角度量与表示
本文从网络收集而来，上传到平台为了帮到更多的人，如果您需要使用本文档，请点击下载按钮下载本文档（有偿下载），另外祝您生活愉快，工作顺利，万事如意！
说课稿
课题§角的度量与表示
兑继华
郑州市第七十九中学
一、教材的地位与作用今天，我说课的内容是北师大版七年级上册第四章第三节角的度量与表示，它是学习了线段、直线和射线后的一节课，是对前面知识的应用，也是后面学习平面知识的基础。是研究三角形、四边形重要的内容。根据这节课的课程标准、教材特点和学生的特点我制定了以下教学目标：（一）教学目标1．使学生通过实际生活中对角的认识，建立起几何中角的概念，并能掌握角的两个定义方法．2．使学生掌握角的各种表示方法．3．通过角的第二定义的教学，学生进一步认识几何图形中的运动、变化的情况，初步会用运动、变化的观点看待几何图形，初步形成辩证唯物主义观点．4．使学生掌握平角、周角和直角的概念．（二）教学重点和难点角的概念及两个定义和角的表示法是本节的重点也是难点．这是
因为角的个数在查找时容易出错，对角的表示因为有四种方法所以学生容易混淆，要巩固几遍，并让学生对角表示练习。这也是后面必须掌握的内容。二、教学方法启发式教学。新课程要求学生是课堂教学的主体，教师是主导，是课堂教学的组织者、参与者和指导者。老师主要是引导学生学习，让他们成为学习的主人，让他们进行学习活动。所以选择这种教学方法。
三、教学准备：、一副三角板四、教学课时：一课时五、教学设计（一）创设情境、引出课题1．问题的提出：回忆前面的学习内容，都是单纯讨论直线、射线、线段的性质、关系．以后将要学习由它们构成的图形，同学们想一想小学我们认识了一种几何图形——角。你能说出几个日常生活中给我们角的形象的物体吗？（学生回答）3．投影显示一些实物图形教师：的确如此，在我们日常生活中，角的形象可以说无出不在。因此，一些图案的设计；机械零件的等等，常常甬道角的画法、角的度量、角的大小比较等知识。从这节课开始我们就具体地研究角。（二）探究新知4．教师提问：通过同学们的例子和小学时你对角的认识，你能画出几个不同形状的角吗？学生活动，在练习本上，画出几个不同形状的角，找一个学生到黑板上画图。可能出现的情况
提出问题：根据小学所学你能指出所画出角的边和顶点吗？引导学生观察，叫的两边是前面我们学国的什么图象？，我们应该怎样给角下定义呢？引导学生观察这些角的共同特点：角的两边都有一个公共的端点，组成角的两边的是射线．由此引导学生得到角的定义：有公共端点的两条射线组成的图形叫做角．注意正确理解角的定义，首先组成角有两个条件有两条射线．这两条射线叫做角的两边．两条射线有一个公共的端点．这个公共的端点叫做角的顶点．还应指出的是：我们平时画角的时候，只能将边画成两条线段，这是由于只能用角的一部分来研究角，而角的定义中边是两条射线，也就是说这两条边可以无限延伸．5．教师提问钟表的指针是怎样形成角的？学生能够回答：一个指针在转．教师这时指出角的第二个定义：一条射线oA由原来位置绕着它的端点o旋转到另一个位置oB所成的图形．注意对这一定义的理解：此定义与以前学过的定义有所不同，它是用运动的方法来定义角的．也就是从角的产生过程下定义，它对一条射线的原始位置开始描述，直到运动到最后位置．在此定义中，对运动的方向并没有要求．也就是说，可以顺时针旋转，也可以逆时针旋转．但要明确：初中阶段是指逆时针方向旋转所形成的角．这一
