4.1线段的比
学习目标、重点、难点
【学习目标】 两条线段的比； 成比例线段； 比例的基本性质.
【重点难点】
1、两条线段的比；
2、成比例线段；
3、比例的基本性质.
知识概览图
线段的比??
?
??比例的基本性质成比例线段两条线段的比
新课导引
在现实生活中，我们经常见到形状相同的图形，如下图所示，是我们平时所用的三角板，但同学们手中的三角板和老师手中的三角板有大小之分．
【问题探究】通过观察上面的图形可以知道这两组三角板有形状相同这一特点．那么，你能知道这两组三角板的对应线段有什么关系吗?
【点拨】 形状相同的两组三角板的对应线段成比例． 教材精华
知识点1 两条线段的比
通俗地说，所谓两条线段的比，就是把两条线段的长度相除所得的结果(比值)．
例如：线段AB ＝3cm ，CD ＝5cm ，那么线段AB 与CD 的比是5
3或3∶5.
如果选用同一个长度单位量得两条线段AB ，CD 的长度分别是m ，n ，那么就说这两条线段的
比AB ∶CD ＝m ∶n ，或写成AB CD =m
n
．其中，线段AB ，CD 分别叫做这个线段比的前项和后项.
拓展 (1)定义中所说的“选用同一个长度单位”应格外引起注意．如果线段AB ＝9 mm ，线段CD ＝10 cm ．那么我们就不能说线段AB 与线段CD 的比是9∶ 10，而应先把它们化成相同单位后再求比值，实际上这里AB 与CD 的比是9∶100． (2)从本质上讲，m ∶n 表示的是两数的相除关系，因此也写成
n
m
．既然是相除关系，那么就可以“约分”，如线段AB 与线段CD 的比是15∶5，我们就可以说AB 与CD 的比是3∶1．(3)两条线段的比是有先后顺序的．若写线段AB 与CD 的比，
就必须把表示AB 长度的数写在前面或分数线上面(前项)，表示CD 长度的数写在后面或分数线下面(后项)．
规律方法小结 本节中所说的“比”是“两条线段的比”，实际上，单纯的两个数之间也可以建立比的关系．例如：甲数为m ，乙数为n ，那么甲数与乙数的比就是m ∶n 或
n
m ． 知识点2 成比例线段
四条线段a ，b ，c ，d 中，如果a 与b 的比等于c 与d 的比，即b
a ＝
d
c
，那么这四条线段a ，b ，c ，d 叫做成比例线段，简称比例线段．
拓展 1．(1)比例线段所表示的是四条线段的关系，应该注意这个“四”字，一条线段不能构成比例线段，两条线段也不能，三条线段在不重复使用其中某一条的情况下也构不成比例线段．五条和五条以上的线段，只能就其中的某四条来研究是否构成比例线段．(2)比例线段所表示的是一种相等关系，因此表示比例线段的式子中必须有等号存在．
2．(1)为了讨论问题方便，我们再给出两个相关定义：如果线段a ，b ，c ，d 成比例，即b
a ＝
d
c ，或a ∶b ＝c ∶
d ，则a ，d 叫做比例外项，b ，c 叫做比例内项．(2)四个数之间也可以构成比例关系．例如：甲数为m ，乙数为n ，丙数为p ，丁数为q ，若甲数与乙数的比值恰好等于丙数与丁数的比值，即
n
m
＝q p ，我们就说这四个数成比例. 知识点3 比例的基本性质
比例的基本性质：如果b a ＝d
c ，那么以a
d ＝bc . 等比性质：如果b a ＝d c =…＝
n m (b+d+…+n ≠0)，那么n d b m c a +?+++?++＝b a
．
合比性质：如果b
a
＝d
c ，那么
b b a ±＝d
d
c ±． 拓展 (1)将比例式转化为乘积式是有条件的，并不是比例式的四个字母中任意两个字母的乘
积都等于另外两个字母的乘积．那么你认真观察一下，其中有什么规律呢？这个规律是：比例的外项乘积等于内项乘积．(2)使用等比性质时，要注意 b+d+…+n ≠0这个条件．
课堂检测
基础知识应用题
1、下列长度的四条线段中，不能成比例的是 ( )
A ．a =3，b=6，c =2，d =4
B ．a =1，b =2，c d =3
C ．a ＝4，b ＝6，c ＝5，d ＝10
D ．a ＝2，b ＝5，c ＝15，d ＝23 2、如果把ad ＝bc 写成线段的比例式，那么下列式子中错误的是 ( ) A ．a ∶b ＝c ∶d B ．a ∶c ＝b ∶d C ．b ∶a ＝d ∶c D ．b ∶d ＝c ∶a
综合应用题
3、在Rt△ABC中，∠C=90°，若∠A=45°，求BC∶AC和BC∶AB的值. 探索创新题
4、如果
48
23
34+
=
+
=
+z
y
x，且x+y+z=12，求x，y，z的值.
体验中考
1、小刚身高1.7m，测得他站立在阳光下的影子长为0.85m，紧接着他把手臂竖直举起，测得影子长为1.1 m，那么小刚举起的手臂超出头顶( )
A．0.5 m B．0.55 m C．0.6 m D．2.2 m
2、在比例尺为1∶2000的地图上测得A，B两地间的图上距离为5 cm，则A，B两地间的实际距离为m．
学后反思
附：课堂检测及体验中考答案
课堂检测
1、答案：C
【解题策略】解此类问题，若有单位，应先将四条线段的长度单位统一，然后把四条线段按从小到大(或从大到小)的顺序排列，再看中间两数的积与两边两数的积是否相等，若相等，说明这四条线段成比例，否则，不成比例．
2、答案：D
【解题策略】比例的基本性质的逆用(即：等积式转化为等比式)．
3、解：如图4-2所示，在Rt△ABC中，
因为∠C =90°，∠A =45°， 所以△ABC 为等腰直角三角形. 所以AC =BC ，所以BC ∶AC =1∶1. 又因为AB=22BC AC +=22BC =2BC. 所以BC ∶AB =BC ∶2BC =1∶2.
【解题策略】 由此题可知等腰直角三角形三边的比为1∶l ∶2．
4、解：设
4
8
2334+=
+=+z y x =k ，则x=3k-4，y =2k -3，z =4k -8. 代入x+y+z ＝12，得3k -4+2k -3+4k - 8＝12，解得k ＝3，
所以x ＝3k -4＝3×3-4＝5， y ＝2k -3＝2×3-3＝3， z ＝4k -8＝4×3-8＝4．
【解题策略】 解此题的巧妙办法就是设连比式的值为K ，则用含k 的代数式表示其中的x ，y ，z ，再利用题中的等式求出k 的值，进而达到解题的目的.
体验中考
1、分析 本题考查将实际问题转化为数学问题的能力．根据物高：影长＝另一物高：另一影长，可求出小刚手臂举起后的总高度(h )．根据题意，得1.185.07.1h =，所以h ＝2.21.185
.07
.1=?(m)，所以
小刚举起的手臂超出头顶2.2-1.7＝0.5(m)．故选A.
2、分析 根据比例尺＝
实际距离
图上距离列方程．设实际距离为x cm ，则可知x 5
20001=，则x ＝10000，
即10000 cm ＝100 m ．故填100．
4.2黄金分割
学习目标、重点、难点
【学习目标】 黄金分割的定义；
黄金分割的求法及画法.
【重点难点】 黄金分割的定义；
黄金分割的求法及画法.
知识概览图
黄金分割??
?
??黄金分割的画法黄金分割的求法黄金分割的定义
新课导引
五角星是我们常见的图形，如右图所示，它让你感受到了一种美．现实生活中还有很多这样的图案，你能举出一些例子吗?
【点拨】在现实生活中，正五边形也会让你感受到一种美，还有许多雕塑、绘画等艺术作品
都会给人一种美的享受.
教材精华
知识点1 黄金分割的定义
AC BC
AB AC =
，那么如图4-6所示，点C 把线段AB 分成两条线段AC 和BC ，如果称线段AB 被点C 黄金分割，点C 叫做线段AB 的黄金分割点，AC 与AB 的比叫做黄金
比，由计算可知，AC ∶AB ＝
2
1
5-∶1≈0.618∶1． 黄金分割的应用：黄金分割不仅应用于艺术创作，还广泛应用于服装设计、汽车制造、建筑设计、几何图形创作等各类工艺造型中．
知识点2 黄金分割的画法
画法1：如图4-7所示，设AB 是已知线段，以AB 为边作正方形ABCD ；取AD 的中点E ，连接EB ；延长DA 至F ，使EF ＝EB ；以线段AF 为边作正方形AFGH ．点H 就是AB 的黄金分割点．
画法2：如图4-8所示，已知线段AD ，经过点B 作BD ⊥AB ，使BD ＝2
1
AB ，连接AD ，在DA 上截取DE ＝DB ，在AB 上截取AC ＝AE ，则点C 是线段AB 的黄金分割点；
课堂检测
基础知识应用题
1、已知线段AB ，点P 是它的黄金分割点，AP ＞PB ，设以AP 为边的正方形的面积为S 1，以PB 和AB 为邻边的矩形面积为S 2，则S 1与S 2之间的大小关系是 ( )
A ．S 1＞S 2
B ．S 1＝S 2
C ．S 1＜S 2
D ．无法确定
2、已知点C 将线段AB 黄金分割，且AC ＜BC ，则BC 等于 ( ) A ．
215-AB B ．2
15+AB C ．253- AB D ．23
5-AB
综合应用题
3、以长为2的线段AB 为边作正方形ABCD ，取AB 的中点P ，连接PD ，在BA 的延长线上取点F ，使PF ＝PD ，以AF 为边作正方形AMEF ，点M 在AD 上，如图4-10所示．
(1)求AM ，DM 的长；
(2)试说明AM 2=AD ·DM ；
(3)根据(2)的结论，你能找出图中的黄金分割点吗?
