第二章 集合
第三节 集合的方法
（分类原则，极端原理，容斥原理与抽屉原理）
一、基本知识和方法
当我们试图对某些对象的数目从整体上计数碰到困难时，考虑将整体分解为
部分，通过对每个部分的计数来实现对整体的计数是一种明智的选择.
集合的划分反映了集合与子集之间的关系，这既是一类数学问题，也是数学
中的解题策略——分类思想的基础.
1. 覆盖与划分——分类讨论的根据
将整体分解为部分，也就是将有限集A 表示成它的一组两两互异的非空真子
集123,,,n A A A A 的并集，即12n A A A A =，其中i A A ?，(1,2,)i A i n ≠?=,则集合12{,,,}n A A A ?=叫做集合A 的一个覆盖.
一个特殊情况是，集合?中的任意两个集合都不相交，这时我们称集合?为
集合A 的一个（完全）划分.即?是集合A 的一个覆盖，且()i j A A i j =?≠.
如?为集合A 的划分，则对集合A 的计数可通过熟知的加法公式
123||||||||||n A A A A A =++++ ①
进行，但是，要找到一个划分并且其中所有子集易于计数的有时并非易事. 我们可以考虑通过对任意的集族中的子集的计数来计算||A ，当集族?中至少存在两个集合的交非空时，我们称这个覆盖为集合A 的不完全划分. 对于集合A 的不完全划分，显然有
12||||||||n A A A A <+++ ② 因为在计算i A 时出现了对某些元素的重复计数，为了计算||A ，就得将②式右边重复计算的部分减去，如果减得超出了，还得再加上，也就是说我们要做“多退少补”的工作.
2. 容斥原理
完成上述工作的准则就是容斥原理，是十九世纪英国数学家西尔维斯提出的，容
斥原理有两个公式.
（1）容斥公式 用A 表示集合A 的元素个数，则
A B A B A B =+-，
C B A C B C A B A C B A C B A +---++=，
此结论可以推广到n 个集合的情况。
定理1 设则为有限集,),,2,1(n i A i =
∑∑=≤<≤=-=-++-=n i n j i i n
i n j i i i n i A A A A A 11111||)1(|||||| ③ 容斥公式常用来计算至少具有某几个性质之一的元素的数目. （2）筛法公式 与容斥公式讨论的计数问题相反，有时需要计算不具有某几个性质中的任何一个性质的元素的个数，即||21n A A A . 为此，我们先引入下面的引理. 引理1 设A 关于全集I 的补集为A ，则.||||||I A A =+ 引理2 ,11i n i i n i A A === ,11i n
i i n i A A === 利用两个引理改写公式③便得：
定理2 设),,2,1(n i A i =为有限集I 的子集，
则||||||||111i n
i i n i i n i A I A A ===-== ∑∑=≤<≤=-+++
-=n i n j i i n
i n j i i A A A A I 111||)1(|||||| ④
3.极端原理
最小数原理一：设P 是自然数集的一个非空子集，则P 中必有最小数.
最小数原理二：设P 是实数集的一个有限非空子集，则P 中必有最小数.
上述的最小数原理又称为极端原理.
4.抽屉原理
我们考虑这么一个事实：任意给出3个自然数，那么其中一定有两个数之
和能被2整除.我们把“奇数”和“偶数”各看成一个抽屉，把3个自然数按奇、偶性分别放入各自的抽屉，可知必有一个抽屉放入2个自然数，取这两个自然数，要么同是奇数，要么同是偶数，它们的和一定是偶数，故能被2整除.这个事实就可以抽象为抽屉原理.
抽屉原则常见的形式如下：
（1） 把(1)n k k +≥个物体，按照任意方式全部放入n 个抽屉中，一定存在一个
抽屉中至少有两个物体.
（2） 把(1)mn k k +≥个物体，按照任意方式全部放入n 个抽屉中，一定存在一
个抽屉中至少有1m +个物体.
（3） 把12+++(1)n m m m k k +≥个物体，按照任意方式全部放入n 个抽屉中，那
么存在一个抽屉中至少放了1+1m 个物体，或在第二个抽屉中至少放了
2+1m 个物体，或在第n 个抽屉中至少放了+1n m 个物体.
（4） 把m 个物体，按照任意方式全部放入n 个抽屉中，有两种情况：
当n 整除m 时，一定存在一个抽屉中至少放入了m n
个物体； 当n 整除m 时，一定存在一个抽屉中至少放入了1m n ??+????
个物体. 一般来说，适合应用抽屉原理解决的数学问题具有如下特征：新给的元素具
有任意性.如10个苹果放入9个抽屉，可以随意地一个抽屉放几个，也可以让抽屉空着. 问题的结论是存在性命题，题目中常含有“至少有……”、“一定有……”、“不少于……”、“存在……”、“必然有……”等词语，其结论只要存在，不必确定，即不需要知道第几个抽屉放多少个苹果.
抽屉原理的解题思路：
（1）认真领会题意，分析条件和要得到的结论，确定把什么条件看成是“抽屉”，把什么条件看成是“物体”。
（2）设计抽屉，设计好抽屉是解决这类数学问题的关键，抽屉的设计涉及很多数学知识，要抓住主要的基本关系进行分类，设计抽屉的性质和个数。
（3）应用抽屉原理得到必要的结论，再综合其它数学知识，解决具体问题。
下面再介绍抽屉原理的几种变形：
平均量重叠原理：把一个量S 任意分成n 份，则其中至少有一份不大于
n
S ，也至少有一份不少于n S . 面积的重叠原理：在平面上有n 个面积分别是12,,n A A A 的图形，把这n 个
图形按任何方式一一搬到某一个面积为A 的固定图形上去，
（1）如果12n A A A A ++
+>，则至少有两个图形有公共点； （2）如果12n A A A A ++
+<，则固定图形中至少有一个点未被盖住. 二、典型例题
第一节 分类原则
有些数学问题涉及的对象较为复杂，统一解决有困难，于是就将这些对象分成“不重不漏”的若干类，然后逐类解决。分类的原则是：每次分类必须不重不漏，其理论根据就是集合的分划。
分类原则 设所研究的对象的全体形成集合M ，12,,
n A A A 是M 的一组非空子集，且（1）()i j A A i j =?≠，
（2）M A U i n i ==1，那么这组子集叫做研究对象的全体的一个n —分类。其中每一个子集叫做所研究对象的一个类。
解题中的分类讨论是根据解题的需要自然进行的，有时还要进行多级分类。
例1 对任意*∈N k n ,，令.321n n n n k S ++++= 求S 被2除所得的余数。
分析 因为)3(mod 0)3(≡n m ，)3(mod 1)13(≡+n m ，)3(mod 1)23(2≡+r m ，
)3(mod 2)23(12≡++r m ，所以对n 按奇偶性分类是自然的。
解析：（1）当n 为奇数时，设*∈-=N l l n ,12.
对于*∈N m ，若3不能整除m ，则
)3(mod )3(mod 1)3(mod 11)1(21222m m m m m l l l ≡≡?≡?≡+--；
若m |3，则)3(mod 012m m l ≡≡-.
于是，当n 为奇数时对N m ∈总有).3(mod m m n ≡
从而).3(mod )654()321(321 ++++++≡++++≡k S
当33+=t k 或23+=t k 时就有).)(3(mod 0N t S ∈≡
当13+=t k 时就有
).)(3(mod 1)]1()2()3[()654()321(321N t k k k k k
S ∈≡+-+-+-+++++++≡++++≡
（2）当n 为偶数时对N m ∈由（1）知
3不能整除m )3(mod 1≡?n m ，).3(mod 0|3≡?n m m
于是).3(mod )011()011(321 ++++++≡++++≡k S
当33+=t k 时（1+1+0）共有t+1组，故).3(mod 22)011)(1(+≡+++≡t t S
当23+=t k 时（1+1+0）共有t 组，且)3(mod 1)1(≡≡-n n k k ，故
)3(mod 22112+≡++≡t t S ；
当13+=t k 时（1+1+0）共有t 组，且，故有).3(mod 12+≡t S
综合（1）（2）可知，
当n 为正奇数时有))(3(mod 1
3,12333,0N t t k t t k S ∈???+=++=≡或； 当n 为正偶数时有))(3(mod 7939292,695919,1998949,0N t t t t k t t t k t t t k S ∈??
???+++=+++=+++=≡或或，或或或或.
