因式分解（附答案） 12.3 专题因式分解的巧妙应用 1．如果m－n=－5，mn=6，则m2n－mn2的值是（） A．30 B．－30 C．11 D．－11 2．利用因式分解计算32×20.13+5.4×201.3+0.14×2013=___________． 3．在下列三个不为零的式子：x2－4x，x2+2x，x2－4x+4中. （1）请你选择其中两个进行加法运算，并把结果因式分解； （2）请你选择其中两个并用不等号连接成不等式，并求其解集． 状元笔记 【知识要点】 我们把一个多项式化成几个整式的积的形式，像这样的式子边形叫做这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式． 【方法技巧】 因式分解的方法： (1)提公因式法：如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提取出来，将多项式写成公因式与另一个因式的乘积的形式，这样分解因式的方法叫做提公因式法． (2)将乘法公式的等号两边互换位置，得到用于分解因式的公式，用来把某些具有特殊形式的多项式分解因式，这种分解因式的方法叫做公式法． (3)平方差公式：a2－b2=(a+b)(a－b)，两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积． (4)完全平方公式：a2±2ab+b2=(a±b)2，两个数的平方和，加上(或减去)它们的积的2倍，等于这两个数的和(或差)的平方．
参考答案 1．B 【解析】∵m－n=－5，mn=6，∴m2n－mn2=mn（m－n）=6×（－5）=－30.故选B．2．2013 【解析】32×20.13+5.4×201.3+0.14×2013=0.32×2013+0.54×2013+0.14×2013=2013×（0.32+0.54+0.14）=2013×1=2013． 3．解：(1)（x2－4x）+（x2+2x）=2x2－2x=2x（x－1）． (2)x2－4x＞x2+2x，合并同类项，得－6x＞0，解得x＜0．
八年级数学下册提公因式法（二）导学案 1.掌握用提公因式法分解因式的方法 2.培养学生的观察能力和化归转化能力 3.通过观察能合理进行分解因式的推导，并能清晰地阐述自己的观点 学习重点：含有公因式是多项式的分解因式 学习难点：整体思想的运用以及代数式的符号变换的处理 预习作业：把)3(2)3(-+-x b x a 分解因式， 这里要把多项式)3(-x 看成一个整体，则_______是多项式的公因式，故可分解成___________________ 一、创设情境 导入新课 1、 请在下列各式等号右边的括号前填入“+”或“－”号，使等式成立: （1）2－a =__________（a －2） （2）y －x =__________（x －y ） （3）b +a =__________（a +b ） （4）=-2)(a b _________2)(b a - （5）=--n m _________)(n m + （6）=+-22t s _________)(22t s - （7）=-3)(x y __________3)(y x - （8）=--2)(q p ________2)(q p + 2、．一般地，关于幂的指数与底数的符号有如下规律（填“ +”或“—”）： ???--=-为奇数）（为偶数）n y x n y x x y n n n )_______(()_______()( 二、合作探究 探究一： )()(b a y b a x +++ 探究二： 把下列各式分解因式: （1）23)(12)(6m n n m --- （2）3()()m x y n y x --- （3）324(1)2(1)q p p - +-
八年级数学因式分解教学设计与反思 教学内容分析： 因式分解是进行代数式恒等变形的重要手段之一，因式分解是在学习整式四则运算的基础上进行的，它不仅在多项式的除法、简便运算中等有直接的应用，也为以后学习分式的约分与通分、解方程（组）及三解函数式的恒等变形提供了必要的基础，因此学好因式分解对于代数知识的后续学习，具有相当重要的意义。由于本节课后学习提取公因式法，运用公式法，分组分解法来进行因式分解，必须以理解因式分解的概念为前提，所以本节内容的重点是因式分解的概念。由整式乘法寻求因式分解的方法是一种逆向思维过程，而逆向思维对初一学生还比较生疏，接受起来有一定难度，再者本节还没涉及因式分解的具体方法，所以理解因式分解与整式乘法的相互关系，并运用它们之间的相互关系寻求因式分解的方法是教学中的难点. 教学目标 认知目标：（1）理解因式分解的概念和意义 （2）认识因式分解与整式乘法的相互关系——相反变形，并会运用它们之间的相互关系寻求因式分解的方法。 能力目标：由学生自行探求解题途径，培养学生观察、分析、判断能力和创新能力，发展学生智能，深化学生逆向思维能力和综合运用能力。 情感目标：培养学生接受矛盾的对立统一观点，独立思考，勇于探索的精神和实事求是的科学态度。 目标制定的思想 1．目标具体化、明确化，从学生实际出发，具有针对性和可行性，同时便于上课操作，便于检测和及时反馈。2．课堂教学体现能力立意。 3．寓德育教学方法 1．采用以设疑探究的引课方式，激发学生的求知欲望，提高学生的学习兴趣和学习积极性。 2．把因式分解概念及其与整式乘法的关系作为主线，训练学生思维，以设疑——感知——概括——运用为教学程序，充分遵循学生的认知规律，使学生能顺利地掌握重点，突破难点，提高能力。 3．在课堂教学中，引导学生体会知识的发生发展过程，坚持启发式，鼓励学生充分地动脑、动口、动手，积极参与到教学中来，充分体现了学生的主动性原则。 4．在充分尊重教材的前提下，融教材练习、想一想于教学过程中，增设了由浅入深、各不相同却又紧密相关的训练题目，为学生顺利掌握因式分解概念及其与整式乘法关系创造了有利条件。 教学过程安排 一、提出问题，创设情境 问题：看谁算得快？ (1)若a=101,b=99,则a2-b2=(a+b)(a-b)=(101+99)(101-99)=400 (2)若a=99,b=-1,则a2-2ab+b2=(a-b) 2=(99+1)2 =10000 (3)若x=-3,则20x2+60x=20x（x+3）=20x(-3)(-3+3)=0 二、观察分析，探究新知 (1)请每题想得最快的同学谈思路，得出最佳解题方法 (2)观察：a2-b2=(a+b)(a-b) ①的左边是一个什么式子？右边又是什么形式？ a2-2ab+b2 =(a-b) 2 ② 20x2+60x=20x(x+3) ③ (3)类比小学学过的因数分解概念，（例42=2×3×7 ④）得出因式分解概念。 板书课题：因式分解 1．因式分解概念：把一个多项式化成几个整式的积的形式叫做因式分解，也叫分解因式。 三、独立练习，巩固新知 练习 1．下列由左边到右边的变形，哪些是因式分解？哪些不是？为什么？
