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东阳中学2020年下学期期中考试卷
（高三数学）
一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知全集{1,3,5,7,9,11}U =，{1,3}A =，{9,11}B =，则()U A B = e（
）
A ．?
B ．{1,3}
C ．{9,11}
D ．{5,7,9,11}
2．设,a b R ∈，则“2
1a b ab +>??>?
”是“1a >且1b >”的
（）
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分又不必要条件
3．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）
A ．40
B ．
40
3
C ．48
D ．16
4．函数cos e x y x =?(其中e 为自然对数的底数)的图象可能是
（
）
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A B C D
5．孔子曰“三人行，必有我师焉”，从数学角度来看，这句话有深刻的哲理，古语说三百六十行，行行出状元，假设有甲、乙、丙三人中每一人，在每一行业中胜过孔子的概率为1%，那么甲、乙、丙三人中至少一人在至少一行业中胜过孔子的概率约为（）
【参考数据：3600.990.03≈，3600.010≈，30.970.912673≈】A ．0
B ．0.0027%
C ．91.2673%
D ．99.9973%
6．已知tan()23πα+
=，则sin(2)6
πα+=（
）
A ．35
-B ．
3
5
C ．
310
D ．310
-
7．实数a ,b 满足0ab >且a b ≠，由a 、b 、2
a b
+、ab 按一定顺序构成的数列（）
A ．可能是等差数列，但不可能是等比数列
B ．不可能是筹差数列，但可能是等比数列
C ．可能是等差数列，也可能是等比数列
D ．不可能是等差数列，也不可能是等比数列
8．如图，在直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，AB ＝AC ＝1，BC ＝AA 1＝2，点E ，O 分别是线段C 1C ，BC 的中点，1113
A F A A =
，分别记二面角F －OB 1－E ，F －OE －B 1，F －EB 1－O
的平面角为,,αβγ，则下列结论正确的是（
）
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A ．γβα>>
B ．αβγ>>
C ．γαβ
>>D ．αγβ
>>9．已知,a t 为正实数，函数()2
2f x x x a =-+，且对任意[]0,x t ∈，都有()f x a ≤成立．若对每一个
正实数a ，记t 的最大值为()g a ，若函数()g a 的值域记为B ，则下列关系正确的是（
）
A ．2
B ∈B ．12
B
?C ．3B
∈D ．13
B
?10．已知直线1y x =+上有两点1122(,),(,)A a b B a b ，且12a a >．已知1122,,,a b a b 满足
12122||a a b b +2222
1122
a b a b =+?+，若||22AB =+，则这样的点A 个数为（）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
二、填空题：本大题共7小题，多空题每小题6分，单空题每小题4分，共36分．11．已知i 为虚数单位，复数z 满足2( 11)i z i -＋＝，则z 的虚部为
，|z|=
．
12．在3
()(11)x a x x
+-+的展开式中，若a ＝2，则x 项的系数为________；若所有项的系数之和为－
32，则实数a 的值为________．
X 012P
12
p -12
2
p 13．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若16cos 1611b C a c =-，3b =，c ＝2，则cos B =________，ABC S ?=________．
14．已知01p <<，随机变量X 的分布列如右图．若1
3p =时，
()E X =
；在p 的变化过程中，(21)D X +的最大值为______．
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15．双曲线C ：22
221(0,0)x y a b a b
-=>>的两条渐近线12,l l 与直线1x =围成区域Ω(包含边界)，对于区
域Ω内任意一点(,)x y ，若
2
3
y x x --+的最大值小于0，则双曲线C 的离心率e 的取值范围为________．16．设函数()f x 的定义域为D ，若存在0x D ∈，使得00(1)()(1)f x f x f +=+，则称0x 为函数()f x 的“可拆点”．若函数22
()log 1a
f x x =+在(0,)+∞上存在“可拆点”，则正实数a 的取值范围为
．
17．已知()1212,,,,,*k a a b b b k ∈N 是平面内两两互不相等的向量，满足12||1a a -=
，且||{1,2}i j a b -∈
（其中1,2,1,2,,i j k == ）则k 的最大值为________．
三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．18．已知函数()sin (0)f x x =>ωω．