评注：这是一个二级划分的例子。首先按n 的奇偶分成两大类，然后又将每一类对k 按模3的剩余类分成三个小类。
分类实际上就是给研究对象增加限制条件，从而使解决问题的难度降低。如 例2 求集合B,C,使得}10,,2,1{ =C B ,并且C 的元素乘积等于B 的元素和。 分析：这实际上是求特殊条件下集合方程的解。注意到集合B 的元素和
551021=+++≤ ，而12054321=????，故知集合C 至多有4个元素，这样我们可按|C|的可能值分成4类来讨论。
解析：因为=<=+++120551021 54321????，所以集合C 至多有4个元素。下
面对|C|分4种情况讨论如下：
（1）C 由一个元素构成。因为C 的元素乘积不超过10，B 的元素和至少为55—10=45.故此情况不成立；
（2）C 由两个元素构成，设为)(,y x y x <，则y x xy --=55即
56)1)(1(=++y x ，解得.7,6==y x 故}.10,9,8,5,4,3,2,1{},7,6{==B C
（3）C 由三个元素构成，设为z y x <<，则z y x xyz ---=55；
若3≥x ，则z y x xyz --->=??≥5560543，无解！
验证：若1=x ，则10,4==z y ，此时}.9,8,7,6,5,3,2{},10,4,1{==B C
若2=x ，则107)12)(12(532=++?=++z y z y yz 为质数，无解！
（4）C 由4个元素构成，设为t z y x <<<，则必有1=x ，否则
551205432>=???≥xyzt 。这时
.2,54t z y t z y yzt <<≤---=
如（3），3≥y 无解，故只有.2=y
这时105)12)(12(522=++?=++t z t z zt
解得.7,3==t z 从而}.10,9,8,6,5,4{},7,3,2,1{==B C
综上，B,C 有3组解。
练习：
1.对任意的0,0>>b a ，求}},1,1min{max{22b a b
a +的值。 提示：可设0>≥
b a ，令3222
111==?+==b a b a b a ，拟分如下三种情况讨论： （1）321≥≥b a ，（2）0213>≥≥b a ，（3）02
13>≥≥b a 结论是：3222}},1,1min{max{=+b a b a （32
1==?b a ） 2.证明：任何一个三角形可以被分割成三个多边形（包括三角形），其中之一为
钝角三角形，且能重新拼为一个矩形（多边形允许被翻转）
解析：若ABC ?为等腰三角形，且AC AB =,则取底边中点D 和底边另一点E ，连结顶点和底边上这两个点，把三角形分为三部分，易知其中AEC ?为钝角三角形，且能按如图所示拼成矩形。
若ABC ?为非等腰三角形，不妨设A ∠为最大角，作D BC AD =⊥,在线段
BD 上取点M 使得MD=DC ，设BM,AB 的中点分别为E,F ，连结EF 则ADC BEF ??,,四边形ADEF 可按图2方法拼成矩形，且易知BEF ?为钝角三角形。
3.求满足!!!!z y x w ++=的所有正整数组).,,,(z y x w
解析：不妨设z y x w ≥≥>。若z y >，则以!z 除等式两边可得
1)1()1()1()1()1()1(++-++-=+-z y y z x x z w w
其中11>+z 能整除等式左边，但不能整除等式的右边，矛盾！
若z y x =>，则可得2)1()1()1()1(++-=+-z x x z w w ；
应有2|1+z ，即1=z ，此时上式化为133)1(+=- x w w ，显然不成立； 于是必有z y x ==，此时原式为!3!x w ?=故.3,2====w z y x
第二节 极端原理
极端原理实际上是一个存在性定理，运用最小数原理解决数学问题的关键是：首先根据问题的条件构造具有某种性质的实数的集合，然后利用这个集合的B )(B A )(D D )(A C E 1231
图A A D F 2图231E A
D 32
1E D C B
E M
F F B C
最小（大）数的存在性解决问题。
例1 已知321,,S S S
例2 求方程)4(244444u z y x +=+的整数解。
例3 若干名儿童围成一圈
例4 在n 名选手
例5 已知正整数a 和b 使得)(|)1(2
2b a ab ++，求证12
2++ab b a 时某个正整数的平方。
例1 求1，2，3，…，100中不能被2，3，5整除的数的个数。
分析：容斥公式的典型应用.
解析： 记{1,2,3,,100},I =
{1100,2}A x x x =≤≤，2x 表示x 被2整除，
}5,1001{},3,1001{x x x C x x x B ≤≤=≤≤=， 由容斥原理，
+??
????+??????=+---++=31002100C B A A C C B B A C B A C B A 7430100151001010061005100=??
????+??????-??????-??????-??????，
所以不能被2，3，5整除的数有26=-C B A I 个。
例2 求204321=+++x x x x ，且611≤≤x ，702≤≤x ，843≤≤x ，624≤≤x 的解的个数.
分析：筛法公式的典型应用.
解析： 令111-=x y ，22x y =，433-=x y ，.244-=x y
则.134321=+++y y y y ①
501≤≤y ，702≤≤y ，403≤≤y ，.404≤≤y
设S 为①的解集（在不加限制条件下的非负整数解），
1s 为S 中21,5s y >为S 中72>y ，3s 为S 中43,4s y >为S 中44>y 的子集. 则所求解为||4321s s s s
又316||C s =，310141741||C C s ==--+，38141542||C C s ==--+，3111418443||||C C s s ===--+，
||31s s 413144215||s s C C -+-===，1||||4232==s s s s ，413344316||s s C C -+-==，
.0||21=s s 而0||=k j i s s s ，.41≤<<≤?k j i
∴由容斥原理推论.81||4321=s s s s
评注 作一个代换，便于运用不定方程n x x x m =+++ 21的非负整数解的个数为11--+m n m C 这个结论，再运用容斥原理就比较方便了.
例3．一次会议有1992位数学家参加，每人至少有1329位合作者．证明：可
以找到4位数学家，他们中每两人都合作过．
证明：记1992位数学家分别为i v （1i =，2，…，1992），与i v 合作过的数
学家构成的集合记为i A （1i =，2，…，1992），则由题意得
()1329i card A ≥（1i =，2， (1992)
， 1
2()1992card A A ≤， 123(())1992card A A A ≤．
不妨设数学家1v 与2v 合作过，那么，
12121
2()()()()card A A card A card A card A A =+- 1
213291329()card A A ≥+-
26581992≥-0>． 所以12A A ≠?，不妨设数学家312v A A ∈，即3v 与1v ，2v 都合作过．又因
为1v 与2v 合作过，所以1v ，2v ，3v 两两合作过．
因为
1
23()card A A A 123123()()(())card A A card A card A A A =+-
1231
2123()()()()(())card A card A card A card A A card A A A =++-- 3132921992≥?-?3=．
所以123A A A ≠?，不妨设数学家4123v A A A ∈，即4v 与1v ，2v ，3v 都
合作过．又因为1v ，2v ，3v 两两合作过，所以1v ，2v ，3v ，4v 两两合作过．
综上可知，可以找到4位数学家，他们中每两人都合作过．
评析：若存在1k -个数学家i v （1i =，…，1k -）两两合作过，应用容斥原理对121k A A A -中元素的个数进行估计．如果121()0k card A A A ->，就说明存在数学家k v 与数学家i v （1i =，…，1k -）都合作过，从而得到这k 个数学家每两人都合作过．本题只需对2k =，3，4逐一进行考察就可以得到结论． 当然，本题还可用图论知识来解。
变式题：
（09年浙大自招题）给出1,2,3,4,5五个数字，排列这五个数字，要求第一个到第(14)i i ≤≤个位置不能由1,2，…，i 的数字组成，如21534不可，因为第一位到第二位由1、2组成，同理32145也不可. 求满足要求的所有可能的组合数.
【解析】用容斥原理解决：令(14)i A i ≤≤为1、2、3、4、5的排列所组成的集合，它的任
一个元素的前i 个数是1,2，…，i 的一个排列. 用||A 表示集合A 中元素的个数，则
1234||4!24,||2!3!12,||3!2!12,||4!24A A A A ===?==?===，
1
21314||3!6,||2!2!4,||3!6,A A A A A A ===?=== 2
32434||2!2!4,||2!2!4,||3!6A A A A A A =?==?===， 1
23124134||2!2,||2!2,||2!2,A A A A A A A A A ====== 2341
234||2!2,|| 1.A A A A A A A === 所以，1
234||A A A A 241212246664442222149=+++------++++-=；
故满足要求的所有可能的组合数为120-49=71.
评注：本题还可以考虑5的位置分类来解决。
例4.求证：集合{1,2,,1989}可以划分为117个互不相交的子集(1,2,,117)i A i =，
使得（1）每个i A 恰有17个元素；（2）每个i A 中各元素之和相同.
分析：我们发现198917117=?,这为我们提供了思路.
证明：将集合{1,2,,1989}中的数从小到大顺次分成17段，每段含117个数，从第4段数开始，将偶数段的数从小到大依次放入12117,,,A A A 中，并将奇数段的数从大到小依次放入这117个子集中，易见，所有集合中的14个数之和都相等，于是问题归结为如何将前三段数{1,2,
,351}的每3个一组分别放入每个集中，且使每组3个数之和都相等。
把这些数中3的倍数抽出来从大到小排好：{351,348,345,,6,3}，共117个数，依次将它们放入12117,,,A A A 中，
其余的234个数从小到大排列并分成两段，每段117个数，即{1,2,4,5,7,,173,175}和{176,178,179,,349,350}，将这两段数分别顺次放入12117,,,A A A 之中便满足要求。事实上，若将这两段数中的数顺
次相加，则其和为{177,180,183,186,,522,525}。由此可见，放入每个i A 的3个
数之和都是528。
例5.设S为集合{1,2,3,,49,50}具有下列性质的子集：S中任意两个不同元素之和不能被7整除，求S中元素最多可能有多少个？（第43届美国中学数学竞题）分析：我们注意到对于两个不同的自然数a与b，如果7不整除()
a b
+，那么它们被7除所得的余数和不为0.所以可将集合{1,2,3,,49,50}按被7除所得的余数划分为7个子集，构造抽屉.
解析：我们将集合{1,2,3,,49,50}按被7除所得的余数划分为7个子集.其中
i
A中的每个元素除以7后的余数为(1,2,,6)
i i=，则：
0{7,14,21,28,35,42,49}
A=；
1{1,8,15,22,29,36,43,50}
A=
2{2,9,16,23,30,37,44}
A=；
3{3,10,17,24,31,38,45}
A=；
4{4,11,18,25,32,39,46}
A=；
5{5,12,19,26,33,40,47}
A=；
6{6,13,20,27,34,41,48}
A=.
根据题意得（1）S中最多含有
A中的一个元素；（2）S中含i A中一个元素，则
可以含有这个集合中的所有元素；但不能同时含有
i
A-7中的元素；（3）1A中含有
8个元素，而其它子集中只有7个元素，故最大的子集S中必含
1
A中所有的元素.
综上可得：最大的子集S中有：1+8+7+7=23个元素.
变式题：
（2011年复旦千分考）设S是由任意5
n≥个人组成的集合，若S中任意4个人当中都至少有1个人认识其余3个人，那么下面的判断中正确的是（）
（A）S中没有人认识S中所有的人
（B）S中至少有1人认识S中所有的人
（C）S中至多有2人不认识S中所有的人
（D）S中至多有2人认识S中所有的人
【解析】根据题设条件，从解读集合S的含义入手，举例验证或排除，是正确的需要给予严格证明.
若S中所有人都相互认识，显然符合题设条件，从而AD都错；若,,
a b c是S中的3人，它们中的任何一个人都不认识其他任何人，而除了这3人之外，其他3
n-个人都认
识所有的人，显然这样的集合符合题目要求，故C 错. 用排除法可得B 为正确.
对于B 的证明：认识的总人次至少为43n C ，而
423(2)(3)32[][][]1(5)44
n n C n n n C --?=≥=≥ 由抽屉原则可知：S 中至少有1人认识S 中所有的人.
例6.（1994年河北省高中数学竞赛试题）设集合{123366}A =，，，，如果A
的一个二元子集{,}B a b =满足17|()a b +，则称B 具有性质P
（1）求A 的具有性质P 的二元子集的个数；
（2）A 的一组二元子集.两两不相交且具有性质P .这组二元子集的个数是多少？
解析:（1）把1，2，3，…，366按被17除的余数分为17类：
[0]，[1]，[2]，…，[16].
