2011年广东省教研室推荐高考必做38套（18）
数学理
本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分.共150.考试时间120分钟.考试结束，将本试卷和答题卡一并交回.
中国教考资源网第I 卷（选择题，共40分）
中国教考资源网注意事项：
中国教考资源网1．答第I 卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上.
中国教考资源网2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应的题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡
皮擦干净后，再选涂其它答案标号.不能答在试卷上.
中国教考资源网一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的.
中国教考资源网1. 已知集合A 、B 满足A B A =，那么下列各式中一定成立的是（ ）
A. A B
B. B A
C. A
B B = D. A B A =
2．设条件,0:;0:2
≥+>a a q a p 条件那么p 是q 的什么条件 （ ）
A ．充分非必要条件
B ．必要非充分条件
中国教考资源网C ．充分且必要条件 D ．非充分非必要条件
中国教考资源网3.若1
02
a b <<<
，则（ ） （A ）22ab
a
> （B ）22ab
b
> （C ）2log ()1ab >- （D ）2log ()2ab <-
4．已知双曲线)0,0(,12222>>=-b a b
y a x 的一条渐近线方程为x y 34
=，则双
曲线的离心率为（ ）
A ．
34 B ．35 C ．45 D ．2
3
5. 设向量a ，b 满足：||3=a ，||4=b ，0?=a b ．以a ，b ，-a b 的模为边
长构成三角形，则它的边与半径为1的圆的公共点个数最多为( ) A ．3 B.4 C ．5
D ．6
6．为确保信息安全，信息需加密传输，发送方由明文→密文(加密)，接收方由密文→明文(解密)，已知加密规则如图所示，例如，明文1,2,3,4对应密文
第7题图
5,7,18,16. 当接收方收到密文14,9, 23,28时，则解密得到的明文为（ ）
A ．4,6,1,7
B ．7,6,1,4
C ．6,4,1,7
D ．1,6,4,7
7.在棱长均为2的正四棱锥P ABCD -中，点E 为PC 的中点，则下列命题正确的是
（ ）.
（A ）BE ∥平面PAD ，且BE 到平面PAD 3 （B ）BE ∥平面PAD ，且BE 到平面PAD 的距离为6
3
（C ）BE 与平面PAD 不平行，且BE 与平面PAD 所成的角大于30? （D ）BE 与平面PAD 不平行，且BE 与平面PAD 所成的角小于30?
8．已知)(x f 是业义在R 上的不恒为零的函数，且对于任意实数网
R ∈b a ,满足：
)()2(,2)2(),()()(*∈==+=?N n n f a f a bf b af b a f n n ，)(2
)2(5*
∈=N n b n
n n 中国教考资源网
考察下列结论：网
①);1()0(f f =②数列{a n }为等比例数列；中国教考资源网
③数列{b n }为等差数列。
其中正确的结论是（ ）
A ．①②③
B ．①③
C ．①②
D ．②③
中国教考资源网第Ⅱ卷（共110分）
网
注意事项：
1．用钢笔或圆珠笔将答案直接写在试卷上。2．答卷前将密封线内的项目填写清楚。中国教考资源网
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。把答案填在题中横线上。
9．某校对全校男女学生共1600名进行健康调查，选用分层抽样法抽取一个容量为200的样本．已知女生比男生少抽了10人，则该校的女生人数应是 人．
10．已知等比数列{}n a 的前三项依次为1a -，1a +，4a +，则n a = ． 11．如果复数i a a a a z )23(22
2
+-+-+=为纯虚数，那么实数a 的值为 ．
12．已知5
2
35x x ?- ?的展开式中的常数项为T ，()f x 是以T 为周期的偶函数，且当[0,1]x ∈时，()f x x =，若在区间[1,3]-内，函数()()g x f x kx k =--有4个零点，
则实数k 的取值范围是 ．
E D
C
B A
P
13．（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，点()1,0到直线()cos sin 2ρθθ+=的距
离为 ．
14．（不等式选讲选做题）不等式142x x -<-+的解集
是 ． 15．（几何证明选讲选做题）如图2所示，AB 与CD 是圆O 的直径，