点要对学生讲清楚，以便为将来学习任意角埋下伏笔．要告诉学生oA叫做角的始边，oB叫做角的终边．而且始边可以与终边重合，还可以在重合以后继续旋转，从而得到几种特殊的角．（二）、平角、周角和直角的概念教师设计以下提问：1．从角的第二定义出发，对射线oA的旋转可以到哪些特殊位置？2．这些特殊的角之间有哪些关系？针对学生的回答，教师与学生一起总结出直角、平角、周角的定义．平角：射线oA绕点o旋转，当终止位置oB与起始位置oA 成一条直线时，所成的角叫做平角．周角：射线oA 绕点o旋转，当终止位置oB与起始位置oA第一次重合时，所成的角叫做周角．直角：平角的一半叫做直角．（三）、角的表示法这部分内容主要由教师讲解，并指出这些表示法是一些规定，必须遵守．1．角的内部和外部角的内部：射线旋转时经过的平面部分是角的内部．角的外部：平面内除去角的内部和角的顶点、角的边以外的部分是角的外部．教师通过以下图形对角的内部、角、角的外部进行讲解，使学生有一个感性的认识，如图1-16．注：角将平面分为三部分．即角的外部、角的内部、和角的两边及顶点．2．大写字母表示角：规定用三个大写字母表示角；这三个大写字母应分别写在顶点、两条边上的任意的点；三个字
母的顺序也有规定，顶点的字母必须写在中间，如图1-17．以上四个角依次表示为：∠ABc，∠BoE，∠cAN，∠BDc．注意顶点的字母不一定用o，角的终边与始边的字母也可以随意．在下面的图形中，我们将看一看平角和周角的表示方法，如图1-18．左边的图为平角，记为∠AoB，右边的图为周角，记为∠AoB．注意周角由于终边与始边重合，所以oA与oB为同一条射线．标法如图．3．用一个大写字母表示角：如图1-17中的四个角也可以记为∠B，∠o，∠A，∠D．但要注意的是当两个或两个以上的角有同一个顶点时，不能用一个大写字母．如图1-19．左边的图中以o为顶点的角有三个∠Aoc，∠coB和∠AoB，如果写∠o 就不知道表示哪一个角，右边的图形中以A为顶点的角有六个，写成∠A后就会分不清表示的是哪一个角．因此用一个大写字母表示角的时候，一定要在不会发生混淆的情况下使用．4．用一个希腊字母表示角：方法是，在角的内部靠近角的顶点处画一弧线，写上一个希腊字母，如α，β，γ等，记作∠α，读作角α．如图1-20．5．用一个数字表示角，方法是，在角的内部靠近角的顶点处画一弧线，写上一个数字如1，2，3等，记作∠1，读作角1．如图1-20，在一个顶点的角较多的情况下，也可以这样表示，如图1-21．6．练
习：如图1-22，将下面图形中的角分别用两种方法表示．写出图中大于直角且小于平角的角．如图1-23．（四）、总结教师提问：1．这节课我们都学习了哪些概念？2．通过这节课你都认识了哪些角？它们都怎样定义的?学生回答后，教师再做总结．这节课我们学习了角的概念，它是用两种方法定义的，一个是用静止的观点，另一个是用运动的观点．对第二定义的形式要加以重视．在此基础上，有了特殊角：平角、周角、直角的概念．角的表示方法有四种：用三个大写字母表示；用一个大写字母表示；用一个希腊字母表示；用一个阿拉伯数字表示．七、练习设计1．每人在实际生活中找出三到五个角的实例，其中包括直角、平角和周角．2．如图1-24，指出每个图形中的所有直角．3．如图1-25，指出下列每个图形中的所有小于180°的角．4．任意画一个角∠AoB，在它的内部取一点E，作射线oE，用大写字母写出图中所有的角；任意画一个角∠EoF，在它的内部取两个点A，B，作射线oA，oB．用希腊字母表示图中所有的角．八、板书设计§角的度量和表示（一）知识回顾（三）例题解析（五）课堂小结例1、例2（二）观察发现（四）课堂练习练习设计九、教学后记1．本教案的教学时间为1课时45分钟．2．教学设计的主要指导思想是：
