2009年全国硕士研究生入学统一考试
数学一试题
一、选择题(1?8小题，每小题4分，共32分, 符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内
(1 )当x 0 时，f x sin ax与
g
2
x ln 1 bx等价无穷小，则( )
1,b 1,b 1 6 . 1 6
(2)如图，正方形x,y i,y
四个区域D k k 123,4 ，I
k
D
k
1,b
1,b 1
1被其对角线划分为ycosxdxdy，
则m k a x I k (
A I i.B丨2
?C丨3?
(3)设函数y在区间1,3 上的图形为: 则函数F
-1
f(x)
-2 2 3 x
-
1
F列每小题给出的四个选项中，只有一项.)
B当b n发散时，a n b n发散?
n 1 n 1
D当b n发散时，a j b：发散.
n 1 n 1
1 1则由基1,
2 3到基
2 3
)
2 0
2 3 .
0 3
111
6 6 6
,B的伴随矩阵，若A 2, B 3，则分块
A 当兰b n收敛时，
n 1
a n
b n收敛.
n 1
C当b n 收敛时，a：b：收敛.
n 1 n 1
(5 )设 1
,2,
3 是3维向量空间R3的一组基
1 2 , 2
3, 3 1的过渡矩阵为(
1 0 1 1
A 2 2 0 .
B 0
0 3 3 1
1 1 1
2 4 6
C
1 1 1
D 2 4 6
1 1 1
2 4 6
设有两个数列0
,
a n
b n，若
(4)lim a n
n
则(
矩阵的伴随矩阵为()
B O
A
O
*
3B B O
*
2B * *
3A
2A o . O
C
O *
3A O
*
2A * D *
3B
2B o . O
)
(6)设A, B均为2阶矩阵，A*,B*分别为
2
(7)设随机变量X的分布函数为F x 0.3 x 0.7 ，其中x为标准正
态分布函数，则EX ()
A 0.
B 0.3.
C 0.7.
D 1.
(8)设随机变量X与Y相互独立，且X服从标准正态分布N 0,1 , Y的概率分布为
1
P Y 0 P Y 1 —,记F Z z为随机变量Z XY的分布函数，贝U函数F z z
2
的间断点个数为( )
A O.
B 1.
C 2.
D 3.
二、填空题(9-14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上.)
2
(9)设函数f u,v具有二阶连续偏导数，z f x, xy，则z
。
x y
(10)若二阶常系数线性齐次微分方程y ay by 0的通解为y G C2X e x，则非
齐次方程y ay by x满足条件y 0 2,y 0 0的解为y 。
(11)已知曲线L: y x2 3 4 0 x ,2 ,则x :ds 。
2 2 2 2
(12 )设x, y, z x y z 1 ，贝U z dxdydz _____________________ 。
(13)若3维列向量，满足T 2,其中T为的转置，则矩阵T的非零特征值为______________ 。
(14)设X1,X2,L ,X m为来自二项分布总体B n, p的简单随机样本，X和S2分别为样本均值和样本方差。若X kS2为np2的无偏估计量，则k _________________ 。
三、解答题(15- 23小题，共94分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)
(15) (本题满分9分)求二元函数f (x, y) x22 y2ylny的极值。
(16) (本题满分9分)设a n为曲线y x n与y x n 1n 1,2,.....所围成区域的面积，记
2 2
(17)(本题满分11分)椭球面S1是椭圆x y 1绕x轴旋转而成，圆锥面S2是过点
4 3
S(a n, S2 a?n 1，求S(与S2 的值。
n 1 n 1
(n)求二维随机变量X,Y概率分布。
2 2
4,0且与椭圆—y 1 相切的直线绕x 轴旋转而成。
4
3
(I)求S ,及S 2的方程
(n)求$与S 2之间的立体体积。
(18)(本题满分11分)
(I)证明拉格朗日中值定理：若函数
f x 在a,b 上连续，在(a,b)可导，则存在
(21)(本题满分11分)
设二次型 f x 1, x 2, x 3 ax ^ ax ；
(I)求二次型 f 的矩阵的所有特征值；
2 2
(n)若二次型 f 的规范形为 y y 2，求a 的值。
(22)(本题满分11分)
袋中有1个红色球，2个黑色球与3个白球，现有回放地从袋中取两次， 每次取一球, 以
X,Y,Z 分别表示两次取球所取得的红球、黑球与白球的个数。
(I)求 p X 1 Z 0 ；
a,b ，使得 f b f a f
(n )证明：若函数f x 在x
lim f x A ，则f 0存在，且
x 0
(19) (本题满分10分)计算曲面积分|
2x 2 2y 2 z 2
4 的外侧。
(20) (本题满分11分)
b a
内可导，且
0处连续，在0,
xdydz ydzdx zdxdy
，其、丨中
是曲面
1 1 1 设A
1 1 1 1
4 2
(I)求满足
A 2
1 的
2 . A 3
(n)对①中的任意向量
2, 3证明
的所有向量
2 ,
3无关。
1 x f 2x^3 2X 2X 3
1 1,
(n)求二维随机变量
X,Y 概率分布。
X 2,…X n 是来自总体X 的简单随机样本
(I )求参数的矩估计量；
(n)求参数 的最大似然估计量
23 )(本题满分 11 分)
设总体 X 的概率密度为 f(x)
2x
xe ,x
0,其他
，其中参数
0) 未知， X 1 ，
(x, y)|y x,0 x 1
一、选择题：1?8小题，每小题4分，共32分, 符合题目要求，
把所选项前的字母填在题后的括号内【答案】 【解析】本题利用二重积分区域的对称性及被积函数的奇偶性。 D 2,D 4两区域关于 x 轴对称，而 f (x, y) ycosx f (x, y)，即被积函数是关于
y 的
奇函数，所以|2
丨 4 0；
D 1,D 3两区域关于 y 轴对称， 而 f( x,y)
ycos( x) y cosx f (x, y)，即被积函数是 关于x 的偶函数，所以
I 1 2
ycosxdxdy 0;
(x,y)|y x,0
x 1
2009年考研数学一真题解析
列每小题给出的四个选项中，只有一项 (1 )当 x 0时, sin ax 与 g
x 2 In 1 bx 等价无穷小，则(
)
1,b 1,b
1 6 .
1 6
【解析】 f(x)
sin ax, g(x)
x 2l n(1 bx)为等价无穷小，则
lim 他 lim 2 X 0
g(x) X 0 x
sin ax ln(1 bx)
lim
X 0 X x sin ax 洛lim (bx) x
0 彳 2 -
1 a cos ax a sin ax 2—洛 lim ------------
3bx 2 .
a sin ax
lim x 0
6b
ax a
3
a
6b
a 3
6b 故排除
B,C 。
1 另外lim - x 0 所以本题选
a cosax 卄
2 存在，蕴含了 1
3bx 2
A 。
acosax 0 故a 1.排除D 。
(2)如图, 正方形 x, y I |x i ，y 1被其对角线划分为
四个区域 D k k 123,4 , I k
ycosxdxdy ，
D
k
则 m k a x i k (
A I 1.
B I 2.
C I 3.
I 3 2
ycosxdxdy 0 ?所以正确答案为A.
y
x
D