AB ⊥CD ，P 是AB 延长线上一点，连PC 交圆O 于点E ，连DE 交AB 于点F ，若42==BP AB ，则=PF ．
三、解答题：本大题共6小题，共80分。解答应写出文字说明，证明
过程或演算步骤。 16．（本小题满分12分）
中国教考资源网 如图，是函数),2
||,0,0()sin()(1R ∈<
>>++=B A B x A x f π
?ω?ω在同一个
周期内的图像。中国教考资源网
（I ）求函数)(1x f 的解析式；
（II ）将函数)2,4
(
)(1-==π
a x f y 的图像按向量平移，得到函数
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)()(),(212x f x f y x f y +==求的最大值，并求此时自变量x 的集合。
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17．（本小题满分14分）
中国教考资源网 如图，直三棱柱ABC —A 1B 1C 1的底面积是等腰
直角三角形，∠A 1B 1C 1=90°，A 1C 1=1，AA 1=2，N 、M 分别是线段B 1B 、AC 1的中点。中国教考资源网 （I ）证明：MN//平面ABC ；中国教考资源网 （II ）求A 1到平面AB 1C 1的距离
中国教考资源网 （III ）求二面角A 1—AB 1—C 1的大小。
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C 图2
18．（本小题满分12分）
某会议室用3盏灯照明，每盏灯各使用节能灯棍一只，且型号相同。假定每盏灯能
否正常照明只与灯棍的寿命有关，该型号的灯棍寿命为1年以上的概率为0.8，寿命为2年以上的概率为0.3，从使用之日起每满1年进行一次灯棍更换工作，只更换已坏的灯棍，平时不换。
（I ）在第一次灯棍更换工作中，求不需要更换灯棍的概率；
（II ）在第二次灯棍更换工作中，对其中的某一盏灯来说，求该灯需要更换灯棍的概率； （III ）设在第二次灯棍更换工作中，需要更换的灯棍数为ξ，求ξ的分布列和期望。 19．（本小题满分14分）
已知数列{}n a 的前n 项和为S n ，且满足)2(2,2
1
11
≥-==-n S S a a n n n ， （1）数列?
??
???n S 1是否为等差数列？请证明你的结论；
（2）求S n 和n a ；
20．（本小题满分14分）
已知直线1:++=k kx y l ，抛物线x y C 4:2
=， 定点M （1，1）。
（I ）当直线l 经过抛物线焦点F 时，求点M 关于直线l 的对称点N 的坐标，并判断点N 是
否在抛物线C 上； （II ）当)0(≠k k 变化且直线l 与抛物线C 有公共点时，设点P （a ，1）关于直线l 的对
称点为Q （x 0，y 0），求x 0关于k 的函数关系式)(0k f x =；若P 与M 重合时，求0x 的取值范围。
21．（本小题满分14分）
设M 是由满足下列条件的函数)(x f 构成的集合：“①方程0)(=-x x f 有实数根；
②函数)(x f 的导数)('x f 满足.1)('0< （I ）判断函数4 sin 2)(x x x f + = 是否是集合M 中的元素，并说明理由； （II ）集合M 中的元素)(x f 具有下面的性质：若)(x f 的定义域为D ，则对于任意[m ， n]D ?，都存在),(0n m x ∈，使得等式)(')()()(0x f m n m f n f -=-成立。试用这一性质证明：方程0)(=-x x f 只有一个实数根； （III ）设x 1是方程0)(=-x x f 的实数根，求证：对于)(x f 定义域中任意的x 2，x 3， 当1||,1||1312<-<-x x x x 且时，有.2|)()(|23<-x f x f 2011年广东省教研室推荐高考必做38套参考答案及 评分标准 一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分） 1—5 CADB C 6—8 C DA 1．C 【解析】A 是B 的子集； 2．A 【解析】,q p ?但是q 不能推出p 3．C 【解析】 2 log 2 log log 12 1 log log ,2 1 0121 log log ,21 02222222-<∴-<+∴-=<<<-=<< 3 5,,34222=∴+==a c b a c a b 5．解析 对于半径为1的圆有一个位置是正好是三角形的内切圆，此时只有三个交点, 对于圆的位置稍一右移或其他的变化,能实现4个交点的情况,但5个以上的交点不能 实现．答案 C 6．C ， 7．D 连接PD 中点与AB 中点，即可 8．A 二、填空题： 9．760 10．1 342n -?? ? ? ?? 11．-2 12．10,4 ?? ?? ? 13．