10—1 马克维茨的资产组合理论
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第10章—1 10章马克维茨的资产组合理论
一、基本假设投资者的厌恶风险性和不满足性：投资者的厌恶风险性和不满足性：厌恶风险性 1、厌恶风险、 2、不满足性、
2
“不要把所有的鸡蛋都放在同一只篮子里。”
——1981年诺贝尔经济学奖公布后，记者要求获奖人、耶鲁大学的 James Tobin教授尽可能简单、通俗地概括他的研究成果，教授即回答了这句话。
问题：如何进行证券组合，即（1）将鸡蛋放在多少个篮子里？（2）这些篮子有什么特点？3
二、证券组合与分散风险?
n
E(Rp ) =
n 2 p
n
∑ E ( R )W
i =1 i
n i =1
i
?
= ∑ Wi 2σ i2 + 2 ∑ Cov ijWiW j σ = ∑∑ CovijWiW j
i =1 j =1
*
? 由上式可知，证券组合的风险不仅决定于单个证券的风险和投资比重，还决定于每个证券收益的协方差或相关系数。
4
1、不管组合中证券的数量是多少，证券组合的收益率只是单个证券收益率的加权平均数。分散投资不会影响到组合的收益率，但是分散投资可以降低收益率变动的波动性。各个证券之间收益率变化的相关关系越弱，分散投资降低风险的效果就越明显。
分散投资可以消除证券组合的非系统性风险，但是并不能消除性统性风险。
5
2、在现实的证券市场上，大多数情况是各个证、在现实的证券市场上，
券收益之间存在一定的正相关关系。券收益之间存在一定的正相关关系。正相关关系有效证券组合的任务就是要找出相关关系较弱有效证券组合的任务就是要找出相关关系较弱的证券组合，的证券组合，以保证在一定的预期收益下尽可能地降低风险。地降低风险。6
3、证券组合的风险随着股票只数的增加而减少、
σP
非系统性风险
总风险系统性风险 0 组合中证券的数量(n) 组合中证券的数量
证券的数量和组合的系统性、证券的数量和组合的系统性、非系统性风险之间的关系
三、可行集和有效组合（一）可行集有效组合（效率边界）（二）有效组合（效率边界）定义：对于一个理性投资者而言，他们都是厌恶定义：对于一个理性投资者而言，他们都是厌恶风险而偏好收益。在既定的风险约束下，追求最风险而偏好收益。在既定的风险约束下，大的收益；在既定的目标收益率下，大的收益；在既定的目标收益率下，尽量的降低风险。风险。能够同时满足这两个条件的投资组合的集合就是能够同时满足这两个条件的投资组合的集合就是同时满足这两个条件的投资组合的集合有效集。有效集。
8
1、资产收益间完全正相关情况（ρ=1）
例1：假设有两种股票和B，其相关系数ρ=1，并且：假设有两种股票A和，，σA=2%，σB=4%，WA=50%，WB=50%，则组合方，，，，差为：差为：
2 2 2 2 σ p = WAσ A +WB2σ B + 2WAWB ρABσ Aσ B
= 0.52 × 0.022 + 0.52 × 0.042 + 2 × 0.5× 0.5×1× 0.02× 0.04 = 0.0009
σ P = 0.03= 3%
9
而且由σ得
2 p
= W A2σ
2 A
2 + W B2σ B + 2W AW B σ Aσ B = (W Aσ
A
+ W Bσ B ) 2
σp =WAσ A+WBσ B
因此，当证券间的相关系数为的时候的时候，因此，当证券间的相关系数为1的时候，组合的风险是组合中单个证券风险的线性函数。中单个证券风险的线性函数显然，可以看出，显然，由Ep=WAEA+WBEB 可以看出，组合的预期收益是组合中单个证券收益的线性函数。组合中单个证券收益的线性函数。也可以证明，在证券间的相关系数为的时候的时候，也可以证明，在证券间的相关系数为1的时候，组合收益E(Rp) 的线性函数。也是组合风险σ p 的线性函数。
10
证明：证明：
∵σp =WAσA+WBσB =（1－WB）σA+WBσB =σA+WB（σB －σA ）∴ WB = σ P ?σ A σ B ?σ A
σ P ?σ A ∴ EP = E A + (EB ? E A ) σ B ?σ A
=
=
E Aσ B ? E Aσ B + σ P ( E B ? E A ) ? E BσA + E Aσ A σ B ?σ A
E Aσ
σ
B B
? E Bσ?σ A
A
+
EB ? EA σσB ?σ A
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图2
E ( RP ) E ( RB )
完全正相关时的组合收益与风险的关系
B
ρ =1
E ( RA )
0 A
σA
σB
σP
12
2、完全不相关情况（ρ=0）
2 2 2 Var ( RP ) = σ p = W A2σ A + WB2σ B + 0
，在由收益率和标
准差构成的坐标系中，该曲线凸向收益率轴。准差构成的坐标系中，该曲线凸向收益率轴。由此可以看出，投资组合可以大大降低风险。
13
例 2：同前例，不同的是，此时 A 与 B 的相关系数为 0，组合后的结果也可以用图 3 ：同前例，不同的是，，来说明。来说明。
E ( RP ) E ( RB )
B
ρ =0
E ( RA )
A
σA
σB
σP
图3
完全不相关时的组合收益与风险的关系
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思考：思考：构成证券组合。假设仅由两项证券资产A和B构成证券组合。 A的期望收益率（RA）=5%，标准差的期望收益率E（，σA=20%；B的期望收益率（RB）=15%，标；的期望收益率E（，准差σB=40%；； A和B的相关系数为ρAB=0，求A和B在最小方差组合中的比例中的比例W 组合中的比例 A和WB ？
该点的 WA =
4 1 ,WB = , E( RP ) = 7%,σ P = 179%
5 5
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3、完全负相关情况（ρ=-1）
? 当证券间完全负相关的时候，组合的方差为当证券间完全负相关的时候，
2 2 Var ( RP ) = W A2σ A + WB2σ B ? 2W AWBσ Aσ B = (W Aσ A ? WBσ B ) 2 ? 进而有，σ P = W Aσ A ? WBσ B 在由收益率和标准差构进而有，成的坐标系中，该
