第四讲函数（四）一、指数与对数运算：
1．指数：∈
?
?
?
=n
a
a
a
a n(
N*)
n个
2．对数定义：如果)1
,0
(≠
>a
a
a且的b次幂等于N，就是N
a b=，那么数b称以a为底N
的对数，记作,
log b
N
a
=其中a称对数的底，N称真数.
基本性质：
①对数恒等式：N
a N a=
log
②运算性质：如果,0
,0
,0
,0>
>
≠
>N
M
a
a则
1）N
M
MN
a
a
a
log
log
)
(
log+
=；2）N
M
N
M
a
a
a
log
log
log-
=；
3）∈
=n
M
n
M
a
n
a
(
log
log R）.
③换底公式：),
,1
,0
,0
,0
(
log
log
log>
≠
>
≠
>
=N
m
m
a
a
a
N
N
m
m
a
1）1
log
log=
?a
b
b
a
，2）.
log
log b
m
n
b
a
n
a m
=
3学习要点：
（1）指数式与对数式的互化：log
b
a
a N N b
=?=
（2）要熟练运用初中学习的多项式各种乘法公式；进行数式运算的难点是运用各种变换技巧，如配方、
因式分解、有理化（分子或分母）、拆项、添项、换元等等，这些都是经常使用的变换技巧，必须通过
各种题型的训练逐渐积累经验.
例1．计算：（1）
12
13
1
63
24
(12427162(8)
-
-
+-+-；
（2）2
(lg2)lg2lg50lg25
+?+；（3）
3948
(log2log2)(log3log3)
+?+．
解：（1）原式
12
13
3(1)
24
63
24
(113228
?-?-
??
=+-+-?
2
1
3
33
2
113222118811
?
=++-?=+-=．
（2）原式22
(lg2)(1lg5)lg2lg5(lg2lg51)lg22lg5
=+++=+++
(11)l g22l g52(l g2l g
=++=+=．
（3）原式
lg2lg2lg3lg3lg2lg2lg3lg3
()()()()
lg3lg9lg4lg8lg32lg32lg23lg2
=+?+=+?+
3l g25l g35
2l g36l g24
=?=．
（4）已知：36
log
,5
18
,
9
log
30
18
求
=
=b
a值(用a b
、表示).
[解析],
5
log
,5
18
18
b
b=
∴
=
a
b
a
b-
+
-
=
-
+
-
+
=
+
+
=
∴
2
2
)
2(2
)3
log
18
(log
)9
log
18
(log
1
6
log
5
log
2
log
18
log
36
log
18
18
18
18
18
18
18
18
30
.
[评析]这是一组很基本的指数、对数运算的练习题，虽然在考试中这些运算要求并不高，但是数式
运算是学习数学的基本功，通过这样的运算练习熟练掌握运算公式、法则，以及学习数式变换的各种
技巧.
例2．解答下述问题：
（1）若21
a b a
>>>，则log
b
b
a
，log
b
a，log
a
b从小到大依次为；
（2）若235
x y z
==，且x，y，z都是正数，则2x，3y，5z从小到大依次为；
（3）设0
x>，且1
x x
a b
<<（0
a>，0
b>），则a与b的大小关系是（）
（A）1
b a
<<（B）1
a b
<<（C）1b a
<<（D）1a b
<<
解：（1）由21
a b a
>>>得
b
a
a
<，故log
b
b
a
b a1 < a b． （2）令235 x y z t ===，则1 t>， lg lg2 t x=， lg lg3 t y=， lg lg5 t z=， ∴ 2lg3lg lg(lg9lg8) 230 lg2lg3lg2lg3 t t t x y ?- -=-=> ? ，∴23 x y >； 同理可得：250 x z -<，∴25 x z <，∴325 y x z <<．（3）取1 x=，知选（B）． ) ( log , 2 1 5 , 2 1 5 ,0 2 = + ∴ - = + = ∴ >y x y x x 例3．已知35 a b c ==，且 11 2 a b +=，求c的值． 解：由3a c =得：log31 a c =，即log31 c a=，∴ 1 log3 c a =； 同理可得 1 log5 c b =，∴由 11 2 a b +=得log3log52 c c +=， ∴log152 c =，∴215 c=，∵0 c>，∴c=． 二、指数函数与对数函数 1．指数函数：函数)1 ,0 (≠ > =a a a y x且称指数函数， 1）函数的定义域为R，2）函数的值域为) ,0(+∞， 3）当10<a 时函数为增函数. 2．对数函数：函数)1,0(log ≠>=a a x y a 且称对数函数， 1）函数的定义域为),0(+∞， 2）函数的值域为R ， 3）当10<a 时函数为增函数， 4）对数函数x y a log =与指数函数)1,0(≠>=a a a y x 且互为反函数. 3．学习要点： （1）解决含指数式或对数式的各种问题，要熟练运用指数、对数运算法则及运算性质，更关键是熟练运用指数与对数函数的性质，其中单调性是使用率比较高的知识. （2）指数、对数函数值的变化特点是解决含指数、对数式的问题时使用频繁的关键知识，要达到滚瓜烂熟，运用自如的水平，在使用时常常还要结合指数、对数的特殊值共同分析. （3）含有参数的指数、对数函数的讨论问题是重点题型，解决这类问题的最基本的分类方案是以“底”大于1或小于1分类. （4）在学习中含有指数、对数的复合函数问题大多数都是以综合形式出现，如与其它函数（特别是二次函数）形成的复合函数问题，与方程、不等式、数列等内容形成的各类综合问题等等，因此要努力提高综合能力. 例4．已知1 1log )(--=x mx x f a 是奇函数 （其中)1,0≠>a a ， （1）求m 的值；（2）当)(x f 定义域区间为)2,1(-a 时，)(x f 的值域为),1(+∞，求a 的值. [解析]（1）011log 1 1log 1 1log )()(2 2 2=--=--+--+=+-x x m x mx x mx x f x f a a a 对定义域内的任意x 恒成立，10)1(1112 2 2 2 2 ±=?=-?=--∴ m x m x x m ， 当)1(0)(1≠==x x f m 时不是奇函数，1-=∴m ， （2）)2,1()(,3,21->∴-< ∴命题等价于1)2(=-a f ，即01413 1 log 2 =+-?=--a a a a a ，解得32+ =a . [评析]指数、对数函数的各种常见的基本问题，熟练掌握这些基本问题的解答程序及方法是很重要的能力训练，要认真总结经验. 