探索创新题
4、如图4-13所示，作线段AB 的黄金分割点C ．
方法如下：(1)过点B 作BD ⊥AB ，使BD ＝2
1
AB ；
(2)连接AD ，在AD 上截取DE ＝BD ；
(3)在AB 上截取AC ＝AE ，则点C 是线段AB 的黄金分割点．即AC 2＝AB ·BC ．
你能证明这样得到的C 点是黄金分割点吗?
体验中考
1、宽与长的比是
2
1
5-的矩形叫黄金矩形，心理学测试表明，黄金矩形令人赏心悦目，它给我们以协调、匀称的美感，现将同学们在教学活动中，折叠黄金矩形
的方法归纳出以下作图步骤(如图4-14所示)．
第一步：作一个任意正方形ABCD ；
第二步：分别取AD ，BC 的中点M ，N ，连接MN ；
第三步：以N 为圆心，ND 为半径画弧，交BC 的延长线于点E ； 第四步：过点E 作EF ⊥AD ，交AD 的延长线于点F ，
请你根据以上作法，证明矩形DCEF 为黄金矩形(可取AB ＝2)．
学后反思
附： 课堂检测及体验中考答案 课堂检测
1、答案：B.
【解题策略】 黄金分割点把线段分成两部分，较长线段是较短线段和整个线段的比例中项． 2、答案：A.
【解题策略】 理解由黄金分割点得到的三条线段的关系．
3、分析 抓住题中的作图过程：便抓住了问题中的数量关系，根据作图过程，层层推进． 解：(1)因为正方形ABCD 的边长为2，P 是AB 的中点， 所以AD ＝AB ＝2；AP ＝1，∠BAD ＝90°， 所以PD ＝522=+AD AP ． 因为PF ＝PD ，所以AF ＝5-1． 在正方形AMEF 中，AM ＝AF ＝5-l ， 所以MD ＝AD -AM ＝3-5.
(2)由(1)得AD ·DM ＝2×(3-5)＝6-25， AM 2=(5-1)2＝6-25．所以AM 2＝AD ·DM. (3)图4-10中的M 点是线段AD 的黄金分割点． 【解题策略】 根据数形结合思想，逐步推理．
4、解：设AB ＝a ，AC ＝x ，则AD ＝AE +ED ＝x +
2
a ． 在Rt △ABD 中，由勾股定理，得2
22
22??
?
??+=??? ??+a a a x ，
整理，得x 2＝a (a-x )，即AC 2＝AB ·BC ，所以点C 是线段AB 的黄金分割点．
【解题策略】 解此题的关键是利用、黄金分割的定义来证明． 体验中考
1、证明：在正方形ABCD 中，取AB ＝2．
∵N 为BC 的中点，∴NC ＝
2
1
BC ＝1． 在Rt △DNC 中，ND ＝22CD ND +＝2221+＝5． 又∵NE =ND ，∴CE =NE-NC =5-1，∴2
1
5-=CD
CE
． 故矩形DCEF 为黄金矩形．
【解题策略】 理解黄金分割的意义．
4.3相似三角形
学习目标、重点、难点
【学习目标】
1、对相似三角形的理解和认识
2、相似三角形的定义
3、相似三角形与全等三角形的区别和联系. 【重点难点】 相似三角形的定义
相似三角形与全等三角形的区别和联系.
知识概览图
相似三角形??
?形相似三角形与全等三角
相似三角形的定义
新课导引
前面我们学习了全等三角形，即两个三角形的三角对应相等、三边对应相等，那么根据上节课所学习的相似多边形的概念，你能类比推理出相似三角形的概念吗?
【点拨】根据前面学习的有关全等三角形及相似多边形的概念，可以类比推出相似三角形的概念：三角对应相等，三边对应成比例的两个三角形叫做相似三角形．
教材精华
知识点 相似三角形的定义
三角对应相等、三边对应成比例的两个三角形叫做相似三角形． △ABC 与△DEF 相似，记作△ABC ∽△DEF ．
知识拓展 相似三角形的定义告诉我们：相似三角形的对应边的比叫做相似比．(1)如果两个三角形的三角对应相等、三边对应成比例，那么这两个三角形相似．
(2)如果两个三角形相似，那么它们的对应角相等、对应边成比例． 相似三角形与全等三角形．
全等三角形是特殊的相似三角形，它们的相似比是1，但相似三角形不一定是全等三角形．二者的区别与联系如下表所示：
名 称 类 别 全等三角形
相似三角形 定义
能够完全重合的两个三角形 对应角相等、对应边成比例的两个三角
形 图形特
征
形状、大小完全一样 形状一样、大小未必一样
表示方法 △ABC ≌△C B A '''，读作△ABC 全等于△C B A ''' △ABC ∽△C B A '''，读作△ABC 相似于△C B A ''' 性质 对应角相等，对应边相等 对应角相等，对应边成比例
相似比 若ABC ≌△C B A '''，则
B A AB ''=
C A AC
''= C B BC
'
'=1
若△ABC ∽△C B A '''，则
k C B BC
C A AC B A AB ='
'=''=''(k 为任何正实数)，相似比有顺序性
对应
角、
对应边
的识别
(1)对应顶点的字母写在对应位置上
(2)对应角所对的边是对应边，对应边所对的角是对应角
(3)最大(小)的边(角)与最大(小)的边(角)是对应边(角)
区别与 联系 (1)找对应元素的方法一样
(2)全等三角形是相似比为l 的相似三角形，但相似三角形不一定全等，二者的区别在于全等要求对应边相等，而相似要求对应边成比
例
课堂检测
基本概念题
1、下列命题正确的是 ( )
A ．所有的直角三角形都相似
B ．所有的等腰三角形都相似
C ．所有的等腰直角三角形都相似
D ．以上结论都不正确
基础知识应用题
2、如图4-42所示，已知△ADE ∽△ABC ，AD ＝3，AE ＝2，DE ＝1.6，AC
＝6，求BC ，BD 的长．
综合应用题
3、如图4-44所示，AC ，BD 相交于点O ，且AB ∥CD ，OA ＝43，OB ＝4，OD ＝
2，OC ＝23，AB ＝6，CD ＝3，则△AOB 与△COD 是否相似?为什么?
探索创新题
4、说明任意两个等腰直角三角形都相似．
体验中考
1、如果一个直角三角形的两条边长分别是6和8，另一个与它相似的直角三角形的边长分别是3和4及x ，那么x 的值， ( )
A ．只有1个
B ．可以有2个
C ．有2个以上，但有限
D ．有无数个
学后反思
附： 课堂检测及体验中考答案
课堂检测
1、答案：C
【解题策略】 解此题的关键是根据相似三角形的定义解题．
2、解：因为△ADE ∽△ABC ，
所以
BC DE AC AE =，AB
AD
AC AE =
． 所以BC =
2
6
.16?=
?AE DE AC =4.8，
AB=
2
3
6?=
?AE AD AC =9． 所以BD ＝AB -AD ＝9-3＝6．
【解题策略】 灵活运用相似三角形的性质解决问题．
3、解：由AB ∥CD 可得∠A ＝∠C ，∠B ＝∠D ， 且∠AOB ＝∠COD (对顶角相等)， 因为23
6
,224,23234======CD AB OD OB OC OA ， 所以
CD
AB
OD OB OC OA =
=， 所以△AOB 与△COD 的对应角相等、对应边成比例， 所以△AOB ∽△COD ．
【解题策略】 本题主要考查相似三角形的定义及平行线性质的综合运用
4、分析 要判定两个三角形是否相似，现在我们只能依靠定义来说明． 解：如图4-45所示，任意作等腰直角三角形ABC 与等腰直角三角形C B A '''， ∠C ＝∠C '＝90°，设AC ＝BC ＝m ，C A ''＝C B ''＝n ．
因为∠A ＝∠A '＝45°，∠B ＝∠B '＝45°，∠C ＝∠C '= 90°， 所以三个角对应相等．
由勾股定理得AB ＝22BC AC +＝22m ＝2m ， A 'B '=22C B C A ''+''=22n =2n ， 所以
n m C B BC =''，n m
C A AC =''，n
m n m B A AB ==''22， 即三条边对应成比例．
所以△ABC 与△C B A '''相似，即任意两个等腰直角三角形都相似．
体验中考
1、分析 可以是直角边，也可以是斜边，因此答案可以有2个．故选B ．
4.4探索三角形相似的条件
学习目标、重点、难点
【学习目标】
相似三角形的判定条件
相似三角形的判定方法的作用
【重点难点】
如何判定2个三角形相似
知识概览图
相似三角形的条件??
?
??方法判定两个三角形相似的作用相似三角形判定方法的相似三角形的判定
新课导引
你能回想起两个三角形全等的判定方法吗?类比这些方法，你能找到相似三角形的判定方法吗?
【问题探究】 证明两个三角形全等的判定方法有“SAS ”“SSS ”“ASA ”“AAS ”，类比这些方法，可以找到相似三角形的判定方法，你能用数学语言描述吗?
