考试形式： 闭卷 考试时间： 120 分钟 满分： 100 分.
一、（15分）求经过三平行直线1:L x y z ==，2:11L x y z -==+，3:11L x y z =+=-的圆柱面的方程. 二、（20分）设n n C ?是n n ?复矩阵全体在通常的运算下所构成的复数域C 上的线性空间，
1210
00
1000
1000
1n n n a a F a a ---??
?
- ? ?=- ? ?
?-?
?
.
（1）假设11
121212221
2
n n n n nn a a a a a a A a a a ??
? ?
= ? ? ???
，若AF FA =，证明：121112111n n n n A a F a F a F a E ---=++++；
（2）求n n C ?的子空间{}()|n n C F X C FX XF ?=∈=的维数.
三、（15分）假设V 是复数域C 上n 维线性空间（0n >），,f g 是V 上的线性变换.如果fg gf f -=，证明：f 的特征值都是0，且,f g 有公共特征向量.
四、（10分）设{}()n f x 是定义在[],a b 上的无穷次可微的函数序列且逐点收敛，并在[],a b 上满足'()n f x M ≤.（1）证明{}()n f x 在[],a b 上一致收敛；
（2）设()lim ()n n f x f x →∞
=，问()f x 是否一定在[],a b 上处处可导,为什么？ 五、（10分）设3
20
sin sin n nt a t dt t π
=?
， 证明11n n
a ∞
=∑发散. 六、
（15分） (,)f x y 是{}2
2
(,)|1x y x y +≤上二次连续可微函数，满足222222f f
x y x y
??+=??，计算积分
221x y I dxdy +≤??
=??. 七、
（15分））假设函数 ()f x 在 [0,1]上连续，在(0,1)内二阶可导，过点 (0,(0))A f ，与点 (1,(1))B f 的直线与曲线 ()y f x =相交于点 (,())C c f c ，其中 01c <<. 证明：在 (0,1)内至少存在一点 ξ，使
()0f ξ''=。
考试形式： 闭卷 考试时间： 150 分钟 满分： 100 分.
一、填空题（共8分，每空2分.） (1) 设0βα>>，则
2
2
2
x
x
dx e e x
βα--+∞-?=_____________. (2) 若关于x 的方程21
1(0)kx k x
+
=>在区间(0,)+∞内有惟一实数解，则常数k =_____________. (3) 设函数()f x 在区间[,]a b 上连续.由积分中值公式有()()()x a
f t dt x a f ξ=-? ()a x b ξ≤≤<.若导数()f a +'存在且非零，则lim x a
a
x a
ξ+
→--的值等于_____________.
(4) 设()6a b c ?=，则()
()()()a b b c a c +?++=_____________.
二、（10分）设()f x 在(1,1)-内有定义，在0x =处可导，且(0)0f =. 证明: 21
(0)
lim 2n
n k k f f n →∞='??= ???∑. 三、（12分） 设()f x 在[0,)∞上一致连续，且对于固定的[0,)x ∈∞。当自然数n →∞时()0f x n +→。证明: 函数序列{()1,2,}f x n n +=：在[0,1]上一致收敛于0.
四、（12分） 设22{(,):1}D x y x y =+<，(,)f x y 在D 内连续，(,)g x y 在D 内连续有界，且满足条件： (1) 当221x y +→时，(,)f x y →+∞；
(2) 在D 中f 与g 有二阶偏导数， 2222f f f e x y ??+=??,2
222
g
g g e x y
??+≥??。 证明： (,)(,)f x y g x y ≥ 在D 内处处成立.
五、（10分）设 {(,):01;0R x y x y =≤
≤≤≤， {(,):01;01}R x y x y εεε=≤≤-≤≤-.
考虑积分1R dxdy I xy =-??
， 1R dxdy
I xy
εε=-??，定义0lim I I εε+
→=。 （1） 证明21
1n I n ∞
==∑
； （2）利用变量替换：1()2
1()2
u x y v y x ?
=+???
?=-??计算积分I 的值，并由此推出
2
211
6
n n
π∞
==∑
.
六、
（13分） 已知两直线的方程：:L x y z ==，:11
x y z b
L a -'==.（1）问：参数,a b 满足什么条件时，L 与L '是异面直线？
（2）当L 与L '不重合时，求L '绕L 旋转所生成的旋转面π的方程，并指出曲面π的类型.
七、(20分) 设,A B 均为n 阶半正定实对称矩阵，且满足1rank n A n -≤≤ . 证明: 存在实可逆矩阵C 使得T T C AC C BC 和均为对角阵.
八、(15分) 设V 是复数域C 上的n 维线性空间，:j f V →C (1,2j =) 是非零的线性函数。 且线性无关. 证明: 任意的V α∈都可表为12ααα=+。使得 112()()f f αα=，221()()f f αα=.
参考答案（精简版）
首届中国大学生数学竞赛赛区赛试卷解答 （数学类，2009）
一、（15分）求经过三平行直线1:L x y z ==，2:11L x y z -==+，3:11L x y z =+=-的圆柱面的方程.
解： 先求圆柱面的轴0L 的方程. 由已知条件易知，圆柱面母线的方向是(1,1,1)n =， 且圆柱面经过点(0,0,0)O ， 过点(0,0,0)O 且垂直于(1,1,1)n =的平面π的方程为：
0x y z ++=
. ……………………………（3分) π与三已知直线的交点分别为(0,0,0),(1,0,1),(0,1,1)O P Q --………… （5分)
圆柱面的轴0L 是到这三点等距离的点的轨迹， 即
222222
222222
(1)(1)
(1)(1)
x y z x y z x y z x y z ?++=-+++??++=+++-??， 即 1
1x z y z -=??-=-?，……………………………………………（9分)
将0L 的方程改为标准方程
11x y z -=+=.
圆柱面的半径即为平行直线x y z ==和11x y z -=+=之间的距离. 0(1,1,0)P -
为0L 上的点. ………………………………………………………………. （12分) 对圆柱面上任意一点(,,)S x y z ， 有00
||||||||
n P S n PO n n ??=
， 即
222(1)(1)(2)6y z x z x y -+-+--+-++=，
所以，所求圆柱面的方程为：
222330x y z x y x z y z x
y ++----+=. ………………. （15分)
二、（20分）设n n C ?是n n ?复矩阵全体在通常的运算下所构成的复数域C 上的线性空间，
1210
00
1000
1000
1n n n a a F a a ---??
?
- ? ?=- ? ?
?-?
?
.
（1）假设11
12121
2221
2
n n n n nn a a a a a a A a a a ??
?
?
= ? ? ???
，若AF FA =，证明： 121112111n n n n A a F a F a F a E ---=++++；
（2）求n n C ?的子空间{}()|n n C F X C FX XF ?=∈=的维数. （1）的证明:记12(,,
,)n A ααα=，121112111n n n n M a F a F a F a E ---=++++.要证明
M A =，只需证明A 与M 的各个列向量对应相等即可.若以i e 记第i 个基本单位列向量.
于是，只需证明：对每个i ，()i i i Me Ae α==. ……………………… （2分)
若记11(,,
,)T n n a a a β-=---，则23(,,,,)n F e e e β=.注意到，
21212123111,,,()n n n n Fe e F e Fe e F e F F e Fe e ---====== （*） ….. （6分)
由
12111121111
1211111211111
1111212111
1...............................................(10()n n n n n n n n n n n n Me a F a F a F a E e a F e a F e a Fe a Ee a e a e a e a e Ae α--------1=++++ =++++ =++
++ ==分）
知211112Me MFe FMe FAe AFe Ae =====
2
2
2
2
3
11113
M e M F e F M e F A e
A F
e A e
===
== 11111111n n n n n n Me MF e F Me F Ae AF e Ae ----=====
所以，M A =. ………………………….. （14分)
（2）解： 由（1），21(){,,,,}n C F span E F F F -=，………… （16分)
设210121n n x E x F x F x F O --+++
+=，等式两边同右乘1e ，利用（*）得
21101211()n n Oe x E x F x F x F e θ--==+++
+
2101112111
0112231.........................(18n n n n x Ee x Fe x F e x F e x e x e x e x e ---=++++=+++
+分）
因123,,,
,n e e e e 线性无关，故，01210n x x x x -===
==…………（19分)
所以，21,,,,n E F F F -线性无关.因此，21,,,
,n E F F F -是()C F 的基，特别地，
d i m ()C F n =. ……………………………（20分)
三、（15分）假设V 是复数域C 上n 维线性空间（0n >），,f g 是V 上的线性变换.如果fg gf f -=，证明：
f 的特征值都是0，且,f
g 有公共特征向量.
