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学科数学课题名称中考压轴题――图形的变换
教学目标图形的三种变换的进一步提高。
教学重难点解题时如何正确把握解题思路,寻找正确的解题方法。
【轴对称】
１.如图，Ｒt△ＡBC中,∠AＣB＝９０o,AＣ=3，ＢC=４,将边AC沿ＣE翻折，使点A落在ＡＢ上的点D处；再将边ＢC沿ＣF翻折，使点Ｂ落在ＣD的延长线上的点B′处,两条折痕与斜边ＡB分别交于点E、Ｆ,则线段B′F的长为【】
A.3
5
B.
4
5
C．
2
3
D.
3
2
2.如图，矩形ABCD中,AＢ=8,BC＝6,P为ＡD上一点, 将△AＢＰ沿ＢP翻折至△EBＰ, PＥ与ＣD相交于点Ｏ,且OE=OD,则ＡP的长为▲.
１. 若函数y kx b =-的图像如图所示,则关于x 的不等式()3>0k x b --的解集为【 】
A. <2x
B. >2x
C. <5x
D. >5x
2．如图，△ABC 和△D ＢC 是两个具有公共边的全等三角形，AB ＝A Ｃ=３c ｍ，BC =2ｃｍ,将△ＤＢＣ沿射线BC 平移一定的距离得到△D 1B 1C 1,连接A Ｃ１，BD １.如果四边形ABD 1C １是矩形,那么平移的距离为 ▲ ｃm.
1.在数学兴趣小组活动中,小明进行数学探究活动,将边长为2的正方形ABCD与边长为22的正方形ＡEFＧ按图1位置放置，AＤ与ＡE在同一直线上，AB与ＡＧ在同一直线上．
（１）小明发现DG⊥BＥ,请你帮他说明理由.
(2）如图2，小明将正方形ABCD绕点A逆时针旋转，当点B恰好落在线段DG上时,请你帮他求出此时BE的长.
(3)如图3，小明将正方形ABCD绕点A继续逆时针旋转，将线段ＤG与线段ＢE相交，交点为H,写出△GHＥ与△ＢHＤ面积之和的最大值,并简要说明理由．
2．如图，Rt△ABC中，∠C=90°，ＡB=１5,BC=９,点P，Q分别在BC,AC上，CP=３x，CQ=4ｘ(0 （１)求证：PＱ∥AＢ； （2）若点D在∠BAC的平分线上,求ＣP的长; (3）若△PDＥ与△ABC重叠部分图形的周长为T，且12≤T≤16，求ｘ的取值范围. 【作业】1.如图,在△ABＣ中，∠BＡC=60°,∠AＢC＝90°，直线l1∥l2∥l３，ｌ1与ｌ2之间距离是1,l2与l3之间距离是2,且l1,ｌ２,l3分别经过点A，B,C,则边ＡC的长为▲． 2．如图，过原点Ｏ的直线与反比例函数ｙ1，ｙ２的图象在第一象限内分别交于点A、Ｂ，且A为OB的中点,若函 数 11 y x ，则y２与x的函数表达式是▲ . 答案： 【轴对称】 1.如图，R ｔ△ＡB Ｃ中，∠ＡCB =90o，AC =3，BC ＝4,将边AC 沿CE 翻折，使点A 落在ＡＢ上的点D 处；再将边ＢC 沿C Ｆ翻折，使点Ｂ落在C Ｄ的延长线上的点B ′处，两条折痕与斜边ＡB 分别交于点E 、F ,则线段B ′F 的长为【 】 A. 35 B. 45 C. 2 3 Ｄ. 32 【答案】B ． 【考点】翻折变换(折叠问题)；折叠的性质；等腰直角三角形的判定和性质；勾股定理. 【分析】根据折叠的性质可知34CD AC B C BC ACE DCE BCF B CF CE AB =='==∠=∠∠=∠'⊥，，，，， ∴431B D DCE B CF ACE BCF '=-=∠+∠'=∠+∠，． ∵90ACB ∠=?,∴45ECF ∠=?. ∴ECF 是等腰直角三角形. ∴45EF CE EFC =∠=?，. ∴135BFC B FC ∠=∠'=?. ∴90B FD ∠'=?. ∵11 22 ABC S AC BC AB CE =??=??，∴AC BC AB CE ?=?. 在Rt ABC 中，根据勾股定理，得A B ＝5，∴123455CE CE ?=??= .∴12 5 EF CE ==． 