第4讲 数系的扩充与复数的引入
1．复数的有关概念 (1)复数的概念：
形如a ＋b i(a ，b ∈R )的数叫复数，其中a ，b 分别是它的实部和虚部．若b ＝0，则a ＋b i 为实数；若b ≠0，则a ＋b i 为虚数；若a ＝0且b ≠0，则a ＋b i 为纯虚数．
(2)复数相等：a ＋b i ＝c ＋d i ?a ＝c 且b ＝d (a ，b ，c ，d ∈R )．
(3)共轭复数：a ＋b i 与c ＋d i 共轭?a ＝c ，b ＝－d (a ，b ，c ，d ∈R )． (4)复数的模：
向量OZ →
的模r 叫做复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )的模，记作|z |或|a ＋b i|，即|z |＝|a ＋b i| 2．复数的几何意义 (1)复数z ＝a ＋b i ―→一一对应
复平面内的点Z (a ，b )(a ，b ∈R )．
(2)复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )―→一一对应 平面向量OZ →
． 3．复数的运算
(1)复数的加、减 、乘、除运算法则
设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i(a ，b ，c ，d ∈R )，则
①加法：z 1＋z 2＝(a ＋b i)＋(c ＋d i)＝(a ＋c )＋(b ＋d )i ； ②减法：z 1－z 2＝(a ＋b i)－(c ＋d i)＝(a －c )＋(b －d )i ； ③乘法：z 1·z 2＝(a ＋b i)·(c ＋d i)＝(ac －bd )＋(ad ＋bc )i ；
④除法：z 1z 2＝a ＋b i c ＋d i ＝（a ＋b i ）（c －d i ）（c ＋d i ）（c －d i ）＝ac ＋bd c 2＋d 2＋bc －ad
c 2＋
d 2
i(c ＋d i ≠0)．
(2)复数加法的运算定律
复数的加法满足交换律、结合律，即对任何z 1，z 2，z 3∈C ，有z 1＋z 2＝z 2＋z 1，(z 1＋z 2)＋z 3＝z 1＋(z 2＋z 3)．
[做一做]
1．(2014·高考课标全国卷Ⅰ)设z ＝1
1＋i
＋i ，则|z |＝( )
A.12
B.22
C.32
D ．2 解析：选B.∵z ＝11＋i
＋i ＝1－i 2＋i ＝12＋1
2i ，
∴|z |＝
????122＋????122
＝22
. 2．(2014·高考安徽卷)设i 是虚数单位，z －表示复数z 的共轭复数．若z ＝1＋i ，则z i
＋i ·z －
＝( )
A ．－2
B ．－2i
C ．2
D ．2i
解析：选C.∵z ＝1＋i ，∴z －＝1－i ，z i ＝1＋i i ＝－i 2
＋i i ＝1－i ，∴z i
＋i ·z －
＝1－i ＋i(1－
i)＝(1－i)(1＋i)＝2.故选C.
1．辨明三个易误点
(1)两个虚数不能比较大小．
(2)利用复数相等a ＋b i ＝c ＋d i 列方程时，注意a ，b ，c ，d ∈R 的前提条件．
(3)注意不能把实数集中的所有运算法则和运算性质照搬到复数集中来．例如，若z 1，z 2
∈C ，z 21＋z 22＝0，就不能推出z 1＝z 2＝0；z 2
<0在复数范围内有可能成立．
2．复数的运算技巧
(1)设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，利用复数相等和相关性质将复数问题实数化是解决复数问题的常用方法．
(2)在复数代数形式的四则运算中，加、减、乘运算按多项式运算法则进行，除法则需分母实数化．
3．复数代数运算中常用的几个结论
在进行复数的代数运算时，记住以下结论，可提高计算速度．
(1)(1±i)2＝±2i ；1＋i 1－i ＝i ；1－i
1＋i
＝－i ；
(2)－b ＋a i ＝i(a ＋b i)；
(3)i 4n ＝1，i 4n ＋1＝i ，i 4n ＋2＝－1，i 4n ＋3＝－i ，i 4n ＋i 4n ＋1＋i 4n ＋2＋i 4n ＋
3＝0，n ∈N *. [做一做]
3．(2014·高考课标全国卷Ⅰ)（1＋i ）3
（1－i ）2
＝( )
A ．1＋i
B ．1－i
C ．－1＋i
D ．－1－i
解析：选D.法一：（1＋i ）3
（1－i ）2＝（1＋i ）（1＋i ）2
－2i
＝（1＋i ）（1＋i 2＋2i ）－2i ＝－2＋2i －2i
＝1－i i ＝－1－i.故选D.
法二：（1＋i ）3（1－i ）2＝? ????1＋i 1－i 2
(1＋i)＝i 2(1＋i)＝－(1＋i)． 4．(2014·高考广东卷)已知复数z 满足(3＋4i)z ＝25，则z ＝( ) A ．－3＋4i B ．－3－4i C ．3＋4i D ．3－4i
解析：选D.法一：由(3＋4i)z ＝25，得z ＝25
3＋4i ＝25（3－4i ）（3＋4i ）（3－4i ）
＝3－4i.
法二：设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则(3＋4i)(a ＋b i)＝25，即3a －4b ＋(4a ＋3b )i ＝25，所以?????3a －4b ＝25，4a ＋3b ＝0，解得?????a ＝3，b ＝－4，故z ＝3－4i.
考点一__复数的有关概念______________________
(1)(2014·高考浙江卷)已知i 是虚数单位，a ，b ∈R ，则“a ＝b ＝1”是“(a ＋
b i)2
＝2i ”的( )
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件 (2)(2015·石家庄市第一次模拟)已知i 为虚数单位，a ∈R ，若(a －1)(a ＋1＋i)是纯虚数，则a 的值为( )
A ．－1或1
B ．1
C ．－1
D ．3
[解析] (1)当a ＝b ＝1时，(a ＋b i)2
＝(1＋i)2＝2i ；
当(a ＋b i)2
＝2i 时，得?????a 2－b 2＝0，ab ＝1，
解得a ＝b ＝1或a ＝b ＝－1，
所以“a ＝b ＝1”是“(a ＋b i)2＝2i ”的充分不必要条件． (2)∵(a －1)(a ＋1＋i)＝(a 2－1)＋(a －1)i 是纯虚数，
∴?
????a 2－1＝0a －1≠0，∴a ＝－1. [答案] (1)A (2)C
[规律方法] 解决复数概念问题的方法及注意事项
(1)复数的分类及对应点的位置问题都可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，只需把复数化为代数形式，列出实部和虚部满足的方程(不等式)组即可．
(2)解题时一定要先看复数是否为a ＋b i(a ，b ∈R )的形式，以确定实部和虚部．
1.若a
1－i
＝1－b i ，其中a ，b 都是实数，i 是虚数单位，则|a ＋b i|＝
__________．
解析：∵a ，b ∈R ，且a
1－i
＝1－b i ，
则a ＝(1－b i)(1－i)＝(1－b )－(1＋b )i ， ∴?
