连通已知条件与所求问题的小“桥”，就会使你顺利达到目的。有些平面图形的面积计算必须借助于图形本身的特征，添加一些辅助线，运用平移旋转、剪拼组合等方法，对图形进行恰当合理的变形，再经过分析推导，方能寻求出解题的途径。 例题1。 已知图18－1中，三角形ABC 的面积为8平方厘米，AE ＝ED ，BD=23 BC ，求阴影部分的面积。 【思路导航】阴影部分为两个三角形，但三角形AEF 的面积无法直接计算。由于AE=ED, 连接DF ，可知S △AEF =S △EDF （等底等高），采用移补的方法，将所求阴影部分 转化为求三角形BDF 的面积。 因为BD=23 BC ，所以S △BDF ＝2S △DCF 。又因为AE ＝ED ，所以S △ABF ＝S △BDF ＝2S △DCF 。 学习奥数的优点 1、激发学生对数学学习的兴趣，更容易让学生体验成功，树立自信。 2、训练学生良好的数学思维习惯和思维品质。要使经过奥数训练的学生，思维更敏捷，考虑问题比别人更深层次。 3、锻炼学生优良的意志品质。可以培养持之以恒的耐心和克服困难的信心， 以及战胜难题的勇气。可以养成坚韧不拔的毅力 4、获得扎实的数学基本功，发挥创新精神和创造力的最大空间。 C D 18－1
因此，S △ABC ＝5 S △DCF 。由于S △ABC ＝8平方厘米，所以S △DCF ＝8÷5＝1.6（平方厘米），则阴影部分的面积为1.6×2＝3.2（平方厘米）。 练习1 1、 如图18－2所示，AE ＝ED ，BC=3BD ，S △ABC ＝30平方厘米。求阴影部分的面积。 2、 如图18－3所示，AE=ED ，DC ＝13 BD ，S △ABC ＝21平方厘米。求阴影部分的面积。 3、 如图18－4所示，DE ＝12 AE ，BD ＝2DC ，S △EBD ＝5平方厘米。求三角形ABC 的面积。 例题2。 两条对角线把梯形ABCD 分割成四个三角形，如图18－5所示，已知两个三角形的面积，求另两个三角形的面积各是多少？ 【思路导航】已知S △BOC 是S △DOC 的2倍，且高相等，可知：BO ＝2DO ；从S △ABD 与S △ACD 相等（等底等高）可知：S △ABO 等于6，而△ABO 与△AOD 的高相等，底是△AOD 的2倍。所以△AOD 的面积为6÷2＝3。 因为S △ABD 与S △ACD 等底等高 所以S △ABO ＝6 因为S △BOC 是S △DOC 的2倍 所以△ABO 是△AOD 的2倍 所以△AOD ＝6÷2＝3。 答：△AOD 的面积是3。 练习2 1、 两条对角线把梯形ABCD 分割成四个三角形，（如图18－6所示），已知两个三角形的 面积，求另两个三角形的面积是多少？ 2、 已知AO ＝13 OC ，求梯形ABCD 的面积（如图18－7所示）。 3、 已知三角形AOB 的面积为15平方厘米，线段OB 的长度为OD 的3倍。求梯形ABCD 的面积。（如图18－8所示）。 B D 18－ 2 C D 18－3 C D 18－4 B C 18－5
六年级奥数特殊工程问题（教师） 专题简析： 有些工程题中，工作效率、工作时间和工作总量三者之间的数量关系很不明显，这时我们就可以考虑运用一些特殊的思路，如综合转化、整体思考等方法来解题。 例1： 修一条路，甲队每天修8小时，5天完成；乙队每天修10小时，6天完成。两队合作，每天工作6小时，几天可以完成？ 把前两个条件综合为“甲队40小时完成”，后两个条件综合为“乙队60小时完成”。则 1÷[15×8 +110×6 ]÷6=4（天） 或1÷[（15×8 +1 10×6 ）×6]=4（天） 答：4天可以完成。 练习1： 1、 修一条路，甲队每天修6小时，4天可以完成：乙队每天修8小时，5天可以完成。现在让甲、乙两队合修，要求2天完成，每天应修几小时？ 