高考数学解题中的函数技巧
这几年，函数在上海高考数学试题中占有较高比例，约占总分的15%-20%。 而根据最近的一些数据统计，函数的得分率在65%左右，那么如何在高考中真正把握函数的要领呢，下面我们可以从三个方面来提高自己的解题能力。
一 、在解题中培养方程意识
我们高中的函数往往借助的是一些初等的函数的性质，将所求的量（或与所求的量相关的量）与方程根的个数联系起来，通过方程的思想，以求得问题的解决。
例、设0>a ，且,1≠a 若关于x 的方程01)lg 1(2=+++x x a m a
有解，求实数m 的取值
范围。
解：设.01)lg 1(,0,2=+++>=t m t t a t x 且则 （1） 原方程有解的充要条件是关于t 的二次方程（1）有正根.设方程(1)的两根为12t t 、,,并设1122010.t t t t >=>，则由知，因为方程(1)有两个正根.因此
所以m 的取值范围为区间(]001.0,0
本题中要求变量的取值范围，我们首先利用化归的思想进行等价转化，把函数问题转化为方程根的问题去简化，从而将我们的问题简单化。
二、转化角度，寻找新的变量
在解题中，要对所给的问题观察、分析、判断并善于挖掘题目中的条件，构造出恰当的函数解析式、妙用函数的性质。
例：对于满足0≤p≤4的一切实数，不等式x 2＋px ＞4x ＋p －3恒成立，试求x 的取值
范围一例，我们习惯上把x 当作自变量，构造函数y ＝x 2＋(p －4)x ＋3－p,于是问题转化为：
当p∈[0,4]时，y ＞0恒成立，求x 的取值范围．解决这个等价的问题需要应用二次函数以及二次方程的区间根原理，可想而知，这是相当复杂的．
如果把p 看作自变量，x 视为参数，构造函数y ＝(x －1)p ＋(x 2－4x ＋3)，则y 是p 的
一次函数，就非常简单．即令 f(p)＝(x －1)p ＋(x 2－4x ＋3)．函数f(p)的图象是一条线
段，要使f(p)＞0恒成立，当且仅当f(0)＞0，且f(4)＞0，解这个不等式组即可求得x 的取值范围是(－∞,－1)∪(3,＋∞)．本题看上去是一个不等式问题，但是经过等价转化，我们把它化归为一个非常简单的一次函数，并借助于函数的图象建立了一个关于x 的不等式组来达到求解的目的．
三、在求变量取值范围中形成不等式的意识
数学中很多变量的范围往往可将它们间的关系建立一个不等式通过解不等式即可求得。
2312(1lg )40,1lg 2lg 3010.1lg ()0
m m m m m t t -??=+-≥?+≤-?≤-?<≤?+=-+
例、设当),(3421lg )(R a a x f x x ∈++=(]1,∞-∈x 时，f （x ）有意义，求a 的取值范围。
解：(]1，
当∞-∈x 时，f （x ）有意义， (](]1240,(,1),3
111240,.421111().,,4242(),1,
3,1,(),(1),4
3.4
x x x x x x x x x x
a x a a g x g x x x g x g a ++∴>∈-∞??????++>∴>-+?? ? ?????????
??????????=-+?? ? ? ? ?????????
????∴∈-∞==-∴>-恒成立即记单调递减在上单调递增从而当时取得最大值 分析：在求解不等式中a 的范围的时候考虑到函数的单调性的思想，结合不等式的特点来解决问题。方程问题、不等式问题、和某些代数问题都可以转化为函数知识。且涉及的知识点多、面广，在概念性、应用性、理解性都有一定的要求，是高考中考查的重点，所以在学习中我们应高度重视，并希望大家在解题过程中注意体会，下面请同学们动手体会几道题目
例1、已知函数
).34lg(2-+-=m x mx y （1）若它的定义域为R,求实数m 的取值范围;
（2）若它的值域为R,求实数m 的取值范围.
例2、求实数a 的取值范围，使方程0)5()2(2
=-+--a x a x 的两个根都大于2.