????a ＝1－b ，0＝1＋b ，∴?????a ＝2，b ＝－1. ∴|a ＋b i|＝|2－i|＝22＋（－1）2＝ 5. 答案： 5
考点二__复数的几何意义______________________
(1)(2014·高考课标全国卷Ⅱ)设复数z 1，z 2在复平面内的对应点关于虚轴对称，
z 1＝2＋i ，则z 1z 2＝( )
A ．－5
B ．5
C ．－4＋i
D ．－4－i
(2)(2013·高考湖北卷)在复平面内，复数z ＝2i
1＋i
(i 为虚数单位)的共轭复数对应的点位于
( )
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
[解析] (1)∵z 1＝2＋i 在复平面内的对应点的坐标为(2，1)，又z 1与z 2在复平面内的对应点关于虚轴对称，则z 2的对应点的坐标为(－2，1)，即z 2＝－2＋i ，∴z 1z 2＝(2＋i)(－2＋i)＝i 2－4＝－5.
(2)z ＝2i
1＋i ＝2i （1－i ）（1＋i ）（1－i ）
＝1＋i ，所以z －＝1－i ，故复数z 的共轭复数对应的点位
于第四象限．
[答案] (1)A (2)D
[规律方法] 复数几何意义及应用
(1)复数z 、复平面上的点Z 及向量OZ →相互联系，即z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )?Z (a ，b )?OZ →
. (2)由于复数、点、向量之间建立了一一对应的关系，因此可把复数、向量与解析几何联系在一起，解题时可运用数形结合的方法，使问题的解决更加直观．
2. 如图，平行四边形OABC 中，顶点O 、A 、C 分别表示0、3＋2i 、－2＋4i ，试求：
(1)AO →表示的复数，BC →
表示的复数；
(2)对角线CA →
所表示的复数．
解：(1)AO →＝－OA →
， ∴AO →
所表示的复数为－3－2i. ∵BC →＝AO →，∴BC →
所表示的复数为－3－2i. (2)CA →＝OA →－OC →， ∴CA →
所表示的复数为(3＋2i)－(－2＋4i)＝5－2i. 考点三__复数代数形式的运算(高频考点)________
复数代数形式的四则运算是每年高考的必考内容，题型为选择题或填空题，难度很小． 高考对复数代数形式的运算的考查主要有以下三个命题角度： (1)复数的乘法运算； (2)复数的除法运算； (3)利用复数相等求参数．
(1)已知a ＋2i
i
＝b ＋i(a ，b ∈R )，其中i 为虚数单位，则a ＋b ＝( )
A ．－1
B ．1
C ．2
D ．3
(2)(2014·高考天津卷)i 是虚数单位，复数7＋i
3＋4i
＝( )
A ．1－i
B ．－1＋i C.1725＋3125i D ．－177＋257
i (3)(2014·高考浙江卷)已知i 是虚数单位，计算1－i
（1＋i ）2
＝________．
(4)i 是虚数单位，? ?
?
?
?21－i 2 016＋? ????1＋i 1－i 6＝________． [解析] (1)由a ＋2i
i
＝b ＋i ，得a ＋2i ＝b i －1，所以a ＝－1，b ＝2，所以a ＋b ＝1.
(2)7＋i 3＋4i ＝（7＋i ）（3－4i ）（3＋4i ）（3－4i ）
＝25－25i 25＝1－i ，故选A.
(3)1－i （1＋i ）2＝1－i 1＋2i ＋i 2＝1－i 2i ＝－i （1－i ）－2i 2
＝－i －12 ＝－12－12
i.
(4)原式＝????
??? ?
???21－i 21 008＋? ????1＋i 1－i 6＝????2－2i 1 008＋i 6＝i 1 008＋i 6＝i 4×252＋i 4＋2＝1＋i 2＝0. [答案] (1)B (2)A (3)－12－1
2
i (4)0
[规律方法] 复数代数形式运算问题的解题策略 (1)复数的乘法．复数的乘法类似于多项式的乘法运算，可将含有虚数单位i 的看作一类同类项，不含i 的看作另一类同类项，分别合并即可．
(2)复数的除法．除法的关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，解题中要注意把i 的幂写成最简形式．
3.计算下列各式的值：
(1)????2i 1＋i 2；(2)2＋4i （1＋i ）2；(3)1＋i 1－i
＋i 3.
解：(1)????2i 1＋i 2＝4i
2
（1＋i ）2＝
－42i ＝2i.
(2)2＋4i （1＋i ）2＝2＋4i
2i ＝2－i. (3)1＋i 1－i ＋i 3＝（1＋i ）2（1－i ）（1＋i ）＋i 3＝2i 2＋i 3＝i －i ＝0.
交汇创新——与复数有关的新定义问题
(2015·南昌模拟)在实数集R 中，我们定义的大小关系“>”为全体实数排了一个“序”．类似地，我们在复数集C 上也可以定义一个称为“序”的关系，记为“>”．定义如下：对于任意两个复数z 1＝a 1＋b 1i ，z 2＝a 2＋b 2i(a 1，a 2，b 1，b 2∈R )，当且仅当“a 1>a 2”或“a 1＝a 2且b 1>b 2”时，z 1>z 2.
按上述定义的关系“>”，给出如下四个命题： ①若z 1>z 2，则|z 1|>|z 2|；
②若z 1>z 2，z 2>z 3，则z 1>z 3；
③若z 1>z 2，则对于任意z ∈C ，z 1＋z >z 2＋z ； ④对于复数z >0，若z 1>z 2，则zz 1>zz 2. 其中所有真命题的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4
[解析] 对于复数z 1＝2＋i ，z 2＝1－3i ，显然满足z 1>z 2，但|z 1|＝5，|z 2|＝10，不满足|z 1|>|z 2|，故①不正确；设z 1＝a 1＋b 1i ，z 2＝a 2＋b 2i ，z 3＝a 3＋b 3i ，(a 1，a 2，a 3，b 1，b 2，b 3∈R )，由z 1>z 2，z 2>z 3，可得“a 1>a 3”或“a 1＝a 3且b 1>b 3”，故②正确；设z 1＝a 1＋b 1i ，z 2＝a 2＋b 2i ，z ＝a ＋b i ，(a ，a 1，a 2，b ，b 1，b 2∈R )，由z 1>z 2，可得“a 1>a 2”或“a 1＝a 2且b 1>b 2”．显然有“a 1＋a >a 2＋a ”或“a 1＋a ＝a 2＋a 且b 1＋b >b 2＋b ”，从而z 1＋z >z 2＋z ，故③正确；对于复数z 1＝2＋i ，z 2＝1－3i 显然满足z 1>z 2，令z ＝1＋i ，则zz 1＝(1＋i)(2＋i)＝1＋3i ，zz 2＝(1＋i)(1－3i)＝4－2i ，显然不满足zz 1>zz 2，故④错误．综上②③正确，故选B.
[答案] B
[名师点评] 解决本题的关键有以下两点：
(1)根据所给的新定义把所给的复数大小比较问题转化为复数的实部、虚部之间的大小比较问题来处理．
(2)能善于利用举反例的方法解决问题．
定义一种运算如下：??????x 1x 2 y 1y 2＝x 1y 2－x 2y 1，则复数z ＝????
??3＋i 3－i －1 i (i 是虚数单位)的共轭复数是________．
解析：z ＝(3＋i)i －(3－i)(－1)
＝3i ＋i 2＋3－i ＝(3－1)i ＋3－1， ∴z －
＝(3－1)＋(1－3)i. 答案：(3－1)＋(1－3)i
1．(2015·山西省第三次四校联考)设复数z ＝1＋i(i 是虚数单位)，则2
z
＋z 2＝( )
A ．－1－i
B ．－1＋i
C ．1－i
D ．1＋i
解析：选D.2z ＋z 2＝2
1＋i ＋(1＋i)2＝2（1－i ）（1＋i ）（1－i ）
＋1＋2i ＋i 2＝1－i ＋2i ＝1＋i.
