第1课时角的和与差及角的平分线
知识点 1 角的和与差
1．如图2－7－1，下列式子中错误的是( )
A．∠AOC＝∠AOB＋∠BOC
B．∠AOC＝∠AOD－∠COD
C．∠AOC＝∠AOB＋∠BOD－∠BOC
D．∠AOC＝∠AOD－∠BOD＋∠BOC
图2－7－1 图2－7－2
2．把两块三角尺按如图2－7－2所示那样拼在一起，则∠ABC等于( )
A．70° B．90° C．105° D．120°
3．如图2－7－3，O是直线l上一点，∠AOB＝105°，则∠1＋∠2＝________°.
图2－7－3 图2－7－4
4．如图2－7－4，已知∠AOC＝90°，直线BD过点O，∠COD＝115°，则∠AOB的度数为________．
5．如图2－7－5，已知∠AOC＝∠BOD＝110°，∠BOC＝75°，求∠AOD的度数．
图2－7－5
知识点 2 角的平分线
6．如图2－7－6，已知OC 是∠AOB 的平分线，下列结论不正确的是( ) A ．∠AOB ＝∠BOC B ．∠AOC ＝1
2∠AOB
C ．∠AOC ＝∠BOC
D ．∠AOB ＝2∠AOC
图2－7－6 图2－7－7
7．如图2－7－7，OC 是∠AOB 的平分线，OD 平分∠AOC ，且∠COD ＝25°，则∠AOB 的度数是( )
A ．50°
B ．75°
C ．100°
D ．120°
8．如图2－7－8，OB 是∠AOC 的平分线，OD 是∠COE 的平分线．如果∠AOC ＝80°，∠
COE ＝60°，则∠BOD 的度数为( )
图2－7－8
A．50° B．60° C．65° D．70°
9．如图2－7－9，从直线AB上任一点引一条射线OC，已知OD平分∠BOC.若∠EOD＝90°，则OE一定是∠AOC的平分线，请说明理由．
图2－7－9
知识点 3 角度的加减运算
10．计算：50°－15°30′＝________．
11．计算：36°30′54″＋59°28′59″－61°5′9″＝________．
12．把一副三角尺按照如图2－7－10所示的位置摆放，则形成两个角，分别设为∠α，∠β.若已知∠α＝65°，则∠β的度数为( )
图2－7－10
A．15° B．25° C．35° D．45°
13．已知直线AB上有一点O，射线OD和射线OC在AB的同侧，∠AOD＝42°，
∠BOC＝34°，则∠AOD与∠BOC的平分线的夹角的度数是( )
A．142° B．90° C．38° D．以上都不对
14. 将一张纸按如图2－7－11所示的方式折叠，BC，BD为折痕，则∠CBD的度数为( )
A．80° B．90° C．100° D．110°
图2－7－11 图2－7－12
15．如图2－7－12，已知OE平分∠AOB，OD平分∠BOC，∠AOB为直角，∠EOD＝
70°，则∠BOC的度数为________．
16．如图2－7－13，将一副直角三角尺叠放在一起，使直角顶点重合于点O，则
∠AOB＋∠DOC＝________°.
图2－7－13
17．已知：如图2－7－14，∠AOB＝40°，∠BOC＝90°，∠COD＝30°，求∠AOC＋∠BOD的度数．
图2－7－14
18. 已知∠AOB＝80°，∠BOC＝20°，求∠AOC的度数．
19．如图2－7－15，OB平分∠AOC，∠AOD＝78°.
(1)若∠BOC＝20°，求∠COD的度数；
(2)若OC是∠AOD的平分线，求∠BOD的度数．
图2－7－15
20．两个角的顶点重合，且有一边重合，另一边互为反向延长线．若这两个角的度数之比为5∶4，则这两个角的度数差是( )
A．10° B．20° C．30° D．40°
21．如图2－7－16，已知同一平面内∠AOB＝90°，∠AOC＝60°.
(1)填空：∠BOC＝________°.
(2)若OD平分∠BOC，OE平分∠AOC，则∠DOE的度数为________°.
