树形图详细讲解 1. Indicate the category of each word in the following sentences. a) The old lady suddenly left. Det A N Qual V b) The car stopped at the end of the road. Det N V P Det N P Det N c) The snow might have blocked the road. Det N Aux Aux V Det N d) He never appears quite mature. N Qual V Deg A 2. The following phrases include a head, a complement, and a specifier. Draw the appropriate tree structure for each. a) full of people AP A P N full of people b) a story about a sentimental girl NP NP PP Det N P NP Det A N a story about a sentimental girl c) often read detective stories VP Qual V NP A N often read detective stories
d) the argument against the proposals NP NP PP Det N P NP Det N the argument against the proposals e) move towards the window VP V PP P Det N move towards the window 3. Draw phrase structure trees for each of the following sentences. a) The jet landed. InflP(=S) NP Infl VP Det N Pst V The jet landed b) Mary became very ill. InflP(=S) NP Infl VP N Pst V AP Deg A Mary became very ill
树形图详细讲解 网上的相对理想的树形图答案,注意正两 点: 1. 短语和中心词在一竖线上 2. 含有形容词修饰语的名词短语的画法 NP Det N A N a little boy 1. Indicate the category of each word in the following sentences. a) The old lady suddenly left. Det A N Qual V b) The car stopped at the end of the road. Det N V P Det N P Det N c) The snow might have blocked the road. Det N Aux Aux V Det N d) He never appears quite mature. N Qual V Deg A 2. The following phrases include a head, a complement, and a specifier. Draw the appropriate tree structure for each. a) full of people AP A P N
full of people b) a story about a sentimental girl NP NP PP Det N P NP Det A N a story about a sentimental girl c) often read detective stories VP Qual V NP A N often read detective stories
高等数学应用案例案例1、如何调整工人的人数而保证产量不变 一工厂有x名技术工人和y名非技术工人,每天可生产的产品产量为 , (=(件) f2 ) x x y y 现有16名技术工人和32名非技术工人,如何调整非技术工人的人数,可保持产品产量不变? 解:现在产品产量为(16,32)8192 f=件,保持这种产量的函数曲线为y (= x f。对于任一给定值x,每增加一名技术工人时y的变化量即为, 8192 ) dy。而由隐函数存在定理,可得 这函数曲线切线的斜率 dx 所以,当增加一名技术工人时,非技术工人的变化量为 dy。 当16,32 ==时,可得4-= x y dx 因此,要增加一个技术工人并要使产量不变,就要相应地减少约4名非技术工人。 下面给出一个初等数学解法。令 c:每天可生产的产品产量; x;技术工人数; y;非技术工人数; x?;技术工人增加人数; y?;在保持每天产品产量不变情况下,当技术工人由16名增加到17名时,非技术人员要增加(或减少)的人数。 由已知列方程:
