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一种卷积计算方法及卷积运算电路（原创版4篇）目录（篇1）I.卷积计算方法简介1.卷积计算方法的定义2.卷积计算方法的应用领域II.卷积计算方法的特点1.卷积计算方法的优点2.卷积计算方法的缺点III.卷积运算电路的实现方法1.卷积运算电路的基本原理2.卷积运算电路的设计要点IV.卷积运算电路的应用前景1.卷积运算电路的应用领域2.卷积运算电路的发展趋势正文（篇1）一、卷积计算方法简介卷积计算方法是数字信号处理中常用的一种方法，它主要用于信号的滤波、变换和识别等应用领域。
卷积计算方法的基本思想是将输入信号与一个滤波器进行卷积运算，从而得到输出信号。
二、卷积计算方法的特点1.优点：卷积计算方法具有较好的实时性和稳定性，可以有效地处理各种信号问题。
2.缺点：卷积计算方法对于滤波器的设计要求较高，设计不当可能会导致性能下降。
三、卷积运算电路的实现方法1.基本原理：卷积运算电路通过模拟或数字电路实现输入信号与滤波器进行卷积运算，从而得到输出信号。
2.设计要点：卷积运算电路的设计需要考虑滤波器的参数、电路的稳定性等因素。
四、卷积运算电路的应用前景1.应用领域：卷积运算电路可以应用于通信、图像处理、语音识别等领域。
目录（篇2）1.介绍2.卷积计算方法3.卷积运算电路4.结论正文（篇2）一、介绍卷积是一种重要的信号处理方法，广泛应用于图像处理、语音识别、神经网络等领域。
在本文中，我们将介绍一种卷积计算方法及其在卷积运算电路中的应用。
二、卷积计算方法卷积是一种线性信号处理方法，通过将一个信号与另一个信号进行相乘并积分，得到一个卷积结果。
卷积方法在图像处理中经常用于提取边缘、角点等特征，以及实现卷积神经网络中的特征提取。
三、卷积运算电路卷积运算电路是一种可以实现卷积计算的硬件电路，可以在数字信号处理、图像处理等领域得到广泛应用。
卷积运算电路主要由一个乘法器、一个加法器和一个积分器组成，可以实现快速、高效的卷积计算。
时间连续信号卷积运算的MATLAB 实现2020022班 20101213 陈彬彬一、实验目的1、理解掌握卷积的概念及物理意义。
2、理解单位冲击响应的概念及物理意义。
二、实验原理根据前述知识,连续信号的卷积运算定义为⎰∞∞--=*=τττd t f f t f t f t f )()()()()(2121 （9-1）卷积计算可以通过信号分段求和来实现，即∑⎰∞-∞=→∆∞∞-∆∙∆-∙∆=-=*=k k t f k f d t f f t f t f t f )()(lim )()()()()(212121τττ(9-2)如果只求当为整数）n n t (∆=时)(t f 的值)(∆n f ，则由上式可得∑∑∞-∞=∞-∞=∆-∙∆∙∆=∆-∆∙∆=∆k k k n f k f k n f k f n f ])[()()()()(2121 (9-3)式(9-3)中的∑∞-∞=∆-∙∆k k n f k f ])[()(21实际上就是连续信号)()(21t ft f 和经等时间间隔∆均匀抽样的离散序列)()(21∆∆k f k f 和的卷积和。
当∆足够小时，)(∆n f 就是卷积积分的结果——连续时间信号)(t f 的较好的数值近似。
三、实验内容与方法1、用MATLAB 实现连续信号f 1(t)和f 2(t)卷积的过程如下：将连续信号f 1(t)和f 2(t)以时间间隔Δ进行取样，得到离散序列 f 1(k Δ)、f 2(k Δ)；2、构造f 1(k Δ)、f 2(k Δ)与相对应的时间向量k1和k2； ①调用conv()函数计算卷积积分f (t)的近似向量f (n Δ)； ②构造f (n Δ)对应的时间向量k 。