因为36617219=?+，故[1]，[2]，…，[9]中各有22个数；
[10]，[11]，…，[16]和[0] 中各有21个数.
(i)当,[0]a b ∈时，具有性质P 的子集数为221210C =个；
（ⅱ）当[],[11]a k b k ∈∈-，1,2,7k =时，具有性质P 的子集数为
112221462C C ?=个；
（ⅲ）当[8],[9]a b ∈∈时，具有性质P 的子集数为112222484C C ?=个.
所以A 具有性质P 的子集数共有：21046274843928+?+=个.
（2）为了使两元子集不相交：
则当,[0]a b ∈时，可搭配出10个子集；
当[],[11]a k b k ∈∈-，1,2,7k =时，各可搭配出21个子集；
当[8],[9]a b ∈∈时，可搭配出22个子集.
故具有性质P 的两两不相交的子集共有1021722179+?+=个.
评析：找到适当的标准即利用余数对集合划分，是解决本题的关键.
例7.把1到10的自然数摆成一个圆圈，证明一定存在三个相邻的数，它们的和数大于17.
证明：设123910a a a a a ，，，，分别代表不超过10的十个自然数，它们围成一个圈，
三个相邻的数的组成是()()()()1232343451012a a a a a a a a a a a a ，，，，，，，，，，，共十组,现把它们看作十个抽屉，每个抽屉的物体数是
123++a a a ，234++a a a ，345++a a a ，…1012++a a a ,
由于()()()()1232343451012++++++++++++a a a a a a a a a a a a
12310=3(+++)165=1610+5a a a a =?
根据抽屉原则,至少有一个括号内的三数和不少于17,即至少有三个相邻的数的和不小于17.
例8. （第24届IMO 第4题）设ABC 为一等边三角形，E 是三边上点的全体. 对于每一个把E 分成两个不相交子集的划分，问这两个子集中是否至少有一个子集包含着一个直角三角形的三个顶点？
证明:如图，在边,,BC CA AB 上分别取三点,,P Q R ， 使.3,3,3AB RB CA QA BC PC ===
显然,,ARQ BPR CQP ???都是直角三角形.
它们的锐角是30?及60?.
设12,E E 是E 的两个非空子集，且1212,E E E E E ==?. 由抽屉原则,,P Q R 中至少有两点属于同一子集，
不妨设1,P Q E ∈. 如果BC 边上除P 之外还有属于1E 的点，那么结论已明.
设BC 的点除P 之外全属于2E ，那么只要AB 上有异于B 的点S 属于2E ，
设S 在BC 上的投影点为S '，则SS B '?为直角三角形.
再设AB 内的每一点均不属于2E ，即除B 之外全属于1E ，
特别，1,R A E ∈，于是1,,Q R A E ∈，且ARQ 为一直角三角形.
从而命题得证.
评述:此例通过分割图形构造抽屉. 在一个几何图形内有若干已知点，我们可以 根据问题的要求把图形进行适当的分割，用这些分割成的图形作为抽屉，再对已 知点进行分类，集中对某一个或几个抽屉进行讨论，使问题得到解决.
例9. 以(,,)x y z 表示三元有序整数组，其中,,x y z 为整数，试证：在任意七个三元整数组中，至少有两个三元数组，它们的,,x y z 元中有两对都是奇数或都是偶数. 分析: 设七个三元素组为111122227777(,,),(,,),,(,,)A x y z A x y z A x y z .
现在逐步探索，从x 元开始，由抽屉原则，127,,
,x x x 这七个数中，必定有四个数具有相同的奇偶性，不妨设这四个数是1234,,,x x x x 且为偶数，
接着集中考虑1234,,,A A A A 这四组数的y 元，
若比如1234,,,y y y y 中有两个是偶数，则问题已证，
否则至多有一个是偶数，比如4y 是偶数，这时我们再来集中考虑123,,A A A 的z 元.在123,,z z z 中，由抽屉原则必有两个数具有相同的奇偶性，
如12,z z ，这时无论它们是奇数，还是偶数，问题都已得到证明.
例10. 任给7个的实数，求证：其中至少有两个实数,x y ，使得013x y xy -≤
≤+ 证明：设这7个数是：127,,,ααα，并令tan ,(())22
i i i a ππαα=∈-， ，17i ≤≤ . 现把()22ππ-，等分为六段：(],(],(0],(0](](]2336666332
ππππππππππ-----，，，，，，，，， 由抽屉原理，127,,,ααα中至少有两个数落在同一个区间内.
不妨设12,(0]6παα∈，，且12αα<，于是212100tan()63
π
αααα≤-≤≤-≤，.
由212121tan tan tan()=1tan tan αααααα--+
，得2121tan tan 01tan tan αααα-≤≤+，
即212101a a a a -≤≤+.得证。 例11.在公差0d >的正项等差数列{}n a 的前3(2)n n ≥项中任取2n +个数，试证明其中必存在两个数,i j a a 满足不等式12i j a a nd -<<。
证明：在取出的2n +个数中，记m a 最大，则3m n a a ≤
若3m n a a <，则把每个数都加上3n m a a -，这样处理后不改变任何两数差的绝对值。 从而总可以认为取出的2n +个数中，包括3n a 。记3i n a a =
1）若取出的2n +个数中，除3n a 外，还有1221,,
,n n n a a a ++-中的一个j a ，则
321(1)i j n n a a a a n d nd --≥-=+>
31(21)2i j n n a a a a n d nd +-≤-=-< 所以12i j
a a nd -<<
2）若取出的2n +个数中，除3n a 外，不含1221,,
,n n n a a a ++-中的任何一个数，则
把这些数之外的2n 个数划分成n 个集合： 1222+131{,}{,}{,}n n n n a a a a a a -，，， 这些集合中任何两个数都满足不等式12i j
a a nd -<<
这样除3n a 外还要取的1n +个数要从这n 个集合中取，由抽屉原理知，必存在一个集合，它的两个元素都被取出，而这两个元素必满足12i j a a nd -<
<
综上可得命题得证。
例12. （第17届IMO 第2题）设 ,,,321a a a 是严格上升的自然数列：
<<<321a a a ，求证：在这个数列中有无穷多个m a 可以表示为q p m ya xa a +=，
这里q p ≠是两个正整数，而y x ,是两个适当的整数.
证明:对严格上升的自然数列 <<<321a a a ，取以1a 为模的剩余类，则可分为1a 类: {0}，{1}，{2}，…，{11-a }.
考虑无穷数列,,,32 a a 由抽屉原则，其中有无穷多项属于同一类，不妨设这一剩余类是{}r ，且记其中数值最小的那一项为q a ，显然1>q ，
于是,1r ua a q +=其中的u 是某个正整数，其他的属于这一剩余类的任一项
m a 可表示为.1r a a q +=ν由于,,u a a q m >>ν故所以有
.)(111q q m a a u ua a a a +-=-+=νν
令u x -=ν，这是一个正整数，再令1=y ，则上式成为.1q m ya xa a -= 显然，这里的q p <=1.
习题
1. 将集合{}1,2,
,36S =分拆为k 个互不相交的非空子集12,,,k A A A 的并，若对于每一个()1,2,,i A i k =，其中任意两个不同的元素之和都不是完全平方数，则k 的最小值为
解析：考虑6、19、30或1、15、10、6等即知3k ≥,只需令
{}{}*
1419,4,8,16,24,36A k k k N =-≤∈ {}{}*2439,6,14,18,26,34A k k k N =-≤∈
{}32,10,12,20,22,28,30,32A =
2.集合{1,2,,3}n 可以划分成n 个互不相交的三元集合{,,}x y z ，其中z y x 3=+，求满足条件的两个最小正整数.n
解析： 设其中第i 个三元集为{,,},i i x y z 且3i i i x y z +=，1,2,
,,i n = 则113(31)12(31)3()42n
n i i i i i i n n n n x y z z ==++++-+==++=∑∑， 当n 为偶数时，有n 38，所以min 8n =，（232415x y z +≤+?≤）
当n 为奇数时，有138+n ，所以min 5n =，（14159x y z +≤+?≤）
当5=n 时，集合{1，11，4}，{2，13，5}，{3，15，6}，{9，12，7}，
{10，14，8}满足条件。
(或{2,10,4},{1,14,5},{3,15,6},{9,12,7},{11,13,8})
当8n =时，集合{1,14,5},{2,19,7},{3,21,8},{4,23,9},{6,24,10},{15,18,11},
{16,20,12},{17,22,13}满足条件。
3.由数码1，2，3构成的n 位数中，1，2，3都至少出现一次的n 位数有多少？
解析：设由1，2，3构成的全体n 位数为s 集合.
记s x x s k ∈=|{，且x 不含k } 1,2,3k =. 则
1||||||133221===s s s s s s ，0||321=s s s ，.2||||||321n s s s === ∴||321s s s
=|||||||||)||||(|||321133221321s s s s s s s s s s s s s -+++++-
.3233+?-=n n
故所求n 位数有3233+?-n n 个.
（还可以用递推数列求解）
4．设n 与k 是正整数，3n >且2
n k n <<．平面上有n 个点，其中任意三点不 共线，且其中每个点都至少和其它k 个点用线段连接，证明：连接的线段中至少有三条围成一个三角形． 证明：因为n
k n 2,3>>所以2≥k . 这表明：n 个点中必有两个点A 与B ，它们之间连一 段线段，余下的点构成的集合记作X .X 中用线段与A 连接的所有点的集合记作M ，而与 B 连接的所有点的集合记作N . 显然M N 是X 的子集，因此，||2M N X n ≤=-.
另一方面，由已知条件，||1,||1M k N k ≥-≥-，则由容斥公式，
2||||||||22|n M
N M N M N k M N -≥=+-≥-- 即||20M N k n ≥->. 这就证明了M
N ≠?，也就是说M N 中必有一点C ，它与A ，B 构成一个ABC ?.
5.已知A 与B 是集合{}1,2,3,100的两个子集，满足：A 与B 的元素个数相同，
且A B 为空集。若n A ∈时总有22n B +∈，则集合A B 的元素个数最多为 解析：先证66A B ≤，只须证33A ≤，为此只须证若A 是{}1,2,3,
49的任一个34元子集，则必存在n A ∈，使得22n B +∈.