(1)当技术工人为16名,非技术工人为32名时,每天的产品产量为c ,则有方程: c y x =?020 (1) (2)当技术工人增加了1名时,非技术工人应为(y y ?+0)名,且每 天的产品产量为c ,则有方程: c y y x x =?+??+)()(020 (2) 联立方程组(1)、(2),消去c 得: 即 [] 002020)/(y y x x x y -??+=????????+--=20200)(1x x x y 代入x y x ?,,00,得:46.3-≈-≈?y 名,即减少4名非技术工人。 比较这两种解法我们可以发现,用初等数学方法计算此题的工作量很大,究其原因,我们注意到下面之展开式: 从此展开式我们可以看到,初等数学方法不能忽略掉高阶无穷小: 0)x ( )1(31 04120→????? ???-+???? ???--∞=-∑n n n x x n x x (3) 而高等数学方法却利用了隐函数求导,忽略掉高阶无穷小(3),所以计算较容易。
高等数学同济大学版课程讲解函数的极限 Coca-cola standardization office【ZZ5AB-ZZSYT-ZZ2C-ZZ682T-ZZT18】
课 时 授 课 计 划 课次序号:03 一、课 题:§函数的极限 二、课 型:新授课 三、目的要求:1.理解自变量各种变化趋势下函数极限的概念; 2.了解函数极限的性质. 四、教学重点:自变量各种变化趋势下函数极限的概念. 教学难点:函数极限的精确定义的理解与运用. 五、教学方法及手段:启发式教学,传统教学与多媒体教学相结合. 六、参考资料:1.《高等数学释疑解难》,工科数学课程教学指导委员会编, 高等教育出版社; 2.《高等数学教与学参考》,张宏志主编,西北工业大学出版社. 七、作业:习题1–31(2),2(3),3,6 八、授课记录: 九、 授课 效果分析: 第三节函数的极限 复习 1.数列极限的定义:lim 0,N,N n n n x a n x a εε→∞ =??>?>-<当时, ; 2.收敛数列的性质:唯一性、有界性、保号性、收敛数列与其子列的关系. 在此基础上,今天我们学习应用上更为广泛的函数的极限.与数列极限不同的是,对 于函数极限来说,其自变量的变化趋势要复杂的多. 一、x →∞时函数的极限 对一般函数yf (x )而言,自变量无限增大时,函数值无限地接近一个常数的情形与数列极限类似,所不同的是,自变量的变化可以是连续的. 定义1若?ε>0,?X >0,当x >X 时,相应的函数值f (x )∈U (A ,ε)(即|f (x )A |<ε),则称x →∞时,f (x )以A 为极限,记为lim x →+∞ f (x )A . 若?ε>0,?X >0,当x <X 时,相应的函数值f (x )∈U (A ,ε)(即|f (x )A |<ε),则称
树形图详细讲解 1、 Indicate the category of each word in the following sentences、 a) The old lady suddenly left、 Det A N Qual V b) The car stopped at the end of the road、 Det N V P Det N P Det N c) The snow might have blocked the road、 Det N Aux Aux V Det N d) He never appears quite mature、 N Qual V Deg A 2、 The following phrases include a head, a plement, and a specifier、 Draw the appropriate tree structure for each、 a) full of people AP A P N full of people b) a story about a sentimental girl NP NP PP Det N P NP Det A N a story about a sentimental girl c) often read detective stories VP Qual V NP A N often read detective stories d) the argument against the proposals NP NP PP Det N P NP Det N the argument against the proposals e) move towards the window VP