在Rt AEC 中，根据勾股定理,得22 95AE AC CE =-=,∴95 ED AE ==. ∴3 5 DF EF ED =-=. 在Rt B FD '中，根据勾股定理，得2 222 34155B F B D DF ??'='-=-= ??? . 故选B. 2.如图, 矩形ABCD 中,AB ＝8，BC =6，P 为AD 上一点， 将△ABP 沿B Ｐ翻折至△ＥBP ， PE 与C Ｄ相交于点O ，且OE =ＯD ，则AP 的长为 ▲ ． 【答案】 24 5 . 【考点】翻折变换(折叠问题）;矩形的性质;折叠对称的性质;勾股定理,全等三角形的判定和性质；方程思想的应用. 【分析】如答图,∵四边形ABCD 是矩形, ∴90,6,8D A C AD BC CD AB ∠=∠=∠=?==== . ∴,90,8EP AP E A BE AB =∠=∠=?== . 在ODP ?和OEG ?中,∵D E OD OE DOP EOG ∠=∠?? =??∠=∠? , ∴ODP ?≌()OEG ASA ?．∴,OP OG PG GE == . ∴DG EP =． 设AP EP x ==,则6,PD GE x DG x ==-= ,∴()8,862CG x BG x x =-=--=+ . 在Rt BCG ?中，根据勾股定理，得222BC CG BG +=，即()()2 2 2682x x +-=+．解得24 5 x =. ∴AP 的长为 245 ． 【平移】 1. 若函数y kx b =-的图像如图所示,则关于x 的不等式()3>0k x b --的解集为【 】 A. <2x B. >2x C. <5x D. >5x 【答案】C ． 【考点】直线的平移;不等式的图象解法;数形结合思想的应用. 【分析】如答图,将函数y kx b =-的图像向右平移3 个单位得到函数()3y k x b =--的图象， 由图象可知，当<5x 时，函数()3y k x b =--的图象在x 轴上方，即()3>0y k x b =--. ∴关于x 的不等式()3>0k x b --的解集为<5x . 故选C. 2.如图,△ＡBC 和△DBC 是两个具有公共边的全等三角形,AB =AC =3cm,B Ｃ=2cm,将△DB Ｃ沿射线BC 平移一定的距离得到△D １Ｂ1C 1,连接ＡC 1,ＢD 1．如果四边形ABD １C １是矩形，那么平移的距离为 ▲ cm ． 【答案】7. 【考点】面动平移问题;相似三角形的判定和性质;等腰三角形的性质；矩形的性质；平移的性质． 【分析】如答图,过点A 作A Ｅ⊥BC 于点Ｅ, ∵∠ＡＥB ＝∠A ＥC 1=90°，∴∠BAE +∠AB Ｃ=９0°. ∵A Ｂ=AC ，BC =2,∴ＢＥ=CE = 1 BC =1, ∵四边形ABD 1Ｃ1是矩形,∴∠BAC1=９0°. ∴∠ABC＋∠AＣ１B=90°.∴∠BAE=∠AＣ1B. ∴△ABＥ∽△C1BA. ∴ 1 BE AE AB BC =. ∵AB=3,BE=1,∴ 1 13 3BC =．∴BC1=９． ∴ＣC１=ＢC1﹣BＣ=９﹣２=7，即平移的距离为7． 【旋转】 １.在数学兴趣小组活动中,小明进行数学探究活动，将边长为2的正方形ABCD与边长为22的正方形ＡＥFＧ按图1位置放置，AD与AE在同一直线上，AＢ与A G在同一直线上． (1）小明发现ＤG⊥ＢE,请你帮他说明理由． (2）如图2,小明将正方形ABCD绕点A逆时针旋转，当点B恰好落在线段DG上时，请你帮他求出此时BE的长. （3）如图3,小明将正方形ABCD绕点Ａ继续逆时针旋转，将线段ＤG与线段BE相交,交点为H，写出△GＨE与△BHD 面积之和的最大值,并简要说明理由. 【答案】解:（１)∵四边形ＡBCD和四边形AEＦG都为正方形，∴AD=AＢ，∠DAＧ =∠BAE=９0°,AG=AE, ∴△ＡＤＧ≌△ABE（SAＳ）.∴∠AＧD＝∠AEＢ. 