（1）求()f x 的周期是4π，求ω，并求此时1
()2
f x =
的解集；（2）若1=ω，2
()()3()(
)2g x f x f x f x =+--π，[0,]4
x ∈π
，求()g x 的值域．19．如图所示，平面ABEF ⊥平面ABC ，四边形ABEF 是矩形，AB ＝2，AF ＝23，△ABC 是以A 为直角的等腰直角三角形，点P 是线段BF 上的一点，PF ＝3．（1）证明：AC ⊥BF ；
（2）求直线BC 与平面PAC 所成角的正切值．
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20．已知数列{},{}n n a b 满足2(2)n n n S a b =+，其中n S 是数列{}n a 的前n 项和．（1）若数列{}n a 是首项为
23，公比为1
3
的等比数列，求数列{}n b 的通项公式；（2）若n b n =，23a =．i)求{}n a 通项公式；ii)求证：
12242111
1n n
b a b a b a +++< ．21．已知椭圆1C ：22
221(0)y x a b a b
+=>>的右顶点为(1,0)A ，过1C 的焦点且垂直于长轴的弦长为1．
（1）求椭圆1C 的方程；
（2）设点P 在抛物线2C ：2y x h =+上，抛物线2C 在点P 处的切线与椭圆1C 交于点M ,N ，当线段AP 的中点与MN 的中点Q 的横坐标相等时，求h
的最小值．
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22．已知函数2()ln f x x ax x =-+．（1）试讨论函数()f x 的单调性；
（2）对任意0a <，满足2()ln f x x ax x =-+的图象与直线y kx =恒有且仅有一个公共点，求k 的取值范围．
高三数学期中考试参考答案：
1~10CBACD BACAD 11.
310,22
12.4
－4
13.
1116
3154
14.
56
，215.(1,10)16.[35,2)-17.6
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18.解：（1）12
=
ω，…………………………………………2分
5{|44,}33
x x k k k ππ
=
+π+π∈Z 或；………………………………6分（2）1()sin(2)26
g x x π=
-+，…………………………………………10分
值域为1
[,0]2
-．
…………………………………………14分
19.解：(1)证明：因为△ABC 是以A 为直角的等腰直角三角形，所以AC ⊥AB ，
又平面ABEF ⊥平面ABC ，平面ABEF ∩平面ABC ＝AB ，所以AC ⊥平面ABEF .
因为BF ?平面ABEF ，所以AC ⊥BF .
………………………………………6分
(2)在矩形ABEF 中，AB ＝2，AF ＝23，则BF ＝4，又PF ＝3，
所以FA 2＝PF ·BF ，所以BF ⊥AP ，
由(1)知AC ⊥BF ，又AC ∩AP ＝A ，所以BF ⊥平面PAC ，
则∠BCP 为直线BC 与平面PAC 所成的角．…………………10分如图，过点P 作PM ∥AB 交BE 于点M ，过点P 作PN ⊥AB 于点N ，连接NC ，
因为BF ＝4，PF ＝3，所以PB ＝1，则
1
4
PM BM PB EF BE BF ===，所以PM ＝BN ＝
12，BM ＝PN ＝3
2
，AN ＝AB －BN ＝2－12＝32，
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所以CN ＝22AN AC +＝2235()222+=，PC ＝22PN NC +＝2235
()()722
+=.
在Rt △BCP 中，tan ∠BCP ＝
7
7
BP PC =
.故直线BC 与平面PAC 所成角的正切值为
7
7
.………………………………………15分20.解：（1）由题意知，121()33n n a -=?，21(1())
1331()1313
n n n S -==--，所以3131n n n b -=+.
…………………………5分
（2）由题意知，2(2)n n S a n =+，
①，
当2n ≥时，112(2)(1)n n S a n --=+-，②则①-②得1122(1)2n n n n S S na n a ---=--+，得12(1)2n n n a na n a -=--+，③112(1)2n n n a n a na ++=+-+，
④
④-③得111
22(1)(1)n n n n n n a a n a na na n a ++--=+--+-化简得112n n n a a a -+=+，所以数列{}n a 是等差数列，12a =，21321d a a =-=-=，所以1n a n =+.…………………………10分
ii ）令2112211
(21)2(21)(21)(21)2121
n n n c b a n n n n n n n n =
==<=-++-+-+…………13分122421*********+=11335212121
n n n T b a b a b a n n n =
+++<-+-+--<-++ …………………………15分
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21.解：（I ）由题意得21
2,,1
21b a b b a
=?=??∴??