第1章 函数的极限与连续 例1.求 lim x x x →. 解:当0>x 时,0 00lim lim lim 11x x x x x x x + ++ →→→===, 当0 高等数学(上)重要知识点归纳 第一章 函数、极限与连续 一、极限的定义与性质 1、定义(以数列为例) ,,0lim N a x n n ?>??=∞ →ε当N n >时,ε<-||a x n 2、性质 (1) )()()(lim 0 x A x f A x f x x α+=?=→,其中)(x α为某一个无穷小。 (2)(保号性)若0)(lim 0 >=→A x f x x ,则,0>?δ当),(0δx U x o ∈时,0)(>x f 。 (3)*无穷小乘以有界函数仍为无穷小。 二、求极限的主要方法与工具 1、*两个重要极限公式 (1)1sin lim =??→? (2)e =? +? ∞ →?)11(lim 2、两个准则 (1) *夹逼准则 (2)单调有界准则 3、*等价无穷小替换法 常用替换:当0→?时 (1)??~sin (2)??~tan (3)??~arcsin (4)??~arctan (5)??+~)1ln( (6)?-?~1e (7)221 ~cos 1??- (8)n n ?-?+~11 4、分子或分母有理化法 5、分解因式法 6用定积分定义 三、无穷小阶的比较* 高阶、同阶、等价 四、连续与间断点的分类 1、连续的定义* )(x f 在a 点连续 )()()()()(lim 0lim 0 a f a f a f a f x f y a x x ==?=?=??-+→→? 2、间断点的分类?? ?? ? ? ?????????? ?其他震荡型(来回波动) ) 无穷型(极限为无穷大第二类但不相等)跳跃型(左右极限存在可去型(极限存在) 第一类 3、曲线的渐近线* a x x f A y A x f a x x =∞===→∞ →则存在渐近线:铅直渐近线:若则存在渐近线:水平渐近线:若,)(lim )2(,)(lim )1( 五、闭区间连续函数性质 1、最大值与最小值定理 2、介值定理和零点定理 《高等数学》 一.选择题 1. 当0→x 时,)1ln(x y +=与下列那个函数不是等价的 ( ) A)、x y = B)、x y sin = C)、x y cos 1-= D)、1-=x e y 2. 函数f(x)在点x 0极限存在是函数在该点连续的( ) A )、必要条件 B )、充分条件 C )、充要条件 D )、无关条件 3. 下列各组函数中,)(x f 和)(x g 不是同一函数的原函数的有( ). A)、()()() 222 1 ,21)(x x x x e e x g e e x f ---=-= B) 、(( )) ()ln ,ln f x x g x x ==- C)、()()x x g x x f --=-=1arcsin 23,12arcsin )( D)、()2 tan ,sec csc )(x x g x x x f =+= 4. 下列各式正确的是( ) A )、2ln 2x x x dx C =+? B )、sin cos tdt t C =-+? C )、 2arctan 1dx dx x x =+? D )、2 11 ()dx C x x -=-+? 5. 下列等式不正确的是( ). A )、 ()()x f dx x f dx d b a =??????? B )、()()()[]()x b x b f dt x f dx d x b a '=???? ??? C )、()()x f dx x f dx d x a =??????? D )、()()x F dt t F dx d x a '=???? ??'? 6. 0 ln(1)lim x x t dt x →+=?( ) A )、0 B )、1 C )、2 D )、4 7. 设bx x f sin )(=,则=''?dx x f x )(( ) A )、 C bx bx b x +-sin cos B ) 、C bx bx b x +-cos cos C )、C bx bx bx +-sin cos D )、C bx b bx bx +-cos sin 第一讲: 极限与连续 一. 数列函数: 1. 类型: (1)数列: *()n a f n =; *1()n n a f a += (2)初等函数: (3)分段函数: *0102()(),()x x f x F x x x f x ≤?=? >?; *0 ()(), x x f x F x x x a ≠?=?=?;* (4)复合(含f )函数: (),()y f u u x ?== (5)隐式(方程): (,)0F x y = (6)参式(数一,二): () () x x t y y t =?? =? (7)变限积分函数: ()(,)x a F x f x t dt = ? (8)级数和函数(数一,三): 0 (),n n n S x a x x ∞ ==∈Ω∑ 2. 特征(几何): (1)单调性与有界性(判别); (()f x 单调000,()(()())x x x f x f x ??