2017学年第二学期徐汇区学习能力诊断卷
高三数学 2018.4
一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 考生应在答题纸的相应位置直接填写结果．
1．已知全集R U =，集合{}
0322>--=x x x A ，则=A C U .
2．在6
1x x ?
?+ ??
?的二项展开式中，常数项是 .
3．函数()lg(32)x x
f x =-的定义域为_____________． 4．已知抛物线2
x ay =的准线方程是1
4
y =-，则a = . 5．若一个球的体积为
323
π
，则该球的表面积为_________． 6．已知实数x y ，满足001x y x y ≥??
≥??+≤?
，，． 则目标函数z x y =-的最小值为___________．
7．函数()2
sin cos 1()1
1
x x f x +-=
的最小正周期是___________．
8．若一圆锥的底面半径为3，体积是12π，则该圆锥的侧面积等于 .
9．将两颗质地均匀的骰子抛掷一次，记第一颗骰子出现的点数是m ，记第二颗骰子出现的点数是n ，向量()2,2a m n =--，向量()1,1b =，则向量a b ⊥的概率．．是 . 10．已知直线12:0,:20l mx y l x my m -=+--=.当m 在实数围变化时，1l 与2l 的交点P 恒在一个定圆上，则定圆方程是 .
11．若函数22
2(1)sin ()1
x x
f x x ++=+的最大值和最小值分别为M 、m ，则函数()()()sin 1
g x M m x M m x =+++-????图像的一个对称中心是 ．
12．已知向量,a b 满
足||a =
、||b =
，若对任意的{}
(,)(,)||1,0x y x y xa yb xy ∈+=>，都有||1x y +≤成立，则a b ?的最小值
为 .
N
M
D 1C 1
B 1
A 1
D
C
B
A
二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题５分）每题有且只有一个正确选项。考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．
13．在四边形ABCD 中，AB DC =，且AC ·BD ＝0，则四边形ABCD 是--------（ ）
（A ）菱形
（B ）矩形 （C ）直角梯形 （D ）等腰梯形
14. 若无穷等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，首项为1，公比为1
2
，且a S n n =∞→lim ，
(n ∈*N )，则复数i
a z +=
1
（i 为虚数单位）在复平面上对应的点位于----------（ ）
（A ）第一象限． （B ）第二象限． （C ）第三象限． （D ）第四象限．
15．在ABC ?中，“cos sin cos sin A A B B +=+”是“090C ∠=”的------------（ ）
（A ） 充分非必要条件 （B ）必要非充分条件 （C ） 充要条件
（D ）既不充分也不必要条件
16．如图，圆C 分别与x 轴正半轴，y 轴正半轴相切于点,A B ，过劣弧AB 上一点T 作圆C 的切线，分别交x 轴正半轴，y 轴正半轴于点,M N ，若点(2,1)Q 是切线上一点，则MON ?周长的最小值为------------------------------------------------------------------( )
（A ）10 （B ）8 （C ）45 （D ）12
三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤.
17．(本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分) 如图在长方体1111D C B A ABCD -中，
2AB =，4AD =，
121AC =，点M 为AB 的中点，点N 为BC 的中点．
（1）求长方体1111D C B A ABCD -的体积；
（2）求异面直线M A 1与N B 1所成角的大小（用反三角函数表示）．
18．(本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分)
如图：某快递小哥从A 地出发，沿小路AB BC →以平均时速20公里/小时，送快件到C 处，已知10BD =（公里），0
45,30DCB CDB ∠=∠=，ABD ?是等腰三角形，
0120ABD ∠=．
（1） 试问，快递小哥能否在50分钟将快件送到C 处？
（2）快递小哥出发15分钟后，快递公司发现快件有重大问题，由于通讯不畅，公司只能派车沿大路AD DC →追赶，若汽车平均时速60公里/小时，问，汽车能否先到达C 处？
19．(本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分) 已知函数2
()31f x x tx =-+，其定义域为[0,3][12,15]， (1) 当2t =时，求函数()y f x =的反函数；
(2) 如果函数()y f x =在其定义域有反函数，数t 的取值围．
20．(本题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分)
如图，,A B 是椭圆2
2:12
x C y +=长轴的两个端点，,M N 是椭圆上与,A B 均不重合的相异两点，设直
线,,AM BN AN 的斜率分别是123,,k k k . (1)求23k k ?的值；
(2)若直线MN 过点2,0?? ? ???