=?=???所求的椭圆方程为2214y x +=.………4分（II ）不妨设21122(,),(,),(,),M x y N x y P t t h +则抛物线2C 在点P 处的切线斜率为2x t y t ='=
，
直线MN 的方程为22y tx t h =-+，
…………………6分
将上式代入椭圆1C 的方程中，得2224(2)40x tx t h +-+-=，
即()
22222
414()()40t x t t h x t h +--+--=，
因为直线MN 与椭圆1C 有两个不同的交点，所以有422
1162(2)40t h t h ???=-++-+>??，
设线段MN 的中点的横坐标是3x ，则21232()
22(1)
x x t t h x t +-==+，…………………8分设线段PA 的中点的横坐标是4x ，则412
t x +=
，…………………10分
由题意得34x x =，即有2(1)10t h t +++=，其中的22(1)40,1h h ?=+-≥∴≥或3h ≤-；
…………………12分
当3h ≤-时有220,40h h +<-<，因此不等式422
1162(2)40t h t h ???=-++-+>??不成立；
因此1h ≥，当1h =时代入方程2(1)10t h t +++=得1t =-，将1,1h t ==-代入不等式
422
1162(2)40t h t h ???=-++-+>??成立，因此h 的最小值为1．…………………15分
22.解：（1）2121'()21(0)
ax x f x ax x x x
-++=-+=>当0a ≤时，恒有'()0f x >，所以()f x 在(0,)+∞单调递增；
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当0a >时，令2210ax x -++=，则180a ?=+>，则111804a
x a
-++=
>，
211804a
x a
--+=
<（舍去），
当118(0,
)4a x a -++∈时，'()0f x >，()f x 在118(0,)4a
a
-++单调递增；
当118(
,)4a x a -++∈+∞时，'()0f x <，()f x 在118(,)4a
a
-+++∞单调递减．
综上所述，当0a ≤时，()f x 在(0,)+∞单调递增；
当0a >时，()f x 在118(0,)4a a -++单调递增，()f x 在118(,)4a
a
-+++∞单调递
减．………………………………6分
（2）原命题等价于对任意0a <，2ln x ax x kx -+=有且仅有一解，即2ln x ax x
k x
-+=；
令ln ()1x h x ax x =-+则21ln '()x h x a x
-=-，3
3
2(ln )2''()x h x x -=，令''()0h x =得3
2x e =所以'()h x 在32(0,)e 上递减，在3
2(,)e +∞上递增，
3
23
2
min
33
1ln 1
'()'()2e h x h e a a
e e -==-=--当3
1
2a e ≤-
时，'()0h x ≥，所以()h x 在R 上单调递增，又当0x →时，
ln ,0x
ax x
→-∞-→，所以()h x →-∞；当x →+∞时，
ln ,x
ax x
→+∞-→+∞，所以()h x →+∞.
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所以()h x 在R 上必存在唯一零点，此时k R ∈；当3102a e -
<<时，3
2min
'()'()0h x h e =<，同时又当0x →时，2
1ln ,x a x -→+∞-→+∞，所以'()h x →+∞；当x →+∞时，
2
1ln 0,x
a x -→-→+∞，所以'()h x →+∞.所以方程'()0h x =存在两根12,x x ，即2211221ln 1ln 0x ax x ax --=--=且3
3
2212(0,),(,)x e x e ∈∈+∞，
所以()h x 在1(0,)x 上单调递增，12(,)x x 上单调递减，在2(,)x +∞上单调递增，所以()h x 的极大值为1()h x ，极小值为2()
h x 要使有方程2ln x ax x
k x
-+=唯一解，必有1()k h x >或2()k h x <，
又2222222222
ln ln 1ln 2ln 1
()111x x x x h x ax x x x x --=
-+=-+=+，又3
22(,)x e ∈+∞，则2ln 1()1x x x ?-=+，2
32ln '()0x x x
?-=<，所以()x ?在3
2(,)e +∞递减，且x →+∞时，2ln 1
()11x x x
?-=
+→，所以1k ≤；同理1112ln 1()1x h x x -=
+，321(0,)x e ∈，2ln 1()1x x x ?-=+在3
2(0,)e 递增，3
322
32
2()()121x e e
e
??-<=+=+，所以32
21k e -+≥.
综上可得，1k ≤或3
221k e -+≥.
………………………………15分