例5．对于函数)32(log )(2 2 1+-=ax x x f ，解答下述问题： （1）若函数的定义域为R ，求实数a 的取值范围；（2）若函数的值域为R ，求实数a 的取值范围； （3）若函数在[1,)-+∞内有意义，求实数a 的取值范围； （4）若函数的值域为]1,(--∞，求实数a 的值； [解答]记2223)(32)(a a x ax x x g u -+-=+-==， （1）R x u ∈>对0 恒成立，33032min <<-?>-=∴a a u ， a ∴ 的取值范围是)3,3(-； （2）这是一个较难理解的问题。从“x a log 的值域为R ” ，这点思考，“u 2 1log 的值域 为R ”等价于“(x g u =能取遍),0(+∞的一切值”，或理解为“)(x g u =的值域包含 了区间),0(+∞” )(x g u = 的值域为),,0(),3[2 +∞?+∞-a ∴命题等价于33032min ≥-≤?≤-=a a a u 或， ∴a 的取值范围是),3[]3,(+∞--∞ ； （3）应注意“在),1[+∞-内有意义”与定义域的概念是不同的， 命题等价于“),1[0)(+∞-∈>=x x g u 对恒成立”，应按)(x g 的对称轴a x =0分类， ???< <--≥???->---<∴3 31 21012410)1(12 a a a a a a g a 或或， a ∴的取值范围是)3,2(-； （4）由对数函数性质易知：)(x g 的值域为),2[+∞，由此学生很容易得2)(≥x g ，但这是不正确 的.因为“2)(≥x g ”与“)(x g 的值域为),2[+∞”并不等价，后者要求)(x g 能取遍),2[+∞的一切值 （而且不能多取）. ∵)(x g 的值域是),3[2 +∞-a ， ∴命题等价于123)]([2 min ±=?=-=a a x g ； 即a 的值为±1； [评析]学习函数知识及解决函数问题，首先是要非常准确理解与掌握函数中的每个概念，许多函 数的概念都有很深刻的内涵，解决问题时要仔细揣摩各种概念之间的联系与不同，才能作出准确的解 答，并要在学习中不断积累经验. 例6.设集合A={x|4x －2x+2 +a=0,x ∈R}。 （1）若A 中仅有一个元素，求实数a 的取值集合B ； （2）若对于任意a ∈B ，不等式x 2 －6x [解](1)令2x =t(t>0)，设f(t)=t 2－4t+a,由f(t)=0在（0，+∞）上仅有一根或两相等实根、有 ①f(t)=0有两等根时，△=0?16－4 a =0?a=4. 验证:t 2 －4t+4=0?t=2∈(0,+∞)这时x=1. ②f(t)=0有一正根和一负根时，f(0)<0?a<0. ③若f(0)=0，则a=0，此时4x －2·2x =0?02=x ，（舍去），或2x =4,∴x=2，此时A 中只有一个元素。 ∴实数a 的取值集合为B={ a ≤0或a=4}。 (2)要使原不等式对任意a ∈(－∞,0] {4}恒成立，即g(a)=（x －2）a －(x 2－6x)>0恒成立。 只须???>≤-0)4(02g x ????<+-≤0 81022x x x ?5－17 三、函数的值域与最值问题 1．求函数值域与最值的常用方法：（1）配方法：主要适用于可化为二次函数或可化为二次函数的函数，要特别注意自变量的范围；（2）判别式法：主要适用于可化为关于x 的二次方程 2 ()()()0a y x b y x c y ++=的函数()y f x =．在由0?≥且()0a y ≠，求出y 的值后，要检验这个最 值在定义域内是否有相应的x 的值；（3）不等式法：利用基本不等式求最值时一定要注意应用的条件；（4）换元法：用换元法时一定要注意新变元的取值范围；（5）数形结合法：对于图形较容易画出的函数的最值问题可借助图象直观求出；（6）利用函数的单调性：要注意函数的单调性对函数最值的影响，特别是闭区间上函数的最值． 2．需注意的地方：（1）函数的最值问题实质上是函数的值域问题，因此求函数值域的方法，也是求函数的值域的方法，只是答题的方式有所差异； （2）无论用什么方法求最值，都要考查“等号”是否成立，不等式法及判别式法尤其如此 例7．求下列函数的值域： （1）312 x y x +=-；（2 ）y x =+ （3 ）y x =+ （4）22 221 x x y x x -+= ++； （5）2 211()21 2 x x y x x -+= > -； （6）1sin 2cos x y x -= -． 解：（1）（法一）反函数法：312 x y x +=-的反函数为213 x y x +=-，其定义域为{|3}x R x ∈≠， ∴原函数312 x y x += -的值域为{|3}y R y ∈≠． （法二）分离变量法：313(2)7 7322 2 x x y x x x +-+== =+ ---， ∵ 702 x ≠-，∴7332 x + ≠-， ∴函数312 x y x += -的值域为{|3}y R y ∈≠． （2）换元法（代数换元法） ：设0t = ≥，则21x t =-， ∴原函数可化为2214(2)5(0)y t t t t =-+=--+≥，∴5y ≤， ∴原函数值域为(,5]-∞． 说明：总结y ax b =++ 2y ax b =++ 2y ax b =++ （3）三角换元法：∵21011x x -≥?-≤≤，∴设cos ,[0,]x ααπ=∈， 则cos sin )4 y π ααα=+=+ ∵[0,]απ∈，∴5[ ,]4 44 π ππ α+ ∈ ，∴sin()[,1]4 2 π α+ ∈- )[4 π α+ ∈-， ∴原函数的值域为[-． （4）判别式法：∵210x x ++>恒成立，∴函数的定义域为R ． 由2 222 1 x x y x x -+= ++得：2(2)(1)20y x y x y -+++-= ① ①当20y -=即2y =时，①即300x +=，∴0x R =∈ ②当20y -≠即2y ≠时，∵x R ∈时方程2(2)(1)20y x y x y -+++-=恒有实根， ∴22(1)4(2)0y y =+-?-≥ ，∴15y ≤≤且2y ≠， ∴原函数的值域为[1,5]． （5）2 1 21(21)11112121 21 21 2 2 x x x x y x x x x x x -+-+== =+ =- + + ---- ， ∵12 x > ，∴102 x - > ，∴1 1212 2x x - + ≥=-1 1212 2 x x - = - 时， 即12 x += 时等号成立．