求递推数列通项公式的十种策略例析
递推数列的题型多样，求递推数列的通项公式的方法也非常灵活，往往可以通过适当的
策略将问题化归为等差数列或等比数列问题加以解决，亦可采用不完全归纳法的方法，由特殊情形推导出一般情形，进而用数学归纳法加以证明，因而求递推数列的通项公式问题成为了高考命题中颇受青睐的考查内容。笔者试给出求递推数列通项公式的十种方法策略，它们是：公式法、累加法、累乘法、待定系数法、对数变换法、迭代法、数学归纳法、换元法、不动点法、特征根的方法。仔细辨析递推关系式的特征，准确选择恰当的方法，是迅速求出通项公式的关键。
一、利用公式法求通项公式
例1 已知数列}a {n 满足n n 1n 23a 2a ?+=+，2a 1=，求数列}a {n 的通项公式。 解：n n 1n 23a 2a ?+=+两边除以1n 2+，得2
32
a 2
a n
n 1
n 1n +
=
++，则
2
32
a 2
a n
n 1
n 1n =
-
++，
故数列}2a {n
n 是以
12
22
a 1
1==
为首，以
2
3为公差的等差数列，由等差数列的通项公式，
得
2
3)
1n (12
a n
n -+=，所以数列}a {n 的通项公式为n
n 2)21n 2
3(a -
=。
评注：本题解题的关键是把递推关系式n n 1n 23a 2a ?+=+转化为2
32
a 2
a n
n 1
n 1n =
-
++，说明
数列}2
a {
n
n 是等差数列，再直接利用等差数列的通项公式求出
2
3)
1n (12
a n
n -+=，进而求出
数列}a {n 的通项公式。
二、利用累加法求通项公式
例2 已知数列}a {n 满足1a 1n 2a a 1n 1n =++=+，，求数列}a {n 的通项公式。 解：由1n 2a a n 1n ++=+
得1n 2a a n 1n +=-+
则112232n 1n 1n n n a )a a ()a a ()a a ()a a (a +-+-++-+-=---
1
)1n (2
n
)1n (21
)1n (]12)2n ()1n [(21
)112()122(]1)2n (2[]1)1n (2[+-+-?
=+-++++-+-=++?++?+++-++-=
所以数列}a {n 的通项公式为2n n a =
评注：本题解题的关键是把递推关系式1n 2a a n 1n ++=+转化为1n 2a a n 1n +=-+，进而求出112232n 1n 1n n a )a a ()a a ()a a ()a a (+-+-++-+---- ，即得数列}a {n 的通项公式。
例3 已知数列}a {n 满足3a 132a a 1n n 1n =+?+=+，，求数列}a {n 的通项公式。 解：由132a a n n 1n +?+=+ 得132a a n n 1n +?=-+
则112232n 1n 1n n n a )a a ()a a ()a a ()a a (a +-+-++-+-=---
3
)1n ()3333
(23
)132()132()13
2()132(1
2
2
n 1
n 1
22
n 1
n +-+++++=++?++?+++?++?=----
所以1n 3
2n 3
13
32a n
n
n -+=++--?
=
评注：本题解题的关键是把递推关系式132a a n n 1n +?+=+转化为
13
2a a n
n 1n +?=-+，进而求出112232n 1n 1n n a )a a ()a a ()a a ()a a (+-+-++-+---- ，
即得数列}a {n 的通项公式。
例4 已知数列}a {n 满足3a 132a 3a 1n n 1n =+?+=+，，求数列}a {n 的通项公式。 解：132a 3a n n 1n +?+=+两边除以1n 3+，得
1
n n
n 1
n 1n 31323
a 3
a +++++=
， 则1
n n
n
1
n 1n 3
13
23a 3a ++++
=
-
，
故
3
a )3
a 3
a (
)3
a 3
a (
)3
a a a (
)a a 3
a (
3
a 11
12
23
n 3n 2
n 2n 2
n 2n 1
n 1n 1
n 1n n
n
n
n
+
-
++-
+-
+-
=----------
3
3)3
132()313
2()3
132()3
1
3
2(2
2
n 1n n
+
++++++++
=--
1)3
13
1
3
13
13
1(
3
)
1n (22
2
n 1n n n
++
++
+
+
+-=
--
因此
n
1
n n
n
n
3
212
13
n 2131)3
1(3
1
3
)
1n (23
a ?-
+
=
+--?+
-=
-，
则21
3213n 32a n n n -?+??=
评注：本题解题的关键是把递推关系式132a 3a n n 1n +?+=+转化为
1
n n
n 1
n 1n 3
13
23a 3
a ++++=
-，进而求出)3
a 3
a (
)3
a 3
a (
)3
a 3
a (
3
n 3n 2
n 2n 2
n 2n 1
n 1n 1
n 1n n
n -----------
+-
+-
+…
+3
a )3
a 3
a (
1112
2+-，即得数列}3
a {
n
n 的通项公式，最后再求数列}a {n 的通项公式。
三、利用累乘法求通项公式
例5 已知数列}a {n 满足3a a 5)1n (2a 1n n 1n =?+=+，，求数列}a {n 的通项公式。 解：因为3a a 5)1n (2a 1n n 1n =?+=+，，所以0a n ≠，则n
n
1n 5)1n (2a a +=+，
则11
22
32
n 1n 1
n n n a a a a a a a a a a ???
??=
---
3]5)11(2[]5)12(2[]5)12n (2[]5)11n (2[122n 1n ??+???+?+-?+-=-- 35]23)1n (n [212)2n ()1n (1n ?????-??=+++-+-- 所以数列}a {n 的通项公式为
!n 5
2
3a 2
)
1n (n 1
n n ???=--
评注：本题解题的关键是把递推关系n n 1n a 5)1n (2a ?+=+转化为n
n
1n 5)1n (2a a +=+，进
而求出
11
22
32
n 1n 1
n n a a a a a a a a a ???
??--- ，即得数列}a {n 的通项公式。
例6 （2004年全国15题）已知数列}a {n 满足)1n (a 3a 2a a 1a 321n 1-++++== ，
)2n (a )1n (1n ≥-+-，则}a {n 的通项???
??≥==2n 2
!
n 1
n 1a n
，，
解：因为)2n (a )1n (a 3a 2a a 1n 321n ≥-++++=- ① 所以n 1n 3211n na a )1n (a 3a 2a a +-++++=-+ ② 所以②式－①式得n n 1n na a a =-+ 则)2n (a )1n (a n 1n ≥+=+ 则
)2n (1n a a n
1n ≥+=+ 所以22
32
n 1n 1
n n n a a a a a a a a ??
??=
---
22a 2
!
n a ]34)1n (n [?=????-=
③ 由)2n (a )1n (a 3a 2a a 1n 32
1n ≥-++++=- ，取n=2得212a 2a a +=，则12a a =，
又知1a 1=，则1a 2=，代入③得
2
!n n 5431a n =
?????= 。
评注：本题解题的关键是把递推关系式)2n (a )1n (a n 1n ≥+=+转化为1n a a n
1n +=+（n ≥
2），进而求出
22
32
n 1n 1
n n a a a a a a a ??