函数为两条直线。成的坐标系中，该函数为两条直线。而且这两条直线在收益率轴上有一个交点。在收益率轴上有一个交点。? 因此，组合的风险可以大大降低。如果权重恰当（恰因此，组合的风险可以大大降低。如果权重恰当（好位于交点处），组合甚至可以完全回避风险。），组合甚至可以完全回避风险好位于交点处），组合甚至可以完全回避风险。
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σp=0 WAσA =WBσB
WA σ A = WB σ B
1 ? WB σ B = WB σA
WB =
σA σ A +σB σA σB ，组合完全回避了风险时（ W A = ）组合完全回避了风险。，组合完全回避了风险。σ A +σ B σ A +σB
因此，因此，当投资组合 W B =
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例 3：同前例，不同的是ρAB=－1。上述结论可以用图 4 来说明。：同前例，－。上述结论可以用图来说明。
E ( RP ) E ( RB )
B
ρ =﹣1 ﹣
E ( RA )
0 图4 A
σA
σB
σP
完全负相关时的组合收益与风险的关系
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结论
1．资产组合的收益与资产收益间的相关性无而风险则与之有很大关系；关，而风险则与之有很大关系； 2．完全正相关时，组合风险无法低于两者之完全正相关时，间最小的；间最小的； 3．完全不相关时，可以降低风险，随着风险完全不相关时，可以降低风险，小的资产的投资比重增加，组合风险继续下降，小的资产的投资比重增加，组合风险继续下降，并在某一点达到风险最小。并在某一点达到风险最小。 4．完全负相关时，组合风险可大大降低，甚完全负相关时，组合风险可大大降低，至可以使风险降为0 至可以使风险降为0。
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图5
双证券组合收益、双证券组合收益、风险与相关系数的关系
E( RP )
B
﹣ρ =﹣ 1 D C
ρ =1
ρ =0
A 0
σ P （ min）σP
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N项资产的资产组合集合，它是个平面区域
E ( RP )
B 可行集 N A 0
σ P （ min）
可行集与有效组合可行集与有效组合
σP
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6、有效集曲线（效率边界）的特点：有效集曲线（效率边界）的特点：①是一条向右上方倾斜的曲线，反映了“高收益、高风险”的原则；②是一条向上凸的曲线；③曲线上不可能有凹陷的地方。
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四、最优投资组合的确定
1、投资者就可根据自己的无差异曲线群选择能使自己投资效用最大化的最优投资组合。这个组合位于无差异曲线与有效集的相切点。（是惟一的）
2、对于投资者而言，有效集是客观存在的，它是由证券市场决定的。而无差异曲线则是主观的，它是由自己的风险——收益偏好决定的。
厌恶风险程度越高的投资者，其无差异曲线的斜率越陡，因此其最优投资组合越接近N点。厌恶风险程度越低的投资者，其无差异曲线的斜率越小，因此其最优投资组合越接近B点。
23
最优投资组合（T）的确定
E ( RP )
I3 T
I2 I1 B
N A O
σP
24
补充：系统性风险的衡量（市场模型、补充：系统性风险的衡量（市场模型、指数模型、对角线模型）模型、对角线模型）（1）定义：证券市场处于均衡状态时的所有证券）定义：按其市值比重组成一个“市场组合” 按其市值比重组成一个“市场组合”(m)，这个组，合的非系统性风险将等于零。合的非系统性风险将等于零。（2）衡量证券系统性风险的指标：系统性风险的指标：）衡量证券i系统性风险的指标
β i = CoviM
2 σM
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假定任何一种证券的收益率与市场组合的收益率之间存在着一种线性关系线性关系: 率之间存在着一种线性关系
γit =αi + βiγmt +εit （t=1,2… n）…）
( ( 误差项，其中，其中，εit ：误差项， E(εi ) = 0, Cov εi , ε j ) = 0, Cov εit , εit' ) = 0 ；
αi ：截距项，当γ mt = 0 时，第 i 种证券的平均收益率；截距项，种证券的平均收益率；βi ：斜率项，衡量证券 i 系统性风险大小的指标，证券 i 收益率变化对斜率项，系统性风险大小的指标，
市场组合收益率变化的敏感度指标.。市场组合收益率变化的敏感度指标。
βi = CoviM 由最小二乘估计，由最小二乘估计，可得
2 σM
α i = γ i ?β iγ m
26
系数＝（3）证券组合的β系数＝各种证券的）的加权平均数
n
β
系数
βP = ∑xi βi ，其中， xi =证券 i 的市值／组合的总价值其中，证券的市值／
i=1
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（4）证券和证券组合的β）
系数：系数：
若β＝1，说明其系统性风险＝市场组合的系统性风险；，说明其系统性风险＝市场组合的系统性风险；若β＞1，说明其系统性风险＞市场组合的系统性风险；，说明其系统性风险＞市场组合的系统性风险；若β＜1，说明其系统性风险＜市场组合的系统性风险；，说明其系统性风险＜市场组合的系统性风险； 0，说明其没有系统性风险。若β＝0，说明其没有系统性风险。
β
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练习题
1、哪种风险可以通过多样化来消除： 1）预想到的风险; 2）系统性风险; 3）市场风险; 4）非系统性风险
2、下面哪种说法是正确的？1）系统性风险对投资者不重要； 2）系统性风险可以通过多样化来消除； 3）承担风险的回报独立于投资的系统性风险； 4）承担风险的回报取决于系统性风险。