证明如下：将{}1,2,3,49分成如下33个集合：
{}{}{}{}{}1,4,3,8,5,12,,21,24,23,48共12个；
{}{}{}{}2,6,10,22,14,30,18,38共4个；
{}{}{}{}25,27,29,,49共13个；
{}{}{}{}26,34,42,46共4个.
由于A 是{}1,2,3,49的34元子集，
从而由抽屉原理可知上述33个集合中至少有一个2元集合中的数均属于A ，即存在n A ∈，使得22n B +∈.
如取{}1,3,5,,23,2,10,14,18,25,27,29,,49,26,34,42,46A =，
{}22B n n A =+∈，
则,A B 满足题设且66A B ≤.
6.用2种颜色涂55?共25个小方格，证明：必有一个四角同色的矩形出现.
证明：设两种颜色为红、蓝，考察第一行的涂色．必有三格同色，
不妨设为红色，且在左边三列．
现考察左边三列，
若下面四行中某一行有两格同为红色，则出现四角同红色矩形，
否则每行仅可能一格染红色，
从而四行中必有二行左边三列中有两列同染蓝色，
从而得到四角同为蓝色的矩形．
7.集合}12,2,,3,2,1{+=n n A 的子集B 满足：对任意的B y x B y x ?+∈,,，则集合B 中元素个数的最大值是___________
解：首先}12,,5,3,1{+=n B 满足题意，且1+=n B 。
其次，设B 中最大的元素为12+=n k ，
将1，2，…，n 2分成n 组：)1,(,),12,2(),2,1(+-n n n n .
由抽屉原理可知， 如果2+=n B ，则必有B 中的两个元素在同一组，两数和等于12+n ，与已知矛盾，所以1+≤n B .
如果12+ 所以集合B 中的元素个数的最大值是1+n 。 8.任给5个整数，证明必能从其中选出3个，使得它们的和能被3整除。 分析:本问题属于数论方面的问题.利用整数关于模3的同余类进行情况分类与组合. 解析：任意一个整数a ,关于模3同余有三种情况：0、1、2，假定任给的5个整数关于模3同余于,,,,,54321a a a a a 则{}2,1,0,,,,,54321∈a a a a a ； 情况一：,,,,,54321a a a a a 全相等。 若全为0，则5个整数都是3的倍数，所以任选三个，其和能被3整除； 若全为1，则任选三个其和关于模3同余为3，即和能被3整除； 若全为2，则任选三个其和关于模3同余为6，即和仍能被3整除。 情况二：,,,,,54321a a a a a 只出现两种不同的值，由抽屉原理可知，必然有三个取值相同，此时，不管同为0、1、2中的任何一个，以下的分析同于情况一。 情况三：,,,,,54321a a a a a 三种取值都出现，不妨设,2,1,0321===a a a 则,,,321a a a 所对应的整数其和关于模3同余为3，即和能被3整除。 评注：该问题将数论问题利用抽屉原理来解决，既清晰又恰到好处 9.任何十个不同的两位数之集合必能选出两个不相交的子集，使每个子集的各数之和相等。 分析：该问题属集合范畴，涉及子集及集合相交等基本概念，关于可数有限集合的子集问题，利用抽屉原理进行估数及分析子集之间的关系都是很好的途径.对可能出现的子集和情况数与子集总数进行对照，在比较选出的子集是否会有相交的情形出现. 解答:显然由十个不同的两位数的集合所产生的子集个数为1024210=，除去空集与全集外，还有1022个子集。 在这1022个子集中，各数字之和最大为99+98+97+96+95+94+93+92+91=855， 最小为10，所以，至多有855101+1=846-个不同的数字.与子集数比较可知，必有两个子集的各数字之和相等.不妨设为A B ，,若A B =?，结论成立；若A B ≠?，作//\(),\()A A A B B B A B ==， 显然//,B A 为子集，并且各数字之和相等，//A B =?，所以//,B A 为所求。 评注：该问题用抽屉原理很容易得到子集A B ，，但是接下来的对A B ，的讨论分析就需要严密的逻辑思维，因此，通过这类型的例题可以进行这方面的培养与锻炼。 10.证明：从52个正整数中，必可找出两数使之和或差可被100整除。 分析：该问题仍属于数论方面的问题。首先关于模100会出现100种同余类，但提供的却只有任意的52个正整数，其次结论要求选出两数进行和或者差运算，这些都增加了解题难度。如果直接按所有余分类不太容易入手，我们可以尝试将所有余分组以后在分类。 解答：把所有整数按模100的余数进行分组：{}{ }{}{}{},50,51,49,,98,2,99,1,0 共51 1.1.1集合的含义与表示 一、教材分析 本节课选自人教版《普通高中课程标准实验教科书数学》必修1，第一章1.1.1集合的含义与表示。《课程标准》对本课内容的要求是：通过实例，了解集合的含义，理解元素与集合的属于关系；针对具体问题，能够在自然语言和图形语言的基础上，用符号语言刻画集合。 集合在高中阶段的数学课程中，具有十分重要的地位。集合是高中阶段数学课程引入的第一个概念，是整个高中数学课程内容的基础，集合的初步知识与后续内容的学习有着密切的联系。集合是学习掌握使用数学语言的基础，集合形象化的将生活实际问题用数学符号表示出来，从而简化了用数学分析实际问题的语言，为相关数学知识奠定一定的理论基础。许多重要的高中数学内容，如函数，方程，不等式，立体几何解析几何，概率统计的，都需要用集合的语言来表述相关问题及核对这些内容的后续学习均发挥了显著作用。 集合是集合论中的原始的不定义只描述的概念。在初中数学不等式解集的定义中涉及过集合，学生已经有了一定的感性认识，在此基础上，本节结合实例引出集合与集合中元素的相关概念，集合中元素的特征，及集合的表示方法等。 二、学情分析 学生在初中阶段的学习中，已经有了对集合的初步认知，有了对周围事物的发现总结能力。对部分粗心大意的学生，培养其细致的观察力，在本节的学习中学生可能会对集合的表示方法：列举法和描述法会有所混淆，通过不断的练习巩固来达到标准要求。学生可能会用初中熟知的记忆学习方法来学习，鼓励学生理解学习，事半功倍。 三、教学目标 1、知识与技能目标：通过实例，了解集合的含义，理解元素与集合的属于关系；针对具体问题，能够在自然语言和图形语言的基础上，用符号语言刻画集合。 2、过程与方法目标：通过集合含义教学，培养学生的抽象思维能力。通过集合表示方式的教学，培养学生运用数学语言学习数学、进行交流的能力。树立用集合语言表示数学内容的意识。 3、情感态度与价值观目标：学生在掌握集合相关的基本概念的基础上，解决相关问题，获得数学学习的成就感；学生的数学学习进入到新阶段，培养学生对数学学习的兴趣。 四、教学重点和难点 1、教学重点：集合的含义与集合的表示方法； 2、教学难点：运用集合的两种常用表示方法——列举法与描述法，正确表示一些简单的集合。 五、教学设计 （一）新课引入 体育课上课时，老师总说“请同学们集合”，同学们便会从四面八方集合到老师身边。这里的集合是一个动词，让同学们集中在一起。我们在数学中也有“集合”，这里的集合是一个名词，但是他的意义和以上说的动词集合有相似之处。这一节课，我们便来学习数学中的集合的含义与他的表示方法。（板书课题：集合的含义与表示） 那什么是集合呢？其实在我们生活中存在着很多集合的例子，比如我们全班同学这一个整体，他就是是一个集合；还有校园中所有的树，也构成一个集合；高一一班教室里所有的笔……在小学和初中的学习过程中，我们也已经接触过一些集合的例子，比如说：有理数集合，到一个定点的距离等于定长的点的集合（圆），那么大家是否能够举出更多关于集合的例子呢？ 在小学数学教学中如何渗透集合思想的几点做法 集合是近代数学中的一个重要概念。集合思想是现代数学思想向小学数学渗透的重要标志，在解决某些数学问题时，若是运用集合思想，可以使问题解决得更简单明了。集合论的创始人是德国的数学家康托（1845——1918），其主要思想方法可归结为三个原则，即概括原则、外延原则、一一对应原则。自集合论创立以来，它的概念、思想和方法已经渗透到现代数学的各个分支中，成为现代数学的基础。瑞士数学家欧拉（1707——1787）最早使用了表示两个非空集之间的关系的图，现称欧拉图。英国数学家维恩最早使用了另一种图即可以用于表示任意的几个集合（不论它们之间的关系如何，都可以画成同一样式），又称“维恩图”，用维恩图表示集合，有助于探索某些数学题的解决思路。 布鲁纳曾说，掌握基本的数学思想方法能使数学更易于理解和记忆，领会基本数学思想方法是通向迁移大道的“光明之路”。数学思想方法不但对学生学习具有普遍的指导意义，而且有利于学生形成科学的思维方式和思维习惯。 集合思想包括概念、子集思想、交集思想、并集思想、差集思想、空集思想、一一对应思想等，作为数学思想方法的一种，在教学中是具有很大的指导意义的。那么，在小学数学教学中我们应该如何应用集合思想进行教学活动呢? 一、集合概念在小学数学教学中的应用 集合思想的概念在教学中是不必向学生作解释的，教师主要指导学生看懂集合图的意思，会根据集合图来解题或者帮助解题。图形本身直观地应用了集合的表示方法——图示法，因此在小学低年级中运用这个方法对于教学是很有帮助的。 在认数教学中，教师要结合各种集合图，可以是选用书本上的，也可以是选用一些生活中常见的事物自己画。同时还可以反过来给学生一个数字，让学生画集合图，这样既可以让学生开动脑筋发挥自己的想象，也可以让学生更了解集合中的元素与基数概念的联系。 在日常教学中，教师还要让学生理解一些用来描述集合的常用术语，如“一些”、“一堆”、“一组”、“一群”等。