∴1 2 y ≥ ，∴原函数的值域为1,)2 +∞． （6）（法一）方程法：原函数可化为：sin cos 12x y x y -= -， )12x y ?-=- （其中cos sin ??== ）， ∴sin()[1,1]x ?-= -，∴|12|y -≤2 340y y -≤，∴403 y ≤≤， ∴原函数的值域为4 [0,]3 ． （法二）数形结合法：可看作求点(2,1)与圆22 1x y +=上的点的连线的斜率的范围，解略． 例8．（1）函数x y a =在[0,1]上的最大值与最小值的和为3，则a = 2 ． （2）设x 1、x 2为方程4x 2 －4mx +m +2=0的两个实根，当m =_________时，x 12 +x 22 有最小值_________. 解析：由韦达定理知：x 1+x 2=m ,x 1x 2= 4 2+m ,∴x 12+x 22=(x 1+x 2)2－2x 1x 2=m 2－ 2 2+m =(m － 4 1)2－ 16 17, 又x 1,x 2为实根，∴Δ≥0.∴m ≤－1或m ≥2，y =(m －4 1)2 － 16 17在区间(－∞,1）上是减函数，在［2，+ ∞)上是增函数又抛物线y 开口向上且以m = 4 1为对称轴.故m =1时，y min =2 1.答案：－1 2 1 例9．设函数f (x )的定义域为R ，对任意实数x 、y 都有f (x +y )=f (x )+f (y ),当x >0时f (x )<0且f (3)=－4. (1)求证：f (x )为奇函数；(2)在区间［－9，9］上，求f (x )的最值. [解析](1）证明：令x =y =0,得f (0)=0 令y =－x ,得f (0)=f (x )+f (－x ),即f (－x )=－f (x ) ∴f (x )是奇函数 (2）解：任取实数x 1、x 2∈［－9,9］且x 1＜x 2,这时，x 2－x 1>0,f (x 1)－f (x 2)=f ［(x 1－x 2)+x 2］－f (x 2)=f (x 1 －x 2)+f (x 2)－f (x 1)=－f (x 2－x 1) 因为x >0时f (x )＜0,∴f (x 1)－f (x 2)>0 ∴f (x )在［－9，9］上是减函数 故f (x )的最大值为f (－9),最小值为f (9). 而f (9)=f (3+3+3)=3f (3)=－12,f (－9)=－f (9)=12. ∴f (x )在区间［－9，9］上的最大值为12，最小值为－12. 《训练题》 一、选择题： 1．若)3 log 4log 4 log 3log ( )3log 4(log 3log log 4 33 42 4 349+ -+=?x ，则=x （ ） A ．4 B ．16 C ．256 D ．81 2．当10< a a a a a ,,的大小关系是 （ ） A ．a a a a a a >> B ．a a a a a a >> C ．a a a a a a >> D ．a a a a a a >> 3．若13 2 log >a ，则a 的取值范围是 （ ） A ．2 31< 3110<<< 13 2< 20>< 4．函数)2(x f y =的定义域为[1，2]，则函数)(lo g 2 x f y =的定义域为 （ ） A ．[0，1] B ．[1，2] C ．[2，4] D ．[4，16] 5．若函数)2,3()(log )(3 2 1---=在ax x x f 上单调递减，则实数a 的取值范围是 （ ） A ．[9，12] B ．[4，12] C ．[4，27] D ．[9，27] 6．函数)0(432 >- -=x x x y 的值域为 （ ） A ．]2,(--∞ B ．),2[+∞- C ．]93,(3--∞ D ．),93[3+∞- 7．下面的结论中正确的是 （ ） A ．4sin 4sin 2 2 的最小值是 x x y + = B ．21的最小值是 x x y + = C ．22 122 2 的最小值是 ++ += x x y D ．1 22 2 ++= x x y 的最小值是2 8．若有则且 xy y x y x ,182,0,0=+ >> （ ） A ．最大值64 B ．最小值64 1 C ．最小值64 D ．最小值2 1 9．若2223,120b a b a a +=+>则且的最大值为 （ ） A ．1 B ．2 C ．2 2 D ．2 6 10．设f (x )是奇函数，对任意的实数x 、y ，有,0)(,0),()()(<>+=+x f x y f x f y x f 时且当则f (x )在区间[a ,b ]上 （ ） A ．有最大值f (a ) B ．有最小值f (a ) C ．)2 ( b a f +有最大值D ．)2 ( b a f +有最小值 二、填空题： 1．计算=+?+3 log 22 450lg 2lg 5lg . 2．若1)1(log ) 1(<-+k k ，则实数k 的取值范围是 . 3．若1 ) 2)(5(,1+++=-=x x x y x 则函数的最小值为 . 4．若的最大值是 则x x x f x 3 cos cos )(,2 0-=< <π . 5．已知=-+?-=≤≤++m M m M y x x x 则最小值是的最大值是函数,,72 34 ,202 2 1 . 6．已知函数)()(x g x f 与的定义域均为非负实数集，对任意的0≥x ，规定)()(x g x f * 的最大值为是若)()(,52)(,3)()},(),(min{x g x f x x g x x f x g x f *+= -== . 三、解答题： 1．已知4 4 2 2 1 ) 31)(21(,31a a a a a a a a a a + ++++ =+ 求 的值. 2．已知函数)10,1)(lg()(<<>-=b a b a x f x x ， （1）求)(x f 的定义域； （2）此函数的图象上是否存在两点，过这两点的直线平行于x 轴？ （3）当a 、b 满足什么条件时)(x f 恰在),1(+∞取正值. 3．已知函数1 342 2 +++= x n x mx y 的最大值为7，最小值为-1，求函数的表达式. 答案 一、选择题： 1.C 2.B 3.D 4.D 5.A 6．C 7．D 8．C 9．D 10．A 二、填空题 1．10 2），（10)0,1( - 3．9 4．9 32 5．8 6．132- 三、解答题 1719)1(312 =+ ?=+ ?=+ a a a a a a ， 471 49) 1(2 2 2 =+ ?=+∴a a a a ， ])())[((12 21 2 121 2 21 2 121 2 323 a a a a a a a a a a a a +?