证明：假设0λ是f 的特征值，W 是相应的特征子空间，即{}0|()W V f ηηλη=∈=.于是，W 在f 下是不变的. …………………………（1分)
下面先证明，0λ=0.任取非零W η∈，记m 为使得2,(),(),,()m g g g ηηηη线性相关的最小的非负整数，
于是，当01i m ≤≤-时，2,(),(),
,()i g g g ηηηη线性无关…..（2分)
01i m ≤≤-时令21{,(),(),
,()}i i W span g g g ηηηη-=,其中，0{}W θ=.因此，dim i W i =（1i m ≤≤）
，并且，12m m m W W W ++===. 显然，1()i i g W W +?，特别地，m W 在g 下是不变的. ………………（4分)
下面证明，m W 在f 下也是不变的.事实上，由0()f ηλη=，知
00()()()()fg gf f g ηηηληλη=+=+…………（5分)
200002000(6.............................()()()
(())(())()2()fg gfg fg g g g g g ηηηληληληληληληλη=+ =+++ =++分）
根据
111
1
()()()()()()
k k k k k fg gfg fg g fg
fg
ηηηηη----=+ =+
用归纳法不难证明，()k fg η一定可以表示成2,(),(),,()k g g g ηηηη的线性组合，且表示
式中()k g η前的系数为0λ. …………………………………. （8分) 因此，m W 在f 下也是不变的，f 在m W 上的限制在基21,(),(),
,()m g g g ηηηη-下的矩阵
是上三角矩阵，且对角线元素都是0λ，因而，这一限制的迹为0m λ. …..（10分)
由于fg gf f -=在m W 上仍然成立，而fg gf -的迹一定为零，故00m λ=，即
0λ=0. ………………………….. （12分)
任取W η∈，由于()f ηθ=，()()()()()fg gf f g f ηηηθηθ=+=+=，所以，()g W η∈.因此，W 在g 下是不变的.从而，在W 中存在g 的特征向量，这也是,f g 的公共特征向量. ………………………………. （15分)
四、（10分）设{}()n f x 是定义在[],a b 上的无穷次可微的函数序列且逐点收敛，并在[]
,a b 上满足'()n f x M ≤.（1）证明{}()n f x 在[],a b 上一致收敛；（2）设()l i m ()n
n f x f x →∞
=，问()
f x 是否一定在[],a b 上处处可导,为什么？
证明：（1）0ε?>，将区间[],a b K 等分，分点为()
,0,1,2,,j j b a x a j K K
-=+
=，使
得
b a
K
ε-< . 由于{}()n f x 在有限个点{},0,1,2,,j x j K =上收敛，因此N ?，
m n N ?>>，使得()()m j n j f x f x ε-< 对每个0,1,2,,j K =成立. ………………………….. （3分)
于是[,]x a b ?∈，设1[,]j j x x x +∈，则
()()()()()()()()m n m m j m j n j n j n f x f x f x f x f x f x f x f x -≤-+-+-， '()()()()'()()m j m j n j n j f x x f x f x f x x ξη=-+-+-()21M ε<+. …（5分)
（2）不一定. ……………………………（6分) 令
()n f x =，则()lim ()n n f x f x →∞=在[],a b 上不能保证处处可导.（10分)
五、（10分）设3
20
sin sin n nt a t dt t π
=?
， 证明11n n
a ∞
=∑发散. 解： 3
3
3
221200sin sin sin sin sin sin n n
nt nt nt
t
dt t dt t dt I I t t t π
ππ
π=+=+??? ……. （3分) 3
23100sin sin 2n n
nt n I t dt n tdt t π
π
π=<=
?
?， ………………………（5分) 3
3
32222sin 1sin 28n
n
n
nt I t dt t dt d t t t ππ
π
πππππ????
=
???
………..（7分) 32288
n n ππππ??=-< ???. …………..（8分) 因此211n a n π>，由此得到11
n n
a ∞
=∑发散. ……………………（10分)
六、
（15分） (,)f x y 是{}2
2
(,)|1x y x y +≤上二次连续可微函数，满足222222f f
x y x y
??+=??，计算积
分221x y I dxdy +≤??
=??. 解： 采用极坐标cos ,sin x r y r θθ==，则
1200
cos sin f f I dr rd x y πθθθ????=?+? ???????
22210x y r f f dr dy dx x y +=????=- ?????
??…..（6分) 2221
220x y r f f dr dxdy x y +≤????=+ ?????
???
()222122
0x y r
dr x y dxdy +≤=??? ……. （10分) 1
25
220
cos sin 168
r
dr d d ππ
ρρθθθ==
???
. ……………….（15分) 七、
（15分））假设函数 ()f x 在 [0,1]上连续，在(0,1)内二阶可导，过点 (0,(0))A f ，与点 (1,(1))B f 的直线与曲线 ()y f x =相交于点 (,())C c f c ，其中 01c <<. 证明：在 (0,1)内至少存在一点 ξ，使 ()0f ξ''=.
证明：因为 ()f x 在 [0,]c 上满足 Lagrange 中值定理的条件，故存在 1(0,)c ξ∈， 使
1()(0)
()0
f c f f c ξ-'=
-.…………………………………………. （4分)
由于C 在弦 AB 上，故有
()(0)(1)(0)
010
f c f f f c --=--=(1)(0)f f -.….………….……….. （7分)
从而 1()(1)(0)f f f ξ'=-. …………………………...………..……….. （8分)
同理可证，存在 2(,1)c ξ∈，使 2()(1)(0)f f f ξ'=-. …….……..（11分) 由12()()f f ξξ''=，知 在12[,]ξξ上 ()f x '满足 Rolle 定理的条件，所以存在
12(,)(0,1)ξξξ∈?，使 ()0f ξ''=. ………………….………….…….（15分)
首届中国大学生数学竞赛决赛试卷参考答案及评分标准 （数学类，2010）
一、 填空题（共8分，每空2分.） （1） 设0βα>>，则
2
2
2
x
x
dx e e x
βα--+∞-?=
. （2）若关于x 的方程211(0)kx k x +
=>在区间(0,)+∞中有惟一实数解，则常数k =
.
（3）设函数()f x 在区间[,]a b 上连续.由积分中值公式有()()()x a
f t dt x a f ξ=-?
()a x b ξ≤≤<.若导数()f a +'存在且非零， 则lim x a a x a ξ+→--的值等于 1
2.
（4）设()6a b c ?=，则[()()]()a b b c a c +?++=___12________.
二、（10分）设()f x 在(1,1)-内有定义，在0x =处可导，且(0)0f =.证明：
'
21
(0)
lim 2n
n k k f f n →∞=??=
???∑. 证： 根据题目假设和泰劳展开式，我们有'()(0)(0)(),f x f f x x x α=++其中()x α是x 的函数，(0)0,α=且()0,0x x α→→当。……………………………………… （2分） 因此，对于任意给定的0ε>，存在0δ>，使得(),x x αεδ<<只要。…… （3分）
对于任意自然数n 和k n ≤，我们总有'2222(0)k k k k
f f n n n n
α????=+ ? ?????。…………（4分）
取1N δ->，对于上述给定的0ε>，便有
2,,k n N k n n αε??
<>≤
???
只要。 ……………………………… （5分） 于是，'
222111(0),n
n n
k k k k k k f f n N n n n
ε===??-≤> ???∑∑∑只要。
此式又可写成
'
21
111(0)(1)(1),2
2n
k k f f n N n
n n ε=??-+≤+>
???∑只要。 ……………（7分） 令n →∞，对上式取极限即得
'
211limsup (0)22n
n k k f f n ε→∞=??≤+ ???∑ 和'
21
1liminf (0)22n
n k k f f n ε→∞=??≥- ?
??
∑ 由ε的任意性，即得'2211
1
limsup liminf (0)2n
n
n n k k k k f f f n n →∞→∞
==????== ? ?????∑∑。证毕。……（10分）
三、(12分)设()f x 在[0,)∞上一致连续，且对于固定的[0,)x ∈∞，当自然数n →∞时
()0f x n +→.证明函数序列{():1,2,...}f x n n +=在[0,1]上一致收敛于0.