3、系统性风险可以用什么来衡量？ 1）贝塔系数; 2）相关系数; 3）收益率的标准差; 4）收益率的方差
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4、考虑两种完全负相关的风险证券A和B，其、考虑两种完全负相关的风险证券和，的期望收益率为10%，标准差中A的期望收益率为的期望收益率为，标准差0.16；B的期；的期望收益率8%，标准差为0.12。则A和B在最小望收益率，标准差为。和在最小标准差资产组合中的权重分别是（标准差资产组合中的权重分别是（）
A、0.24，0.76 C、0.57，0.43
B、0.50，0.50 D、0.43，0.57
30
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马科维茨投资组合理论 马科维茨(Harry M.Markowitz, ) 1990年因其在1952年提出的投资组合选择 (Portfolio Selection)理论获得诺贝尔经济学奖。 主要贡献：发展了一个在不确定条件下严格陈述的可操作的选择资产组合理论：均值方差方法Mean-Variance methodology. 主要思想：Markowitz把投资组合的价格变化视为随机变量，以它的均值来衡量收益，以它的方差来衡量风险 (因此Markowitz理论又称为均值-方差分析)；把投资组合中各种证券之间的比例作为变量，那么求收益一定的 风险最小的投资组合问题就被归结为一个线性约束下的二次规划问题。再根据投资者的偏好，由此就可以进行投资决策。 基本假设： H1.所有投资都是完全可分的。每一个人可以根据自己的意愿(和支出能力)选择尽可能多的或尽可能少的投资。 H2. 一个投资者愿意仅在收益率的期望值和方差(标准差)这两个测度指标的基础上选择投资组合。 E p对一个投资组合的预期收益率 P对一个投资组合的收益的标准差(不确定性) H3.投资者事先知道投资收益率的概率分布，并且收益率满足正态分布的条件。 H4. 一个投资者如何在不同的投资组合中选择遵循以下规则： 一，如果两个投资组合有相同的收益的标准差和不同的预期收益，高的预期收益的投资组合会更为可取； 二，如果两个投资组合有相同的收益的预期收益和不同的标准差，小的标准差的组合更为可取； 三，如果一个组合比另外一个有更小的收益标准差和更高的预期收益，它更为可取。 基本概念 1 ?单一证券的收益和风险： 对于单一证券而言，特定期限内的投资收益等于收到的红利加上相应的价格变化，因此特定期限内的投资收 益为： 价格变化+现金流(如果有) r 持有期开始时的价格 R-R 1+ CF 假定投资者在期初时已经假定或预测了该投资期限内的投资收益的概率分布；将投资收益看成是随机变量。 任何资产的预期收益率都是加权平均的收益率，用各个收益发生的概率p进行加权。预期收益率等于各个收 益率和对应的概率的乘积之和。 n E(r) P』PJ P2D ... P n「n i 1 p为第i个收益率的概率；n,r2,...,r n为可能的收益率。 资产的风险用资产收益率的方差( variance)和标准差(standard deviation)来度量。 风险来源：市场风险( market risk),利息率风险(interest-rate risk)，购买力风险(purchasing-power risk)，管理风险(management risk)，信用风险(credit risk )，流动性风险(liquidity risk )，保证金风险(margin risk )，可赎回风险(callability risk )，可转换风险(convertibility risk )，国内政治风险(domestic political risk )，行业风险(industry risk)。 2 ?投资组合： 通常说投资组合由证券构成，一种证券是一个影响未来的决策，这类决策的整体构成一个投资组合。 3?投资组合的收益和风险： (1) 投资组合的收益率 构成组合的证券收益率的加权平均数。以投资比例作为权数。
本科学生毕业论文（设计） 题目（中文）：Markowitz资产组合理论在我国A股市场 的运用 （英文）：The Application of Markowitz Asset Portfolio Theory to A Share Market in China 姓名孙先哲 学号200805001221 院（系）数学与计算科学系 专业、年级数学与应用数学专业2008级 指导教师杨建奇 2012年4月30日
目录 摘要.............................................................. I Abstract .......................................................... I I 1 绪论.. (1) 1.1 Markowitz资产组合理论介绍 (1) 1.1.1 Markowitz资产组合理论的研究对象 (1) 1.1.2 Markowitz资产组合理论的意义 (1) 1.1.3 Markowitz经典资产组合理论模型 (2) 1.1.4对Markowitz资产组合理论的评价 (3) 1.2 国内外研究状况 (3) 1.3 本文结构及内容 (4) 2 Markowitz资产组合理论与中国证券市场 (4) 2.1 Markowitz资产组合理论运用于中国证券市场的可能性 (4) 2.2实例研究 (4) 2.2.1数据采集 (4) 2.2.2 求解有效组合 (6) 2.2.3 研究结论 (9) 3 简化Markowitz资产组合理论用于我国普通股民投资 (9) 3.1 简化的前提 (9) 3.2 举例分析 (10) 3.2.1数据的采集 (10) 3.2.2 在风险已确定的情况下求收益率最高的组合 (11) 3.2.3 在确定收益率的情况下求最低风险的组合 (12) 4 结束语 (13) 参考文献 (14) 附录 (15) 致谢 (17)