比如说，在小学数学教材北师大版一年级（上册）的第四单元分类中，就出现了这么一张图，让学生观察，要求把玩具放一堆，文具放一堆,服装鞋帽放一堆,这种把具有同一种属性的东西放在一起，这就是集合的整体概念。 在认识0-10的十一个数字中，每个数字都有一张相应的集合图，也就是告诉学生，一个集合中有几个元素就用“几”来表示。如北师大版一年级（上册）第4页找一找的活动中“1”可以表示图里的一座房子；“2”可以表示图里的两个人。这就很形象的把集合中的元素与基数的概念有机的联系起来。 二、子集、交集、并集、差集、空集思想在小学数学教学中的应用 1、子集思想在小学数学教学中的应用 教学数的大小这一问题时，就可以应用子集思想。如北师大版二 离散数学常考题型梳理 第2章关系与函数 一、题型分析 本章主要介绍关系的概念及运算、关系的性质与闭包运算、等价关系、相容关系和偏序关系三个重要关系、函数以及函数相关知识等内容。常涉及到的题型主要包括： 2-1关系的概念理解以及关系的并、交、补、差以及复合和逆关系等运算2-2关系自反和反自反、对称和反对称等性质的概念理解与判定；自反、对称和传递闭包运算。 2-3等价关系 2-4偏序关系和哈斯图 2-5 函数的概念和性质 因此，在本章学习过程中希望大家要清楚地知道： 1．有序对和笛卡尔积 （1）有序对：所谓有序对就是指一个有顺序的数组，如< x , y >，x , y的位置是确定的，且< a , b >< b , a >。 （2）笛卡尔积：把集合A，B合成集合A×B，规定： {,|} ?=<>∈∈ 且 A B x y x A y B 由于有序对< x , y >中x，y 的位置是确定的，因此A×B 的记法也是确定的，不能写成B×A 。 笛卡儿积的运算一般不满足交换律。 2．二元关系的概念和表示、几种特殊的关系和关系的运算 （1）二元关系的概念：二元关系是一个有序对集合，设集合A，B ，从集合A 到B的二元关系 R∈ x ∈ < y =且 > } , x {B | y A 记作xRy。 二元关系的定义域：A Ram? R ) (。 ) R Dom? (；二元关系的值域：B 二元关系R 是一个有序对组成的集合．因此，一个二元关系是一个集合，可以用集合形式表示；反过来说，一个集合未必是一个二元关系，仅当集合是由有序对元素组成的，才能当做二元关系。 常用关系的表示法包括了集合表示法、列举法、描述法、关系矩阵法和关系图法。关系矩阵和关系图是有限集合上的二元关系的表示方法。 集合论的发展史 集合是什么，通俗地说它是一些元素组成的集体，是一些确定而又可分的“物”的集体。集合并不指具体的“物”，而是由物的集体所组成的新对象。20世纪以来的研究表明，不仅微积分的基础——实数理论奠定在集合论的基础上，而且各种复杂的数学概念都可以用“集合”概念定义出来，而各种数学理论又都可以“嵌入”集合论之内。因此，集合论就成了全部数学的基础，而且有力地促进了各个数学分支的发展。现代数学几乎所有的分支都会用到集合这个概念。集合论最重要的创建者是康托尔（Georg Cantor，1845—1918）。在19世纪人们很少怀疑微积分的基础应该建立在严密的实数理论上，而严密的实数理论可以由集合论推出。但是微积分本质上是一种“无限数学”。那么无限集合的本质是什么？它是否具备有限集合所具有的性质？ 从19世纪60年代起，法国数学家康托尔承担了这一工作，他清楚地看到以往数学基础中的问题，都与无穷集合有关。康托尔的集合论的建立，不仅是数学发展史上一座高耸的里程碑，甚至还是人类思维发展史上的一座里程碑。它标志着人类经过几千年的努力，终于基本上弄清了无限的性质，找到了制服无限“妖怪”的法宝。苏联著名数学家柯尔莫戈洛夫说：“康托尔的不朽功绩在于向无限冒险迈进。”德国数学大师伯特赞扬康托尔的理论是“数学思想最惊人的产物，在纯粹理性的范畴中人类活动最美的表现之一”。 然而事情并非总是顺利的。1900年左右，正当康托尔的思想逐渐被人接受，并成功地把集合论应用到了许多别的数学领域中去，大家认为数学的“绝对严格性”有了保证的时候，一系列完全没有想到的逻辑矛盾，在集合论的边缘被发现了。开始，人们并不直接称之为矛盾，而是只把它们看成数学中的奇特现象。1903年英国哲学家兼数学家罗素（Russell, B.A.W,1872—1970）提出了一个悖论，“一切不包含自身的集合所形成的集合是否包含自身？”答案如果说是，即包含自身，属于这个集合，那么它就不包含自身；如果说否，它不包含自身，那么它理应是这个集合的元素，即包含自身。 可能有人看不懂罗素悖论，没关系，罗素本人就用通俗的“理发师悖论”作了比喻；理发师自称，他给所有自己不刮胡子的人刮胡子，但不给任何自己刮胡子的人刮胡子。试问理发师该不该给自己刮胡子？如果他从来不给自己刮胡子，就属于“自己不刮胡子的人”。根据他的自称，他就应该给自己刮胡子，但是，一旦他给自己刮胡子，他就成了“自己刮胡子的人”了。还是根据他的自称，他就不应该给自己刮胡子。所以不管理发师的胡子由谁来刮，都会产生矛盾。罗素悖论以其简单、明确震动了整个西方数学界和逻辑学界，逻辑学家费雷格收到罗素的信之后，在他刚要出版的《算术基础法则》第二卷末尾写道：“一位科学家不会碰到比这更难甚的事情了，即在工作完成之时，它的基础垮掉了。当这本书等待付印的时候，罗素先生的一封信把我置于这种境地。”弗雷格对罗素悖论的迅速反应是惊恐地感到：“算术开始受难。” 数学史上第三次危机来临了，数学王国的居民们惶惶不安，因为数学家们一贯追求严密性，一旦发现他们自称绝对严密的数学的基础——集合论并不严密，竟然出现了“悖论”这种自相矛盾的结果，可以想像，他们是多么震惊。震惊之余，数学家们意识到，应当建立某种公理系统来对集合论作出必要的规定，以排除“罗素悖论”和其他有关的“悖论”。现在，各种成功地解决悖论的方案都对集合的“无限扩张”进行了限制，因此现在任何一种形式的集合论，实质上都包 第一章 集合与函数概念 1.1集合 1.1.1 集合的含义及其表示 教学目的：（1）初步理解集合的概念，知道常用数集及其记法； （2）初步了解“属于”关系的意义； （3）初步了解有限集、无限集、空集的意义； 教学重点：集合的含义与表示方法； 教学难点：运用集合的两种常用表示方法——列举法与描述法，正确表示一些简单的集合。 教学过程： 一、问题引入： 我家有爸爸、妈妈和我； 我来自燕山中学； 省溧中高一（1）班； 我国的直辖市。 分析、归纳上述各个实例的共同特征，归纳出集合的含义。 二、建构数学： 1．集合的概念：一般地，一定范围内某些确定的、不同的对象的全体构成一个集合（set ）。集合常用大写的拉丁字母来表示，如集合A 、集合B …… 集合中的每一个对象称为该集合的元素（element ）,简称元。集合的元素常用小写的拉丁字母来表示。如a 、b 、c 、p 、q …… 指出下列对象是否构成集合，如果是，指出该集合的元素。 （1）我国的直辖市； （2）省溧中高一（1）班全体学生；（3）较大的数 （4）young 中的字母； （5）大于100的数； （6）小于0的正数。 2．关于集合的元素的特征 （1）确定性：设A 是一个给定的集合，x 是某一个具体对象，则或者是A 的元素，或者不是A 的元素，两种情况必有一种且只有一种成立。 （2）互异性：一个给定集合中的元素，指属于这个集合的互不相同的个体（对象），因此，同一集合中不应重复出现同一元素。 （3）无序性：一般不考虑元素之间的顺序，但在表示数列之类的特殊集合时，通常按照习惯的由小到大的数轴顺序书写。 3．集合元素与集合的关系用“属于”和“不属于”表示； （1）如果a 是集合A 的元素，就说a 属于A ，记作a ∈A （2）如果a 不是集合A 的元素，就说a 不属于A ，记作a ?A （“∈”的开口方向，不能把a ∈A 颠倒过来写） 4．有限集、无限集和空集的概念： 5．常用数集的记法：（1）非负整数集（自然数集）：全体非负整数的集合记作N ，{} ,2,1,0=N （2）正整数集：非负整数集内排除0的集记作N *或N + {} ,3,2,1*=N （3）整数集：全体整数的集合记作Z , {} ，，， 210±±=Z （4）有理数集：全体有理数的集合记作Q , {}整数与分数 =Q （5）实数集：全体实数的集合记作R {}数数轴上所有点所对应 的=R 第二篇集合与关系 集合论是现代各科数学的基础，它是德国数学家康托（Geog Cantor, 1845～1918）于1874年创立的，1876～1883年康托一系列有关集合论的文章，对任意元的集合进行了深入的探讨，提出了关于基数、序数和良序集等理论，奠定了集合论深厚的基础，19世纪90年代后逐渐为数学家们采用，成为分析数学、代数和几何的有力工具。 随着集合论的发展，以及它与数学哲学密切联系所作的讨论，在1900年前后出现了各种悖论，使集合的发展一度陷入僵滞的局面。1904～1908年，策墨罗（Zermelo）列出了第一个集合论的公理系统，它的公理，使数学哲学中产生的一些矛盾基本上得到了统一，在此基础上以后就逐渐形成了公理化集合论和抽象集合论，使该学科成为在数学中发展最为迅速的一个分支。 现在，集合论已经成为内容充实、实用广泛的一门学科，在近代数学中占据重要地位，它的观点已渗透到古典分析、泛函、概率、函数论、信息论、排队论等现代数学各个分支，正在影响着整个数学科学。集合论在计算机科学中也具有十分广泛的应用，计算机科学领域中的大多数基本概念和理论几乎均采用集合论的有关术语来描述和论证，成为计算机科学工作者必不可少的基础知识。集合论可作为数学学科的通用语言，一切必要的数据结构都可以利用集合这个原始数据结构而构造出来，计算机科学家或许也可以利用这种方法。 本篇介绍集合论的基础知识，主要内容包括集合及其运算、性质、序偶、关系、映射、函数、基数等。 第2-1章集合及其运算 §2-1-1 集合的概念及其表示 一、集合的概念 “集合”是集合论中的一个原始的概念，因此它不能被精确地定义出来。