参考答案见下一页
【答案】
例1：
解答：（1）使得函数的定义域为R ，则方程2430mx x m -+->，对所有x 的取值都成立。另2()43f x mx x m =-+-，分类讨论：
1：当0m =，则()43f x x =--，()0f x >的解为，34x <-
，不满足题意。 2：当0m ≠，则2()43f x mx x m =-+-，使()0f x >恒成立只需要0?<，即
244(3)0m m --<，解得4,1m m ><-
综上，m 的取值范围为(,1)(4,)-∞-+∞。
（2）使得函数的值域为R ，则需要函数2()43f x mx x m =-+-的值域包括(0,)+∞，
分类讨论：
1：当0m =，则()43f x x =--，值域为R ，所以成立
2：当0m ≠，则2()43f x mx x m =-+-，使得()f x 值域包含(0,)+∞，则只要满足0?≥，即244(3)0m m --≥，解得[1,0)
(0,4]-。
综上，m 的取值范围为[1,4]-
例2：
解答：假设函数2()(2)(5)f x x a x a =--+-，要使方程()0f x =的两个根都大于2，则从图像上理解，即和x 轴的交点在2的右边。则满足下列方程组即可： 20(2)4(5)04,42222255(2)0
a a a a a a a a a f ?≥??---≥≥≤-??-???>?<-?<-??????>->-??>?? 综上a 的取值范围为(5,4]--。
（思考为什么取0?≥，而不是0?>。以及后面对两个根的限定）
?0
③ f(x)= , g(x)= ; ④ f(x)= , g(x)=2（x-1-e -x ) . 年 高 考 江 苏 卷 试 题 11 ） 已 知 函 数 f ( x ) = ? x + 1, x ≥ 0 , 则 满 足 不 等 式 ) 剪成两块，其中一块是梯形，记 S = ,则 S 的最小值是____▲____。 2 x 2 +1 xlnx+1 2x 2 x lnx x+1 其中, 曲线 y=f(x) 和 y=g(x) 存在“分渐近线”的是( ) A. ①④ B. ②③ C.②④ D.③④ 33. (20XX 年 高 考 天 津 卷 理 科 16) 设 函 数 f ( x ) = x 2 - 1 ， 对 任 意 3 x x ∈[ , +∞) , f ( ) - 4m 2 f ( x ) ≤ f ( x - 1) + 4 f (m ) 2 m 恒成立，则实数 m 的取值范围是 。 34 ．（ 20XX ? 2 ?1, x < 0 f (1- x 2 )> f ( 2x 的 x 的范围是__▲___。 35．（20XX 年高考江苏卷试题 14）将边长为 1m 正三角形薄片，沿一条平行于底边的直线 (梯形的周长） 梯形的面积 36 已知函数 f ( x ) = ( x + 1)ln x - x + 1 . （Ⅰ）若 xf '(x) ≤ x 2 + ax + 1 ，求 a 的取值范围； （Ⅱ）证明： ( x - 1) f ( x ) ≥ 0 .
指数函数 1．指数函数的定义： 函数)1 (≠ > =a a a y x且叫做指数函数，其中x是自变量，函数定义域是R 2.指数函数的图象和性质： 在同一坐标系中分别作出函数y=x2，y= x ? ? ? ? ? 2 1 ，y=x 10，y= x ? ? ? ? ? 10 1 的图象. 我们观察y=x2，y= x ? ? ? ? ? 2 1 ，y=x 10，y= x ? ? ? ? ? 10 1 图象特征，就可以得到)1 (≠ > =a a a y x且的图象和性质。 a>10 ()x f c 的大小关系是_____． 分析：先求b c ，的值再比较大小，要注意x x b c ，的取值是否在同一单调区间内． 解：∵(1)(1)f x f x +=-， ∴函数()f x 的对称轴是1x =． 故2b =，又(0)3f =，∴3c =． ∴函数()f x 在(]1-， ∞上递减，在[)1+，∞上递增． 若0x ≥，则321x x ≥≥，∴(3)(2)x x f f ≥； 若0x <，则321x x <<，∴(3)(2)x x f f >． 综上可得(3)(2)x x f f ≥，即()()x x f c f b ≥． 评注：①比较大小的常用方法有：作差法、作商法、利用函数的单调性或中 间量等．②对于含有参数的大小比较问题，有时需要对参数进行讨论． 2．求解有关指数不等式 例2 已知2321(25)(25)x x a a a a -++>++，则x 的取值范围是___________． 分析：利用指数函数的单调性求解，注意底数的取值范围． 解：∵2225(1)441a a a ++=++>≥， ∴函数2(25)x y a a =++在()-+，∞∞上是增函数， ∴31x x >-，解得1 4x >．∴x 的取值范围是14 ??