第 1 页 共 7 页 马克维茨投资理论浅析 数学与应用数学（金融数学） 2011111029 陆文康 摘 要： 马克维茨投资祝贺理论是现代投资组合理论的开端，标志着投资1952年马克维茨发表了《投资组合选择理论》一文，标志着投资组合 关键词：马克维茨； 投资组合理论 一、马克维茨投资组合理论 马克维茨在1952年发表的《投资组合选择理论》打破了投资组合理论中只-方差模型。 R 表示证券i 在某一观测期的收益率，则(R )i E 与Var(R )i 为该证券的平时(R )i E 与Var(R )i 表示为： []221(R )(R ) m i it i i Var R E m σ==-∑ 1 1(R )m i i it i E R R m -===∑ 同时，我们知道投资组合理论就是要将资金分配到不同的证券以减少风险
第 2 页 共 7 页 所以除了单个证券的收益率和方程，还需要知道不同证券的相关性，用不 同证券之间的协方差来表示，设证券i 与另一证券j 的收益率之间的协方差为 Cov(R ,R )i j ，则协方差可表示为： []1 1Cov(R ,R )(R )(R )m i j it i jt J i R E R E m =??=--??∑ 当选定n 支股票；并对其进行投资，假定这n 支股票的投资比例是 12(x ,x ,,x )n X L ，该投资组合为p ，期望收益率p E 与收益率方差2p σ可以表示为： 1 n P i I i E x E ==∑ 2 2211 1 11 (R R )(R ,R )n n n n n P i j i j j j i j I J i j j j i j i x x Cov x x x Cov σσ=≠≠≠≠≠==+∑∑∑∑∑ 在用某一时间的收益率均值以及方程对实际的收益期望以及风险程度进行定量描述后，马克维茨设立了几点假设： （1）投资者都是理性的，也就是说他们都是尽量回避风险并且追逐利益。 （2）投资组合的确定与证券的收益与风险之外的因素无关。 （3）期望收益率的方差代表了证券的风险性。 （4）收益率的分布服从正态分布。 马克维茨其余以上假设，建立了资产配置的均值-方差模型，模型有两种，一是在收益率确定的情况下追求风险最小，二是在风险一定的情况下最求收益率最大，两种模型的表述如下： max p E - ..s t 1 1n i i x ==∑ 20p σσ≤ 0i x ≥ 0σ为事先确定的风险程度
投资组合 投资组合的选择过程可以分为两个阶段。第一个阶段以观察和经验开始以预计拥有证券的未来绩效结束。第二个阶段以未来绩效相关的信念开始以投资组合的选择结束。本文主要研究第二个阶段。首先，我们相信投资者会最大化其预期折现或期望的收益。这个准则我们既不作为一个假设去解释也不作为最大化指导投资者的行为。我们接下来考虑投资者应该思考预期的收益是合意的，收益的方差是不确定的。这个准则不论作为投资行为最大化或假设都有很多优点。我们通过预期收益-收益方差来解释投资组合的选择与预期之间的几何关系。 投资组合选择的一种类型是投资者应该最大化未来收益的折现（资本化）价值。因为未来是不确定的，我们必须预期未来的折现收益，可以提出这种类型的变化，根据hicks我们可以让预期的收益包含对未来风险的补贴。或者我们可以让资本化的利率虽不同证券组合的不同利率变化。 投资者应该最大化折现价值的假设或准则必须被拒绝。如果我们忽略了市场的缺陷上述的准则不会表明存在多样化的投资组合优于所有的非多元化的投资组合。多元化是可以观察也可以感觉到的。一个不包含多元化优越性的准则或假设必须被拒绝。 上述的准则没有解释多样化是如何形成的，是否不同的折现率被用于不同的投资组合，假设表明投资者将他所有的资金投资于折现价值最大的证券，如果两个或更多的证券有相同的价值那么所有这些组合都是一样好的。 我们可以看这个解析:假设有N种证券令r it为在时间t投资一美元证券i的预期收益， d it为证券组合i th在t时折现到当前的折现率。 X i为投资到证券i的相对数量。 我们排出了卖空，所以对于所有的证券i,X i>=0 那么证券组合的预期回报为: 为证券组合i th的折现回报。所以 相互独立，对于所有的证券i X i》=0 R为X i非负权重条件下R i的加权平均。
10—1 马克维茨的资产组合理论 本文由仁_忍_韧贡献 ppt文档可能在WAP端浏览体验不佳。建议您优先选择TXT，或下载源文件到本机查看。 第10章—1 10章马克维茨的资产组合理论 一、基本假设投资者的厌恶风险性和不满足性：投资者的厌恶风险性和不满足性：厌恶风险性 1、厌恶风险、 2、不满足性、 2 “不要把所有的鸡蛋都放在同一只篮子里。” ——1981年诺贝尔经济学奖公布后，记者要求获奖人、耶鲁大学的 James Tobin教授尽可能简单、通俗地概括他的研究成果，教授即回答了这句话。 问题：如何进行证券组合，即（1）将鸡蛋放在多少个篮子里？（2）这些篮子有什么特点？3 二、证券组合与分散风险? n E(Rp ) = n 2 p n ∑ E ( R )W i =1 i n i =1 i ? = ∑ Wi 2σ i2 + 2 ∑ Cov ijWiW j σ = ∑∑ CovijWiW j i =1 j =1 * ? 由上式可知，证券组合的风险不仅决定于单个证券的风险和投资比重，还决定于每个证券收益的协方差或相关系数。 4 1、不管组合中证券的数量是多少，证券组合的收益率只是单个证券收益率的加权平均数。分散投资不会影响到组合的收益率，但是分散投资可以降低收益率变动的波动性。各个证券之间收益率变化的相关关系越弱，分散投资降低风险的效果就越明显。 分散投资可以消除证券组合的非系统性风险，但是并不能消除性统性风险。 5 2、在现实的证券市场上，大多数情况是各个证、在现实的证券市场上， 券收益之间存在一定的正相关关系。券收益之间存在一定的正相关关系。正相关关系有效证券组合的任务就是要找出相关关系较弱有效证券组合的任务就是要找出相关关系较弱的证券组合，的证券组合，以保证在一定的预期收益下尽可能地降低风险。地降低风险。6 3、证券组合的风险随着股票只数的增加而减少、 σP 非系统性风险 总风险系统性风险 0 组合中证券的数量(n) 组合中证券的数量 证券的数量和组合的系统性、证券的数量和组合的系统性、非系统性风险之间的关系
马克维茨投资理论浅析 Prepared on 24 November 2020