证：由于()f x 在[0,)+∞上一致连续，故对于任意给定的0ε>，存在一个0δ>使得
121212()(),(0,0)2
f x f x x x x x ε
δ-<
-<≥≥只要 ………………………… （2分）
取一个充分大的自然数m ，使得1m δ->，并在[0,1]中取m 个点:
120...1m x x x =<<<=， 其中(1,2,...,)j j
x j m m
=
=。这样，对于每一个j ， 11
j j x x m
δ+-=
<。 ………………………………………………（5分） 又由于lim ()0n f x n →∞
+=，故对于每一个j x ，存在一个j N 使得
(),2
j j f x n n N ε
+<
>只要，
这里的ε是前面给定的。令1max{,...,}m N N N =，那么
(),2
j f x n n N ε
+<
>只要，
其中1,2,...,j m =。 设[0,1]x ∈是任意一点，这时总有一个j x 使得1[,]j j x x x +∈。 由()f x 在[0,)+∞上一致连续性及j x x δ-<可知，
()()(1,2,...)2
j f x n f x n n ε
+-+<
?= ……………………………… （9分）
另一方面，我们已经知道
(),2
j f x n n N ε
+<>只要
这样，由后面证得的两个式子就得到
(),,[0,1]f x n n N x ε+<>∈只要
注意到这里的N 的选取与点x 无关，这就证实了函数序列{():1,2,...}f x n n +=在[0,1]上一致收敛于0。 ………………………… （12分）
四、（12分）设22{(,):1}D x y x y =+<，(,)f x y 在D 内连续，(,)g x y 在D 内连续有界，且满足条件：（1）当221x y +→时，(,)f x y →+∞；（2）在D 内f 与g 有二阶偏导数，
2222f
f f e x y ??+=??和2222
g g g e x y ??+≥??.证明： (,)(,)f x y g x y ≥ 在D 内处处成立. 证：用反证法。假定该不等式在某一点不成立，我们将导出矛盾。
令(,)(,)(,)F x y f x y g x y =-. 那么，根据题目假设，当221x y +→时，(,)F x y →+∞. 这样，(,)F x y 在D 内必然有最小值。设最小值在00(,)x y D ∈达到。…………… (3分) 根据反证法假设，我们有
000000(,)(,)(,)0F x y f x y g x y =-<. (i) 另一方面，根据题目假设，我们又有
(,)(,)f x y g x y F f g e e ?=?-?≤-， (ii)
其中?是拉普拉斯算子：22
22x y ???≡+??. …………………… (7分)
式子（ii ）在D 中处处成立，特别地在00(,)x y 成立：
00000000
00(,)(,)(,)(,)
(,)
f x y
g x y x y x y x y F f
g e e ?=?-?≤-. (iii)
由(i)与(iii)可知，00(,)0x y F ?<. (iv) …………………… (9分) 但是，00(,)x y 是(,)F x y 的极小值点，应该有00(,)0;0,xx yy F x y F ≥≥并因此00(,)|0x y F ?≥ 这与（iv ）矛盾。此矛盾证明了题目中的结论成立。证毕。………………………………（12分） 五、（共10分，（1）和（2) 各5分）分别设
{(,):01;01}R x y x y =≤≤≤≤，{(,):01;01}R x y x y εεε=≤≤-≤≤-.
考虑积分1R
dxdy I xy
=-?? 与1R dxdy
I xy εε=-??， 定义0lim I I εε+
→=. （1) 证明211
n I n
∞
==∑
； （2)利用变量替换：1()2
1()2
u x y v y x ?=+???
?=-??计算积分I 的值，并由此推出
2
21
1
6
n n π∞
==∑
. 证： 显然，0
()n
n R I xy dxdy εε∞
==∑
??
……………………………………………… （2分）
注意到上述级数在R ε 上的一致收敛性，我们有
2112
01
(1)n
n
n
n n I x dx y dy n ε
ε
εε∞
∞
--==-==∑∑?
?
。 ………………………………（4分） 由于221n n x n
∞
=∑ 在点1x =收敛，故有20
11
lim n I I n εε+∞
→===∑。 ………………………… （5分） 下面证明2
6
I π=
. 在给定的变换下，,x u v y u v =-=+，那么
22
11
11xy u v =--+， 变换的雅可比行列式 ，(,)
2(,)
x y J u v ?=
=?。 ………………………………………（6分）
假定正方形R 在给定变换下的像为R ，那么根据R 的图象以及被积函数的特征，我们有
1112122
22220
0021
244111u u R dv dv I dudv du du u v u v u v -????
==+ ? ?-+-+-+????
??
????
利用 221arctan (0),dx x
C a a x a a
=+>+? 又得
44.I ????=+ …………………… （8分）
令
()()g u h u ===
那么''()()g u h u ==
最后，我们得到
11
''210
2
4()()8()()I g u g u du h u h u du =-??
122120
12
2[()]|4[()]|g u h u =- 22
2
2004666πππ????=--+= ? ?????。……………………（10分） 六、（13分）已知两直线的方程：:L x y z ==，':
11
x y z b
L a -==。（1）问：参数,a b 满足什么条件时，L 与'L 是异面直线？（2）当L 与'L 不重合时，求'L 绕L 旋转所生成的旋转面π的方程，并指出曲面π的类型。
解：（1）,'L L 的方向向量分别为(1,1,1),'(1,,1)n n a ==。
分别取,'L L 上的点(0,0,0),(0,0,)O P b 。L 与'L 是异面直线当且仅当矢量,',n n OP 不共面，即，它们的混合积不为零：
111
(,',)11(1)000n n OP a a b b
==-≠，
所以，L 与'L 是异面直线当且仅当1a ≠且0b ≠。…………………………… （2分）
（2）假设(,,)P x y z 是π上任一点，于是P 必定是'L 上一点'(',',')P x y z 绕L 旋转所生成的。由于'P P 与L 垂直，所以，
(')(')(')0x x y y z z -+-+-= ①
……………（4分）
又由于'P 在'L 上，所以， '''11
x y z b a -== ， ②
因为L 经过坐标原点，所以，,'P P 到原点的距离相等，故，
222222'''x y z x y z ++=++ ， ③ ……………（5分）
将①，②，③联立，消去其中的',','x y z ： 令
'''11
x y z b t a -===，将',','x y z 用t 表示： ',','x t y at z t b ===+ ， ④
将④代入①，得
(2)a t x y z b +=++- ， ⑤
……………（6分）
当2a ≠-，即L 与'L 不垂直时，解得1
()2
t x y z b a =++-+，据此，再将④代入③，得到π的方程：
22
2
2
2
22
22()()0(2)2
a b x y z x y z b x y z b b a a +++-++--++--=++，………… （8分） 当2a =-时，由⑤得，x y z b ++=，这表明，π在这个平面上。……… （9分）
同时，将④代入③，有222222215
626()66
x y z t bt b t b b ++=++=++。由于t 可以是
任意的，所以，这时，π的方程为：
222
256x y z b x y z b ++=??
?++≥??
， ………………………… （11分） π的类型：1a =且0b ≠时，L 与'L 平行，π是一柱面；1a ≠且0b =时，L 与'L 相交，π是一锥面（2a =-时π是平面）；当1a ≠且0b ≠时，π是单叶双曲面（2a =-时，π是去掉一个圆盘后的平
面）。 ………………………………………………………………（13分）
七、(20分)设,A B 均为n 阶半正定实对称矩阵，且满足1rank n A n -≤≤ . 证明存在实可逆矩阵C 使得
,T T C AC C BC 均为对角阵.
证明 （1） A 的秩为n 的情形：此时，A 为正定阵。于是存在可逆矩阵P 使得
T P AP E =。……………………………………… （2分）
因为T P BP 是实对称矩阵，所以存在正交矩阵Q 使得()T T Q P BP Q =Λ是对角矩阵。（4分）
令C PQ =，则有,T T C AC E C BC ==Λ都是对角阵。（5分）
（2）A 的秩为1n -的情形：此时，存在实可逆矩阵P 使得1000n T E P AP -??= ???。…（6分）
因为T
P BP 是实对称矩阵，所以，可以假定1n T
T B P BP b αα-??
= ???
，其中1n B -是1n -阶实对称矩
阵。…………………………………………………………………………………… （8分） 因为1n B -是1n -阶实对称矩阵，所以存在1n -阶正交矩阵1n Q -，使得
1
1111000
000
T
n n n n n Q B Q λλ----?? ?
==Λ ? ??
?
为对角阵。……………（10分） 令1,1n Q Q C PQ -??== ???，则,T T
C AC C BC 可以表示为
11,0n n T
T T E C AC C BC d ηη--Λ????
== ? ?????
，
其中121(,,...,)T n d d d η-=是1n -维列向量。
为简化记号， 我们不妨假定11,0n n T E A B d ηη--Λ????
== ? ?????
。
如果0d =，由于B 是半正定的，B 的各个主子式均0≥。考虑B 的含d 的各个2阶主子式，容易知道，
0η=。此时B 已经是对角阵了，如所需。…………………………（14分）
现假设0d ≠。显然，对于任意实数k ，,A B 可以通过合同变换同时化成对角阵当且仅当同一合同变换可以将,A kA B +同时化成对角阵。由于0k ≥时，kA B +仍然是半正定矩阵，由（1），我们只需要证明：存在0k ≥，kA B +是可逆矩阵即可。……………（17分） 注意到，当i k λ+都不是0时，行列式
1
121111111
1
()n n i i i j n n i n k d d kA B d k k d k d d d
λλλλ--==---+??+=
=-+ ?++?
