第二讲同余初步（1）
本讲概述
同余是大数学家高斯的一个天才发明，这个符号使得原来难以表述的很多数论问题表述起来简单清晰.利用同余符号，可以方便地处理各种复杂的数字相对于另一数的余数这一类问题.本讲将着重讲述同余的基本性质，并利用这些性质来解决各类同余的典型问题.此外，基于同余，还给出了剩余系与完系的概念.尽管联赛大纲没有明确对这两个概念作要求，但是有了对剩余系的基本认识后对很多问题处理起来会更为方便.
同余的定义：
设m 是一个给定的正整数，如果两个整数a 与b 用m 除所得的余数相同，则称a 与b 对模同余，记作)(mod m b a ≡，否则，就说a 与b 对模m 不同余.（用≡符号上面加一个斜线来表示，类似不等符号）.
显然，(mod ),)|()a b m a km b k Z m a b ≡?=+∈?-（
；同余的性质非常之多，以下仅列举最常用的一些，
（1）自反性：a≡a(mod m)(a 为任意自然数)
（2）对称性：若a≡b(mod m)，则b≡a(mod m)
（3）传递性：若a≡b(mod m),b≡c(mod m)，则a≡c(mod m)
（4）可加减性：若a≡b(mod m),c≡d(mod m)，则a±c≡b±d(mod m)
（5）可乘性：若a≡b(mod m),c≡d(mod m)，则ac=bd(mod m)
（6）可乘方性：若a≡b(mod m),n∈N+，则an=bn(mod m)
注意：一般地同余没有“可除性”，但是
（7）如果：ac≡bc(mod m)且(c,m)=1，则a≡b(mod m)
如果ac≡bc(mod m),(c,m)=d，则a≡b(mod d m
)
（8）如果a≡b(mod m),a≡b(mod n)且[m,n]=k，则a≡b(mod k)（[m,n]表示m,n 的最小公倍数）
（9）设p∈N+,p≥2，则任何一个p 进制自然数与其数码和(p 进制下各数码之和)对模p-1同余；特别地，p=10时，是我们熟知的“弃九法”的理论依据：
任一正整数与其十进制表示中各位数字之和对模9同余.
利用“弃九法”可以方便地解决很多与数字和相关的问题.
另外，利用同余与各种乘法公式以及二项式定理展开式相结合往往威力更大，但我们这里暂时不涉及.剩余类，完全剩余系（简称完系）和缩系
我们可以将所有的整数按模m 分类．例如：按模2分类，可将所有整数分成两类，模2余1的分成一类，即奇数；模2余0的一类，即偶数．按模3分类，可分成3k,3k+1,3k-1三种类型；等等.
剩余类的定义：设m 为一给定的正整数，则全体整数可以分为m 个集合K0，K1，…，Km-1，这里Kr={x |x∈Z,x≡r(mod m)},r=0,1,…,m-1．我们称K0，K1，…，Km-1为模m 的剩余类．
在模m 的m 个剩余类中分别取一个数，共取出m 个，我们把这m 个数成为模m 的一组完全剩余系,简称完系.例如：0,1,2，…,m-1就是一组完系，显然，它们两两对模m 不同余.
性质1．每个整数在且仅在模m 的一个剩余类中．
性质2．若a0,a1,…，am-1是模m 的一个完系，而(a,m)=1,b∈Z，则aa0+b,aa1+b,…,aam-1+b 也是模m 的一个完系．
欧拉函数的定义：对每个整数m，以
表示0,1,,m-1当中与m 互素的整数个数，即为欧拉函数。
缩同余类的定义：如前定义，若，则是m 的一个缩同余类。模m 的缩同余类共有个。在每个缩同余类取一个代表，这个代表组成的集合称为m 的缩代表系，简称缩系。模素数的完全剩余系和缩系是等价的。
类似的，有以下性质：
性质1．每个与m 互素的整数在且仅在模m 的一个剩余类中．
性质2．若aa1,…，是模m 的一个缩系，而(a,m)=1,则aa1,…,a 也是模m 的一个缩系．例题精讲
【例1】证明：
（1）同余的可除性：如果：ac ≡bc (mod m)且(c,m)=1，则a ≡b(mod m)
（2）弃九法原理：任一正整数与其十进制表示中各位数字之和对模9同余
【例2】用同余的写法证明：（1）平方数除以4余数为0或1；
（2）用同余的写法证明：奇数的平方除以8余1；
（3）试证明19911991115534 不是平方数.
【例3】（1）证：若a 1,…，
是模m 的一个缩系，而(a,m)=1，则aa 1,…,a 也是模m 的一个缩系．
（2）(a,m)=1，若
，称b 是a 关于模m 的逆，记作，是模m 的一个同余类。证：存在且唯一。
（3）若p 是素数，证明：。（威尔逊定理）
【例4】设n>3是奇数，证明：将n 元集合任意去掉一个元素后，总可以将剩下的元素分成两组，每组个数，使两组的和模n 同余。
【例5】设n 是偶数，以及是模n 的两个完全剩余系。证明：
不是模n 的完全剩余系。
【例6】求证：对任意正整数n，8不整除.
【例7】求不能表示成的最小素数p,这里a,b 是非负整数。
【例8】设整数x,y,z 满足
，
证明：x+y+z 被27整除。
【例9】设正整数x,y,z 满足222x y z +=，证明：60|xyz .
【例10】(1)设m 为正整数，证明：必有一个正整数是m 的倍数，且它的各位数字均为0或1.
（2）从任意m 个整数12,,...,m a a a 中，必可找到若干个数，它们的和（只有一个加数也行）被m 整除.
（3）从任意17个整数中，必可找到这样的9个数，他们的和是9的倍数。
一般的，可以证明，从任意2n-1个整数中，可以取出n 个数之和是n 的倍数。
大显身手
练习1：设，(a,m)=1，，求和其中{x}为x 的小数部分。
练习2：设p 是一个奇素数，证明：
（1）
(2)
练习3：例4.连结正n 边形的顶点，得到一个闭的n-折线。证明，若n 是偶数，则在连线中有两条平行线。若n 为奇数，则连线中不可能恰有一对平行线。
练习4：19911991的各位数字之和为a ，a 的各位数字之和为b ，b 的各位数字之和为c ，求c.