14.3 因式分解 14.3.1 提公因式法 学习目标 1．了解因式分解的意义，并能够理解因式分解与多项式乘法的区别与联系. 2．会用提公因式法进行因式分解. 3．树立学生全面认识问题、分析问题的思想，提高学生的观察能力、逆向思维能力. 学习重点：掌握提取公因式，公式法进行因式分解. 学习难点：怎样进行多项式的因式分解，如何能将多项式分解彻底. 学习过程 一、温故知新，导入新课 问题一：1. 回忆：运用前两节所学的知识填空： （1）2（x＋3）＝___________________； （2）x2（3＋x）＝_________________； （3）m（a＋b＋c）＝_______________________. 2.探索：你会做下面的填空吗？ （1）2x＋6＝（）（）； （2）3x2＋x3＝（）（）； （3）ma＋mb＋mc＝（）2. 3.归纳：“回忆”的是已熟悉的运算，而要“探索”的问题，其过程正好与“回忆”，它是把一个多项式化为几个整式的乘积形式，这就是因式分解（也叫分解因式）. 4.反思：①分解因式的对象是______________,结果是____________的形式. ②分解后每个因式的次数要（填“高”或“低”）于原来多项式的次数. 二、探究学习，获取新知 问题二：1.公因式的概念． ⑴一块场地由三个矩形组成，这些矩形的长分别为a，b，c，宽都是m，用两 个不同的代数式表示这块场地的面积.
① _______________________________, ②___________________________ ⑵填空：①多项式62+x 有 项，每项都含有 ， 是这个多项式 的公因式. ②3x 2+x 3有 项，每项都含有 ， 是这个多项式的公因式. ③ma+mb+mc 有 项，每项都含有 ， 是这个多项式的公因式. ※多项式各项都含有的 ，叫做这个多项式各项的公因式. 2．提公因式法分解因式. 如果一个多项式的各项含有公因式，那么就可以 ，从而将多项式 化成两个 的乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法.如：ma ＋mb ＋mc ＝m （a ＋b ＋c ） 3.辨一辨:下列各式从左到右的变形，哪是因式分解? （1）4a(a ＋2b)＝4a 2＋8ab ； （2）6ax －3ax 2＝3ax(2－x)； （3）a 2－4＝(a ＋2)(a －2)； （4）x 2－3x ＋2＝x(x －3)＋2． （5）36ab a b a 1232?= （6）??? ??+=+x a b x a bx 4. 试一试： 用提公因式法分解因式： （1）3x+6=3( ) （2）7x 2-21x=7x( ) （3）24x 3+12x 2 -28x=4x( ) （4）-8a 3b 2+12ab 3c-ab=-ab( ) 5.公因式的构成：①系数：各项系数的最大公约数；②字母：各项都含有的相同字 母； ③指数：相同字母的最低次幂. 6.方法技巧： (1)、用提公因式法分解因式的一般步骤：a 、确定公因式b 、把公因 式提到括号外面后，用原多项式除以公因式所得商作为另一个因式. (2)、为了检验分解因式的结果是否正确，可以用整式乘法运算来检验. 三、理解运用，巩固提高 问题三：1.把下列多项式分解因式： （1）-5a 2+25a （2）3a 2-9ab
《因式分解》教案 教学目的 1、使学生能明确因式分解与整式乘法之间的关系，让学生在探索中进行新知识的比较，理解因式分解的过程，发现因式分解的基本方法； 2、使学生明白可以将因式分解的结果现乘出来就能检验因式分解的正确性. 3、激发学生的兴趣，让学生体会到数学的应用价值. 教学分析 重点：掌握提公因式法，公式法进行因式分解； 难点：怎么样进行多项式的因式分解，如何能将多项式分解彻底； 关键：灵活应用因式分解的常用方法，对于每个多项式分解因式分解彻底. 教学过程 一、知识回顾： 运用前两节课的知识填空： 1、()m a b c ++= ； 2、()()a b a b +-= ； 3、2()a b += . 二、探索问题： 请完成以下填空： 1、()()ma mb mc ++= 2、2 2()()a b -= 3、2222( )a ab b ++= 通过学生的动手，发现： 运用多项式乘法的逆思维来探索出因式分解的新知识，“探索”与“回忆”正好相反，它是把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，这就是因式分解. (1)中的多项式ma mb mc ++中的每一项都含有相同因式m ，称m 为公因式，把公因式提出来，多项式ma mb mc ++就可以分解成两个因式m 与a b c ++的积了，这种因式分解的方法，叫做提公因式法； (2)、(3)，是利用乘法公式对多项式进行因式分解，这种因式分解的方法称之为公式法. 三、动手体验： 试一试，对下列多项式进行因式分解 1、33a b += ；
2、555x y z -+= ； 3、2 24x y -= ； 4、2269m mn n ++= . 四、举例分析： 例1 对下列多项式进行因式分解： 1、2 525a a -+ 2、239a ab - 3、2 22516x y - 4、2244x xy y ++ 例2 对下列多项式进行因式分解： 1、322 344x y x y xy ++ 2、32312x xy - 五、随堂练习： P45 exc1、2 六、课堂小结： 1、什么叫因式分解； 2、因式分解和乘法有何区别； 3、常用因式分解方法有几种； 4、在因式分解时就注意几个问题.