马克维茨投资理论浅析 数学与应用数学（金融数学） 陆文康 摘 要： 马克维茨投资祝贺理论是现代投资组合理论的开端，标志着投资组合理论1952年马 关键词：马克维茨； 投资组合理论 一、马克维茨投资组合理论 马克维茨在1952年发表的《投资组合选择理论》打破了投资组合理论中只有定性-方差模型。 R 表示证券i 在某一观测期的收益率，则(R )i E 与Var(R )i 为该证券的平时收益率的 (R )i E 与Var(R )i 表示为： 同时，我们知道投资组合理论就是要将资金分配到不同的证券以减少风险所以除了 同证券之间的协方差i 与另一证券j 的收益率之间的协方差为Cov(R ,R )i j ，则协方差可表示
当选定n 支股票；并对其进行投资，假定这n 支股票的投资比例是 12(x ,x , ,x )n X ，该投资组合为p ，期望收益率p E 与收益率方差2 p σ可以表示为： 在用某一时间内的收益率均值以及方程对实际的收益期望以及风险程度进行定量描述后，马克维茨设立了几点假设： （1）投资者都是理性的，也就是说他们都是尽量回避风险并且追逐利益。 （2）投资组合的确定与证券的收益与风险之外的因素无关。 （3）期望收益率的方差代表了证券的风险性。 （4）收益率的分布服从正态分布。 马克维茨其余以上假设，建立了资产配置的均值-方差模型，模型有两种，一是在收益率确定的情况下追求风险最小，二是在风险一定的情况下最求收益率最大，两种模型的表述如下： 0σ为事先确定的风险程度 0E 为事先确定的收益 均值-方差模型的求解本质上是一个二次规划问题的求解，但是如果证券的数量增多，计算量将会非常之大，这也是为什么投资组合理论长期以来经常被实际的投资者所冷落，因为对于个人投资者，选择证券较小的情况下还能够计算竟是十分复杂的，目前已经有一些软件进行相关的计算，但是在多个行业进行证券跟踪仍然是比较艰难的，下文将对中国股票市场中选择6支股票进行分析。 二、中国股票市场的实例分析 1、由下表，可知①出各股票的方差，②对A 、B 进行等权重投资时组合P 的p β非 系统风险(e )p Var 和总风险2 p σ；③当C 加入组合P 中，对A 、B 、C 实行等额投资是，新的组合'P 的'p β、非系统性风险'(e )p Var 和总风险'2p σ；④组合P 和'P 的风险变化。
投资组合理论简介 投资组合理论有狭义和广义之分。狭义的投资组合理论指的是马柯维茨投资组合理论；而广义的投资组合理论除了经典的投资组合理论以及该理论的各种替代投资组合理论外，还包括由资本资产定价模型和证券市场有效理论构成的资本市场理论。同时,由于传统的EMH 不能解释市场异常现象，在投资组合理论又受到行为金融理论的挑战。 投资组合理论的提出[1] 美国经济学家马考维茨(Markowitz)1952年首次提出投资组合理论（Portfolio Theory)，并进行了系统、深入和卓有成效的研究，他因此获得了诺贝尔经济学奖。 该理论包含两个重要内容：均值－方差分析方法和投资组合有效边界模型。 在发达的证券市场中，马科维茨投资组合理论早已在实践中被证明是行之有效的，并且被广泛应用于组合选择和资产配置。但是，我国的证券理论界和实务界对于该理论是否适合于我国股票市场一直存有较大争议。 从狭义的角度来说，投资组合是规定了投资比例的一揽子有价证券，当然，单只证券也可以当作特殊的投资组合。 人们进行投资，本质上是在不确定性的收益和风险中进行选择。投资组合理论用均值—方差来刻画这两个关键因素。所谓均值，是指投资组合的期望收益率，它是单只证券的期望收益率的加权平均，权重为相应的投资比例。当然，股票的收益包括分红派息和资本增值两部分。所谓方差，是指投资组合的收益率的方差。我们把收益率的标准差称为波动率，它刻画了投资组合的风险。 人们在证券投资决策中应该怎样选择收益和风险的组合呢？这正是投资组合理论研究 的中心问题。投资组合理论研究―理性投资者‖如何选择优化投资组合。所谓理性投资者，是指这样的投资者：他们在给定期望风险水平下对期望收益进行最大化，或者在给定期望收益水平下对期望风险进行最小化。 因此把上述优化投资组合在以波动率为横坐标，收益率为纵坐标的二维平面中描绘出来，形成一条曲线。这条曲线上有一个点，其波动率最低，称之为最小方差点（英文缩写是MVP）。这条曲线在最小方差点以上的部分就是著名的（马考维茨）投资组合有效边界，对应的投资组合称为有效投资组合。投资组合有效边界一条单调递增的凹曲线。 如果投资范围中不包含无风险资产（无风险资产的波动率为零），曲线AMB是一条典型的有效边界。A点对应于投资范围中收益率最高的证券。 如果在投资范围中加入无风险资产，那么投资组合有效边界是曲线AMC。C点表示无风险资产，线段CM是曲线AMB的切线，M是切点。M点对应的投资组合被称为―市场组合‖。 如果市场允许卖空，那么AMB是二次曲线；如果限制卖空，那么AMB是分段二次曲线。在实际应用中，限制卖空的投资组合有效边界要比允许卖空的情形复杂得多，计算量也要大得多。 在波动率－收益率二维平面上，任意一个投资组合要么落在有效边界上，要么处于有效边界之下。因此，有效边界包含了全部（帕雷托）最优投资组合，理性投资者只需在有效边界上选择投资组合。
Markowitz资产组合理论在我国A股市场的运用 摘要 Markowitz资产组合理论研究的是多种资产的组合问题。根据这个理论，我们可以在方差一定的情况下研究预期收益最大的投资组合问题；也可以研究预期收益一定情况下方差最小的投资组合问题。本文首先从Markowitz资产组合理论入手，介绍它的研究对象、理论意义、经典模型及其相关评价。其次用几何分析方法来具体研究我国A股市场沪市和深市能源、医药、金融三个行业指数的风险、收益率情况。最后运用MATLAB软件将求解有效组合的几何分析方法简化，在方差一定情况下求得预期收益最高的投资组合，在预期收益一定的情况下求得方差最小的投资组合。 【关键字】：Markowitz资产组合理论等均值线临界线有效组合
