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金融数学第一章练习题详解 第1章利息度量
1.1 现在投资 $600 ，以单利计息 ， 2 年后可以获得 $150 的利息 。 如果以相同的复利利率 投资 $2000 ，试确定在 3 年后的累积值 。
600i 2 150 i 12.5%
2000(1 12.5%) 3 2847.65
1.2 在第 1 月末支付 314 元的现值与第 18 月末支付 271 元的现值之和 ，等于在第 T
月末支付 1004 元的现值 。 年实际利率为
5% 。求 T 。
1004v T / 12 314v 1 /12 271v 18/12
其中 v t (1 i ) t
(1 5%) t
1.05 t
1.05 T / 12
(314 1.05 1 /12 271 1.05 18 /12 ) /1004 0.562352
两边取对数， T
ln 1.05 ln 0.562352
12
Tln 0.562352/ ln 1.05 12 141.58
1.3 在零时刻 ，投资者 A 在其账户存入 X ，按每半年复利一次的年名义利率 i 计息 。 同
时，投资者 Ｂ在另一个账户存入 2X ，按利率 i （单利 ）来计息 。 假设两人在第八年的后 六个月中将得到相等的利息
，求
i 。
A的半年实际利率为i，A: X((1i )16(1i
)15 )B : 2 X i1Xi
2222
X ((1i )16(1i )15)Xi
22
i(1i)16(1i )15(1i)15i
2222
(1i )152
2
两边取对数
i( 21 /151)20.094588
1.4一项投资以δ 的利息力累积，27.72年后将翻番。金额为 1 的投资以每两年复利一次的名义利率δ累积n 年，累积值将成为7.04 。求 n 。
ln 1i
a(t)(1i) t e t
e27.722
ln 2 / 27.720.025
i 0.5
（
2)n / 2
7.04
1
n(ln 7.04 / ln 1.05) 2 80
1.5如果年名义贴现率为6%，每四年贴现一次，试确定$100在两年末的累积值。100(1 4 6%) 1/4 2114.71
1.6如果i (m )= 0.1844144，d( m)= 0.1802608，试确定m 。
i 1 i m m
d m
m
1 1
1 d
m
m
i m m
d m m
1
1
m
1
m
1 i m
1 d m
1
m m
1
i m
d m i m d m
1
m
m
2
i m d m
i m d m
m
m
i m
d m 0.1844144
0.1802608 i m d m 0.1844144
8
0.1802608
1.7 基金 A 以每月复利一次的名义利率 12 % 累积 。基金 B 以 t = t / 6
的利息力累积 。 在零时刻 ，分别存入 1 到两个基金中 。 请问何时两个基金的金额将相等
。
t
1 12% /1
2 12t e 0 t / 6 dt
e t 2
/ 12
两边取对数，
t 2
/ 12
12t ln 1.01
t 144 ln 1.01 1.43
1.8 基金 A 以 t =
a+bt 的利息力累积 。 基金 B 以 t = g+ht 的利息力累积 。 基金 A
与基金 B 在零时刻和
n 时刻相等 。已知 a > g > 0
， h > b > 0
。 求 n 。
t
bt )dt (at
1
bt 2
)
(a
a(t)
e
e
2
t
ht )dt
( gt
1
ht 2
)
( g
b(t) e
e
2
a(0)
b(0), a( n) b(n)
an 1 bn 2 gn 1 hn 2
2
2 n 2(g a)
b h
1.9 在零时刻将
100 存入一个基金 。该基金在头两年以每个季度贴现一次的名义贴现率
支付利息 。 从 t = 2
开始 ，利息按照t
1
的利息力支付 。 在 t = 5 时，存款的累
1
t
积值为 260 。 求δ。
指前两年内的年名义贴 现率
/ 4)-4 2 5 1
dt
100(1
e 21 260
t 100(1
/ 4)-4
2
e (ln 6 ln 3)
260
4 1 260 /(100 2) -1/ 8
0.1290
1.10 在基金 A 中，资金 1 的累积函数为 t+1 ，t>0 ；在基金
B 中，资金 1 的累积函
数为 1+t 2 。 请问在何时 ，两笔资金的利息力相等
。
1 2t A
, B 2
t
1
1 t
令 A
B
1 2t t
2 2t 1 0 t
2 1 0.41
t 1
1 t 2
2
1.11
已知利息力为
t
。第三年末支付
300 元的现值与在第六年末支付
600 元
1 t
的现值之和 ，等于第二年末支付
200 元的现值与在第五年末支付
X 元的现值 。求 X 。
t
2
dt
e 2ln( 1 t )
t)
2
a 1
(t )
t)
2
a(t) e 0 1 t (1 (1
300 a 1 (3) 600
a 1(6) 200 a 1 (2) X a 1 (5)
X (300 (1 3)2
600 (1
6) 2-200 (1 2)-2) /((1 5) 2 )
315.82
1.12
已知利息力为 t
t 3 。 请求 a 1 (3) 。
100
3 t
3
dt
e 1/ 400 ( 34