提公因式法 知识目标：了解公因式及提公因式的方法。 能力目标：能熟练地运用提公因式法进行因式分解。 情感目标：通过探索提公因式法分解因式，体验数学解题的 规范性。 预习课本P144-145,完成下列问题。） 用提公因式法分解因式首先要干什么？ 一、创设情境、引入课题 5x+5y =5(x+y) ，对于这个式子从左到右是因式分解，那么5就是5x和5y的公因式，这节课我们就来学习用提公因式法分解因式。 二、一起探究，合作发现 用提公因式法分解因式。 首先，要确定公因式。如：a b-2ab 由于a b=ab·a; 2ab=ab·2b，所以ab是a b和2ab两项的一个公 因式。我们将这样的因式叫做这个多项式各项的。 其次，进行因式分解。逆用乘法分配率，将公因式ab“提到”括号外边，写成 a b-2ab=ab(a-2b). 这样，就将这个多项式进行了因式分解。这种将多项式分解因式的方法，叫做。 问题（1）：用提公因式法分解因式的前提条件是什么？ 问题（2）：对a-b这样的多项式，能用提公因式法分解因式吗？ 三、方法运用 例1 分解因式： ⑴8a-16= ⑵ x+3x= (3)ab-5bc+b (4)x3y-x2 = = 例2 把下列多项式分解因式： ⑴ -3x+6xy-3xz; ⑵3a b+9a b-6a b 例3 将2a(b+c)-5(b+c)进行因式分解。练：10（a-b）+20(a-b) 四、随堂练习 1．课本练习1.3.（P146) 2．多项式24x2y－12xy2+6x2y2的公因式是（） A．xy B．2 xy C．4 xy D．x2y2 3.公因式是x-2的一组多项式是（） A.(x+2)，(x-2) B.x-2x, 4x-6 C.3x-6, x-2x D.x-4, 6x-18 4. 分解因式a2－ab＝． 五、拓展练习 试说明5-4×5+10×5 六、点滴收获 七、布置作业：课后习题3，4. 22 2222 22 22 2 23222 222 2 200820072009
华师大版因式分解教案 宜宾县高场镇中梁宗鹏 【教学目标】 1．能区分整式的乘法与因式分解，会根据因式分解的意义来判定一个等式从左到右的变形是否为因式分解；会运用提公因式法分解因式．2．通过与算术中的因数分解相比较，渗透类比的数学思想方法；通过与多项式的乘法相比较，发展逆向思维能力。 3．通过因式分解在简化计算中的作用等，培养“用数学”的意识，增强求知欲和学好数学的自信心。 【教学重点与难点】 重点：提公因式法分解因式 难点：多项式因式分解和整式乘法的关系 【教学方法与教学手段】 教学方法：采用“引导类比讨论发现”的教学方法 教学手段：多媒体辅助教学 【教学过程】 教学环节 教学过程 设计意图教师活动学生活动 (一) 生活情境 设置悬疑【多媒体演示】 酸奶中的乳酸菌的营养； 【介绍小知识】 介绍活性乳酸杆菌在0℃～7℃的环境中 存活是静止的，但随着环境温度的升高乳酸 菌会快速死亡。 观看多媒体演示，并 思考下面问题： 每升酸奶在0℃～ 7℃时含有活性乳酸杆 菌220个，在10℃时活性 乳酸杆菌死亡了217个， 在12 ℃时又死亡了219 个，那么此时活性乳酸杆 菌还剩多少个？ 你的列式是 （学生列完式看到 如此庞大的乘方可能会 不知如何处理。教师就可
适时地告诉学生：学完此节课就能解决这个问题。） (二)复旧孕新 导入新课: 1、做一做 计算下列各式： (1)m(a+b+c)=_________ (2)(a+b)(a-b)=_________ (3)(a+b)2=___________ 填空： (1) ma+mb+mc=_____________ (2) a2-b2 =_______________ (3) a2+2ab+b2=______________ 2、想一想 填表： m(a+b+c)= ma+mb+mc ma+mb+mc = m(a+b+c) (a+b)(a-b)= a2-b2a2-b2 = (a+b)(a-b) (a+b)2=a2+2ab+b2a2+2ab+b2 = (a+b)2 等号左边等号右边等号左边等号右边 通过启发学生回忆小学中引述分解与 乘法的关系引导学生理解因式分解与整式 乘法的关系。 评述：一个多项式化成几个整式的积的 形式，叫做把这个多项式因式分解。 3、练一练 下列各式由左边到右边的变形，哪些是因 式分解？哪些不是因式分解？为什么？ （1）3(x+2)=3x+6 （2）ma+mb+mc=m(a+b+c) （3）x2+1=x(x+ x 1 ) （4）y2+x2-4=y2+(x-2)(x+2) （5）5a3b-10a2bc=5a2b(a-2c) （6）x2-4y2=(x-4y)(x+4y) 4、议一议 （1）3(x+2)=3x+6 整式乘法 （3）x2+1=x(x+ x 1 ) 不是整式 （4）y2+x2-4=y2+(x-2)(x+2) 不是积的形式 学生独立思考，并回 答问题。 通过填表格比较、观 察、思考：能发现这两组 等式的联系与区别？ 积极思考，举手回 答。 学生讨论“注意点”
