分式知识点总结及章末复习
知识点一：分式的定义
一般地，如果A ，B 表示两个整数，并且B 中含有字母，那么式子B
A
叫做分式，A 为分子，B 为分母。 知识点二：与分式有关的条件
①分式有意义：分母不为0（0B ≠）
②分式无意义：分母为0（0B =） ③分式值为0：分子为0且分母不为0（??
?≠=0
B A ）
④分式值为正或大于0：分子分母同号（??
?>>00B A 或???<<00
B A ） ⑤分式值为负或小于0：分子分母异号（??
?<>00B A 或???><0
B A ）
⑥分式值为1：分子分母值相等（A=B ）
⑦分式值为-1：分子分母值互为相反数（A+B=0） 经典例题 1、代数式1
4x
-
是（ ） A.单项式 B.多项式 C.分式 D.整式 2、在
2x ，1()3x y +，3ππ-，5a x -，24
x y -中，分式的个数为（ ） A.1 B.2 C.3 D.4
3、总价9元的甲种糖果和总价是9元的乙种糖果混合，混合后所得的糖果每千克比甲种 糖果便宜1元，比乙种糖果贵0.5元，设乙种糖果每千克x 元，因此，甲种糖果每千克 元，总价9元的甲种糖果的质量为 千克.
4、当a 是任何有理数时，下列式子中一定有意义的是（ ）
A.
1a a + B.21a a + C.211a a ++ D.21
1
a a +- 5、当1x =时，分式①11x x +-，②122x x --，③211x x --，④31
1
x +中，有意义的是（ ）
A.①③④
B.③④
C.②④
D.④ 6、当1a =-时，分式
21
1
a a +-（ ） A.等于0 B.等于1 C.等于－1 D.无意义 7、使分式
84
83
x x +-的值为0，则x 等于（ ）
A.
38 B.12- C.83 D.12
8、若分式2212
x x x -+-的值为0，则x 的值是（ ）
A.1或－1
B.1
C.－1
D.－2
9、当x 时，分式
1
1x x +-的值为正数. 10、当x 时，分式1
1
x x +-的值为负数.
11、当x = 时，分式1
32
x x +-的值为1.
12、分式1
111x
++有意义的条件是（ ）
A.0x ≠
B.1x ≠-且0x ≠
C.2x ≠-且0x ≠
D.1x ≠-且2x ≠- 13、如果分式
33
x x --的值为1，则x 的值为（ ）
A.0x ≥
B.3x >
C.0x ≥且3x ≠
D.3x ≠ 14、下列命题中，正确的有（ ） ①A 、B 为两个整式，则式子
A B 叫分式； ②m 为任何实数时，分式13
m m -+有意义； ③分式
2
1
16
x -有意义的条件是4x ≠； ④整式和分式统称为有理数. A.1个 B .2个 C.3个 D.4个
15、在分式222
x ax
x x ++-中a 为常数，当x 为何值时，该分式有意义？当x 为何值时，该分式的值为0？
知识点三：分式的基本性质
分式的分子和分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变。 字母表示：
A A
B
C B C ?=?，C
B C ÷÷=A B A ，其中A 、B 、C 是整式，C ≠0。 拓展：分式的符号法则：分式的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变，即
B
B A B B --=--=--=A A A 注意：在应用分式的基本性质时，要注意
C ≠0这个限制条件和隐含条件B ≠0。 经典例题
1、把分式
a
a b
+的分子、分母都扩大2倍，那么分式的值（ ） A.不变 B.扩大2倍 C.缩小2倍 D.扩大4倍 2、下列各式正确的是（ ）
A.11a x a b x b ++=
++ B.22y y x x = C.n na m ma =，（0a ≠） D.n n a
m m a
-=- 3、下列各式的变式不正确的是（ ） A.
2233y y -=- B.66y y
x x
-=- C.3344x x y y =-- D.8833x x y y --=- 4、在括号内填上适当的数或式子： ①
5()412a xy axy =；②2111()a a +=-；③()2m
n n
=-；④226(2)()3(2)n n m m +=+. 5、不改变分式的值，把分式
0.010.20.5x y
x y
-+的分子与分母中的系数化为整数.
知识点四：分式的约分
定义：根据分式的基本性质，把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分。 步骤：把分式分子分母因式分解，然后约去分子与分母的公因。
注意：①分式的分子与分母为单项式时可直接约分，约去分子、分母系数的最大公约数，然后约去分子分母相同因式的最低次幂。
②分子分母若为多项式，约分时先对分子分母进行因式分解，再约分。 知识点四：最简分式的定义
一个分式的分子与分母没有公因式时，叫做最简分式。 经典例题
1、约分：①222________20ab a b =；②229________69x x x -=-+；③32
2
18________12a bc ab c
=-；④2
()________4()
p q q p -=-.