练习5：（1）n 是整数，则：
(2)考虑质数若.证明：可以在这31个数中找到3个连续的质数。练习6：求证：三个连续整数的平方和不是立方数.
练习7：已知数列{}n p 定义如下：1234n n n n n p =+++，求出所有的正整数n ，使得5|n p .
练习8：已知数列{}n a 递归定义如下：01210,1,8n n n a a a a a ++===-(0)n ≥，求证：数列{}n a 中没有形如35αβ（,αβ为正整数）的项.
练习9：设整数a,b,c 满足a+b+c=0,记d=.证明：
练习10：100个不大于100的自然数之和等于200，证明可以从中挑出若干数来，他们的和恰为100。练习11：数1978n 与1978m 的最后三位数相等，试求出正整数n 和m ，使得m ＋n 取最小值，这里n ＞m ≥1．
练习12：若整数a,b,满足“从任意2n-1个整数中，可以取出n 个数之和是n 的倍数”.证明：m=ab 也满足这个命题。
练习13：从任意2n-1个整数中，可以取出n 个数之和是n 的倍数。
练习14：35.对于所有素数p 和所有正整数()n n p ≥，证明：p n n C p ??-????
能被p 整除.
小学数论基础知识
数论基础知识 一质数和合数 （1）一个数除了1和它本身，不再有别的约数，这个数叫做质数（也叫做素数）。 一个数除了1和它本身，还有别的约数，这个数叫做合数。 （2）自然数除0和1外，按约数的个数分为质数和合数两类。 任何一个合数都可以写成几个质数相乘的形式。 要特别记住：0和1不是质数，也不是合数。 （3）最小的质数是2 ，2是唯一的偶质数，其他质数都为奇数； 最小的合数是4。 （4）质数是一个数，是含有两个约数的自然数。 互质数是指两个数，是公约数只有一的两个数，组成互质数的两个数可能是两个质数（３和５），可能是一个质数和一个合数（３和４），可能是两个合数（４和９）或1与另一个自然数。 （５）如果一个质数是某个数的约数，那么就说这个质数是这个数的质因数。 把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数。 （６）１００以内的质数有２５个： ２、３、５、７、 １１、１３、１７、１９、 ２３、２９、３１、３７、 ４１、４３、４７、
５３、５９、 ６１、６７、 ７１、７３、７９、 ８３、８９、 ９７ 二整除性 （１）概念 一般地，如a、b、c为整数，b≠0，且a÷b=c，即整数a除以整除b（b不等于0），除得的商c正好是整数而没有余数（或者说余数是0），我们就说，a能被b整除（或者说b能整除a）。记作b｜a.否则，称为a不能被b整除，（或b不能整除a），记作b a。 如果整数a能被整数b整除，a就叫做b的倍数，b就叫做a的约数。 （２）性质 性质1：（整除的加减性）如果a、b都能被c整除，那么它们的和与差也能被c整除。 即：如果c｜a，c｜b，那么c｜（a±b）。 例如：如果2｜10，2｜6，那么2｜（10＋6），并且2｜（10—6）。 也就是说，被除数加上或减去一些除数的倍数不影响除数对它的整除性。 性质2：如果b与c的积能整除a，那么b与c都能整除a. 即：如果bc｜a，那么b｜a，c｜a。 性质3：（整除的互质可积性）如果b、c都能整除a，且b和c互质，那么b 与c的积能整除a。
数论基础知识 小学数论问题，起因于除法算式：被除数÷除数＝商……余数 1.能整除：整除，因数与倍数，奇数与偶数，质数与合数，公因数与公倍数，分解质因数等； 2.不能整除：余数，余数的性质与计算（余数），同余问题（除数），物不知数问题（被除数）。 一、因数与倍数 1、因数与倍数 （1）定义： 定义1：若整数a能够被b整除，a叫做b的倍数，b就叫做a的因数。 定义2：如果非零自然数a、b、c之间存在a×b＝c，或者c÷a＝b，那么称a、b是c的因数，c是a、b 的倍数。 注意：倍数与因数是相互依存关系，缺一不可。（a、b是因数，c是倍数） 一个数的因数个数是有限的，最小的因数是1，最大的因数是它本身。 一个数的倍数个数是无限的，最小的倍数是它本身，没有最大的倍数。 （2）一个数的因数的特点： ①最小的因数是1，第二小的因数一定是质数； ②最大的因数是它本身，第二大的因数是：原数÷第二小的因数 （3）完全平方数的因数特征： ①完全平方数的因数个数是奇数个，有奇数个因数的数是完全平方数。 ②完全平方数的质因数出现次数都是偶数次； ③1000以内的完全平方数的个数是31个，2000以内的完全平方数的个数是44个，3000以内的完 全平方数的个数是54个。（312=961，442=1936，542=2916） 2、数的整除（数的倍数） （1）定义： 定义1：一般地，三个整数a、b、c，且b≠0，如有a÷b＝c，则我们就说，a能被b整除，或b能整除a，或a能整除以b。 定义2：如果一个整数a，除以一个整数b（b≠0），得到一个整数商c，而且没有余数，那么叫做a能被b整除或b能整除a，记作b|a。（a≥b） （2）整除的性质： 如果a、b能被c整除，那么（a+b）与（a-b）也能被c整除。 如果a能被b整除，c是整数，那么a×c也能被b整除。 如果a能被b整除，b又能被c整除，那么a也能被c整除。 如果a能被b、c整除，那么a也能被b和c的最小公倍数整除。 （3）一些常见数的整除特征（倍数特征）： ①末位判别法 2、5的倍数特征：末位上的数字是2、5的倍数。 4、25的倍数特征：末两位上的数字是4、25的倍数。 8、125的倍数特征：末三位上的数字是8、125的倍数。 ②截断求和法（从右开始截） 9（及其因数3）的倍数特征：一位截断求和 99（及其因数3、9、11、33）的倍数特征：两位截断求和 999（及其因数3、9、27、37、111、333）的倍数特征：三位截断求和 ③截断求差法（从右开始截） 11的倍数特征：一位截断求差 101的倍数特征：两位截断求差 1001（及其因数7、11、13、77、91、143）的倍数特征：三位截断求差
数论基础知识 一质数和合数 （1）一个数除了1和它本身，不再有别的约数，这个数叫做质数（也叫做素数）。 一个数除了1和它本身，还有别的约数，这个数叫做合数。 （2）自然数除0和1外，按约数的个数分为质数和合数两类。 任何一个合数都可以写成几个质数相乘的形式。 要特别记住：0和1不是质数，也不是合数。 （3）最小的质数是2 ，2是唯一的偶质数，其他质数都为奇数； 最小的合数是4。 （4）质数是一个数，是含有两个约数的自然数。 互质数是指两个数，是公约数只有一的两个数，组成互质数的两个数可能是两个质数（３和５），可能是一个质数和一个合数（３和４），可能是两个合数（４和９）或1与另一个自然数。 （５）如果一个质数是某个数的约数，那么就说这个质数是这个数的质因数。 把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数。 （６）１００以内的质数有２５个： ２、３、５、７、 １１、１３、１７、１９、 ２３、２９、３１、３７、 ４１、４３、４７、 ５３、５９、