【学习重点与难点】：因式分解的方法和运用 【导学过程】 一、知识再现:（阅读教材，理解记忆） 1、因式分解： 2、用提公因式法分解因式 （1）基本方法，（2）找公因式的方法， 3、因式分解中运用的公式 （1）=-22b a ，（2）=+±222b ab a ， 4、因式分解的应用． 二、典例分析 1、提公因式法分解因式 例1 因式分解：b a ab 223+= 变式1、因式分解：x x 52- = 变式2、因式分解： 2263ab b a += 2、公式法分解因式 例2、因式分解：3212123a a a ++= 变式3、因式分解：296ab ab a +-= 变式4、因式分解：23ab a -=
3、因式分解的应用 例3 解方程的值求代数式224320042200452y x x y y x -?? ???=-=+ 变式5、若622=-n m 且2=-n m 则=+n m 三、巩固提高 1. 下列分解因式正确的是 （ ） A 、﹣a +a 3=﹣a （1+a 2） B 、2a ﹣4b +2=2（a ﹣2b ） C 、a 2﹣4=（a ﹣2）2 D 、a 2﹣2a +1=（a ﹣1）2 2．分解因式：321025=a a a -+ 3、因式分解：a 2 ﹣6a+9= 4、分解因式：3222b ab b a +-= 5、分解因式：8（x 2﹣2y 2）﹣x （7x+y ）+xy ．
【课堂反馈】 1、下列式子变形是因式分解的是【 】 A ．x 2－5x ＋6＝x (x －5)＋6 B ．x 2 －5x ＋6＝(x －2)(x －3) C ． (x －2)(x －3)＝x 2－5x ＋6 D ．x 2－5x ＋6＝(x ＋2)(x ＋3) 2、若实数x 、y 、z 满足2()4()()0x z x y y z ----=．则下列式子一定成立的是（ ） (A)0x y z ++= (B) 20x y z +-= (C) 20y z x +-= (D) 2=0x z y +- 3、分解因式：3269x x x -+= 4、分解因式：=+-+)(3)(2y x y x 5、已知1=-b a ，则b b a 222--的值
初二数学——分解因式 一、 考点、热点分析 整式乘法与因式分解互为逆变形。如果把乘法公式反过来就是把多项式分解因式。 (一)常见形式：（1）平方差公式：22()()a b a b a b -=+- （2）完全平方公式：2222()a ab b a b ±+=± （3）立方差公式：3322()()a b a b a ab b -=-++ （4）立方和公式：3322()()a b a b a ab b +=+-+ （5）十字相乘法（十字相乘法是适用于二次三项式的因式分解的方法．） ①二次三项式： 把多项式c bx ax ++2，称为字母x 的二次三项式，其中2ax 称为二次项，bx 、 为一次项，c 为常数项．例如，322--x x 和652++x x 都是关于x 的二次三项式. 在多项式2286y xy x +-中，如果把y 看作常数，就是关于x 的二次三项式； 如果把x 看作常数，就是关于y 的二次三项式． 在多项式37222+-ab b a 中，把ab 看作一个整体，即3)(7)(22+-ab ab ，就是 关于ab 的二次三项式．同样，多项式12)(7)(2++++y x y x ，把x ＋y 看作一个整体，就是关于x ＋y 的二次三项式． ②十字相乘法的依据和具体内容 它的一般规律是：（1）对于二次项系数为1的二次三项式q px x ++2，如果能把 常数项q 分解成两个因数a ，b 的积，并且a ＋b 为一次项系数p ，那么它就可以 运用公式 分解因式．这种方法的特征是“拆常数项，凑一次项”． 注意：公式中的x 可以表示单项式，也可以表示多项式，当常数项为正数时，把它分解为两个同号因数的积，因式的符号与一次项系数的符号相同；当常数项为负数时，把它分解为两个异号因数的积，其中绝对值较大的因数的符号与一次项系数
第十四章整式的乘法与因式分解 . . . m(a+b+c)= 3a2,6a 有什么共同点？ma, 中有共同的因式， ____________. 的形式，叫作. 将多项式写成_______ . . 2+3xy －4x2y+5x2y2=xy(3－
5.分解因式 (1)a 2b –2ab 2+ab ； (2)2（a-b ）-4(b-a)； 2 2（2x ＋1）＋y （2x ＋1）2A ．12xyz-9x 2y 2=3xyz （4-3xyz ） B ．3a 2y-3ay+6y=3y （a 2-a+2） C ．-x 2+xy-xz=-x （x 2+y-z ） D ．a 2b+5ab-b=b （a 2+5a ） 4.把下列各式分解因式： (1)8 m 2n+2mn=_____________；(2)12xyz-9x 2y 2=_____________； (3)p(a 2 + b 2 )- q(a 2 + b 2 )=_____________； (4) -x 3y 3-x 2y 2-xy=_______________； (5)(x-y)2+y(y-x)=_____________. 5.若9a 2(x －y)2－3a(y －x)3＝M ·(3a ＋x －y)，则M 等于_____________. 6.简便计算： (1) 1.992+1.99×0.01 ; (2)20132+2013-20142; (3)(-2)101+(-2)100. 7.(1)已知: 2x+y=4,xy=3,求代数式2x2y+xy2的值. (2)化简求值：(2x+1)2-(2x+1)(2x-1)，其中x= 1 2 . . 拓展提升 8.△ABC 的三边长分别为a 、b 、c ，且a ＋2ab ＝c ＋2bc ，请判断△ABC 是等边三角 形、 等腰三角形还是直角三角形？并说明理由．