甲队每小时修:1/(4×6)=1/24 乙队每小时修:1/(5×8)=1/40 两队合修每小时修:1/24+1/40=1/15 两队合作，每天完成所以甲乙合作,1/24+1/40=1/15 两天修完,那需要的天数就是1÷1/15＝7.5小时 2、一项工作，甲组3人8天能完成，乙组4人7天也能完成。现在由甲组2人和乙组7人合作，多少天可以完成？ 甲组一人每天能完成1/3×8＝1/24. 乙组一人每天能完成1/4×7＝1/28 甲组2人,效率是1/12,乙组7人效率是1/4 1÷（1/24×23＋1/28×7）＝3（天） 3、货场上有一堆沙子，如果用3辆卡车4天可以完成，用4辆马车5天可以运完，用20辆小板车6天可以运完。现在用2辆卡车、3辆马车和7辆小板车共同运两天后，全改用小 板车运，必须在两天内运完。问：后两天需要多少辆小板车？ 解法一：工程法 大卡车的工作效率是：1÷3÷4=1/12 小卡车的工作效率是：1÷4÷5=1/20 手推车的工作效率是：1÷20÷6=1/120 1/12×2×2=1/6×2=1/3 1/20×3×2=3/20×2=3/10 1/120×7×2，=7/120×2=7/60 1-（1/3+3/10+7/60）=1-（19/30+7/60），=1-45/60 =1/4 1/4÷1/120÷2=30÷2=15（辆）；答：两天每天至少需要15辆手推车． 解法二：份数法 假设小板车每天运1份，共有20×6＝120份。 每辆卡车每天运120÷3÷4＝10份，每辆马车每天运120÷4÷5＝6份。 2天搬完，每天搬120÷2＝60份，需要小板车60－2×10－3×6＝22份。 剩下的就需要22－7＝15辆小板车。
第十八周 面积计算（一） 专题简析： 计算平面图形的面积时，有些问题乍一看，在已知条件与所求问题之间找不到任何联系，会使你感到无从下手。这时，如果我们能认真观察图形，分析、研究已知条件，并加以深化，再运用我们已有的基本几何知识，适当添加辅助线，搭一座连通已知条件与所求问题的小“桥”，就会使你顺利达到目的。有些平面图形的面积计算必须借助于图形本身的特征，添加一些辅助线，运用平移旋转、剪拼组合等方法，对图形进行恰当合理的变形，再经过分析推导，方能寻求出解题的途径。 例题1。 已知图18－1中，三角形ABC 的面积为8平方厘米，AE ＝ED ，BD=2 3 BC ，求阴影部 分的面积。 【思路导航】阴影部分为两个三角形，但三角形AEF 的面积无法直接计算。由于AE=ED, 连接DF ，可知S △AEF =S △EDF （等底等高），采用移补的方法，将所求阴影部分转化为求三角形BDF 的面积。 因为BD=2 3 BC ，所以S △BDF ＝2S △DCF 。又因为AE ＝ED ，所以S △ABF ＝S △BDF ＝2S △DCF 。 因此，S △ABC ＝5 S △DCF 。由于S △ABC ＝8平方厘米，所以S △DCF ＝8÷5＝1.6（平方厘米），则阴影部分的面积为1.6×2＝3.2（平方厘米）。 练习1 1、 如图18－2所示，AE ＝ED ，BC=3BD ，S △ABC ＝30平方厘米。求阴影部分的面积。 2、 如图18－3所示，AE=ED ，DC ＝1 3 BD ，S △ABC ＝21平方厘米。求阴影部分的面积。 3、 如图18－4所示，DE ＝1 2 AE ，BD ＝2DC ，S △EBD ＝5平方厘米。求三角形ABC 的面 积。 B D 18 －2 C D 18－1 C D 18－3 C D 18－4