2．(2014·高考江西卷)若复数z 满足z (1＋i)＝2i(i 为虚数单位)，则|z |＝( ) A ．1 B ．2 C. 2 D. 3
解析：选C.∵z (1＋i)＝2i ，∴z ＝2i 1＋i ＝2i （1－i ）
2＝1＋i ，
∴|z |＝12＋12＝ 2.
3．(2015·洛阳市统考)已知复数a ＋3i
1－2i
纯虚数，则实数a ＝( )
A ．－2
B ．4
C ．－6
D ．6
解析：选D.a ＋3i 1－2i ＝a －6＋（2a ＋3）i 5，∴当a ＝6时，复数a ＋3i
1－2i
为纯虚数．
4．(2015·浙江宁波高三期中)已知复数z ＝1＋2i
1－i
，则1＋z ＋z 2＋…＋z 2 015为( )
A ．1＋i
B ．1－i
C ．i
D ．0
解析：选D.z ＝1＋2i 1－i ＝1＋2i （1＋i ）2＝i ，∴1＋z ＋z 2＋…＋z 2 015
＝1×（1－z 2 016）1－z
＝
1－i 2 0161－i ＝1－i 4×
504
1－i
＝0. 5．设z 1，z 2是复数，则下列命题中为假命题的是( )
A ．若|z 1－z 2|＝0，则z 1－＝z 2－
B ．若z 1＝z 2－，则z 1－
＝z 2
C ．若|z 1|＝|z 2|，则z 1·z 1－＝z 2·z 2－
D ．若|z 1|＝|z 2|，则z 21＝z 2
2
解析：选D.对于A ，|z 1－z 2|＝0?z 1＝z 2?z 1－＝z 2－
，是真命题；对于B ，C 易判断是真命
题；对于D ，若z 1＝2，z 2＝1＋3i ，则|z 1|＝|z 2|，但z 21＝4，z 2
2＝－2＋23i ，是假命题．
6．已知复数z ＝4＋2i
（1＋i ）2
(i 为虚数单位)在复平面内对应的点在直线x －2y ＋m ＝0上，
则m ＝________．
解析：z ＝4＋2i （1＋i ）
2＝4＋2i 2i ＝（4＋2i ）i
2i 2＝1－2i ，复数z 在复平面内对应的点的坐标为(1，－2)，将其代入x －2y ＋m ＝0，得m ＝－5.
答案：－5
7．已知复数z ＝1－i ，则z 2－2z
z －1
＝________．
解析：z 2－2z z －1＝（z －1）2－1z －1＝z －1－1z －1＝(－i)－1－i ＝－i －i －i ·i
＝－2i.
答案：－2i
8．(2015·河北教学质量检测)已知m ∈R ，复数
m ＋i 1＋i －1
2
的实部和虚部相等，则m ＝________．
解析：m ＋i 1＋i －12＝（m ＋i ）（1－i ）（1＋i ）（1－i ）－12
＝（m ＋1）＋（1－m ）i 2－12＝m ＋（1－m ）i
2，
由已知得m ＝1－m ，则m ＝1
2
.
答案：12
9．计算：(1)（1＋2i ）2＋3（1－i ）
2＋i
；
(2)1－i （1＋i ）2＋1＋i （1－i ）2
； (3)1－3i （3＋i ）2
. 解：(1)（1＋2i ）2＋3（1－i ）2＋i ＝－3＋4i ＋3－3i
2＋i
＝i
2＋i
＝i （2－i ）5＝15＋25i.
(2)1－i （1＋i ）2＋1＋i （1－i ）2＝1－i 2i ＋1＋i －2i ＝1＋i －2
＋－1＋i 2＝－1.
(3)1－3i （3＋i ）2＝（3＋i ）（－i ）（3＋i ）2 ＝－i 3＋i
＝（－i ）（3－i ）4
＝－14－3
4
i.
10．已知复数z 的共轭复数是z ，且满足z ·z ＋2i z ＝9＋2i. 求z .
解：设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则z －
＝a －b i.
∵z ·z －
＋2i z ＝9＋2i ，
∴(a ＋b i)(a －b i)＋2i(a ＋b i)＝9＋2i ， 即a 2＋b 2－2b ＋2a i ＝9＋2i ，
∴?
????a 2＋b 2－2b ＝9， ①2a ＝2. ② 由②得a ＝1，代入①，得b 2－2b －8＝0. 解得b ＝－2或b ＝4. ∴z ＝1－2i 或z ＝1＋4i.
领域年级标题具体内容 数与代数一年 级 上册 1.准备课（p2）数一数，比大小，摆一摆 3.1-5的认识和加 减法（p14） 1-5的认识；书写；比大小:>、<、=的认识； 第几（第一，第二。。。）；数字的拆分与合 并；加法：加法意义及“+”号认识理解； 减法及“-”号认识理解；0的书写及运算； 整理与复习 5.6-10的认识和 加减法（p39） 6和7；书写；比大小；数字的拆分与合并； 加法；减法；8和9；书写；比大小；数字 的拆分与合并；加法；减法；10：书写， 数字的拆分与合并，加法，减法；连加连 减；加减混合；整理与复习 6.11-20的认识和 加减法（p73） 11-20的认识及理解；顺序；比大小；加法 （加数，和）；减法（被减数，减数，差）； 排几； 7.认识钟表（p84） 时针，分针；钟表上的具体时间及钟表上 时针分针的位置，理解时钟所代表的含义 及正确运用。 8.20以内的进位 加法（p88） 9加几（数的拆分，凑十法）；8、7、6加 几（数的拆分，凑十法）；凑十法；5、4、 3、2加几；计算人数，物数：加法，减法； 整理与复习 一年 级 下册 2.20以内的退位 减法（p8） 十几减9运算及方法（摆一摆，运用十做 相关计算）；十几减8、7、6（摆一摆，运 用十做相关计算）；十几减5、4、3、2（摆 一摆，减法计算）；整理与分析； 4.100以内数的认 识（p33） 数数；数的组成：数一数理解百的含义（数 的分拆），百以内数的含义；数的读写；数 的顺序，比较大小；估计多与少；整十数 加一位数及相应的减法； 5．认识人民币 （p52） 认识人名币；认识元、角、分；它们的换 算；简单的计算；运用知识判断已有钱买 多少东西； 6.100以内的加法 和减法（一）（p61） 整十数加、减整十数；两位数加一位数、 整十数（拆分再加减）；两位数减一位数、 整十数（拆分再加减）；认识小括号及其运 算；连加连减及其（简便）运算；整理与 复习； 7．找规律（p85） 按照排列顺序找出简单的规律；平均增加 东西的规律；几个事物不同位置的排列规 律， 二年 2.100以内的加法 和减法（二）（p11） 加法：不进位加，竖式计算（数位对其）， 口算笔算；进位加，竖式计算（满十进一）； 减法：不退位减，竖式计算（数位对其）；
20XX年赤水市小学数学新课程标准培训讲座材料 小学数学新课标理念及内容解读 教师备课，要重教材，重课标；研读课标，要重内容，重理念。 一、新课标理念及内容变化 （一）未变的理念 1、全面育人、素质教育、三维目标的理念没有改变，提倡学生自主、合作、探究、质疑的学习方式没有改变，新课程改革的大方向没有改变。 2、强调让学生形成积极主动的学习态度，使获得基础知识和基本技能的过程同时成为学会学习和形成正确价值观的过程。 3、改变过去课程内容“繁、难、偏、旧”和过于注重书本知识的状况，加强课程内容与学生生活、现代社会、科技发展的联系，关注学生的学习兴趣和经验，精选终身学习必备的基础知识和技能。 （二）变化的理念 1、数学是研究数量关系和空间形式的科学。 （原：数学是人们对客观世界定性把握和定量刻画、逐渐抽象概括、形成方法和理论，并进行广泛应用的过程。） 2、人人都能获得良好的数学教育，不同的人在数学上得到不同的发展。 （原：人人学有价值的数学，人人获得必需的数学，不同的人在数学上得到不同的发展。） 3、提出“四基”。 基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验。（原：基础知识、基本技能） （1）“双基”为什么发展为“四基”？ 因为“双基”仅仅涉及三维目标中的一个目标——知识与技能。新增加的两基则涉及三维目标的另外两个目标——过程与方法、情感态度与价值观。 双基只是培养创新性人才的一个基础，获得数学思想和数学活动经验尤为重要。 （2）“四基”是一个有机整体。 四基是相互联系、相互交融，相互促进的一个有机整体。基础知识和基本技能是数学教学的主要载体；数学思想是数学教学的精髓，是课堂教学的主线；数学活动是不可缺的教学形式与过程。 4、10个核心概念。 数感、符号意识、空间观念、几何直观、数据分析观念、运算能力、推理能力、模型思想、应用意识、创新意识。（原：数感、符号感、空间观念、统计观念、应用意识、推理能力。）（1）符号意识：运用符号表示数、数量关系和变化规律。同一符号多重表示如y=ax。 （2）几何直观：几何直观是指利用图形描述和分析问题。借助几何直观可以把复杂的数学问题变得简明、形象，有助于探索解决问题的思路，预测结果。如中心对称图形（平行四边形）。 （3）数据分析观念 指对现实生活中的问题先做调查研究，收集数据，通过分析做出判断，体会数据中蕴涵