a 1(3)
e
0 100
0)
e 81/ 400
e 0.2025 0.8167
1.13 资金 A 以 10% 的单利累积 ，资金 B 以 5% 的单贴现率累积 。请问在何时 ，两笔
资金的利息力相等 。
A : a(t )
(1 10%t )
1 0.1t
A
0.1
0.1t
1
B : a 1 (t )
(1 5%t )
1 0.05t
a(t )
(1 0.05t) 1
B
1 0.05
0.05t
令 A
0.1
0.05 2 - 0.1t 1 0.1t
t
5
B
1 0.1t
1 0.05t
1.14 某基金的累积函数为二次多项式 ，如果向该基金投资
1 年，在上半年的名义利率为
5%（每半年复利一次 ），全年的实际利率为
7% ，试确定
0.5 。
设累积函数为 a(t ) at 2 bt c a(0) c 1
a(0.5) 0.25a a(1) a b c a 0.04, b
0.08t
0 .5
2 0.04t
0.5b c 1 5%/2
1
7%
0.03, c
1, a(t ) 0.04t 2 0.03t 1
0.03
0.06829
0.03t
1 t
0.5
1.15 某投资者在时刻零向某基金存入 100 ，在时刻 3 又存入 X 。 此基金按利息力
t 2
t
累积利息 ，其中 t > 0 。 从时刻
3 到时刻
6 得到的全部利息为
X ，求 X 。
100
3 t
2
dt
A(3)
100e 0
100
109.42 X
X
6 t
2
A(6) (109.42
dt
1.8776(109.42 X )
X )e 3
100 A(6) A(3) 0.8776(109.42 X ) X X 784.61
1.16 一位投资者在时刻零投资 1000 ，按照以下利息力计息 ：
0.02t,0 t 3
t
求前 4 年每季度复利一次的年名义利率
。
3
4
a(4) 0 .02tdt 0 .045dt
e 0.09 0.045 1.1445 e 0 3
设年名义利率为 x,1000(1 x / 4) 4 4 1000 1.1445
x 4 (1.14451/16 1) 0.0339
3.39%
1.17 已知每半年复利一次的年名义利率为
7.5% ，求下列两项的和 ： (1)利息力 ； (2) 每季
度贴现一次的年名义贴现率
。
a(t)
(1 7.5% / 2) 2t t
ln(1 7.5% / 2) 2
0.07363
设名义贴现率为 x, (1 x / 4) 4t (1 7.5% / 2) 2t
x
4 (1- (1 7.5% / 2)2 ( 1/4) ) 0.07295
t
x 0.14658
注：个人认为 ，求这两个数的和并没有实际意义
kt,0 t
5
1.18
假设利息力为
t
1
kt 2
,5
，期初存入单位 1 在第 10 年末将会累积到
t 10
25
2.7183 。 试求 k 。
5
10
1
2
dt
25 k 1 k( 1000 125)
a(t) ktdt
kt e 2
2.7183
e 0 5 25
75
e 24.1667 k
k 0.0414
1
1.19
已知利息力为
t
2 ，一笔金额为 1 的投资从
t=0 开始的前
n 年赚取的总
t
利息是 8。 试求 n 。
t
1
dt
t
a(t)
e 0 2 t
1
e ln( 2
t ) ln 2
2
a(n)
1 1
n 8 n 16
1
2
......
1.201996年 1 月 1 日，某投资者向一个基金存入1000 ，该基金在t 时刻的利息力为 0.1(t-1) 2，求 1998年 1 月 1 日的累积值。
20.1( t 1)2 dt
1000 e0.06667
A1000e 01068.94
1.21投资者A今天在一项基金中存入10 ， 5 年后存入30 ，已知此项基金按单利11% 计息；投资者 B 将进行同样数额的两笔存款，但是在 n 年后存入 10，在 2n年后存入30 ，已知此项基金按复利9.15% 计息。在第 10 年末，两基金的累积值相等。求n 。
A :10(111%10)30(111%5)67.5
B :10(19.15%)10n30(19.15%)102 n
10(19.15%)10n30(19.15%)102 n67.5
令 t 1.0915n ,即 n ln t / ln 1.0915
10 1.091510t30 1.091510t 267.5
101.091510(10 1.091510 )2430 1.091510 (67.5)
t230 1.0915100.8017
1.091510
2.40014
n ln 0.8017 / ln 1.0915 2.5244
注：不知道为什么，笔者算出来的答案恰好是参考答案的两倍，将 2.5244 带进去右边 =66,将 1.262代进去，右边 =80, 由此可得 2.5244接近真实结果
2
1.22已知利息力为t，2≤ t≤10。请计算在此时间区间的任意一年内，与相
t1
应利息力等价的每半年贴现一次的年名义贴现率。
......
n2dt
1)2
a(n)a(2) e 2a(2)(n
t 1
d n a(n)a(n1)(n 1)2(n 2)2 a( n)(n1) 2
(1 d( 2) / 2)21d n
d ( 2) 2 (1 (1 d n )1/ 2 ) 2 (1 (n 2)
)2
(n 1)(n 1)