一般地说，把具有某种共同性质的许多事物，汇集成一个整体，就形成一个集合。构成这个集合的每一个事物称为这个集合的一个成员（或一个元素），构成集合的这些成员可以是具体东西，也可以是抽象东西。例如：教室内的桌椅；图书馆的藏书；全国的高等学校；自然数的全体；程序设计语言C的基本字符的全体等均分别构成一个集合。通常用大写的英文字母表示集合的名称；用小写的英文字母表示元素。若元素a属于集合A记作 学校乐从中学年级高二学科数学导学案 主备审核授课人授课时间班级姓名小组课题：集合的概念和基本关系 课型：复习课时：1 【学习目标】 理解集合的概念，集合的表示方法，深刻理解子集、真子集、空集的概念，能使用Venn图表达集合的关系。 【学习过程】 一、知识要点： 1、集合的概念 （1）、集合的定义：。 （2）、集合的三性：、、。 （3）、元素a属于集合A，记作 元素a不属于集合A，记作 常见数集：。 集合的表示方法：、、。 2、集合的基本关系 （1）、子集：。 （2）、集合相等：。 （3）、真子集：。 （4）、空集：。 二、例题讲解 例1（1）写出数集N，Z，Q，R，C之间的包含关系，并用Venn图表示（2）判断对错：①Φ?A ②Φ A ③A A?④A A 例2选择恰当的符号填空： ①、Φ___{0}， ②、0 Φ， ③、0 {（0，1）}， ④、（1，2）{1，2，3}， ⑤、{1，2} {1，2，3} 例3对于集合A、B，“不成立”的含义是( ) （A）B是A的子集 （B）A中的元素都不是B中的元素 （C）A中至少有一个元素不属于B （D）B中至少有一个元素不属于A 例4 下列命题中，正确的命题的序号是____________________- ① {2，4，6，8｝与｛4，8，2，6｝是同一集合。 ② {x|x > 3 ,x∈R} 与{t|t > 3 ,t∈R}表示同一集合。 ③｛y|y= x2，x∈R｝与｛（x,y）|y=x2，x∈R｝表示的是同一集合。 ④｛x|x2-2x-1=0｝与｛x2-2x-1=0｝表示同一集合。 ⑤ {x|x=2k-1，k∈Z }与{x|x=2k+1，k∈Z } 表示同一集合。 例5．已知集合A＝{x∈N| 12 6x － ∈N }，试用列举法表示集合A． （教师“复备”栏或 学生笔记栏） 集合论介绍 一．集合论的历史 1.基本概念 关于集合的理论是19世纪末开始形成的。当时德国数学家康托尔试图回答一些涉及无穷量的数学难题，例如“整数究竟有多少？”“一个圆周上有多少点？”0—1之间的数比1寸长线段上的点还多吗？”等等。而“整数”、“圆周上的点”、“0—1之间的数”等都是集合，因此对这些问题的研究就产生了集合论。 康托尔（Georg Cantor，1845-1918，德）康托尔1845年出生于俄国的圣彼得堡，后来离开俄国迁入德国，其家庭是犹太人后裔。 集合是什么呢？用康托尔的话说，集合就是把具体的或思想上的一些确定的、彼此不同的对象聚集成的整体。简单说来，集合就是一组事物。 有一些集合，它们的元素是有穷的，如｛1，4，9，……100｝，｛里根，布什，克林顿｝，这种集合称为有穷集合。而有些集合则有无穷多个元素，如整数的集合等，这种集合称为无穷集合。无穷集合的基数大于任何有穷集合的基数。由上节的分析可以看出，无穷集合可以通过一一对应的方法进行比较，但却出现了令人惊讶的结果，如偶数集合与自然数集合的元素一样多，一条线上点的集合与平面上点的集合其元素也是相等的。康托尔把无穷集合的概念作为集合理论的基础，并证明无穷集合的一个显著特点就是无穷集合自身可与其部分具有一一对应关系。 为了将有穷集合的元素个数的概念推广到无穷集合，他以一一对应为原则，提出了集合等价的概念。两个集合只有它们的元素间可以建立一一对应才称为是等价的。这样就第一次对各种无穷集合按它们元素的“多少”进行了分类。他还引进了“可列”这个概念，把凡是能和正整数构成一一对应的任何一个集合都称为可列集合。 有1个元素的集合其子集有2个，有2个元素的集合其子集共有4个，一般地，有n个元素的集合其子集有2n个,n个元素的集合其基数为n，而其所有子集组成的集合的基数为2^n ，显然2^n＞n。因此有“康托尔定理”：任意集合（包括无穷集）的幂集的基数大于该任意集合的基数。 2.康托尔悖论 据康托尔集合理论，任何性质都可以决定一个集合，这样所有的集合又可以组成一个集合，即“所有集合的集合”（大全集）。显然，此集合应该是最大的集合了，因此其基数也应是最大的，然而其子集的集合的基数按“康托尔定理”又必然是更大的，那么，“所有集合的集合”就不成其为“所有集合的集合”，这就是“康托尔悖论”。对这一悖论，康托尔并没有感到害怕，因为通过反证法恰恰证明没有“所有集合的集合”或者说“最大的集合”，当然也没有“最大的基数”。 3.罗素悖论 悖论的出现这时并没有引起多大的震动，人们觉得这似乎仅仅牵涉到集合理论的一些技术问题，只要作适当的修正，集合论仍然会成为数学大厦的基础，康托尔只是利用悖论进行反证，而并没有细究悖论的来源及意义，他没有意识到这种反证之所以可能，是因为他的理论中所使用的基本概念“集合”、“属于”、“元素”是包含着矛盾的。1901年罗素发表的“罗素悖论”则“剥掉了数学技术性的细节”，使其中的矛盾赤裸裸地暴露出来了！ 把所有集合分为2类，第一类中的集合以其自身为元素，第二类中的集合不以自身为元素，假令第一类集合所组成的集合为P，第二类所组成的集合为Q，于是有：P={A∣A∈A}，Q={A∣A?A} 问，Q∈P还是Q ∈Q？若Q∈P，那么根据第一类集合的定义，必有Q∈Q，但是Q中任何集合都有A?A的性质，因为Q∈Q，所以Q?Q，引出矛盾。若Q∈Q，根据第一类集合的定义，必有Q∈P，而显然P∩Q=Φ，所以Q?Q，还是矛盾。这就是著名的“罗素悖论”。罗素悖论还有一些较为通俗的版本，如理发师悖论等。 4.理发师悖论 由著名数学家伯特兰?罗素（Bertrand A.W. Russell，1872—1970）提出的悖论与之相似： 在某个城市中有一位理发师，他的广告词是这样写的：“本人的理发技艺十分高超，誉满全城。我将为本城所有不给自己刮脸的人刮脸，我也只给这些人刮脸。我对各位表示热诚欢迎！”来找他刮脸的人络绎不绝，自然都是那些不给自己刮脸的人。可是，有一天，这位理发师从镜子里看见自己的胡子长了，他本能地抓起了剃刀，你们看他能不能给他自己刮脸呢？如果他不给自己刮脸，他就属于“不给自己刮脸的人”，他就要给自己刮脸，而如果他给自己刮脸呢？他又属于“给自己刮脸的人”，他就不该给自己刮脸。 5.数学的三次危机 第一次无理数, 无限不循环小数. 第二次,无穷小无穷小是零还是非零第三次,无穷大,A是非A,导致无限循环. 第三次数学危机是由“罗素悖论”引起的。 背景：大概是这样的。在第二次数学危机结束后，数学的进一步发展表明，一切问题都可以化归到集合论。比如，几何由于解析几何化归到了代数，代数又可化归到解方程，解方程可化归到实数理论，进而到自然数论，最后到集合论。 对于当时的一些不能解决的问题，存在几个派别，其中有一派是以希尔伯特为代表的形式公理派。他认为， 授课主题集合的概念与表示方法 教学目的1、初步理解集合的含义，了解集合元素的性质。 2、知道常用数集及其记法。 3.了解“属于”关系的意义。 4.了解有限集、无限集、空集的意义。 教学重点理解集合的元素的性质。 教学内容 "1名数学家=10个师" 第二次世界大战中，美国曾经宣称：一名优秀的数学家的作用超过10个师的兵力。你可知这句话的由来吗？ 1943年以前，在大西洋上英美运输船队常常受到德国潜艇的袭击，当时，英美两国限于实力，无力增派更多的护航舰，一时间，德军的"潜艇战"搞得盟军焦头烂额。 为此，有位美国海军将领专门去请教了几位数学家，数学家们运用概率论分析后发现，舰队与敌潜艇相遇是一个随机事件，按数学角度来看这一问题，它有一定的规律。一定数量的船（如100艘）编队规模越小，编次就越多（如每次20艘，就要有5个编次）；编次越多，与敌人相遇的概率就越大。比如5位同学放学都回自己家里，老师要找一位同学的话，随便去哪家都行，但若这5位同学都在其中某一家的话，老师要找几家才能找到，一次找到的可能性只有20%。 美国海军接受了数学家的建议，命令船队在指定海域集合，再集体通过危险海域，然后各自驶向预定港口。结果奇迹出现了：盟军舰队遭袭被击沉的概率由原来的25%降低为1%，大大减少了损失，保证了物资的及时供应。 开课典礼 1.【2013年全国新课标1】已知集合}02|{2 >-=x x x A ，}55|{<<-=x x B ，则( ) A.?=B A B.R =B A C.A B ? D.B A ? 2.【2013年安徽】已知{}{}|10,2,1,0,1A x x B =+>=--，则()R C A B ?=（ ） A.{}2,1-- B.{}2- C.{}1,0,1- D.{}0,1 3．【2013年福建】若集合}4,3,1{},3,2,1{==B A ，则B A 的子集个数为（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．16 4.【2013年陕西】设全集为R , 函数2()1f x x =-的定义域为M , 则C M R 为（ ） A. [－1,1] B. (－1,1) C. ,1][1,)(∞-?+∞- D. ,1)(1,)(∞-?+∞- 知识结构 集合 定义、性质、运用 交集、并集 集合的定义及其表示 子集、全集、补集 集合中元素的特性 集合的分类 集合的表示法 定义、性质、运用 课前检测 集合运算中蕴涵的数学思想方法 江苏省姜堰中学 张圣官 （225500） 2003年教育部颁布的《普通高中数学课程标准》中，特别提到“强调本质，注意适度形式化”，其中写道“要使学生理解数学概念、结论逐步形成的过程，体会蕴涵在其中的数学思想方法”。