2017 年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学 本试卷 5页， 23小题，满分 150 分。考试用时 120 分钟。 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。用 2B 铅笔将 试卷类型 ( B)填涂在答题卡相应位置上。将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。 2．作答选择题时，选出每小题答案后，用 2B 铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试卷 上。 3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区 域内相应 位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改 液。不按以上要求作答无效。 4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共 12小题，每小题 5分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的。 已知集合A={x| x<1} ，B={ x| 3x 1}，则 如图，正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图 . 正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称 . 在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是 其中的真命题为 绝密★启用 前 1． A．AI B {x|x 0} B．AUB R C．AUB {x|x 1} D．AI B 2． 3． A． 1 4 B． 设有下面四个命题 p1 ：若复数z 满 足1 R ，则 C． 1 2 D． R；p2 ：若复数z 满足z2 R ，则z R ； p3：若复数z1, z2满足z1z2 R，则z1 p4 ：若复数z R ，则
数与代数一：基本概念 （一）整数 1、自然数 我们在数物体的时候，用来表示物体个数的1，2，3……叫做自然数。一个物体也没有，用0表示。0也是自然数。 2、整数的意义 自然数和0都是挣正整数。 3、计数单位 一（个）、十、百、千、万、十万、百万、千万、亿……都是计数单位。 每相邻两个计数单位之间的进率都是10。这样的计数法叫做十进制计数法。 4 、数位 计数单位按照一定的顺序排列起来，它们所占的位置叫做数位（如个位、十位、百位、千位、万位......） 5、数的整除 （1）整数a除以整数b(b ≠0），除得的商是整数而没有余数，我们就说a 能被b整除，或者说b能整除a 。 （2）如果数a能被数b（b ≠0）整除，a就叫做b的倍数，b就叫做a的约数（或a的因数）。倍数和约数是相互依存的。例如：因为35能被7整除，所以35是7的倍数，7是35的因数。 （3）一个数的因数的个数是有限的，其中最小的因数是1，最大的因数是它本身。例如：10的因数有1、2、5、10，其中最小的因数是1，最大的因数是10。 （4）一个数的倍数的个数是无限的，其中最小的倍数是它本身。3的倍数
有：3、6、9、12……其中最小的倍数是3 ，没有最大的倍数。 6、偶数： 能被2整除的数叫做偶数。 7、奇数： 不能被2整除的数叫做奇数。 注意：0也是偶数。自然数按能否被2 整除的特征可分为奇数和偶数。 8、能被某个数整除的数的特点 （1）个位上是0、2、4、6、8的数，都能被2整除，例如：202、480、304，都能被2整除。 （2）个位上是0或5的数，都能被5整除，例如：5、30、405都能被5整除。 （3）一个数的各位上的数的和能被3整除，这个数就能被3整除，例如：12、108、204都能被3整除。 （4）一个数各位数上的和能被9整除，这个数就能被9整除。 注意：能被3整除的数不一定能被9整除，但是能被9整除的数一定能被3整除。 （5）一个数的末两位数能被4（或25）整除，这个数就能被4（或25）整除。例如：16、404、1256都能被4整除，50、325、500、1675都能被25整除。 （6）一个数的末三位数能被8（或125）整除，这个数就能被8（或125）整除。例如：1168、4600、5000、12344都能被8整除，1125、13375、5000都能被125整除。 （7）一个数的奇数位上数字的和与偶数位上数字的和的差是11的倍数，这个数就能被11整除。 9、质数
[转]2011年版小学数学课程标准解读（张丹教授发言原稿）2012-02-20 15:09:07来源: 作者: 【大中小】浏览:14次评论:0条 张丹教授 2011年12月28日教育部正式发布义务教育语文等学科课程标准（2011 年版），并于2012年秋季开始执行。数学课程标准（2011年版）发布后全国的数学教师掀起一股学课标、研课标、论课标的热潮，在学习中老师们还存在不少困惑，亟需课程标准修订组的专家为我们答疑解惑。 为此，特邀请张丹教授为大家答疑解惑。下面我简要介绍一下张丹教授。 张丹，教师教育数理学院学术委员会主任，北京教育学院数学系教授，教师教育数理学院院长。她是国家义务教育数学课程标准和高中数学课程标准的核心组成员，也是课程标准修订核心组成员，是新世纪小学数学教材副主编。自己独立编著或与他人合作著有《小学数学教学策略》、《新课程数学教学研究与资源丛书“统计与概率”》、《数学课程设计》、《新课程理念与初中数学课程改革》等七部，及各种论文三十余篇。 今天活动安排，一是张丹教授诠释课程标准（2011年）的变化及修改意图；二是张丹教授解答老师们在学习课程标准中存在的困惑。下面，我们欢迎张丹教授为我们高屋建瓴。 各位老师： 晚上好。非常荣幸能和老师们共同就新课程标准进行讨论，也是自己的一些学习体会，不一定正确，供大家参考。 课程标准从基本理念、课程目标、核心概念、课程内容、实施建议等方面进行了修订。今天主要介绍课程目标、核心概念和课程内容的变化。