--定号) (2)奇偶性与周期性(应用). 3. 反函数与直接函数: 1 1()()()y f x x f y y f x --=?=?= 二. 极限性质: 1. 类型: *lim n n a →∞; *lim ()x f x →∞ (含x →±∞); *0 lim ()x x f x →(含0x x ± →) 2. 无穷小与无穷大(注: 无穷量): 3. 未定型: 000,,1,,0,0,0∞ ∞∞-∞?∞∞∞ 4. 性质: *有界性, *保号性, *归并性 三. 常用结论: 11n n →, 1(0)1n a a >→, 1()max(,,)n n n n a b c a b c ++→, ()00! n a a n >→ 1(0)x x →→∞, 0lim 1x x x +→=, lim 0n x x x e →+∞=, ln lim 0n x x x →+∞=, 0 lim ln 0n x x x + →=, 0, x x e x →-∞ ?→?+∞→+∞ ? 高等数学求极限的14种方法 一、极限的定义 1.极限的保号性很重要:设 A x f x x =→)(lim 0 , (i )若A 0>,则有0>δ,使得当δ<-<||00x x 时,0)(>x f ; (ii )若有,0>δ使得当δ<-<||00x x 时,0A ,0)(≥≥则x f 。 2.极限分为函数极限、数列极限,其中函数极限又分为∞→x 时函数的极限和0x x →的极限。要特别注意判定极限是否存在在: (i )数列{} 的充要条件收敛于a n x 是它的所有子数列均收敛于a 。常用的是其推论,即“一个数列收敛于a 的充要条件是其奇子列和偶子列都收敛于a ” (ii )A x x f x A x f x =+∞ →= -∞ →? =∞ →lim lim lim )()( (iii) A x x x x A x f x x =→=→?=→+ - lim lim lim 0 )( (iv)单调有界准则 (v )两边夹挤准则(夹逼定理/夹逼原理) (vi )柯西收敛准则(不需要掌握)。极限 ) (lim 0 x f x x →存在的充分必要条件是: εδεδ<-∈>?>?|)()(|)(,0,021021x f x f x U x x o 时,恒有、使得当 二.解决极限的方法如下: 1.等价无穷小代换。只能在乘除.. 时候使用。例题略。 2.洛必达(L’ho spital )法则(大题目有时候会有暗示要你使用这个方法) 洛必达法则(定理) 设函数f(x )和F(x )满足下列条件: ⑴x→a 时,lim f(x)=0,lim F(x)=0; ⑵在点a 的某去心邻域内f(x )与F(x )都可导,且F(x )的导数不等于0; ⑶x→a 时,lim(f'(x)/F'(x))存在或为无穷大 则 x→a 时,lim(f(x)/F(x))=lim(f'(x)/F'(x)) 注: 它的使用有严格的使用前提。首先必须是X 趋近,而不是N 趋近,所以面对数列极限时候先要转化成求x 高等数学应用案例 案例1、如何调整工人的人数而保证产量不变 一工厂有x 名技术工人和y 名非技术工人,每天可生产的产品产量为 y x y x f 2),(= (件) 现有16名技术工人和32名非技术工人,如何调整非技术工人的人数,可保持产品产量不变? 解:现在产品产量为(16,32)8192f =件,保持这种产量的函数曲线为8192),(=y x f 。对于任一给定值x ,每增加一名技术工人时y 的变化量即为这函数曲线切线的斜率dx dy 。而由隐函数存在定理,可得 y f x f dx dy ????= 所以,当增加一名技术工人时,非技术工人的变化量为 x y y f x f dx dy 2-=????= 当16,32x y ==时,可得4-=dx dy 。 因此,要增加一个技术工人并要使产量不变,就要相应地减少约4名非技术工人。 下面给出一个初等数学解法。令 c :每天可生产的产品产量; 0x ;技术工人数; 0y ;非技术工人数; x ?;技术工人增加人数; y ?;在保持每天产品产量不变情况下,当技术工人由16名增加到17名时,非技术人员要增加(或减少)的人数。 由已知列方程: (1)当技术工人为16名,非技术工人为32名时,每天的产品产量为c ,则有方程: c y x =?020 (1) (2)当技术工人增加了1名时,非技术工人应为(y y ?+0)名, 且每天的产品产量为c ,则有方程: c y y x x =?+??+)()(020 (2) 联立方程组(1)、(2),消去c 得: )(020020y y x x y x ?+??+=?)( 即 [] 002020)/(y y x x x y -??+=????????+--=20200)(1x x x y ????????????? ????? ???+--=200111x x y 代入x y x ?,,00,得:46.3-≈-≈?y 名,即减少4名非技术工人。 