让学生了解第一章的总体知识结构，具体讲，就是在学习了直线、射线和线段性质的基础上，由它们组成新的几何图形，从而使学生认识：几何图形是由简单到复杂的组合过程．借讲角的第二定义之机，用运动的观点研究几何图形，初步培养学生的辩证唯物主义观点．加强数学的实践性，养成学生联系实际的好习惯，提高他们解决实际问题的能力．通过角的不同表示法，使学生看到解决一个问题有多种方法的好处，为培养学生的发散性思维打下基础．3．本教案对课本的顺序进行了一定的更改，将直角的定义与平角、周角的一起给出，这样强调了知识的系统性，更有利于学生掌握知识的结构．4．在作业中，将有些以后常用的几何图形，如矩形、三角形、平行四边形、两个三角形的特殊位置关系等，都让学生见一见，为将来的学习打下基础．5．角的各种表示法的教学一定要重视，要反复练习，尤其是从一个顶点出发的角有两个以上时，一定让学生写对，并告诉学生在没有特殊要求的情况下，最好用数字表示角，这样既简便又清晰．6．以下思考题供参考：一条直线是一个平角吗？如图1-25，∠AoB内部画99条射线，问图中一共有多少个角？从特殊性想起：角内没画射线——1个角角内画1条射线——个角角内画2条射线——个角……角内画99
条射线——1+2+3+4+…+100=5050个角
本文从网络收集而来，上传到平台为了帮到更多的人，如果您需要使用本文档，请点击下载按钮下载本文档（有偿下载），另外祝您生活愉快，工作顺利，万事如意！
《电工学（少学时）》第三章正弦量的相量表示法 学习目标： 1. 掌握复数的基本知识。 2 ．掌握正弦量的相量表示法。 重点：正弦量的相量表示法。 难点：相量图 一、相量法的引入 一个正弦量可以用三角函数式表示，也可以用正弦曲线表示。但是用这两种方法进行正弦量的计算是很繁琐的，有必要研究如何简化。 由于在正弦交流电路中 , 所有的电压、电流都是同频率的正弦量，所以要确定这些正弦量，只要确定它们的有效值和初相就可以了。相量法就是用复数来表示正弦量。使正弦交流电路的稳态分析与计算转化为复数运算的一种方法。 二、复数概述 1 ．复数：形如的式子称为复数，为复数的实部，为复数的虚部，、 均为实数，为虚数单位。 图 4-3 复数的图示法 2 ．复数的图示法
式中为复数 A 的模，为复数 A 的辐角。 3 ．复数的表示形式及其相互转换 其中代数式常用于复数的加减运算，极坐标式常用于复数的乘除运算。 4 ．复数的运算法则 ①相等条件：实部和虚部分别相等（或模和辐角分别相等）。 ②加减运算：实部和实部相加（减），虚部和虚部相加（减）。 ③乘法运算：模和模相乘，辐角和辐角相加。 ④ 除法运算：模和模相除，辐角和辐角相减。 三、相量表示法 1 ．正弦量与复数的关系 = sin( ψ )= [ ]= [ ] 正弦电压等于复数函数的虚部，该复数函数包含了正弦量的三要素。 2 ．相量 ---- 分有效值相量和最大值相量 ① 有效值相量：= / ψ ② 最大值相量：= / ψ 3 ．相量图
在复平面上用一条有向线段表示相量。相量的长度是正弦量的有效值I ，相量与正实轴的夹角是正弦量的初相。这种表示相量的图称为相量图。 例 4-4 ：。写出表示 1 和2 的相量，画相量图。 解： 1 =100 /60 ° V 2 =50 /-60 ° V 相量图见图 4-4 。 例 4-5: 已知 1 =100 sin A ， 2 =100 sin( -120 ° )A ，试用相量法求 1 + 2 ，画相量图。 解： 1 =100 /0 °A 2 =100 /-120 ° A 1 + 2 =100 /0 ° + 100 /-120 ° =100 /-60 ° A 1 + 2 =100 sin( -60 ° )A 相量图见图 4-5 。 作业： 4-5 、 4-7 、 4-8
河北经济管理学校教案 序号：1 编号：JL/JW/ 河北经济管理学校教案