首先看课程目标。《标准》与《实验稿》一样，明确了学生在义务教育阶段的发展应该是多方面的。 进一步，《标准》在《实验稿》基础上，明确提出了获得必需的基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验；在分析和解决问题的基础上，明确提出了增强发现和提出问题、分析和解决问题的能力，这些无疑是巨大进步。 同时，《标准》还对一些目标进行了完善，比如对于学习习惯，明确提出了应该培养的学习习惯是：认真勤奋、独立思考、合作交流、反思质疑。 将双基拓展为四基，首先体现了对于数学课程价值的全面认识，学生通过数学学习不仅仅获得必需的知识和技能，还要在学习过程中积累经验、获得数学发展和处理问题的思想。同时，新增加的双基，特别是基本活动经验更加强调学生的主体体验，体现了以学生为本的基本理念。 提出基本思想、基本活动经验的最重要的原因，是要切实发展学生的实践能力和创新精神，特别是创新精神。实际上，一个人要具有创新精神，可能需要三个基本要素：创新意识、创新能力和创新机遇。其中，创新意识和创新能力的形成，不仅仅需要必要的知识和技能的积累，更需要思想方法、活动经验的积累。也就是说，要创新，需要具备知识技能、需要掌握思想方法、需要积累有关经验，几方面缺一不可。 正如史宁中教授所说：“创新能力依赖于三方面：知识的掌握、思维的训练、经验的积累，三方面同等重要。” 对于数学活动经验的内涵，目前学者们的观点并不统一。这里介绍几个。 张奠宙指出：“数学经验，依赖所从事的数学活动具有不同的形式。大体上可以有以下不同的类型：直接数学活动经验（直接联系日常生活经验的数学活动所获得的经验）、间接数学活动经验（创设实际情景构建数学模型所获得
2018年普通高等学校招生全国统一考试 数学（理）（全国II 卷） 一．选择题（共12小题，每小题5分，共60分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项） 1．1212i i +=-（）（A ）4355i --（B ）4355i -+（C ）3455i --（D ）3455 i -+ 2．已知集合(){}22,|3,,A x y x y x Z y Z =+≤∈∈，则A 中元素的个数为（） （A ）9 （B ）8 （C ）5（D ）4 3．函数()2x x e e f x x --=的图像大致为（） 4．已知向量,a b 满足||1a =，1a b ?=-，则() 2a a b ?-=（） （A ）4（B ）3（C ）2（D ）0 5．双曲线()22 2210,0x y a b a b -=>>的离心率为3，则其渐近线方程为（） （A ）2y x =±（B ）3y x =±（C ）22y x =±（D ）32 y x =± 6．在ABC ?中，5cos 25 C =，1BC =，5AC =，则AB =（） （A ）42（B ）30（C ）29（ D ）25 7．为计算11111123499100 S =-+-++-，设计了下面的程序框图，则在空白框中应填入（） （A ）1i i =+ （B ）2i i =+ （C ）3i i =+ （D ）4i i =+ 8．我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果。哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如30723=+。在不超过 30的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于30的概率是（）（A ）112（B ）114 （C ）115（D ）118
《2011人教版小学数学新课标解读》培训学习心得体会 8月28日，我参加了三亚市教研室举办的“2011人教版小学数学新课标解读”专题培训。从市教研员陈老师透彻的分析中，我更加了解到《数学2011版课程标准》在课程目标和内容、教学观念和学习方式、评价目的和方法上的变革。使我对新课标的要求有了新的认识和体会。其中感触最深的是2011版小学数学新课标的突出特点就是将“双基”修改为“四基”，由原来过多地关注基础知识和技能的形成转变为在学习基础知识和技能的同时，更加关注学生的情感，态度、价值观，注重学生的全面发展。 再次研读《小学数学新课程标准》，感受到这次课改绝不仅仅是改变一下教材而已，而是学生学习方式的彻底改革，更是我们教师教学方法上的重大改革。作为教师的我们必须更新原有的教学观念，改变我们现有的课堂教学的模式，适应时代发展的要求： 一、要准确把握教师角色 教师不再是教科书的忠实执行者，而是能创造性使用教材，并善于激发学生学习积极性的组织者；教师不再只是教书的匠人，而是拥有正确教育观念，善于使学生发现探索的引导者；教师不再是凌驾于学生之上的圣人，而是善于走进学生心灵世界真诚的合作者。 1、挖掘课程资源，为学生提供现实的、有意义的、富有挑战性的学习内容。 2、教师应调动学生学习积极性，为学生提供充分从事数学活动的机会，帮助他们在自主探究和合作交流的过程中真正理解和掌握基本的数学知识与技能、数学思想和方法，获得广泛的数学活动经验。 3、教师要热情地鼓励学生，帮助学生建立自信，成为学生真诚的合作者。 二、学生成为学习的主人 学生是学习的主人，不是被动装填知识的“容器”；学生是由活生生、有个性的个体组成，教师要尊重学生的差异；学生正在成长的过程中，可塑性极大，教师应注重开发学生的潜能，使学生真正成为学习的主人。
绝密★启用前 2017年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学 本试卷5页，23小题，满分150分。考试用时120分钟。 注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。 用2B 铅笔将试卷类型（B ）填涂在答题卡相应位置上。将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。 2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试卷上。 3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。 4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的。 1．已知集合{}|1{|31}x A x x B x =<=<，，则 A ．{|0}A B x x =U D ．A B =?I 2．如图，正方形ABCD 内的图形来自中国古代的太极图.正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称.在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是 A ． 1 4 B ． 8π C ．12 D ． 4 π 3．设有下面四个命题 1p ：若复数z 满足1 z ∈R ，则z ∈R ； 2p ：若复数z 满足2z ∈R ，则z ∈R ； 3p ：若复数12,z z 满足12z z ∈R ，则12z z =； 4p ：若复数z ∈R ，则z ∈R . 其中的真命题为 A ．13,p p B ．14,p p C ．23,p p D ．24,p p
人教版小学数学六年级数与代数知识梳理 知识点一：整数 1、整数的范围 整数包括自然数和负整数，或者说整数由正整数、零、负整数组成。 (1)自然数 自然数的意义：我们在数物体的时候，用来表示物体的个数0,1,2,3,4,5,…..叫做自然数。自然数的个数是无限的，没有最大的自然数。 自然数的基本单位：任何非“0”的自然数都是若干个“1”组成，所以“1”是自然数的基本单位。1也是最小的一位数。 “0”的含义：“0”表示一个物体也没有，在计数中起占位作用，表示该数位上没有计数单位。“0”还可以表示起点、分界点等。“0”是最小的自然数。 自然数的两种意义：如果一个自然数用来表示物体的个数就叫基数；如果一个自然数用来表示物体排列的次序就叫序数。 （2）正数 正数的定义以前学过的8、16、200……..这样的数叫做正数。 正数的写法和读法正数前面也可以加“＋”号，例如：＋8读作：正八。“＋”号一般可以省略不写。（2）负数 负数的定义像－1、－5、－132……这样的数叫做负数。“一”叫负号。 负数的写法和读法负数前面加“一”号，例如：－15读作：负十五。数字越大的负数反而越小。 “0”既不是正数，也不是负数。 （4）整数与自然数的联系及区别 自然数全是整数，整数不全是自然数，还包括负整数。 2、整数的读法和写法 数的分级按照我国的计数习惯，整数从个位起，每四个数位是一级。个位、十位、百位、千位是个级，表示多少个一；万位、十万位、百万位、千万位是万级，表示多少个万位；亿位、十亿位、百亿位、千亿位是亿级，表示多少个亿。 计数单位整数、小数都是按照十进制写出的数，其中一（个）、十、百…….是整数的计数单位。计数单位是按一定顺序排列的。 数位各个计数单位所占的位置叫数位。如9357中的“5”在右起第二位，即“5”所在的数位是十位。 位数指一个数是由几个数字组成，是含有数位个数，如1234占有四个数位，就是四位数。 十进制计数法十进制是指满十进一，十个一进为十，十个十进位百，十个百进为千……每相邻两个计数单位间的进率都是“十”，这样的计数法叫做十进制计数法。 （2）整数的读法和写法 整数的读法读整数时，从高位到低位，一级一级地读，读亿级、万级时，按照个级的读法去读，只要在后面加上“亿”字、“万”字就可以了，每一级末尾的“0”都不读出来，其他数位有一个“0”或连续几个“0”都只读一个零。