专题简析： 当你逆风骑自行车时有什么感觉？是地，逆风时需用很大力气，因为面对地是迎面吹来地风.当顺风时，借着风力，相对而言用里较少.在你地生活中是否也遇到过类似地如流水行船问题.资料个人收集整理，勿做商业用途 解答这类题地要素有下列几点：水速、流速、划速、距离，解答这类题与和差问题相似.划速相当于和差问题中地大数，水速相当于小数，顺流速相当于和数，逆流速相当于差速.资料个人收集整理，勿做商业用途 划速（顺流船速逆流船速）÷； 水速（顺流船速—逆流船速）÷； 顺流船速划速水速； 逆流船速划速—水速； 顺流船速逆流船速水速×； 逆流船速逆流船速—水速×. 例题： 一条轮船往返于、两地之间，由地到地是顺水航行，由地到地是逆水航行.已知船在静水中地速度是每小时千米，由地到地用了小时，由地到地所用地时间是由地到地所用时间地倍，求水流速度.资料个人收集整理，勿做商业用途 在这个问题中，不论船是逆水航行，还是顺水航行，其行驶地路程相等，都等于、两地之间地路程；而船顺水航行时，其形式地速度为船在静水中地速度加上水流速度，而船在怒水航行时地行驶速度是船在静水中地速度与水流速度地差.资料个人收集整理，勿做商业用途解：设水流速度为每小时千米，则船由地到地行驶地路程为[（）×]千米，船由地到地行驶地路程为[（—）××]千米.列方程为资料个人收集整理，勿做商业用途 （）×（—）×× 答：水流速度为每小时千米. 练习： 、水流速度是每小时千米.现在有船顺水而行，小时行千米.若逆水行千米需几小时？ 、水流速度每小时千米.现在有一船逆水在千米地河中航行需小时，顺水航行需几小时？ 、一船从地顺流到地，航行速度是每小时千米，水流速度是每小时千米，天可以到达.次船从地返回到地需多少小时？资料个人收集整理，勿做商业用途 例题： 有一船行驶于千米长地河中，逆行需小时，顺行要小时，求船速和水速. 这题条件中有行驶地路程和行驶地时间，这样可分别算出船在逆流时地行驶速度和顺流时地行驶速度，再根据和差问题就可以算出船速和水速.列式为资料个人收集整理，勿做商业用途 逆流速：÷（千米时） 顺流速：÷（千米时） 船速：（）÷（千米时） 水速：（—）÷（千米时） 答：船速是每小时行千米，水速是每小时行千米. 练习： 、有只大木船在长江中航行.逆流而上小时行千米，顺流而下小时行千米.求这只木船每小时划船速度和河水地流速各是多少？资料个人收集整理，勿做商业用途 、有一船完成千米地水程运输任务.顺流而下小时到达，但逆流而上则需小时.求河水流速和
室内面积计算公式 1、每户建筑面积（m2/户） S2=套内面积+公摊面积 公摊面积=公摊面积比X套内面积 公摊面积之和 公摊面积公式= ——————— 套内面积 公摊面积之和=楼梯间、电梯间、过道、垃圾间、设备间、发电间等之和 2、每户套内面积（m2/户） S1=外墙以内所有面积（共用墙算一半｝ 凸阳台算一半、凹阳台全算 一、楼地面 1、找平层、整体面层按房间净面积以平方米计算，不扣除柱、墙垛、间壁墙及面积在0.3㎡以内孔洞所站面积，但门洞口、暖气槽面积也不增加。 2、块料面层、木地板、活动地板，按图示尺寸以平方米计算。 3、铝合金道牙按图示尺寸以米计算。 4、楼梯满铺地毯按楼梯间净水平投影面积以平方米计算，但楼梯井宽超过500㎜者应扣除其面积；不满铺地毯按实铺地毯的展开面积计算。 5、块料踢脚、木踢脚按图示长度以米计算。 6、台阶、坡道按图示水平投影面积以平方米计算。 7、防滑条、地毯压棍和地毯压板按图示尺寸以米计算。 二、天棚 1、天棚面层 A、天棚面层按房间净面积以平方米计算，不扣除检查口、附墙烟囱、附墙垛和管道所占面积，但应扣除独立柱、与天棚相连的窗帘盒、0.3㎡以上洞口及嵌顶