【解答】①两角对应相等的两个三角形相似；②三边对应成比例的两个三角形相似；③两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似．
教材精华
知识点1 相似三角形的判定条件一 两角对应相等的两个三角形相似．
用定义来判定两个三角形相似是比较麻烦的．因为它要涉及两个三角形的六个角、六条边共12个元素．定义中给出的判定条件是否过多呢?回忆全等三角形的定义和三角形全等的条件，我们很容易产生这样的联想(事实也是如此)：只要从三组角对应相等、三组边对应成比例中选取出部分条件来代替全部条件，就可以判定两个三角形相似．
到底选取哪些条件就可以代替全部条件呢?“两角对应相等”就是其中的一个．这样由原来定义中涉及的12个元素变成了只涉及两组角共4个元素，条件大大地减少了．
如图4-50所示，∠A ＝∠D ，∠B ＝∠E ，所以△ABC ∽△DEF ． 拓展 使用本条件时，“两角对应相等”中的“对应”二字是可以去掉的，只要此三角形的两个角与另一个三角形的两个角分别相等，那么这两个三角形就一定相似．
知识点2 相似三角形的判定条件二
三边对应成比例的两个三角形相似．
当给出的两个三角形中的已知条件以角为主时，我们应首先考虑使用“两角对应相等”的判定方法；
当给出
的已知条件都是边长时，我们应首先考虑使用“三边对应成比例”的判定方法，这种判定方法将涉及的12个元素简化为只涉及6个元素，也是很简便的．
如图4-50所示，FD
CA
EF BC DE AB =
=，所以△ABC ∽△DEF . 拓展 本条件中的“三边对应成比例”中的“对应”二字可以去掉，因为在三角形中不会出现另外的情况。如果是四边形或四边形以上的多边形，那么“对应”二字是必须有的．
知识点3 相似三角形判定条件三
两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似．
当给出的已知元素边、角混杂时，常考虑使用“两边对应成比例且夹角相等”的判定方法判定两个三角形相似．
这种方法同样将12个元素简化为6个元素．
如图4-50所示，EF
BC
DE AB =
，∠B =∠E ，所以△ABC ∽△DEF ． 拓展 从形式上看，本条件是两边成比例、一角相等，但这个角必须是这两边的“夹”角，没有这个“夹”字，判定的结果有可能是错误的．
知识点4 相似三角形判定方法的作用 (1)用来判定两个三角形相似． (2)用来证明角相等、线段成比例．
(3)为计算线段的长度与角的大小创造条件． 知识点5 如何判定两个三角形相似
判定两个三角形相似的思考过程是：
(1)先找对应角相等，可通过平行线或作平行线来寻找．
(2)若只找到一组对应角相等，可判断等角的两边是否对应成比例． (3)若找不到角相等，则判断三边是否对应成比例． (4)还可通过相似三角形性质中的传递性来判断．如，若△ABC ∽△C B A '''，△C B A '''∽△C B A ''''''，则△ABC ∽△C B A ''''''．
借助图形寻找相似的方法是：
(1)有平行线的可围绕平行关系找相等的角。
(2)有公共角、对顶角之类的等角的，可通过余角或补角等关系寻找相等的角，或观察夹这个角的两边是否对应成比例．
(3)有公共边的，可通过旋转其图形，观察特征，来寻找相似的判定条件．
(4)在证明比例式与等积式时，经常要构造三角形相似． 规律方法小结 判定两个三角形相似，至少需要下列条件之一，(1)两个角对应相等．(2)三条边对应成比例．(3)两条边对应成比例且夹角相等。理解时，可类比全等三角形的判定方法．在(1)中，只要满足两个角对应相等，这两个三角形就相似，解题时关键是寻找对应角，一般地，在解题过程中要特别注意“公共角”“对顶角”“同角的余角(或补角)”等相等的角.
课堂检测
基础知识应用题
1、根据下列各组条件，判定△ABC 和△C B A '''是否相似，并说明理由． (1)AB ＝3.5，BC ＝2.5，CA ＝4，B A ''＝24.5，C B ''=17.5，A C ''＝28；
(2)∠A =35°，∠B ＝104°，∠C '＝44°，∠A '＝35°； ．
(3)AB ＝3，BC ＝2.6，∠B ＝48°，B A ''＝1.5，C B ''=1.3，∠B '＝48°．
综合应用题
2、如图4-54所示，在△ABC 中，AB ＝AC ，∠A ＝36°，BD 是∠ABC 的平分线．
(1) △ABC 和△BCD 相似吗? (2)试说明AD 2=DC ·AC ； (3)若AC =5+1，求BC 的长．
探索创新题
3、在Rt △ABC 中，斜边AB ＝50 cm ，AC ＝40 cm ，以点C 为顶点，作一个等边三角形，并且使其他两个顶点及一边在Rt △ABC 上．
(1)符合上述条件的等边三角形有几个?请分别画出来；
(2)在这些等边三角形中，哪个面积最大?最大面积是多少?(
3≈1.732，结果精确到0．1 cm 2)
体验中考
1、一张等腰三角形纸片，底边长15cm ，底边上的高的长为22.5cm ．现沿底边依次从下往上裁剪宽度均为3 cm 的矩形纸条，如图4-57所示．已知剪得的纸条中有
一张是正方形，则这张正方形纸条是 ( )
A ．第4张
B ．第5张
C ．第6张
D ．第7张
学后反思
附： 课堂检测及体验中考答案 课堂检测
1、分析 (1)中给出的是两个三角形中的六条边的长，考虑用“三边对应成比例”．(2)中给出的是两个三角形中的两组角，考虑用“两角对应相等”．(3)中给出的是两个三角形中的两组边、一组角，考虑用“两边对应成比例且夹角相等”．
解：(1)因为
3.51 2.5141
,,24.5717.57287
AB BC CA A B B C C A ======''''''， 所以△ABC ∽△C B A '''.
(2)因为∠C ＝180°-∠A -∠B ＝180°-35°-104°＝41°， 两个三角形中只有∠A ＝∠A ' 另外两组角都不相等，
所以△ABC 与△C B A '''不相似．
(3)因为∠B ＝∠B '，1
2
3.16.2,125.13==''==''C B BC B A AB ，
所以△ABC ∽△C B A '''．
【解题策略】 灵活运用三角形相似的条件判定两个三角形相似.
2、分析 顶角为36°的等腰三角形，它的底角是72°，而BD 是底角的平分线，故∠CBD ＝36°，则可推出△ABC ∽△BCD ，进而由相似三角形对应边成比例推出线段之间的比例关系．
解：(1)因为∠A ＝36°，AB =AC ，所以∠ABC ＝∠C ＝72°． 因为BD 平分∠ABC ，所以∠ABD =∠CBD ＝36°， 所以△ABC ∽△BCD ．
(2)因为△ABC ∽△BCD ，所以BC
CD
AB BC =
， 所以BC 2=AB ·CD ，由题意知BC =BD =AD ，AB ＝AC ， 所以AD 2＝AC ·CD ．
(3)由AD 2＝AC ·CD ，得D 为线段AC 的黄金分割点，
所以AD ＝
215-AC ＝2
1
5-×(5+1)=2． 而BC ＝AD ，故BC ＝2．
【解题策略】 解此题的关键是由(2)中的AD 2＝DC ·AC 得出点D 为线段AC 的黄金分割点，再利用黄金分割的意义解决问题．
3、分析 按照题目给出的数据，准确地画出Rt △ABC ，并尝试画出以C 为一个顶点，一边分别在AC 或BC 或AB 上的等边三角形，就能得出第(1)问的正确答案. 计算所画出的每个三角形的面积，就能解出第(2)问．
解：(1)符合上述条件的等边三角形有三个，如图4-56所示：
(2)如图4-56(1)所示，作ED ⊥AC ，D 为垂足，
则ED ∥BC ，所以△ADE ∽△ACB ，所以DE ∶BC ＝AD ∶AC ，
设DE =x cm ，则CD =33x cm ，所以AD =???
? ??-x 3340cm ． 又BC=224050-=30，所以x ∶30=???
?
??-
x 3340 ∶40， 解得x =
13
)
34(120-≈20.9．
如图4-56(2)所示，作ED ⊥BC ，D 为垂足，
则ED ∥AC ，所以△BED ∽△BAC ，所以ED ∶AC ＝BD ∶BC ． 设ED =x cm ，则CD ＝
33x cm ，所以BD ＝???
?
??-x 3330cm ，
所以x ∶4＝???
? ??-
x 3330∶30，解得x ＝1134801080-≈22.6，
如图4-56(3)所示，作CD ⊥AB ，D 为垂足，
由S △ABC ＝
21AB ·CD ＝21
AC ·BC ，得AB ·CD ＝AC ·BC ， 则CD =50
40
30?=
?AB BC AC =24(cm)． 又因为24＞22.6＞20.9，
所以如图4-56(3)所示的等边三角形面积最大， S △CEF =
2
1
CD ·EF =33 CD 2=
33×242=332.5(cm 2
)．
所以当等边三角形有一条边在Rt △ABC 的斜边上时面积最大，最大面积约为332.5 cm 2．
【解题策略】 (1)上面的解题过程中运用了分类讨论思想，这是最重要的数学思想之一．(2)解题过程中省略了由等边三角形的高求其边长(或边长的一半)的过程，这是应该熟练掌握的．(3)在Rt △ABC 中，如果CD 是斜边上的高，则有AB ·CD ＝AC ·BC. 我们应能熟练地使用这个关系式(4)从理论上说明第(1)问能作几个等边三角形，需利用以后所学的知识．
体验中考
1、分析 设第n 张纸条是正方形，则GH ＝3cm ．如图4-57所示，作AD ⊥BC 于点D ，交第n 张纸条于点E ．经分析易得DE ＝3n cm ，AE ⊥GH ，∴△AGH ∽△ABC ，∴AD AE BC GH =．又∵AE =AD -DE ，∴5
.2235.22153n
-=
，解得n ＝6．故选C ．
4.7 相似三角形测高
学习目标、重点、难点
【学习目标】
通过测量旗杆的高度，来综合运用三角形相似的判定条件和性质，加深对相似三角形的理解. 【重点难点】
正确的画出图形，综合运用三角形相似的判定条件和性质解决实际问题.