??--- ，
从而可得当n ≥2时n a 的表达式，最后再求出数列}a {n 的通项公式。
四、利用待定系数法求通项公式
例7 已知数列}a {n 满足6a 53a 2a 1n n 1n =?+=+，，求数列}a {n 的通项公式。 解：设)5x a (25x a n n 1n 1n ?+=?+++
④
将n n 1n 53a 2a ?+=+代入④式，得n n 1n n n 5x 2a 25x 53a 2?+=?+?++，等式两边消去
n a 2，得n
1
n n
5x 25
x 53?=?+?+，两边除以n
5，得x 25x 3=?+，则x=－1，代入④式，
得)5a (25a n n 1n 1n -=-++
⑤
由1565a 1
1=-=-≠0及⑤式，得05a n
n ≠-，则
25
a 5a n
n 1n 1n =--++，则数列}
5a {n n -是以15a 11=-为首项，以2为公比的等比数列，则1n n n 215a -?=-，故n 1n n 52a +=-。
评注：本题解题的关键是把递推关系式n n 1n 53a 2a ?+=+转化为
)5a (25
a n n 1
n 1n -=-++，从而可知数列}5a {n n -是等比数列，进而求出数列}5a {n
n -的
通项公式，最后再求出数列}a {n 的通项公式。
例8 已知数列}a {n 满足1a 425a 3a 1n n 1n =+?+=+，，求数列}a {n 的通项公式。 解：设)y 2x a (3y 2x a n n 1n 1n +?+=+?+++ ⑥
将425a 3a n n 1n +?+=+代入⑥式，得
)y 2
x a (3y 2
x 42
5a 3n
n 1
n n
n +?+=+?++?++
整理得y 32x 3y 42)x 25(n n +?=++?+。 令??
?=+=+y
3y 4x 3x 25，则??
?==2
y 5x ，代入⑥式，得
)22
5a (3225a n
n 1
n 1n +?+=+?+++ ⑦
由013121225a 11≠=+=+?+及⑦式， 得0225a n
n ≠+?+，则
32
2
5a 2
25a n
n 1n 1n =+?++?+++，
故数列}225a {n n +?+是以13121225a 11=+=+?+为首项，以3为公比的等比数列，因此1n n n 313225a -?=+?+，则225313a n 1n n -?-?=-。
评注：本题解题的关键是把递推关系式425a 3a n n 1n +?+=+转化为
)22
5a (322
5a n
n 1
n 1n +?+=+?+++，从而可知数列}22
5a {n
n +?+是等比数列，进而求出
数列}225a {n n +?+的通项公式，最后再求数列}a {n 的通项公式。
例9 已知数列}a {n 满足1a 5n 4n 3a 2a 12n 1n =++?+=+，，求数列}a {n 的通项公式。 解：设z )1n (y )1n (x a 21n ++++++ )z yn x n
a (22
n +++=
⑧
将5n 4n 3a 2a 2n 1n ++?+=+代入⑧式，得
z )1n (y )1n (x 5n 4n
3a 22
2
n +++++++??+
)z yn x n
a (22
n +++=，则
z
2yn 2x n
2a 2)
5z y x (n )4y x 2(n )x 3(a 22
n 2
n +++=+++++++++
等式两边消去n a 2，得z 2yn 2x n
2)5z y x (n )4y x 2(n )x 3(2
2++=++++++++，
则得方程组?????=+++=++=+z
25z y x y 24y x 2x 2x 3，则???
??===18z 10y 3
x ，代入⑧式，得
18)1n (10)1n (3a 2
1n ++++++)18n 10n
3a (22
n +++= ⑨
由0323111811013a 21≠=+=+?+?+及⑨式，得
018n 10n
3a 2
n ≠+++
则
2
18
n 10n
3a 18
)1n (10)1n (3a 2
n 21n =+++++++++，故数列}18n 10n 3a {2n +++为以
323111811013a 2
1=+=+?+?+为首项，以2为公比的等比数列，因此
1
n 2
n 2
3218n 10n
3a -?=+++，则18n 10n 32a 24n n ---=+。
评注：本题解题的关键是把递推关系式5n 4n 3a 2a 2n 1n ++?+=+转化为
)
18n 10n 3a (218)1n (10)1n (3a 2
n 2
1n +++=++++++，从而可知数列
}18n 10n
3a {2
n +++是等比数列，进而求出数列}18n 10n
3a {2
n +++的通项公式，最后再
求出数列}a {n 的通项公式。
五、利用对数变换法求通项公式
例10 已知数列}a {n 满足5n n 1n a 32a ?=+，7a 1=，求数列}a {n 的通项公式。
解：因为7a a 32a 15n n 1n =?=+，，所以0a 0a 1n n >>+，。在5n
n 1n a 32a ?=+式两边取常用对数得2lg 3lg n a lg 5a lg n 1n ++=+ ⑩
设)y x n a (lg 5y )1n (x a lg n 1n ++=++++ ○
11 将⑩式代入○11式，得)y x n a (lg 5y )1n (x 2lg 3lg n a lg 5n
n ++=+++++，两边消去n a lg 5并整理，得y 5x n 52lg y x n )x 3(lg +=++++，则
??
?=++=+y 52lg y x x 5x 3lg ，故???
????+==42lg 163lg y 4
3lg x 代入○11式，得4
2lg 16
3lg )1n (43lg a lg 1n +
+++
+
)4
2
lg 163lg n 43
lg a (lg 5n +
+
+
=
○
12 由042
lg 163lg 143lg 7lg 42lg 163lg 143lg a lg 1≠++?+=++?+及○
12式， 得042
lg 163lg n 43lg a lg n ≠+++，
则54
2
lg 163lg n 43lg a lg 42
lg 163lg )1n (43lg a lg n 1n =+
+?++
++++， 所以数列}42lg 163lg n 43lg a {lg n +++是以4
2
lg 163lg 43lg 7lg +
++为首项，以5为公比的等比数列，则1
n n 5
)42lg 163lg 43lg 7(lg 42lg 163lg n 43lg a lg -+++=+++，因此4
2lg 6
3lg n 4
3lg 5
)4
2lg 16
3lg 4
3lg 7(lg a lg 1
n n -
-
-
+
+
+
=-1
n 41
6
14
15
)2lg 3
lg 3
lg 7(lg -+++==
??-???=----)233l g (5
)]2337[lg(2lg 3lg 3lg 41
161
4n
1n 41
161
41
41
161
4n
1
n 41
161
41
5
)2337lg(-???)
2
3
7l g (
)2
3
3
7l g (
)233l g (4
1
5
16
1n 4n 51
n 54
1
5
16
15
4
n 5
1n 541
161
4n
1
n 1
n 1
n 1
n ------------??=???=??-，则
4
1
5
16
1
n 4n 55
n 1
n 1
n 2
3
7
a -----??=。
评注：本题解题的关键是通过对数变换把递推关系式5n n 1n a 32a ?=+转化为
)
4
2lg 16
3lg n 4
3lg a (lg 54
2lg 163
lg )1n (4
3lg a lg n 1n +++
=+
++++，从而可知数列
}4
2lg 16
3lg n 4
3lg a {lg n +
+
+
是等比数列，进而求出数列}4
2lg 16
3lg n 43lg a {lg n ++
+
的通项
公式，最后再求出数列}a {n 的通项公式。
六、利用迭代法求通项公式
例11 已知数列}a {n 满足5a a a 12
)1n (3n 1n n
==++，，求数列}a {n 的通项公式。 解：因为n
2
)1n (3n
1n a a ++=，所以 1
n 2
n 1
n 2
n 32
)1n (32
n 2
n 31
n n ]
a [a a ---??--?-==
2
)
1n (n 1
n )
1n ()2n ()3n (211
n )
1n ()2n ()3n (3
)
1n ()2n (23
n )
1n ()2n (22
!n 31
2
n )1n ()2n (32312n )1n )(2n (33
n 2
n )1n (32)2n (33
n 2n )1n (32n a
a a
]
a [a
---+-+-+++--+-+--+---+-????-?-???---??-?--??--======
又5a 1=，所以数列}a {n 的通项公式为2
)
1n (n 1
n 2
!n 3
n 5a --??=。
评注：本题还可综合利用累乘法和对数变换法求数列的通项公式，即先将等式
n
2
)1n (3n
1n a a ++=两边取常用对数得n n 1n a lg 2)1n (3a lg ?+=+，即
n
n
1n 2)1n (3a lg a lg ?+=+，再由
累乘法可推知2
)
1n (n 1
n 2
!n 3
11
22
32
n 1n 1
n n n 5
lg a lg a lg a lg a lg a lg a lg a lg a lg a lg a lg --??---=???