一、课堂导入与提问（10min） 人们为了便与研究正弦交流电，常用三种方法来表示正弦交流电，对于三种表示方法都有哪些了解 二、讲授新课（25min） 1.解析式法解析正弦交流电 解析式法就是用三角函数式来表示正弦交流电的方法，即写出瞬时值表达式。它是表示正弦交流电最基本的方法。正弦交流电电动势、电压、电流的解析式一般表示为e=Emsin（ωt+Φe）=Em sinα u=Umsin（ωt+Φe）=Um sinα i=Imsin（ωt+Φe）=Im sinα 2.理解波形图法 波形图是与正弦交流电解析式相对应的函数图像，它能形象、直观的表示正弦量用波形图表示正弦交流电u = Um sinωt 3.旋转向量与正弦量（重难点） 一个正弦量可以用一个旋转向量来 表示，如图所示 得出结论：一个正弦量可以用一个 起始位置等于正弦初相的旋转向量来表 示 4.运用向量法分析正弦交流电（重难 点） （1）复数法：正弦量可以用复平面内的矢量表示，复数也可以用复平面内的矢量表示，因此正弦量可以用复数表示 （2）相量图法：向量在复平面上的图形称为向量图。作图时可以根据正弦量的最大值和初相画出最大值向量图，也可以根据正弦量的有效值和初相画出有效值相量图。一般我们使用有效值相量图，有效值相量图简称相量图。用相量图表示正弦量的方法称为相量图法三、计算举例（30min）
四、课堂小结（15min） 1.解析式法就是用三角函数式来表示正弦交流电的方法，即写出瞬时值表达式。它是表示正弦交流电最基本的方法。 2.波形图是与正弦交流电解析式相对应的函数图像，它能形象、直观的表示正弦量 用波形图表示正弦交流电u = Um sinωt 3.一个正弦量可以用一个旋转向量来表示 4.用旋转矢量表示正弦量时： （1）矢量的长度表示正弦交流电的最大值（也可表示有效值）； （2）矢量与横轴的夹角表示初相。 （3）矢量旋转速度表示正弦交流电的角频率。 五、布置作业（10min） 课本P157自我测评4、5、6、7
正弦量相量表示 1、基本概念 （1）正弦电路相量表示方法。正弦量的相量表示实质上就是用复数表示正弦量。为与一般的复数相区别，将表示正弦量的复数称为相量。正弦量的相量表示如表1所示。 表1正弦量的相量式三角函数式 相量的极坐标式相量的直角坐标式电压t U u ωsin 2=o 0∠=U U ）（o o 0sin j 0cos +=U U 电流)30sin(2o +=t I i ωo 30∠=I I ）（o o 30sin j 0cos3+=I I 电动势)30sin(2o -=t I e ωo 30-∠=E E ）（o o 30sin j 0cos3-=E E （2）相量的实质与目的。相量表示的实质上就是用复数表示正弦量。正弦量可用三角函数式、波形图等表示，但以此方法分析正弦交流电路比较困难，引入相量的目的是为了简化正弦交流电路的分析方法，即将正弦交流电路的计算变成复数式的代数运算。 2、正弦交流电路的相量分析方法 正弦交流电路引入相量后，正弦交流电路就有相量式法和相量图法两种分析方法。 （1）相量式法 1）将电路中已知的正弦量电压、电流、电动势用相量表示； 2）将电路中无源元件用阻抗表示，如R 、jX L 、-jX C ；
3）用各种电路分析方法求解，所有方程均为相量方程。一般加减运算用代数式；乘除运算用指数式或极坐标式。 （2）相量图法 1）选取参考相量，一般并联电路选电压U 、串联电路选电流I ，复联电路要视具体情况而定； 2）以参考相量为基础，根据元件上电压与电流的相位关系画出电路的相量图； 3）根据相量的几何关系（平行四边形法则）求解待求物理量。 2、注意事项 （1）正弦量与相量间为对应关系，不是“相等”或“等效”关系。 （2）相量法是分析计算正弦交流电路的一种辅助数学工具，可使正弦量的数学运算更为简便，且只适应于同频率的正弦量的分析计算。 （3）分析和计算正弦交流电路时，必要时可借助相量图的几何关系，同一相量图中各正弦量必须频率相同。