+ ??? ， ∞． 评注：利用指数函数的单调性解不等式，需将不等式两边都凑成底数相同的指数式，并判断底数与1的大小，对于含有参数的要注意对参数进行讨论． 3．求定义域及值域问题 例3 求函数y = 解：由题意可得2160x --≥，即261x -≤， ∴20x -≤，故2x ≤． ∴函数()f x 的定义域是(]2-， ∞． 令26x t -=，则y =， 又∵2x ≤，∴20x -≤． ∴2061x -<≤，即01t <≤． ∴011t -<≤，即01y <≤． 对数函数图像和性质及经典例题 第一部分：回顾基础知识点 对数函数的概念：函数0(log >=a x y a ，且)1≠a 叫做对数函数其中x 是自变量，函数的定义域是（0，+∞）． 对数函数的图象和性质 ○ 1 在同一坐标系中画出下列对数函数的图象； （1） x y 2log = （2） x y 2 1log = （3） x y 3log = （4） x y 3 1log = ○ 2 对数函数的性质如下： 图象特征 函数性质 1a > 1a 0<< 1a > 1a 0<< 函数图象都在y 轴右侧 函数的定义域为（0，＋∞） 图象关于原点和y 轴不对称 非奇非偶函数 向y 轴正负方向无限延伸 函数的值域为R 函数图象都过定点（1，1） 11=α 自左向右看， 图象逐渐上升 自左向右看， 图象逐渐下降 增函数 减函数 第一象限的图象纵坐标都大于0 第一象限的图象纵坐标都大于0 0log ,1>>x x a 0log ,10>< 第二部分：对数函数图像及性质应用 例1．如图，A ，B ，C 为函数x y 2 1log =的图象上的三点，它们的横坐标分别是t , t +2, t +4(t ≥1). (1)设?ABC 的面积为S 。求S=f (t ) ； (2)判断函数S=f (t )的单调性； (3) 求S=f (t)的最大值 . 解：（1）过A,B,C,分别作AA 1,BB 1,CC 1垂直于x 轴，垂足为A 1,B 1,C 1， 则S=S 梯形AA 1B 1B +S 梯形BB 1C 1C －S 梯形AA 1C 1C . )44 1(log )2(4log 2 3223 1t t t t t ++=++= （2）因为v =t t 42+在),1[+∞上是增函数,且v ≥5, [)∞++=.541在v v 上是减函数，且1 经典函数测试题及答案 （满分：150分 考试时间：120分钟） 一、选择题：本大题共12小题。每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的。 1．函数)12(-=x f y 是偶函数，则函数)2(x f y =的对称轴是 （ ） A ．0=x B ．1-=x C ．21= x D ．2 1-=x 2．已知1,10-<<x 时，,log )(2x x f =则当0 高中数学导数典型例题 题型一：利用导数研究函数的单调性、极值、最值 1. 已知函数32()f x x ax bx c =+++ 过曲线()y f x =上的点(1,(1))P f 的切线方程为y=3x +1 。 （1）若函数2)(-=x x f 在处有极值，求)(x f 的表达式； （2）在（1）的条件下，求函数)(x f y =在[－3，1]上的最大值； （3）若函数)(x f y =在区间[－2，1]上单调递增，求实数b 的取值范围 2. 已知).(323 2)(23R a x ax x x f ∈--= (1)当41||≤ a 时, 求证：)x (f 在)1,1( -内是减函数; (2)若)x (f y =在)1,1( -内有且只有一个极值点, 求a 的取值范围. 题型二：利用导数解决恒成立的问题 例1：已知322()69f x x ax a x =-+（a ∈R ） ． （Ⅰ）求函数()f x 的单调递减区间； （Ⅱ）当0a >时，若对[]0,3x ?∈ 有()4f x ≤恒成立，求实数a 的取值范围． 例2：已知函数222()2()21x x f x e t e x x t =-++++，1()()2g x f x '= ． （1）证明：当t <时，()g x 在R 上是增函数； （2）对于给定的闭区间[]a b ，，试说明存在实数 k ，当t k >时，()g x 在闭区间[]a b ， 上是减函数； （3）证明： 3()2 f x ≥． 例3：已知3)(,ln )(2-+-==ax x x g x x x f （1）求函数)(x f 在)0](2,[>+t t t 上的最小值 （2）对(0,),2()()x f x g x ?∈+∞≥恒成立，求实数a 的取值范围 题型三：利用导数研究方程的根 例4：已知函数a x ax x f 313)(23-+-=. （Ｉ）讨论函数)(x f 的单调性； （Ⅱ）若曲线()f x 上两点A 、B 处的切线都与y 轴垂直，且线段AB 与x 轴有公共点，求实 数a 的取值范围. （满分：150分 考试时间：120分钟） 一、选择题：本大题共12小题。