??=
，从而
2
)1n (n 2
!n 3
n 1
n 5
a -??-=
七、利用数学归纳法求通项公式 例12 已知数列}a {n 满足9
8a )
3n 2()1n 2()1n (8a a 12
2
n 1n =
++++=+，，求数列}a {n 的通项
公式。
解：由2
2
n 1n )
3n 2()1n 2()1n (8a a ++++
=+及9
8a 1=
，得
22
12)
312()112()
11(8a a +?+?++
=
25
2425
9289
8=??+
=
49
4849
253825
24)
322()122()
12(8a a 2
2
23=??+
=+?+?++=
81
8081
494849
48)
332()132()
13(8a a 2
2
34=??+
=+?+?++=
由此可猜测22
n )
1n 2(1)1n 2(a +-+=
，往下用数学归纳法证明这个结论。
（1）当n=1时，9
8)
112(1)112(a 2
2
1=
+?-+?=
，所以等式成立。
（2）假设当n=k 时等式成立，即2
2
k )
1k 2(1)1k 2(a +-+=
，则当1k n +=时，
2
2k 1k )
3k 2()1k 2()1k (8a a ++++
=+
2
2
2
22
22
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2)3k 2()1k 2()
1k 2()3k 2()1k 2()
3k 2()1k 2()
1k (8)
3k 2()3k 2()1k 2()
3k 2()1k 2()
1k (8)
3k 2](1)1k 2[()
3k 2()1k 2()1k (8)
1k 2(1)1k 2(+++-++=
+++++-++=
+++++-+=
++++
+-+=
2
2
22
]
1)1k (2[1]1)1k (2[)
3k 2(1)3k 2(++-++=
+-+=
由此可知，当n=k+1时等式也成立。
根据（1）（2）可知，等式对任何*N n ∈ 评注：本题解题的关键是通过首项和递推关系式先求出数列的前n 项，进而猜出数列的通项公式，最后再用数学归纳法加以证明。
八、利用换元法求通项公式 例13 已知数列}a {n 满足1a )a 241a 41(161a 1n n 1n =++
+=+，，求数列}a {n 的通项
公式。
解：令n n a 241b +=，则)1b (24
1a 2
n n -= 故)1b (24
1a 2
1n 1n -=
++，代入)a 241a 41(16
1a n n 1n ++
+=
+得
]b )1b (24
141[161)1b (24
1n 2
n 2
1n +-?
+=
-+
即2
n 21
n )3b (b
4+=+
因为0a 241b n n ≥+=，故0a 241b 1n 1n ≥+=++ 则3b b 2n 1n +=+，即2
3b 21b n 1n +
=+，
可化为)3b (2
13b n 1n -=
-+，
所以}3b {n -是以2312413a 2413b 11=-?+=-+=-为首项，以
2
1为公比的等比
数列，因此2n 1n n )2
1
()2
1
(23b --=?=-，则2n n )2
1
(b -=+3，即3)2
1
(a 2412n n +=+-，得
31)21()41(32a n n n ++=
。 评注：本题解题的关键是通过将n a 241+的换元为n b ，使得所给递推关系式转化
2
3b 2
1b n 1n +
=
+形式，从而可知数列}3b {n -为等比数列，进而求出数列}3b {n -的通项公
式，最后再求出数列}a {n 的通项公式。
九、利用不动点法求通项公式 例14 已知数列}a {n 满足4a 1
a 424a 21a 1n n 1n =+-=+，，求数列}a {n 的通项公式。
解：令1
x 424x 21x +-=
，得024x 20x 42=+-，则3x 2x 21==，是函数1x 424x 21)x (f +-=
的两个不动点。因为
9
1327
a 926a 13)
1a 4(324a 21)1a 4(224a 213
1
a 424a 212
1a 424a 213
a 2a n n n n n n n n n n 1n 1n =
--=
+--+--=-+--+-=--++。
3a 2a n n --，所以数列}3
a 2a {
n n --是以
23
4243
a 2a 11=--=
--为首项，以
9
13为公比的等比数列，故
3
a 2a n n --1
n )
913(
2-=，则31
)
913(
21a 1
n n +-=
-。 评注：本题解题的关键是先求出函数1x 424
x 21)x (f +-=的不动点，即方程1
x 424
x 21x +-=
的
两个根3x 2x 21==，，进而可推出3a 2a 9133a 2a n n 1
n 1n --?=--++，从而可知数列}3
a 2
a {n n --为等比数
列，再求出数列}3
a 2a {
n n --的通项公式，最后求出数列}a {n 的通项公式。
例15 已知数列}a {n 满足2a 3
a 22a 7a 1n n 1n =+-=+，，求数列}a {n 的通项公式。
解：令3
x 22
x 7x +-=，得02x 4x 22=+-，则x=1是函数)x (f 7
x 41x 3+-=的不动点。
因为3a 25
a 513a 22a 71a n n n n 1
n +-=
-+-=-+，所以 =-+1a 11n 521a 1)1a 25
1(521a 23
a 5
25
a 53a 2n n n
n n n +-=-+=-+?=
-+，所以数列}1
a 1{n -是以
11
211
a 11=-=
-为首项，
以5
2为公差的等差数列，则
5
2)1n (11
a 1n ?
-+=-，故3
n 28n 2a n ++=
。
评注：本题解题的关键是先求出函数7
x 41x 3)x (f +-=
的不动点，即方程3
x 22x 7x +-=
的根
1x =，进而可推出
5
21
a 11
a 1n 1n +
-=
-+，从而可知数列}1
a 1{n -为等差数列，再求出数列
}1
a 1{
n -的通项公式，最后求出数列}a {n 的通项公式。
十、利用特征根法求通项公式
例16 已知数列}a {n 满足1a a )2n (a a 3a 211n n 1n ==≥-=-+，，求数列}a {n 的通项公式。
解：)2n (a a 3a 1n n 1n ≥-=-+的相应特征方程为0132=+λ-λ，解之求特征根是
25
325321-=
λ+=
λ，，所以2
5
3c 2
5
3c a 21n -?
++?
=。
由初始值1a a 21==，得方程组
??
?
???
?-++=-++=2
2211
21
1)
2
5
3(
c )253(c 1)
253(c )253(c 1
求得??
?