The use of Markowitz asset portfolio theory in China A market share Abstract Markowitz portfolio theory is to study the bination problems of various assets. According to this theory, we can choose the portfolio with the same variance and the biggest expected oute, and also can choose the portfolio with the same expected oute and the minimum variance. Based on Markowitz asset portfolio theory, this thesis first introduces its studying object, theoretical meaning, typical model and relative evaluation. Then it specifically discusses the risk and ine rate index of the field of energy, medic and finance using geometric analysis in shanghai stock market and Shenzhen stock market. Last, working with MATLAB software we simplify the geometric method that putes the effective portfolio, and get the portfolio with maximum expected oute for the given risk or the portfolio with the minimum risk for the given expected oute. 【Key words】: Markowitz asset portfolio theory average line critical line effective portfolio
马克维茨投资理论浅析 Document serial number【UU89WT-UU98YT-UU8CB-UUUT-UUT108】
马克维茨投资理论浅析 数学与应用数学（金融数学） 陆文康 摘 要： 马克维茨投资祝贺理论是现代投资组合理论的开端，标志着投资组1952年马克维茨发表了《投资组合选择理论》一文，标志着投资组合理论由 关键词：马克维茨； 投资组合理论 一、马克维茨投资组合理论 马克维茨在1952年发表的《投资组合选择理论》打破了投资组合理论中只-方差模型。 表示证券i 在某一观测期的收益率，则(R )i E 与Var(R )i 为该证券的平时收益(R )i E 与Var(R )i 表示为： 同时，我们知道投资组合理论就是要将资金分配到不同的证券以减少风险所 同证券i 与另一证券j 的收益率之间的协方差为 ,R )i j ，则协方差可表示为：
当选定n 支股票；并对其进行投资，假定这n 支股票的投资比例是 12(x ,x , ,x )n X ，该投资组合为p ，期望收益率p E 与收益率方差2 p σ可以表示为： 在用某一时间内的收益率均值以及方程对实际的收益期望以及风险程度进行定量描述后，马克维茨设立了几点假设： （1）投资者都是理性的，也就是说他们都是尽量回避风险并且追逐利益。 （2）投资组合的确定与证券的收益与风险之外的因素无关。 （3）期望收益率的方差代表了证券的风险性。 （4）收益率的分布服从正态分布。 马克维茨其余以上假设，建立了资产配置的均值-方差模型，模型有两种，一是在收益率确定的情况下追求风险最小，二是在风险一定的情况下最求收益率最大，两种模型的表述如下： 0σ为事先确定的风险程度 0E 为事先确定的收益 均值-方差模型的求解本质上是一个二次规划问题的求解，但是如果证券的数量增多，计算量将会非常之大，这也是为什么投资组合理论长期以来经常被实际的投资者所冷落，因为对于个人投资者，选择证券较小的情况下还能够计算竟是十分复杂的，目前已经有一些软件进行相关的计算，但是在多个行业进行证券跟踪仍然是比较艰难的，下文将对中国股票市场中选择6支股票进行分析。 二、中国股票市场的实例分析 1、由下表，可知①出各股票的方差，②对A 、B 进行等权重投资时组合P 的 p β非系统风险(e )p Var 和总风险2 p σ；③当C 加入组合P 中，对A 、B 、C 实行等额
第四章马科维茨投资组合理论 马科维茨(Harry M.Markowitz,）1927年生于美国，1952年获芝加哥大学博士学位。他曾任职于兰德公司，后为纽约市立大学巴鲁齐学院教授。1990年因其在1952年提出的投资组合选择（Portfolio Selection)理论获得诺贝尔经济学奖。 Markowitz 诺贝尔奖演说结语 “Finally, I would like to add a comment concerning portfolio theory as a part of the micr oeconomics of action under uncertainty. It has not always been considered so. For example, when I defended my dissertation as a student in the Economics Department of the University of Chicago, Professor Milton Friedman argued that portfolio theory was not Economics, and that they could not award me a Ph.D. degree in Economics for a dissertation which was not in Economics. I assume that he was only half serious, since they did award me the degree without long debate. As to the merits of his arguments, at this point I am quite willing to concede: at the time I defended my dissertation, portfolio theory was not part of Economics. But now it is.” “当我作为芝加哥大学经济系的学生为我的博士论文答辩时，米尔顿·弗里德曼教授认为证券组合理论不是经济学，因而他们不能为一篇不是经济学的论文授予经济学的博士学位。