在数学教育的各个环节中渗透数学思想方法，不仅具有提高教学效果的近期功效，而且具有优化学生的认知结构、进而全面提高学生数学素质的远期功效，这已经成了大家的共识。然而，对数学材料本身所蕴涵的数学思想方法进行挖掘和提炼，并在数学解题中加以运用和完善，这一方面还需要我们进行探索与研究。本文拟就集合的交、并、补集运算中所蕴涵的数学思想方法作一点说明。 1.交集思想方法 假设有两个集合A 和B ，A={x|x 具有性质P 1}，B={x|x 具有性质P 2}，则A ∩ B ={x|x 具有性质P 1和P 2}。在研究同时具有性质P 1和P 2的对象时可以考虑运用交集思想方法。从哲学意义上讲，A 和B 反映的是个性，A ∩ B 反映的是共性，而A ∩ B ?A 和A ∩ B ?B 则表明共性存在于个性之中这一基本原理。 例1设A={（x ，y ）|x=m,y=3m+1,m ∈N + },B={（x ，y ）|x=n,y=a(n 2-n+1),n ∈N + }，问 是否存在非零整数a 使得A ∩ B ≠Φ？证明你的结论。 分析：集合A 、B 可化简为A={（x ，y ）|y=3x+1,x ∈N +}，B={（x ，y ）|y=a(x 2-x+1),x ∈N + }。 本题是探索性问题，先假设a 存在，然后开始研究。 简解：要使A ∩ B ≠Φ，即A 、B 有共同的元素，只要方程组?? ?+-=+=)1(132x x a y x y 至少有一组正整数解，也即是方程ax 2-（a+3）x+a-1=0至少有一个正整数解。 ∵a ≠0且a ∈Z ， 由⊿≥0，得3a 2-10a-9≦0，∴313253132 5+-≤≤a ， ∴a=1，2，3，4 。 经检验，a=1，4符合题意；a=2，3不符合。 ∴存在a=1或4 ，使得A ∩ B ≠Φ 。 评注：本题如果将A 、B 视为点集，那么问题就化归为求直线与抛物线的交点中是否存在整点的问题令人望而生畏。以上解法利用交集思想方法，从共性入手，从而由A 、B 的共性使问题获得了优解。 例2已知n 是同时满足以下两个条件的最小正整数：①是15的倍数；②各个数位上的数字都是0或8 。试求n 。 解：设A={15的倍数}，B={各个数位上数字都是0或8的正整数}，则所求的n 即为 A ∩B 中的最小元素。 ∵A={3的倍数}∩{5的倍数}={数字和是3的倍数的整数}∩{个位数是0或5的整数}， ∴A ∩B={个位数字是0，其余各个数位上是0或8，且8的个数是3的倍数的正整数}。 由n 是A ∩B 中最小的数即知，n=8880 。 2.并集思想方法 有些数学问题牵涉若干个体，如果用孤立静止的观点来考虑问题，则或过于繁冗或难以奏效。如果在挖掘各个个体间隐含的某种关系的基础上将各个个体合并（取并集）为一个有机整体进行处理，则往往会出奇制胜，这就是并集思想方法。从哲学意义上讲，这种合并可 1集合的概念和表示方法教材分析 集合概念的基本理论，称为集合论．它是近、现代数学的一个重要基础．一方面，许多重要的数学分支，如数理逻辑、近世代数、实变函数、泛函分析、概率统计、拓扑等，都建立在集合理论的基础上．另一方面，集合论及其反映的数学思想，在越来越广泛的领域中得到应用．在小学和初中数学中，学生已经接触过集合，对于诸如数集（整数的集合、有理数的集合）、点集（直线、圆）等，有了一定的感性认识．这节内容是初中有关内容的深化和延伸．首先通过实例引出集合与集合元素的概念，然后通过实例加深对集合与集合元素的理解，最后介绍了集合的常用表示方法，包括列举法，描述法，还给出了画图表示集合的例子．本节的重点是集合的基本概念与表示方法，难点是运用集合的两种常用表示方法———列举法与描述法正确表示一些简单的集合． 教学目标 1.初步理解集合的概念，了解有限集、无限集、空集的意义，知道常用数集及其记法． 2.初步了解“属于”关系的意义，理解集合中元素的性质． 3.掌握集合的表示法，通过把文字语言转化为符号语言（集合语言），培养学生的理解、化归、表达和处理问题的能力． 任务分析 这节内容学生已在小学、初中有了一定的了解，这里主要根据实例引出概念．介绍集合的概念采用由具体到抽象，再由抽象到具体的思维方法，学生容易接受．在引出概念时，从实例入手，由具体到抽象，由浅入深，便于学生理解，紧接着再通过实例理解概念．集合的表示方法也是通过实例加以说明，化难为易，便于学生掌握． 教学设计 一、问题情境 1.在初中，我们学过哪些集合？ 2.在初中，我们用集合描述过什么？ 学生讨论得出： 在初中代数里学习数的分类时，学过“正数的集合”，“负数的集合”；在学习一元一次不等式时，说它的所有解为不等式的解集． 在初中几何里学习圆时，说圆是到定点的距离等于定长的点的集合．几何图形都可以看成点的集合． 3.“集合”一词与我们日常生活中的哪些词语的意义相近？ 学生讨论得出： “全体”、“一类”、“一群”、“所有”、“整体”，…… 4.请写出“小于10”的所有自然数． 0，1，2，3，4，5，6，7，8，9．这些可以构成一个集合． 5.什么是集合？ 二、建立模型 1.集合的概念（先具体举例，然后进行描述性定义） （1）某种指定的对象集在一起就成为一个集合，简称集． （2）集合中的每个对象叫作这个集合的元素． （3）集合中的元素与集合的关系： a是集合A中的元素，称a属于集合A，记作a∈A； a不是集合A中的元素，称a不属于集合A，记作a A． 例：设B＝｛1，2，3｝，则1∈B，4B． 2.集合中的元素具备的性质 （1）确定性：集合中的元素是确定的，即给定一个集合，任何一个对象是否属于这个集合的元素也就确定了．如上例，给出集合B，4不是集合的元素是可以确定的． （2）互异性：集合中的元素是互异的，即集合中的元素是没有重复的． 例：若集合A＝｛a，b｝，则a与b是不同的两个元素． （3）无序性：集合中的元素无顺序． 小学数学思想方法的梳理（集合思想） 课程教材研究所王永春 十二、集合思想 1. 集合的概念。 把指定的具有某种性质的事物看作一个整体,就是一个集合(简称集),其中每个事物叫做该集合的元素(简称元)。给定的集合,它的元素必须是确定的,即任何一个事物是否属于这个集合,是明确的。如“学习成绩好的同学”不能构成一个集合，因为构成它的元素是不确定的；而“语文和数学的平均成绩在90分及以上的同学”就是一个集合。一个给定集合中的元素是互不相同的，即集合中的元素不重复出现。只要两个集合的元素完全相同，就说这两个集合相等。 集合的表示法一般用列举法和描述法。列举法就是把集合的元素一一列举出来，并用花括号“｛｝”括起来表示集合的方法。描述法就是在花括号内写出规定这个集合元素的特定性质来表示集合的方法。列举法的局限性在于当集合的元素过多或者有无限多个时，很难把所有的元素一一列举出来，这时描述法便体现出了优越性。此外，有时也可以用封闭的曲线（文恩图）来直观地表示集合及集合间的关系，曲线的内部表示集合的所有元素。 一一对应是两个集合之间元素（这种元素不一定是数）的一对一的对应，也就是说集合Ａ中的任一元素a，在集合Ｂ中都有唯一的元素b与之对应；并且在集合Ｂ中的任一元素b，在集合Ａ中也有唯一的元素a与之对应。数集之间可以建立一一对应，如正奇数集合和正偶数集合之间的元素可以建立一一对应。其他集合之间也可以建立一一对应，如五(1)班有25个男生，25个女生，如果把男生和女生各自看成一个集合，那么这两个集合之间可以建立一一对应；再如，中国、美国、俄罗斯、英国、法国、德国作为一个集合，北京、华盛顿、莫斯科、伦敦、巴黎、柏林作为一个集合，这两个集合之间也可以建立一一对应。 2. 集合思想的重要意义。 集合理论是数学的理论基础，从集合论的角度研究数学，便于从整体和部分及二者的关系上研究数学各个领域的知识。如数系的扩展，从小学的自然数到整数，再到中学的有理数、无理数和实数，都可以从集合的角度来描述。有时用集合语言来表述有关概念更为简洁，如全体偶数的集合可表示为｛x|x＝2k，k∈Z｝。集合沟通了代数(数)和几何之间的关系，如y = kx ，既是正比例函数，又可以表示一条直线；也就是说在平面直角坐标系上，这条直线是由满足y = kx 的有序实数对所组成的点的集合。用集合图描述概念的分类及概念之间的关系，往往层次分明、直观清晰，如四边形的分类可以用文恩图表示。 3．集合思想的具体应用。 集合思想在小学数学的很多内容中进行了渗透。在数的概念方面，如自然数可以从对等集合基数（元素的个数）的角度来理解，再如在一年级通过两组数量相等的实物建立一一对应，让学生理解“同样多”的概念，实际上就是两个对等集合的元素之间建立一一对应；数的运算也可以从集合的角度来理解，如加法可以理解为两个交集为空集的集合的并集，再如求两数相差多少，通过把代表两数的实物图或直观图一对一地比较，来帮助学生理解用减法计算的道理；实际上就是把代表两数的实物分别看作集合Ａ、Ｂ，通过把Ａ的所有元素与Ｂ的部分元素建立一一对应，然后转化为求Ｂ与其子集（与Ａ等基）的差集的基数。此外，在小学数学中还经常用集合图表示概念之间的关系，如把所有三角形作为一个整体，看作一个集合，记为Ａ；把锐角三角形、直角三角形和钝角三角形各自看作一个集合，分别记为Ｂ、Ｃ、Ｄ，这三个集合就是集合Ａ的三个互不相交的子集，Ｂ、Ｃ、Ｄ的并集就是Ａ。再如在学习公因数和公倍数时，都是通过把两个数各自的因数和倍数分别用集合图表示，再求两个集合的交集，直观地表示了公因数和公倍数的概念。4．集合思想的教学。 集合思想在小学数学中广泛渗透，在教学中应注意以下几个问题。 第一，应正确理解有关概念。我们知道，两个数之间可以比较大小，但是两个集合之间无法直接比较大小，也就是说一般不说两个集合谁大谁小。