????+=-=5525c 55
25c 21
从而n
n n )2
53(5525)253(5525a -+++-=
。 评注：本题解题的关键是先求出特征方程的根。再由初始值确定出21c c ，，从而可得数列}a {n 的通项公式。
求递推数列的通项公式的十一种方法 利用递推数列求通项公式，在理论上和实践中均有较高的价值.自从二十世纪八十年代以来，这一直是全国高考和高中数学联赛的热点之一. 一、作差求和法例1 在数列{n a }中，31=a ,) 1(1 1++=+n n a a n n ，求通项公式n a . 解：原递推式可化为：1111+- + =+n n a a n n 则,211112-+=a a 3 1 2123-+=a a 413134-+=a a ，……，n n a a n n 1111--+=-逐项相加得：n a a n 111-+=.故n a n 1 4-=. 二、作商求和法 例2 设数列{n a }是首项为1的正项数列，且0)1(12 2 1=+-+++n n n n a a na a n （n=1,2,3…），则它的通项公式是n a =▁▁▁（2000年高考15题） 解：原递推式可化为： )]()1[(11n n n n a a na a n +-+++=0 ∵ n n a a ++1＞0， 1 1+=+n n a a n n 则 ,43,32,21342312===a a a a a a ……，n n a a n n 11-=- 逐项相乘得：n a a n 11=，即n a =n 1 . 三、换元法 例3 已知数列{n a }，其中913,3421== a a ，且当n ≥3时，)(3 1 211----=-n n n n a a a a ，求通项公式n a （1986年高考文科第八题改编）. 解：设11---=n n n a a b ，原递推式可化为： }{,3121n n n b b b --=是一个等比数列，9134913121=-=-=a a b ，公比为31 .故 n n n n b b )31()31(91)31(2211==?=---.故n n n a a )31(1=--.由逐差法可得：n n a )3 1 (2123-=. 例4已知数列{n a }，其中2,121==a a ，且当n ≥3时，1221=+---n n n a a a ，求通项公式n a 。解 由1221=+---n n n a a a 得：1)()(211=------n n n n a a a a ，令11---=n n n a a b ，则上式为 121=---n n b b ，因此}{n b 是一个等差数列，1121=-=a a b ，公差为1.故n b n =.。 由于112312121-=-++-+-=+++--n n n n a a a a a a a b b b 又2 ) 1(121-=+++-n n b b b n 所以)1(211-= -n n a n ，即)2(2 1 2+-=n n a n
递推数列通项求解方法举隅 类型一：1n n a pa q +=+（1p ≠） 思路1（递推法）：()123()n n n n a pa q p pa q q p p pa q q q ---??=+=++=+++=?? ……121(1n p a q p p -=++++…211)11n n q q p a p p p --??+=+ ?+ ? --??。 思路2（构造法）：设()1n n a p a μμ++=+，即()1p q μ-=得1 q p μ= -，数列{}n a μ+是以1a μ+为首项、p 为公比的等比数列，则1 111n n q q a a p p p -??+ =+ ?--?? ，即1111n n q q a a p p p -??=++ ? --?? 。 例1 已知数列{}n a 满足123n n a a -=+且11a =，求数列{}n a 的通项公式。 解：方法1（递推法）： ()123232(23)3222333n n n n a a a a ---??=+=++=+++=??…… 1223(122n -=++++ (211) 332)12232112n n n --+??+=+?+=- ? --?? 。 方法2（构造法）：设()12n n a a μμ++=+，即3μ=，∴数列{}3n a +是以134a +=为首项、2为公比的等比数列，则1 1342 2n n n a -++=?=，即123n n a +=-。 类型二：1()n n a a f n +=+ 思路1（递推法）： 123(1)(2)(1)(3)(2)(1)n n n n a a f n a f n f n a f n f n f n ---=+-=+-+-=+-+-+-= …1 11 ()n i a f n -==+ ∑。
求数列通项公式的方法 一、公式法 例1 已知数列{}n a 满足1232n n n a a +=+?，12a =，求数列{}n a 的通项公式。 解：1232n n n a a +=+?两边除以12n +，得 113222n n n n a a ++=+，则113222n n n n a a ++-=，故数列{}2 n n a 是以1222 a 1 1==为首项，以23 为公差的等差数列，由等差数列的通项公式，得31(1)22n n a n =+-，所以数列{}n a 的通项公式为31()222 n n a n =-。 评注：本题解题的关键是把递推关系式1232n n n a a +=+?转化为 11 3 222 n n n n a a ++-=，说明数列{}2n n a 是等差数列，再直接利用等差数列的通项公式求出31(1)22 n n a n =+-，进而求出数列{}n a 的通项公式。 二、累加法 例2 已知数列{}n a 满足1121 1n n a a n a +=++=，，求数列{}n a 的通项公式。 解：由121n n a a n +=++得121n n a a n +-=+则 11232211 2 ()()()()[2(1)1][2(2)1](221)(211)1 2[(1)(2)21](1)1 (1)2(1)1 2 (1)(1)1n n n n n a a a a a a a a a a n n n n n n n n n n n ---=-+-++-+-+=-++-+++?++?++=-+-++++-+-=+-+=-++=L L L 所以数列{}n a 的通项公式为2 n a n =。 评注：本题解题的关键是把递推关系式121n n a a n +=++转化为121n n a a n +-=+，进而求出11232211()()()()n n n n a a a a a a a a a ----+-++-+-+L ，即得数列{}n a 的通项公式。
数列复习课（3）———常见递推数列通项公式的求法 主备人：刘莉苹 组长：李英 时间：2013-9-16 教学目标： 1.通过求出数列前几项，了解递推公式是给出数列的一种方法，并能根据特殊的递推公式求出数列的通项公式. 2.掌握把一些简单的数列变形转化为等差数列、等比数列的方法，体验解决数列问题的基本方法及理解运用的过程. 教学重点：处理递推关系的基本方法. 教学难点：通过变形转化成等差、等比数列的有关问题. 研讨互助 问题生成 引入新课： 由递推公式求数列的通项公式的类型： （1） （2） （3） （4）()n f pa a n n +=+1型数列（p 为常数） （5）n n n qa pa a +=++12（其中p ，q 均为常数）。 （6）递推公式为n S 与n a 的关系式()n n S f a = 即n a 与n s 的关系11(1)(2)n n n s n a s s n -=?=?-≥? （7）r n n pa a =+1)0,0(>>n a p （8）) ()()(1n h a n g a n f a n n n +=+ （9）周期型 思考：各类型通项公式的求法？ 合作探究 问题解决 类型1 )(1n f a a n n +=+ 解法：把原递推公式转化为)(1n f a a n n =-+，利用累加法(逐差相加法)求解。 例1. 在数列{}n a 中,112,21,.n n n a a a n a +==+-求 1() n n a a f n +=+1() n n a a f n +=?1(0,1) n n a pa q p p +=+≠≠