每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的。 1．函数)12(-=x f y 是偶函数，则函数)2(x f y =的对称轴是 （ ） A ．0=x B ．1-=x C ．21= x D ．2 1-=x 2．已知1,10-<<x 时，,log )(2x x f =则当0 函数 31．（本小题满分14分） 已知二次函数()y g x =的导函数的图像与直线2y x =平行，且()y g x =在1x =-处取得极小值1(0)m m -≠．设() ()g x f x x = ． （1）若曲线()y f x =上的点P 到点(0,2)Q m 的值； （2）()k k R ∈如何取值时，函数()y f x kx =-存在零点，并求出零点． 32．（2010年高考福建卷理科10）对于具有相同定义域D 的函数f(x)和g(x),若存在函数 h(x)=kx+b(k,b 为常数),对任给的正数m,存在相应的0x D ∈,使得当x D ∈且0x x >时,总有 0()()0()() ③2x +1f(x)=x ,xlnx+1g(x)=lnx ; ④2 2x f(x)=x+1 ,-x g(x)=2x-1-e )（. 其中, 曲线y=f(x)和y=g(x)存在“分渐近线”的是( ) A. ①④ B. ②③ C.②④ D.③④ 33. (2010年高考天津卷理科 16)设函数2()1f x x =-，对任 意 3[,)2x ∈+∞,2()4()(1)4()x f m f x f x f m m -≤-+ 恒成立，则实数m 的取值范围是 。 34．（2010 年高考江苏卷试题11）已知函数21,0()1, 0x x f x x ?+≥=? 的x 的范围是__▲___。 35．（2010年高考江苏卷试题14）将边长为1m 正三角形薄片，沿一条平行于底边的直线 剪成两块，其中一块是梯形，记2 (S =梯形的周长） 梯形的面积 ,则S 的最小值是____▲____。 36已知函数()(1)ln 1f x x x x =+-+. （Ⅰ）若2 '()1xf x x ax ≤++，求a 的取值范围； （Ⅱ）证明：(1)()0x f x -≥ . 1．将函数()2sin 2x f x =的图象向右移动象如右图所示，则?的值为（ ） A 2．为了得到()sin 2g x x =的图象，则只需将()f x 的图象（ ） A C 3 ，则sin cos αα=（ ） A 1 D -1 4 ） A 5．记cos(80),tan 80k -?=?那么= ( ). A ． C ．21k k -- 6 ．若sin a = -a （ ） （A ）（B （C （D 7，则α2tan 的值为（ ） A 8．已知函数)sin(cos )cos(sin )(x x x f +=，则下列结论正确的是（ ） A ．)(x f 的周期为π B ．)(x f 在 C ．)(x f 的最大值为．)(x f 的图象关于直线π=x 对称 9．如图是函数y=2sin （ωx+φ），φ A.ωφ B.ωφ C.ω =2，φ D.ω=2，10的图象，只需要将函数sin 4y x =的图象（ ） A B C D 11．要得到12cos -=x y 的图象，只需将函数x y 2sin =的图象（ ） A 个单位，再向上平移1个单位 B 个单位，再向下平移1个单位 C 个单位，再向上平移1个单位 D 个单位，再向下平移1个单位 12．将函数()cos f x x =向右平移个单位，得到函数()y g x = 于（） A 13．同时具有性质①最小正周期是π； 增函数的一个函数为（） A C 14则tanθ＝（） A．－2 D．2 15） A 16．已知tan（α﹣）=，则的值为（） A． B．2 C．2 D．﹣2 17） A．1 D．2 18．已知角α的终边上一点的坐标为（，则角α值为 19） A 20） A．． 利用公式2求函数的导数 例 求下列函数的导数： 1．12x y =；2．41x y =；3．53x y =． 分析：根据所给问题的特征，恰当地选择求导公式，将题中函数的结构施行调整．函数41x y =和53x y =的形式，这样，在形式上它们都满足幂函数的结构特征，可直接应用幂函数的导数公式求导． 解：1．.1212)(1111212x x x y =='='- 2．.44)4()(55144x x x x y - =-=-='='---- 3．.535353)()(52521535353x x x x x y ==='='='-- 说明：对于简单函数的求导，关键是合理转化函数关系式为可以直接应用公式的基本函数的模式，以免求导过程中出现指数或系数的运算失误．