灯槽所占的面积。 B、天棚中的折线、错台、拱型、穹顶、高低灯槽等其它艺术形式的天棚面积均按图示展开面积以平方米计算。 2、面层装饰 A、天棚面积按房间净面积以平方米计算，不扣除柱、垛、附墙烟囱、检查口和管道所占的面积带梁的天棚，梁两侧面积并入天棚工程量内。 B、密肋梁井字梁天棚面积按图示展开面积以平方米计算。 C、天棚中的折线、灯槽线、圆弧型线、拱型线等艺术形式的面层按图示展开面积以平方米计算。 D、天棚涂料、油漆、裱糊按饰面基层相应的工程量以平方米计算。 3、其它项目 A、金属格栅吊顶、硬木格栅吊顶等均根据天棚图示尺寸按水平投影面积以平方米计算。 B、玻璃采光天棚根据玻璃天棚面层的图示尺寸按展开面积以平方米计。 C、天棚吸音保温层按吸音保温天棚的图示尺寸以平方米计算。 D、藻井灯带按灯带外边线的设计尺寸以米计算。 三、墙面（内墙饰面） 1、涂料、裱糊工程量均按图示尺寸以平方米计算。 2、墙面镶贴面砖、石材及各种装饰板面层，均按图示尺寸以平方米计算。 3、墙面的木装修及各种带龙骨的装饰板、软包装修均分龙骨、衬板、面层按图示尺寸以平方米计算 四、隔墙、隔断和保温 1、隔墙的龙骨、隔墙板、板式隔墙及墙体保温均按墙体图示的净长乘以净高以
六年级奥数举一反三第33周行 程问题 专题简析； 行程问题的三个基本量是距离·速度和时间。其互逆关系可用乘·除法计算，方法简单，但应注意行驶方向的变化，按所行方向的不同可分为三种；【1】相遇问题；【2】相离问题； 【3】追及问题。 行 程问题的主要数量关系是；距离=速度×时间。它大致分为以下三种情况； 【1】相向而行；相遇时间=距离÷速度和 【2】相背而行；相背距离=速度和×时间。 【3】同向而行；速度慢的在前，快的在后。 追及时间=追及距离÷速度差 在环形跑道上，速度快的在前，慢的在后。 追及距离=速度差×时间。 解决行程问题时，要注意充分利用图示把题中的情节形象地表示出来，有助于分析数量关系，有助于迅速地找到解题思路。 例题1； 两辆汽车同时从某地出发，运送一批货物到距离165千米的工地。甲车比乙车早到8分钟，当甲车到达时，乙车还距工地24千米。甲车行完全程用了多少小时？ 解答本题的关键是正确理解“已知甲车比乙车早刀8分钟，当甲车到达时，乙车还距工地24千米”。这句话的实质就是；“乙48分钟行了24千米”。可以 先求乙的速度，然后根据路程求时间。也可以先求出全程165千米是24千米的多少倍，再求甲行完全程要用多少小时。 解法一；乙车速度；24÷48×60=30【千米/小时】 甲行完全程的时间；165÷30—4860 =4，7【小时】 解法二；48×【165÷24】—48=282【分钟】=4，7【小时】 答；甲车行完全程用了4，7小时。 练习1； 1·甲·乙两地之间的距离是420千米。两辆汽车同时从甲地开往乙地。第一辆每小时行42千米，第二辆汽车每小时行28千米。第一辆汽车 到乙地立即返回。两辆汽车从开出到相遇共用多少小时？ 2·A ·B 两地相距900千米，甲车由A 地到B 地需15小时，乙车由B 地到A 地需10小时。两车同时从两地开出，相遇时甲车距B 地还有多少千米？ 3·甲·乙两辆汽车早上8点钟分别从A ·B 两城同时相向而行。到10点钟时两车相距112，5千米。继续行进到下午1时，两车相距还是112，5千米。A ·B 两地间的距离是多少千米？ 例题2； 两辆汽车同时从东·西两站相向开出。第一次在离东站60千米的地方相遇。之后，两
房屋面积计算方法
房屋面积的计算方法 一、房屋丈量方法 1. 丈量整幢房屋的四周边长。 2. 逐户逐间丈量房屋室内边长（以内墙面为准）、墙体厚度，读数取至 0.01米。 二、共有共用部位的认定丈量 1. 丈量整幢房屋的楼梯、过道等公共部位的边长。 2. 确认整幢房屋中可计入房屋面积分摊的共有共用部位。 三、房屋面积计算 按照《房产测量规范》的规定，房屋面积以幢为单位计算。 （注：图上标注尺寸为轴线尺寸，阳台为外墙面尺寸，长度单位：米，面积单位：平方米。） 1. 建筑面积的计算 整幢房屋建筑面积指房屋外墙（柱）勒脚以上各层外围水平投影面积之和，包括阳台、走廊、楼梯、地下室等具备有上盖，结构牢固，层高在2.20米以上（含2.20米）的永久性建筑的建筑面积。 例：本幢总建筑面积 （13.90×6.40+7.10×17.90+1.30×7.10-3.40×2.30）×6+0.9×2.90+10×（1.15×3.70）/2+10×（0.75×3.55）/2+2×（1.15×3.55）/2+2×（1.15×3.70）/2=1351.78 2. 套内建筑面积计算