比较这两种解法我们可以发现,用初等数学方法计算此题的工作量很大,究其原因,我们注意到下面之展开式: ∑∞=--???? ???-+???? ???-?=???? ???+-110120020)1(32111n n n x x n x x x x x x 从此展开式我们可以看到,初等数学方法不能忽略掉高阶无穷 第1章 函数的极限与连续 例1.求下列极限: 1))1ln(1 2 )(cos lim x x x +→ 2)βαβ αβα--→e e lim 解:1)原式 2 201 ln cos ln cos lim ln(1) ln(1) lim x x x x x x e e →++→==,而 21)2(lim 22sin 2lim )1ln()2sin 21ln(lim )1ln(cos ln lim 22 02 2022020-=-=-=+-=+→→→→x x x x x x x x x x x x 所以, e e x x x 1) (cos lim 2 1 ) 1ln(1 2= =- +→ 2)原式11 lim lim e e e e αβαββ βαβαβαβαβ--→→--==-- 令t =-βα,当βα→时,0→t ,所以, 1lim 1lim 1lim 00==-=--→→-→t t t e e t t t βαβαβα. 从而,ββ αβαβαe e e =--→lim . 例2.求 lim(1) p x x mx →-,其中 m 、p 是正整数. 解:因为 mp mx mp mx x p mx mx mx ]) 1[(1) 1()1(1)(1 --- -= -=-, 令mx u -=,当0→x 时,0→u 1 1 111lim(1)lim lim [(1) ] [(1)] p mp x mp x x u mp mp mx u mx e e mx u -→→→--=== =-+. 例3.若()0f x >,0 lim ()(0)x x f x A A →=> 且0 lim x x → lim x x → 解:设 lim x x a →= a β=+,β是0x x →时的无穷小量, 22()2f x a a ββ=++ 222 lim ()lim(2)x x x x f x a a a ββ→→=++= 由题应有:2 A a = ,a = a = x x →= 例4.证明:半径为R 的圆面积2 R S π= 证:做圆的内接正n (3≥n )边形,如图1-13所示,记AOP n ∠=α其面积为 n R n R n R R n OP AB n S n n n n π ααα2sin 22sin 2cos sin 22222==?=?= 当边数n 取3,4, ,5,对应的面积3S ,4S , ,5S 构成了一数列}{n S ,图1-13 大学高等数学知识点整理 公式,用法合集 极限与连续 一. 数列函数: 1. 类型: (1)数列: *()n a f n =; *1()n n a f a += (2)初等函数: (3)分段函数: *0102()(),()x x f x F x x x f x ≤?=?>?; *0 ()(), x x f x F x x x a ≠?=?=?;* (4)复合(含f )函数: (),()y f u u x ?== (5)隐式(方程): (,)0F x y = (6)参式(数一,二): () ()x x t y y t =??=? (7)变限积分函数: ()(,)x a F x f x t dt = ? (8)级数和函数(数一,三): 0 (),n n n S x a x x ∞ ==∈Ω∑ 2. 特征(几何): (1)单调性与有界性(判别); (()f x 单调000,()(()())x x x f x f x ??--定号) (2)奇偶性与周期性(应用). 3. 反函数与直接函数: 1 1()()()y f x x f y y f x --=?=?= 二. 极限性质: 1. 类型: *lim n n a →∞; *lim ()x f x →∞ (含x →±∞); *0 lim ()x x f x →(含0x x ± →) 2. 无穷小与无穷大(注: 无穷量): 3. 未定型: 000,,1,,0,0,0∞ ∞∞-∞?∞∞∞ 4. 性质: *有界性, *保号性, *归并性 三. 常用结论: 11n n →, 1(0)1n a a >→, 1()max(,,)n n n n a b c a b c ++→, ()00! n a a n >→ 例谈画树状图 一、显性放回 例1 现有形状、大小和颜色完全一样的三张卡片,上面分别标有数字“1”、“2”、“3”.第一次从这三张卡片中随机抽取一张,记下数字后放回;第二次再从这三张卡片中随机 抽取一张并记下数字.请用画树状图的方法表示出上述试验所有可能的结果,并求第二 次抽取的数字大于第一次抽取的数字的概率. 分析从题中文字“记下数字后放回”知本题属于“显性放回”.本题中的事件是摸 两次卡片,看卡片的数字,由此可以确定事件包括两个环节.