变式: 1. 已知数列{}n a 满足211=a ，112 n n a a +=+，求n a . 2.若数列{}n b 满足11b =，112n n n b b +??-= ???(1)n ≥，求数列{}n b 的通项公式. 3.已知数列{}n a 满足211= a ，n n a a n n ++=+211，求n a 类型2 n n a n f a )(1=+ 解法：把原递推公式转化为 )(1n f a a n n =+，利用累乘法(逐商相乘法)求解。 例2:已知数列{}n a 满足321= a ，n n a n n a 11+=+，求n a 。 变式： 1. 已知31=a ，132n n a a += ，求n a 。 2.已知31=a ，n n a n n a 23131 +-=+ )1(≥n ，求n a 。
递推数列通项求解方法 类型一：1n n a pa q += +（1p ≠） 思路1（递推法）：()123()n n n n a pa q p pa q q p p pa q q q ---??=+=++=+++=?? ......121(1n p a q p p -=++++ (2) 1 1)11n n q q p a p p p --??+=+?+ ? --?? 。 思路2（构造法）：设()1n n a p a μμ++=+，即()1p q μ-=得1 q p μ= -，数列 {}n a μ+是以1a μ+为首项、p 为公比的等比数列，则1 111n n q q a a p p p -??+ =+ ?--??，即1111n n q q a a p p p -??=++ ? --?? 。 例1 已知数列{}n a 满足123n n a a -=+且11a =，求数列{}n a 的通项公式。 解：方法1（递推法）： ()123232(23)3222333n n n n a a a a ---??=+=++=+++=?? (1) 22 3(122n -=++++ (2) 11 332 )12232112n n n --+??+=+?+=- ? --? ?。 方法2（构造法）：设()12n n a a μμ++=+，即3μ=，∴数列{}3n a +是以134 a +=为首项、2为公比的等比数列，则113422n n n a -++=?=，即1 23n n a +=-。
1n n +思路1（递推法）： 123(1)(2)(1)(3)(2)(1)n n n n a a f n a f n f n a f n f n f n ---=+-=+-+-=+-+-+-= …1 11 ()n i a f n -==+∑。 思路2（叠加法）：1(1)n n a a f n --=-，依次类推有：12(2)n n a a f n ---=-、 23(3)n n a a f n ---=-、…、21(1)a a f -=，将各式叠加并整理得1 11 ()n n i a a f n -=-= ∑ ，即 1 11 ()n n i a a f n -==+ ∑ 。 例2 已知11a =，1n n a a n -=+，求n a 。 解：方法1（递推法）：123(1)(2)(1)n n n n a a n a n n a n n n ---=+=+-+=+-+-+= ......1[23a =+++ (1) (1)(2)(1)]2 n i n n n n n n =++-+-+= = ∑ 。 方法2（叠加法）：1n n a a n --=，依次类推有：121n n a a n ---=-、232n n a a n ---=-、…、 212a a -=，将各式叠加并整理得12 n n i a a n =-= ∑ ，12 1 (1)2 n n n i i n n a a n n ==+=+ = = ∑ ∑ 。
专题 由递推关系求数列的通项公式 一、目标要求 通过具体的例题，掌握由递推关系求数列通项的常用方法： 二、知识梳理 求递推数列通项公式是数列知识的一个重点，也是一个难点，高考也往往通过考查递推数列来考查学生对知识的探索能力，求递推数列的通项公式一般是将递推公式变形，推得原数列是一种特殊的数列或原数列的项的某种组合是一种特殊数列，把一些较难处理的数列问题化为熟悉的等差或等比数列。 三、典例精析 1、公式法：利用熟知的公式求通项公式的方法称为公式法。常用的公式有???≥???????-=????????????????=-21 11n S S n S a n n n 及 等差数列和等比数列的通项公式。 例1 已知数列{n a }中12a =，2 +2n s n =，求数列{n a }的通项公式 评注 在运用1n n n a s s -=-时要注意条件2n ≥，对n=1要验证。 2、累加法：利用恒等式()()1211+......+n n n a a a a a a -=+--求通项公式的方法叫累加法。它是求型如 ()1+f n n n a a +=的递推数列的方法（其中数列(){}f n 的前n 项和可求）。 例2 已知数列{n a }中112a =，121 ++32 n n a a n n +=+，求数列{n a }的通项公式 评注 此类问题关键累加可消中间项，而(f n ）可求和则易得n a 3、.累乘法：利用恒等式3 21121 n n n a a a a a a a a -=? ???????()0n a ≠求通项公式的方法叫累乘法。它是求型如()1n n a g n a +=的递推数列的方法(){}() g n n 数列可求前项积
已知数列递推公式求通项公式的几种方法 Revised on November 25, 2020
求数列通项公式的方法 一、公式法 例1 已知数列{}n a 满足1232n n n a a +=+?，12a =，求数列{}n a 的通项公式。 解：1232n n n a a +=+?两边除以12n +，得 113222n n n n a a ++=+，则11 3 222 n n n n a a ++-=，故数列{}2n n a 是以1222 a 1 1==为首项，以23 为公差的等差数列，由等差数列的通项公式，得31(1)22n n a n =+-，所以数列{}n a 的通项公式为31()222n n a n =-。 评注：本题解题的关键是把递推关系式1232n n n a a +=+?转化为 11 3 222 n n n n a a ++-=，说明数列{}2 n n a 是等差数列，再直接利用等差数列的通项公式求出3 1(1) 22n n a n =+-，进而求出数列{}n a 的通项公式。 二、累加法 例2 已知数列{}n a 满足11211n n a a n a +=++=，，求数列{}n a 的通项公式。 解：由121n n a a n +=++得121n n a a n +-=+则 所以数列{}n a 的通项公式为2n a n =。 评注：本题解题的关键是把递推关系式121n n a a n +=++转化为 121n n a a n +-=+，进而求出11232211()()()()n n n n a a a a a a a a a ----+-+ +-+-+， 即得数列{}n a 的通项公式。 例3 已知数列{}n a 满足112313n n n a a a +=+?+=，，求数列{}n a 的通项公式。 解：由1231n n n a a +=+?+得1231n n n a a +-=?+则 所以3 1.n n a n =+-