套内建筑面积=套内使用面积+套内墙体面积+阳台建筑面积 套内建筑面积通俗地说就是分户门内建筑中轴线范围内的建筑面积与阳台建筑面积之和。 例：本幢各套内建筑面积 6×（13.60×6.40+17.60×6.80+1.30×6.80-8.10×2.60-2×1.20× 2.10）+10×（1.15× 3.70）/2+10×（0.75×3.55）/2+2×（1.15×3.55）/2+2×（1.15×3.70）/2=1181.17 3. 共有共用建筑面积的计算 A. 共有建筑面积的组成： （1）电梯井、楼梯间、垃圾道、变电室、设备间、公共门厅和过道、值班警卫室等以及为整幢服务的公共用房和管理用房的建筑面积。 （2）套与公共建筑之间的分隔墙，以及外墙（包括山墙）水平投影面积一半的建筑面积。 B. 共有建筑面积的计算 一般多层住宅，整幢房屋的建筑面积扣除整幢房屋的各套套内建筑面积之和，以及作为独立使用的地下室、车棚、人防工程等建筑面积，即为整幢房屋的共有建筑面积。 例：本幢房屋的共有建筑面积为楼梯和四周外墙的一半。 1351.78-1181.17=170.61 4. 共有建筑面积分摊系数计算 共有建筑面积分摊系数=共有分摊建筑面积之和/各套内建筑面积之和。 例：本幢房屋共有建筑面积分摊系数 K=170.61/1181.17=0.144442 5. 应分摊的共有建筑面积计算 应分摊的共有建筑面积=共有建筑面积分摊系数×套内建筑面积 例：102室套内建筑面积 6.80×6.40+2.10×3.40+0.65×2.40+（1.15×3.55）/2=54.26 102室应分摊的共有建筑面积 54.26×0.144442=7.84 6. 房屋建筑面积 房屋建筑面积=套内建筑面积+分摊的共有建筑面积 102室建筑面积 54.26+7.84=62.10
第三十四周 行程问题（二） 专题简析： 在行程问题中，与环行有关的行程问题的解决方法与一般的行程问题的方法类似，但有两点值得注意：一是两人同地背向运动，从第一次相遇到下次相遇共行一个全程；二是同地、同向运动时，甲追上乙时，甲比乙多行了一个全程。 例题1： 甲、乙、丙三人沿着湖边散步，同时从湖边一固定点出发。甲按顺时针方向行走，乙与丙按逆时针方向行走。甲第一次遇到乙后114 分钟于到丙，再过33 4 分钟第二次遇到乙。已 知乙的速度是甲的2 3 ，湖的周长为600米，求丙的速度。 甲第一次与乙相遇后到第二西与乙相遇，刚好共行了一圈。甲、乙的速度和为600÷（11 4 +334 ）=120米/分。甲、乙的速度分别是：120÷（1+2 3 ）=72（米/分），120—72=48（米/分）。甲、丙的速度和为600÷（11 4 +334 +114 ）=96（米/分），这样，就可以求出丙的速度。 列算式为 甲、乙的速度和：600÷（114 +33 4 ）=120（米/分） 甲速：120÷（1+2 3 ）=72（米/分） 乙速：120—72=48（米/分） 甲、丙的速度和：600÷（114 +334 +11 4 ）=96（米/分） 丙的速度：96—72=24（千米/分） 答：丙每分钟行24米。 练习1： 1、甲、乙、丙三人环湖跑步。同时从湖边一固定点出发，乙、丙两人同向，甲与乙、丙两人反向。在甲第一次遇到乙后114 分钟第一次遇到丙；再过33 4 分钟第二次遇到途。已 知甲速与乙速的比为3：2，湖的周长为2000米，求三人的速度。 2、兄、妹2人在周长为30米的圆形小池边玩。从同一地点同时背向绕水池而行。兄每秒走1.3米。妹每秒走1.2米。他们第10次相遇时，劢还要走多少米才能归到出发点？ 3、如图34-1所示，A 、B 是圆的直径的两端，小张在A 点，小王在B 点，同时出发反向而行，他们在C 点第一次相遇，C 点离A 点80米；在D 点第二次相遇，D 点离B 点60米。求这个圆的周长。