2 2 14．53,22??- ??? 15．3 9．【解析】760,200 1600 10,1600,,=* =-=+y y x y x y x 则女生男生 10．【解析】，依据公式可得，，所以前三项为： 564,5),4)(1()1(2 =+-=+a a a a 11．解： ?????≠+-=-+0 230 222 a a a a 即 2-=a ， 12．。由数形结合可得结论按二项式公式展开,2=T 二、选做题（13—15题，考生只能从中选做两题） 13．【解析】由点到直线距离可得所以直线方程为,02,sin cos =-+? ? ?==y x y x θρθρ2 2 14．53,22?? - ??? ，分三个区间讨论可得 15．【解析】3 三、解答题：本大题共6小题共80-分。解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 16．（本小题共满分12分） 解：（I ）由图知：4)1(32=--=A ，得A=2； 由A+B=3，得B=1； 22,)12(1211===--= T T π ωπππ于是 设1)2sin(2)(1++=?x x f 将函数12sin 2)(+=x x f 的图象向左平移 12 π ，得 1)2sin(2)(1++=?x x f 的图象， 则,6 12 2π π ?= ? = 1)6 2sin(2)(1++ =∴π x x f ……………………8分 （II ）依题意：1)6 2cos(221]6 )4 (2sin[2)(2-+ -=-++ - =π π π x x x f )12 2sin(22)62cos(2)6 2sin(2π π π - =+ -+ =∴x x x y 当22,,24 7,22122=∈+=+=-mnx y Z k k x k x 时即π ππππ 此时x 的取值集合为},24 7|{Z k k x x ∈+=π π …………………………12分 17．（本小题满分14分） （I ）证明：取AC 中点F ，连结MF ，BF ， 在三角形AC 1C 中，MN//C 1C 且 C C BN C C BN C C MF 1112 1 //,21== 且， 分 平面平面平面为平行四边形四边形且6////// ABC MN ABC MN ABC BF MN BF MNBF BN MF BN MF ∴??∴∴=∴ （II ）设A 1到平面AB 1C 1的距离为h ，AA 1⊥平面A 1B 1C 1 分 10.3 62 ,21 21, 23 3121213 1 31111111111111111111111111111 1111 =?=∴==?==??=?=?=?∴=∴??????--A A S S h AA C A C B S AC C B S A A S h S V V C AB C B A C B A C AB C B A C AB C B A A C AB A （III ）三棱柱ABC —A 1B 1C 1是直三棱柱，平面ABB 1A 1⊥平面A 1B 1C 1，又点D 是等腰直角三 角形A 1B 1C 1斜边A 1B 1的中点。 则C 1D ⊥A 1B 1 所以，BA B A D C 111平面⊥； 平面A 1B 1BA 内，过D 作DE ⊥AB 1，垂足为E ，连结C 1E ，则C 1E ⊥AB 1； ED C 1∠∴是二面角，A 1—AB 1—C 1的平面角， 在Rt ,2arctan ,22 222tan ,11111=∠=== ∠?ED C D B DE D C E D C DEC 中 所以，二面角，A 1—AB 1—C 1的大小为.2arctan ………………14分 18．（本小题满分12分） 解：（I ）设在第一次更换灯棍工作中，不需要更换灯棍的概率为P 1，则1 52.08.03 1==P ………………………………4分 （II ）对该盏灯来说，在第1，2次都更换了灯棍的概率为2 )8.0,1(；在第一次未更换灯 棍而在第二次需要更换灯棍的概率为)3.01(8.0-，故所求概率为 ;6.0)3.01(8.0)8.01(2 =-+-=P ………………………………8分 （III ）ξ的可能取值为0，1，2，3； 某盏灯在第二次灯棍更换工作中需要更换灯棍的概率为.6.0=p , 216.04.06.0)1()3(, 432.04.06.0)1()2(, 288.04.06.0)1()1(, 064.04.0)1()0(033300331 223 1 22 3 213201330 33003=?=-===?=-===?=-====-==C p p C P C p p C P C p p C P C p p C P ξξξξ ξ∴的分布列为 此分布为二项分布ξ—N （3，0.6） .8.16.03=?==∴np E ξ …………………………12分 19．