常见递推数列通项公式的求法典型例题及习题 【典型例题】 [例1] b ka a n n +=+1型。 （1）1=k 时，}{1n n n a b a a ?=-+是等差数列，)(1b a n b a n -+?= （2）1≠k 时，设)(1m a k m a n n +=++ ∴ m km ka a n n -+=+1 比较系数：b m km =- ∴ 1-= k b m ∴ }1{-+ k b a n 是等比数列，公比为k ，首项为11-+k b a ∴ 11)1(1-?-+=-+ n n k k b a k b a ∴ 1)1(11--?-+=-k b k k b a a n n [例2] )(1n f ka a n n +=+型。 （1）1=k 时，)(1n f a a n n =-+，若)(n f 可求和，则可用累加消项的方法。 例：已知}{n a 满足11=a ，)1(1 1+= -+n n a a n n 求}{n a 的通项公式。 解： ∵ 11 1)1(11+- =+= -+n n n n a a n n ∴ n n a a n n 1111--= -- 112121---=---n n a a n n 21 3132-- -=---n n a a n n …… 312123-= -a a 2 1112-=-a a
对这（1-n ）个式子求和得： n a a n 111- =- ∴ n a n 1 2- = （2）1≠k 时，当b an n f +=)(则可设)()1(1B An a k B n A a n n ++=++++ ∴ A B k An k ka a n n --+-+=+)1()1(1 ∴ ???=--=-b A B k a A k )1()1( 解得： 1-= k a A ，2)1(1-+-=k a k b B ∴ }{B An a n ++是以B A a ++1为首项，k 为公比的等比数列 ∴ 1 1)(-?++=++n n k B A a B An a ∴ B An k B A a a n n --?++=-11)( 将A 、B 代入即可 （3）n q n f =)(（≠q 0，1） 等式两边同时除以1 +n q 得q q a q k q a n n n n 1 11+?=++ 令 n n n q a C = 则q C q k C n n 1 1+ =+ ∴ }{n C 可归为b ka a n n +=+1型 [例3] n n a n f a ?=+)(1型。 （1）若)(n f 是常数时，可归为等比数列。 （2）若)(n f 可求积，可用累积约项的方法化简求通项。 例：已知： 311= a ，1 121 2-+-=n n a n n a （2≥n ）求数列}{n a 的通项。 解：123537532521232121212233 2211+= ?--?--?+-=???-----n n n n n n n a a a a a a a a a a n n n n n n ΛΛ ∴ 1 211231+= +? =n n a a n
考点20 递推公式求通项（第二课时） 【题组一 构造等差数列】 1．在数列中，若，，则 。 {}n a 12a =()*121 n n n a a n a += ∈+N n a = 2．若数列中，，则这个数列的 。 {}n a 11113n n n a a a a ，+== +n a = 3．已知数列满足 ，则数列的通项公式_______． {}n a ()* 112,222,n n n a a a n n N -==+≥ò{}n a n a =
4．在数列中，，且满足，则＝________ {}n a 13 2a = 11 3(2)32n n n a a n a --=≥+n a 【题组二 构造等比数列】 1．已知数列中，，则数列通项公式为_____． {}n a () * 111,34,2n n a a a n N n -==+∈≥且{}n a
2.在数列{a n}中，a1＝3，且点P n(a n，a n＋1)(n∈N*)在直线4x－y＋1＝0上，则数列{a n}的通项公式为________． 3．在数列{a n}中，a1＝3，a n+1＝2a n﹣1（n∈N*），则数列{a n}的通项公式为。
4．已知数列满足，，则等于 。 {}n a 1a 1=n 1n a 3a 4+=+n a 【题组三 周期数列】 1．已知数列中，， ()，则等于 。 {}n a 12a =11 1n n a a -=- 2n ≥2018a
2．已知数列满足，且 ，则 。 {}n a 1(1)1n n a a +?-=11 2a =- 2020a = 3．设数列满足:,,则______. {}n a 112a = ()1 111n n n a a n a ++=≥-2016a = 4．数列中，，，（），则______. {}n a 11a =25a =21n n n a a a ++=-N n *∈2012a =
1 【典型例题】 [例 1] a n 1 (1)k (2) k 比较系数: {a n a n [例 2] a n 1 (1)k 例: 已知 解: a n a n a 3 a n 常见递推数列通项公式的求法典型例题及习题 ka n b 型。 1 时，a n 1 1时，设a n km m ka n 1 时, a n ｝ 是等比数列, (a i f (n) 型。 a n 1 a n {a n }满足a i a n a n a n a 2 对这（n b ｛a n ｝ 是等差数列, a n b n 佝 b) k(a n m) a n 1 ka n km 公比为 1) k ”1 f(n) k ，首项为 a n 1 a n a i a n (a 1 k n1 f （n ）可求 和, 则可用累加消项的方 法。 n （n 1）求｛a n ｝的通项公 式。 1 n(n 1 ) a 2 a n 1 a n a 1 1 个式子求和得: a n a 1 a n 2 - n
(2) k1时, 当f(n) an b则可设a n A(n 1) B k(a n An B) a n 1 ka n (k 1)A n (k 1)B A (k (k 1)A 1)B 解得: a 2 (k 1) ,? {a n An B｝是 以 a1 B为首项, k为公比的等比数列 a n An (a1 B) k n1 a n (a1 B) k n1An B将A、B代入即可 (3) f(n) 0, 1) 等式两边同时除以 a n 1 1 c n 1 得q a n n q C n 令C n 1 {C n}可归为a n 1 ka n b型 [例3] a n f(n) a n型。 (1)f(n)是常数时, 可归为等比数 列。 f(n)可求积，可用累积约项的方法化简求通项。 例：已知: a1 2n 1 a n 1 2n 1 2)求数列｛a n｝的通项。 解: a n a n a n 1 a n 1 a n 2 a n a 1 a n 2 a n 3 k m a n 1 m a n 1 型。a3 a2 a2 a1 2n 1 2n 2n 1 2n 3 2n 5 5 3 3 2n 1 2n 3 7 5 2n 1 [例4]
.. . 常见递推数列通项公式的求法典型例题及习题 【典型例题】 [例1] b ka a n n +=+1型。 （1）1=k 时，}{1n n n a b a a ?=-+是等差数列，)(1b a n b a n -+?= （2）1≠k 时，设)(1m a k m a n n +=++ ∴ m km ka a n n -+=+1 比较系数：b m km =- ∴ 1-= k b m ∴ }1{-+ k b a n 是等比数列，公比为k ，首项为11-+k b a ∴ 11)1(1-?-+=-+ n n k k b a k b a ∴ 1)1(11--?-+=-k b k k b a a n n [例2] )(1n f ka a n n +=+型。 （1）1=k 时，)(1n f a a n n =-+，若)(n f 可求和，则可用累加消项的方法。 例：已知}{n a 满足11=a ，)1(1 1+= -+n n a a n n 求}{n a 的通项公式。 解： ∵ 11 1)1(11+- =+= -+n n n n a a n n ∴ n n a a n n 1111--= -- 112121---=---n n a a n n 21 3132-- -= ---n n a a n n ……