第一讲面积计算（一） 【专题导引】 计算平面图形的面积时，有些问题乍一看，在已知条件与所求问题之间找不到任何联系，会使你感到无从下手。这时，如果我们能认真观察图形，分析、研究已知条件，并加以深化，再运用我们已有的基本几何知识，适当添加辅助线，搭一座连通已知条件与所求问题的小“桥”，就会使你顺利地达到目的。有些平面图形的面积计算必须借助于图形本身的特征，添加一些辅助线，运用平移旋转、剪拼组合等方法，对图形进行恰当合理的变形，再经过分析推导，方能寻求出解题的途径。 【典型例题】 【B1】已知图18-1中，三角形ABC 的面积为8平方厘米，AE=ED ，BD= 3 2BC ，求阴影部分的面积。 【试一试】 1、如图所示，AE=ED ，BC=3BD ，S △ABC =30平方厘米。求阴影部分的面积。 2、如图所示，AE=ED ，DC=3 1BD ，S △ABC =21平方厘米。求阴影部分的面积。 3、如图所示，DE=2 1AE ，BD=2DC ，S △EBD =5平方厘米。求三角形ABC 的面积。
C E A C G C E G 【B2】如图所示，如三角形ABC 中，三角形BDE 、DCE 、ACD 的面积分别是90，30，28平方厘米。那么三角形ADE 的面积是多少？ 【试一试】 1、如图所示，在三角形ADE 中，三角形ABC 、BCE 、CDE 的面积分别是50，24，37平方厘米。求三角形BDC 的面积。 2、如图所示，在三角形AGH 中，三角形ABC 、BCD 、CDE 、DEF 、EFG 、FGH 的面积分别是19，21，23，25，28，29平方厘米。求三角形EFH 的面积。 3、如图所示，在三角形ABC 中，三角形ADE 、DEF 、EFG 、FGH 、CGH 、BCH 的面积分别是5，7，11，15，20，12平方厘米。求三角形BGH 的面积。 【B3】四边形ABCD 的对角线BD 被E 、F 两点三等分，且四边形AECF 的面积为15平方厘米。求四边形ABCD 的面积（如图所示）。
根据<商品房销售管理办法>第十八条,"商品房建筑面积由套内建筑面积和分摊的共有建筑面积组成。套内建筑面积是由三部分组成的，其计算公式为：套内建筑面积=套内使用面积+套内墙体面积+阳台建筑面积。 一、套内使用面积的计算应符合下列规定： (1)套内使用面积包括卧室、起居室、厅、过道、厨房、卫生间、假层、厕所、储藏室、壁柜等分户门内面积总和； (2)跃层住宅中的房内楼梯按自然层楼的面积总和计入使用面积； (3)不包含在结构面积内的烟囱、通气道等面积。 二、套内墙体面积的计算： 新建住宅各套内使用空间周围的维护或承重墙体，有公用墙和非公用墙两种。新建住宅各套之间的分隔墙、套与公用建筑空间之间的分隔墙以及外墙(包括外山墙)均为公用墙，公墙墙体按水平投影面积的一半计入套内墙体面积。非公用墙墙体按水平投影面积的全部计入套内墙体面积。内墙面装修厚度均计入套内墙体面积。 三、阳台建筑面积的计算： (1)原设计的封闭式阳台，按其外围水平投影面积计算建筑面积； (2)挑阳台(底阳台)按其底板水平投影面积的一半计算建筑面积； (3)凹阳台按其净面积(含女儿墙墙体面积)的一半计算建筑面积；