运算的准确是数学能力高低的重要标志，要从思想上提高认识，养成思维严谨，步骤完整的解题习惯，要形成不仅会求，而且求对、求好的解题标准． 根据斜率求对应曲线的切线方程 例 求曲线122-=x y 的斜率等于4的切线方程． 分析：导数反映了函数在某点处的变化率，它的几何意义就是相应曲线在该点处切线的斜率，由于切线的斜率已知，只要确定切点的坐标，先利用导数求出切点的横坐标，再根据切点在曲线上确定切点 的纵坐标，从而可求出切线方程． 解：设切点为),(00y x P ，则 x x y 4)12(2='-='，∴40='=x x y ，即440=x ，∴10=x 当10=x 时，10=y ，故切点P 的坐标为（1，1）． ∴所求切线方程为)1(41-=-x y 即.034=--y x 说明：数学问题的解决，要充分考虑题设条件，捕捉隐含的各种因素，确定条件与结论的相应关系，解答这类问题常见的错误是忽略切点既在曲线上也在切线上这一关键条件，或受思维定势的消极影响，先设出切线方程，再利用直线和抛物线相切的条件，使得解题的运算量变大． 求直线方程 例 求过曲线x y cos =上点??? ??21 ,3πP 且与过这点的切线垂直的直线方程． 分析：要求与切线垂直的直线方程，关键是确定切线的斜率，从已知条件分析，求切线的斜率是可行的途径，可先通过求导确定曲线在点P 处切线的斜率，再根据点斜式求出与切线垂直的直线方程． 解：x y cos =Θ，∴.sin x y -=' 曲线在点??? ??21,3πP 处的切线斜率是.2 33sin 3-=-='=ππx y | 三角函数典型例题 1 ．设锐角ABC ?的内角A B C ，，的对边分别为a b c ，，,2sin a b A =. (Ⅰ)求B 的大小; (Ⅱ)求cos sin A C +的取值范围. 【解析】:(Ⅰ)由2sin a b A =,根据正弦定理得sin 2sin sin A B A =,所以1 sin 2 B = , 由ABC ?为锐角三角形得π6B = . (Ⅱ)cos sin cos sin A C A A π??+=+π- - ?6? ? cos sin 6A A π?? =++ ??? & 1cos cos 2A A A =++ 3A π? ?=+ ?? ?. 2 ．在ABC ?中,角A ． B ．C 的对边分别为a 、b 、c,且满足(2a-c)cosB=bcos C ． (Ⅰ)求角B 的大小; (Ⅱ)设()()()2411m sin A,cos A ,n k,k ,==>且m n ?的最大值是5,求k 的值. 【解析】:(I)∵(2a -c )cos B =b cos C , ∴(2sin A -sin C )cos B =sin B cos C ． - 即2sin A cos B =sin B cos C +sin C cos B =sin(B +C ) ∵A +B +C =π,∴2sin A cos B =sinA ． ∵0 1文档来源为:从网络收集整理.word 版本可编辑. 三角函数典型例题 1 ．设锐角ABC ?的内角A B C ，，的对边分别为a b c ，，,2sin a b A =. (Ⅰ)求B 的大小; (Ⅱ)求cos sin A C +的取值范围. 【解析】:(Ⅰ)由2sin a b A =,根据正弦定理得sin 2sin sin A B A =,所以1sin 2 B = , 由ABC ?为锐角三角形得π6B = . (Ⅱ)cos sin cos sin A C A A π??+=+π- - ?6? ? 3A π? ?=+ ?? ?. 2 ．在ABC ?中,角A ． B ．C 的对边分别为a 、b 、c,且满足(2a-c)cosB=bcos C ． (Ⅰ)求角B 的大小; (Ⅱ)设()()()2411m sin A,cos A ,n k,k ,==>且m n ?的最大值是5,求k 的值. 【解析】:(I)∵(2a -c )cos B =b cos C , ∴(2sin A -sin C )cos B =sin B cos C ． 即2sin A cos B =sin B cos C +sin C cos B =sin(B +C ) ∵A +B +C =π,∴2sin A cos B =sinA ． ∵01,∴t =1时,m n ?取最大值. 依题意得,-2+4k +1=5,∴k = 2 3. 3 ．在ABC ?中,角C B A ,,所对的边分别为c b a ，，,22 sin 2sin =++C B A . I.试判断△AB C 的形状; II.若△ABC 的周长为16,求面积的最大值. 函数的单调性和奇偶性（HSXZ71-1） 函数性质分类型讲解 类型一、函数的单调性的证明 1.证明函数上的单调性. 证明：在(0，+∞)上任取x1、x2(x1≠x2)，令△x=x2-x1＞0 则 ∵x1＞0，x2＞0，∴ ∴上式＜0，∴△y=f(x2)-f(x1)＜0 ∴上递减. 