因式分解练习题 一、知识要点： 1、分解因式； 2、提公因式法； 3、运用公式法； 二、典型例题： 1、填空题： （1）mn my mx --= ；（2）422-y x = ； （3）442+-a a = ；（4）64162++m m = ； （5）22n m +-= ；（6）222b ab a -+-= ； （7）b ab b a 10552+-= )2(2+-a a ；（8）m m m a a a =-+15（ ） （9）若22)121 (141 -=++x kx x ，则k= ； , （10）+2x －10=)(5(+x ） 2、选择题： （1）下列变形中，从左边到右边是因式分解的是（ ） A ．n x n m n nx mx -+=-+)( B ．23237321y x y x ?= C ．)32)(32(942-+=-x x x D ．23)1)(23(2--=-+x x x x （2）下列各式中能用平方差公式分解因式的是（ ） A ．224y x + B ．2225y x -- C ．9)2(2--y x D ．3 6y x - （3）在下列各式的因式分解中，分组不正确的是（ ） A ．)2()1(122222n mn m n mn m ++-=+-+ B ．)1()(1+++=+++x y xy y x xy ~ C ．)()(xy ay bx ab xy ay bx ab +++=+++ D ．)()(32233223y y x xy x y y x xy x +++=+++ （4）用提取公因式把m m x x 392-分解因式后，括号内的代数式是（ ） A ．m x 3 B ．m x 3－1 C ．m x －3 D ．1312--m x （5）m ab b a +-+4422有一个因式是12+-b a ，那么m 的值是（ ）
《因式分解》教学设计 黄埠一中王亚【教学设计思路】 因式分解共二个课时，本节课为第一课时。为了更有效地突出重点，突破难点，按照学生的认知规律，遵循教师为主导，学生为主体的指导思想，本节课以类比发现法为主，直观演示法、设疑诱导法为辅，并运用电教媒体化静为动，激发学生探究知识的欲望，逐步推导归纳得出结论，使学生始终处于主动探索问题的积极状态，从而培养学生的思维能力。 1．在数学过程设计中，从学生身边的生活情景引入，从生活场景中提炼数学知识，设置疑问，使学生带着问题学习新知识，最后又运用新知解决疑问和生活中的问题。这样，体现了“数学源于生活，又为生活服务。” 2．设计问题化、发现化的“概念形成”、“探究新知”，通过“做一做”、“想一想”、“练一练”、“议一议”等活动，为学生提供充分从事数学活动的机会。利用数学情境，激发学生学习的积极性，鼓励学生参与探究、合作交流，让学生自我思考归纳总结，体会数学的价值。 3．现代教学理论认为：学习并非学生对于教师所授予知识的被动接受，而是以自身已有的知识和经验为基础的主动建构，强调学生学习的主动性、社会性和情景性。由此，本课组织学习因式分解概念与提公因式法时，让学生通过已学过的因数分解及整式乘法相类比，进行探索新知，自我小结归纳，再给出一系列辨析题。在最后的环节中，将学生可能会出现的错误问题全部展现，为学生提供经验与教训，让学生能更透彻地理解本节课的重点和化解难点。 4．本课教学流程图： 情境激趣复旧孕新 师生互动探究新知 自主小结深化提高
【教材分析】： “因式分解（提取公因式法）”是“华东师大版八年级数学（上）”第十三章第五节内容。本课安排在“整式的乘法”后，明确了因式分解与整式乘法的联系，起到知识的链接开拓作用。提取公因式法是因式分解的基本方法，也为学习因式分解的其他方法及利用因式分解解一元二次方程打下坚实的基础。 【学情分析】： 因为我们班的学生大多数来自农村移民的学生，学生基础薄弱，学习兴趣不浓，所以我通过具有现实意义的情境引入新课，调动学生学习热情。 【教学目标】 1．能区分整式的乘法与因式分解，会根据因式分解的意义来判定一个等式从左到右的变形是否为因式分解；会运用提公因式法分解因式． 2．通过与算术中的因数分解相比较，渗透类比的数学思想方法；通过与多项式的乘法相比较，发展逆向思维能力。 3．通过因式分解在简化计算中的作用等，培养“用数学”的意识，增强求知欲和学好数学的自信心。 【教学重点与难点】 重点：提公因式法分解因式 难点：多项式因式分解和整式乘法的关系 【教学方法与教学手段】 教法：采用“引导类比讨论发现”的教学方法 教学过程中渗透类比的数学思想，形成新的知识结构体系；设置探究式教学，让学生经历知识的形成，从而达到对知识的深刻理解与灵活应用。 学法：自主、合作、探索的学习方式 在教学活动中，既要提高学生独立解决问题的能力，又要培养团结协作精神，拓展学生探究问题的深度与广度，体现素质教育的要求 教学手段：多媒体辅助教学