摸第一张卡片,放回去,再摸第二张卡片,所以树状图应该画两层.第一张卡片的数字可能是1,2,3等3个中的一个,所以第一层应画3个分叉;再看第二层,由于放回,第二个乒乓球的数字可能是3个中的一个,所以第二层应接在第一层的3个分叉上,每个小分支上,再有3个分叉.画出树状图,这样共得到3x3=9种情况,从中找出第二次抽取的数字大于第一次抽取的数字的情况,再求出概率. 解根据题意画树状图如图1. 所有可能的结果为: (1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(2,3),(3,1),(3,2),(3,3). ∵有9种等可能的结果,第二次抽取的数字大于第一次抽取的数字的只有3种, ∴P(第二次抽取的数字大于第一次抽取的数字)=1 3 . 二、显性不放回 例2 一个不透明的布袋里装有4个大小、质地都相同的乒乓球,球面上分别标有数字1,-2,3,-4.小明先从布袋中随机摸出一个球(不放回去),再从剩下的3个球中随机摸出第二个乒乓球. (1)共有_______种可能的结果; (2)请用画树状图的方法求两次摸出的乒乓球的数字之积为偶数的概率. 分析从文字条件“不放回去”知,本题属于“显性不放回”.本题中的事件是摸两个乒乓球,看乒乓球的数字,由此可以确定事件包括两个环节,所以树状图应该画两层.第一个乒乓球的数字可能是1,-2,3,-4等4个中的一个,所以第一层应画4个分叉;由于不放回,第二个乒乓球的数字可能是剩下的3个中的一个,所以第二层应接在第一层的4个分叉上,每个小分支上,再有3个分叉,画出树状图. 解根据题意画树状图如图2. (1)由图2可知,共有12种可能结果,分别为: (1,-2),(1,3).(1,-4),(-2,1),(-2,3),(-2.-4),(3,1),(3,-2),(3,-4),(-4,1),(-4,-2),(-4,3). 故答案为12. 高等数学(专升本)学习指南 一、判断题 1.2(ln log )'x x += 11 ln 2 x x + ,是否正确( 对 ) 解:对原式直接求导即可得到。 ()2ln 11(ln log )'ln ln 2ln 2 x x x x x x '??'+=+=+ ? ?? 2. 函数sin y x x =-在区间[0,2]π上是单调减少,是否正确( 错 ) 解:函数y 的导数 1cos 0y x '=-≥ 其中,[]0,2x π∈ 所以函数y 在该区间是个递增函数。 3.22 32sin lim 12cos x x x x x x x →∞-+=--,是否正确( 对 ) 解:原式:2232sin lim 2cos x x x x x x x →∞-+-- 原式分子sin x 有界,分母cos x 有界,其余项均随着x 趋于无穷而趋于无穷。 这样,原式的极限取决于分子、分母高阶项的同阶系数之比。 得到:22 2 232sin lim lim 12cos x x x x x x x x x x →∞→∞-+?=-- 4.设2tan y x =,则22tan sec dy x xdx =,是否正确( 对 ) 解:对原式关于x 求导,并用导数乘以dx 项即可,注意三角函数求导规则。 ()() 22'tan tan 2tan 2tan sec y x d x x dx x x '=== 所以, 22tan sec dy x x dx =,即22tan sec dy x xdx = 5. 221 2 x x e dx e c --=-+?,是否正确( 对 ) 解:()22211222 x x x e dx e d x e C ---=- -=-+?? 6.(sin cos )'cos sin x x x x +=-,是否正确(对 ) 解:(sin cos )'sin cos cos sin x x x x x x ''+=+=- 7.函数2(2)y x =-在区间[0,4]上极小值是1,是否正确(错 ) 解:对y 关于x 求一阶导,并令其为0,得到()220x -=; 解得x 有驻点:x=2,代入原方程验证此为其极小值点。 8. sin lim x x x →∞=1,是否正确( 错 ) 解:因为 1sin 1x -≤≤有界, 所以 sin lim 0x x x →∞= 9.设1arctan y x =,则2 1 1dy dx x =+,是否正确(错) 解:222 11 11arctan 111dy y x x x dx x '? ??? '== ?-=-= ? ?+? ?? ???+ ??? 所以,2 1 1dy dx x =-+ 10.2 21x dx x =+? c x ++)1ln(2 ,是否正确( 对 ) 高数工本阶段公司 空间解析几何和向量代数: 。 代表平行六面体的体积为锐角时, 向量的混合积:例:线速度:两向量之间的夹角:是一个数量轴的夹角。 