【变式1】用定义证明函数上是减函数. 思路点拨：本题考查对单调性定义的理解，在现阶段，定义是证明单调性的唯一途径. 证明：设x1，x2是区间上的任意实数，且x1＜x2，则 ∵0＜x1＜x2≤1 ∴x1-x2＜0，0＜x1x2＜1 ∵0＜x1x2＜1 故，即f(x1)-f(x2)＞0 ∴x1＜x2时有f(x1)＞f(x2) 上是减函数. 总结升华：可以用同样的方法证明此函数在上是增函数；在今后的学习中经常会碰到这个函数，在此可以尝试利用函数的单调性大致给出函数的图象. 类型二、求函数的单调区间 2. 判断下列函数的单调区间； (1)y=x2-3|x|+2；(2) 解：(1)由图象对称性，画出草图 ∴f(x)在上递减，在上递减，在上递增. (2) ∴图象为 ∴f(x)在上递增. 举一反三： 【变式1】求下列函数的单调区间： (1)y=|x+1|；(2)(3). 解：(1)画出函数图象， ∴函数的减区间为，函数的增区间为(-1，+∞)； (2)定义域为， 其中u=2x-1为增函数，在(-∞，0)与(0，+∞)为减函数， 则上为减函数； (3)定义域为(-∞，0)∪(0，+∞)，单调增区间为：(-∞，0)，单调减区间为 (0，+∞). 总结升华： [1]数形结合利用图象判断函数单调区间； [2]关于二次函数单调区间问题，单调性变化的点与对称轴相关. [3]复合函数的单调性分析：先求函数的定义域；再将复合函数分解为内、外层函数； 1．已知函数f (x )＝x 2－1x 2＋1，则f (2) f ??? ?12＝________. 2．已知f 满足f (ab )＝f (a )＋f (b )，且f (2)＝p ，f (3)＝q ，则f (72)=------------． 一、选择题 1．函数f (x )＝ 3x 2 1－x ＋lg(3x ＋1)的定义域是( ) A.? ????－13，＋∞ B.? ?? ??－13，1 C.? ????－13，13 D.? ????－∞，－13 2．已知f ? ??? ?1－x 1＋x ＝1－x 2 1＋x 2 ，则f (x )的解析式可取为( ) A.x 1＋x 2 B ．－2x 1＋x 2 C. 2x 1＋x 2 D ．－x 1＋x 2 3．汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，若把这一过程中汽车的行驶路程s 看作时间t 的函数，其图象可能是( ) 4．设函数f (x )＝? ???? 1－x 2 ， x ≤1，x 2 ＋x －2， x >1， 则f ? ?? ? ?1f 2的值为( ) A. 1516 B ．－2716 C.8 9 D ．18 5．若函数f (x )＝??? ?? 1x ，x ＜0 ? ?? ??13x ，x ≥0则不等式|f (x )|≥1 3 的解集为( ) A ．(－3,1) B ．[－1,3] C ．(－1,3] D ．[－3,1] 二、填空题 6．已知函数f(x)＝x2－2ax＋a2－1的定义域为A,2?A，则a的取值范围是____________．7．如果f[f(x)]＝2x－1，则一次函数f(x)＝_____________. 三、解答题 【典型例题】： 1、已知2tan =x ，求x x cos ,sin 的值． 解：因为2cos sin tan == x x x ，又1cos sin 22=+a a ， 联立得? ??=+=，1cos sin cos 2sin 2 2x x x x 解这个方程组得. 55cos 55 2sin ,55cos 552sin ??? ????-=-=???????==x x x x 2、求) 330cos()150sin()690tan() 480sin()210cos()120tan( ----的值。 解：原式) 30360cos()150sin()30720tan() 120360sin()30180cos()180120tan(o --+---++-= .3330cos )150sin (30tan )120sin )(30cos (60tan -=---= 3、若 ,2cos sin cos sin =+-x x x x ，求x x cos sin 的值． 解：法一：因为 ,2cos sin cos sin =+-x x x x 所以)cos (sin 2cos sin x x x x +=- 得到x x cos 3sin -=，又1cos sin 22=+a a ，联立方程组，解得 ，，??? ??? ?=-=???????-==1010cos 10 103sin 1010cos 10103sin x x x x 所以?- =10 3 cos sin x x 法二：因为 ,2cos sin cos sin =+-x x x x 所以)cos (sin 2cos sin x x x x +=-， 所以22)cos (sin 4)cos (sin x x x x +=-，所以x x x x cos sin 84cos sin 21+=-， §1.2.1 函数的概念 ¤知识要点： 1. 