６１、６７、 ７１、７３、７９、 ８３、８９、 ９７ 二整除性 （１）概念 一般地，如a、b、c为整数，b≠0，且a÷b=c，即整数a除以整除b（b不等于0），除得的商c正好是整数而没有余数（或者说余数是0），我们就说，a 能被b整除（或者说b能整除a）。记作b｜a.否则，称为a不能被b整除，（或b 不能整除a），记作b a。 如果整数a能被整数b整除，a就叫做b的倍数，b就叫做a的约数。 （２）性质 性质1：（整除的加减性）如果a、b都能被c整除，那么它们的和与差也能被c 整除。 即：如果c｜a，c｜b，那么c｜（a±b）。 例如：如果2｜10，2｜6，那么2｜（10＋6），并且2｜（10—6）。 也就是说，被除数加上或减去一些除数的倍数不影响除数对它的整除性。 性质2：如果b与c的积能整除a，那么b与c都能整除a. 即：如果bc｜a，那么b｜a，c｜a。 性质3：（整除的互质可积性）如果b、c都能整除a，且b和c互质，那么b与c 的积能整除a。 即：如果b｜a，c｜a，且（b，c）=1，那么bc｜a。
奥数数论基础知识 一质数和合数 （1）一个数除了1和它本身，不再有别的约数，这个数叫做质数（也叫做素数）。 一个数除了1和它本身，还有别的约数，这个数叫做合数。 （2）自然数除0和1外，按约数的个数分为质数和合数两类。 任何一个合数都可以写成几个质数相乘的形式。 要特别记住：0和1不是质数，也不是合数。（3）最小的质数是2 ，2是唯一的偶质数，其他质数都为奇数； 最小的合数是4。 （4）质数是一个数，是含有两个约数的自然数。 互质数是指两个数，是公约数只有一的两个数，组成互质数的两个数可能是两个质数（３和５），可能是一个质数和一个合数（３和４），可能是两个合数（４和９）或1与
另一个自然数。
（５）如果一个质数是某个数的约数，那么就说这个质数是这个数的质因数。 把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数。 （６）１００以内的质数有２５个：２、３、５、７、１１、１３、１７、１９、２３、２９、３１、３７、４１、４３、４７、５３、５９、６１、６７、７１、７３、７９、８３、８９、９７． 二整除性 （１）概念 一般地，如a、b、c为整数，b≠0，且a÷b=c，即整数a除以整除b（b不等于0），除得的商c正好是整数而没有余数（或者说余数是0），我们就说，a能被b整除（或者说b能整除a）。记作b｜a.否则，称为a不能被b整除，（或b不能整除a），记作b a。
如果整数a能被整数b整除，a就叫做b的倍数，b就叫做a的约数。 （２）性质 性质1：（整除的加减性）如果a、b都能被c整除，那么它们的和与差也能被c整除。 即：如果c｜a，c｜b，那么c｜（a±b）。 例如：如果2｜10，2｜6，那么2｜（10＋6），并且2｜（10—6）。 也就是说，被除数加上或减去一些除数的倍数不影响除数对它的整除性。 性质2：如果b与c的积能整除a，那么b 与c都能整除a. 即：如果bc｜a，那么b｜a，c｜a。性质3：（整除的互质可积性）如果b、c都能整除a，且b和c互质，那么b与c的积能整除a。
小学奥数中的数论问题 在奥数竞赛中有一类题目叫做数论题，这一部分的题目具有抽象，思维难度大，综合运用知识点多的特点，基本上出现数论题目的时候大部分同学做得都不好。 一、小学数论究包括的主要内容 我们小学所学习到的数论内容主要包含以下几类： 整除问题：（1）整除的性质；（2）数的整除特征（小升初常考内容） 余数问题：（1）带余除式的运用被除数=除数×商+余数.（余数总比除数小） （2）同余的性质和运用 奇偶问题：（1）奇偶与加减运算；（2）奇偶与乘除运算质数合数：重点是质因数的分解（也称唯一分解定理）约数倍数：（1）最大公约最小公倍数两大定理 一、两个自然数分别除以它们的最大公约数，所得的商互质。 二、两个数的最大公约和最小公倍的乘积等于这两个数的乘积。 （2）约数个数决定法则（小升初常考内容） 整数及分数的分解与分拆：这一部分在难度较高竞赛中常
出现，属于较难的题型。二、数论部分在考试题型中的地位 在整个数学领域，数论被当之无愧的誉为“数学皇后”。翻开任何一本数学辅导书，数论的题型都占据了显著的位置。在小学各类数学竞赛和小升初考试中，系统研究发现，直接运用数论知识解题的题目分值大概占据整张试卷总分的30%左右，而在竞赛的决赛试题和小升初一类中学的分班测试题中，这一分值比例还将更高。 出题老师喜欢将数论题作为区分尖子生和普通学生的依据，这一部分学习的好坏将直接决定你是否可以在选拔考试中拿到满意的分数。三、孩子在学习数论部分常常会遇到的问题 数学课本上的数论简单，竞赛和小升初考试的数论不简单。 有些孩子错误地认为数论的题目很简单，因为他们习惯了数学课本上的简单数论题，比如：例1：求36有多少个约数？ 这道题就经常在孩子们平时的作业里和单元测试里出现。可是小升初考题里则是：例2：求3600有多少个约数？ 很多孩子就懵了，因为“平时考试里没有出过这么大的数！”（孩子语）于是乎也硬着头皮用课堂上求约数的方法去求，白白浪费了大把的时间，即使最后求出结果也并不划
欧几里得算法 欧几里德算法又称辗转相除法，用于计算两个正整数a，b的最大公约数。其计算原理依赖于下面的定理： 定理：gcd(a,b) = gcd(b,a mod b) (a>b 且a mod b 不为0) 证明：a可以表示成a = kb + r，则r = a mod b 假设d是a,b的一个公约数，则有 d|a,d|b，而r = a - kb，因此d|r 因此d也是（b,a mod b）的公约数 因此（a,b）和（b,a mod b）的公约数是一样的，其最大公约数也必然相等，得证欧几里得算法模板 int gcd(int n,int m) { int t,r; if(n
小学奥数数论知识点总结 1.奇偶性问题 奇+奇=偶奇×奇=奇 奇+偶=奇奇×偶=偶 偶+偶=偶偶×偶=偶 2.位值原则 形如：abc=100a+10b+c 3.数的整除特征： 整除数特征 2末尾是0、2、4、6、8 3各数位上数字的和是3的倍数 5末尾是0或5 9各数位上数字的和是9的倍数 11奇数位上数字的和与偶数位上数字的和，两者之差是11的倍数4和25末两位数是4(或25)的倍数 8和125末三位数是8(或125)的倍数 7、11、13末三位数与前几位数的差是7(或11或13)的倍数 4.整除性质 ①如果c|a、c|b，那么c|(ab)。 ②如果bc|a，那么b|a，c|a。 ③如果b|a，c|a，且(b,c)=1,那么bc|a。④如果c|b,b|a,那么c|a.