下面是利用MATLAB 实现连续信号卷积运算的通用函数sconv()，该程序在计算出卷积积分的数值近似值的同时，还绘出f (t)的波形图。
需要注意的是，程序中是如何构造f(t)的对应时间向量k的？另外，程序在绘制f(t)波形图采用的是plot命令而不是stem命令。
卷积形状变化计算卷积的形状变化计算主要涉及到卷积的算法和步骤。
卷积运算是一种线性运算，广泛应用于图像处理、信号处理和机器学习中。
在图像处理中，卷积运算通常用于图像滤波、图像增强、特征提取等任务。
在进行卷积运算时，需要考虑输入图像的大小、卷积核的大小、步长（stride）和填充（padding）等因素。
卷积计算公式为：N = (W - F + 2P) / S + 1，其中N表示输出大小，W表示输入大小，F表示卷积核大小，P表示填充值的大小，S表示步长大小。
卷积运算的步骤如下：1. 对输入图像和卷积核进行离散化处理，变为离散信号。
2. 对卷积核进行翻转（即中心对称），然后将其在输入图像上滑动，每次滑动一个像素位置。
3. 将卷积核与输入图像对应位置的元素相乘，并将所有相乘结果相加，得到一个输出值。
4. 将卷积核在输入图像上滑动完所有位置后，得到输出图像。
在进行卷积运算时，输出图像的大小会受到卷积核大小、步长和填充等因素的影响。
具体地，输出图像的大小可以通过上述卷积计算公式得到。
如果希望输出图像与输入图像大小相同，可以通过设置适当的填充值来实现。
除了图像处理领域，卷积运算在机器学习中也有广泛应用，特别是在卷积神经网络（Convolutional Neural Networks，简称CNN）中。
在CNN中，卷积核也称为过滤器（filter），通过不断学习和训练，可以提取输入数据的特征，从而实现图像分类、目标检测等任务。
总之，卷积运算是一种重要的线性运算，广泛应用于图像处理、信号处理和机器学习中。
在进行卷积运算时，需要考虑输入数据的大小、卷积核的大小、步长和填充等因素，并通过卷积计算公式得到输出数据的大小。
因果卷积实现方式
因果卷积是一种非常重要的信号处理技术，它在数字信号处理、图像处理、音频处理等领域中得到广泛应用。
因果卷积实现方式是指如何将一个信号与另一个信号进行卷积运算，以达到相应的信号处理目的。
在因果卷积实现方式中，常用的方法有线性卷积和循环卷积。
线性卷积是指对两个信号进行完整的卷积计算，得到具有相同长度的输出信号。
循环卷积是指对两个信号进行周期性的卷积计算，得到长度为两个信号长度之和减去1的输出信号。
线性卷积可以通过FFT算法实现，这种方法的优点是计算速度快，但缺点是需要占用大量的内存空间。
循环卷积可以通过循环移位和加法运算实现，这种方法的优点是计算速度较快，且不需要占用大量的内存空间。
除了线性卷积和循环卷积之外，还有一种特殊的卷积运算，即因果卷积。
因果卷积是指只对输入信号的一部分与滤波器进行卷积计算，输出信号的长度小于等于输入信号的长度。
因果卷积可以通过逆滤波器法实现，这种方法的优点是计算速度快，且不需要占用大量的内存空间。
总之，因果卷积实现方式是数字信号处理中的重要内容，不同的卷积方法有各自的优缺点，需要根据具体的应用场景选择合适的方法。
- 1 -。
一、实验目的通过本次实验，加深对卷积算法的理解，掌握离散时间系统中的卷积运算方法，并学会使用MATLAB进行卷积运算的仿真。
二、实验原理卷积是一种线性时不变（LTI）系统的数学运算，用于描述系统输入信号与系统冲激响应的卷积结果。
在离散时间系统中，卷积运算可以表示为：\[ y[n] = \sum_{k=-\infty}^{\infty} x[k]h[n-k] \]其中，\( y[n] \) 是系统的输出信号，\( x[k] \) 是系统的输入信号，\( h[n] \) 是系统的冲激响应，\( n \) 是时间变量。