2、下列化简结果正确的是（ ）
A.22222
2x y y x z z -=-+ B.220()()a b a b a b -=-+- C.63
233x y x x y
= D.231m m a a a +-= 3、下列各式与分式
a
a b
--的值相等的是（ ）
A.
a a
b --- B.a a b + C.a b a - D.a
b a
--
4、化简2
293m m m --的结果是（ ）A 、3+m m B 、3+-
m m C 、3-m m D 、m m -3 知识点五：分式的通分
① 分式的通分：根据分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母分式，
叫做分式的通分。
② 分式的通分最主要的步骤是最简公分母的确定。
最简公分母的定义：取各分母所有因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母。 确定最简公分母的一般步骤： Ⅰ 取各分母系数的最小公倍数；
Ⅱ 单独出现的字母（或含有字母的式子）的幂的因式连同它的指数作为一个因式； Ⅲ 相同字母（或含有字母的式子）的幂的因式取指数最大的。
Ⅳ 保证凡出现的字母（或含有字母的式子）为底的幂的因式都要取。 注意：分式的分母为多项式时，一般应先因式分解。 经典例题 1、分式
223c a b ，44a b c -，2
52b ac
的最简公分母是（ ） A.12abc B.12abc - C.242
24a b c D.242
12a b c 2、通分：①
222,,693x y z ab a bc abc -； ②22
16
,211
a a a a -++-.
知识点六分式的四则运算与分式的乘方 ① 分式的乘除法法则：
分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母。式子表示为：
a c a c
b d b d
??=
? 分式除以分式：把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘。式子表示为a c a d a d
b d b b
c c
?÷=?=?
② 分式的乘方：把分子、分母分别乘方。式子n n n
b a b a =??
?
??
经典例题
1、下列运算正确的是（ ）
A.62x x x =
B.
0x y x y +=+ C.1x y x y -+=-- D.a x a
b x b
+=+ 2、下列各式的计算结果错误的是（ ） A.
b n y bnx a m x amy ?÷= B.b n y bmy a m x anx
?÷= C.b n y bmx a m x any ÷÷= D.()b n y bmx a m x any ÷?=
3、计算： ①3921()______243a a b
b b a
÷÷?=；②22222
2221_______()a b a ab b a b ab ab b a --+÷?=+- 4、计算：①232()______3a b c -= ； ②232()()()______b a c
a c b
--÷?=. 5、下列运算正确的是（ ）
A.3
3328()39x x y y
-=- B.242622224()()x y x x x y x y y y ÷=?=
C.211x x x ÷
?= D.2
2()(1)1
x x x x ?-=- 6、计算：①2223
(
)[()]______a b b a
--?-=； ②2222()()______3y x x y -?-=. 7、计算：23231
()()()________344
x y xy y x -?÷-=.8、化简3232()()()________x y xz yz z y x ?-?-=. 9、当2006x =，2005y =-，则代数式442222
2x y y x
x xy y x y --?
-++的值为（ ） A.1 B.－1 C.4011 D.－4011
10、先化简，再求值：2322322
432()[]()1(1)(1)2x x x x x x x x x x x --+÷?++-+++，其中1
3
x =-.
11、已知27x y =，求分式22
22
322x xy y x xy y
-+++的值.
12、计算：222008420084
200820082200848
+?++?-?-.
13、已知
0345
x y z
==≠，那么
223x y x y z -+-的值为（ ） A.
12 B.2 C.1
2
- D.－2 14、已知230,3260,0x y z x y z xyz -+=--=≠，求222222
2x y z x y z
+++-的值.
③ 分式的加减法则：
同分母分式加减法：分母不变，把分子相加减。式子表示为
c
b
a c
b ±=
±c a 异分母分式加减法：先通分，化为同分母的分式，然后再加减。式子表示为
bd
bc
ad d c ±=
±b a 整式与分式加减法：可以把整式当作一个整数，整式前面是负号，要加括号，看作是分母为1的分式，再通分。
④ 分式的加、减、乘、除、乘方的混合运算的运算顺序
先乘方、再乘除、后加减，同级运算中，谁在前先算谁，有括号的先算括号里面的，也要注意灵活，提高解题质量。
注意：在运算过程中，要明确每一步变形的目的和依据，注意解题的格式要规范，不要随便跳步，以便查
对有无错误或分析出错的原因。
加减后得出的结果一定要化成最简分式（或整式）。 知识点六整数指数幂
① 引入负整数、零指数幂后，指数的取值范围就推广到了全体实数，并且正正整数幂的法则对对负整数
指数幂一样适用。即 ★n
m n
m
a a +=?a ★()
mn n
m
a a = ★()n n n
b b a a = ★n m n m a a -=÷a
（0≠a ）
★n n b a b a =??