知识概览图
测量旗杆高度——利用三角形相似的性质
新课导引
如右图所示的是校园操场上升旗的旗杆，如何测量它的高度呢? 【解答】 测量物体(旗杆)的高度可利用阳光下的影子、标杆、镜子的反射等方法来测
量．
教材精华
知识点 测量物体的高度
本节是一节活动课，利用相似三角形的知识测量某些不能直接测量的物体的高度．它有几个优点：一是简单易行，无需远走，无需复杂的测量工具．二是与所学知识完全对应，难易适度．三是同时使用几种方法，综合运用有关知识．
教材中给出了三种测量物体高度的方法，下面分别讲一下每种方法的几何道理． 方法1：利用阳光下的影子．
如图4-65所示，由于光线AC ，C A ''平行，所以∠C ＝∠C '．由于站立的人和被测物体都垂直于地面，所以∠B ＝∠B '＝90°，这样△ABC ∽△C B A '''，从而有AB ∶B A ''=BC ∶C B ''，其中AB ，BC ，C B ''，可测，故
B A ''通过计算可求．
方法2：利用标杆．
在观测者与旗杆之间的地面上直立一根高度适当的标杆，如图4-66所示，过点A 作地面B B '的平行线AD ，交B A ''于点D ， B A ''''于点C ，易知△A AC ''∽△A AD '，则
AD
AC
D A C A =
'''．其中AB B A C A -''''=''(可测)，AC =B B '' (可测)，AD ＝B B '(可测)，所以D A '可求，从而B A ''可求．
方法3：利用镜子的反射．
在观测者与旗杆之间的地面上平放一面镜子，如图4-67所示，由于入射角等于反射角，因此∠ACB ＝∠
B C A ''，又因为∠B ＝∠B '＝90°，所以△ABC ∽△C B A ''，则
C B BC
B A AB '
'=
''．由于AB ，BC ，C B '均可测，故B A ''，可求．
知识拓展 (1)如图4-66所示的AB 是人的身高，而如图4-67所示的AB 是人眼到地面的距离．(2)上述三种方法中，方法1比较好操作，但受太阳光的限制，只能在有太阳光时应用，方法2与方法3比较，操作过程差不多，但从计算的角度来看，方法3比较好计算．
课堂检测
基础知识应用题
1、雨后初晴，一个学生在运动场上玩耍，从他前面2m 远的一小块积水处，他看到了旗杆顶端的倒影，如果旗杆底端到积水处的距离为40 m ，该学生的眼部到地面的高度为1.5 m ，求旗杆的高度．
2、某人身高为1.8米，站在一路灯下时无影子，然后背对路灯向前走了6米，此时的影长为2米．求路灯的灯泡距地面的高度．
综合应用题
3、如图4-73所示，路边有两根相距4m的电线杆AB，CD，分别在高为3 m的A处和6 m的C处用铁丝将
两杆固定，求铁丝AD与铁丝BC的交点M离地面的高度MH．
探索创新题
4、一个钢筋三脚架的边长分别是20cm，50cm，60cm，现要做一个与其相似的钢筋三脚架，而只有长为30 cm和50 cm的两根钢筋，要求以其中的一根为一边，从另一根上截下两段(允许有余料)作为另外两边，则有几种不同的截法?并简单说明理由．
体验中考
1、我们知道利用相似三角形可以计算不能直接测量的物体的高度，阳阳的身高是1.6 m，他在阳光下的影长是1.2m，在同一时刻测得某棵树的影长为3.6 m，则这棵树的高度约为m．
2、明想利用太阳光测量楼高，他带着皮尺来到一栋楼下，发现对面墙上有这栋楼的影子，针对这种情况，他设计了一种测量方案，具体测量情况如下：
如图4-77所示，小明边移动边观察，发现站到点E处时，可以使自己落在墙上的影子与这栋楼落在墙上的影子重叠，且高度恰好相同，此时，测得小明落在墙上的影子高度CD＝1.2 m，CE＝0.8 m，CA＝30 m(点A，E，C在同一直线上)．已知小明的身高EF 是1.7 m，请你帮小明求出楼高AB(结果精确到0.1 m)．
学后反思
附：课堂检测及体验中考答案
课堂检测
1、分析可利用三角形相似对应边成比例求出旗杆的高度(DE)．
解：如图4-68所示，
根据题意得AB ＝1.5 m ，BC ＝2 m ，CE ＝40 m ． 由题意知，△ABC ∽△D'EC ， 所以
E D CE AB BC '=，所以E
D '=40
5.12， 所以D'E ＝30(m)．
由物理知识可知DE ＝D'E ＝30 m ． 答：旗杆的高度为30 m ．
【解题策略】 解此题的方法类似于利用镜子反射测量物体的高度．
2、解：如图4-70所示，
由题意可知BC ＝B'C'＝1.8米，BB'＝6米，B'D ＝2米. 易知△ABD ∽△C'B'D ，
则
D
B BD
B C AB '=
''， 所以AB =2
)
26(8.1+?=
'?''D B BD B C =7.2 (米)． 答：灯泡距地面的高度是7.2米．
【解题策略】 利用光源自身发出的光线求光源的高度，且不借助其他工具，这也是一种利用相似三角形测量物体高度时简便方法.
3、分析 要求MH 的长，先把MH 放在某一个三角形中，然后利用相似三角形的性质求出MH 的长. 解：设MH ＝x m ，BH ＝m m ，DH ＝n m ，BD ＝l m ． 则l ＝m+n ，根据题意，有：
△BMH ∽△BCD ，△DMH ∽△DAB ． 所以MH ∶CD ＝BH ∶BD ， MH ∶AB ＝DH ∶DB ，
即
l
n x l m x ==3,6， 两式相加，得l
n
l m x x +=+36=1．
解得x ＝2．
答：M 离地面的高度MH 为2 m ．
【解题策略】 此题的结果与BD 无关．若令AB ＝a ，CD ＝b ，MH ＝x ，则有
b a x 111==，即x =
b
a ab
+. 4、分析 根据三角形的三边关系定理，50cm 长的钢筋不能作为一边，30cm 长的那根不能作最短边，所以
30 cm 长的钢筋可作最长的边，也可作次长的边，所以有两种不同的截法．
解：当30 cm 长的钢筋作最长的边时， 设另外两边长分别为x cm ，y cm ，
由相似三角形的性质可知30
605020==y x ． 解得x ＝10，y ＝25．
第四章图形的相似测试卷 姓名：___________ 第Ⅰ卷（选择题） 一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1．（2018秋?新都区期末）已知＝，则的值为（） A．B．C．D． 2．（2018秋?怀化期末）如图，平行四边形ABCD中，E是BC延长线上一点，连结AE交CD于F，则图中相似的三角形共有（） A．1对B．2对C．3对D．4对 3．（2018秋?增城区期末）如图，已知∠ADE＝∠C，若AB＝10，AC＝8，AD＝4，则AE的长是（） A．20B．3.2C．4D．5 4．（2018秋?南浔区期末）如图，已知在△ABC中，DE∥BC，＝，DE＝2，则BC的长是（） A．3B．4C．5D．6 5．（2018秋?海州区校级期末）已知线段a＝2cm，b＝8cm，它们的比例中项c是（）A．16cm B．4cm C．±4cm D．±16cm 6．（2018秋?永寿县期末）如图，在△ABC中，点D在边AB上，则下列条件中不能判断△ABC∽△ACD的是（）
A．∠ABC＝∠ACD B．∠ADC＝∠ACB C．D．AC2＝AD?AB 7．（2018秋?海口期末）如图，l1∥l2∥l3，若AB＝BC，DF＝15，则DE等于（） A．5B．6C．7D．9 8．（2018秋?怀化期末）已知两个相似三角形的相似比为2：3，较小三角形面积为12平方厘米，那么较大三角形面积为（） A．18平方厘米B．8平方厘米 C．27平方厘米D．平方厘米 9．（2018秋?普兰店区期末）如图，△ABC中，点D是AB边的中点，且DE∥BC，若△ADE的面积是2，则△ABC 的面积是（） A．4B．6C．8D．10 10．（2018秋?永新县期末）如图，D是△ABC的边BC上一点，已知AB＝6，AD＝3，AC＝4，∠DAC＝∠B，则BD长为（） A．4B．6C．8D．9 第Ⅱ卷（非选择题） 二．填空题（共8小题，满分24分，每小题3分） 11．（2018秋?遂川县期末）已知（a≠0，b≠0），则＝． 12．（2018秋?宣城期末）如果若＝2，且b+d+f＝5，则a+c+e＝． 13．（2018秋?南浔区期末）b和2的比例中项是4，则b＝．
图形的相似综合复习题 一、选择题(每小题6分，共24分) 1．(重庆)如图，△ABC∽△DEF，相似比为1∶2，若BC＝1，则EF的长是( B ) A．1 B．2 C．3 D．4 2．(泰安)在△ABC和△A1B1C1中，下列四个命题： ①若AB＝A1B1，AC＝A1C1，∠A＝∠A1，则△ABC≌△A1B1C1；②若AB＝A1B1，AC＝A1C1，∠B＝∠B1，则△ABC≌△A1B1C1；③若∠A＝∠A1，∠C＝∠C1，则△ABC∽△A1B1C1；④若AC：A1C1＝CB：C1B1，∠C＝∠C1，则△ABC∽△A1B1C1.其中真命题的个数为( B ) A．4个B．3个C．2个D．1个 3．(宁波)如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠B＝∠ACD＝90°，AB＝2，DC＝3，则△ABC 与△DCA的面积比为( C ) A．2∶3 B．2∶5 C．4∶9 D.2∶ 3 解析：∵AD∥BC，∴∠ACB＝∠DAC，又∵∠B＝∠ACD＝90°，∴△CBA∽△ACD， BC AC ＝ AC AD ＝ AB DC ，AB＝2，DC＝3，∴ BC AC ＝ AC AD ＝ AB DC ＝ 2 3 ，∴ BC AC ＝ 2 3 ，∴cos∠ACB＝ BC AC ＝ 2 3 ，cos∠DAC＝ AC DA ＝ 2 3 ，∴ BC AC · AC DA ＝ 2 3 × 2 3 ＝ 4 9 ，∴ BC DA ＝ 4 9 ，∵△ABC与△DCA的面积比＝ BC DA ，∴△ABC与△DCA的面积比＝ 4 9 ，故选：C 4．孝感)在平面直角坐标系中，已知点E(－4，2)，F(－2，－2)，以原点O为位似中心，相似比为 1 2 ，把△EFO缩小，则点E的对应点E′的坐标是( D ) A．(－2，1) B．(－8，4) C．(－8，4)或(8，－4) D．(－2，1)或(2，－1) 解析：如图 二、填空题(每小题6分，共24分) 5．(邵阳)如图，在?ABCD中，F是BC上的一点，直线DF与AB的延长线相交于点E，BP∥DF，且与AD相交于点P，请从图中找出一组相似的三角形：__△ABP∽△AED(答案不唯一)__．