.. . 312123-= -a a 21112-=-a a 对这（1-n ）个式子求和得： n a a n 111- =- ∴ n a n 1 2- = （2）1≠k 时，当b an n f +=)(则可设)()1(1B An a k B n A a n n ++=++++ ∴ A B k An k ka a n n --+-+=+)1()1(1 ∴ ???=--=-b A B k a A k )1()1( 解得： 1-= k a A ，2)1(1-+-=k a k b B ∴ }{B An a n ++是以B A a ++1为首项，k 为公比的等比数列 ∴ 1 1)(-?++=++n n k B A a B An a ∴ B An k B A a a n n --?++=-1 1)( 将A 、B 代入即可 （3）n q n f =)(（≠q 0，1） 等式两边同时除以1 +n q 得q q a q k q a n n n n 1 11+?=++ 令 n n n q a C = 则q C q k C n n 1 1+ =+ ∴ }{n C 可归为b ka a n n +=+1型 [例3] n n a n f a ?=+)(1型。 （1）若)(n f 是常数时，可归为等比数列。 （2）若)(n f 可求积，可用累积约项的方法化简求通项。 例：已知： 311= a ，1121 2-+-=n n a n n a （2≥n ）求数列}{n a 的通项。 解：123537532521232121212233 2211+= ?--?--?+-=???-----n n n n n n n a a a a a a a a a a n n n n n n
由递推公式求通项公式的常用方法 由数列的递推公式求通项公式是高中数学的重点问题，也是难点问题，它是历年高考命题的热点题。对于递推公式确定的数列的求解，通常可以通过递推公式的变换，转化为等差数列或等比数列问题，有时也用到一些特殊的转化方法与特殊数列。 方法一：累加法 形如a n +1－a n ＝f (n )（n ＝2,3,4,…）,且f (1)＋f (2)＋…＋f (n -1)可求，则用累加法求a n 。有时若不能直接用，可变形成这种形式，然后利用这种方法求解。 例1：（07年北京理工农医类）已知数列{a n }中，a 1＝2,a n ＋1＝a n ＋cn (c 是常数，n ＝1,2,3,…)且a 1,a 2,a 3成公比不为1的等比数列 （1）求c 的值 （2）求{a n }的通项公式 解：（1）a1,a2,a3成公比不为1的等比数列 2 022)2(2)() ,3,2,1(111113 12 2===++?=+∴=+=?=∴+c c a c c a a c a n cn a a a a a n n 因此（舍去）或解得又 （2）由（1）知n a a n a a n n n n 2,211=-+=++即，将n ＝1,2, …,n －1,分别代入 ) 1(2322 2121342312-=-?=-?=-?=--n a a a a a a a a n n 将上面n －1个式子相加得a n －a 1＝2(1＋2＋3＋…＋n －1)＝n 2 －n 又a 1＝2,a n ＝n 2 －n ＋2 方法二：累乘法 形如 a n +1 a n ＝g (n )（n ＝2,3,4…），且f (1)f(2)…f (n －1)可求，则用累乘法求a n .有时若不能直接用，可变形成这种形式，然后用这种方法求解。
三大类递推数列通项公式的求法 湖北省竹溪县第一高级中学徐鸿 一、一阶线性递推数列求通项问题 一阶线性递推数列主要有如下几种形式： 1. 这类递推数列可通过累加法而求得其通项公式(数列{f(n)}可求前n项和). 当为常数时，通过累加法可求得等差数列的通项公式．而当为等差数列时， 则为二阶等差数列，其通项公式应当为形式，注意与等差数列求和公式一般形式的区别，后者是，其常数项一定为０． 2. 这类递推数列可通过累乘法而求得其通项公式(数列{g(n)}可求前n项积). 当为常数时，用累乘法可求得等比数列的通项公式． 3.； 这类数列通常可转化为，或消去常数转化为二阶递推式 . 例１已知数列中，,求的通项公式． 解析：解法一：转化为型递推数列． ∵∴又，故数列｛｝是首项为２，公比为２的等比数列．∴，即． 解法二：转化为型递推数列． ∵=2x n-1+1(n≥2) ①∴=2x n+1 ② ②－①，得(n≥2)，故｛｝是首项为x 2-x 1 =2， 公比为２的等比数列，即，再用累加法得．解法三：用迭代法． 当然,此题也可用归纳猜想法求之，但要用数学归纳法证明．
例２已知函数的反函数为 求数列的通项公式. 解析：由已知得，则． 令=,则.比较系数，得. 即有．∴数列｛｝是以为首项，为 公比的等比数列，∴，故． 评析：此题亦可采用归纳猜想得出通项公式，而后用数学归纳法证明之． （4） 若取倒数,得，令，从而转化为（1）型而求之. （5）； 这类数列可变换成，令，则转化为(1)型一阶线性递推公式. 例３设数列求数列的通项公式．解析：∵，两边同除以，得．令，则有．于是，得，∴数列是以首项为，公比为的等比数列，故，即，从而．例４设求数列的通项公式． 解析：设用代入，可解出．
< 求数列通项公式的十一种方法（方法全，例子全，归纳细） 总述：一．利用递推关系式求数列通项的11种方法： 累加法、 累乘法、 待定系数法、 阶差法（逐差法）、 迭代法、 对数变换法、 ~ 倒数变换法、 换元法（目的是去递推关系式中出现的根号）、 数学归纳法、 不动点法（递推式是一个数列通项的分式表达式）、 特征根法 二。四种基本数列：等差数列、等比数列、等和数列、等积数列及其广义形式。等差数列、 等比数列的求通项公式的方法是：累加和累乘，这二种方法是求数列通项公式的最基本方法。 三 ．求数列通项的方法的基本思路是：把所求数列通过变形，代换转化为等差数列或等比数列。 四．求数列通项的基本方法是：累加法和累乘法。 ] 五．数列的本质是一个函数，其定义域是自然数集的一个函数。 一、累加法 1．适用于：1()n n a a f n +=+ ----------这是广义的等差数列 累加法是最基本的二个方法之一。 2．若1()n n a a f n +-=(2)n ≥， 则 21321(1) (2) () n n a a f a a f a a f n +-=-=-=
两边分别相加得 111 ()n n k a a f n +=-= ∑ 例1 已知数列{}n a 满足1121 1n n a a n a +=++=，，求数列{}n a 的通项公式。 解：由121n n a a n +=++得121n n a a n +-=+则 ！ 所以数列{}n a 的通项公式为2 n a n =。 例2 已知数列{}n a 满足112313n n n a a a +=+?+=，，求数列{}n a 的通项公式。 解法一：由1231n n n a a +=+?+得1231n n n a a +-=?+则 11232211122112211()()()()(231)(231)(231)(231)3 2(3333)(1)3 3(13)2(1)3 13 331331 n n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a n n n n --------=-+-++-+-+=?++?+++?++?++=+++++-+-=+-+-=-+-+=+- 所以3 1.n n a n =+- 解法二：13231n n n a a +=+?+两边除以1 3n +，得 111 21 3333n n n n n a a +++=++ ， 则 11121 3333 n n n n n a a +++-=+，故 因此1 1(13) 2(1)2113133133223 n n n n n a n n ---=++=+--?， 则211 33.322 n n n a n = ??+?- < 评注：已知a a =1,) (1n f a a n n =-+，其中f(n)可以是关于n 的一次函数、二次函数、指数 函数、分式函数，求通项 n a .