小学数学课程标准 第一部分前言 数学是研究数量关系和空间形式的科学。数学与人类发展和社会进步息息相关，随着现代信息技术的飞速发展，数学更加广泛应用于社会生产和日常生活的各个方面。数学作为对于客观现象抽象概括而逐渐形成的科学语言与工具，不仅是自然科学和技术科学的基础，而且在人文科学与社会科学中发挥着越来越大的作用。特别是20世纪中叶以来，数学与计算机技术的结合在许多方面直接为社会创造价值，推动着社会生产力的发展。 数学是人类文化的重要组成部分，数学素养是现代社会每一个公民应该具备的基本素养。作为促进学生全面发展教育的重要组成部分，数学教育既要使学生掌握现代生活和学习中所需要的数学知识与技能，更要发挥数学在培养人的理性思维和创新能力方面的不可替代的作用。 一、课程性质 义务教育阶段的数学课程是培养公民素质的基础课程，具有基础性、普及性和发展性。数学课程能使学生掌握必备的基础知识和基本技能；培养学生的抽象思维和推理能力；培养学生的创新意识和实践能力；促进学生在情感、态度与价值观等方面的发展。义务教育的数学课程能为学生未来生活、工作和学习奠定重要的基础。 二、课程基本理念 1．数学课程应致力于实现义务教育阶段的培养目标，要面向全体学生，适应学生个性发展的需要，使得：人人都能获得良好的数学教育，不同的人在数学上得到不同的发展。 2．课程内容要反映社会的需要、数学的特点，要符合学生的认知规律。它不仅包括数学的结果，也包括数学结果的形成过程和蕴涵的数学思想方法。课程内容的选择要贴近学生的实际，有利于学生体验与理解、思考与探索。课程内容的组织要重视过程，处理好过程与结果的关系；要重视直观，处理好直观与抽象的关系；要重视直接经验，处理好直接经验与间接经验的关系。课程内容的呈现应注意层次性和多样性。 3．教学活动是师生积极参与、交往互动、共同发展的过程。有效的教学活动是学生学与教师教的统一，学生是学习的主体，教师是学习的组织者、引导者与合作者。 数学教学活动应激发学生兴趣，调动学生积极性，引发学生的数学思考，鼓励学生的创造性思维；要注重培养学生良好的数学学习习惯，使学生掌握恰当的数学学习方法。 学生学习应当是一个生动活泼的、主动的和富有个性的过程。除接受学习外，动手实践、自主探索与合作交流同样是学习数学的重要方式。学生应当有足够的时间和空间经历观察、实验、猜测、计算、推理、验证等活动过程。 教师教学应该以学生的认知发展水平和已有的经验为基础，面向全体学生，注重启发式和因材施教。教师要发挥主导作用，处理好讲授与学生自主学习的关系，引导学生独立思考、主动探索、合作交流，使学生理解和掌握基本的数学知识与技能、数学思想和方法，获得基本的数学活动经验。 4．学习评价的主要目的是为了全面了解学生数学学习的过程和结果，激励学生学习和改进教师教学。应建立目标多元、方法多样的评价体系。评价既要关注学生学习的结果，也要重视学习的过程；既要关注学生数学学习的水平，也要重视学生在数学活动中所表现出来的情感与态度，帮助学生认识自我、建立信心。 5．信息技术的发展对数学教育的价值、目标、内容以及教学方式产生了很大的影响。数学课程的设计与实施应根据实际情况合理地运用现代信息技术，要注意信息技术与课程内容的整合，注重实效。要充分考虑信息技术对数学学习内容和方式的影响，开发并向学生提供丰富的学习资源，把现代信息技术作为学生学习数学和解决问题的有力工具，有效地改进教与学的方式，使学生乐意并有可能投入到现实的、探索性的数学活动中去。 三、课程设计思路 义务教育阶段数学课程的设计，充分考虑本阶段学生数学学习的特点，符合学生的认知规律和心理特征，有利于激发学生的学习兴趣，引发数学思考；充分考虑数学本身的特点，体现数学的实质；在呈现作为知识与技能的数学结果的同时，重视学生已有的经验，使学生体验从实际背景中抽象出数学问题、构建数学模型、寻求结果、解决问题的过程。 按以上思路具体设计如下。
小学数学数与代数练习题 （1）数的认识 填空： 1、根据国家统计局统计，2004年我国总人口为129988万人，读作（ ）万人，四舍五入到亿位约是（ ）亿。 2、京福高速公路三明段已顺利通车，累计投资二十九亿四千二百万元，这个数写作（ ），改写成以“亿元”作单位的数是（ ）亿元。 3、我国香港特别行政区的总面积是十一亿零三百万平方米，写作（ ）平方米，改写成用“万平方米”作单位是（ ）。 4、你知道全国小学生的人数吗？这个数是由1个亿、2个千万、8个百万和9个十万5个千组成的，这个数写作（ ），这个数四舍五入到万位约是（ ）万。 5、最小的自然数是（ ），最小的三位数是（ ），最大的两位数是（ ）。 6、 0，1，54，208，4500都是（ ）数，也都是（ ）数。 7、一天，沈阳市的最低气温是零下7摄氏度，记作（ ） °C ；上海市的最低气温是零下5摄氏度，记作（ ） °C 8、38 米表示把（ ）平均分成（ ）份，取其中的（ ）份，也可以表示把（ ）平均分成（ ）份，取其中的（ ）份。 9、在37 、38 和47 三个数中，最大的是（ ），最小的是（ ）。 10、分数的单位是18 的最大真分数是（ ），它至少再添上（ ）个这样的分数单位就成了假分数。 11、把0.65万改写成以“一”为单位的数，写作（ ）。 12、0.045里面有45个（ ）。 13、一个三位小数，保留两位小数取近似值后是5.60，这个三位小数最小是（ ），最大是（ ）。 14、明明在读一个小数时，把小数点丢了，结果读成二万零四百零八。原来的小数只读一个零，原来这个小数是（ ）。 15、3.85＝（ ）％＝（ ）÷（ ）＝（ ）（ ） ＝（ ）（ ）（ ） 16、在下面的□里中填上适当的数字，使第一个数最接近368万，第二个数最接近10亿。 368□700≈368万 9□2600000≈10亿 17、一个多位数，省略万位后面的的尾数约是6万，估计这个多位数在省略前最大可能是（ ），最小可能是（ ）。 18、一个合数的质因数是10以内所有的质数，这个合数是（ ）。 19、比较大小，在（ ）里填上“ ＞”“＜ “或“＝ ” 9200（ ）9189 420005（ ）420000 -2（ ）-6 0.32（ ）38 78％（ ）0.78 34 （ ）1216 20、一个数既是21的倍数，又是21的因数，这个数是（ ）。 21、在自然数中，最小的奇数是（ ），最小的质数是（ ）。
2020年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.若1 z i =+,则22 -= z z A.0 B.1 D.2 2.设集合{} 240 A x x =-≤，{} A B x x 21 =-≤≤，则 20 B x x a =+≤，且{} a= A.-4 B.-2 C.2 D.4 3. 埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥，以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为 A. 1 4