第九讲 正弦量的相量表示法 一、相量法的引入 1、相量法的概念：的用一个称为相量的向量或复数来表示正弦电压和电流。 2、正弦量的复数表示法： 假设正弦电压为 )sin()(m ψω+=t U t u 复数的形式：ψψ∠==∠+=+=m 22Y e Y a b arctg b a bi a Y j m 复数的模：表示电压的振幅； 复数的幅角：表示电压的初相。 正弦波电压的相量表示法：ψψ∠==m j m m e U U U 二、相量 1、概念：在复数平面上表示正弦电压和电流的复数的方有向线段。 3-2-1 正弦电压和电流的相量 2、正弦电压相量与正弦电压的关系 （1）正弦电压量的实质：电压的旋转相量在坐标轴（实轴或虚轴）上的投影。 （2）电压的旋转相量：当电压相量以角速度ω沿反时针方向旋转，即为旋转相量。 实轴上的投影：)cos(m ψω+t U 属于时间函数 虚轴上的投影：)sin(m ψω+t U 属于时间函数
图3-2-1 旋转相量及其在实轴和虚轴上的投影 （3）正弦量与相量表示法的相互关系 三、实例分析 【例3-2-1】正弦电流A )60314sin(5)(1?+=t t i ， A )120314cos(10)(2?--=t t i ，求电流相量，画出相量图，并求出i (t )=i 1(t)+i 2(t)。 解：表示正弦电流A )60314sin(5)(1?+=t t i 的相量为 A 605A e 560j m 1 ∠==I 用相量法分析电路时，各正弦量的瞬时表达式用正弦函数(余弦函数)表示。 将电流相量A 6051m ∠＝I 和A 15010m 2 ∠=I 画在一个复数平面上，就得到相量图 3-2-2。从相量图上容易看出各正弦电压电流的相位关系。 i m m i m u m m u m ) cos()() cos()(ψψωψψωωω∠=?→←+=∠=?→←+=I I t I t i U U t U t u A 15010A )150314sin(10 A )180********sin(10A )120314cos(10)(m 22 ∠=?→?+=+?+-=--=I t t t t i
第二节 交流电的表示法 一、 基础知识梳理 1．解析式表示法：u=U m sin(ωt+φu ) ，i=I m sin(ωt+φi ) 。根据三要素，可以方便的写出解析式。解析式表示法是表示正弦交流电最简洁，但也是最精确的表示法。 2．图像表示法：用正弦曲线直观的表示正弦交流电的表示方法。根据波形图，可以写出三要素，反之也可以。（如图所示） 图像表示法是表示正弦交流电最形象的表示法。 3．相量表示法：为了分析正弦交流电路时计算的方便，我们人为引入了正弦交流电的相量表示法。 复数 正弦量 复数 复数表示正弦量，这种复数叫做正弦量的“相量”用 表示。用复数画的向量图称“相量图”。 只有正弦交流电路才应用相量法。 )(b a A 22长度+=)(a b tg 1幅角-=有效值:初相角角度:有效值模数:初相位 幅角:I ,E ,U A )30t ωsin(1002i e 100I 0130J 10+=?= V )45t ωsin(2202u e 220U 0145J 10 -=?=-A )120t ωsin(502i 20501I 0202+=?= tV ωsin 3802u 380U 22=?=
相量形式是当频率一定时，正弦量瞬时值表达式的代表符。所以，采用相量法后，交流电路和直流电路中的定律和公式在形式上是相似的。所不同的是，交流电在计算时应按复数运算法则进行。 二、 应用举例 应用一：相量表示法 应用分析：相量形式：用复数的极坐标形式来表示交流量 正弦量可以用振幅相量或有效值相量表示，但通常用有效值相量表示。 有效值相量表示法是用正弦量的有效值做为相量的模(长度大小)、用初相角做为相量 的幅角，通式为：e E E ?∠= u U U ?∠= i I I ?∠= 相量图形式：把交流电的相量画到复平面中。（同频率的可画在同一复平面中） 例1：写出下列正弦电压的相量 (1) .U =10∠0 V (2) .U =10∠ /2V (3) . U =10∠- /2V (4) .U =10∠-3/4 V 举一反三： 如图所示为两个同频率的正弦交流电压u 1、u 2的波形，求u 1、u 2的解析式和相量形式，并画出相量图。