⑤a个连续自然数中必恰有一个数能被a整除。 5.带余除法 一般地，如果a是整数，b是整数(b≠0),那么一定有另外两个整数q和r，0≤r 当r=0时，我们称a能被b整除。 当r≠0时，我们称a不能被b整除，r为a除以b的余数，q为a除以b的不完全商(亦简称为商)。用带余数除式又可以表示为a÷b=q……r,0≤r 6.唯一分解定理 任何一个大于1的自然数n都可以写成质数的连乘积，即n=p1×p2×...×pk 7.约数个数与约数和定理 设自然数n的质因子分解式如n=p1×p2×...×pk那么：n的约数个数： d(n)=(a1+1)(a2+1)....(ak+1) n的所有约数和：(1+P1+P1+…p1)(1+P2+P2+…p2)… (1+Pk+Pk+…pk) 8.同余定理 ①同余定义：若两个整数a，b被自然数m除有相同的余数，那么称a，b 对于模m同余，用式子表示为a≡b(modm) ②若两个数a，b除以同一个数c得到的余数相同，则a，b的差一定能被c整除。③两数的和除以m的余数等于这两个数分别除以m的余数和。 ④两数的差除以m的余数等于这两个数分别除以m的余数差。 ⑤两数的积除以m的余数等于这两个数分别除以m的余数积。 9.完全平方数性质 ①平方差：A-B=(A+B)(A-B)，其中我们还得注意A+B，A-B同奇偶性。
2021年{某某}小学 小 学 数 学 学 习 资 料 教师： 年级： 日期：
第二十一讲数论综合 数论是历年小升初的考试难点，各学校都把数论当压轴题处理。由于行程题的类型较多，题型多样，变化众多，所以对学生来说处理起来很头疼。数论内容包括：整数的整除性，同余,奇数与偶数,质数与合数,约数与倍数,整数的分解与分拆等。作为一个理论性比较强的专题，数论在各种杯赛中都会占不小的比重，而且数论还和数字谜,不定方程等内容有着密切的联系,其重要性是不言而喻的。 基本公式 1.已知b|c,a|c,则[a,b]|c,特别地，若(a,b)=1,则有ab|c。 2.已知c|ab，(b,c)=1,则c|a。 3.唯一分解定理：任何一个大于1的自然数n都可以写成质数的连乘积，即 n= p11a× p22a×...×p k k a（#) 其中p1 6.自然数是否能被3，4，25，8，125，5，7,9，11，13等数整除的判别方法。 7.平方数的总结： ①平方差：A2-B2=（A+B）（A-B），其中我们还得注意A+B， A-B同奇偶性。 ②约数：约数个数为奇数个的是完全平方数。约数个数为3的是质数的平方。 ③质因数分答案：把数字分答案，使他满足积是平方数。 ④立方和：A3+B3=(A+B)(A2-AB+B2)。 8.十进制自然数表示法，十进制和二进制，八进制，五进制等的相互转化。 9.周期性数字：abab=ab×101 1.全面掌握数论的几大知识点，能否在考试中取得高分，解出数论的压轴大题是关键。 2.牢记基本公式，并在解题中灵活运用公式。 例1:将4个不同的数字排在一起，可以组成24个不同的四位数（4×3×2×1=24）。将这24个四位数按从小到大的顺序排列的话，第二个是5的倍数；按从大到小排列的话，第二个是不能被4整除的偶数；按从小到大排列的第五个与第二十个的差在3000-4000之间。请求出这24个四位数中最大的一个。 答案：不妨设这4个数字分别是a>b>c>d 那么从小到大的第5个就是dacb,它是5的倍数，因此b=0或5，注意到b>c>d,所以b=5; 从大到小排列的第2个是abdc,它是不能被4整除的偶数；所以c是偶数，c＜b=5，c=4或2 从小到大的第二十个是adbc,第五个是dacb,它们的差在3000-4000之间，所以a=d+4； 因为a>b,所以a至少是6，那么d最小是2，所以c就只能是4。而如果d=2，那么abdc的末2位是24，它是4的倍数，和条件矛盾。因此d=3,从而a=d+4=3+4=7。 这24个四位数中最大的一个显然是abcd,我们求得了a=7,b=5,c=4,d=3 所以这24个四位数中最大的一个是7543。 例2：一个5位数，它的各个位数字和为43，且能被11整除，求所有满足条件的5位数？ 答案：现在我们有两个入手的选择，可以选择数字和，也可以选择被11整除，但我们发现被11整除性质的运用要具体的数字，而现在没有，所以我们选择先从数字和入手。 5位数数字和最大的为9×5=45，这样43的可能性只有9，9，9，9，7或9，9，9，8，8。这样我们接着用11的整除特征，发现符合条件的有99979，97999，98989符合条件。 数论基础知识 小学数论问题,起因于除法算式：被除数÷除数＝商……余数 1.能整除：整除,因数与倍数,奇数与偶数,质数与合数,公因数与公倍数,分解质因数等； 2.不能整除：余数,余数的性质与计算（余数）,同余问题（除数）,物不知数问题（被除数）。 一、因数与倍数 1、因数与倍数 （1）定义： 定义1：若整数a能够被b整除,a叫做b的倍数,b就叫做a的因数。 定义2：如果非零自然数a、b、c之间存在a×b＝c,或者c÷a＝b,那么称a、b是c的因数,c是a、b 的倍数。 注意：倍数与因数是相互依存关系,缺一不可。（a、b是因数,c是倍数） 一个数的因数个数是有限的,最小的因数是1,最大的因数是它本身。 一个数的倍数个数是无限的,最小的倍数是它本身,没有最大的倍数。 （2）一个数的因数的特点： ①最小的因数是1,第二小的因数一定是质数； ②最大的因数是它本身,第二大的因数是：原数÷第二小的因数 （3）完全平方数的因数特征： ①完全平方数的因数个数是奇数个,有奇数个因数的数是完全平方数。 ②完全平方数的质因数出现次数都是偶数次； ③1000以内的完全平方数的个数是31个,2000以内的完全平方数的个数是44个,3000以内的完 全平方数的个数是54个。