图形的相似单元训练 一．选择题（共14小题） 1．（2016?兰州模拟）若a：b=2：3，则下列各式中正确的式子是（） A．2a=3b B．3a=2b C．D． 2．（2016?崇明县一模）已知=，那么的值为（） A．B．C．D． 3．（2016?泰州二模）已知，则的值是（） A．B．C．D． 4．（2016?临沂模拟）若=，则=（） A．1 B．C．D． 5．（2016?萧山区二模）已知2x+4y=0，且x≠0，则y与x的比是（） A．﹣ B．C．﹣2 D．2 6．（2016?兰州）如图，在△ABC中，DE∥BC，若=，则=（） A．B．C．D． 7．（2016?杭州）如图，已知直线a∥b∥c，直线m交直线a，b，c于点A，B，C，直线n 交直线a，b，c于点D，E，F，若=，则=（） A．B．C．D．1 8．（2016?西山区二模）如图，在△ABC中，DE∥BC，，DE=4，则BC的长是（）A．8 B．10 C．11 D．12 9．（2016?潮州校级模拟）如图，已知AB∥CD∥EF，那么下列结论正确的是（）
A．=B．=C．=D．= 10．（2016?罗定市一模）下列图形一定是相似图形的是（） A．两个矩形B．两个正方形 C．两个直角三角形D．两个等腰三角形 11．（2016?安徽）如图，△ABC中，AD是中线，BC=8，∠B=∠DAC，则线段AC的长为（） A．4 B．4C．6 D．4 12．（2016?承德模拟）在某一时刻，测得一根高为1.2m的木棍的影长为2m，同时测得一根旗杆的影长为25m，那么这根旗杆的高度为（） A．15m B．m C．60 m D．24m 13．（2016?临夏州）如果两个相似三角形的面积比是1：4，那么它们的周长比是（）A．1：16 B．1：4 C．1：6 D．1：2 14．（2016?重庆）△ABC与△DEF的相似比为1：4，则△ABC与△DEF的周长比为（）A．1：2 B．1：3 C．1：4 D．1：16 二．填空题（共12小题） 15．（2016?邯郸校级自主招生）已知实数a，b，c满足a+b+c=10，且，则的值是______． 16．（2016?浦东新区一模）已知，那么=______． 17．（2016?杨浦区一模）如果，那么=______． 18．若两个相似多边形的面积比是16：25，则它们的相似比等于______．19．（2016?丹东模拟）如图，CD是Rt△ABC的斜边AB上的高， 图中与△ADC相似的三角形为___ ___（填一个即可）． 20．（2016?抚顺模拟）如图，矩形ABCD中，AD=2，AB=5，P为CD边上的动点，当△ADP与△BCP相似时，DP=______． 21．（2016?潮州校级模拟）如图，为了测量水塘边A、B两点之间的距离，在可以看到的A、B的点E处，取AE、BE延长线上的C、D两点，使得CD∥AB，若测得CD=5m，AD=15m，ED=3m，则A、B两点间的距离为______m．
北师大版九年级数学上册《图形的相似》知 识点归纳 第四章图形的相似 一、成比例线段 定义： 线段比：如果选用一个长度单位量得两条线段AB、cD 的长度分别是,n，那么这两条线段的比就是它们长度的比，即AB：cD=:n,或者写成AB/cD=/n. 成比例线段：四条线段a、b、c、d中，如果a与b的比等于c与d的比，即a/b=c/d，那么这四条线段a、b、c、d叫做成比例线段，简称比例线段。 定理：如果a/b=c/d==/n, 那么/=a/b 二、平行线分线段成比例 两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例。 平行于三角形一边的直线与其他两边相交。截得的线段成比例。 三、相似多边形 定义：各角分别相等，各边成比例的两个多边形叫做相似多边形。相似多边形对应边的比叫做相似比。 四、探索三角形相似的条
两角分别相等的两个三角形相似。 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似。 三边成比例的两个三角形相似。 概念：一般地，点c把线段AB分成两条线段Ac和Bc，如果Ac/AB=Bc/Ac，那么称线段AB被点c黄金分割，点c叫做线段AB的黄金分割点，Ac与AB的比叫做黄金比。 五、相似三角形判定定理的证明 六、利用相似三角形测高 利用阳光下的影子 利用标杆 利用镜子的反射 七、相似三角形的性质 相似三角形对应高的比、对应角平分线的比、对应中线的比等于相似比。 相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方。 八、图形的位似 定义：一般地，如果两个相似多边形任意一组对应顶点P、P1所在的直线都经过同一个点o，且有oP1=*oP,那么这样的两个多边形叫做位似多边形，点o叫做位似中心。实际上，就是这两个相似多边形的相似比。
第四章 图形的相似 1 成比例线段 2 平行线分线段成比例 3 相似多边形 4 探索三角形相似的条件 *5 相似三角形判定定理的证明 6 利用相似三角形测高 7 相似三角形的性质 8 图形的位似 一. 成比例线段 ※1. 如果选用同一个长度单位量得两条线段AB, CD 的长度分别是m 、n,那么就说这两条线 段的比AB:CD=m:n ,或写成n m B A =. ※2. 四条线段a 、b 、c 、d 中,如果a 与b 的比等于c 与d 的比,即 d c b a =,那么这四条线段a 、b 、c 、d 叫做成比例线段,简称比例线段. ※3. 注意点: ①a:b=k,说明a 是b 的k 倍; ②由于线段 a 、b 的长度都是正数,所以k 是正数; ③比与所选线段的长度单位无关,求出时两条线段的长度单位要一致; ④除了a=b 之外,a:b ≠b:a, b a 与a b 互为倒数; ⑤比例的基本性质:若d c b a =, 则ad=bc; 若ad=bc, 则 d c b a = ※1. 如图1,点C 把线段AB 分成两条线段AC 和BC,如果AC BC AB AC =,那么称线段AB 被点C 黄金分割,点C 叫做线段AB 的黄金分割点,AC 与AB 的比叫做黄金比. 1:618.02 15:≈-=AB AC ※2.黄金分割点是最优美、最令人赏心悦目的点. 二．平行线分线段成比例 ※1. 平行线分线段成比例定理:三条平行线截两条直线, 所得的对应线段成比例. 如图2, l 1 // l 2 // l 3,则EF BC DE AB =. 三. 相似多边形 ¤1. 一般地,形状相同的图形称为相似图形. ※2. 对应角相等、对应边成比例的两个多边形叫做相似 多边形.相似多边形对应边的比叫做相似比. ※相似多边形的周长等于相似比;面积比等于相似比的平 方. 四. 探索三角形相似的条件 _ 图1 _ B _ C _ A _ 图2 _ F _ E _ D _ C _ B _ A _ l _3 _ l _2 _ l _1
图形的相似 知识点1比例的性质、单选题 5 3 1.已知———,那么的值是 X2 1015 3 A . 3 B ? C ?D? 2.已知3x=4y(xy乞0则下列比例式成立的是（） A. j 4 C . = J D? y 3 ，则下列各式不成立的是（） 2 耳4 2x y 6?若=，贝U 的值为( x y 1 2 A ?B? 7.已知2x=3y （xy工），则下列各式中错误的是（） A x^-v A.卞=A M T C B .〒=三J 」广叱卩] a5 a-b 8?已知工=_n, 则的值是（） a+b ■n94 A?卞 B .巧 C ?可D?号 a3a+b? 9.若—则的值为（) b5b 3 ? 不为0的四个实数a、b , c、d 满足励■=?：＜/，改写成比例式错误的是 （ a d c b d b a c A B ? C ? D ?—-z c b a d a c b d 1■十片7X 4 ? 如果，那么的值是（)? ) 5?若 y X
10. 已知x ： y=3: 2，则下列各式中不正确的是（ ） 、解答题 11. 已知 a ： b : c=2： 3 : 4,且 2a+3b -2c=10，求 a -2b+3c 的值. 12. 已知 == ,且 x+y -z=6,求 x 、y 、z 的值. —r a b 5a-2b 的值. 13. 已知 =口 0求代数式 a 2b 已知 x 2y 14. = ,且 x -y= 2,求 y 的值. 2 a b c ,求a 、b 、c 的值 15. 已知 a+b+c= 60,且一 —— 一 3 4 5 16.已知 a 3，求下列算式的值. b 2 17.已知 — b ，求代数式 5a _ 2b 的值. 2 3 a 2b x y z 18. 已知 2 3 4 亠x 2y … （1） 求 的值； z （2） 如果 \ x 3 y z ，求x 的值. b c — —, 求a 、b 、c 的值. 4 5 专= =身，x - y+z=6,求：代数式3x - 2y+z 的值. 三、填空题 8-5 A 5 一 2 一一 1-n 士 - ￥ ■ 19.已知 a+b+c=60，且 20.已知: 35 C 3-1 D
初三数学图形的相似题型总结 【教学目标】 比例基本性质；平行线分线段成比例；相似三角形的性质与判定；图形的位似 【回顾知识点】 1、比例的性质：基本性质、合比性质、分比性质、等比性质 2、黄金分割点 3、平行线分线段成比例 4、相似三角形的性质与判定 5、图形的位似 6、特殊锐角的三角函数值 7、解直角三角形 8、解直角三角形的应用 【例题讲解】 题型一：比例性质的考查 A．a=2cm，b=3cm B．a=2k，b=3k（k≠0） 2 C．3a=2b D．a=b 3 A．2B．-1C．2或-1D．不存在题型二：黄金分割的考查 例2、已知点C为线段AB的黄金分割点，且AC=1cm，则线段AB的长为 _________________.