MATLAB提供了`conv`函数来进行卷积运算，其语法为：\[ y = conv(x, h) \]其中，\( x \) 和 \( h \) 分别是输入信号和冲激响应的向量。
三、实验内容1. 创建输入信号和冲激响应使用MATLAB创建一个简单的输入信号 \( x[n] \) 和一个冲激响应 \( h[n] \)。
```matlab% 创建输入信号 x[n] = cos(2pi0.5n)n = 0:100;x = cos(2pi0.5n);% 创建冲激响应 h[n] = u[n] - u[n-10]h = [ones(1,10), zeros(1,90)];```2. 进行卷积运算使用`conv`函数进行卷积运算，并绘制输入信号、冲激响应和输出信号的图形。
```matlab% 进行卷积运算y = conv(x, h);% 绘制图形figure;subplot(3,1,1);stem(n, x);title('输入信号 x[n]');subplot(3,1,2);stem(n, h);title('冲激响应 h[n]');subplot(3,1,3);stem(n, y);title('输出信号 y[n]');```3. 分析卷积结果分析卷积结果，观察输出信号的特性，并与理论预期进行对比。
第7章 卷积计算笔者在第一章和第二章介绍Fourier 变换的特性时，简单地介绍了连续和离散Fourier 变换的卷积特性和相关特性。
在本章和第九章中，笔者将进一步详细探讨连续和离散Fourier 变换在卷积计算和相关分析方面的应用。
1. 连续卷积笔者在第一章介绍Fourier 变换卷积特性的时候已经对卷积运算的定义进行了介绍，现在下面重新写出连续函数)(t f 和)(t g 的卷积的定义表达式：⎰∞∞-⋅-=*τττd g t f t g t f )()()()( (7-1)除了前面章节中介绍的Fourier 变换的卷积特性，公式(7-1)中定义的卷积运算具备如下基本性质。
1.1 交换性质函数)(t f 和)(t g 的卷积运算满足交换特性：f g g f *=*。
1.2 分配性质对函数)(1t f 、)(2t f 和)(t g 而言，有2121)(f g f g f f g *+*=+*。
利用卷积运算的分配性质，可以方便地实现复值函数的卷积计算。
1.3 结合性质计算三个函数)(1t f 、)(2t f 和)(3t f 之间的卷积，三者的卷积计算满足：321321)()(f f f f f f **=**。
卷积的结合性质说明了卷积运算的结果与卷积运算的顺序无关。
对一个非零的系数a ，卷积运算存在)()(g a f g f a g f a ⋅*=*⋅=*⋅形式的结合性质。
1.4 平移性质如果)()()(t g t f t y *=，则有)()()(2121t t t y t t g t t f --=-*-。
说明进行卷积运算的两个函数发生平移后，卷积运算的结果也会做相应的平移，平移量为两个函数平移量的代数和，并且能够保持卷积曲线的形状不变。
1.5 尺度性质如果)()()(t g t f t y *=，那么有：)(1)()(at y aat g at f =*，其中0≠a 。
这个性质最便捷的证明方法是利用Fourier 变换的尺度特性来证明。
常见的卷积公式一、卷积公式的基本概念与原理在数字信号处理中，卷积公式是一种常见且重要的数学工具，用于描述信号之间的运算关系。
它可以用于图像处理、音频处理、信号滤波等多个领域。
本文将介绍常见的卷积公式及其应用。
卷积的定义是一种数学运算符，表示两个函数之间的运算。
在离散领域中，常用的卷积公式可以表示为：\[y[n]=\sum_{m=-\infty}^{\infty} x[m]h[n-m]\]其中，\(x[n]\)是输入信号，\(h[n]\)是卷积核或滤波器，\(y[n]\)是输出信号。