C. 1 4 4.已知A 为抛物线2:2(0)C y px p =>上一点，点A 到C 的焦点的距离为12，到y 轴的距离为9，则p = A ．2 B ．3 C ．6 D ．9 5.某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率y 和温度x （单位：C ο ）的关系，在20个不同的温度条件下进行种子发芽实验，由实验数据i i (,)x y (1,2,...,20)i =得到下面的散点图： 由此散点图，在10℃至40℃之间，下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率y 和温度x 的回归方程类型的是 A ．y a bx =+ B ．2y a bx =+ C ．x y a be =+
D ．ln y a b x =+ 6.函数43()2f x x x =-的图像在点(1,(1))f 处的切线方程为 A ．21y x =-- B ．21y x =-+ C ．23y x =- D ．21y x =+ 7.设函数()cos()6 f x x πω=+在[]-ππ，的图像大 致如下图，则()f x 的最小正周期为 A. 109 π B. 76π C. 43π D. 32 π 8. 2 5()()y x x y x ++的展开式中33x y 的系数为 A. 5 B. 10 C. 15 D. 20 9. 已知(0,)α∈π，且3cos28cos 5αα-=，则sin α= A. 5
人教版小学数学六年级数与代数知识梳理一 知识点一：整数 1、整数的范围 整数包括自然数和负整数，或者说整数由正整数、零、负整数组成。 (1)自然数 自然数的意义：我们在数物体的时候，用来表示物体的个数0,1,2,3,4,5,…..叫做自然数。自然数的个数是无限的，没有最大的自然数。 自然数的基本单位：任何非“0”的自然数都是若干个“1”组成，所以“1”是自然数的基本单位。1也是最小的一位数。 “0”的含义：“0”表示一个物体也没有，在计数中起占位作用，表示该数位上没有计数单位。“0”还可以表示起点、分界点等。“0”是最小的自然数。 自然数的两种意义：如果一个自然数用来表示物体的个数就叫基数；如果一个自然数用来表示物体排列的次序就叫序数。 （2）正数 正数的定义以前学过的8、16、200……..这样的数叫做正数。 正数的写法和读法正数前面也可以加“＋”号，例如：＋8读作：正八。“＋”号一般可以省略不写。 （2）负数 负数的定义像－1、－5、－132……这样的数叫做负数。“一”叫负号。 负数的写法和读法负数前面加“一”号，例如：－15读作：负十五。数字越大的负数反而越小。 “0”既不是正数，也不是负数。 （4）整数与自然数的联系及区别 自然数全是整数，整数不全是自然数，还包括负整数。 2、整数的读法和写法 数的分级按照我国的计数习惯，整数从个位起，每四个数位是一级。个位、十位、百位、千位是个级，表示多少个一；万位、十万位、百万位、千万位是万级，表示多少个万位；亿位、十亿位、百亿位、千亿位是亿级，表示多少个亿。 计数单位整数、小数都是按照十进制写出的数，其中一（个）、十、百…….是整数的计数单位。计数单位是按一定顺序排列的。 数位各个计数单位所占的位置叫数位。如9357中的“5”在右起第二位，即“5”所在的数位是十位。 位数指一个数是由几个数字组成，是含有数位个数，如1234占有四个数位，就是四位数。 十进制计数法十进制是指满十进一，十个一进为十，十个十进位百，十个百进为千……每相邻两个计数单位间的进率都是“十”，这样的计数法叫做十进制计数法。 （2）整数的读法和写法
2017年普通高等学校招生全国统一考试 课标II 理科数学 注意事项： 1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。 2.选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整，笔迹清楚 3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效 4.作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。 5.保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1. 31i i +=+（ ） A ．12i + B ．12i - C ．2i + D ．2i - 【答案】D 2.设集合{}1,2,4A =，{} 2 40x x x m B =-+=．若{}1A B =，则B =（ ） A ．{}1,3- B ．{}1,0 C ．{}1,3 D ．{}1,5 【答案】C 【解析】由{}1A B =得1B ∈，所以3m =，{}1,3B =，故选 C 。 3.我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯（ ） A ．1盏 B ．3盏 C ．5盏 D ．9盏 【答案】B 【解析】塔的顶层共有灯x 盏，则各层的灯数构成一个公比为2的等比数列，由()712381 12 x -=-可得3x =，故选B 。
小学数学新课标解读 《全日制义务教育数学课程标准（修定稿）》（以下简称《标准》）是针对我国义务教育阶段的数学教育制定的。根据《义务教育法》.《基础教育课程改革纲要（试行）》的要求，《标准》以全面推进素质教育，培养学生的创新精神和实践能力为宗旨，明确数学课程的性质和地位，阐述数学课程的基本理念和设计思路，提出数学课程目标与内容标准，并对课程实施（教学.评价.教材编写）提出建议。 《标准》提出的数学课程理念和目标对义务教育阶段的数学课程与教学具有指导作用，教学内容的选择和教学活动的组织应当遵循这些基本理念和目标。《标准》规定的课程目标和内容标准是义务教育阶段的每一个学生应当达到的基本要求。《标准》是教材编写.教学.评估.和考试命题的依据。在实施过程中，应当遵照《标准》的要求，充分考虑学生发展和在学习过程中表现出的个性差异，因材施教。为使教师更好地理解和把握有关的目标和内容，以利于教学活动的设计和组织，《标准》提供了一些有针对性的案例，供教师在实施过程中参考。 二、设计理念 数学是研究数量关系和空间形式的科学。数学与人类的活动息息相关，特别是随着计算机技术的飞速发展，数学更加广泛应用于社会生产和日常生活的各个方面。数学作为对客观现象抽象概括而逐渐形成的科学语言与工具，不仅是自然科学和技术科学的基础，而且在社会科学与人文科学中发挥着越来越大的作用。数学是人类文化的重要组成部分，数学素养是现代社会每一个公民所必备的基本素养。数学教育作
为促进学生全面发展教育的重要组成部分，一方面要使学生掌握现代生活和学习中所需要的数学知识与技能，一方面要充分发挥数学在培养人的科学推理和创新思维方面的功能。 义务教育阶段的数学课程具有公共基础的地位，要着眼于学生的整体素质的提高，促进学生全面.持续.和谐发展。课程设计要满足学生未来生活.工作和学习的需要，使学生掌握必需的数学基础知识和基本技能，发展学生抽象思维和推理能力，培养应用意识和创新意识，在情感.态度与价值观等方面都要得到发展；要符合数学科学本身的特点.体现数学科学的精神实质；要符合学生的认知规律和心理特征.有利于激发学生的学习兴趣；要在呈现作为知识与技能的数学结果的同时，重视学生已有的经验，让学生体验从实际背景中抽象出数学问题.构建数学模型.得到结果.解决问题的过程。为此，制定了《标准》的基本理念与设计思路。 基本理念 数学课程应致力于实现义务教育阶段的培养目标，体现基础性.普及性和发展性。义务教育阶段的数学课程要面向全体学生，适应学生个性发展的需要，使得：人人都能获得良好的数学教育，不同的人在数学上得到不同的发展。课程内容既要反映社会的需要.数学学科的特征，也要符合学生的认知规律。它不仅包括数学的结论，也应包括数学结论的形成过程和数学思想方法。课程内容要贴近学生的生活，有利于学生经验.思考与探索。内容的组织要处理好过程与结果的关系，直观与抽象的关系，生活化.情境化与知识系统性的关系。课程内容