题型三：平行线分线段成比例的考查 例3、（1）如图，在△ABC 中，DE ‖BC ，，DE=4，则BC 的长是（ ）12AD DB A 、8 B 、10 C 、11 D 、12（2）如图，已知在△ABC 中，点D 、 E 、 F 分别是边AB 、AC 、BC 上的点， DE ∥BC ，EF ∥AB ，且AD ：DB=3：5，那么CF ：CB 等于（ ） A ．5：8 B ．3：8 C ．3：5 D ．2：5 例3（2）图 例4（1）图 例4（2）图 题型四：相似三角形性质的考查例4、（1）如图，在等边三角形ABC 中，D 、E 、F 分别是边BC 、AC 、AB 上的点，DE⊥AC，EF⊥AB，FD⊥BC，则△DEF 的面积与△ABC 的面积之比等于（ ） A 、1:3 B 、2：3 C D 23 （2）如图，DE 是△ABC 的中位线，M 是DE 的中点，若△ABC 的面积为48cm 2，则△DMN 的面积为_______ cm 2. （3）如图，已知△ADE ∽△ABC ，AD=6cm ，DB=3cm ，BC=9.9cm ，∠A=70度，∠B=50度，1）求∠ADE 的大小；2）求∠AED 的大小；3）求DE 的长。
初三数学 图形的相似（三） 典例学习 例1 如图,把△ABC 沿着BC 的方向平移到△DEF 的位置,它们重叠部分（即图中阴影部 分）的面积是△ABC 面积的一半,若BC=3,则△ABC 移动的距离是__________。 例2 某市为了打造森林城市，树立城市新地标，实现绿色、共享发展理念，在城南建起了“望月阁”及环阁公园。小亮、小芳等同学想用一些测量工具和所学的几何知识测量“望月阁”的高度，来检验自己掌握知识和运用知识的能力。他们经过观察发现，观测点与“望月阁”底部间的距离不易测得，因此经过研究需要两次测量，于是他们首先用平面镜进行测量。方法如下：如图，小芳在小亮和“望月阁”之间的直线BM 上平放一平面镜，在镜面上做了一个标记，这个标记在直线BM 上的对应位置为点C ，镜子不动，小亮看着镜面上的标记，他来回走动，走到点D 时，看到“望月阁”顶端点A 在镜面中的像与镜面上的标记重合，这时，测得小亮眼睛与地面的高度ED=1.5米，CD=2米，然后，在阳光下，他们用测影长的方法进行了第二次测量，方法如下：如图，小亮从D 点沿DM 方向走了16米，到达“望月阁”影子的末端F 点处，此时，测得小亮身高FG 的影长FH=2.5米，FG=1.65米。如图，已知AB ⊥BM ，ED ⊥BM ，GF ⊥BM ，其中，测量时所使用的平面镜的厚度忽略不计，请你根据题中提供的相关信息，求出“望月阁”的高AB 的长度。 例3 已知,如图所示的一张三角形纸片ABC,边AB 的长为20cm,AB 边上的高为25cm,在三角形纸片 ABC 中从下往上依次裁剪去宽为4cm 的矩形纸条,若剪得的其中一张纸条是正方形,那么这张正 方形纸条是( ) A. 第4张 B. 第5张 C. 第6张 D. 第7张 例4 宽与长的比是2 15 (约0.618)的矩形叫做黄金矩形,黄金矩形蕴藏着丰富的美学价值,给我们以协调和匀称的 美感。我们可以用这样的方法画出黄金矩形：作正方形ABCD,分别取AD 、BC 的中点E. F,连接EF:以点F 为圆心, 以FD 为半径画弧,交BC 的延长线于点G;作GH ⊥AD,交AD 的延长线于 点H,则图中下列矩形是黄金矩形的是( ) A. 矩形ABFE B. 矩形EFCD C. 矩形EFGH D. 矩形DCGH
图形的相似 1．相似图形 ________________________是相似图形. 2. 比例线段 对于四条线段a ，b ，c ，d ，如果____________与____________(如d c b a )，那么称这四条线段是成比例线段，简称__________________． 3.相似多边形 相似多边形____________相等，____________相等. 反过来，如果两个多边形满足____________，____________那么这两个多边形相似． 我们把相似多边形对应边的比成为___________． 1、相似多边形 【例1】如图，图形a ～f 中，哪些是与图形（1）或（2）相似的？ 练1. 观察下列图形，指出哪些是相似图形：
2．相似图形的性质 【例2】下图中的△A1B1C1是由正△ABC放大后得到的，观察这两个图形，它们的对应角有什么关系？对应边又有什么关系呢？ 练2.下列说法正确的是（） A．所有的平行四边形都相似 B．所有的矩形都相似 C．所有的菱形都相似 D．所有的正方形都相似 3．比例线段 α和的大小和EH的长度x．【例3】如图27.1-6，四边形ABCD和EFGH相似，求角β
练3. （2015春?苏州市校级月考）在一张比例尺为1∶20000的地图上，量得A 与B 两地的距离是5cm ，则A ，B 两地实际距离为______m ． 练4. 已知四边形ABCD 与四边形A 1B 1C 1D 1相似，且A 1B 1:B 1C 1:C 1D 1:D 1A 1=7:8:11:14，若四边形ABCD 的周长为40，求四边形ABCD 的各边的长． 练5. （2014秋?重庆市校级期中）如图所示的两个五边形相似，求未知边a 、b 、c 、d 的长度． 【例4】△ABC 与△DEF 相似，且相似比是 3 2 ，则△DEF 与△ABC 与的相似比是（ ）． A ．32 B ．23 C ．52 D ．9 4. 练6．已知2a －3b ＝0，b ≠0，则a ∶b ＝______． 练7．（2014秋?郑州市期末）若,5 32z y x ==则=-+x z y x 2______．. 【例5】要做甲、乙两个形状相同(相似)的三角形框架，已知三角形框架甲的三边分别为50cm ，60cm ，80cm ，三角形框架乙的一边长为20cm ，那么，符合条件的三角形框架乙共有( ) A ．1种 B ．2种 C ．3种 D ．4种
第三章 相似图形 1．成比例线段 一、目标导航 1．了解两条线段的比的概念； ※1. 如果选用同一个长度单位量得两条线段AB ，CD 的长度分别是m 、 n ，那么就说这两条线段的比AB :CD =m :n ，或写成. 2．若线段d c b a ::=，则线段d c b a ,,,叫做成比例线段(或比例线段)； 3．及bc ad =在指定条件下可以互相转化，即比例式及等积式可以互相转化． 二、基础过关 1．若2x －5y =0，则y ∶x =________，=________． 2．如果53=-b b a ，那么b a =________． 3．若a = 2，b =3，c =33，则a 、b 、c 的第四比例项d 为________． 4．若753z y x ==，则z y x z y x -++-=________． 5．在一张地图上，甲、乙两地的图上距离是3 cm ，而两地的实际 距离为1500 m ，那么这张地图的比例尺为________． 三、能力提升 6．若，且AB=12，AC=3，AD=5，则AE=________． 7．已知O 点是正方形ABCD 的两条对角线的交点，则AO ∶AB ∶AC=________． 8．已知y x 23=，那么下列式子成立的是()
A ．3x =2y B ．xy =6 C ．32=y x D ．32 =x y 9．把ab =2 1cd 写成比例式，不正确的写法是() A ．b d c a 2= B ．b d c a =2 C ．b d c a =2 D ．d a b c 2= 10．已知线段x ，y 满足(x +y )∶(x －y )=3∶1，那么x ∶y 等于() A ．3∶1 B ．2∶3 C．2∶1 D ．3∶2 11．已知直角三角形的两条直角边长的比为a ∶b =1∶2，其斜边长 为45cm ，那么这个三角形的面积是()cm 2． A ．32 B ．16 C ．8 D ．4 12．等腰梯形ABCD 的周长是104 cm ，AD ∥BC ，且 AD ∶AB ∶BC =2∶3∶5，则这个梯形的中位线的长是()cm ． A ．72．8 B ．51 C ．36．4 D ．28 13．已知四条线段a 、b 、c 、d 的长度，试判断它们是否成比例? (1)a =16 cmb =8 cmc =5 cmd =10 cm (2)a =8 cmb =5 cmc =6 cmd =10 cm 四、聚沙成塔 在△ABC 中，D 是BC 上一点，若AB=15 cm ，AC=10 cm ，且BD ∶DC=AB ∶AC ， BD －DC=2 cm ，求BC 的长．