八年级导学案 因式分解 1.提公因式法 ★学习目标： )(c b a m mc mb ma ++=++ 1、能明确因式分解与整式乘法之间的关系，在探索中进行新知识的比较，理解因式分解的过程，发现因式分解的基本方法； 2、明白可以将因式分解的结果先乘出来就能检验因式分解的正确性； 3、激发兴趣，体会到数学的应用价值。 ★重点：掌握提公因式法进行因式分解； 难点：准确找到各项的公因式进行因式分解。 ★自主学习&合作探究： 【温故知新】：1、填空：()m a b c ++= ；(-5x 2 +25x 3 )÷(-5x 2)= . 2、整式乘法和 是代数式的两种恒等变形。二者是相反的过程，可以相互检验。 3、比较判断：下列各式由左到右的变形，哪些是正确的因式分解？（是的打对号） (1) 3(x +2)=3x +6 ( )； (2)5a 3b -10a 2bc =5a 2b (a -2c ) ( )； (3) x 2+1=x (x +x 1) ( )； (4) x 2-4x +4=x (x -4)+4 ( )； (5) x 2-4y 2=(x +4y )(x -4y ) ( ). 【感受新知】 ※探索 多项式44252336279x a x a x a +-有三项，分别为 、 、 ，在这 三项中，相同的因式是 。 ※发现 1、公因式：多项式中的每一项都含有一个相同的因式，我们称之为公因式。 2、确定公因式的一般方法： ①各项系数都是整数时，因式的系数应取各项系数的最大公约数； ②字母取各项的相同的字母，而且各字母的指数取次数最低的. ③它们的乘积就是多项式的公因式。 ※应用 1、用心观察，找到答案： 2、试一试，填空： (1)2x -6xy =2x ?( )； (2)-6x 3+9x 2 =-3x 2?( ). ※发现 3、提公因式法：如果一个多项式的各项含有公因式，那么就可以把这个公因式提出 来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法。 4、提公因式法分解因式的一般步骤：①找 ；②提 (即用多项式除以公因式) ※应用举例：用提公因式法分解因式: （1）3a 2-9ab 2 （2）-5x 2 + 25x 3 （3）4x 3y +2x 2y 2-6xy 3 解：3a 2-9ab 2 解：-5x 2 + 25x 3 解：4x 3y +2x 2y 2-6xy 3 =3a ? -3a ? =(-5x 2)? +(-5x 2)? = ? + ? + ? =3a ?( ) =-5x 2?( ) =2xy ?( ) （4）-9m 2n -3mn 2+27m 3n 4 （5）2(x+y )2-4x (x+y ) （6）2(a -1)+a (1-a ) 多项式 公因式 8x +12y 8ax +12ay 8a 3bx +12a 2b 2y 9x 2-6xy +3x
精品“正版”资料系列，由本公司独创。旨在将“人教版”、”苏教版“、”北师 大版“、”华师大版“等涵盖几乎所有版本的教材教案、课件、导学案及同步练习和 检测题分享给需要的朋友。 本资源创作于2020年8月，是当前最新版本的教材资源。包含本课对应 内容，是您备课、上课、课后练习以及寒暑假预习的最佳选择。 提公因式法 【学习目标】 1、使学生了解因式分解的概念，以及因式分解与整式乘法的关系。 2、了解公因式概念和提取公因式的方法。 3、会用提取公因式法分解因式。 【学习重难点】 重点：会用提取公因式法分解因式。 难点: 如何确定公因式以及提出公因式后的另外一个因式。 【自主学习】 1、 叫做把这个多项式因式分解，也叫 做把这个多项式分解因式。可以看出因式分解与 是相反方向的变形。 下列等式从左到右的变形是因式分解的是( )． A 、6a 2b 2＝3ab ·2ab B 、12 a －12 ay ＝12 a(1－y) C 、2x 2＋8x －1＝2x(x ＋4)－1 D 、(x ＋1)(x －1)＝x 2－1 2、对于ma+mb 各项都含有一个相同的因式 ，我们把这个因式叫做这个多项式各项的公因式。 将多项式ma+mb 写成m （a+b ）的形式，这种分解因式的方法叫做提取公因式法。 如果一个多项式的各项含有公因式，那么可以把公因式提取出来进行因式分解，这种因式分解的方 法叫做提取公因式法。 多项式3ax 2y+6x 3yz 有公因式吗？是什么？（把相同因式圈出来） 3ax 2y=3·a ·x ·x ·y 6x 3yz=3·2·x ·x ·x ·y ·z 应提取的公因式为:________ 应提取的公因式为:________ 写出下列各多项式中各项的公因式: ⑴、ax+ay-a ⑵、5x 2y 3-10x 2y ⑶、24abc-9a 2b 2 ⑷、m 2n+mn 2 ⑸、x(x-y) -y(x-y) （6）、p （)22b a +-q （) 22b a + 归纳：正确找出多项式各项公因式的关键是 系数： 1、公因式的系数是多项式各项系数的最大公因数。 字母： 2、字母取多项式各项中都含有的相同的字母。 指数： 3、相同字母的指数取各项中最小的一个，即字母最低次幂。 4、多项式中的公因式可以是单项式，也可以是多项式(换元思想)。 我有问题： 。