问题 1:已知数列{a } ， a 1 = 1 ， a n +1 = n + 2 ，求{a n }的通项公式。 2 常见递推数列通项公式的求法 一、课题：常见递推数列通项公式的求法 二、教学目标 (1)会根据递推公式求出数列中的项，并能运用叠加法、叠乘法、待定系数 法求数列的通项公式。 (2) 根据等差数列通项公式的推导总结出叠加法的基本题型，引导学生分 组合作并讨论完成叠乘法及待定系数法的基本题型。 (3)通过互助合作、自主探究培养学生细心观察、认真分析、善于总结的良 好思维习惯，以及积极交流的主体意识。 三、教学重点：根据数列的递推关系式求通项公式。 四、教学难点：解题过程中方法的正确选择。 五、教学课时： 1 课时 六、教学手段：黑板，粉笔 七、教学方法： 激励——讨论——发现——归纳——总结 八、教学过程 （一）复习回顾： 1、通项公式的定义及其重要作用 2、区别递推公式与通项公式，从而引入课题 （二）新知探究： a n 变式： 已知数列 {a n } ， a 1 = 1 ， a n +1 = a n + 2n ，求{a n }的通项公式。 活动 1：通过分析发现形式类似等差数列，故想到用叠加法去求解。教师引导学 生细致讲解整个解题过程。 解：由条件知： a n +1 - a = 2n n 分别令 n = 1,2,3,? ? ? ? ??,(n - 1) ，代入上式得 (n - 1) 个 等式叠加之， 即 (a 2 - a 1 ) + (a 3 - a 2 ) + (a 4 - a 3 ) + ? ? ? ? ? ? +(a n - a n -1 ) = 2 + 2 ? 2 + 2 ? 3 + 2 ? (n - 2) + 2 ? (n - 1) 所以 a - a = (n - 1)[2 + 2 ? (n - 1)] n 1 a = 1,∴ a = n 2 - n + 1 1 n
由递推数列求通项公式 马鞍中学 --- 李群花 一、课题：由递推数列求通项公式 二、教学目标 1、知识与技能： 会根据递推公式求出数列中的项，并能运用累加、累乘、待定系数等方法求数列的通项公式。 2、过程与方法： ①复习回顾所学过的通项公式的求法，对比递推公式与通项公式区别认识到由递推公式求通项公式的重要性，引出课题。 ②对比等差数列的推导总结出叠加法的试用题型。 ③学生分组讨论完成叠乘法及待定系数法的相关题型。 3、情感态度与价值观： ①通过对数列的递推公式的分析和探究，培养学生主动探索、勇于发现的求知精神； ②通过对数列递推公式问题的分析和探究，使学生养成细心观察、认 真分析、善于总结的良好思维习惯； ③通过互助合作、自主探究等课堂教学方式培养学生认真参与、积极交流的主体意识。 三、教学重点：根据数列的递推关系式求通项公式。 四、教学难点：解题过程中方法的正确选择。 五、教学课型，课时：复习课 1课时 六、教学手段：多媒体课件，黑板，粉笔 七、教学方法：激励——讨论——发现——归纳——总结 八、教学过程 （一）复习回顾：
1、通项公式的定义及其重要作用 2、学过的通项公式的几种求法 3、区别递推公式与通项公式，从而引入课题 （二）新知探究： 问题1: 在数列{a n }中 a 1=1，a n -a n-1=2n-1（n ≥ 2），求数列{a n } 的通 项公式。 活动：通过分析发现形式类似等差数列，故想到用叠加法去求解。教师引导学生细致讲解整个解题过程。 总结：类型1：)(1n f a a n n =-+，利用叠加法(逐差相加法)求解。 问题2：例2在数列{a n }中 a 1 =1， （n ≥ 2），求数列{a n } 的通项公式。 方法归纳：利用叠乘法求数列通项 活动：类比类型1推导过程，让学生分组讨论研究相关解题方案。 练习2设{a n }是首项为1的正项数列，且(n+1)a n 2 +1 –na n 2 +a n+1a n =0, （n=1,2,3…），求它的通项公式a n 。 总结：类型2型如 用叠乘法求解 n n n a a 21 =-) (1n f a a n n ?=+
高考递推数列题型分类归纳解析 各种数列问题在很多情形下，就是对数列通项公式的求解。特别是在一些综合性比较强的数列问题中，数列通项公式的求解问题往往是解决数列难题的瓶颈。我现在总结出几种求解数列通项公式的方法，希望能对大家有帮助。 类型1 )(1n f a a n n +=+ 解法：把原递推公式转化为)(1n f a a n n =-+，利用累加法(逐差相加法)求解。 例1. 已知数列{}n a 满足211= a ，n n a a n n ++=+211，求n a 。 变式: 已知数列1}{1=a a n 中，且a 2k =a 2k －1+(－1)K , a 2k+1=a 2k +3k , 其中k=1,2,3,……. （I ）求a 3, a 5；（II ）求{ a n }的通项公式. 类型2 n n a n f a )(1=+ 解法：把原递推公式转化为)(1 n f a a n n =+，利用累乘法(逐商相乘法)求解。 例1:已知数列{}n a 满足321=a ，n n a n n a 11+=+，求n a 。 例2:已知31=a ，n n a n n a 2 3131 +-=+ )1(≥n ，求n a 。 变式:（2004，全国I,理15．）已知数列{a n }，满足a 1=1，1321)1(32--+???+++=n n a n a a a a (n ≥2)，则{a n }的通项1 ___ n a ?=?? 12n n =≥ 类型3 q pa a n n +=+1（其中p ，q 均为常数，)0)1((≠-p pq ）。 解法（待定系数法）：把原递推公式转化为：)(1t a p t a n n -=-+，其中p q t -=1，再利用换元法转化为等比数列求解。 例:已知数列{}n a 中，11=a ，321+=+n n a a ，求n a . 变式:（2006，重庆,文,14） 在数列{}n a 中，若111,23(1)n n a a a n +==+≥，则该数列的通项n a =_______________ 变式:（2006. 福建.理22.本小题满分14分） 已知数列{}n a 满足* 111,21().n n a a a n N +==+∈ （I ）求数列{}n a 的通项公式； （II ）若数列{b n }滿足12111 *444(1)(),n n b b b b n a n N ---=+∈L 证明：数列{b n }是等差数列； （Ⅲ）证明： *122311...().232 n n a a a n n n N a a a +-<+++<∈ 类型4 n n n q pa a +=+1（其中p ，q 均为常数，)0)1)(1((≠--q p pq ）。 （或1n n n a pa rq +=+,其中p ，q, r 均为常数） 。 解法：一般地，要先在原递推公式两边同除以1 +n q ，得： q q a q p q a n n n n 111+?=++引入辅助数列{}n b （其中n n n q a b =），得：q b q p b n n 1 1+=+再待定系数法解决。 例:已知数列{}n a 中，651= a ,1 1)2 1(31+++=n n n a a ，求n a 。 变式:（2006，全国I,理22,本小题满分12分）
求递推数列通项公式和求和的常用方法 求递推数列通项公式是数列知识的一个重点，也是一个难点，高考也往往通过考查递推数列来考查学生对知识的探索能力，求递推数列的通项公式一般是将递推公式变形，推得原数列是一种特殊的数列或原数列的项的某种组合是一种特殊数列，把一些较难处理的数列问题化为中学中所研究的等差或等比数列，下面就求递推数列通向公式的常用方法举例一二，供参考： 一 公式法：利用熟知的的公式求通项公式的方法称为公式法，常用的公式有1n n n a S S -=-(2)n ≥，等差数列或等比数列的通项公式。 例一 已知无穷数列{}n a 的前n 项和为n S ，并且*1()n n a S n N +=∈，求{}n a 的通项公式？ 【解析】： 1n n S a =-，∴ 111n n n n n a S S a a +++=-=-，∴ 112n n a a +=，又112a =， ∴ 12n n a ??= ??? . 反思：利用相关数列{}n a 与{}n S 的关系：11a S =,1n n n a S S -=-(2)n ≥与提设条件，建立递推关系，是本题求解的关键. 跟踪训练1.已知数列{}n a 的前n 项和n S ，满足关系()1lg n S n +=(1,2)n =???.试证数列{}n a 是等比数列. 二 归纳法：由数列前几项用不完全归纳猜测出数列的通项公式，再利用数学归纳法证明其正确性，这种方法叫归纳法. 例二 已知数列{}n a 中，11a =，121(2)n n a a n -=+≥，求数列{}n a 的通项公式. 【解析】：11a =，121(2)n n a a n -=+≥，∴2121a a =+3=，3221a a =+7=???? 猜测21n n a =-*()n N ∈，再用数学归纳法证明.（略） 反思：用归纳法求递推数列，首先要熟悉一般数列的通项公式，再就是一定要用数学归纳法证明其正确性. 跟踪训练2.设{}n a 是正数组成的数列，其前n 项和为n S ，并且对于所有自然数n ，n a 与1的等差中项等于n S 与1的等比中项，求数列{}n a 的通项公式. 三 累加法：利用1211()()n n n a a a a a a -=+-+???-求通项公式的方法称为累加法。累加法是求型如1()n n a a f n +=+的递推数列通项公式的基本方法（()f n 可求前n 项和）. 例三 已知无穷数列{}n a 的的通项公式是12n n a ??= ??? ，若数列{}n b 满足11b =，(1)n ≥，求数列{}n b 的通项公式. 【解析】：11b =,112n n n b b +??-= ??? (1)n ≥,∴1211()()n n n b b b b b b -=+-+???-=1+12+??+