图形的相似 考点一、比例线段 （3分） 1、比例线段的相关概念 如果选用同一长度单位量得两条线段a ，b 的长度分别为m ，n ，那么就说这两条线段的比是，或写成a ：b=m ：n 在两条线段的比a ：b 中，a 叫做比的前项，b 叫做比的后项。 在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段 若四条a ，b ，c ，d 满足或a ：b=c ：d ，那么a ，b ，c ，d 叫做组成比例的项，线段a ，d 叫做比例外项，线段b ，c 叫做比例内项，线段的d 叫做a ，b ，c 的第四比例项。 如果作为比例内项的是两条相同的线段，即 c b b a =或a ：b=b ：c ，那么线段b 叫做线段a ，c 的比例中项。 2、比例的性质 （1）基本性质 ①a ：b=c ：d ?ad=bc ②a ：b=b ：c ac b =?2 （2）更比性质（交换比例的内项或外项） d b c a =（交换内项） ?=d c b a a c b d =（交换外项） a b c d =（同时交换内项和外项） （3）反比性质（交换比的前项、后项）： c d a b d c b a =?= （4）合比性质： d d c b b a d c b a ±=±?= （5）等比性质： b a n f d b m e c a n f d b n m f e d c b a =++++++++?≠++++==== )0( 3、黄金分割 把线段AB 分成两条线段AC ，BC （AC>BC ），并且使AC 是AB 和BC 的比例中项，叫做把线段AB 黄金分割，点C 叫做线段AB 的黄金分割点，其中AC=2 15-≈ 考点二、平行线分线段成比例定理 （3~5分） 三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例。 推论：（1）平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例。 逆定理：如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边。 （2）平行于三角形一边且和其他两边相交的直线截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例。 考点三、相似三角形 （3~8分） 1、相似三角形的概念 n m b a =d c b a =
图形的相似 知 识点1比例的性质 、单选题 53 1.已知———,那么的值是 X2 1015 3 A . 3 B ? C ?D? 2.已知3x=4y(xy乞0则下列比例式成立的是（） A. j 4 C . = J D? y 3 ，则下列各式不成立的是（） 2 耳4 2x y 6?若=，贝U 的值为( x y 1 2 A ?B? 7.已知2x=3y （xy工），则下列各式中错误的是（） A x^-v A.卞=A M T C B .〒=三J 」广叱卩] a5 a-b 8?已知工=_n, 则的值是（） a+b ■n94 A?卞 B .巧 C ?可D?号 a3a+b? 9.若—则的值为（) b5b 3 ? 不为0的四个实数a、b , c、d 满足励■=?：＜/，改写成比例式错误的是 （ a d c b d b a c A B ? C ? D ?—-z c b a d a c b d 1■十片7X 4 ? 如果，那么的值是（)? ) 5?若 y X
10. 已知x：y=3: 2，则下列各式中不正确的是（） 、解答题 11. 已知a：b: c=2：3 : 4,且2a+3b-2c=10，求a-2b+3c 的值. 12. 已知== ,且x+y-z=6,求x、y、z 的值. —r a b5a-2b 的值. 13.已知=口0求代数式 a2b 已知 x2y 14.=,且x-y=2,求 y的值. 2 a b c ,求a、b、c的值 15.已知a+b+c=60,且一——一 345 16.已知a 3 ，求下列算式的值. b 2 17.已知— b 0，求代数式 5a_2b的值. 2 3 a 2b x y z 18. 已知 2 3 4 亠x 2y… （1）求的值； z （2）如果\ x 3 y z，求x的值. b c ——, 求a、b、c的值. 4 5 专= =身，x - y+z=6,求：代数式3x - 2y+z的值. 三、填空题 8- 5 A 5 一 2 一 一1-n 士- ￥ ■ 19.已知a+b+c=60，且 20.已知: 35 C3-1 D
北师大版九年级上册数学第四章《图形的相似》单元测试卷 一、选择题(本大题共10小题,每小题3分,共30分) 1、已知点P 在线段AB 上,且AP ∶PB=2∶3,那么AB ∶PB 为?( ) A. 3∶2 B. 3∶5 C. 5∶2 D. 5∶3 2、下列各组图形一定相似的是?( ) A. 两个菱形 B. 两个矩形 C. 两个直角梯形 D. 两个正方形 3、已知y x =5 3,那么下列等式中,不一定正确的是?( ) A. 5x=3y B. x+y=8 C.y y x +=5 8 D.y x =53++y x 4、如图,已知四边形ABCD 中,E 、F 分别为AB 、CD 上的两点,且AD ∥BC ∥EF,AB=4BE,则DF 与FC 的关系是?( ) A. DF=4FC B. DF=3FC C. DF=3 5FC D. DF=2FC 5、如图,在梯形ABCD 中,AB ∥CD,∠ADC>∠C,在∠ADC 内作∠ADF=∠C,DF 交AB 于E,交CB 的延长线于F,则图中与△BEF 相似的三角形有?( )
A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 6、如图,DE ∥BC,CD 与BE 相交于点O,若=41,则AC AE 的值为?( ) 7、如图,A,B,C,D,E,G,H,M,N 都是方格纸中的格点(即小正方形的顶点),要使△DEF 与△ABC 相似,则点F 应是G,H,M,N 四点中的?( ) A. H 或N B. G 或H C. M 或N D. G 或M 8、在研究相似问题时,甲、乙同学的观点如下:甲:将边长为3、4、5的三角形按图①的方式向外扩张,得到新三角形,它们的对应边间距均为1,则新三角形与原三角形相似.乙:将邻边为3和5的矩形按图②的方式向外扩张,得到新的矩形,它们的对应边间距均为1,则新矩形与原矩形不相似.对于两人的观点,下列说法正确的是?( )
第四章图形的相似 1.了解线段的比、成比例线段,掌握比的性质及平行线分线段成比例的基本事实. 2.了解相似多边形和相似比. 3.探索并理解三角形相似的条件和性质. 4.了解相似三角形判定定理的证明. 5.了解图形的位似,能够利用位似将一个图形放大或缩小. 6.探索并了解多边形的各顶点坐标(有一个顶点为原点,有一条边在横轴上)分别扩大或缩小相同倍数时所对应的图形与原图形的位似关系. 7.了解黄金分割的意义,以及相似图形在现实生活中的应用. 在研究与图形相似有关的问题中,经历观察、操作、类比、归纳、交流等过程,进一步发展几何直观和推理能力,发展发现问题、提出问题、解决问题的能力,积累数学活动经验.
在探索问题、合作交流的过程中,进一步体会数学与自然及人类社会的密切联系和数学的价值,增强应用意识. 基于《标准》的要求和学生的基础,本章设计的总体思路是以数形结合为基本方法,以合情推理能力与演绎推理能力的培养为主线,在生动的问题情境和丰富的数学活动中,了解比例的基本性质、线段的比、成比例线段;掌握平行线分线段成比例的基本事实;类比三角形全等,探索三角形相似的条件;了解相似三角形的判定定理和性质定理;了解图形的位似,体会多边形的顶点坐标分别扩大或缩小相同倍数时所对应的图形与原图形的位似关系;会利用图形的相似解决一些简单的实际问题. 第1节“成比例线段”、第2节“平行线分线段成比例”,教科书从观察生活中的图案到观察几何图形,进而认识形状相同的图形.通过引导学生思考如何描述形状相同的图形的不同之处,引出学习线段的比的必要性和线段的比的概念,在此基础上,结合图形引出成比例线段、比例的性质,以及平行线分线段成比例等内容,从而为后面研究相似三角形做好准备.第3节“相似多边形”,教科书结合具体的形状相同的图形,明确对应角、对应边的
第四章图形的相似章末培优练习 一．选择题 1．线段b是线段a和线段c的比例中项，若a＝2，c＝8，则线段b的长度为（）A．5 B．±5 C．4 D．±4 2．已知△ABC∽△A1B1C1，且相似比是2：3，那么△A1B1C1与△ABC的面积比是（）A．2：3 B．3：2 C．4：9 D．9：4 3．如图，已知AB∥CD∥EF，AD：AF＝3：5，BC＝2.4，则CE的长等于（） A．4 B．3.6 C．1.6 D．5 4．如图，已知△OAB与△OA′B′是相似比为1：2的位似图形，点O是位似中心，若OA＝2，则AA′的长是（） A．2 B．3 C．4 D．6 5．在平面直角坐标系中，已知点E（﹣6，2），F（﹣2，﹣2），以原点O为位似中心，相似比为，把△EFO缩小，则点E的对应点E′的坐标是（） A．（﹣3，1）B．（﹣12，4） C．（﹣12，4）或（12，﹣4）D．（﹣3，1）或（3，﹣1） 6．如图所示，四边形ABCD的两条对角线交于点O，且AB∥CD，下列结论中总能成立的有（） ①△AOB与△COD相似；②△ABD与△ABC相似； ③S△DOC：S△AOB＝DC：AB；④S△AOD＝S△BOC．
A．1个B．2个C．3个D．4个 7．如图，在平行四边形ABCD中，点E在AD边上，连接CE并延长，交BA的延长线于点F．若AE＝ED，则的值为（） A．B．C．D． 8．如图，在正方形ABCD中，E为边BC的中点，EF⊥AE，与边CD相交于点F，如果△CEF的面积等于1，那么△ABE的面积等于（） A．B．2 C．D．4 9．如图，△ABC中，AE交BC于点D，∠C＝∠E，AD＝4，BC＝8，BD：DC＝5：3，则DE的长等于（） A．B．C．D． 10．如图，在正方形ABCD的外侧作等边△ADE，连接BE交AC于点F，交AD于点H，连结DF并延长交AB于点G，下列结论中，正确的个数是（） ①∠CFD＝60°