《复数 正弦量的相量表示》 1．复数的实部、虚部和模 复数叫虚单位，数学上用i 来代表它，因为在电工中i 代表电流，所以改用j 代表虚单位，即j=-1。 如图4.5所示，有向线段A 可用下面的复数 表示为 A =a +j b 图4.5 有向线段的复数表示 由图4.5可见， r 表示复数的大小，称为复数的模。有向线段与实轴正方向间的夹角，称为复数的幅角，用Φ表示， 规定幅角的绝对值小于180°。 2．复数的表达方式 复数的直角坐标式 ： 复数的指数形式 ： 复数的极坐标形式 ： 实部相等、虚部大小相等而异号的两个复数叫做共轭复数。用A *表示A 的共轭复数， 则有 A =a +j bA *=a-j b 例 写出下列复数的直角坐标形式。 5∠48°；1∠90°； 解： 复 数 的 运 算 1复数的加减 若两个复数相加减，可用直角坐标式进行。如：A 1=a 1+j b 1 A 2=a 2+j b 2 则 A 1±A 2=（a 1+j b 1）±a 2+j b 2）=（a 1±a 2）+j （b 1±b 2） 即几个复数相加或相减就是把它们的实部和虚部分别相加减。 复数与复平面上的有向线段（矢量）对应， 复数的加减与表示复数的有向线段（矢量）的加减相对应， 并且复平面上矢量的加减可用对应的复数相加减来计算。 2．复数的乘除 两个复数进行乘除运算时，可将 其化为指数式或极坐标式来进行。 )sin (cos sin cos ????j r jr r jb a A +=+=+=? j re A =?∠=r A 72 .335.348sin 548cos 5485j j +=?+?=?∠（1） j j =?+?=?∠90sin 90cos 901（2） A 1=a 1+jb 1= 11? ∠r A 2=a 2+jb 2 = 22?∠r )(212 1221121????-∠=∠∠=r r r r A A 22b a r +=
5．2 正弦量的相量表示法 一、复数及其运算 1、复数的形式及其相互转换 （1）代数形式（直角坐标形式）：A j a b =+ 其中：a 为实部，[]A a Re =，b 为虚部,[]A b Im =；每一个复数在复平面上都可找到唯一的点与之对应，而复平面上的每一点也都对应着唯一的复数。 复数还可以用复平面上的一个矢量来表示。复数A j a b =+，可以用一个从原点O 到P 点的矢量来表示，这种矢量称为复矢量。由图可知： 复数A 的模——矢量的长度：A r == 复数A 的辐角：矢量和实轴正方向的夹角?：规定 π?≤ a b arctan =?（复数落于第Ⅰ、Ⅳ象限） 或π?±=a b arctan （复数落于第Ⅱ、Ⅲ象限） 实部：??cos cos A r a == 虚步：??sin sin A r b == （2）复数的三角形式：()????sin j cos sin j cos +=+=A A A A （3）复数的指数形式：? j e A A =（欧拉公式：??? jsin cos j +=e ） （4）复数的极坐标形式：?∠=A A 例5-3 写出复数12A 4j3 , A 3j4=-=-+的极坐标形式。 解 1A 的模 15r = = 辐角 3 arctan 36.94 ?1-==-? （在第四象限） 则1A 的极坐标形式为1A 5=∠-36.9?。 2A 的模 25r = = 辐角 9.1261803 arctan 2=+-=?（在第二象限） 则 2A 的极坐标形式为2A 5126.9=∠?。 例5-4 写出复数A 10030=∠?的三角形式和代数形式。 解 三角形式： A 100(cos30jsin 30)=?+?