?∑∏
故只要k 足够大就能保证kA B +是可逆矩阵。从而,A B 可以通过合同变换同时化成对角阵。证毕。………………………………………………………………………………（20分）
八、(15分)设V 是复数域C 上的n 维线性空间，:j f V →C 是非零的线性函数，1,2j =. 若不存在0c ≠∈C
使得12f cf =， 证明：任意的V α∈都可表为12ααα=+使得112()()f f αα=，221()()f f αα=. 证明：记,1,2j j E Ker f j ==。由0j f ≠知dim 1,1,2j E n j =-=。……………（2分） 不失一般性，可令
{}112(,...,):,,...,n n n V x x x x x α===∈C C ，1122()...,1,2j j j jn n f a x a x a x j α=+++=。
由120,0f f ≠≠，12,f cf c ≠?∈C ，知
11112212112222 0
...0n n n n a x a x a x a x a x a x +++=??
+++=? 的系数矩阵之秩为2。
因此其解空间维数为2n -，即12dim()2E E n ?=-。…………………………（8分） 但121212dim dim dim()dim()E E E E E E +=++?，故有12dim()E E n +=，即
12E E V +=。………………………………………………………………………………（12分） 现在，任意的V α∈都可表为12ααα=+，其中1122,E E αα∈∈。注意到1122()0,()0f f αα==，因此
112()()f f αα=，221()()f f αα=。证毕。…………（15分）
2020年全国大学生趣味百科知识竞赛题库及答 案（精选100题） 1人类第一次使用毒气战是在？A一战B二战C海湾战争（A） 2蜗牛最多可睡多长时间？A两年B三年C四年D五年（B） 3全世界有多少种蜻蜓？A800多种B1500多种C4500多种（C） 4用什么水煮饭最好？A冷水B温水C热水（C） 5牛马的年轮长在？A耳朵上B牙齿上C蹄子上（B） 6伞是由哪国人发明的？A中国B英国C德国D日本（A） 7笛子是哪国人发明的？A中国B瑞典C丹麦D土耳其（C） 8人类对哪种味道最为敏感？A甜B酸C苦D咸（C） 9辣椒原产地？A南美洲B北美洲C亚洲D非洲（A） 10火车的门前写YC表示？A硬座B硬卧C软卧D餐车（A） 11“音乐”最早出现在？A《诗经》B《乐府诗集》C《吕氏春秋》（C） 12美国的国球是？A棒球B橄榄球C高尔夫球（A） 13京剧起源于？A唐朝B宋朝C明朝D清朝（D） 14慈禧曾几次垂帘听政？A一次B两次C三次D四次（C） 15“愚人节”起源于？A英国B法国C德国D美国（B） 16羽毛球的羽毛材料？A鸡毛B鸭毛C鹅毛（C） 17蛇在哪种情况下射出毒液多？A攻击时B防御时（A） 18诺贝尔奖没有哪项？A数学B物理（A）
19书法中的“柳体”指的谁？A柳宗元B柳公权（B） 20电视机是谁发明的？A贝尔B贝尔德C爱迪生（B） 21“刘福荣“是谁的真名？刘德凯B刘欢C刘德华（C） 22哪种糖纯度最高？A红糖B白糖C冰糖（C） 23“都柏林”在哪个国家？A爱尔兰B德国C英格兰C法国（A）24第一个举办奥运会的亚洲国家？A日本B韩国C印度D马来西亚（A） 25悉尼歌剧院设计者是哪国人？A丹麦B法国C瑞典D澳大利亚（A） 26“互联网”最初用在？A商业方面B军事方面（B） 27最早使用“√”做批语的是？英国老师B法国老师C中国老师（A）28夏季里会叫的蝉是？A雌蝉B雄蝉（B） 29中国记者节在哪一天？A10月8日B11月8日C12月8日（A）30汽车中安全袋里的气体是？A氖气B氮气C氩气D氙气（B）31吃人参的最佳时候？A早晨空腹B中午饭后C晚上饭后（A）32世界上大约有多少种植物？A40万种B400万种C4000万种（A）33地壳中含量最多的元素？A氮B氧C铝D硅（B） 34象脚鼓是哪个民族乐器？A朝鲜族B苗族C傣族D赫哲族（C）35太阳系中最亮的行星？A水星B金星C土星D木星（B） 36蚊子最怕什么味道？A酒味B汗味C漂白粉味（C） 37哪一个含钙最多？A虾皮100克B芝麻酱100克（B） 38古代“如意”最早指？A痒痒挠B美容用具C儿童玩具D祈福
第二届(2010年)全国大学生数学竞赛预赛试卷及参考答案 （非数学类） (150分钟) 一、（25分，每小题5分） （1）设22(1)(1)(1),n n x a a a =+++ 其中||1,a <求lim .n n x →∞ （2）求2 1lim 1x x x e x -→∞??+ ???。 （3）设0s >，求0(1,2,)sx n I e x dx n ∞ -==? 。 （4）设函数()f t 有二阶连续导数，1(,)r g x y f r ??== ???，求2222g g x y ??+??。 （5）求直线10:0 x y l z -=??=?与直线2213:421x y z l ---==--的距离。 解：（1）22(1)(1)(1)n n x a a a =+++ =22(1)(1)(1)(1)/(1)n n x a a a a a =-+++- =222(1)(1)(1)/(1)n a a a a -++- = =1 2(1)/(1)n a a +-- 1 2lim lim(1)/(1)1/(1)n n n n x a a a +→∞→∞=--=-∴ (2) 22211ln (1)ln(1)1lim 1lim lim x x x e x x x x x x x x e e e x -++--→∞→∞→∞??+== ??? 令x=1/t,则 原式=1(ln(1)) 1/(1)112(1)220 00lim lim lim t t t t t t t t t e e e e +-+---+→→→=== （3）0000112021011()()[|](1)!!sx n n sx n sx sx n n sx n n n n n I e x dx x de x e e dx s s n n n n n n e x dx I I I s s s s s ∞∞∞---∞-∞----+==-=--=-=====???? （4）略（不难，难得写） （5 二、（15分）设函数()f x 在(,)-∞+∞上具有二阶导数，并且 ()0,lim ()0,lim ()0,x x f x f x f x αβ→+∞→-∞ ''''>=>=<且存在一点0x ，使得0()0f x <。
前三届高数竞赛预赛试题（非数学类） （参加高等数学竞赛的同学最重要的是好好复习高等数学知识，适当看 一些辅导书及相关题目，主要是一些各大高校的试题。） 2009-2010年第一届全国大学生数学竞赛预赛试卷 一、填空题（每小题5分） 1．计算=--++??y x y x x y y x D d d 1) 1ln()(16/15，其中区域D 由直线1=+y x 与 两坐标轴所围成三角形区域. 解:令v x u y x ==+,，则v u y v x -==,，v u v u y x d d d d 1110det d d =??? ? ??-=， ? -=10 2 d 1u u u （*） 令u t -=1，则21t u -= dt 2d t u -=，42221t t u +-=，)1)(1()1(2t t t u u +-=-， 2．设)(x f 是连续函数，且满足?--=2 022d )(3)(x x f x x f ,则 =)(x f ____________. 解:令?=2 0d )(x x f A ，则23)(2--=A x x f ， A A x A x A 24)2(28d )23(20 2-=+-=--= ? , 解得3 4=A 。因此3 10 3)(2- =x x f 。 3．曲面22 22 -+=y x z 平行平面022=-+z y x 的切平面方程是 __________. 解:因平面022=-+z y x 的法向量为)1,2,2(-，而曲面 2 2 22-+=y x z 在 ) ,(00y x 处的法向量为 )1),,(),,((0000-y x z y x z y x ，故)1),,(),,((0000-y x z y x z y x 与)1,2,2(-平 行，因此，由 x z x =， y z y 2=知