该公式实质上是对输入信号和卷积核进行长度为无穷的求和运算，得到输出信号的每个采样值。
二、一维离散卷积常见的一维离散卷积公式可以简化为：\[y[n]=\sum_{m=-\infty}^{\infty} x[m]h[n-m]\]其中，\(x[n]\)和\(h[n]\)都是长度为N的一维离散信号。
对于每个输出采样点，需要将输入信号和卷积核进行相应位置的乘积运算，然后再将乘积结果相加得到输出值。
三、二维离散卷积对于二维离散信号，卷积公式可以表示为：\[y[m,n]=\sum_{k=-\infty}^{\infty}\sum_{l=-\infty}^{\infty} x[k,l]h[m-k,n-l]\]其中，\(x[k,l]\)和\(h[k,l]\)分别表示输入信号和卷积核的二维离散采样值。
在计算输出信号的每个采样点时，需要将输入信号和卷积核进行逐点乘积运算，再将所有乘积结果相加得到输出值。
四、卷积核的选择与应用在实际应用中，卷积核的选择对于信号处理结果具有重要影响。
不同的卷积核可以实现不同的信号处理效果，如平滑、锐化、边缘检测等。
常见的卷积核包括高斯核、均值核、边缘检测核等。
高斯核常用于图像平滑操作，能够减小图像中的噪声。
均值核可以实现简单的平均滤波，用于去除图像中的噪声。
边缘检测核常用于图像边缘提取，可以突出图像中的边缘部分。
卷积计算过程和步骤
卷积（Convolution）是一种在信号处理和图像处理中广泛应用的数学运算。
卷积计算过程主要包括以下步骤：
确定卷积核（kernel）：卷积核是一个函数或数组，表示卷积操作中要应用的滤波器。
在信号处理中，卷积核可以用来表示滤波器、小波变换等；在图像处理中，卷积核可以表示模糊、边缘检测、滤波等操作。
确定输入信号（或图像）：输入信号可以是数字信号、模拟信号或图像信号。
在卷积操作中，输入信号通常是二维数组或一维数组。
确定步长（stride）：步长是卷积操作中每次移动的距离。
步长可以是正数、负数或零，通常用来控制输出信号的尺寸和分辨率。
初始化输出信号：在卷积操作开始时，需要初始化一个与输入信号尺寸相同的输出信号数组。
输出信号的每个元素表示对应位置的卷积结果。
卷积计算：卷积计算是通过将卷积核在输入信号上滑动，逐点与输入信号相乘并求和来实现的。
在每一步中，将卷积核与输入信号在当前位置进行点积，并将结果累加到输出信号的对应位置。
更新输出信号：卷积计算完成后，输出信号将包含卷积的结果。
根据需求，可以使用步长对输出信号进行更新，以调整输出信号的尺寸和分辨率。
终止条件：卷积操作的终止条件通常包括输出信号的尺寸、卷积核的位置以及计算时间等。
当满足终止条件时，卷积操作将停止。
总之，卷积计算过程主要包括确定卷积核、输入信号、步长，初始化输出信号，进行卷积计算，更新输出信号以及终止条件等步骤。
通过卷积操作，可以实现信号和图像的滤波、边缘检测、去噪等多种处理功能。
卷积和列表法
卷积和列表法是两种在数学和信号处理中常见的方法。
1. 卷积：卷积是一种数学运算，用于描述两个函数之间的关系。
在信号处理中，它通常用于信号的滤波、降噪和特征提取等方面。
卷积的定义是将两个函数进行积分运算后再求和。
简单来说，它可以看作是一种加权平均的操作，其中一个函数被翻转后与另一个函数的乘积再求和。
卷积操作可以表示为：(f * g)(t) = ∫f(τ)g(t-τ)dτ。
其中f 和g 是两个函数，* 表示卷积运算。
2. 列表法：列表法是一种将数据以列表形式进行表示和处理的方法。
它通常用于存储和操作大量的数据。
列表是由一系列按顺序排列的元素组成的数据结构，可以包含不同类型的数据。
列表法的优势在于可以方便地进行元素的添加、删除和访问。