我设想他并非十分认真，因为他们没有经过长时间的争论就已经同意授予我学位。至于他的论点的是非，在此我相当乐意让步：在我答辩我的博士论文的时候，证券组合理论不是经济学的一部分。但是它现在是了(But Now It Is.)” 主要贡献： 1.发展了一个在不确定条件下严格陈述的可操作的选择资产组合理论：均值方差方法Mean-Variance methodology. 2.这个理论演变成进一步研究金融经济学的基础，这一理论通常被认为是现代金融学的发端。 3.这一理论的问世，使金融学开始摆脱了纯粹的描述性研究和单凭经验操作的状态, 标志着数量化方法进入金融领域。马科维茨的工作所开始的数量化分析和MM理论中的无套利均衡思想相结合,酝酿了一系列金融学理论的重大突破。 主要思想： Markowitz 在投资组合选择理论中考虑的是这样一个问题： 如果一名投资者为减少风险而同时对多种股票进行投资，怎样的投资组合将是最好的？ 为此，Markowitz把投资组合的价格变化视为随机变量，以它的均值来衡量收益，以它的方差来衡量风险（因此Markowitz理论又称为均值－方差分析）；把投资组合中各种证券之间的比例作为变量，那么求收益一定的风险最小的投资组合问题就被归结为一个线性约束下的二次规划问题。再根据投资者的偏好，由此就可以进行投资决策。 基本假设： H1. 单期模型（A single period model），假设时间被分为两个（只有两个时期，本年＆下年）。 假定某一个人选择：本年消费和下年消费。 存在着一个交易本年消费和下年消费的市场。交易价格取决于市场供求力量。 H2. 所有投资都是完全可分的。每一个人可以根据自己的意愿（和支出能力）选择尽可能多的或尽可能少的投资。 H3. 一个投资者愿意仅在收益率的期望值和方差（标准差）这两个测度指标的基础上选择投资组合。 E=对一个投资组合的预期收益率 p σ=对一个投资组合的收益的标准差（不确定性） p H4. 投资者事先知道投资收益率的概率分布，并且收益率满足正态分布的条件。 Return of S&P Index
马克维茨投资理论浅析 数学与应用数学（金融数学） 陆文康 摘 要： 马克维茨投资祝贺理论是现代投资组合理论的开端，标志着投资组合理论1952年马 关键词：马克维茨； 投资组合理论 一、马克维茨投资组合理论 马克维茨在1952年发表的《投资组合选择理论》打破了投资组合理论中只有定性描-方差模型。 R 表示证券i 在某一观测期的收益率，则(R )i E 与Var(R )i 为该证券的平时收益率的(R )i E 与Var(R )i 表示为： 同时，我们知道投资组合理论就是要将资金分配到不同的证券以减少风险所以除了 同证券之间的协方差来i 与另一证券j 的收益率之间的协方差为Cov(R ,R )i j ，则协方差可表示为： 当选定n 支股票；并对其进行投资，假定这n 支股票的投资比例是12(x ,x ,,x )n X ，p ，期望收益率p E 与收益率方差2 p 可以表示为： 在用某一时间内的收益率均值以及方程对实际的收益期望以及风险程度进行定量描 （1）投资者都是理性的，也就是说他们都是尽量回避风险并且追逐利益。 （2）投资组合的确定与证券的收益与风险之外的因素无关。
（3）期望收益率的方差代表了证券的风险性。 （4）收益率的分布服从正态分布。 马克维茨其余以上假设，建立了资产配置的均值-方差模型，模型有两种，一是在收益率确定的情况下追求风险最小，二是在风险一定的情况下最求收益率最大，两种模型的表述如下： 0σ为事先确定的风险程度 0E 为事先确定的收益 均值-方差模型的求解本质上是一个二次规划问题的求解，但是如果证券的数量增多，计算量将会非常之大，这也是为什么投资组合理论长期以来经常被实际的投资者所冷落，因为对于个人投资者，选择证券较小的情况下还能够计算竟是十分复杂的，目前已经有一些软件进行相关的计算，但是在多个行业进行证券跟踪仍然是比较艰难的，下文将对中国股票市场中选择6支股票进行分析。 二、中国股票市场的实例分析 1、由下表，可知①出各股票的方差，②对A 、B 进行等权重投资时组合P 的p β非系 统风险(e )p Var 和总风险2 p σ；③当C 加入组合P 中，对A 、B 、C 实行等额投资是，新的组合'P 的'p β、非系统性风险'(e )p Var 和总风险'2p σ；④组合P 和'P 的风险变化。 ①由公式()i i i e 22 22σσβσ+=M 得： ②对A 、B 等权重投资时组合p 的 由公式()()()i n i i n i i e n e 22 1212p 21e σσχσ∑∑==?? ? ??==得： 由公式()222 2p p M p e σβσσ=+得： ③因为ABC 是等比例投资的，
投资组合理论简析：美国经济学家马考维茨(Markowitz)1952年首次提出投资组合理论（Portfolio Theory)，并进行了系统、深入和卓有成效的研究，他因此获得了诺贝尔经济学奖。该理论也称证券投资组合理论或资产组合理论。 马克维茨投资组合理论的基本假设为：(1)投资者是风险规避的，追求期望效用最大化；(2)投资者根据收益率的期望值与方差来选择投资组合；(3)所有投资者处于同一单期投资期。马克维茨提出了以期望收益及其方差(E，δ2)确定有效投资组合。 以期望收益E来衡量证券收益，以收益的方差δ2表示投资风险。资产组合的总收益用各个资产预期收益的加权平均值表示，组合资产的风险用收益的方差或标准差表示，则马克维茨优化模型如下： 式中：rp——组合收益； ri、rj——第i种、第j种资产的收益； wi、wj——资产i和资产j在组合中的权重； δ2(rp)——组合收益的方差即组合的总体风险； cov(r,rj)——两种资产之间的协方差。 马克维茨模型是以资产权重为变量的二次规划问题，采用微分中的拉格朗日方法求解，在限制条件下，使得组合风险铲δ2(rp)最小时的最优的投资比例Wi。从经济学的角度分析， 就是说投资者预先确定一个期望收益率，然后通过确定投资组合中每种资产的权重，使其总体投资风险最小，所以在不同的期望收益水平下，得到相应的使方差最小的资产组合解，这些解构成了最小方差组合，也就是我们通常所说的有效组合。