14.3 因式分解 1.提公因式法 班级____________ 姓名 ____________ 一、学习目标： 1. 理解因式分解的概念，能区分因式分解与整式乘法。 2. 掌握提公因式分解因式的步骤和方法。 3. 总结提公因式法分解因式的“四绝招”。 二、新知学习 问题一：什么是因式分解？因式分解与整式乘法的关系是什么？ 把一个_______ 化成了几个____ 的______ ■勺形式，像这样的式子变形 叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式. 多项式.■整式乘积 判断：下列哪些是整式乘法？哪些是因式分解？ (1) x2-4y2=(x+2y)(x -2y); (2) 2x(x - 3y)=2x 2- 6xy ; ⑶(5a - 1)2=25a 2- 10a+1 ; ⑷ x2+4x+4=(x+2) 2;
(5) (a - 3)(a+3)=a 2- 9;
(6) m 2 — 4=(m+2)(m — 2); ⑺ 2 兀R+ 2 xr= 2 兀(R+r). 问题二：什么是公因式？怎样用提公因式的方法进行因式分解？ 多项式ma+m b+m c 它的各项都有一个公共的因式 ________ 我们把因 式 ___ 片做这个多项式的 _________ 。 ma+mb+mc = _______________ 要把ma+mb+mc 分解成两个因式 _______ 1 勺形式，其中一个因式是各 项的公因式 ____ 另一个因式(a+b+c)是ma+mb+mc 除以m 所得 的 ____ 像这种分解因式的方法叫做 __________ . 变式练习： 1. 说出下列多项式各项的公因式： ⑵5y 3+20y 2 ; (4) x(a+b)+y(a+b). 2. 用提公因式法因式分解 (2)12a 2b 3 — 8a 3b 2 — 16ab 4 (3) 4x(a+b)+6y(a+b) (1)4kx — 8ky ; (3)a 2b — 2ab 2+ab ; (1) 3x 2y+6xy 2
新人教版八年级数学（上）第十四章学案 主备人：张军 审核人：王鸿年 时间：2013.11.20 2013年11月20日 星期三 班级： 姓名： 14.3.1 提公因式法因式分解（二） 学习目标： 1.理解因式分解的概念和整式乘法的关系； 2.会用提公因式法分解因式，学会逆向思维，渗透化归的思想方法。 学习重难点 重点：会用提取公因式法分解因式。 难点：因式分解的意义、如何确定公因式以及提出公因式后的另一个因式。 学习过程： 一．探究新知： 1. 叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式 。可以看出因式分解与 是相反方向的变形。 2.下列等式从左到右的变形是因式分解的是( )． A ．6a 2b 2＝3ab ·2ab B ． a －ay ＝a(1－y) C ．2x 2＋8x －1＝2x(x ＋4)－1 D ．(x ＋1)(x －1)＝x 2 －1 3.写出下列各多项式中各项的公因式: （1）ax+ay-a （2）5x 2y 3-10x 2y （3）24abc-9a 2b 2 （4）m 2n+mn 2 （5）x(x-y) -y(x-y) （6）p （)b a --q （2 )a b - 4．把下列各式因式分解： （1）c ab b a 323128+ （2）42533575y x y x - （3）222332369b a b a b a -- （4）n m n m n m 34242810--- 5. 把下列各式因式分解： （1）1132124-++-n n n x x x （2）()()()n m n m n m ---+--282172 3 （3）()()2 22225a b ab b a a --- （4）()()()b a c c c b a b c b a a --+-+--+532 二．课堂练习： 1．分解因式－4x 2y ＋2xy 2－xy 的结果是( )． A ．－xy(4x －2y ＋1) B ．－xy(4x －2y) C ．－4(x 2＋2xy 2－xy) D ．－xy(－4x ＋2y －1) 2．把多项式－8a 2b 3＋16a 2b 2c 2－24a 3bc 3分解因式，应提的公因式是( )， A.-8a 2bc B ．-8a 3b 3c 3 C ．－8a 2b D ．-4a 2b 3．分解因式：x(5－x)＋6(x －5)＝________________。 4．把下列各式因式分解： （1） 9a 2bc+6abc-3ac 3 （2）2a(b+c)-3(c+b) （3）-3x 2y+12xy 2-27xy （4）(a+b)2 +a+b （5）(2x+y)(2x-3y)+x(2x+y) （6） y(x-y)2-(y-x)3 （7）a(x-a)+b(a-x)-c(x-a) （8） 6(x+2)+x(-x-2) ※5.证明：212355-能被120整除。 三．课堂小结：本节课你学到了什么？ 四．作业布置：把下列各式因式分解 （1）2x 3+6x 2 （2）3p 2q 3+15p 3qf （3）222332369b a b a b a -- （4）－4x 2+8ax+2x （5）()()a a a -+-323 （6）()()2 4y z b z y a ---