（312=961,442=1936,542=2916） 2、数的整除（数的倍数） （1）定义： 定义1：一般地,三个整数a、b、c,且b≠0,如有a÷b＝c,则我们就说,a能被b整除,或b能整除a,或a能整除以b。 定义2：如果一个整数a,除以一个整数b（b≠0）,得到一个整数商c,而且没有余数,那么叫做a能被b 整除或b能整除a,记作b|a。（a≥b） （2）整除的性质： 如果a、b能被c整除,那么（a+b）与（a-b）也能被c整除。 如果a能被b整除,c是整数,那么a×c也能被b整除。 如果a能被b整除,b又能被c整除,那么a也能被c整除。 如果a能被b、c整除,那么a也能被b和c的最小公倍数整除。 （3）一些常见数的整除特征（倍数特征）： ①末位判别法 2、5的倍数特征：末位上的数字是2、5的倍数。 4、25的倍数特征：末两位上的数字是4、25的倍数。 8、125的倍数特征：末三位上的数字是8、125的倍数。 ②截断求和法（从右开始截） 9（及其因数3）的倍数特征：一位截断求和 99（及其因数3、9、11、33）的倍数特征：两位截断求和 999（及其因数3、9、27、37、111、333）的倍数特征：三位截断求和 ③截断求差法（从右开始截） 11的倍数特征：一位截断求差 101的倍数特征：两位截断求差 1. 倍数规律 末位系：2的倍数规律是末位数是偶数（即末位数是2的倍数），5的倍数规律是末位数是0或5（也即末位数是5的倍数）；4的倍数规律是末两位数是4的倍数（例如：28是4的倍数，则128、1128、23574335435328都是4的倍数），同样，25的倍数规律也是末两位是25的倍数；8的倍数规律是末三位是8的倍数，125的倍数规律是末三位是125的倍数。 练习：23400是上面提到的哪些数的倍数？（提示：0是任何数的倍数。） 数位和系：3或9的倍数规律是各个数位相加之和是3或9的倍数（例如：1+2+3=6是3的倍数但不是9的倍数，则123、321、213等等都是3的倍数而不是9的倍数；3+6=9既是3的倍数也是9的倍数，所以36、63也既是3的倍数也是9的倍数。） 练习：[ ]里能填哪些数可以使12[ ]34是3的倍数？9的倍数呢？ 数位差系：11的倍数规律是从后往前数奇数位上的数之和减去偶数位上的数之和是11的倍数。（若不够减则可通过加上11的倍数使其够减。）例：231，从后往前数，第1位是1，第2位3，第3位是2，所以奇数位的和是1+2=3，偶数位的和是3，所以奇数位和减偶数位和等于3-3=0是11的倍数，因此231就是11的倍数。6160，奇数位和等于1+0=1，偶数位和等于6+6=12，奇数位和减偶数位和不够减，但加上一个11以后就够减了，变成了1+11-12=0是11的倍数，所以6160是11的倍数。 7、11、13的倍数有个公共的规律，即将末3位与之前断开，形成两个新的数之差是7、11、13的倍数。例如：1012，把末三位断开后刚好变成了1与014（也就是12），于是这两数的差是11，因此是13的倍数，因此1014就是13的倍数。 练习：判断下列各数是不是7、11或13的倍数。 1131、25795、34177、12345 2. 分解质因数 把一个整数拆成成若干个质数（质数即只有1和本身作为因数的大于一的整数，如2、3、5、7……）相乘的形式。例：“1002255=???”就叫做把100分解质因数，而不能是1002105=??，因为10还可以进一步分解为25?。 练习：把下列各数分解质因数。 36= 24= 81= 96= 3. 质因数与整除的关系 例：12223=??，则12的倍数分解质因数后都得包含至少两个2和一个3（看上道题36和24的分解结果。）；12的因数分解质因数以后则必须包含了两个2和一个3之内，比如623=?、422=?、2、3都包含在12分解质因数的“组成”里。 练习：例如上面告诉的方法，以及36分解质因数的结果（上道题），写出36所有的因数。 小学数学《数论初步》练习题 1.计算：（1）[24，315]=________；(1188，726)=________； （2）[364，198，429]=________；(3213，6732)=________； 2.64的约数共有_________个；所有约数的总和是________； 3.七个连续自然数的和能分别被1、2、3、4、5、6、7整除，求出满足此条件的最小的一组数，其中最 小的那个数为________； 4.工厂里的某道工序由甲、乙、丙三人负责，已知甲每5分钟生产18个零件，乙每7分钟生产12个零 件，丙每11分钟生产30个零件，今天早上8:00它们同时开始做第一个零件，那么到________点________分________秒时三个人又一次同时开始做下一个零件；（假设他们做零件的速度均匀，且中途不休息） 5.一个数能被42整除，且恰好有42个约数，那么符合条件的情况共有________种； 6.两个数的最大公约数是12，最小公倍数是2520，且两数之差为12，那么两数之和是________； 7.“1949?2007”的计算结果除以13的余数为________； 8.“20082008+20072007”计算结果的个位数字是________，除以3的余数是________； 9.已知1×2×3×…×n＋4等于两个相邻自然数的乘积，则n ________； 10.小于2000又与2000互质的数有800个，这800个数相加的和是________； 11.某自然数除以9余7，除以13余1，除以19余17，那么此数最小值是________； 12.（1）83、167、377被某个正整数M除时，余数相同，那么M的最大值是________； （2）83、167、377被某个正整数N除时，余数相加和为57，那么N的最大值是_______； 小学1到6年级各科目学习方法和重点全览 一年级：习惯全新的学习生活 一年级的小学生刚告别幼儿园的轻松课程，一下子进入小学后无论是行为习惯还是知识技能方面都有了不同的要求，那孩子们应该怎么度过这个关键期呢？