有效组合的收益率期望和相应的最小方差之间所形成的曲线，就是有效组合投资的前沿。投资者根据自身的收益目标和风险偏好，在有效组合前沿上选择最优的投资组合方案。 根据马克维茨模型，构建投资组合的合理目标是在给定的风险水平下，形成具有最高收益率的投资组合，即有效投资组合。此外，马克维茨模型为实现最有效目标投资组合的构建提供了最优化的过程，这种最优化的过程被广泛地应用于保险投资组合管理中。在马可维茨的理论基础上又出现了致力于寻求新的度量标准和新的投资准则的现代投资组合理论：均值-V aR投资组合模型 最早应用V aR风险测量方法的是Jm Morgan公司，1994年10月JP Morgan公司开发 的“风险度量"(Riskmetrics)系统中提出了V aR风险测量方法；1995年4月，巴塞尔银 行监管委员会宣布商业银行的资本充足性要求必须建立在V aR基础上；1995年6月，美联储提出相似的预案；1995年12月，美国证券交易委员会建议上市交易的美国公司将V aR 值作为信息披露的一项指标。1996年8月，美国银行业监督管理委员会采用1988年巴塞 尔协议中提出的市场风险修正案(MAR)，市场风险修正案于1998年1月生效。该修正案 规定商业银行进行大宗交易时，其备用资本要超过其面临的市场风险，而市场风险资本备 用额根据V aR方法予以估计。2001年巴塞尔委员会进一步利用V aR对资本充足性作出了三项规定，此外，在美国，评估机构如穆迪与标准普尔、金融会计标准委员会及证券与交易委员会都采纳V aR方法，可见，迄今为止，V aR风险测量方法己经得到广泛的应用。 V aR英文为V alue-at-Risk，通常称为风险价值，其含义是“处于风险中的价值’’，指 在市场正常波动下，某一金融资产或证券组合的最大可能损失，更为精确的讲就是：在一定的概率水平下(置信度)，某一金融资产或证券组合在未来特定时间内的最大可能损失，
马科维茨的均值一方差组合模型 (重定向自均值方差模型) 马科维茨的均值一方差组合模型(Markowitz Mean-Variance Model，Markowitz Model简称MM) [编辑] 马科维茨的均值一方差组合模型简介 证券及其它风险资产的投资首先需要解决的是两个核心问题：即预期收益与风险。那么如何测定组合投资的风险与收益和如何平衡这两项指标进行资产分配是市场投资者迫切需要解决的问题。正是在这样的背景下，在50年代和60年代初，马可维兹理论应运而生。 [编辑] 马科维茨模型的假设条件 该理论依据以下几个假设： 1、投资者在考虑每一次投资选择时，其依据是某一持仓时间内的证券收益的概率分布。 2、投资者是根据证券的期望收益率估测证券组合的风险。 3、投资者的决定仅仅是依据证券的风险和收益。 4、在一定的风险水平上，投资者期望收益最大；相对应的是在一定的收益水平上，投资者希望风险最小。
根据以上假设，马可维兹确立了证券组合预期收益、风险的计算方法和有效边界理论，建立了资产优化配置的均值－方差模型： 目标函数：minб2(rp)=∑ ∑xixjCov(ri-rj) rp= ∑ xiri 限制条件：1=∑Xi （允许卖空） 或1=∑Xi xi>≥0（不允许卖空） 其中rp为组合收益，ri为第i只股票的收益，xi、xj为证券i、j的投资比例，б2(rp)为组合投资方差(组合总风险)，Cov (ri 、rj ) 为两个证券之间的协方差。该模型为现代证券投资理论奠定了基础。上式表明，在限制条件下求解Xi 证券收益率使组合风险б2(rp )最小，可通过朗格朗日目标函数求得。其经济学意义是，投资者可预先确定一个期望收益，通过上式可确定投资者在每个投资项目（如股票）上的投资比例（项目资金分配），使其总投资风险最小。不同的期望收益就有不同的最小方差组合，这就构成了最小方差集合。 [编辑] 马科维茨模型的意义 马科维茨的投资组合理论不仅揭示了组合资产风险的决定因素，而且更为重要的是还揭示了“资产的期望收益由其自身的风险的大小来决定”这一重要结论，即资产（单个资产和组合资产）由其风险大小来定价，单个资产价格由其方差或标准差来决定，组合资产价格由其协方差来决定。马可维茨的风险定价思想在他创建的“均值－方差”或“均值－标准差”二维空间中投资机会集的有效边界上表现得最清楚。下文在“均值－标准差”二维空间中给出投资机会集的有效边界，图形如下：
马克维茨投资组合选择
Portfolio Selection Harry Markowitz The Journal of Finance, Vol. 7, No. 1. (Mar., 1952), pp. 77-91. Stable URL: https://www.doczj.com/doc/c613108391.html,/sici?sici=0022-1082%28195203 %297%3A1%3C77%3APS%3E2.0.CO%3B2-1 The Journal of Finance is currently published by American Finance Association. Your use of the JSTOR archive indicates your acceptance of JSTOR's Terms and Conditions of Use, available at https://www.doczj.com/doc/c613108391.html,/about/terms.html. JSTOR's Terms and Conditions of Use provides, in part, that unless you have obtained prior permission, you may not download an entire issue of a journal or multiple copies of articles, and you may use content in the JSTOR archive only for your personal, non-commercial use. Please contact the publisher regarding any further use of this work. Publisher contact information may be obtained at