1 x ? ? ? ? a ? 第四届全国大学生数学竞赛决赛试题标准答案 一、(本题15分): 设A 为正常数，直线?与双曲线x 2 ? y 2 = 2 (x > 0) 所围的有 限部分的面积为A . 证明： (i) 所有上述?与双曲线x 2 ? y 2 = 2 (x > 0) 的截线段的中点的轨迹为双曲线. (ii)?总是(i)中轨迹曲线的切线. 证明：将双曲线图形进行45度旋转，可以假定双曲线方程为y = 1 , x > 0. 设 直线?交双曲线于(a, 1/a )和(ta, 1/ta ), t > 1, 与双曲线所围的面积为A . 则有 1 1 ∫ ta 1 1 1 1 1 A = 2 (1 + t )(t ? 1) ? dx = + )(t 1) log t = t ) log t. x 2 t 2 t 令f (t ) = 1 (t ? 1 ) ? log t . 由于 2 t 1 1 2 f (1) = 0, f (+∞) = +∞, f ′ (t ) = 2 (1 ? t ) > 0, (t > 1), 所以对常数A 存在唯一常数t 使得A = f (t ) (5分). ?与双曲线的截线段中点 坐标 为 1 1 1 1 x = 2 (1 + t )a, y = 2 (1 + t ) a . 于是，中点的轨迹曲线为 1 1 xy = 4 (1 + t )(1 + t ). (10分) 故中点轨迹为双曲线, 也就是函数y = 1 (1 + t )(1 + 1 ) 1 给出的曲线. 该 曲线在上述中点处的切线斜率 4 t x 1 1 1 1 k = ? 4 (1 + t )(1 + t ) x 2 = ? ta 2 , 它恰等于过两交点(a, 1/a )和(ta, 1/ta )直线?的斜率: 1 1 1 故?为轨迹曲线的切线. (15分) ta ? a ta ? a = . 二、(本题15分): 设函数f (x )满足条件: 1) ?∞ < a ≤ f (x ) ≤ b < +∞, a ≤ x ≤ b ; 2) 对于任意不同的x, y ∈ [a, b ]有|f (x ) ? f (y )| < L |x ? y |, 其中L 是大
10月16日 1:求极限3 0sin arctan lim x x x x -→. 2:已知 ,0)0(,1)0(=='f f 求)2 (lim n nf n ∞ →. 3：设数列}{n x 满足: ),,2,1(sin ,011 ==<< +n x x x n n π求: (1) 证明n n x ∞ →lim 存在, (2)计算1 1)(lim n x n n n x x +∞→ 4：已知 )(x f 在0=x 的某个邻域内连续,且,2cos 1) (lim ,0)0(0 =-=→x x f f x 则在点0 =x 处 )(x f (A) 不可导 (B) 可导,且 ,0)0(≠'f (C) 取得最大值 (D) 取得最小值 5：设 ,3)(22x x x x f +=则使)0()(n f 存在的最高阶数n 为 . 6：求对数螺线θ ρe =在点)2,(2 π πe 处得切线的直角方程. 7：计算dx e e x x )(0 cos cos ? --π . 8：计算dx x x ? ++4 2 ) 2() 1ln(. 9: 计算 dx x x ? -π 53sin sin . 10: 化三重积分 ???Ω ) ,,(z y x f 为累次积分,其中 Ω 为六个平面 2,,42,1,2,0===+===z x z y x y x x 围成的区域.. 11：求2 2 2 a z y =+在第一卦限中被)0(,),0(,0>=>== b b y m my x x 截下部分 面积. 12计算,)(22dxdydz y x I ???Ω +=其中Ω是曲线0,22==x z y 绕OZ 轴旋转一周而 成的曲面与两平面8,2==z z 所围的立体.
全国大学生数学竞赛预赛试卷（非数学类） 2009年 第一届全国大学生数学竞赛预赛试卷（非数学类） 一、填空题（每小题5分，共20分） 1． 计算()ln(1) d y x y x y ++=??，其中区域D 由直线1=+y x 与两坐标轴所围成三角形区域. 2．设)(x f 是连续函数，且满足22 ()3()d 2f x x f x x =--? ，则()f x =. 3．曲面2 222 x z y =+-平行平面022=-+z y x 的切平面方程是. 4．设函数)(x y y =由方程29ln )(y y f e xe =确定，其中f 具有二阶导数，且 1≠'f ，则=22d d x y . 二、（5分）求极限x e nx x x x n e e e )(lim 20+++→Λ，其中n 是给定的正整数. 三、（15分）设函数)(x f 连续，10()() g x f xt dt =?，且A x x f x =→) (lim 0，A 为常数，求()g x '并讨论)(x g '在0=x 处的连续性. 四、（15分）已知平面区域}0,0|),{(ππ≤≤≤≤=y x y x D ，L 为D 的正向边界，试证： （1）??-=---L x y L x y x ye y xe x ye y xe d d d d sin sin sin sin ； （2）2sin sin 2 5d d π?≥--L y y x ye y xe . 五、（10分）已知x x e xe y 21+=，x x e xe y -+=2，x x x e e xe y --+=23是某二阶常系数线性非齐次微分方程的三个解，试求此微分方程. 六、（10分）设抛物线c bx ax y ln 22++=过原点.当10≤≤x 时，0≥y ，又已知该抛物线与x 轴及直线1=x 所围图形的面积为3 1.试确定 c b a ,,，使此图形绕x 轴旋转一周而成的旋转体的体积V 最小. 七、（15分）已知)(x u n 满足1()()1,2,n x n n u x u x x e n -'=+=L ，且n e u n =)1(，求 函数项级数∑∞ =1 )(n n x u 之和.
数模园地.趣味数学知识竞赛试题 （时间90分钟成绩100分） 一、填空题（本题共12小题，15个小空，每空1分，共计15分。） 1、早在2000多年前，我们的祖先就用磁石制作了指示方向 的仪器，这种仪器是（）. 2、最早使用小圆点作为小数点的是德国的数学家，叫 ()。 3、传说早在四千五百年前，我们的祖先就用（）来 计时。 4、（）是最早使用四舍五入法进行计算的国家。（哪个 国家） 5、中国南北朝时代南朝数学家、天文学家、物理学家() 把圆周率数值推算到了第（）位数。荷兰数学家() 把圆周率推算到了第35位。 6、有“力学之父”美称的（）流传于世的数学著 作有10余种，他曾说过：给我一个支点，我可以翘起地 球。这句话告诉我们：要有勇气去寻找这个支点，要用于寻 找真理。 7、阿拉伯数字1、2、3、4、5、6、7、8、9是（）发 明的。（哪个国家的人） 8、中国著名的数学家有（）、祖冲之、谷超豪、苏步 青、（）等。 9、我们使用的乘法口诀称（）。 10、亩是面积单位，1亩约等于（）平方米。 11、著名的“陈氏定理”是由我国著名的数学家（）创 立的，被人们亲切的称为“数学王子”。 12、常用的数学运算定律有：加法交换律、加法结合律、乘 法交换律、乘法结合律、乘法分配律、减法性质、（） 等等。 二、选择题（本题共有7个小题，每一道题只有一个正确选项，每题5分，共35分。） 元钱一瓶汽水，喝完后两个空瓶换一瓶汽水，问：你有20元钱，最多可以喝到()瓶汽水？ A.37 B.38 C.39 D.40
2.小于50000且含有奇数个数字"5"的五位数共有() 个个个个 3.分正方形的每边为4等分,取分点为顶点共可作三角形() 个个个个 4.小明连续打工24天赚了190元，（每天10元，周六半天发半天工资， 周日休息不发工资）已知他打工是从一月下旬的某一天开始的，一月一号恰好是周日，请问结束哪天是二月几号？（） A.二月十三号 B.二月十八号 C.二月十六号 D.二月二十四号 5.平面α上给定不共线的三点A,B,C,作直线lα，使A,B,C三点到直 线l的距离之比为1:1:2或1:2:1或2:1:1,则这样的直线l共有()条条条条 6．一条笔直的大街宽是40米，一条人行道穿过这条大街，并与大街成某一角度，人行道的宽度是15米，长度是50米，则人行道间的距离是（）． Ａ．9米Ｂ．10米Ｃ．12米Ｄ．15米 7、一条铁路原有ｍ个车站，为适应客运需要新增加ｎ个车站（ｎ＞1），则客运车票增加了58种（注：从甲站到乙站和从乙站到甲站需要两种不同的车票），那么原有车站的个数是（）． Ａ．12Ｂ．13Ｃ．14Ｄ．15 三、趣味猜测题（本题共15小题，共18小空，每空分，共计27分。） 1.小华的爸爸1分钟可以剪好5只自己的指甲。他在5分钟内可以剪好（）只自己的指甲？ 2、.6匹马拉着一架大车跑了6里，每匹马跑了（）里？6匹马一共跑了（）里？ 3、公园的路旁有一排树，每棵树之间相隔3米，请问第一棵树和第六棵树之间相隔（）米？ 4、把8按下面方法分成两半，每半各是多少？算术法平均分是（），从中间横着分是（），从中间竖着分是（）. 5、一个房子4个角，一个角有一只猫，每只猫前面有3只猫，请问房里共有（）只猫？ 6、如果有5只猫，同时吃5条鱼，需要5分钟时间才吃完。按同样的速度，100只猫同时吃掉100条鱼，需要（）分钟时间 7、一根绳子两个头，三根半绳子有（）个头？ 8、招收演员（打一数学名词）——（）