第四章图形的相似 4.3 相似多边形 1．下列说法正确的是( ) A．所有的等腰三角形都相似 B．四个角都是直角的两个四边形一定相似 C．所有的正方形都相似 D．四条边对应成比例的两个四边形相似 2．四边形ABCD∽四边形A′B′C′D′，且AB∶A′B′＝2∶3，那么四边形A′B′C′D′与四边形ABCD的相似比为_______． 3．两个相似多边形的相似比为5∶3，已知其中一个多边形的最小边长为15，则另一个多边形的最小边长为______． 4．已知五边形ABCDE∽五边形M N O PQ，如果AB＝12，M N＝6，AE＝7，∠E＝82°，则M Q＝_____，∠Q＝______，五边形ABCDE与五边形M N O PQ的周长之比是______． 5．图中的两个四边形相似，则x＋y＝_____，α＝_____. 6．如图，把矩形ABCD对折，折痕为M N，矩形DM N C与矩形ABCD相似，已知AB ＝4. (1)求AD的长； (2)求矩形DM N C与矩形ABCD的相似比．
7．如图，一般书本的纸张是原纸张多次对开得到的，矩形ABCD沿EF对开后，再把 矩形EFCD沿M N对开，依次类推，若各种开本的矩形都相似，那么AB AD等于( ) A．0.618 B． 2 2 C． 2 D．2 8．如图，已知在矩形ABCD中，ABEF是正方形，且矩形CEFD与矩形ABCD相似，求矩形ABCD的宽与长的比． 9．如图所示，现有边长为1，A(A＞1)的一张矩形纸片ABCD，把这个矩形按要求分割，画出分割线，并在相应的位置上写出A的值． (1)把这个矩形分成两个全等的小矩形，且分成的两个矩形与原矩形相似； (2)把这个和矩形分成三个矩形，且每一个矩形都与原矩形相似，给出两种不同的分割．
图形的相似专题 一、 选择题 1.如图，正五边形 是由正五边形 经过位似 变换得到的，若，则下列结论正确的是( ) A. B. C. D. 2.（2014·南京中考）若△ABC ∽△A ′B ′C ′,相似比为1∶2,则△ABC 与△A ′B ′C ′的面积的比为（ ） A. 1∶2 B. 2∶1 C. 1∶4 D. 4∶1 3.已知四条线段是成比例线段，即d c b a =，下列说法错误的是（ ） A ． B. b a d b c a =++ C. d b c b d a -=- D ．22 22d c b a = 4.已知：在△ABC 中，BC =10，BC 边上的高h =5，点E 在边AB 上，过 点E 作EF ∥BC ，交AC 边于点F ，点D 为BC 边上一点，连接DE ，DF ，设点E 到BC 的距离为x ，则△DEF 的面积S 关于x 的函数图象大致为（ ） 5.若 8 75c b a ==，且，则 的值是（ ） A.14 B.42 C.7 D. 3 14 6.如图，已知 // ， // ， 分别交 于点 ，则图中共有相似三 角形（ ） A.4对 B.5对 C. 6对 D.7对 7.如图，在△ 中，∠ 的垂直平分线交 的延长线于点，则的长为（ ） A. B. C. D. 8.下列四 第1题图 F G H M N A B C D E
组图形中，不是相似图形的是（ ） 9.已知两个相似多边形的面积比是9︰16，其中较小多边形的周长为36 cm ，则较大多边形的周长为( ) A.48 cm B.54 cm C.56 cm D.64 cm 10.（2013·陕西中考）手工制作课上，小红利用一些花布的边角料，剪裁后装裱手工画.下面四个图案是她剪裁出的空心不等边三角形、等边三角形、正方形和矩形花边，其中每个图案花边的宽度都相同，那么每个图案中花边的内外边缘所围成的几何图形不相似的 是（ ） 二、填空题（每小题3分，共24分） 11.如图，在△ABC 中，DE ∥BC ,2 3 DE BC =,△ADE 的面积为8，则△ABC 的面 积 . 12.如果一个三角形的三边长为5、12、13，与其相似的三角形的最长的边为39，那么较大的三角形的周长为_______，面积为________． 13.将三角形纸片（△ABC ）按如图所示的方式折叠，使点B 落在边AC 上，记为点B ′，折痕为EF ．已知AB ＝AC ＝3，BC ＝4，若以点B ′，F ，C 为顶点的三角形与△ABC 相似，那么BF 的长度是 ． 14.若0234x y z ==≠，则23x y z += . 15.如图是小明设计用手电来测量某古城墙高度的示意图，点处放一水平的平面镜，光线从点出发经平面镜反射后刚好射到古城墙的顶端处，已知 ，，且测得AB =1.2 m ，BP =1.8 m ，PD =12 m ，那么该古城墙 的高度是_____.
第四节 图形的相似 一、 知识点清单 考点1 成比例线段 二、 基础巩固 1、下列各组线段（单位：㎝）中，成比例线段的是（ ） A 、1、2、3、4 B 、1、2、2、4 C 、3、5、9、13 D 、1、2、2、3 2、已知135=a b ，则a b a b -+的值是（ ） A. 32 B. 23 C. 49 D. 9 4
3、若a －b b ＝23，则a b ＝________.( ) A.13 B.23 C.43 D.53 4、中华经典美文阅读中，小明同学发现自己的一本书的宽与长之比为黄金比．已知这本书的长为20 cm ，则它的宽约为( ) A ．12.36 cm B ．13.6 cm C ．32.36 cm D ．7.64 cm 5、若△ABC ∽△DEF, △ABC 与△DEF 的相似比为１∶2，则△ABC 与△DEF 的周长比为（ ） A ．1∶4 B ．1∶2 C ．2∶1 D ．１∶2 6、已知△ABC∽△DEF，且AB ：DE=1：2，则△ABC 的面积与△DEF 的面积之比为 ( ) (A)1：2 (B)1：4 (C)2：1 (D)4：1 7、如图，△ABC 中，点D 在线段BC 上，且△ABC ∽△DBA ，则下列结论一定正确的是( ) A ．A B 2＝BC·BD B ．AB 2＝AC·BD C ．AB·A D ＝BD·BC D ．AB·AD ＝AD·CD 8、下列4×4的正方形网格中，小正方形的边长均为1，三角形的顶点都在格点上，则与△ABC 相似的三角形所在的网格图形是（ ） 9、如图，在△ABC 中，点D E 、分别在AB AC 、边上， DE ∥BC ，若:3:4AD AB =，6AE =，则AC 等于 A. 3 B. 4 C. 6 D. 8 10、小明在打网球时，使球恰好能打过网，而且落点恰好在离网6米的位置上，则球拍击球的高度h 为( ) A.815米 B ．1米 C.43米 D.85 米 11、如图，在△ABC 中，D 、E 两点分别在BC 、AC 边上，若BD ＝CD ，∠B ＝∠CDE ，DE ＝2，则AB 的长度是( ) A ．4 B ．5 C ．6 D ．7 12、图中的两个三角形是位似图形，它们的位似中心是( ) A ． 点P B ．点O C ．点M D ．点N
北师大版2021年中考数学总复习 《图形的相似》 一、选择题 1.下列各组线段（单位：㎝）中，成比例线段的是（） A.1、2、3、4 B.1、2、2、3 C.1、2、2、4 D.3、5、9、13 2.若a:b:c=3:5:7,且3a+2b-4c=9,则a+b+c的值等于（） A.-3 B.-5 C.-7 D.-15 3.下列说法中正确的是（） A.两个直角三角形相似 B.两个等腰三角形相似 C.两个等边三角形相似 D.两个锐角三角形相似 4.如图，以某点为位似中心，将△AOB进行位似变换得到△CDE，则位似中心的坐标为（） A.（0，0） B.（1，1） C.（2，2） D.（3，3） 5.如图，正方形ABCD中，E，F分别在边AD，CD上，AF，BE相交于点G，若AE=3ED，DF=CF， 则的值是（） A． B． C． D． 6.如图，在正方形ABCD中，E是BC的中点，F是CD上一点，AE⊥EF. 下列结论：①∠BAE=30°；②△ABE∽△AEF；③3CF=CD；④S△ABE=4S△ECF． 正确结论的个数为（） A．1 B．2 C．3 D．4
7.如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=6，以斜边AB上的一点O为圆心所作的半圆分别与AC、BC相切于点D、E，则AD为（） A．2.5 B．1.6 C．1.5 D．1 8.如图，在△ABC中，D在AC边上，AD：DC=1：2，O是BD的中点，连接AO并延长交BC于E，则BE：EC=( ) A．1：2 B．1：3 C．1：4 D．2：3 二、填空题 9.如图，l1∥l2∥l3，直线a、b与l1、l2、l3分别相交于点A、B、C和点D、E、F． 若AB=3，DE=2，BC=6，则EF= ． 10.如图，△ABC中，A、B两个顶点在x轴的上方，点C的坐标是（﹣1，0）．以点C为位似中心，在x轴的下方作△ABC的位似图形△A′B′C，并把△ABC的边长放大到原来的2倍．设B′的坐标是（3，-1），则点B的坐标是________. 11.已知△ABC∽△DEF，若△ABC与△DEF的相似比为2：3，则△ABC与△DEF对应边上中线的比为． 12.如图，直角三角形纸片 ABC，AC 边长为 10cm，现从下往上依次裁剪宽为 4cm 的矩形纸条，若剪得第二张矩形纸条恰好是正方形，那么 BC 的长度是 cm．