(4)半挑半凹阳台，挑出部分按其底板水平投影面积的一半计算建筑面积，凹进部分按其净面积的一半计算建筑面积。 商品房销售面积计算及公用建筑面积分摊规则（试行） 第一条根据国家有关技术标准，制定《商品房销售面积计算及公用建筑面积分摊规则》（试行）。第二条本规则适用于商品房的销售和产权登记。 第三条商品房销售以建筑面积为面积计算单位。建筑面积应按国家现行《建筑面积计算规则》进行计算。 第四条商品房整栋销售，商品房的销售面积即为整栋商品房的建筑面积（地下室作为人防工程的，应从整栋商品房的建筑面积扣除）。 第五条商品房按“套” 或“单元”出售，商品房的销售面积即为购房者听购买的套内或单元内建筑面积（以下简称套内建筑面积）与应分摊的公用建筑面积之和。 商品房销售面积＝套内建筑面积＋分摊的公用建筑面积 第六条套内建筑面积由以下三部分组成： １、套（单元）内的使用面积； ２、套内墙体面积； ３、阳台建筑面积。 第七条套内建筑面积各部分的计算原则如下： １、套（单元）内的使用面积 住宅按《住宅建筑设计规范》规定的方法计算。其他建筑。按照专用建筑设计规范规定的方法或参照《住宅建筑设计规范》计算。
第三十二周逻辑推理（二） 专题简析： 解数学题，从已知条件到未知的结果需要推理，也需要计算，通常是计算与推理交替进行，而且这种推理不仅是单纯的逻辑推理，而是综合运用了数学知识和专门的生活常识相结合来运用。这种综合推理的问题形式多样、妙趣横生，也是小学数学竞赛中比较流行的题型。 解答综合推理问题，要恰当地选择一个或几个条件作为突破口。统称从已知条件出发可以推出两个或两个以上结论，而又一时难以肯定或否定其中任何一个时，这就要善于运用排除法、反证法逐一试验。 当感到题中条件不够时，要注意生活常识、数的性质、数量关系和数学规律等方面寻找隐蔽条件。 例题1： 小华和甲、乙、丙、丁四个同学参加象棋比赛。每两人要比赛一盘。到现在为止，小华已经比赛了4盘。甲赛了3盘，乙赛了2盘，丁赛了1盘。丙赛了几盘？ 这道题可以利用画图的方法进行推理，如图32-1所示，用5个点分别表示小华、甲、乙、丙、丁。如果两人之间已经进行了比赛，就在表示两人的点之间连一条线。现在小华赛4盘，所以小华应与其余4个点都连线…… 甲赛了3盘。由于丁只赛了一盘，所以甲与丁之间没有比赛。那么，就连接甲、乙和甲、丙。这时，乙已有了两条线，与题中乙赛2盘相结合，就不再连了。所以，从图32-1中可以看出，丙与小华、甲各赛一盘。即丙赛了两盘。 练习1： 1、A，B，C，D，E五位同学一起比赛象棋，每两人都要比赛一盘。到现在为止，A已经比赛了4盘。B赛了3盘，C赛了2盘，D赛了1盘。E赛了几盘？ 2、A先生和A太太以及三对夫妻举行了一次家庭晚会。规定每两人最多握手一次，但不和自己的妻子握手。握手完毕后，A先生问了每个人（包括他妻子）握手几次？令他惊讶的是每人答复的数字各不相同。那么，A太太握了几次手？ 3、五位同学一起打乒乓球，两人之间最多只能打一盘。打完后，甲说：“我打了四盘”。乙说：“我打了一盘”。丙说：“我打了三盘”。丁说：“我打了四盘”。戊说：“我打了三盘”。 你能肯定其中有人说错了吗？为什么？ 例题2： 图32-2是同一个标有1，2，3，4，5，6的小正方体的三种不同的摆法。图中正方体三个朝左的一面的数字之积是多少？ 用排除法排除不符合条件的情形，最后剩下的情况就是所要的结果。 由（1）、（2）两个图可以看出，1的对面不可能为4，6，2，3，所以1的对面必为5；由（2）、（3）两个图形可以看出，3的对面不可能为1，2，4，5，所以3的对面必为6。由此可知，4的对面必定为2。上面正方体三个朝左一面的数字依次为2，5，6。所以它们的积为2×5×6=60。 练习2： 1、图32-3是同一个标有1，2，3，4，5，6的小正方体的三种不同的摆法。图中正方体三个朝左的一面的数字之和是多少？ 2、将红、黄、蓝、白、黑、绿六种颜色分别涂在正方体各面上（每一面只涂一种颜色）。现有涂色方式完全一样的相同的四块小正方体，把它们拼成长方体（如图32-4所示），每个小正房体红色面的对面涂的是什么颜色？黄色对面的？黑色对面呢？ 3、如图32-5所示，每个正方体的6个面分别写着数字1～6，并且任意两个相对的面上所写的两个数之和都等于7。把这样的5个正方体一个挨一个连接起来后，金挨着的两个面上的数字之和