设A、B是非空的数集，如果按某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作y=() f x，x A ∈．其中，x叫自变量，x的取值范 围A叫作定义域，与x的值对应的y值叫函数值，函数值的集合{()|} f x x A ∈叫值域. 2. 设a、b是两个实数，且a 一、常规型 即给出函数的解析式的定义域求法，其解法是由解析式有意义列出关于自变量的不等式或不等式组，解此不等式（或组）即得原函数的定义域。 例 1 求函数y x 2 2 x15 x3的定义域。 8 解：要使函数有意义，则必须满足 x 2 2 x150 x380 二、抽象函数型 抽象函数是指没有给出解析式的函数，不能常规方法求解，一般表示为已知一个抽象函数的定义域求；另 一个抽象函数的解析式，一般有两种情况。 （ 1）已知 f ( x )的定义域，求 f g ( x) 的定义域。 其解法是：已知 f ( x) 的定义域是 [ a , b ] 求f g ( x) 的定义域是解a g ( x) b ，即为所求的定义域。 例 3 已知 f ( x )的定义域为[2,2 ] ，求 f ( x 2 1) 的定义域。 （ 2）已知 f g ( x ) 的定义域，求 f ( x ) 的定义域。 其解法是：已知 f g ( x) 的定义域是[ a, b]求f ( x)的定义域的方法是：a x b ，求g ( x )的值域，即所求 f ( x ) 的定义域。 例4 已知 f (2 x 1)的定义域为[1, 2]，求 f ( x )的定义域。 解：因为 1 x 2 ， 2 2 x 4 ， 3 2 x 1 5 。 即函数 f ( x ) 的定义域是x | 3x 5。 三、逆向型 即已知所给函数的定义域求解析式中参数的取值范围。特别是对于已知定义域为 R ,求参数的范围问题通常是转化为恒成立问题来解决。 例 5 已知函数y 2 6 mx m8 的定义域为 R 求实数m的取值范围。mx 分析：函数的定义域为 R ，表明 mx 26mx m 8 0 ，使一切x R 都成立，由x2项的系数是 m ，所以应分 m0 或 m0 进行讨论。 解：当 m0 时，函数的定义域为R ； 当 m0 时，mx2 6 mx m 80 是二次不等式，其对一切实数x 都成立的充要条件是 m0 0m1 ( 6 m ) 2 4 m ( m 8 ) 0 综上可知0m 1 。 高中数学导数经典题型解题技巧（运用方法） 高中数学导数及其应用是高中数学考试的必考内容，而且是这几年考试的热点跟增长点，无论是期中·期末还是会考·高考，都是高中数学的必考内容之一。因此，针对这两各部分的内容和题型总结归纳了具体的解题技巧和方法，希望能够帮助到高中的同学们有更多·更好·更快的方法解决高中数学问题。好了，下面就来讲解常用逻辑用语的经典解题技巧。 第一·认识导数概念和几何意义 1.导数概念及其几何意义 （1）了解导数概念的实际背景。 （2）理解导数的几何意义。 2．导数的运算 （1）能根据导数定义求函数的导数。 （2）能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数。 （3）能求简单的复合函数（仅限于形如的复合函数）的导数。 3．导数在研究函数中的应用 （1）了解函数单调性和导数的关系，能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间（其中多项式函数一般不超过三次）。 （2）了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值（其中多项式函数一般不超过三次）；会求闭区间了函数的最大值、最小值（其中多项式函数一般不超过三次）。 4．生活中的优化问题 会利用导数解决某些实际问题 5．定积分与微积分基本定理 （1）了解定积分的实际背景，了解定积分的基本思想，了解定积分的概念。 （2）了解微积分基本定理的含义。 总结：先搞清楚导数概念以及几何意义，才能更好地运用其解题技巧！ 第二·导数运用和解题方法 一、利用导数研究曲线的切线 考情聚焦：1．利用导数研究曲线的切线是导数的重要应用，为近几年各省市高考命题的热点。 2．常与函数的图象、性质及解析几何知识交汇命题，多以选择、填空题或以解答题中关键一步的形式出现，属容易题。 解题技巧：1．导数的几何意义 函数在处的导数的几何意义是：曲线在点处的切线的斜率（瞬时速度就是位移函数对时间的导数）。 2．求曲线切线方程的步骤： （1）求出函数在点的导数，即曲线在点处切线的斜率； （2）在已知切点坐标和切线斜率的条件下，求得切线方程为。 