-+=+=+ ∴--- 1863)11)(1(=?=+ -+ =a a a a ， 而512) 1 (1 2 4 44 4=+ +=+ = + a a a a a a ， 5200 5 50 205 ) 347()218(=?= +?+= ∴原式. 2．（1）1)()0(0>?>>?>-x x x x x b a b a b a ， 又0,11 01>∴>? ?? ?<<>x b a b a ，故函数的定义域是),0(+∞. （2）问题的结论取决于)(x f 的单调性 任取012>>x x ，则1 1 22lg )()(12x x x x b a b a x f x f --=-， 10101 11221 12212 12>--?>->-??????<>? ? ??<<>∴x x x x x x x x x x x x b a b a b a b a b b a a b a ， ),()(12x f x f >∴即)(x f 在定义域内单调递增，故不存在所述两点； （3）)(x f 在） ，∞+1(单调递增，∴命题等价于：0)1(=f ， 1=-∴b a 3 解： 原函数解析式,,0)(34)(2m y n y x x m y ≠=-+--?显然 1534)(11345)(,5 115, 56 0)12()(7490)12()(1,71,0)12()(, 0))((448,2 2 222 +++=+++=∴???==???==∴? ??==+????=-++-≤-+++∴≤≤-≤-++-≥---=?∴∈x x x x f x x x x f n m n m mn n m mn n m mn n m y mn y n m y n y m y R x 或或集为 由题意知此不等式的解 即 指数函数与对数函数专项练习 1 设 232555 322555a b c ===（）,（），（） ，则a ，b ，c 的大小关系是[ ] （A ）a ＞c ＞b （B ）a ＞b ＞c （C ）c ＞a ＞b （D ）b ＞c ＞a 2 函数y=ax2+ bx 与y= || log b a x (ab ≠0，| a |≠| b |)在同一直角坐标系中的图像可能 是[ ] 3.设525b m ==，且112a b +=，则m =[ ] （A ）10（B ）10 （C ）20 （D ）100 4.设a= 3log 2,b=In2,c=1 2 5- ,则[ ] A. a (A) (B) (C) (D) 8.设 5 54a log 4b log c log ===25，（3），，则[ ] (A)a 一．指数函数与对数函数 1．求下列函数的定义域、值域： （1）1218 x y -= （2）y =（3）2x 2x 3y -= 2．设a 是实数，2()()21 x f x a x R =- ∈+， （1）试证明：对于任意,()a f x 在R 为增函数； （2）试确定a 的值，使()f x 为奇函数。 3．函数f (x )＝x 21-的定义域是（ ） A ．(－∞，0] B ．[0，＋∞) C ．（－∞，0） D ．（－∞，＋∞） 4．函数y ＝－e x 的图象（ ） （A ）与y ＝e x 的图象关于y 轴对称 (B)与y ＝e x 的图象关于坐标原点对称 （C ）与y ＝e －x 的图象关于y 轴对称 (D)与y ＝e －x 的图象关于坐标原点对称 5．函数x a y =在]1,0[上的最大值与最小值这和为3，则a ＝（ ） （A ） 21 （B ）2 （C ）4 （D ）41 6．方程0224=-+x x 的解是__________． 7．设2()lg()1f x a x =+-是奇函数，则使()0f x <的x 的取值范围是（ ） A ．(1,0)- B ．(0,1) C ．(,0)-∞ D ．(,0)(1,)-∞+∞ 8．下面不等式成立的是( ) A ．322log 2log 3log 5<< B ．3log 5log 2log 223<< C ．5log 2log 3log 232<< D ．2log 5log 3log 322<< 9．函数2log (4)(0)y x x =+>的反函数是（ ） A ．24(2)x y x =+> B ．24(0)x y x =+> C ．24(2)x y x =-> D ．24(0)x y x =-> 10．函数212log (56)y x x =-+的单调增区间为（ ） A ．52??+∞ ???， B ．(3)+∞， C ．52??-∞ ???， D ．(2)-∞， 一、填空题 1． ×log 21 8＋2lg(3＋5＋3－5)的结果为________． 解析：原式＝9－3×(－3)＋lg(3＋5＋3－5)2 ＝18＋lg 10＝19. 答案：19 2．设f (x )为定义在R 上的奇函数，当x >0时，f (x )＝log 3(1＋x )，则f (－2)＝________. 解析：由题意得， f (－2)＝－f (2)＝－lo g 3(1＋2)＝－1. 答案：－1 3．设a ＝log 32，b ＝ln 2，则a ，b ，c 的大小关系为________． 解析：a ＝log 32＝ln 2 ln 3 6．已知函数f (x )＝??? log 3 x (x >0)2x (x ≤0)，则f (f (1 9))＝________. 解析：f (19)＝log 3 1 9＝－2， f (f (19))＝f (－2)＝2－2＝14. 答案：14 7．将函数y ＝log 3 x 的图象上每一点的纵坐标不变，横坐标变为原来的m (m >0)倍，得到图象C ，若将y ＝log 3 x 的图象向上平移2个单位，也得到图象C ，则m ＝________. 解析：将y ＝log 3 x 的图象向上平移2个单位， 得到y ＝2＋log 3 x ＝log 3 (9x )的图象，∴m ＝1 9. 答案：19 8．设f (x )＝lg ( 2 1－x ＋a )是奇函数，则使f (x )<0的x 的取值范围是________． 解析：由f (x )是奇函数得f (－x )＋f (x )＝0，即lg 2＋a ＋ax 1＋x ＋lg 2＋a －ax 1－x ＝0，(2＋a ＋ax )(2＋a －ax )＝(1＋x )(1－x )，(2＋a )2－a 2x 2＝1－x 2，因此(2＋a )2＝1且a 2＝1，故a ＝－1，f (x )＝lg 1＋x 1－x ，令f (x )＝lg 1＋x 1－x <0，则有0<1＋x 1－x <1，即－1 最新文件---------------- 仅供参考--------------------已改成-----------word 文本 --------------------- 方便更改 赠人玫瑰，手留余香。 