4－１ 正弦交流电路的分析方法 一、用向量表示正弦量 表示正弦量的方法：三角函数式、波形图、相量图（式）。 一、正弦量的旋转矢量表示 1、相量：在一平面直角坐标系上画一矢量，它的长度等于正弦量的最大值，它与横轴正方向之间的夹角为正弦量的初相，而角速度因是固定的也可不必再标明，这种仅反映正弦量的最大值和初相的“静止的”矢量， 称为相量。如：?m I 、? m U 、? m E 。 有效值相量：表示出正弦量的有效值和初相位的相量。如：? I 、? U 、? E 。 2、注意：⑴相同单位的量应按相同的的比例尺来画，不同单位的量可以用不同的比例尺来画；⑵只有同频率的正弦量才能画在同一相量图上，否则无法进行比较和运算。 二、同频率正弦量的加、减 确定m I 和ψ可用曲线相加法，也可用相量作图法。 １、 相量作图法的步骤：先用出相量 1? I 和2 ?I ，而后以1?I 和2? I 为邻边作一平行四 边形，其对角线即为合成电流i 的相量? I 。 ? I 的长度为有效值，? I 与横轴正方向的夹角 即为初相ψ。 ２、应用相量作图法对正弦量进行减法时，实质与加法相同。
例如： ? ????-+=-=)(2121I I I I I ３、三角形法求矢量加、减 两矢量求和：两相量“头尾相连”，第三条边即是它们的和。 两矢量求差：两相量“尾尾相连，指向最减数的第三边即为它们的差。 多个相量相加时：各相量“头尾相连”，由第一个相量的箭尾和最后一个相量的箭头作一相量，即为求和的相量。 三、相量的复数表示式 把一个表示正弦量的相量画在复平面上，相量便可以用复数来表示，从而正弦量也就可以用复数表示。 jb a I +=? 其中，a----实部，b----虚部 ψ ψsin ,cos I b I a == 则 ： ()ψψψψsin cos sin cos j I jI I jb a I +=+=+=? ， 式中，Ｉ----复数的模，ψ----复数的幅角 a b tg b a I = += ψ,2 2 复数的三角函数形式变换为指数形式再简写为极坐标形式为：
3.2 正弦量的相量表示法 正弦量的三角函数表示法较为简单， 正弦量的波形图表示法较为直观， 但这两种方法都不便于运算。 正弦量的“相量表示法”， 相量表示法，就是用复数表示正弦量， 下面，先回顾复数→ → 并且把正弦量的各种运算，也以复数的代数运算的形式进行， 这样，大大简化了正弦交流电路的分析计算过程。 抓住频率、幅值和初相位三要素即可；能形象地描述各正弦量的变化规律；不仅简明、扼要，而且便于运算。
3.2.1 复数ψ b a 实部 虚部+j +1 A 辐角ψ=arctg(b /a)实部a=|A|cos ψ;虚部b=|A|sin ψ 模|A|= 复数的表示形式: 22a b +；A=a + j b 2.复数的三角函数形式1.复数的代数形式 A =|A|(cos ψ+j sin ψ) 3.复数的指数形式j ψ A =A e 4.复数的极坐标形式∠ψ A =A 复数的四种表示形式，是相量表示法的基础。
3.2.2 正弦量的相量表示法 一、正弦量的相量表示法若，令复数A 绕原点， 以ω的角速度、逆时针方向旋转， 则，任何时刻(t)，其虚部的表达式为： b (t)=|A|sin(ωt +ψ) *用旋转复数虚部表达式，可表示正弦量的解析式，*用来表示正弦量的复数，叫做相量， 形式完全相同 i (t)=I m sin(ωt +ψ)*这说明，正弦量可以借用复数来表示，用大写字符上加“·”来表示。 ψ +j +1 A b (t) A ωt ω