注：①当曲线在点处的切线平行于轴（此时导数不存在）时，由切线定义可知，切线方程为； ②当切点坐标未知时，应首先设出切点坐标，再求解。 例1：（2010 ·海南高考·理科T3）曲线在点处的切线方程为（）（A）（B）（C）（D） 【命题立意】本题主要考查导数的几何意义，以及熟练运用导数的运算法则进行求解. 【思路点拨】先求出导函数，解出斜率，然后根据点斜式求出切线方 例1（1）关于x 的方程0142)3(22=++++m x m x 有两个实根，且一个大于1，一个小于1，求m 的取值范围； （2）关于x 的方程0142)3(22=++++m x m x 有两实根都在)4,0[内，求m 的取值范围； ⑶关于x 的方程0142)3(22=++++m x m x 有两实根在[]3,1外，求m 的取值范围 （4）关于x 的方程0142)3(22=++++m x m mx 有两实根，且一个大于4，一个小于4，求m 的取值范围. 解（1）令142)3(2)(2++++=m x m x x f ，∵对应抛物线开口向上，∴方程有两个实根，且一个大于1，一个小于1等价于0)1( 基本初等函数【整体感知】： 函 数 第1讲指数函数 【基础梳理】 1.根式 （1）根式的概念 如果一个数的n次方等于a（n＞1且n∈N*），那么这个数叫做a的n次方根.也就是，若x n=a，则x叫做__a 的n次方根_,其中n＞1且n∈N*.__根式__, 这里n叫做____根指数___，a叫做__被开方数____. （2）根式的性质 ①当n为奇数时,正数的n次方根是一个正数，负数的n次方根是一个负数，这时，a的n次方根用符号 表示. ②当n为偶数时，正数的n次方根有两个，它们互为相反数,这时，正数的正的n次方根用符号 表示, 负的n次方根用符号___表示.正负两个n次方根可以合写为___（a＞0）. ③n =___a___. ④当n为奇数时，a__;当n||a = =___ (0) (0) a a a a ≥ ? ? -< ? _____. ⑤负数没有偶次方根. 2.有理数指数幂 (1)幂的有关概念 ①正整数指数幂：n n a a a a =??? 个 （n ∈N*）；②零指数幂：a 0 =__1__（a ≠0）； ③负整数指数幂：a -p =__ 1 p a ___（a ≠0，p ∈N*）； ④正分数指数幂：m n a （a>0，m 、n ∈N*， 且n>1）； ⑤负分数指数幂：m n a - = 1m n a (a>0,m 、n ∈N*,且n>1). ⑥0的正分数指数幂等于__0____，0的负分数指数幂____没有意义______. （2）有理数指数幂的性质 ①a r a s = a r+s (a>0,r 、s ∈Q); ②(ar)s = a rs (a>0,r 、s ∈Q); ③(ab)r = a r b r (a>0,b>0,r ∈Q). 3.指数函数的图象与性质 (0,1)减函数【要点解读】 要点一 指数运算 【例1】210.503 3277(1)(0.027)()(2)1)1259-+-- 函数与方程 【知识梳理】 1、函数零点的定义 （1）对于函数y =f (x) ，我们把方程 f (x) = 0 的实数根叫做函数y =f (x) 的零点。（2）方程f (x) = 0 有实根?函数y =f (x) 的图像与 x 轴有交点?函数y =f (x) 有零点。因此判断一个函数是否有零点，有几个零点，就是判断方程 f (x) = 0 是否有实数根，有几个实数根。函数零点的求法：解方程 f (x) = 0 ，所得实数根就是 f (x) 的零点 （3）变号零点与不变号零点 左右两侧的函数值异号，则称该零点为函数 f (x) 的变号零①若函数 f (x) 在零点x 点。 左右两侧的函数值同号，则称该零点为函数 f (x) 的不变号②若函数 f (x) 在零点x 零点。 ③若函数 f (x) 在区间[a, b]上的图像是一条连续的曲线，则 f (a) f (b) < 0 是 f (x) 在区间(a, b)内有零点的充分不必要条件。 2、函数零点的判定 （1）零点存在性定理：如果函数y =f (x) 在区间[a,b]上的图象是连续不断的曲线， 并且有f (a) ?f (b) < 0 ，那么，函数y =f (x) 在区间(a, b)内有零点，即存在x0∈ (a,b) ，使 得f (x ) = 0 ，这个x0也就是方程f (x) = 0 的根。 （2）函数y =f (x) 零点个数（或方程f (x) = 0 实数根的个数）确定方法 ① 代数法：函数y =f (x) 的零点?f (x) = 0 的根； ②（几何法）对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数y=f(x)的图象联系高考数学-对数函数图像和性质及经典例题
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