必修1专题复习——对数与对数函数 1．23log 9log 4?=（ ） A ． 14 B ．1 2 C ．2 D ．4 2．计算()()516log 4log 25?= （ ） A ．2 B ．1 C ． 12 D ．1 4 3．已知222 125 log 5,log 7,log 7 a b ===则 （ ） A ．3 a b - B ．3a b - C ．3a b D ．3a b 4．552log 10log 0.25+=（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．4 5．已知3 1 ln 4,log ,12 ===-x y z ，则（ ） A.< 8．已知a =312 ,b =l og 1 312 ,c =l og 21 3,则（ ） A. a >b >c B.b >c >a C. c>b>ac D. b >a >c 9．函数23 log (21)y x =-的定义域是 A ．[1，2] B ．[1,2) C ．1(,1]2 D ．1[,1]2 10．函数)12(log )(2 1-=x x f 的定义域为（ ） A ．]1,-(∞ B ．),1[+∞ C ．]121，（ D ．） ，（∞+2 1 11．已知集合A 是函数)2ln()(2x x x f -=的定义域，集合B={} 052 >-x x ，则 （ ） A ．?= B A B ．R B A = C ．A B ? D ．B A ? 12．不等式1)2(log 2 2>++-x x 的解集为( ) A 、()0,2- B 、()1,1- C 、()1,0 D 、()2,1 13．函数)1,0)(23(log ≠>-=a a x y a 的图过定点A ，则A 点坐标是 （ ） A 、（32, 0） B 、（0,3 2 ） C 、（1,0） D 、（0,1） 14．已知函数 log ()(,a y x c a c =+为常数，其中0,1)a a >≠的图象如右图，则下 列结论成立的是（ ） A.1,1a c >> B.1,01a c ><< C.01,1a c <<> D.01,01a c <<<< 专题8 利用指数函数、对数函数、幂函数的性质解决大小比较问题 一、选择题 1．【山东寿光现代中学2018届高三开学考】已知实数，那么它们的大小关系是（） A. B. C. D. 2．【安阳市第三十五中学2018届高三开学考】设，，，则，，的大小关系是（）A. B. C. D. 3．【山东省寿光现代中学2018届高三开学考】若，则下列不等式错误的是（） A. B. C. D. 4．【南阳市一中2018届高三第一次考】设，则（） A. B. C. D. 5．【河北省正定中学2016-2017学年月考】已知，，，则（） A. B. C. D. 6．【安徽省亳州市2016—2017学年高一期中】如图①，②，③，④，根据图象可得a、b、c、d与1的大小关系为（） A. a＜b＜1＜c＜d B. b＜a＜1＜d＜c C. 1＜a＜b＜c＜d D. a＜b＜1＜d＜c 7．【甘肃省天水市一中2016-2017学年期末】已知a b＝0.3 2，0.2 0.3 c ，则a，b，c三者的大 小关系是（） A . b >c >a B . b >a >c C . a >b >c D . c >b >a 8．【赣州市2016-2017 学年期末】设log a = 0.013b =， c =，则( ) A . c a b << B . a b c << C . a c b << D . b a c << 9．【宁夏石嘴山市三中2016-2017学年期末】已知ln x π=， 5log 2y =， 12 z e - =，则（ ） A z x y << B y z x << C z y x << D x y z << 10．【梅河口五中2016-2017学年期末】设0.1359 2,ln ,log 210 a b c ===，则,,a b c 的大小关系是（ ） A . a b c >> B . a c b >> C . b a c >> D . b c a >> 11．【山东寿光现代中学2016-2017学年模块监测】下列关系式中，成立的是（ ）． A . 03131log 4log 105??>> ??? B . 0 1331log 10log 45?? >> ??? C . 03131log 4log 105??>> ??? D . 0 133 1log 10log 45?? >> ??? 12．【烟台市2016-2017学年期末】已知1a b >>， 01c <<，则下列不等式正确的是（ ） A . c c a b < B . a b c c > C . log log a b c c > D . log log c c a b > 13．【山东菏泽一中、单县一中2016-2017学年期末】若0.633log 0.6,3,0.6a b c ===，则（ ） A . c a b >> B . a b c >> C . b c a >> D . a c b >> 14．【山东省潍坊寿光市2016-2017学年期末】若0.633log 0.6,3,0.6a b c ===，则（ ） A . c a b >> B . a b c >> C . b c a >> D . a c b >> 15．【河南南阳一中2018届第一次考】已知1 3 2a -=， 2 1log 3b =， 12 1 log 3c =，则( ) A . a b c >> B . a c b >> C . c a b >> D . c b a >> 16．【甘肃省天水一中2016-2017 学年期末】已知a = 0.32b =， 0.20.3c =，则,,a b c 三者的大小 关系是（ ） A . b c a >> B . b a c >> C . a b c >> D . c b a >> 17．【四川省南充高级中学2016-2017 学年期末】设log a =， 0.01 3b =， ln 2 c =，则( ) 必修1专题复习——对数与对数函数 1．23log 9log 4?=（ ） A ．14 B ．12 C ．2 D ．4 2．计算()()516log 4log 25?= （ ） A ．2 B ．1 C ． 12 D ．14 3．已知222125log 5,log 7,log 7a b ===则 （ ） A ．3 a b - B ．3a b - C ．3a b D ．3a b 4．552log 10log 0.25+=（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．4 5．