第二届全国大学生数学竞赛（辽宁赛区）通知 根据全国大学数学竞赛委员会工作安排，第二届大学生数学竞赛分区预赛在2010年10月30日（星期六）上午9：00—11：30举行，决赛于2011年3月份的第三周周六上午在北京航空航天大学举行。 现将xx赛区竞赛的具体事宜通知如下： 一、参赛对象： 大学本科二年级或二年级以上的在校大学生。竞赛分为非数学专业组和数学专业组(含数学与应用数学、信息与计算科学专业的学生)。数学专业学生不得参加非数学专业组的竞赛。 二、竞赛内容： 非数学专业组竞赛内容为本科高等数学内容（高等数学内容为理工科本科教学大纲规定的高等数学的教学内容）。 数学专业组竞赛内容含数学分析、高等代数和解析几何（均为数学专业本科教学大纲规定的教学内容），所占比重分别为50%、35%及15%左右。 三、报名与收费 1、各个学校务必将参赛人数和参赛学生名单9月20日前用电子邮箱发给所在考点的负责人，各个考点的负责人9月25日前将本赛区的参赛名单发给韩友发（参赛名单统一按Excel格式，见附件）； 2、报名费为每人60元，由各单位于10月20日前交齐。统一汇入如下帐号（收到款后开发票）： 单位:xx师范大学 开户行：中国建设银行大连市分行，沙河口支行(辽） 四、考点设置
根据辽宁省高校的分布情况，我们将在沈阳、大连、鞍山和锦州四个城市设立考点。每个考点要统一组织考试。其他城市的学校到就近的考点参加考试。 五、阅卷工作安排 考试结束后我们将统一阅卷。 1、阅卷时间：2010年11月6—7日。 2、阅卷地点：另行通知。 3、试卷统一印刷和分发。 4、推荐阅卷教师：每参赛５０人推荐1名阅卷教师（不足５０人按５０计算）；并注明阅卷科目，同一个学校阅卷教师要分布在不同科目（分析、代数、几何、高等数学）；阅卷教师推荐名单１０月２０日前用电子邮箱发给韩友发（名单统一按Excel格式，见附件）；由竞赛委员会确定阅卷教师。 六、评奖办法详见国家通知。 xx发联系方式 电话： 邮箱： （收到此通知后务请回复） xx数学会2010年８月23日 第二届全国大学生数学竞赛辽宁赛区竞赛委员会主任： xx（东北大学） 副主任： xx（大连理工大学）
中国大学生数学竞赛竞赛大纲 为了进一步推动高等学校数学课程的改革和建设，提高大学数学课程的教学水平，激励大学生学习数学的兴趣，发现和选拔数学创新人才，更好地实现“中国大学生数学竞赛”的目标，特制订本大纲。 一、竞赛的性质和参赛对象 “中国大学生数学竞赛”的目的是：激励大学生学习数学的兴趣，进一步推动高等学校数学课程的改革和建设，提高大学数学课程的教学水平，发现和选拔数学创新人才。 “中国大学生数学竞赛”的参赛对象为大学本科二年级及二年级以上的在校大学生。 二、竞赛的内容 “中国大学生数学竞赛”分为数学专业类竞赛题和非数学专业类竞赛题。 中国大学生数学竞赛（非数学专业类）竞赛内容为大学本科理工科专业高等数学课程的教学内容，具体内容如下： 一、函数、极限、连续 1．函数的概念及表示法、简单应用问题的函数关系的建立. 2．函数的性质：有界性、单调性、周期性和奇偶性. 3．复合函数、反函数、分段函数和隐函数、基本初等函数的性质及其图形、初等函数. 4．数列极限与函数极限的定义及其性质、函数的左极限与右极限. 5．无穷小和无穷大的概念及其关系、无穷小的性质及无穷小的比较. 6．极限的四则运算、极限存在的单调有界准则和夹逼准则、两个重要极限. 7．函数的连续性（含左连续与右连续）、函数间断点的类型. 8．连续函数的性质和初等函数的连续性. 9．闭区间上连续函数的性质(有界性、最大值和最小值定理、介值定理). 二、一元函数微分学 1. 导数和微分的概念、导数的几何意义和物理意义、函数的可导性与连续性之间的关系、平面曲线的切线和法线. 2. 基本初等函数的导数、导数和微分的四则运算、一阶微分形式的不变性. 3. 复合函数、反函数、隐函数以及参数方程所确定的函数的微分法. 4. 高阶导数的概念、分段函数的二阶导数、某些简单函数的n阶导数. 5. 微分中值定理，包括罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理和泰勒定理. 6. 洛必达(L’Hospital)法则与求未定式极限. 7. 函数的极值、函数单调性、函数图形的凹凸性、拐点及渐近线(水平、铅直和斜渐近线)、函数图形的描绘. 8. 函数最大值和最小值及其简单应用. 9. 弧微分、曲率、曲率半径. 三、一元函数积分学 1.原函数和不定积分的概念. 2.不定积分的基本性质、基本积分公式. 3.定积分的概念和基本性质、定积分中值定理、变上限定积分确定的函数及其导数、
(3) o \00/ 口口口 趣味数学竞赛题 时间：：90分钟 满分：100分 特别提醒：请同学们将答案写到答题卷上，只交答题卷。 、选择题（每题4分，共36分） 某同学利用计算机设计了一个计算程序， 当输入数据为10时，则输出的数据 是（ ） 输入 1 2 3 4 5 输出 1 2 3 4 5 2 5 10 17 26 妈妈给小明一个大盒子，里面装着6个纸盒子，每个纸盒子又装4个小盒子, 小明一共有（ ）个盒子。 A 、 30 B 、 31 C 、 26 D 、 27 如图（1） （2）为两架已达平衡的天平，如果要使图（3）中的天平保持平衡, 则在天平右侧应放（ ）个圆。 1、 2、 3、 10 c 10 B 、 97 99 一种叫水浮莲的水草生长很快, 刚好长满池塘面积的一半（ A 、6天 B 、5天 连续的自然数按规律排成下图: B 、 C 、 每天增加 ） ^0 101 1 倍, C 、8天 0 3 — 4 7 — 8 J T J T J 11 — 10 103 10天刚好长满池塘，到几天 1 — 2 5 — 6 9 根据规律，从2010到2012, 10 箭头方向为（ A 、2011—2012 B 、 2012 C 、 2010 2010—2011 2010— 2011 2011— 2012 4、 5、
6左边4个图形呈现一定的规律性。请在右边所给出的备选答案中选出一个最 合理 7、要求你从四个选项中选择你认为最适合取代问号的一个。 （ ） 9. 把14个棱长为1的正方体，在地面上堆叠成如图所 示的立体，然后将露出的表面部分染成红色?那么红 色部分的面积为 （ ）? （A ） 21 （ B ） 24 （C ） 33 （D ） 37 二、填空题（每空3分，共54分） 10、请你动脑筋想一想，在下面用火柴摆 成的自然数 “ 1995”中，任意移动一根火 柴而得到的所有四位数中：①最大的数 是 _________ ， ②最小的数是 C 11、有4个小孩看见一块石头正沿着山坡滚下来，便议论开了。 “我看这块石头有17公斤重，”第一个孩子说。 “我说它有26公斤，”第二个孩子不同意地说。 “我看它重21公斤”，第三个孩子说。 “你们都说得不对，我看它的正确重量是 20公斤，”第四个孩子争着说。 他们四人争得面红耳赤，谁也不服谁。最后他们把石头拿去称了一下，结果 谁也没猜准。其中一个人所猜的重量与石头的正确重量相差 2公斤，另有两个人 所猜的重量与石头的正确重量之差相同。当然，这里所指的差，不考虑正负号， 取绝对值。请问这块石头究竟有 公斤。 二 小 无 外 阳 春 白 雪 8、在右面的4个图形中，只有一个是由左边的纸板折叠而成。请你选出正确的 一个。（ ） A B C D
高数竞赛预赛试题（非数学类） （参加高等数学竞赛的同学最重要的是好好复习高等数学知识，适当看一些辅导书 及相关题目，主要是一些各大高校的试题。） 2009年 第一届全国大学生数学竞赛预赛试卷 一、填空题（每小题5分，共20分） 1．计算=--++??y x y x x y y x D d d 1) 1ln()(____________，其中区域D 由直线1=+y x 与两坐标轴所围成三角形区域. 解: 令v x u y x ==+,，则v u y v x -==,，v u v u y x d d d d 11 10 det d d =??? ? ? ?-=， v u u v u u u y x y x x y y x D D d d 1ln ln d d 1) 1ln()(????--= --++ ????----=---=10 2 1 00 0d 1)ln (1ln d )d ln 1d 1ln ( u u u u u u u u u u v v u u v u u u u u ? -=1 2 d 1u u u （*） 令u t -=1，则21t u -= dt 2d t u -=，42221t t u +-=，)1)(1()1(2t t t u u +-=-， ?+--=0 1 42d )21(2(*)t t t ? +-=10 42d )21(2t t t 1516513 2 21 053= ??????+-=t t t 2．设)(x f 是连续函数，且满足? -- =20 22d )(3)(x x f x x f , 则=)(x f ____________. 解: 令? = 20 d )(x x f A ，则23)(2--=A x x f ， A A x A x A 24)2(28d )23(20 2-=+-=--= ? , 解得34= A 。因此3 10 3)(2-=x x f 。 3．曲面22 22 -+=y x z 平行平面022=-+z y x 的切平面方程是__________.