与是向量在轴上的投影:点的距离:空间ααθθθ??,cos )(][..sin ,cos ,,cos Pr Pr )(Pr ,cos Pr )()()(22 2 2 2 2 2 212121*********c b a c c c b b b a a a c b a c b a r w v b a c b b b a a a k j i b a c b b b a a a b a b a b a b a b a b a b a b a a j a j a a j u AB AB AB j z z y y x x M M d z y x z y x z y x z y x z y x z y x z y x z z y y x x z z y y x x u u ??==??=?=?==?=++?++++=++=?=?+=+?=-+-+-== (马鞍面)双叶双曲面:单叶双曲面:、双曲面: 同号) (、抛物面:、椭球面:二次曲面: 参数方程:其中空间直线的方程:面的距离:平面外任意一点到该平、截距世方程:、一般方程:,其中、点法式:平面的方程: 1 1 3,,2221 1};,,{,1 302),,(},,,{0)()()(122 222222 22222 222 22220000002 220000000000=+-=-+=+=++??? ??+=+=+===-=-=-+++++= =++=+++==-+-+-c z b y a x c z b y a x q p z q y p x c z b y a x pt z z nt y y mt x x p n m s t p z z n y y m x x C B A D Cz By Ax d c z b y a x D Cz By Ax z y x M C B A n z z C y y B x x A 多元函数微分法及应用 z y z x y x y x y x y x F F y z F F x z z y x F dx dy F F y F F x dx y d F F dx dy y x F dy y v dx x v dv dy y u dx x u du y x v v y x u u x v v z x u u z x z y x v y x u f z t v v z t u u z dt dz t v t u f z y y x f x y x f dz z dz z u dy y u dx x u du dy y z dx x z dz - =??-=??=? -?? -??=-==??+??=??+??===??? ??+?????=??=?????+?????==?+?=≈???+??+??=??+??= , , 隐函数+, , 隐函数隐函数的求导公式: 时, ,当 : 多元复合函数的求导法全微分的近似计算: 全微分:0),,()()(0),(),(),()],(),,([)](),([),(),(22 课时授课计划 课次序号:03 一、课题:§1.3 函数的极限 二、课型:新授课 三、目的要求:1.理解自变量各种变化趋势下函数极限的概念; 2.了解函数极限的性质. 四、教学重点:自变量各种变化趋势下函数极限的概念. 教学难点:函数极限的精确定义的理解与运用. 五、教学方法及手段:启发式教学,传统教学与多媒体教学相结合. 六、参考资料:1.《高等数学释疑解难》,工科数学课程教学指导委员会编, 高等教育出版社; 2.《高等数学教与学参考》,张宏志主编,西北工业大学出版社. 七、作业:习题1–3 1(2),2(3),3,6 八、授课记录: 九、授课效果分析: 第三节 函数的极限 复习 1.数列极限的定义:lim 0,N,N n n n x a n x a εε→∞ =??>?>-<当时, ; 2.收敛数列的性质:唯一性、有界性、保号性、收敛数列与其子列的关系. 在此基础上,今天我们学习应用上更为广泛的函数的极限. 与数列极限不同的是,对 于函数极限来说,其自变量的变化趋势要复杂的多. 一、x →∞时函数的极限 对一般函数y =f (x )而言,自变量无限增大时,函数值无限地接近一个常数的情形与数列极限类似,所不同的是,自变量的变化可以是连续的. 定义1 若?ε>0,?X >0,当x >X 时,相应的函数值f (x )∈U (A ,ε)(即|f (x )-A |<ε),则称x →+∞时,f (x )以A 为极限,记为lim x →+∞ f (x )=A . 若?ε>0,?X >0,当x <-X 时,相应的函数值f (x )∈U (A ,ε)(即|f (x )-A |<ε),则称x →-∞时,f (x )以A 为极限,记为lim x →-∞ f (x )=A . 例1 证明lim x =0. 证 0 -?ε>00-<εε, 即x > 2 1 ε.因此,?ε>0,可取X = 2 1 ε,则当x >X 0-<ε,故由定义1得 lim x =0. 例2 证明lim 100x x →-∞ =. 证 ?ε>0,要使100x -=10x <ε,只要x <l gε.