已知3 1ln 4,log ,12 ===-x y z ，则（ ） A.< 高考数学专题：对数与对数函数 最新考纲 1.理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数；了解对数在简化运算中的作用；2.理解对数函数的概念及其单调性，掌握对数函数图象通过的特殊点，会画底数为2，10，1 2的对数函数的图象；3.体会对数函数是一类重要的函数模型.4.了解指数函数y ＝a x (a >0，且a ≠1)与对数函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)互为反函数. 知 识 梳 理 1.对数的概念 如果a x ＝N (a >0，且a ≠1)，那么x 叫做以a 为底N 的对数，记作x ＝log a N ，其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数. 2.对数的性质、换底公式与运算性质 (1)对数的性质：①a log a N ＝N ；②log a a b ＝b (a >0，且a ≠1) (2)对数的运算法则 如果a >0且a ≠1，M >0，N >0，那么 ①log a (MN )＝log a M ＋log a N ； ②log a M N ＝log a M －log a N ； ③log a M n ＝n log a M (n ∈R )； ④log a m M n ＝n m log a M (m ，n ∈R ，且m ≠0). (3)对数的重要公式 ①换底公式：log b N ＝log a N log a b (a ，b 均大于零且不等于1)； ②log a b ＝1 log b a ，推广log a b ·log b c ·log c d ＝log a d . 3.对数函数及其性质 (1)概念：函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)叫做对数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是(0，＋∞). (2)对数函数的图象与性质 函数的最值与值域 【考纲要求】 1. 会求一些简单函数的定义域和值域； 2. 理解函数的单调性、最大(小)值及其几何意义； 3. 会运用函数图象理解和研究函数的性质． 4. 在某些实际问题中，会建立不等式求参数的取值范围，以及求最大值和最小值. 【知识网络】 【考点梳理】 考点一、函数最值的定义 1.最大值：如果对于函数()f x 定义域D 内的任意一个自变量x ，存在0x D ∈，使得0()()f x f x ≤成立，则称0()f x 是函数()f x 的最大值． 注意：下面定义错在哪里？应怎样订正． 如果对于函数()f x 定义域D 内的任意一个自变量x ，都有()f x M ≤，则称M 是函数()f x 的最大值． 2.最小值的定义同学们自己给出． 考点二、函数最值的常用求法 1.可化为二次函数的函数，要特别注意自变量的取值范围． 2.判别式法：主要适用于可化为关于x 的二次方程，由0?≥（要注意二次项系数为0的情况）求出函数的最值，要检验这个最值在定义域内是否有相应的x 的值． 3.换元法：很多含根式的函数的最值的求法经常用到换元法来求．常用的换元有———三角代换，整体代换． 4.不等式法：利用均值不等式求最值． 5.利用函数的性质求函数的最值 6.含绝对值的函数或分段函数的最值的求法 7.利用导数求函数的最值。 要点诠释： (1)求最值的基本程序：求定义域、求导数、求导数的零点、列表、根据表比较函数值大小给出最值； (2)一些能转化为最值问题的问题: ()f x A >在区间D 上恒成立?函数min ()()f x A x D >∈ 函数的最值与值域 函数的值域 函数的最大值 函数的最小值 对数与对数函数专题 1.对数的概念 如果a x＝N（a>0，且a≠1），那么x叫做以a为底N的对数，记作x＝log a N，其中a叫做对数的底数，N叫做真数 . 2.对数的性质、换底公式与运算性质 （1）对数的性质：① a logaN＝N；②log a a b＝b（a>0，且a≠1）. （2）对数的运算法则 如果a>0 且a≠1，M>0，N>0，那么 ①log a（MN）＝ log a M＋log a N；②log a N M＝log a M－ log a N；③log a M n＝n log a M（n∈ R）； n n ④ log a m M n＝m log a M（m，n∈ R，且m≠0）. log a N （3）换底公式： log b N＝log a b（a，b均大于零且不等于 1）. 3.对数函数及其性质 （1）概念：函数y＝log a x（a>0，且a≠1）叫做对数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是（0 ，＋∞ ）. （2）对数函数的图象与性质 4.反函数 指数函数y＝a x（a>0，且a≠1）与对数函数y＝log a x（a>0，且a≠1）互为反函数，它们的图象关于直线y＝x 对称 . 1. 换底公式的两个重要结论 1 n n （1）log a b ＝ ； （2）log a m b n ＝ log a b . a log b a a m a 其中 a >0，且 a ≠1， b >0，且 b ≠1， m ， n ∈R. 2. 在第一象限内，不同底的对数函数的图象从左到右底数逐渐增大 . 1 3. 对数函数 y ＝ log a x （ a >0，且 a ≠1）的图象过定点 （1 ， 0） ，且过点 （a ，1）， ，－ 1 ，函数图象只在第 a 、四象限 疑误辨析】 1. 判断下列结论正误 （在括号内打“√”或“×”） 2 （1）log 2x ＝ 2log 2x .（ ） （2） 函数 y ＝log 2（ x ＋1）是对数函数 .（ ） 1＋ x （3） 函数 y ＝ln 与 y ＝ ln （1 ＋x ） －ln （1 －x ）的定义域相同 .（ ） 1－ x （4） 当 x >1 时，若 log a x >log b x ，则 a 0，且 a ≠1）的图象如图，则下 列结论成立的是 （ ） 1 c ＝log 13， A. a >b >c B. a >c >b C. c >b >a D. c >a >b 3.（ 必修 1P74A7改编 ） 函数 l og 2 （2 x －1） 的 定义域是 函数之 初等函数之 对数函数之 比较大小 1.已知， ，则a,b,c 的大小关系是 （A ） （B ） （C ） （D ） 2.已知， ，，则( ) （A ） （B ） （C ） （D ） 3．设的大小关系是( ) A ． B ． C ． D ． 4.