，求证：1316k k ?=-； (3)设直线MN 与x 轴的交点为(,0)t (t 为常数且0t ≠)，试探究直线AM 与直线BN 的交点Q 是否落在某条定直线上？若是，请求出该定直线的方程；若不是，请说明理由．
A
B C
D
21．(本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分) 已知数列{}n a 的前n 项和n A 满足
*11
()12
n n A A n N n n +-=∈+，且11a =，数列{}n b 满足*2120()n n n b b b n N ++-+=∈，32b =，其前9项和为36．
(1)求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；
(2)当n 为奇数时，将n a 放在n b 的前面一项的位置上；当n 为偶数时，将n b 放在n a 前面一项的位置上，可以得到一个新的数列：1122334455,,,,,,,,,,a b b a a b b a a b ???，求该数列的前n 项和n S ； (3)设1
n n n
c a b =
+，对于任意给定的正整数()2k k ≥，是否存在正整数,()l m k l m <<，
使得,,k l m c c c 成等差数列？若存在，求出,l m (用k 表示)；若不存在，请说明理由．
2017学年第二学期徐汇区学习能力诊断卷 数学学科参考答案及评分标准
2018.4
一． 填空题：（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分 １．]3,1[- 2．20 3．(0,)+∞ 4．1 5．16π 6．1- 7．π 8．15π 9．
16 10． 22
20x y x y +--= 11．114?? ???
，
12．815 二．选择题：（本大题共有4题，满分20分，每题５分）
13．A 14．D 15．B 16．A
三． 解答题：（本大题共5题，满分74分）
17．(本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分)
【解】（1） 连AC 、1AC ． ABC ?是直角三角形，∴AC =
1111D C B A ABCD -是长方体，∴BC C C ⊥1，CD C C ⊥1，又C BC DC =?，
E
N
D 1C 1
B 1
A 1
D C
B
A
∴⊥C C 1平面ABCD ，∴AC C C ⊥1．
又在1ACC Rt ?
中，1AC
，AC =∴11CC =，∴11118ABCD A B C D V -=．--------6分
（2）解法一：如图建立空间直角坐标系
则()14,0,1A 、()4,1
,0M 、()14,2,1B 、()2,2,0N ，所以()10,1,1A M =-、()12,0,1B N =--，10分
则向量1AM 与1B N 所成角θ满足111110cos 10
A M
B N A M B N
θ?=
=
?． ∴异面直线M A 1与N B 1所成的角等于arccos
10
．14分 解法二：取AD 的中点E ，连E A 1、EM ．
11////B A AB EN ，∴四边形NE B A 11为平行四边形，N B E A 11//∴，∴M EA 1∠等于异面直线M A 1与N B 1所成的角或其补
角．----------------------------------------9分
1AM =，2
AE =，11=AA ，得1
AM =1A E
，5=EM ， ∴1
cos EA M ∠=
=
1
arccos 10EA M ∠=． ∴异面直线M A 1与N B 1所成的角等于．----------------------------14分 18．(本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分) 【解】（1）10AB
=（公里），
BCD ?中，由
00
sin 45
sin30BD BC
=
，得BC =-------------------2分 于是，由
106051.215020
+≈>知， 快递小哥不能在50分钟将快件送到C 处．---------------------------------------6
分
（2）在ABD ?中，由222
11010210103002AD ??
=+-???-= ???
，
得
AD =（公
里
）
，
------------------------------------------------------------8分 在BCD ?中，0105CBD ∠=
，由
00
sin105sin 30
CD =，
得(51CD =+，-----------------------------------------------------10分
由
(
5160152045.9851.2160
?+=+≈<（分钟）
知，汽车能先到达
C
处．-----------------------------------------------------------14分
19．(本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分) 【
解
】
(1)
3[8,1]3[73,136]
x y x ?∈-?=?
∈??；
------------------------------------------------------6分 (2)0
1 若
302
t
≤，即0t ≤，则()y f x =在定义域上单调递增，所以具有反函数；---8分 02 若
3152t
≥，即10t ≥，则()y f x =在定义域上单调递减，所以具有反函数；--10分 03 当33122t ≤≤，即28t ≤≤时，由于区间[]0,3关于对称轴32
t
的对称区间是
[]33,3t t -，于是当312332t t
3122
t t ->???≤??，即[)2,4t ∈或(]6,8t ∈时， 函数()y f x =在定义域上满足1-1对应关系，具有反函数． 综
上
，
(,0][2,4)(6,8][10,)t ∈-∞+∞．------------------------------------------14分
20．(本题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分) 【解】(1)设00(,)N x y
，由于(A B ，
所以20
23202
y k k x ?==-，
因为00(,)N x y 在椭圆C 上，于是22
0012
x y +=，即220022x y -=-，
所以
2023201
22
y k k x ?==--.------------------------------------------------------------------4分
(2)
设直线:2MN x my =+1122(,),(,)M x y N x y
，由22222
x my x y ?=+
???+=?
得223
(2)02
m y +-=，
于是()
121222
3
,222y y y y m m +=-?=-++，------------------------------------6分
13121222
k k ?=
=
()
()22223
3
221
2
3963222
22m m m m m -
-
+==
=---+++．10分
(3)由于直线MN 与x 轴的交点为(,0)t ，于是:MN x my t =+，
联立直线:MN x my t =+与椭圆2
2:12x C y +=的方程，可得 222(2)220m y mty t +++-=，
于
是
212122222
,22
mt t y y y y m
m -+=-
?=++.-------------------------------------------------12分
因为直线
:
AM y x =
+，直线:BN y x =，