? ??n
★n a 1=-n
a （0≠a ） ★10=a （0≠a ）（任何不等于零的数的零次
幂都等于1）
其中m ，n 均为整数。 科学记数法
若一个数x 是0 10a ?（10a 1<≤，即a 的整数部分只有一位，n 为整数）的形式，n 的确定n=从左边第一个0起到第一个不为0的数为止所有的0的个数的相反数。如 0.000000125=-7 101.25? 若一个数x 是x>10的数则可以表示为n 10a ?（10a 1<≤，即a 的整数部分只有一位，n 为整数）的形式，n 的确定n=比整数部分的数位的个数少1。如120 000 000=8 101.2? 经典例题 1、计算：① 1________11x x x -=--；②2221_______2ab a b +=. 2、化简221 42x x x - --的结果是（ ） A.12x + B.12x - C.2324x x -- D.2324 x x +- 3、化简2() a b a b a a b - --的结果是（ ） A.a b a + B.a b a - C.b a a - D.a b + 4、计算： ①3333x x x x -+-+-； ②212211933a a a +--+-； ③2111 111 x x x ++ -+-. 5、计算2 4()22a a a a a a --?-+的结果是（ ） A.－4 B.4 C.2a D.24a + 6、化简 11 ()x x x x -÷-的结果是（ ） A.11x + B.1 C.11 x - D.－1 7、计算：①2114()22x x x x --?-+； ②22214 ()244x x x x x x x x +---÷--+； 7个0 9个数字 ③11x x x -?-；④2 11(1)(1)11 x x x +---+； ⑤ 22213211143x x x x x x x +++-?+-++. 8、设,A x y B x y =+=-，则 A B A B A B A B +-- -+等于（ ） A.22x y xy - B.222x y xy - C.22x y xy + D.22 2x y xy + 9、若2 210a a +-=，求22 214 ()2442 a a a a a a a a ----÷++++的值. 10、已知2 69a a -+与1b -互为相反数，求()()a b a b b a -÷+的值. 11、已知,a b 为实数，且1ab =，设11a b M a b =+++，11 11 N a b =+ ++，你能比较 ,M N 的大小吗？ 12、阅读命题：计算： 111 .(1)(1)(2)(2)(3) x x x x x x +++++++ 解：原式＝ 111111 11223x x x x x x -+-+-+++++＝113.3(3) x x x x - =++ 请仿照上题，计算 123 .(1)(1)(3)(3)(6) x x x x x x +++++++ 知识点七：分式方程的解的步骤 ⑴去分母，把方程两边同乘以各分母的最简公分母。（产生增根的过程） ⑵解整式方程，得到整式方程的解。 ⑶检验，把所得的整式方程的解代入最简公分母中： 如果最简公分母为0，则原方程无解，这个未知数的值是原方程的增根；如果最简公分母不为0，则是原方程的解。 产生增根的条件是：①是得到的整式方程的解；②代入最简公分母后值为0。 知识点八:列分式方程 基本步骤 ① 审—仔细审题，找出等量关系。 ② 设—合理设未知数。 ③ 列—根据等量关系列出方程（组）。 ④ 解—解出方程（组）。注意检验 ⑤ 答—答题。 经典例题 1、已知方程①2135x x +-=；②11033x +=-；③14532x x -=-+；④42x x ππ +=， 其中是分式方程的有（ ） A.①② B.②③ C.①③ D.①④ 2、分式方程2 2111x x x +=--，去分母时两边同乘以 ，可化整式方程 3、如果11x -与1 1 x +互为相反数，则x 的值为 5、若关于x 的方程1 101ax x ++=-有增根，则a 的值为 6、如果分式方程11 x m x x = ++无解，则m 的值为 7、当a 为何值时，关于x 的方程3 11x a x x --=-无解？ 8、若关于x 的分式方程322x x a =--有正数解，则实数a 的取值范围是 9、若2 4422 x a b x x x =--+-，试求22 a b +的值. 10、解分式方程12311 x x +=++时小甲采用了以下的方法： 解：设 1 1y x =+，则原方程可化为23y y +=，解得1y = 即 1 11 x =+，去分母得11x +=，所以0x = 检验：当0x =时，10x +≠，所以0x =是原方程的解 上面的方法叫换元法，请用换元法解方程42236 x x x x +=--. 11、已知2 510x x -+=，求4 41 x x +的值. 12、某中学要购买一批校服，已知甲做5件与乙做6件的时间相等，两人每天共完成55件，设甲每天完成 x 件，则下列方程不正确的是（ ） A. 5655x x =- B.5655x x =- C.5556x x -= D.65(55)x x =- 13、某工地调来72人参加挖土与运土，已知3人挖出的土1人能恰好运走，怎样分配才能使挖出来的土能及时运走？设派x 人挖土，其余运土，则可列方程为①373x x +=； ②723x x -= ；③ 721 3 x x -=；④372x x =-，其中所列方程正确的有（ ） A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 14.甲、乙两个施工队共同完成某居民小区绿化改造工程，乙队先单独做2天后，再由两队合作10天就能 完成全部工程．已知乙队单独完成此项工程所需天数是甲队单独完成此项工程所需天数的4 5，求甲、乙 两个施工队单独完成此项工程各需多少天？ 15.某超级市场销售一种计算器，每个售价48元．后来，计算器的进价降低了4%，但售价未变，从而使超 市销售这种计算器的利润提高了5%．这种计算器原来每个进价是多少元？（利润=售价-进价，利润率100%= ?利润 进价 ）
相关主题
文本预览