设 a ＞b ＞1， ，给出下列三个结论：其中所有的正确结论的序号是. ① ＞ ；② ＜ ； ③ ， A ．① B.① ② C.② ③ D.① ②③ 5.已知则（ ） A. B. C. D. 6.设 （ ） (A)a C.log a b ＜log a b 1＜log b b 1 D.log b b 1＜log a b 1 ＜log a b 13.a=log 0.50.6，b=log 2 0.5，c=log 3 5，则( ) A.a ＜b ＜c B.b ＜a ＜c C.a ＜c ＜b D.c ＜a ＜b 14．若0 指数函数对数函数比较大小 题型总结 标准化文件发布号：（9312-EUATWW-MWUB-WUNN-INNUL-DDQTY-KII 1、 已知0707..m n >，则m n 、的关系是（ ） A 、 10>>>m n B 、 10>>>n m C 、 m n > D 、 m n < 2、三个数a b c =-==(.)(.).030320203，，，则a b c 、、的关系是（ ） A 、 a b c << B 、 a c b << C 、 b a c << D 、 b c a << 3、三个数6log ,7.0,67.067.0的大小顺序是 （ ） A 、60.70.70.7log 66<< B 、60.70.70.76log 6<< B 、0.760.7log 660.7<< D 、60.70.7log 60.76<< 4、设 1.50.90.4812314,8,2y y y -??=== ???，则 （ ） A 、312y y y >> B 、213y y y >> C 、132y y y >> D 、123y y y >> 5、当10<> B 、a a a a a a >> C 、a a a a a a >> D 、a a a a a a >> 6．设y 1＝，y 2＝，y 3＝(12)－，则( ) A ．y 3>y 1>y 2 B ．y 2>y 1>y 3 C ．y 1>y 2>y 3 D ．y 1>y 3>y 2 7．设13<(13)b <(13)a <1，则( ) ●高考明方向 1.理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数；了解对数在简化运算中的作用． 2.理解对数函数的概念，理解对数函数的单调性，掌握对数函数图象通过的特殊点． 3.知道对数函数是一类重要的函数模型． 4.了解指数函数y＝a x与对数函数y＝log a x互为反函数(a>0，且a≠1)． ★备考知考情 通过对近几年高考试题的统计分析可以看出，本节内容在高考中属于必考内容，且占有重要的分量，主要以选择题的形式命题，也有填空题和解答题．主要考查对数运算、换底公式等．及对数函数的图象和性质．对数函数与幂、指数函数结合考查，利用单调性比较大小、解不等式是高考的热点. 一、知识梳理《名师一号》P27 注意： 知识点一对数及对数的运算性质 1.对数的概念 一般地，对于指数式a b＝N，我们把“以a为底N的对数b”记作log a N，即b＝log a N(a>0，且a≠1)．其中，数a叫做对数的底数，N叫做真数，读作“b等于以a为底N的对数”． 注意：(补充)关注定义---指对互化的依据 2．对数的性质与运算法则 (1)对数的运算法则 如果a>0且a≠1，M>0，N>0，那么 ①log a(MN)＝log a M＋log a N； ②log a M N＝log a M－log a N； ③log a M n＝nlog a M(n∈R)； ④log a m M n＝n m log a M. (2)对数的性质 ①a logaN ＝N ；②log a a N ＝N (a>0，且a≠1)． (3)对数的重要公式 ①换底公式：log b N ＝log a N log a b (a ，b 均大于零且不等于1)； ②log a b ＝1 log b a ，推广log a b·log b c·log c d ＝log a d. 注意：(补充)特殊结论:log 10, log 1a a a == 知识点二 对数函数的图象与性质 1.对数函数的图象与性质（注意定义域!） 指数函数y ＝a x 与对数函数y ＝log a x 互为反函数， 它们的图象关于直线y ＝x 对称． (补充) 设y ＝f(x)存在反函数，并记作y ＝f －1(x)， 1) 函数y ＝f(x)与其反函数y ＝f －1(x)的图象 关于直线y x =对称． 1、 已知0707..m n >，则m n 、的关系是（ ） A 、 10>>>m n B 、 10>>>n m C 、 m n > D 、 m n < 2、三个数a b c =-==(.)(.).030320203，，，则a b c 、、的关系是（ ） A 、 a b c << B 、 a c b << C 、 b a c << D 、 b c a << 3、三个数6l o g ,7.0,67.067.0的大小顺序是 （ ） A 、60.70.70.7log 66<< B 、60.70.70.76log 6<< B 、0.760.7log 660.7<< D 、60.70.7log 60.76<< 4 、 设 1.5 . 90 . 48 12 314 ,8 , 2y y y -??== = ??? ，则 （ ） A 、312y y y >> B 、213y y y >> C 、132y y y >> D 、 123y y y >> 5、当10<> B 、a a a a a a >> C 、a a a a a a >> D 、a a a a a a >> 6．设y 1＝40.9，y 2＝80.48，y 3＝(1 2)－1.5，则( ) A ．y 3>y 1>y 2 B ．y 2>y 1>y 3 C ．y 1>y 2>y 3 D ．y 1>y 3>y 2 7．设13<(13)b <(1 3)a <1，则( ) A ．a a b >c B ．a 0，且a ≠1)． 12．设y 1＝40.9，y 2＝80.48，y 3＝(1 2)－1.5，则( ) A ．y 3>y 1>y 2 B ．y 2>y 1>y 3 C ．y 1>y 2>y 3 D ．y 1>y 3>y 2 1．设a ＝log 54，b ＝(log 53)2，c ＝log 45，则( ) A ．a ＜c ＜b B ．b ＜c ＜a C ．a ＜b ＜c D ．b ＜a ＜c 2．设a ＝lge ，b ＝(lg e)2，c ＝lg e ，则( ) A ．a >b >c B ．a >c >b C ．c >a >b D ．c >b >a 3．已知a ＝log 23.6，b ＝log 43.2，c ＝log 43.6，则( ) A ．