技能演练
基础强化
1．“a⊥α，则a垂直于平面α内的任一直线”是()
A．全称命题B．特称命题
C．不是命题D．真命题
答案 A
2．(2011·安徽)命题“所有能被2整除的整数都是偶数”的否定是()
A．所有不能被2整除的整数都是偶数
B．所有能被2整除的整数都不是偶数
C．存在一个不能被2整除的整数是偶数
D．存在一个能被2整除的整数不是偶数
解析全称命题的否定是特称命题，因此A，B不正确．全称命题“?x，P(x)”的否定是特称命题“?x，綈p(x)”，因此D正确．答案 D
3．已知命题p：?x∈R，sin x≤1，则()
A．綈p：?x∈R，sin x≥1
B．綈p：?x∈R，sin x≥1
C．綈p：?x∈R，sin x>1
D．綈p：?x∈R，sin x>1
答案 C
4．下列语句中，判断正确的个数是()
①全称命题“?n∈Z,2n＋1是奇数”是真命题
②特称命题“?x∈R，x2是无理数”是真命题
③命题“?n∈Z,2n＋1是奇数”的否定是“?n∈Z，2n＋1不是奇数”
④命题“?x∈R，x2是无理数”的否定是“?x∈R，x2是有理数”
A．1 B．2
C．3 D．4
答案 D
5．已知命题p：?x∈R，cos x≤1，则()
A．綈p：?x∈R，cos x≥1
B．綈p：?x∈R，cos x≥1
C．綈p：?x∈R，cos x>1
D．綈p：?x∈R，cos x>1
答案 C
6．命题“对任意的x∈R，x3－x2＋1≤0”的否定是()
A．不存在x∈R，x3－x2＋1≤0
B．存在x∈R，x3－x2＋1≤0
C．存在x∈R，x3－x2＋1>0
D．对任意的x∈R，x3－x2＋1>0
答案 C
7．命题“函数都有最大值”的否定是________．
答案有的函数没有最大值
8．命题“至少有一个正数满足方程x2＋2(a－1)x＋2a＋6＝0”的否定是________．
答案?x∈R＋，方程x2＋2(a－1)x＋2a＋6＝0不成立
能力提升
9．设集合A＝{1,2,4,6,8,10,12}，试写出下列命题的否定，并判断其真假：
(1)p：?n∈A，n<12；
(2)q：?n∈{奇数}，使n∈A.
解 (1)綈p ：?n ∈A ，使n ≥12.
∵当n ＝12时，綈p 成立．
∴綈p 是真命题．
(2)綈q ：?n ∈{奇数}，n ?A .綈q 是假命题．
10．若p (x )：sin x ＋cos x >m ，q (x )：x 2＋mx ＋1>0，如果?x ∈R ，p (x )为假命题，q (x )为真命题，求实数m 的取值范围．
解 由于sin x ＋cos x ＝2sin(x ＋π4
)∈[－2，2]，又?x ∈R ，p (x )为假命题，即对任意x ∈R ，sin x ＋cos x >m 不成立，所以m > 2.
又对任意x ∈R ，q (x )为真命题，即对任意x ∈R ，x 2＋mx ＋1>0恒成立，所以Δ＝m 2－4<0，
即－2 故?x ∈R ，p (x )为假命题，q (x )为真命题， 应有2 品 味 高 考 11．(2010·安徽)命题“存在x ∈R ，使得x 2＋2x ＋5＝0”的否定是________． 答案 对任意x ∈R ，都有x 2＋2x ＋5≠0 12．有四个关于三角函数的命题： p 1：?x ∈R ，sin 2x 2＋cos 2x 2＝12 p 2：?x ，y ∈R ，sin(x －y )＝sin x －sin y p 3：?x ∈[0，π], 1－cos2x 2 ＝sin x p 4：sin x ＝cos y ?x ＋y ＝π2 其中的假命题是( ) A ．p 1，p 4 B ．p 2，p 4
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