如答图1，延长EＢ交ＤG于点H， 在△ADＧ中,∵∠AGD+∠ADG=9０°， ∴∠AEB+∠ADG＝９0°. 在△ＥDH中，∵∠ＡEB+∠ＡＤG＋∠ＤHE=1８0°， ∴∠DH E=9０°. ∴DG⊥BE. (2）∵四边形ＡＢCD和四边形AＥFG都为正方形，∴AD=ＡB，∠ＤAB=∠ＧAＥ=90°，AG=ＡＥ，∴∠DＡB+∠BAＧ=∠ＧＡＥ＋∠BAG,即∠DＡG＝∠BＡＥ, ∴△ＡDＧ≌△ABE（SＡS)．∴DＧ=BE． ∵BD 为正方形AB CD 的对角线,∴∠MDA =４5°. 在Rt △A ＭD 中，∵∠MD Ａ=45°,ＡD ＝2， ∴2DM AM ==． 在Rt △ＡM Ｇ中，根据勾股定理得:226GM AG AM = -=， ∵26DG DM GM =+=+,∴26BE DG ==+． (3）△GH Ｅ和△BH Ｄ面积之和的最大值为6，理由如下: ∵对于△E ＧH ，点H 在以E Ｇ为直径的圆上,∴当点H 与点Ａ重合时，△EGH 的高最大； ∵对于△BDH ，点H 在以BD 为直径的圆上，∴当点Ｈ与点A 重合时，△B ＤH 的高最大. ∴△GH Ｅ和△BHD 面积之和的最大值为2+4＝6． 【考点】面动旋转问题;正方形的性质；全等三角形的判定和性质;三角形内角和定理；等腰直角三角形的性质，勾股定理;数形结合思想的应用． 【分析】（１)由四边形ABCD 与四边形AEFG 为正方形,利用正方形的性质得到两对边相等，且夹角相等,利用SAS 得到△A ＤＧ≌△A ＢE ，利用全等三角形对应角相等得∠AGD ＝∠AEB ，作辅助线“延长ＥB 交D G 于点Ｈ”，利用等角的余角相等得到∠DHE =9０°，从而利用垂直的定义即可得DG ⊥ＢＥ. (2)由四边形ＡＢC Ｄ与四边形AE ＦG 为正方形,利用正方形的性质得到两对边相等，且夹角相等,利用SA Ｓ得到△ＡＤＧ≌△A ＢE ，利用全等三角形对应边相等得到D Ｇ=BE ，作辅助线“过点A 作A Ｍ⊥DG 交DG 于点M ”，则∠AMD =∠AMG =９0°,在Rt △AMD 中,根据等腰直角三角形的性质求出AM 的长,即为DM 的长，根据勾股定理求出GM 的长,进而确定出ＤG 的长，即为ＢＥ的长. (3)△GHE 和△BHD 面积之和的最大值为６,理由为:对两个三角形，点Ｈ分别在以EG 为直径的圆上和以ＢD 为直径的圆上,当点H 与点A 重合时，两个三角形的高最大，即可确定出面积的最大值． 2.如图，Rt △AB Ｃ中，∠C =９0°,AB =15,B Ｃ=9，点P ,Q 分别在BC ,ＡC 上，C Ｐ=3x ，CQ =4x （0＜x ＜3).把△PCQ 绕点P 旋转,得到△P ＤE ，点Ｄ落在线段PQ 上. （1）求证：PQ ∥ＡB ； (２）若点Ｄ在∠ＢAC 的平分线上，求ＣP 的长; （3）若△PDE 与△ABC 重叠部分图形的周长为T ，且1２≤T ≤１6，求ｘ的取值范围. 【答案】解：（1）证明：∵在R ｔ△A ＢＣ中，AB =1５，BC =9, ∴222215912AC AB BC =-=-=． ∵ 34,93123PC x x QC x x BC AC ==== ，∴PC QC BC AC = ． 又∵∠Ｃ＝∠C ,∴△ＰQC ∽△BAC . ∴∠C ＰQ =∠B . ∴PQ ∥ＡB ． (2）如答图1，连接AD ， ∵PQ ∥AB ，∴∠ＡＤＱ=∠DA Ｂ． ∵点D 在∠B ＡC 的平分线上，∴∠DAQ ＝∠DAB . ∴∠ＡDQ =∠ＤAQ . ∴AQ =D Ｑ. 