a >b >c B ．a >c >b C ．b >a >c D ．c >a >b 4．设a ＝log 1312，b ＝log 13 23，c ＝log 34 3，则a ，b ，c 的大小关系是( ) 第 讲 指数函数与对数函数 时间： 年 月 日 刘老师 学生签名： 一、 兴趣导入 二、 学前测试 log 1. log . 2. (1).; (); (). (2).log log log ; log log ;(0,0). 3. ; log ; a b a x y x y x y xy x x x a a a n a a N x a a N b N a a a a a ab a b MN M N M n M M N a N a x +=?=?===?=+=>>==指数式、对数式：指数、对数的运算性质： 常用关系式： log log ;log log ; log log . log 4. ; 5. 6. ,(, 111. 2a aM m N n b a a a b M N N n N M M M m y x R x x αααα== ==∈指数函数的定义、图象、性质对数函数的定义、图象、性质，指、对函数间的关系。幂函数 定义：是常数）叫幂函数。定义域是使的意义的的值的集合，与的取值有关。性质：（）图象都过点（，）（0.+00 3 7. 8.ααα><）在（∞)上，当时，是增函数，时，是减函数。 （）若为有理数，且定义域关于原点对称，则是奇或偶函数。指数方程、对数方程： 均属超越方程，解法是化成同底数幂（同底的对数），从而幂指数（真数）相等。或用换元法、或两边取对数。 指数不等式、对数不等式：解法与指数方程、对数方程类似。 三、方法培养 ☆专题1：指数运算与对数运算 [例1] 已知,27log 12a =试用a 表示.16log 6 变式练习：1已知,ln .log log 3,12x x x x a +==/求证：.) 2(2log 3 e e e = 2若a ＞1,b ＞1且lg(a +b )=lg a +lg b ，则lg(a -1)+lg(b -1)的值 (A) 等于lg2 (B)等于1 (C)等于0 (D)不是与a ,b 无关的常数 ☆专题2：指数函数与对数函数 [例2] 求下列函数的定义域： 与指数函数与对数函数相关的值域与最值问题 基本初等函数的值域。 （1） b kx y += )0(≠k 的值域为 （2） y =a 2 x +bx +c ()0≠a 的值域为 （3） (0)k y k x =≠的值域为 （4） y = x a )1,0(≠>a a 的值域为 （5） x y a log =)1,0(≠>a a 的值域为 （6） x y x y x y tan ,cos ,sin ===的值域分别为 例题：1函数)10(122≠>-+=a a a a y x x 且在区间]1,1[-上有最大值14，则a 的 值是 。 例题：2已知函数f (x )＝log 4(ax 2＋2x ＋3)． (1)若f (1)＝1，求f (x )的单调区间； (2)是否存在实数a ，使f (x )的最小值为0？若存在，求出a 的值；若不存在，说明理由． 1、 函数)176(log 22 1+-=x x y 的值域是（ ） A.R B.),8[+∞ C.)3,(--∞ D.),3[+∞ 2、 若指数函数x a y =在]1,1[-上的最大值与最小值的差是1，则底数a 等于（ ） A. 215+ B.215- C.215± D.2 5 1± 3、 函数| |2 )(x x f -=的值域是（ ） A.]1,0( B.)1,0( C.),0(+∞ D.R 4、 定义运算?? ?>≤=?) () (b a b b a a b a ，则函数x x x f -?=22)(的值域 为 。 5、 已知3 ) 4 1(2-≤x x ，求函数x y )2 1(=的值域。 6、 函数log a y x =在[2,)+∞上恒有1y >，则a 的取值范围是 。 对数与对数函数专题 1. 对数的概念 如果a x＝N（a>0，且a≠1），那么x叫做以a为底N的对数，记作x＝log a N，其中a叫做对数的底数，N叫做真数. 2. 对数的性质、换底公式与运算性质 （1）对数的性质：① a log aN＝N；②log a a b＝b（a>0，且a≠1）. （2）对数的运算法则 如果a>0 且a≠1，M>0，N>0，那么 ①log a（MN）＝log a M＋log a N；②log a N M＝log a M－log a N；③log a M n＝n log a M（n∈R）； n n ④log a m M n＝m log a M（m，n∈R，且m≠0）. log a N （3）换底公式：log b N＝log a b（a，b均大于零且不等于1）. 3. 对数函数及其性质 （1）概念：函数y＝log a x（a>0，且a≠1）叫做对数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是（0 ，＋∞）.（2）对数函数的图象与性质 4. 反函数 指数函数y＝a x（a>0，且a≠1）与对数函数y＝log a x（a>0，且a≠1）互为反函数，它们的图象关于直线y ＝x 对称. 1. 换底公式的两个重要结论 1 n n (1)log a b ＝ ； (2)log a m b n ＝ log a b . a log b a a m a 其中 a >0，且 a ≠1， b >0，且 b ≠1， m ， n ∈ R. 2. 在第一象限内，不同底的对数函数的图象从左到右底数逐渐增大 . 1 3. 对数函数 y ＝log a x (a >0，且 a ≠1)的图象过定点 (1 ， 0) ，且过点 (a ，1)， ，－1 ，函数图象只在第 a 四象限 . 【疑误辨析】 1. 判断下列结论正误 (在括号内打“√”或“×”) 2 (1) log 2x ＝ 2log 2x .( ) (2) 函数 y ＝log 2( x ＋1)是对数函数 .( ) 1＋ x (3) 函数 y ＝ln 与 y ＝ ln(1 ＋x ) －ln(1 － x )的定义域相同 .( ) 1－ x (4) 当 x >1时，若 log a x >log b x ，则 a 0，且 a ≠1)的图象如图，则下列 结论成立的是 ( ) A. a >b >c B. a >c > b C. c >b >a D. c >a > b 3.( 必修 1P74A7改编 ) 函 数 log 2(2 x － 1)的定义域 是(完整版)指数函数与对数函数专项练习(含标准答案)
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