小学数学数与代数教材分析 小学数学学科主要包括数与代数、空间与图形、统计与概率和实践与综合应用四个部分的内容，其中数与代数部分占据了近50%的比重。因此这部分知识的教学是小学数学教学的重心所在，教师教学成功与否，知识的巩固与落实直接关系着学生数学基本素养的生成。所以对本部分教材进行分析，对于我们更好的提高个人素质，把握教学要求有着重要的意义，现即从以下几个方面对本部分知识进行分析。 一、数与代数的教学内容 一年级1、生活中的数即学习认识10以内、100以内的数； 2、比较10以内、100以内数的大小； 3、10以内、20以内、100以内数的加减法； 4、认识钟表； 5、购物； 二年级1、数一数与乘法，体会乘法的意义； 2、乘法口诀的学习； 3、分一分与除法，体会除法的意义，除法与乘法的互逆关系； 4、时、分、秒； 5、乘加、乘减、除加、除减、加减混合以及两步有括号式题； 6、万以内数的认识学习以及万以内数的加减法； 三年级1、百以内一位数乘两位数和一位数除两位数的口算； 2、千克、克、吨的认识学习； 3、两位数乘一位数及连乘、三位数乘一位数、两位数乘两位数； 4、两、三位数除以一位数的除法和连除、乘除混合运算及估算意识的培养； 5、年、月、日的学习； 6、分数的初步认识； 四年级1、认识亿以内的数； 2、三位数乘两位数；
3、三位数除以整十数、三位数除以两位数这是小学阶段整数运算的最后一个学习内容； 4、负数的初步认识； 5、小数的认识及小数加减法、小数乘法、小数除法的学习； 6、认识方程； 五年级1、倍数与因数； 2、分数的再认识； 3、分数加减法、分数乘法、分数除法的学习； 4、分数混合运算； 5、百分数的学习； 六年级1、百分数的应用； 2、比的认识； 3、正、反比例的学习； 二、数与代数教学的具体目标 在这部分的叙述中将整个教材分为两部分，第一学段（1---3年级）和第二学段（4---6年级）。 （一）第一学段的具体目标 1：数的认识 （1）能认、读、写万以内的数，会用数字表示物体的个数或事物的顺序和位置。 （2）认识符号＜，＞，＝的含义，能够用符号和词语来描述玩以内数的大小。案例：对于50，98，38，10，51这些数，请用大一些、小一些、大得多、小得多等语言描述它们之间的大小关系；并用“＜”或“＞”表示它们的大小关系。 （3）能说出各数位的名称，识别各数位上数字的意义。 （4）结合现实素材感受大数的意义，并能进行估计。案例1：1200张纸大约有多厚？1200名学生大约能组成多少个班级？1200步大约有多长？案例2：估计一张报纸一个版面的字数。
小学数学数与代数部分知识点 数和数的运算 一概念 （一）整数 1 整数的意义 自然数和0都是整数。 2 自然数 我们在数物体的时候，用来表示物体个数的1，2，3……叫做自然数。 一个物体也没有，用0表示。0也是自然数。 3计数单位 一（个）、十、百、千、万、十万、百万、千万、亿……都是计数单位。 每相邻两个计数单位之间的进率都是10。这样的计数法叫做十进制计数法。 4 数位 计数单位按照一定的顺序排列起来，它们所占的位置叫做数位。 5数的整除 整数a除以整数b(b ≠ 0），除得的商是整数而没有余数，我们就说a能被b整除，或者说b能整除a 。 如果数a能被数b（b ≠ 0）整除，a就叫做b的倍数，b就叫做a的约数（或a的因数）。倍数和约数是相互依存的。 因为35能被7整除，所以35是7的倍数，7是35的约数。 一个数的约数的个数是有限的，其中最小的约数是1，最大的约数是它本身。例如：10的约数有1、2、5、10，其中最小的约数是1，最大的约数是10。 一个数的倍数的个数是无限的，其中最小的倍数是它本身。3的倍数有：3、6、9、12……其中最小的倍数是3 ，没有最大的倍数。 个位上是0、2、4、6、8的数，都能被2整除，例如：202、480、304，都能被2整除。。 个位上是0或5的数，都能被5整除，例如：5、30、405都能被5整除。。 一个数的各位上的数的和能被3整除，这个数就能被3整除，例如：12、108、204都能被3整除。 一个数各位数上的和能被9整除，这个数就能被9整除。 能被3整除的数不一定能被9整除，但是能被9整除的数一定能被3整除。 一个数的末两位数能被4（或25）整除，这个数就能被4（或25）整除。例如：16、404、1256都能被4 整除，50、325、500、1675都能被25整除。 一个数的末三位数能被8（或125）整除，这个数就能被8（或125）整除。例如：1168、4600、5000、12344都能被8整除，1125、13375、5000都能被125整除。 能被2整除的数叫做偶数。 不能被2整除的数叫做奇数。 0也是偶数。自然数按能否被2 整除的特征可分为奇数和偶数。 一个数，如果只有1和它本身两个约数，这样的数叫做质数（或素数），100以内的质数有：2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97。 一个数，如果除了1和它本身还有别的约数，这样的数叫做合数，例如 4、6、8、9、12都是合数。 1不是质数也不是合数，自然数除了1外，不是质数就是合数。如果把自然数按其约数的个数的不同分类，可分为质数、合数和1。 每个合数都可以写成几个质数相乘的形式。其中每个质数都是这个合数的因数，叫做这个合数的质因数，例如15=3×5，3和5 叫做15的质因数。
2017年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知集合A ={x |x <1}，B ={x |31x <}，则（ ） A ．{|0}A B x x =< B ．A B =R C ．{|1}A B x x => D ．A B =? 2．如图，正方形ABCD 内的图形来自中国古代的太极图．正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称．在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是（ ） A ． 14 B ． π8 C ． 12 D ． π4 3．设有下面四个命题 1p ：若复数z 满足1 z ∈R ，则z ∈R ； 2p ：若复数z 满足2z ∈R ，则z ∈R ； 3p ：若复数12,z z 满足12z z ∈R ，则12z z =； 4p ：若复数z ∈R ，则z ∈R ． 其中的真命题为（ ） A ．13,p p B ．14,p p C ．23,p p D ．24 ,p p 4．记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．若4524a a +=，648S =，则{}n a 的公差为（ ） A ．1 B ．2 C ．4 D ．8 5．函数()f x 在(,)-∞+∞递减，且为奇函数．若(11)f =-，则满足21()1x f --≤≤的x 的取值范围是（ ） A ．[2,2]- B ．[1,1]- C ．[0,4] D ．[1,3] 6．621 (1)(1)x x + +展开式中2x 的系数为（ ） A ．15 B ．20 C ．30 D ．35 7．某多面体的三视图如图所示，其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成， 正方形的边长为2，俯视图为等腰直角三角形．该多面体的各个面中有若干个是梯形， 这些梯形的面积之和为（ ）