老师提了四点建议： 一、让孩子意识到自己已经长大了，要读小学了。 二、允许孩子们在刚升上小学时，自然地表达自己哪些地方觉得不习惯，不让孩子觉得有这样的想法很丢脸。 三、多交一些新朋友，扩大自己的生活圈。 四、形成良好的学习习惯和方法。 二年级：开始阅读与积累 一年级升二年级之后的学习，最主要的还是习惯与兴趣的培养，和基础知识的把握。 因为接下来的三年级是小学课程转化的重要年级，学习内容多了，难度大了，孩子要保持高分，需要花费更多的力气，付出更多的努力，如果再加上学习习惯马虎的话，成绩很容易大幅下滑。 语文方面： 语文学习的重点不仅仅在于生字、词语的训练，还要引 起对学生阅读和写作方面的兴趣。老师认为，孩子要积累材 料，阅读是至关重要的。 二年级的孩子已经具备了阅读书籍的能力，并且初步有 了评判一本书、一个故事是否适合自己的判断力。 所以，家长在这个阶段就要特别注意多给孩子创造阅读 的空间和氛围。在给孩子选取阅读的书目时，不要只局限于 某一类图书，只要是积极正面健康的书籍，都可以给孩子看。 另外，不要认为积累只能限于文字积累，在生活中家长 可以带着孩子口头积累。二年级的学生在语文学习方面还属 于起步阶段，家长在注重学生书面的字词句时，也要注意学 生在生活中说一句话时是否完整，经常有意识的训练，会起 到意想不到的效果。 三年级：开始大量知识系统性的学习 二年级升三年级后是一个两极分化的阶段，课程内容从 培养学习兴趣转向大量知识系统性的学习，孩子往往不能及 时地消化吸收所学的知识，加上训练的不足，会出现遗忘， 理解混乱等现象，所以提前让孩子适应中年级的学习尤为重 要。 语文方面： 三年级是小学语文的一个重要转折时期，语文课文由原 来的文字简单、情节单纯转向课文内容有一定的深度，字词 1 （人大附中考题） 有____个四位数满足下列条件：它的各位数字都是奇数；它的各位数字互不相同；它的每个数字都能整除它本身。1359 ，1935，3195，3915，9135，9315 2 （101中学考题） 如果在一个两位数的两个数字之间添写一个零，那么所得的三位数是原来的数的9倍，问这个两位数45 是＿＿。 3（人大附中考题） 甲、乙、丙代表互不相同的3个正整数，并且满足：甲×甲=乙+乙=丙×135．那么甲最小是____。 可以分析出甲甲是偶数，是135的倍数，且是完全平方数 而135=5*3*3*3，最小再乘以15即为完全平方数，若要为偶数则需再乘4 于是丙为60，甲为90，乙为4050 4 (人大附中考题) 下列数不是八进制数的是( D) A、125 B、126 C、127 D、128 预测 1．在1～100这100个自然数中，所有不能被9整除的数的和是多少？4456 预测 2．有甲、乙、丙三个网站，甲网站每3天更新一次，乙网站每五5天更新一次，丙网站每7天更新一次。2004年元旦三个网站同时更新，下一次同时更新是在____月____日？4.14 预测 3、从左向右编号为1至1991号的1991名同学排成一行．从左向右1至11报数，报数为11的同学原地不动，其余同学出列；然后留下的同学再从左向右1至11报数，报数为11的同学留下，其余的同学出列；留下的同学第三次从左向右1至1l报数，报到11的同学留下，其余同学出列．那么最后留下的同学中，从左边数第一个人的最初编号是____．1331 数论篇二 1 （清华附中考题） 有3个吉利数888，518，666，用它们分别除以同一个自然数，所得的余数依次为a,a+7,a+10,则这个自然数是_____.518=7=511 666-10=656 888,511,656除以这个数，余数相同 888-511=377 888-656=232 这个数为377与232的公因数，且大于10 377=13×29 232=8×29 所以这个自然数为29 2 （三帆中学考题） 行程问题 基本行程问题平均速度火车过桥流水行船接送问题电梯行程 数论问题 奇偶分析数的整除约数倍数进位制余数问题完全平方数 几何问题 小学几何五大模型勾股定理与弦图巧求周长立体图形的体积 计数问题 加法原理乘法原理容斥原理排列组合枚举法归纳法 应用题 鸡兔同笼问题年龄问题盈亏问题牛吃草问题工程问题浓度问题 计算问题 分数列项与整数列项繁分数的计算数学计算公式换元法找规律 其他 数阵图与数字谜操作与策略抽屉原理逻辑推理不定方程染色问题 小学六年级奥数基础知识——数论一 一质数和合数 （1）一个数除了1和它本身，不再有别的约数，这个数叫做质数（也叫做素数）。 一个数除了1和它本身，还有别的约数，这个数叫做合数。 （2）自然数除0和1外，按约数的个数分为质数和合数两类。 任何一个合数都可以写成几个质数相乘的形式。 要特别记住：0和1不是质数，也不是合数。 （3）最小的质数是2 ，2是唯一的偶质数，其他质数都为奇数； 最小的合数是4。 （4）质数是一个数，是含有两个约数的自然数。 互质 是指两个数，是公约数只有一的两个数，组成互质数的两个数可能是两个质数（３和５），可能是一个质数和一个合数（３和４），可能是两个合数（４和９）或1与另一个自然数。 （５）如果一个质数是某个数的约数，那么就说这个质数是这个数的质因数。 把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数。 （６）１００以内的质数有２５个：２、３、５、７、１１、１３、１７、１９、２３、２９、３１、３７、４１、４３、４７、５３、５９、６１、６７、７１、７３、７９、８３、８９、９７． 注意：两个质数中差为1的只有3-2 ；除2外，任何两个质数的差都是偶数。 二整除性 （１）概念 一般地，如a、b、c为整数，b≠0，且a÷b=c，即整数a除以整除b（b不等于0），除得 奥数题讲解数论问题 所用知识不超过小学5年级，题目难度5颗星。 