在计算机科学中，列表法经常用于实现数组、链表等数据结构，以及进行数据分析和算法设计等领域。
总结来说，卷积是一种数学运算，用于描述函数之间的关系，特别适用于信号处理领域。
列表法是一种数据表示和处理的方法，常用于存储和操作大量数据。
《数字信号处理》 课程设计报告
卷积运算及算法实现 专 业： 通信工程 班 级： 通信08-2BF 组 次： 第10组 * 名： * * 学 号： *********** 卷积运算及算法实现 一、 设计目的 卷积运算是一种有别于其他运算的新型运算，是信号处理中一种常用的工具。随着信号与系统理论的研究的深入及计算机技术发展，卷积运算被广泛地运用到现代地震勘测，超声诊断，光学诊断，光学成像，系统辨识及其他诸多新处理领域中。了解并灵活运卷积运算用去解决问题，提高理论知识水平和动手能力，才是学习卷积运算的真正目的。通过这次课程设计，一方面加强对《数字信号处理》这门课程的理解和应用，另一方面体会到学校开这些大学课程的意义。 二、设计任务 探寻一种运算量更少，算法步骤更简单的算法来实现卷积运算，文中主要通过阶梯函数卷积计算方法和斜体函数卷积计算方法对比来得出最终结论。 三、设计原理 1，什么是卷积？ 卷积是数字信号处理中经常用到的运算。其基本的表达式为：
nmmnxmhny0 换而言之，假设两个信号f1(t)和f2(t)，两者做卷积运算定义为
f(t)= ∫f1(τ)∞−∞f2(t−τ)dτ
做一变量代换不难得出： f(t)= ∫f1(τ)∞−∞f2(t−τ)dτ=f1(t)*f2(t)=f2(t)*f1(t) 在教材上，我们知道用图解法很容易理解卷积运算的过程，在此不在赘述。 2，什么是阶梯函数 所谓阶梯函数，即是可以用阶梯函数u(t) 和u(t-1)的线性组合来表示的函数，可以看做是一些矩形脉冲的集合，图1-1给除了两个阶梯函数的例子。 1—1 其中 f(t)=2u(t)+u(t-1)-2u（t-2）-u(t-3), h(t)= 2u(t)-u(t-1)+2u(t-2)-3u(t-3). 以图1—1中两个阶梯函数为例介绍本文提出的阶梯函数卷积算法。 根据卷积的性质（又称为杜阿美尔积分），上述f(t)与h(t)的卷积等于f(t)的导数与 h(t)的积分的卷积，即： f(t)*h(t)=df(t)dt*∫h(τ)dτ.t−∞ 由于f(t)为阶梯函数，因此其导数也为冲击函数δ(t)及其延时的线性组合， 如图1—2（a） 所示。 1—2 由于h(t)也为阶梯函数，所以其积分∫h(τ)dτ.t−∞也能方便地求得，其值为阶梯函数图像下方的面积，记作为H(t),如图1—2(b)所示： 冲击函数与其它函数的卷积有如下的关系：δ(t−T)*f(t)=f(t-T), 因此 f(t)*h(t)=2H(t)+2H(t-1)-H(t-2)-H(t-3). 即f(t)和(t)的卷积等于H(t)及其延时的线性组合，如图1-3所示：
1—3 从以上分析可以看到，两个阶梯函数的卷积等于其中一个函数的积分H(t)及其延迟H(t−τ)的线性组合，组合系数对应于各个冲击函数的系数。 对于任意函数的卷积，可以先将他们的用矩形脉冲函数来逼近只要时间间隔足够小就能达到足够的逼近精度。逼近所得到的函数即为阶梯函数，然后又采用上述方法即可得到任意两个函数的卷积。 假设要计算任意两个函数的卷积:y(t)=x(t)*h(t) 其中x(t),h(t)可谓无限长，分别如图1—4（a）,(b)所示。 现将x(t)和h(t)在0到t的区间用宽度为∆的矩形脉冲来近似的代替（显然∆越小，逼近的精度越高，每一个矩形脉冲的高度分别等于该脉冲前沿的函数 值。也就是说，用阶梯形曲线xn(t)近似地代替x(t)的曲线，用hn(t)近似的代替h(t)(如图1—4)。每一个矩形脉冲可用阶跃函数鄙视如下表2—1,2—2.