浙江省首届高等数学竞赛试题（2002.12.7） 一． 计算题(每小题5分，共30分) 1 ．求极限lim x →。 2．求积分 |1|D xy dxdy -??，11{(,)2,2}22D x y x y =≤≤≤≤。 3．设2x y x e =是方程hx y ay by ce '''++=的一个解，求常数,,,a b c h 。 4．设()f x 连续，且当1x >-时，20()[()1]2(1)x x xe f x f t dt x +=+? ，求()f x 。 5．设21 1arctan 2n n k S k ==∑，求lim n n S →∞。 6．求积分1 2121(1)x x x e dx x ++ -?。 2003年浙江省大学生高等数学竞赛试题（2003.12.6） 一．计算题 7．求20 50sin()lim x x xt dt x →?。 8．设31()sin x G x t t dt =?，求21()G x dx ?。 9．求2401x dx x ∞+?。 10． 求∑=∞→++n k n k n k n 12lim 。 浙江省大学生第三届高等数学竞赛试题 1．计算：( )()2 00cos 2lim tan 1x t x x e tdt x x x →----?。 2．计算：20cos 2004 x dx x x π ππ+-+?。
3．求函数()22,415f x y x y y =++在 (){}22,41x y x y Ω=+≤上的最大、小值。 4．计算：()3max ,D xy x d σ?? ，其中(){},11,01D x y x y =-≤≤≤≤。 5. 设()1tan 1x f x arc x -=+，求)0()(n f 。 天津市竞赛题 1.证明??+≤?+020220 21cos 1sin dx x x dx x x ππ. 2. 设函数)(x f 在闭区间]2,2[-上具有二阶导数,,1)(≤x f 且 ,4)]0([)]0([22='+f f 证明：存在一点),2,2(-∈ξ使得0)()(=''+ξξf f . 3. （1）证明：当x 充分小时,不等式422tan 0x x x ≤-≤成立. （2）设,1tan 12 k n x n k n +=∑=求.lim n x x ∞ → 4. 计算??????+-??? ??+-∞→61231e 2lim n n n n n n 。5. 设()x x x f +-=11arctan ，求()()05f 。 6. 对k 的不同取值，分别讨论方程01323=+-kx x 在区间()+∞,0内根的个数。 7. 设a ，b 均为常数且2->a ，0≠a ，问a ，b 为何值时，有 ()()??-=?? ????-+++∞ +10212d 1ln d 122x x x a x x a bx x 。 8.设121-≥a ， ,,,n ,a a n n 321121=+=+，证明：n n a ∞ →lim 存在并求其值。 9.设()x f 是区间[]2+a,a 上的函数，且()1≤x f ，()1≤''x f ，证明：()2≤'x f ，[]2+∈a,a x 。 北京市竞赛试题(2008、2007、2006) .______,111,1.11 =-+++-→-m x x x m x m 则的等价无穷小是时设当 .________)1(,) ()2)(1()()2)(1()(.2='+++---=f n x x x n x x x x f 则设
第十九届北京市大学生数学竞赛本科甲、乙组试题解答 一、填空题（每小题3分，共30分） 1. ?? ????+-+-+∞→1)2(lim 61 23x e x x x x x = 1/6 . 2．设)(x f 连续，在1=x 处可导，且满足 ,0,)(8)sin 1(3)sin 1(→+=--+x x o x x f x f 则曲线)(x f y =在1=x 处的切线方程为 y =2x －2 . 3. 设243),(lim 2 20 =+-+→→y x y x y x f y x , 则 ='+')0,0()0,0(2y x f f －2 . 4．设函数()u ?可导且(0)1?=，二元函数()xy z x y e ?=+满足 0z z x y ??+=??，则()u ?=2 4u e - . 5. 设D 是由曲线x y sin = )22(π≤≤π- x 和直线2 π -=x , 1=y 所围成的区域, f 是连续函数, 则=++=??D dxdy y x f y x I )](1[223 －2 . 6. 123ln 1ln 1ln 1ln 1lim 123n n n n n n n n n n n n n n n →+∞??????????++++ ? ? ? ? ????????? ?++++= ?++++ ??? L 2ln 21- . 7. 数项级数 ∑∞ =--1 )! 2()! 2()1(n n n n n n 的和=S －1+cos1+ln2. 8. 计算积分???++π= 1 021 01 0)](6[cos dz z y x dy dx I = 1/2 . 9. 已知入射光线的路径为23 1 41-=-=-z y x , 则此光线经过平面01752=+++z y x 反射后的反射线 方程为 4 1537-= +=+z y x . 10. 设曲线2 2 2 :a y xy x C =++的长度为L , 则=++?C y x y x ds e e e b e a )sin()sin() sin()sin(L b a 2 + . 二、(10分) 设()f x 在[,)a +∞上二阶可导，且,0)(,0)(<'>a f a f 而当a x >时, ,0)(≤''x f 证明在(,)a +∞内，方程()0f x =有且仅有一个实根． 证明 由于当x a >时，,0)(≤''x f 因此'()f x 单调减，从而'()'()0f x f a ≤<，于是又有()f x 严格单调减．再由()0f a >知，()f x 最多只有一个实根． 下面证明()0f x =必有一实根．当x a >时，
第十九届北京市大学生数学竞赛本科丙组试题及解答 一、填空题（每小题3分，共30分） 1．?? ????+-+-+∞→1)2(lim 6 1 23x e x x x x x = 1/6 . 2．设)(x f 连续，在1=x 处可导，且满足 )0(,)(8)sin 1(3)sin 1(→+=--+x x o x x f x f 则曲线)(x f y =在1=x 处的切线方程为 y =2x －2 . 3．设)(x y y =是由0sin ) ln(2 =- ? +-y y x t dt e y 所确定的函数,则 ==0 y dx dy －1 . 4. 设243),(lim 2 20 0=+-+→→y x y x y x f y x , 则='+')0,0()0,0(2y x f f －2 . 5. 1sin 1cos x x e dx x +=+?tan 2 x x e C + . 6．设函数()u ?可导且(0)1?=，二元函数()xy z x y e ?=+满足 0z z x y ??+=??，则()u ?=24 u e - . 7. = += +≤+??D dxdy y x I y x y x D )32(,:22则设π4 5 . 8. 数项级数 ∑∞ =--1 )! 2()! 2()1(n n n n n n 的和=S －1+cos1+ln2. 9. 123ln 1ln 1ln 1ln 1lim 123n n n n n n n n n n n n n n n →+∞?? ????????++++ ? ? ? ? ? ???????? ? ++++= ?++++ ??? 2ln21- . 10.= ='==+'+''? ∞+0 )(1)0(,0)0(044)(dx x y y y y y y x y 则，，且满足方程函数设4 1 .