如有两个集合A、B，当且仅当它们有完全相同的元素时，称A、B 第二课时 续5 集合的表示方法 引入课题 课本4P 思考 （2）描述法 由不等式73x -<的解集 引入描述法概念 描述法．．． ：用集合所含元素的共同特征表示集合的方法，一般形式为{|}x I P ∈，其中x 代表元素，I 是x 的取值范围，P 是x 的共同特征. （说明：有的书上用冒号或分号代替竖线，如{73}x x -<：或{73}x x -<；） 如：{}|10A x R x =∈<；{}|2,B x Z x k k Z =∈=∈；{}|5,C x x x Q =>-∈ 例题 注意：①“代表元素”，是表示这个集合元素的一般符号，ⅰ如表示数集时，我们可选用,,,x y a 作为代表元素；表示点集时，可选用数对(),x y 作为代表元素；ⅱ集合与它的代表元素所采用的字母无关，只与代表元素的形式有关.如{}|10x R x ∈<，也可表示为{}|10y R y ∈<，{}|10a R a ∈<. ②“取值范围”，对于代表元素的取值范围，如果从上下文的关系来看是明确的，则可以省略.如 {}|10x R x ∈<可表示为{}|10x x <； ③“共同特征”，即代表元素满足的条件、具备的属性，如不等式73x -<的解都具备的条件是 10x <，则其解集表示为{}|10x x <. 强调：描述法表示集合应注意集合的代表元素，如 (){}2 ,|32x y y x x =++、{} 2|32y y x x =++与{ } 2 |32x y x x =++有什么不同，只要不引起误解，集合的代表元素也可省略，例如：{}整数 (即 {}|x x 是整数)，即代表整数集Z . 辨析：这里的{}已包含“所有”的意思，所以不必写{全体整数}，这种写法{实数集}，{}R 也是 错误的. 第一章 关于集合与集合论 在许多数学教材上都会见到这样一种说法：集合论是现代数学的基础，集合概念是数学的基本概念。那么为什么会有这种说法呢？这种说法的依据是什么呢？在这一章，我们将对此给出一种解释。 在本章的第1节，将简要重温一些与集合论相关的基本概念与符号，其中大多数的概念与符号用法是每一个高中生都应当熟悉的。在第2节，本书作者对集合论的意义及其产生的思想渊源进行了介绍和分析，其中有些是作者个人的观点，仅供读者参考。最后两节则是在讲一些基本逻辑常识的基础上，介绍了较为规范的集合表示方法以及用集论语言定义的某些重要数学概念。 §1. 集合论中的常见概念与符号 1.1. 集合概念与属于关系 在集合论中，“集合”这个概念是作为不定义的基本概念，以符号“∈”表示的“属于”关系，也是不定义关系。在朴素集合论中，人们用日常语言给集合概念和属于关系以直观说明。其中最常见的是集合论创始人康托的说法：“将一些明确的（确定的）、彼此有区别的、具体的或理念中抽象的对象看作一个整体，便叫作一个集合。”在本书的前三章，便以康托的这个描述作为“集合”概念含义的说明。理解这个说明，主要注意如下几点. （1）当我们提到一个集合时，这个集合自身是作为一个整体被看待的； （2）集合是由可以确定的一些对象个体汇集而成的，也就是说，必须可以清晰判定任何一个对象个体是否在这些对象个体之中，并且可以明确区分开这些对象个体中任何两个不同的对象个体。 （3）在朴素集合论中，集合中的元素既可以是物理世界中的对象，也可以是我们头脑中形成的观念对象。比如：将“北京大学2002年所有在籍学生的全体”作为一个集合，其元素都是具体现实的人（在籍学生）；将“所有实数的全体” 的对象，作为一个集合，其元素（实数）便是由理念抽象的对象组成的集合。作为数学理论，集合论所讨论的集合，基本上都是由人类理念在其抽象过程中产生的对象汇集而成的。只有在将数学应用于现实时，才会涉及到由现实物理世界中的对象作为元素组成的集合。因此，在理解作为数学理论的集合论时，一定要适应抽象的思维方式和观念对象的建构方式。 如果以符号A 表示一个集合，a 表示一个对象个体，假如a 在那些汇集为集合A 的对象个体之中，我们称a 属于A ，记为A a ∈，否则记为A a _ ∈。如果A a ∈，称a 是A 的元素，也称集合A 含a 。按照上面的理解，若A 与B 是两个集合，当我们可以判定（证明）A 的元素也都是B 的元素或者可以判定没有任何一个A 中的元素不属于B ，我们称A 被B 所包含，或集合B 包含A ，记为B A ?。集合， 注：请读者注意在本书中对“含”与“包含”这两个词汇的不同用法。当B A ?且A B ?时，我们便认为A 与B 是两个完全相同的集合，记为A ＝B ，这时A 与B 作为集合被看作是同一个对象。如果B A ?，且A ≠B 可以明确记作B A ≠ ?，称A 是B 的真子集。 小学数学中常见的数学思想方法有哪些？ 1、对应思想方法 对应是人们对两个集合因素之间的联系的一种思想方法，小学数学一般是一一对应的直观图表，并以此孕伏函数思想。如直线上的点（数轴）与表示具体的数是一一对应。 2、假设思想方法 假设是先对题目中的已知条件或问题作出某种假设，然后按照题中的已知条件进行推算，根据数量出现的矛盾，加以适当调整，最后找到正确答案的一种思想方法。假设思想是一种有意义的想象思维，掌握之后可以使要解决的问题更形象、具体，从而丰富解题思路。 3、比较思想方法 比较思想是数学中常见的思想方法之一，也是促进学生思维发展的手段。在教学分数应用题中，教师善于引导学生比较题中已知和未知数量变化前后的情况，可以帮助学生较快地找到解题途径。 4、符号化思想方法 用符号化的语言（包括字母、数字、图形和各种特定的符号）来描述数学内容，这就是符号思想。如数学中各种数量关系，量的变化 及量与量之间进行推导和演算，都是用小小的字母表示数，以符号的浓缩形式表达大量的信息。如定律、公式、等。 5、类比思想方法 类比思想是指依据两类数学对象的相似性，有可能将已知的一类数学对象的性质迁移到另一类数学对象上去的思想。如加法交换律和乘法交换律、长方形的面积公式、平行四边形面积公式和三角形面积公式。类比思想不仅使数学知识容易理解，而且使公式的记忆变得顺水推舟的自然和简洁。 6、转化思想方法 转化思想是由一种形式变换成另一种形式的思想方法，而其本身的大小是不变的。如几何的等积变换、解方程的同解变换、公式的变形等，在计算中也常用到甲÷乙=甲×1/乙。 7、分类思想方法 分类思想方法不是数学独有的方法，数学的分类思想方法体现对数学对象的分类及其分类的标准。如自然数的分类，若按能否被2整除分奇数和偶数；按约数的个数分质数和合数。又如三角形可以按边分，也可以按角分。不同的分类标准就会有不同的分类结果，从而产生新的概念。对数学对象的正确、合理分类取决于分类标准的正确、合理性，数学知识的分类有助于学生对知识的梳理和建构。 墨微教育课后作业 学生科目集合的概念与表示法教师 完成课次1完成时间 情况 一、选择题： 1.下面四个命题： (1) 集合 N中的最小元素是1：（2）若 a N ，则 a N（3）x244x 的解集为 {2 ， 2} ；（ 4） 0.7Q ，其中不正确命题的个数为（） A. 0 B. 1 C.2 D.3 2.下列各组集合中，表示同一集合的是（） A. M3,2, N2,3 B.M3,2, N2,3 C.M x, y x y 1 ， N y x y1 D.M1,2, N 1.2 3.下列方程的实数解的集合为 1 ,2的个数为（） 23 （ 1） 2 9 y 2 4x12 y 5 0 ;(2)6x 2 x20 ;(3)2x 2 3x 20 ;(4)6x 2 x 2 0 4 x1 A.1 B.2 C.3 D.4 4.集合 A x x2x 1 0 , B x N x x26x 10 0， C x Q 4x 5 0， D x x为小于 2的质 数，其中时空集的有（） A. 1个 B.2个 C.3个 D.4个 5.下列关系中表述正确的是（） A. 0x20 B. 00,0 C. 0 D.0N 6.下列表述正确的是（） A. 0 B.1,22,1 C. D.0N 7.下面四个命题： (1)集合 N 中的最小元素是1：（ 2）方程 x 3 2x50的解集含1 x 有3 个元素；（3） 0（4）满足 1 x x的实数的全体形成的集合。其中正确命题的个数是（） A.0 B. 1 C. 2 D.3 二、填空题： 8. 用列举法表示不等式组 2 x4 0 的整数解集合为 1x2x1 9. 已知集合 A x x N , 12 N用列举法表示集合 A 为 6 x 10. 已知集合A a x 2 41有惟一解，又列举法表示集合 A 为x a 三、解答题： 11．已知 A= 1,a,b , B a,a2 , ab ，且 A=B，求实数 a,b ; 12.已知集合A x ax22x 1 0, x R ，a为实数 （1）若 A 是空集，求 a 的取值范围（ 2）若 A是单元素集，求 a 的值 （3）若 A 中至多只有一个元素，求 a 的取值范围 13.设集合M a a x2y2 , a Z （ 1）请推断任意奇数与集合M的关系（2）关于集合M，你还可以得到一些什么样的结论 学生完成情况自我评价：（优、良、中、差） 教师签字：审阅签字：时间：1.1.1集合的含义与表示教学设计
在小学数学教学中如何渗透集合思想的几点做法
离散数学集合论部分常考××题
集合论的发展史
高中数学必修一集合的含义及其表示教案
离散数学之集合论
集合的基本概念及其表示
集合论介绍
集合的概念与表示方法
集合运算中蕴涵的数学思想方法
集合的概念和表示方法教学设计
小学数学思想方法的梳理集合思想
集合的概念和表示方法2教案
关于集合与集合论
小学数学中常见的数学思想方法有哪些.
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