北京大学自主招生数学试题
2019.06
1. 若,a b +∈R ≤x 的取值范围.
2. 复数1z 、2z 满足1|3i |2z -=，2|8|1z -=，则由复数12z z -围成的面积是（ ）
A. 4π
B. 8π
C. 10π
D. 以上全错
3. 从1，2，3，4，5，6，7，8，9中取出4个不同的数，分别记为a ，b ，c ，d ，求a b +和c d +奇偶性相同的概率.
4. 正方形ABCD ，K 为△BCD 内一点，满足10KDB KBC ∠=∠=?，则KAD ∠=（ ）
A. 45°
B. 60°
C. 70°
D. 以上全错
5. 设,x y ∈Z ，若2222(1)(1)x x y y +++++为完全平方数，则数对(,)x y 有（ ）组
A. 0
B. 1
C. 无穷多
D. 以上全错
6. 方程sin 13
x x =根的个数为（ ） A. 3个 B. 7个 C. 1个 D. 以上全错
7. 设P 为椭圆22
12516
x y +=上一点，1F 、2F 为椭圆的左右焦点，O 为△12PF F 的内心，若内切圆半径为1，求OP 的长度.
8. 已知数列{}n a 满足：143k k a a k ++=+（1,2,k =???），求22020a a +.
参考答案
1. P=
上式的几何意义为：平面直角坐标系xOy中，x
轴上一动点到两个动点)
A、
)
B的距离之和，设B关于x轴的对称点为B'
，则P≥
而P≤x为直线B A'与x轴交点的横坐标，
则:()
22
B A
b a
l y x
b a
'
+
=-+
-
，令0
y=
，解得：x
a b
=
+
.
2. 设
111
i
z x y
=+，
222
i
z x y
=+，由题意可知：22
11
(3)4
x y
+-=，22
22
(8)1
x y
-+=，
令1
1
2cos
2sin3
x
y
α
α
=
?
?
=+
?
，2
2
cos8
sin
x
y
β
β
=+
?
?
=
?
，12
12
x x x
y y y
=-
?
?
=-
?
，
则22
(8)(3)54cos()
x yαβ
++-=--，
∴复数
12
z z
-围成得面积为一个圆环的面积(91)8
Sππ
=-=，∴选B.
3.
42241111
44555443
4
9
2411
21
A A A A C C C C
P
A
+++
==.
4. 设正方形边长为1，
在△BKD
中，由正弦定理可知：
sin35sin135
DK
=
??
，则2sin35
DK=?，
在△ADK中，由余弦定理可知：22
14sin354sin35cos551
AK=+?-??=，
则△DAK为等腰三角形，∴70
KAD
∠=?，∴选C.
5. 令21
A x x
=++，21
B y y
=++，
情形一：当x为奇数时，则A为奇数，
情形二：当x为偶数时，则A也为奇数，
同理可得：B也为奇数，而两个奇数的平方和一定不会是完全平方数，
综上：选A.
6. 令()sin f x x =，()13
x g x =的图像可知，只有7个根，∴选B. 7. 设内切圆半径为r ，△12PF F 的面积为S ，12F PF α∠=，∵222S r a c =+，解得：8S =， 又2tan 2S b α
=，解得：1tan 22α
=
，则sin 2α=
，∴sin 2
r IP α==
8. ∵143k k a a k ++=+，则24n n a a +-=， 情形一：当n 为偶数时，则224(1)242n n a a n a =+-=+-， 情形二：当n 为奇数时，则1114(1)222n n a a n a +=+-=+-， ∴22020240362a a a +=+，∵2a 不确定，∴22020a a +也不确定.