2006年数学中考总复习 第一章 《数与式》 第二节 整式和因式分解 知识网络 一、?→→?? 单项式：系数、次数 代数式有理式整式多项式：次数、项数 二、????? 垐垎噲垐互逆 提取因式法整式乘法因式分解运用公式法分组解法 一、选择题 1.【05泸州】把12-x 分解因式为 A ．()2 1-x B ．()2 1+x C ．()()11-+-x x D ．()()11-+x x 2. 【05绵阳】 对x 2-3x +2分解因式，结果为 A. x (x -3)+2 B. (x -1)(x -2) C. (x -1)(x +2) D. (x +1)(x -2) 3.【05绵阳】如图1，宽为50 cm 的矩形图案由10个全等的 小长方形拼成，其中一个小长方形的面积为 A. 400 cm 2 B. 500 cm 2 C. 600 cm 2 D. 4000 cm 2 4.【05乌鲁木齐】下列运算正确的是 A 、1243x x x =? B 、12 43)(x x = C 、326x x x =÷ D 、743x x x =+ 5.【05杭州】若化简2 1816x x x ---+的结果为25x -,则x 的取值范围是: (A)x 为任意实数 (B)14x ≤≤ (C)1x ≥ (D)4x ≤ 6.【05嘉兴】下列运算正确的是（ ） （A ）2242x x x += （B ）224 x x x += （C ）236x x x ?= （D ）235 x x x ?= 7.【05嘉兴】在边长为a 的正方形中挖去一个边长为b 的小正方形（a>b ）（如图1），把余下的部分拼成一个矩形（如图2），根据两个图形中阴影部分的面积相等，可以验证 （A ）2 2 2 ()2a b a ab b +=++ 图3 a a 图2 图1
因式分解 1、了解因式分解的意义及其与整式的乘法之间的关系。 2、会用提公因式法、公式法进行因式分解。 一、因式分解 概念：把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式解。 注意: （1） 因式分解的对象是多项式； （2）因式分解的结果一定是整式乘积的形式； （3）分解因式，必须进行到每一个因式都不能再分解为止； （4） 公式中的字母可以表示单项式，也可以表示多项式； （5） 结果如有相同因式，应写成幂的形式； （6）题目中没有指定数的范围，一般指在有理数范围内分解； （7） 因式分解的一般步骤是： ①通常采用一“提”、二“公”、三“分”、四“变”的步骤。即首先看有无公因式可提，其次看能否直接利用乘法公式；如前两个步骤都不能实施，可用分组分解法，分组的目的是使得分组后有公因式可提或可利用公式法继续分解； ②若上述方法都行不通，可以尝试用配方法、换元法、待定系数法、试除法、拆项（添项）等方法； 二、因式分解的方法 1. 提公因式法 提公因式法：多项式中的每一项都含有相同的因式，这个相同的因式叫做公因式．把多项式的公因式提出来，化成两个因式乘积的形式，这种因式分解的方法叫做提公因式法．（公因式：我们把多项式各项都含有的相同因式，叫做这个多项式的公因式） 形如：)(c b a m mc mb ma ++=++ 教学目标 学习内容 知识梳理
2．公式法 (1)平方差公式：))((22b a b a b a -+=-. (2)完全平方公式：2 22)(2b a b ab a ±=+±. 其中， 2 22b ab a +±叫做完全平方式. (3)补充： 2 222)(222c b a ac bc ab c b a ++=+++++ 3．分组分解法 形如：))(()()()()(b a n m n m b n m a bn bm an am bn bm an am ++=+++=+++=+++，把多项式进行适当的分组，分组后能够有公因式或运用公式，这样的因式分解方法叫做分组分解法. （1）分组后能直接提公因式 例1、分解因式：bn bm an am +++ 分析：从“整体”看，这个多项式的各项既没有公因式可提，也不能运用公式分解，但从“局部”看，这个多项式前两项都含有a ，后两项都含有b ，因此可以考虑将前两项分为一组，后两项分为一组先分解，然后再考虑两组之间的联系。 解：原式=)()(bn bm an am +++ =)()(n m b n m a +++ 每组之间还有公因式！ =))((b a n m ++ 例2、分解因式：bx by ay ax -+-5102 解法一：第一、二项为一组； 解法二：第一、四项为一组； 第三、四项为一组。 第二、三项为一组。 解：原式=)5()102(bx by ay ax -+- 原式=)510()2(by ay bx ax +-+- =)5()5(2y x b y x a --- =)2(5)2(b a y b a x --- =)2)(5(b a y x -- =)5)(2(y x b a -- 练习：分解因式1、bc ac ab a -+-2 2、1+--y x xy