a,b,c,d都是个位数，由它们组成的四位数abcd和两位数ab、cd满.足(ab+cd) *(ab+cd)=abcd。请问满.足条件的四位数abcd共有多少个? 答案: 3个。 辅导办法:将题目写给小朋友，让他自行思考解答，若20分钟还不能解答,由家长进行讲解。 讲解思路:这种类型的题目,关键是要寻找ab和cd的关系,再根据关系寻找满足条件的数。 步骤1:先思考第一个问题,ab+cd的范围是什么?这个问题很简单, 由于ab+cd的平方是四位数,而32*32=1024 ,99*99=9801, 因此ab+cd在32到99之间。 步骤2:再思考第二个问题,db和cd满足什么关系? 由题意，(ab+cd) *(ab+cd) =100*ab+cd,化简有(ab+cd)*(ab+cd-l)=99*ab 因此，(ab+cd) *(ab+cd-1)是99的倍数。 步骤3:再思考第二个问题,ab+cd可能的取值是多少? 由于99=3*3*11,而(ab+cd)和(ab+cd-1)不可能同时是9的倍数, 因此只可能有3种情况, 结合步骤1中ab+cd的范围讨论。 情况一：ab+cd是9的倍数,ab+cd-1是11的倍数,此时只有ab+cd 是45才满足条件; 情况二:ab+cd是11的倍数,ab+cd-1是9的倍数,此时只有ab+cd是55才满足条件; 情况三:ab+cd或ab+cd-1是99的倍数,此时只有xb+cd是99才满足条件。 步骤4:综合上述几个问题,代入验证， 45*45=2025=(20+25)*(20+25) 55*55=3025= (30+25)*(30+25) 99*99=9801= (98+1) *(98+1),都满足条件, 所以满足条件的数是3个。 小学奥数知识点大全：数论问题 1．奇偶性问题 奇+奇=偶奇×奇=奇 奇+偶=奇奇×偶=偶 偶+偶=偶偶×偶=偶 2．位值原则 形如：abc=100a+10b+c 3．数的整除特征： 整除数特征 2末尾是0、2、4、6、8 3各数位上数字的和是3的倍数 5末尾是0或5 9各数位上数字的和是9的倍数 11奇数位上数字的和与偶数位上数字的和，两者之差是11的倍数 4和25末两位数是4（或25）的倍数 8和125末三位数是8（或125）的倍数 7、11、13末三位数与前几位数的差是7（或11或13）的倍数 4．整除性质 ①如果c|a、c|b，那么c|(ab)。 ②如果bc|a，那么b|a，c|a。 ③如果b|a，c|a，且（b,c）=1,那么bc|a。 ④如果c|b,b|a,那么c|a. ⑤a个连续自然数中必恰有一个数能被a整除。 5．带余除法 一般地，如果a是整数，b是整数（b≠0）,那么一定有另外两个整数q和r，0≤r＜b,使得a=b×q+r 当r=0时，我们称a能被b整除。 当r≠0时，我们称a不能被b整除，r为a除以b的余数，q为a除以b的不完全商（亦简称为商）。用带余数除式又可以表示为a÷b=q……r,0≤r＜ba=b×q+r 6.唯一分解定理 任何一个大于1的自然数n都可以写成质数的连乘积，即 n=p1×p2×...×pk 7.约数个数与约数和定理 设自然数n的质因子分解式如n=p1×p2×...×pk那么： n的约数个数：d(n)=(a1+1)(a2+1)....(ak+1) n的所有约数和：（1+P1+P1+…p1）（1+P2+P2+…p2）…（1+Pk+Pk+…pk） 8.同余定理 ①同余定义：若两个整数a，b被自然数m除有相同的余数，那么称a，b对于模m同余，用式子表示为a≡b(modm) ②若两个数a，b除以同一个数c得到的余数相同，则a，b的差一定能被c整除。 ③两数的和除以m的余数等于这两个数分别除以m的余数和。 ④两数的差除以m的余数等于这两个数分别除以m的余数差。 ⑤两数的积除以m的余数等于这两个数分别除以m的余数积。 9．完全平方数性质 ①平方差：A-B=（A+B）（A-B），其中我们还得注意A+B，A-B同奇偶性。 ②约数：约数个数为奇数个的是完全平方数。 约数个数为3的是质数的平方。 ③质因数分解：把数字分解，使他满足积是平方数。 ④平方和。 10．孙子定理（中国剩余定理） 11．辗转相除法 12．数论解题的常用方法： 枚举、归纳、反证、构造、配对、估计 奥数数论基础知识 一质数与合数 (1)一个数除了1与它本身,不再有别的约数,这个数叫做质数(也叫做素数)。 一个数除了1与它本身,还有别的约数,这个数叫做合数。 (2)自然数除0与1外,按约数的个数分为质数与合数两类。 任何一个合数都可以写成几个质数相乘的形式。 要特别记住:0与1不就是质数,也不就是合数。 (3)最小的质数就是2 ,2就是唯一的偶质数,其她质数都为奇数; 最小的合数就是4。 (4)质数就是一个数,就是含有两个约数的自然数。 互质数就是指两个数,就是公约数只有一的两个数,组成互质数的两个数可能就是两个质数(３与５),可能就是一个质数与一个合数(３与４),可能就是两个合数(４与９)或1与另一个自然数。 (５)如果一个质数就是某个数的约数,那么就说这个质数就是这个数的质因数。 把一个合数用质因数相乘的形式表示出来,叫做分解质因数。 (６)１００以内的质数有２５个:２、３、５、７、１１、１３、１７、１９、２３、 ２９、３１、３７、４１、４３、４７、５３、５９、６１、６７、７１、７３、７９、８３、８９、９７. 二整除性 (１)概念 一般地,如a、b、c为整数,b≠0,且a÷b=c,即整数a除以整除b(b不等于0),除得的商c正好就是整数而没有余数(或者说余数就是0),我们就说,a能被b整除(或者说b能整除a)。记作b｜a、否则,称为a不能被b 整除,(或b不能整除a),记作b a。 如果整数a能被整数b整除,a就叫做b的倍数,b就叫做a的约数。 (２)性质 性质1:(整除的加减性)如果a、b都能被c整除,那么它们的与与差也能被c整除。 即:如果c｜a,c｜b,那么c｜(a±b)。 