因此可取X =|l gε|+1,当x <-X 时, 即有|10x -0|<ε,故由定义1得lim x →+∞ 10x =0. 定义2 若?ε>0,?X >0,当|x |>X 时,相应的函数值f (x )∈U (A ,ε)(即|f (x )-A |<ε),则称x →∞时,f (x )以A 为极限,记为lim x →∞ f (x )=A . 为方便起见,有时也用下列记号来表示上述极限: f (x )→A (x →+∞);f (x )→A (x →-∞);f (x )→A (x →∞). 《高等数学》课程规划 第一章函数 基本要求:熟悉函数的基本性质、反函数、基本初等函数;掌握函数的性质、复合函数、初等函数。 重点:函数的性质、反函数。 难点:初等函数 第二章极限与连续 基本要求:了解复合函数的连续性、初等函数的连续性;熟悉极限的基本理论及定义,极限存在准则,闭区间上连续函数的性质;掌握两个重要极限、无穷小的比较、等价无穷小代换、连续函数的定义及运算、函数间断点的类型。 重点:函数的性质;极限的性质、四则运算法则;无穷小阶的比较;两个重要极限。 难点:函数在某点处的左、右极限;利用等价无穷小代换求极限;用两个重要极限求极限。 第三章导数与微分 基本要求:了解导数的概念及意义,微分形式的不变性;熟悉微分的定义,导数概念与微分概念的联系与区别;掌握复合函数、隐函数及含参数方程所确定函数的求导运算。 重点:导数概念、函数的可导性与连续性的关系;复合函数求导的链式法则;隐函数求导;由参数方程所确定的函数的导数;函数可微性与可导性的关系。 难点:导数与微分在几何和物理上的应用。 第四章中值定理与导数的应用 基本要求:熟悉微分中值定理;掌握洛必达法则、函数的单调性与曲线的凹凸性、函数极值、最值的求法;了解函数图形的描绘。 重点:洛比达法则;函数单调性、凹凸性的判定;函数极值、最值的求法。 难点:微分中值定理及其应用;描绘函数的图形(包括渐近线)。 第五章不定积分 基本要求:了解积分表的使用;熟悉不定积分的概念;掌握不定积分的运算。重点:不定积分的基本性质、基本积分公式;两类换元积分法和分部积分法。难点:原函数和不定积分的概念;有理函数的不定积分。 不定积分容概要 课后习题全解 习题4-1 1.求下列不定积分: 知识点:直接积分法的练习——求不定积分的基本方法。 思路分析:利用不定积分的运算性质和基本积分公式,直接求出不定积分!★(1) 思路: 被积函数52x- =,由积分表中的公式(2)可解。 解:5 3 22 2 3 x dx x C -- ==-+ ? ★ (2)dx - ? 思路:根据不定积分的线性性质,将被积函数分为两项,分别积分。 解:114 111 333 222 3 ()2 4 dx x x dx x dx x dx x x C -- -=-=-=-+ ???? ★(3)2 2x x dx + ?() 思路:根据不定积分的线性性质,将被积函数分为两项,分别积分。 解:223 2 1 22 ln23 x x x x dx dx x dx x C += +=++ ??? () ★(4)3) x dx - 思路:根据不定积分的线性性质,将被积函数分为两项,分别积分。 解:3153 2222 2 3)32 5 x dx x dx x dx x x C -=-=-+ ?? ★★(5)4223311 x x dx x +++? 思路:观察到422223311311 x x x x x ++=+++后,根据不定积分的线性性质,将被积函数分项,分别积分。 解:42232233113arctan 11x x dx x dx dx x x C x x ++=+=++++??? ★★(6)2 21x dx x +? 思路:注意到222221111111x x x x x +-==-+++,根据不定积分的线性性质,将被积函数分项, 分别积分。 解:2221arctan .11x dx dx dx x x C x x =-=-+++??? 注:容易看出(5)(6)两题的解题思路是一致的。一般地,如果被积函数为一个有理的假分式,通常先将其分解为一个整式加上或减去一个真分式的形式,再分项积分。 ★(7)x dx x x x ?34134(-+-)2 思路:分项积分。 解:3411342x dx xdx dx x dx x dx x x x x --=-+-?? ???34134(-+-)2 223134ln ||.423 x x x x C --=--++ ★(8) 23(1dx x -+? 思路:分项积分。 解: 2231(323arctan 2arcsin .11dx dx x x C x x -=-=-+++?? ★★(9) 思路=11172488x x ++==,直接积分。 解:715888.15 x dx x C ==+? ★★(10)221(1)dx x x +? 思路:裂项分项积分。最新高等数学(上)重要知识点归纳讲解学习
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