在Rt △CPQ 中，∵ＣP =３x ，CQ =4x ，∴PQ =5ｘ. ∵ＰD =ＰC =3ｘ,∴ＤQ =2x ． ∵ＡQ =12﹣4x ,∴1２﹣４ｘ=2ｘ,解得x ＝2. ∴CP =3x =６． （3)当点E 在AB 上时， ∵P Ｑ∥ＡB ，∴∠DPE =∠PEB . ∵∠CP Ｑ=∠DPE ，∠CP Ｑ=∠B ,∴∠Ｂ＝∠ＰEB ． ∴P Ｂ=PE =5x ． ∴3ｘ＋５x =９，解得9 8 x =． ①当0 98时，34512T PD DE PE x x x x =++=++=,此时0＜T ≤272. ∴当0 8 时,T 随x 的增大而增大， ∵１2≤T ≤16，∴当12≤T ≤27 2 时，1≤x≤98. ②当9 8 ＜x <3时, 如答图２,设PE 交A Ｂ于点G ,DE 交AB 于Ｆ,作GH ⊥FQ ，垂足为H ， ∴HG =DF ,F Ｇ=D Ｈ,Rt △PHG ∽Ｒt △ＰＤE ． ∴ GH PG PH ED PE PD == ． ∵ＰG =P Ｂ=9﹣3x ，∴ 93453GH x PH x x x -== ． ∴()()43 93,9355 GH x PH x =-=- . ∴()3 3935 FG DH x x ==--, ∴()()()4312 54933933935555T PG PD DF FG x x x x x x ??=+++=-++ -+--=+???? ， 此时，27 2 9 8 ＜x ＜3时，T 随x 的增大而增大. ∵12≤Ｔ≤16,∴当27 2 综上所述，当12≤Ｔ≤１6时，ｘ的取值范围是1≤x ≤ 13 6 . 【考点】面动旋转问题；勾股定理;相似三角形的判定和性质;平行的判定和性质；方程思想、函数思想、分类思想的应用. 【分析】（1)先根据勾股定理求出AC 的长,再由相似三角形的判定定理得出△ＰQC ∽△ＢＡC ，由相似三角形的性质得出∠CPQ =∠B ,由此可得出结论. （2）连接A Ｄ，根据P Ｑ∥ＡB 可知∠ADQ ＝∠ＤA Ｂ，再由点Ｄ在∠BA Ｃ的平分线上，得出∠ＤAQ =∠DA Ｂ,故∠ＡDQ =∠ＤAQ ，AQ =DQ ．在Ｒt △CPQ 中根据勾股定理可知，AQ =１2﹣4ｘ,故可得出x 的值，进而得出结论. （3)当点Ｅ在AB 上时，根据等腰三角形的性质求出x 的值，再分0＜x ≤ 98;9 8 ＜ｘ＜3两种情况进行分类讨论. 作业： 1．如图，在△ＡBC 中，∠ＢAC =６0°,∠ＡB Ｃ＝90°，直线l １∥l 2∥l 3,l 1与l 2之间距离是１,ｌ2与l 3之间距离是2，且l 1，l 2,ｌ3分别经过点A ，B ，C ，则边ＡＣ的长为 ▲ ． 【答案】 2 213 . 【考点】平行线的性质；锐角三角函数定义;特殊角的三角函数值；相似三角形的判定和性质；勾股定理. 【分析】如答图，过点B 作E Ｆ⊥l 2,交ｌ1于E ，交l 3于Ｆ, ∵∠B ＡC =60°，∠AB Ｃ＝9０°，∴3BC tan BAC AB ∠= =． ∵直线l 1∥l 2∥l 3，∴EF ⊥l 1,E Ｆ⊥ｌ３. ∴∠ＡEB =∠BFC =９0°. ∵∠ＡBC =9０°,∴∠EAB =90°﹣∠ABE =∠FB Ｃ. ∴△BF Ｃ∽△ＡEB ，∴ 3FC BC ==. ∵ＥB ＝１,∴F Ｃ＝3. 在Ｒｔ△BF C 中，() 2 22223 7BC BF FC =+=+ =. 在Rt △ＡBC 中,72 21332 BC AC sin BAC = = = ∠ ． 2. 如图，过原点Ｏ的直线与反比例函数ｙ１，y 2的图象在第一象限内分别交于点Ａ、Ｂ,且A 为O Ｂ的中点，若函数 11 y x = ,则y ２与x 的函数表达式是 ▲ ． 【答案】24y x = . 【考点】反比例函数的图象和性质；曲线上点的坐标与方程的关系；待定系数法的应用. 【分析】设y 2与x 的函数表达式是2k y x = , ∵点B 在反比例函数ｙ2的图象上，∴可设,k B b b ?? ??? . ∵A 为OB 的中点,∴,22b k A b ?? ??? . ∵点Ａ在反比例函数11y x = 的图象上，∴122 k b b =,解得4k =． ∴y 2与x 的函数表达式是24y x = ．
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