(3)在(2)的条件下，如果将题目中“∠AOC＝60°”改成“∠AOC＝2∠α(∠α<
45°)”，其他条件不变，你能求出∠DOE的度数吗？若能，请你写出求解过程；若不能，请说明理由．
图2－7－16
【详解详析】 1．C
2．D [解析] ∠ABC ＝30°＋90°＝120°. 3．75 [解析] 因为∠1＋∠AOB ＋∠2＝180°， 所以∠1＋∠2＝180°－∠AOB ＝180°－105°＝75°. 4．25°
5．解：因为∠AOC ＝110°，∠BOC ＝75°， 所以∠AOB ＝∠AOC －∠BOC ＝110°－75°＝35°. 又因为∠BOD ＝110°，
所以∠AOD ＝∠AOB ＋∠BOD ＝35°＋110°＝145°， 即∠AOD ＝145°.
6．A [解析] 因为OC 是∠AOB 的平分线，所以∠AOC ＝1
2∠AOB ，∠AOC ＝∠BOC ，∠AOB
＝2∠AOC ，所以A 选项错误，B ，C ，D 选项正确，故选A.
7．C [解析] 因为OC 平分∠AOB ， 所以∠AOC ＝1
2∠AOB .
又因为OD 平分∠AOC ，
所以∠COD ＝12∠AOC ＝12×12∠AOB ＝1
4∠AOB .
因为∠COD ＝25°，
所以∠AOB ＝4∠COD ＝100°.故选C.
8．D [解析] 因为OB 是∠AOC 的平分线，所以∠COB ＝∠AOB ＝40°.
因为OD 是∠COE 的平分线，所以∠COD ＝∠EOD ＝30°，所以∠BOD ＝∠COB ＋∠COD ＝40°＋30°＝70°.
9．解：如图，因为∠2＋∠3＝90°，
所以∠1＋∠4＝90°. 因为OD 平分∠BOC ， 所以∠3＝∠4， 所以∠1＝∠2，
所以OE 一定是∠AOC 的平分线． 10．34°30′ 11．34°54′44″
12．B [解析] 观察图形可知∠α＋∠β＋90°＝180°，即∠β＝180°－90°－65°＝25°.
13．A [解析] 设OM ，ON 分别是∠AOD ，∠BOC 的平分线，则∠AOM ＝1
2
∠AOD ＝21°，∠
BON ＝12
∠BOC ＝17°，所以∠MON ＝180°－∠AOM －∠BON ＝180°－21°－17°＝142°.
14．B
[解析] ∠CBD ＝ 1
2×180°＝90°.
15．50° 16．180°.
17．解：因为∠AOC ＝∠AOB ＋∠BOC ＝40°＋90°＝ 130°，∠BOD ＝∠BOC ＋∠COD ＝90°＋30°＝120°，
所以∠AOC ＋∠BOD ＝130°＋120°＝250°. 18．解：当OC 在∠AOB 的外部时，如图①，∠AOC ＝ ∠AOB ＋∠BOC ＝80°＋20°＝100°；
当OC 在∠AOB 的内部时，如图②，∠AOC ＝∠AOB －∠BOC ＝80°－20°＝60°. 综上所述，∠AOC 的度数为100°或60°.
图① 图② 19．解：(1)因为OB 平分∠AOC ，∠BOC ＝20°， 所以∠AOB ＝∠BOC ＝20°， 所以∠AOC ＝∠BOC ＋∠AOB ＝40°. 又因为∠AOD ＝78°，
所以∠COD ＝∠AOD －∠AOC ＝78°－40°＝38°. (2)因为OC 平分∠AOD ，
所以∠DOC ＝∠AOC ＝12∠AOD ＝1
2× 78°＝39°.
因为OB 平分∠AOC ，
所以∠BOC ＝12∠AOC ＝1
2
×39°＝19.5°，
所以∠BOD ＝∠DOC ＋∠BOC ＝39°＋19.5°＝58.5°. 20．B
21．解：(1)因为∠AOB ＝90°，∠AOC ＝60°，所以∠BOC ＝∠AOB ＋∠AOC ＝90°＋60°＝150°.故答案为150.
(2)因为OD 平分∠BOC ，OE 平分∠AOC ，
所以∠COD ＝12∠BOC ＝75°，∠COE ＝1
2∠AOC ＝30°，
所以∠DOE ＝∠COD －∠COE ＝45°. 故答案为45.
(3)能．因为∠AOB ＝90°，∠AOC ＝2∠α， 所以∠BOC ＝90°＋2∠α.
因为OD ，OE 分别平分∠BOC ，∠AOC ，
所以∠COD ＝12∠BOC ＝45°＋∠α，∠COE ＝1
2∠AOC ＝∠α，
所以∠DOE ＝∠COD －∠COE ＝45°.