趣味数学竞赛（三） 姓名：▁▁▁▁ 学院：▁▁▁▁ 教室：▁▁▁▁ 座位号：▁▁▁▁ （友情提示：试卷满分为100分。难度中上，题目灵活，最终分数不是目的，关键是锻炼自己的思维能力。希望小萌新们能够积极答卷，大显身手。） 一、 填空题（4*5=20分） 1. 已知 2.732e ≈，试比较e π与e π大小 2. 小胡和小涂计算甲、乙两个两位数的乘积，小胡看错了甲数的个位数字，计算结果为1274；小涂看错了甲数的十位数字，计算结果为819。甲数是________ 3. 若函数=++2log (22)a y x ax 没有最小值，则a 的所有值集合是 4. 现有32枚棋子，若将其排成8组，每组5枚，该怎样排？ 5. 设2 sin 1x y x = +，则(5) (0)y （注(5)y 表示y 的5阶导数） 二、趣味题（10+15+15+20=60分） 1. 从0，1，2……9这十个数中不放回随机取4个数能排成4位偶数的概率P1与从中不放回随机取5个数能排成一个5位偶数的概率P2哪个大？
2.某人带狼、羊以及蔬菜渡河，一小船除需人划外，每次只能载一物过河。而人不在场时，狼要吃羊，羊要吃菜，问此人应如何过河？ 3.假定某轮船公司较长时间以来，每天中午有一只轮船从哈佛开往纽约，并且在每天的同一时间也有一只轮船从纽约开往哈佛。轮船在途中所花的时间，来去都是七昼夜。问今天中午从哈佛开出的轮船，在整个航运途中，将会遇到几只同一公司的轮船从纽约开来的？
4.有 12 只球，编号 1—12 ，它们外形相同，其中有 11 只重量相等，另外1 只重量略有不同 ( 称作坏球 ) ，但不知这只球是偏轻还是偏重。要求用一架天平称量 3 次，找出这只坏球，并判定它是偏轻还是偏重。假定你第一次选 1，3，5，7号放在左盘， 2，4，6，8号放在右盘，称量结果是左边比右边重。第二次你又选择 3 ， 6 ， 8 号放在左盘， 1 ， 2 ， 10 号放在右盘，仍然是左边比右边重。这时能否断定哪个是坏球？或者你可以作出某种结论？
趣味数学竞赛题 ： :90 分 分： 100 分 特 提醒： 同学 将答案写到答 卷上，只交答 卷。 一、 （每 4 分，共 36 分） 1、某同学利用 算机 了一个 算程序， 当 入数据 10 ， 出的数据 是（ ） 入 ??1 2 3 4 5 ?? 出 ?? 1 2 3 4 5 ?? 2 5 10 17 26 A 、 10 B 、 10 C 、 10 D 、 10 97 99 101 103 2、一种叫水浮 的水草生 很快，每天增加 1 倍， 10 天 好 池塘，到几天 好 池塘面 的一半（ ） A 、6 天 B 、5 天 C 、 8 天 D 、9 天 3、 的自然数按 律排成下 ： 3 → 4 7 → 8 11 →?? ↓ ↑ ↓ ↑ ↓ ↑ 1 → 2 5 → 6 9 → 10 根据 律，从 2010 到 2012，箭 方向 （ ） A 、2011→2012 B 、 2012 C 、2010 D 、2010→2011 ↑ ↑ ↓ ↓ 2010 2010→ 2011 2011→ 2012 2012 4、 小明一个大盒子， 里面装着 6 个 盒子，每个 盒子又装 4 个小盒子， 小明一共有（ ）个盒子。 A 、30 B 、 31 C 、 26 D 、27 5、如 （ 1）（ 2） 两架已达平衡的天平，如果要使 （ 3）中的天平保持平衡， 在天平右 放（ ）个 。 A 、2 B 、 3 C 、4 D 、 5
6、左边 4 个图形呈现一定的规律性。请在右边所给出的备选答案中选出一个最 合理的正确答案，作为左边的第 5 个图形。（） A B C D 7、要求你从四个选项中选择你认为最适合取代问号的一个。（） A B C D 8、在右面的 4 个图形中，只有一个是由左边的纸板折叠而成。请你选出正确的 一个。（） A B C D 9.把 14 个棱长为 1 的正方体，在地面上堆叠成如图所 示的立体，然后将露出的表面部分染成红色．那么红 色部分的面积为（）． （ A） 21（B）24（C）33（D）37 二、填空题（每空 3 分，共 54 分） 10、请你动脑筋想一想，在下面用火柴摆 成的自然数“1995”中，任意移动一根火 柴而得到的所有四位数中：①最大的数 是，②最小的数是。 11、有 4 个小孩看见一块石头正沿着山坡滚下来，便议论开了。 “我看这块石头有17 公斤重，”第一个孩子说。 “我说它有 26 公斤，”第二个孩子不同意地说。 “我看它重 21 公斤”，第三个孩子说。 “你们都说得不对，我看它的正确重量是20 公斤，”第四个孩子争着说。 他们四人争得面红耳赤，谁也不服谁。最后他们把石头拿去称了一下，结果谁也没猜准。其中一个人所猜的重量与石头的正确重量相差 2 公斤，另有两个人所猜的重量与石头的正确重量之差相同。当然，这里所指的差，不考虑正负号， 取绝对值。请问这块石头究竟有公斤。
第一届全国大学生数学竞赛预赛试卷（非数学类） 一、填空题（每小题5分，共20分） 1．计算____________，其中区域由直线与两坐标轴所 围成三角形区域. 解 令，则，， （*） 令，则，，，， 2．设 是连续函数，且满足, 则____________. 解 令，则， , 解得。因此。 3．曲面平行平面的切平面方程是__________. 解 因平面的法向量为，而曲面在处的法向量为，故与平行，因此，由 =--++??y x y x x y y x D d d 1) 1ln()(D 1=+y x v x u y x ==+ ,v u y v x -==,v u v u y x d d d d 1110det d d =??? ? ??-=v u u v u u u y x y x x y y x D D d d 1ln ln d d 1) 1ln()(????--= --++????----=---=10 2 1 00 0d 1)ln (1ln d )d ln 1d 1ln ( u u u u u u u u u u v v u u v u u u u u ? -=1 2 d 1u u u u t -=121t u -=dt 2d t u -=42221t t u +-=)1)(1()1(2t t t u u +-=-?+--=01 42d )21(2(*)t t t ? +-=10 4 2 d )21(2t t t 1516513 2 21 053=??????+-=t t t )(x f ?--=2 2 2d )(3)(x x f x x f =)(x f ? = 2 d )(x x f A 23)(2--=A x x f A A x A x A 24)2(28d )23(2 2-=+-=--=?3 4= A 3103)(2 - =x x f 22 22 -+=y x z 022=-+z y x 022=-+z y x )1,2,2(-22 22 -+=y x z ),(00y x )1),,(),,((0000-y x z y x z y x )1),,(),,((0000-y x z y x z y x )1,2,2(-
趣味数学知识竞赛复习题 一、填空题 1、（苏步青）是国际公认的几何学权威，我国微分几何派的创始人。 2、（华罗庚）是一个传奇式的人物，是一个自学成才的数学家。 3、编有《三角学》，被称为“李蕃三角”且自称为“三书子”的是（李锐夫）。 4、世界上攻克“哥德巴赫猜想”的第一个人是（陈景润）。 5、（姜立夫）是现代数学在中国最早而又最富成效的播种人”，这是《中国大百科全书》和《中国现代数学家传》对他的共同评价。 6. 设有n个实数,满足|xi|<1(I=1,2,3,…,n), |x1|+|x2|+…+|xn|=19+|x1+x2+…+xn| ,则n的最小值20 7. 三角形的一个顶点引出的角平分线,高线及中线恰将这个顶点的角四等分,则这个顶角的度数为___90° ___ 8. 某旅馆有2003个空房间,房间钥匙互不相同,来了2010们旅客,要分发钥匙,使得其中任何2003个人都能住进这2003个房间,而且每人一间(假定每间分出的钥匙数及每人分到的钥匙数都不限),最少得发出_16024______把钥匙. 9. 在凸1900边形内取103个点,以这2003个点为顶点,可将原凸1900边形分割成小三角形的个数为______2104 _____. 10. 若实数x满足x4+36<13x2,则f(x)=x3-3x的最大值为______18_____ 11 ."我买鸡蛋时，付给杂货店老板12美分，"一位厨师说道，"但是由于嫌它们太小，我又叫他无偿添加了2只鸡蛋给我。这样一来，每打(12只)鸡蛋的价钱就比当初的要价降低了1美分。" 厨师买了＿18只鸡蛋? 12.已知f(x)∈[0,1],则y=f(x)+1的取值范围为 ___[7/9,7/8]____ 13. 已知函数ｆ（ｘ）与ｇ（ｘ）的定义域均为非负实数集，对任意的ｘ≥0，规定ｆ（ｘ）＊ｇ（ｘ）＝ｍｉｎ｛ｆ（ｘ），ｇ（ｘ）｝．若ｆ（ｘ）＝3－ｘ，ｇ（ｘ）＝，则ｆ（ｘ）＊ｇ（ｘ）的最大值为____（2√3－1） _____ 14．已知a,b,cd∈N,且满足342(abcd+ab+ad+cd+1)=379(bcd+b+d),设M=a×103+b×102+c×10+d,则M的值为______ 1949 ___.