以i (t)=I m sin(ωt +ψ)为例极大值相量式=I m (cos ψ+jsin ψ)有效值相量式I m = I m e j ψ 指数形式极坐标形式 = I m ∠ψ 三角函数形式=I(cos ψ+jsin ψ) =I e j ψ=I ∠ψ I I I 二、正弦量相量表示法的几种形式I m I m 所以在相量表达式中仅包含幅值与初相位的信息是可行的。在线性电路中，如果激励是正弦量，则电路中各支路的电压和电流的响应将是同频的正弦量。 说明 因此在分析正弦交流电路时，可以不考虑频率，仅用幅值(或有效值)和初相位两个量来表示正弦量。 但当由相量式写解析式时，必须将频率写入。
第八章 相量法 本章重点：正弦信号的相量表示、电路元件伏安关系的相量表示 本章难点: 复数的计算 第十五讲 8.1复数 相量法是线性电路正弦稳态分析的一种简便有效的方法。应用相量法，需要用到复数的运算 1.复数的表示形式 1)代数形式 复数可用复平面上的向量表示： 2)三角形式 3)指数形式 4)极坐标形式 8.2正弦量 一．正弦量： 电路中按正弦规律变化的电压或电流，统称为正弦量。对正弦量的数学描述，可以采用sin 函数，也可采用cos 函数。但在用相量法进行分析时，要注意采用的是哪一种形式，不要两者同时混用。本书采用cos 函数。 周期量：时变电压和电流的波形周期性的重复出现。 周期T ：每一个瞬时值重复出现的最小时间间隔，单位：秒（S ）； 频率f ： 是每秒中周期量变化的周期数，单位：赫兹（Hz ）。，f =1/T 。 交变量：一个周期量在一个周期内的平均值为零。可见，正弦量不仅是周期量，而且还是交变量。 ) 1( -=+=j jb a F ) sin (cos ||θθj F F +=) ( sin cos 欧拉公式θθθ j e j += θ ∠=||F F
二．正弦量的表达式 1. 函数表示法：m ()cos()f t F t ωψ=+ m F —最大值，反映正弦量在整个变化过程中所能达到的最大值； t ωψ+—相位，反映正弦量变动的进程； ω—角频率（rad /s ） ，反映正弦量变化的快慢。22,2T f T π ωπωπ=== ()ψπψπ-≤≤—初相位，反映正弦量初值的大小、正负。 m F ，ω，ψ—正弦量的三要素。 已知m 10A,50Hz,15o I f ψ===-， 则()10cos(31415)A o i t t =-。 2. 波形表示法 0t ωψ+=， t ωψ=-。当0>ψ时，最大值点由坐标原点左移ψ。如下图。 三．两个同频率正弦量的相位差? 设 m u ()cos()u t U t ωψ=+ )cos( )(i m t I t i ψω+= 则u (t )与i (t )的相位差 i u i u t t ψψψωψω?-=+-+=)()( 设电压u=6cos(ωt+90o)V ，电流i=2cos(ωt-150o)A ， 问哪个正弦量滞后？滞后的角度是多少？ 解：相位差?＝?u －?i ＝90o－(－150o)＝240o>0 所以电压u 比电流i 超前240°。 另作分析： 相位差?＝?u －?i ＝240o-360o = -120o 所以电压u 比电流i 滞后120°。 t