例如:如果2｜10,2｜6,那么2｜(10＋6),并且2｜(10—6)。 也就就是说,被除数加上或减去一些除数的倍数不影响除数对它的整除性。 性质2:如果b与c的积能整除a,那么b与c 都能整除a、 即:如果bc｜a,那么b｜a,c｜a。 性质3:(整除的互质可积性)如果b、c都能整除a,且b与c互质,那么b与c的积能整除a。 即:如果b｜a,c｜a,且(b,c)=1,那么bc｜a。 例如:如果2｜28,7｜28,且(2,7)=1, 那么(2×7)｜28。 性质4:(整除的传递性)如果c能整除b,b能整除a,那么c能整除a。 即:如果c｜b,b｜a,那么c｜a。 例如:如果3｜9,9｜27,那么3｜27。(３)数的整除特征 ①能被2整除的数的特征:个位数字就是0、2、4、6、8的整数、 ②能被5整除的数的特征:个位就是0 小学奥数中的数论问 题 Revised on November 25, 2020 小学奥数中的数论问题 在奥数竞赛中有一类题目叫做数论题，这一部分的题目具有抽象，思维难度大，综合运用知识点多的特点，基本上出现数论题目的时候大部分同学做得都不好。 一、小学数论究包括的主要内容 我们小学所学习到的数论内容主要包含以下几类： 整除问题：（1）整除的性质；（2）数的整除特征（小升初常考内容） 余数问题：（1）带余除式的运用被除数=除数×商+余数.（余数总比除数小） （2）同余的性质和运用 奇偶问题：（1）奇偶与加减运算；（2）奇偶与乘除运算质数合数：重点是质因数的分解（也称唯一分解定理） 约数倍数：（1）最大公约最小公倍数两大定理 一、两个自然数分别除以它们的最大公约数，所得的商互质。 二、两个数的最大公约和最小公倍的乘积等于这两个数的乘积。 （2）约数个数决定法则（小升初常考内容） 整数及分数的分解与分拆：这一部分在难度较高竞赛中常出现，属于较难的题型。二、数论部分在考试题型中的地位 在整个数学领域，数论被当之无愧的誉为“数学皇后”。翻开任何一本数学辅导书，数论的题型都占据了显着的位置。在小学各类数学竞赛和小升初考试中，系统研究发现，直接运用数论知识解题的题目分值大概占据整张试卷总分的30%左右，而在竞赛的决赛试题和小升初一类中学的分班测试题中，这一分值比例还将更高。 出题老师喜欢将数论题作为区分尖子生和普通学生的依据，这一部分学习的好坏将直接决定你是否可以在选拔考试中拿到满意的分数。三、孩子在学习数论部分常常会遇到的问题 数学课本上的数论简单，竞赛和小升初考试的数论不简单。 有些孩子错误地认为数论的题目很简单，因为他们习惯了数学课本上的简单数论题，比如：例1：求36有多少个约数 这道题就经常在孩子们平时的作业里和单元测试里出现。可是小升初考题里则是：例2：求3600有多少个约数 很多孩子就懵了，因为“平时考试里没有出过这么大的数！”（孩子语）于是乎也硬着头皮用课堂上求约数的方法去求，白白浪费了大把的时间，即使最后求出结果也并不划算。 2019初中奥数数论基础知识归纳 一质数和合数 (1)一个数除了1和它本身，不再有别的约数，这个数叫做质数(也叫 做素数)。一个数除了1和它本身，还有别的约数，这个数叫做合数。 (2)自然数除0和1外，按约数的个数分为质数和合数两类。 任何一个合数都能够写成几个质数相乘的形式。 要特别记住：0和1不是质数，也不是合数。 (3)最小的质数是2 ，2是的偶质数，其他质数都为奇数; 最小的合数是4。 (4)质数是一个数，是含有两个约数的自然数。 互质数是指两个数，是公约数只有一的两个数，组成互质数的两个数 可能是两个质数(3和5)，可能是一个质数和一个合数(3和4)，可能 是两个合数(4和9)或1与另一个自然数。 (5)如果一个质数是某个数的约数，那么就说这个质数是这个数的质因数。把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数。 (6)100以内的质数有25个：2、3、5、7、11、13、17、19、23、 29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、 83、89、97 . 二整除性 (1)概念 一般地，如a、b、c为整数，b≠0，且a÷b=c，即整数a除以整除 b(b不等于0)，除得的商c正好是整数而没有余数(或者说余数是0)， 我们就说，a能被b整除(或者说b能整除a)。记作b|a.否则，称为a 不能被b整除，(或b不能整除a)，记作b a。 如果整数a能被整数b整除，a就叫做b的倍数，b就叫做a的约数。(2)性质性质1：(整除的加减性)如果a、b都能被c整除，那么它们的和与差也能被c整除。 即：如果c|a，c|b，那么c|(a±b)。 例如：如果2|10，2|6，那么2|(10+6)，并且2|(10—6)。也就是说，被除数加上或减去一些除数的倍数不影响除数对它的整除性。性质2：如果b与c的积能整除a，那么b与c都能整除a. 即：如果bc|a，那么b|a，c|a。 性质3：(整除的互质可积性)如果b、c都能整除a，且b和c互质， 那么b与c的积能整除a。 即：如果b|a，c|a，且(b，c)=1，那么bc|a。 例如：如果2|28，7|28，且(2，7)=1, 那么(2×7)|28。 性质4：(整除的传递性)如果c能整除b，b能整除a，那么c能整除a。即：如果c|b，b|a，那么c|a。 例如：如果3|9，9|27，那么3|27。 (3)数的整除特征 ①能被2整除的数的特征：个位数字是0、2、4、6、8的整数. ②能被5整除的数的特征：个位是0或5。突破口 ③能被3(或9)整除的数的特征：各个数位数字之和能被3(或9)整除。判断能被3(或9)整除的数还能够用“弃3(或9)法”：小学奥数-数论专题知识总结
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