（本小题满分14分） 1,2)1(:--=≥n n n S S a n 时当解 112---=-∴n n n n S S S S （21分） 11)21(--=+∴n n n S S S 显见，若01≠-n S ，则0≠n S )(0,02 1 11*∈≠∴≠= =N n S a S n 由递推关系式知 （4分） )2(211,2111 1 ≥=--=- ∴ --n S S S S n n n n 即 （6分） 故数列??? ???n S 1为等差数列。 （7分） n n a n S S n 2221 2)1(11, )1()2(1 1=-+=?-+=知由 （10分） n S n 21 = ∴ （11分） ) 12(21 ,21-- =-=≥-n n S s a n n n n 时当 （12分） 2 1 21,11≠- ==a n 时当 （13分） ???????≥==∴2)(n 1) -2n(2n 1-1)(n ,2 1 n a （14分） 20．（本小题满分14分） （I ）由焦点F （1，0）在l 上，得2 1 21:,21+-=∴- =x y l k ……………………1分 设点N （m ，n ）则 有：???????=+++-=---1212211)2 1)(11 (n m m n ， …………………………3分 解得??????? -==53 51n m ， )53,51(-∴N ……………………5分 ,)5 3(542-≠ N 点不在抛物线C 上。 ………………………………7分 （2）把直线方程)0(11 ≠--= k k k y x 代入抛物线方程得：,04442=++-k y ky ?????? ?+++=+-=?--≠+-≤≤--≥+--=?∴122111 .025 1251, 0)1(16,00002k a x k y k a x y k k k k 由对称得且解得 相交 解得)0,25 1251(1 2)1(2220≠+-≤≤+-+--= k k k k k a x 且。………………12分 当P 与M 重合时，a=1 分 时当时单调递减且是偶函数函数且14)1,5 5 25[,1lim ,55 25)(,251.0,))((), 0,25 1251(1 43131)(00 0min 002220 +- ∈=+-=--=∴>∈=≠+-≤≤+-++-=+-==∴→x x x k k R k x f x k k k k k x k f k 21．（本小题满分14分） 解：（I ）因为1)('0]4 3 ,41[)(',cos 4121)('<<∈+= x f x f x x f 满足条件所以，又因为当x=0时，f （0）=0，所以方程f （x ）-x=0有实数根0。 所以函数4 sin 2)(x x x f + = 是的集合M 中的元素。………………………………3分 （II ）假设方程f （x ）-x=0存在两个实数根0 )(,0)(),(,=-=-≠ ββααβαβαf f 则不妨设βα<，根据题意存在数),(βα?c 使得等式)(')()()(c f f f αβαβ-=-成立。 因为,1)(',,)(,)(=≠ ==c f f f 所以且βαββαα 与已知1)('0< 分 （III ）不妨设),()(,)(,0)(',3232x f x f x f x f x x <><所以为增函数所以因为 又因为x x f ，x f -<-)(01)('所以函数为减函数， 所以,)()(3322x x f x x f ->- 所以|,||)()(|,)()(023232323x x x f x f x x x f x f -<--<-<即 所以|||)()(|2323x x x f x f -<- 2|||||)(|12131213<-+-≤---=x x x x x x x x …………………………14分 理科 知识版块题号分值 集合与逻辑1，2 10 函数与导数8，12，21 24 立体几何7，17 19 平面解析几何4，20 19 算法初步 6 5 概率与统计9，18 17 平面向量与三角5，16 17 数列10，19 19 不等式 3 5 推理与证明0 复数11 5 坐标系与参数方程13 10 几何证明选讲15 不等式选讲14 试卷与07，08年广东卷试题知识分值分布对照知识点 分值年向 量 函 数 三 角 函 数 数 列 解 析 几 何 立 体 几 何 概 率 统 计 排 列 组 合 复 数 不 等 式 研 究 性 题 选 做 题 07年文 11 39 8 19 19(不 包括 选做 题) 17 22 5 5 5 理 5 29 12 19 19(同 上) 14 22 5 5 10 10 08年文 5 27 18 19 19(同 上) 19 23 5 10 5 理 5 24 18 17 19(同 上) 19 28 5 5 10 参赛理 5 29 12 19 19 19 17 5 5 5 10
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