表达式又可以写成如下形式： x(t)=∑[x(m∆)−x((m−1)∆]u(t−m∆),∞m=0 1—2
h(t)=∑[h(n∆)−h((n−1)∆]u(t−n∆),∞n=0 1—3 对式（2）求微分有： x’(t)=∑[x(m∆)−x((m−1)∆]δ(t−m∆),∞m=0 1--4
设t=k∆,对(3)式求积分有：∫h(τ)dτ=∑h(n∆)∆k−1n=0t0 1—5 令H(t)=∫h(τ)dτ=H(kt0∆),则x′(t)和H(k∆)如图1—5(a),(b)所示：
1—5 x(t),h(t)的微积分 1—6 x(t),h(t)的卷积过程 由y(t)=x(t)*h(t)=x’*H(t)得到
Y(k∆)=∑[x(m∆)−x((m−1)∆]H(k∆−m∆)kn=0 1—6 由图1—6(a)可以看出如果计算从t=0至t=k∆的N点的x(t)和h(t)的卷积，需要H(t)和x’(t)对应的个点分别相乘，由于H(t)和x’(t)也为N点序列，所以共需要N2次乘法，属于有效乘法，因为按照卷积定义直接计算也是N2次乘法。 3，什么是斜梯函数？ 所谓斜梯函数，表现为一条折线的形式，用诸如at+b形式的段组合在一起表示的函数。图3—1给出了输入函数为斜梯函数的例子。
3—1 其中f(t)=t[u(t)-u(t-1)+u(t-1)+ (0.5t+0.5)[u(t-1)-u(t-2)]+(-1.5t+4.5)[u(t-2)-u(t-3),
h(t)=3t[u(t)-u(t-1)+(-t+4)[u(t-1)-u(t-2)]+(-2t+6)[u(t-2)-u(t-3)] 根据卷积的性质，上述f(t)和h(t)的卷积等于f(t)的二次导数与h(t)的二重积分的卷积【1】，即：
由于f(t)为斜梯函数，因此其导数变为阶梯函数u(t)及其延时的线性组合， df(t)dt=u(t)-0.5u(t-1)-2u(t-2),如图3—2(a)所示。
3—2 由于h(t)也为斜梯函数，所以其积分∫h(τ)dτ.t−∞也能方便的求得，其值为折现函数图象下方的面积，记作为h(-1)(t),如图3—2(b)所示。此时已经与阶梯函数卷积计算方法类似了，只是对于h(-1)(t)其为一二次曲线，继续求积分比较困难，实际应用中其可以用折现计算，从而引入一定的误差，这也是采用次逼近所付出的代价。 接下来对f(t)和h(-1)(t)再次进行微分与积分处理，则f’’(t)变为冲击脉冲序列，如图3—3(a)所示，h(-2)(t)用对应折线下的买年纪也可算得对应如图3—3(b)所示。
3—3斜梯函数的二次微积分 假设要计算任意函数的卷积：y(t)=x(t)*h(t) 其中x(t),h(t)可谓无限长，分别如图3—4（a）,(b)所示。 3—4 连续时间函数 对上述x(t)和h(t),用宽度为∆的梯形脉冲函数逼近，x(t)和h(t)就转化为斜梯函数，顾客用折现函数及其延时的线性组合表示，如图3—4(a),(b)中虚线所示。
x(t)=∑[x((m+1)∆−x(m∆)∆∞m=0t+c1][u(t-m∆)-u(t-(m+1) ∆)], 2—2
h(t)= ∑[h((n+1)∆−h(n∆)∆∞n=0t+c1][u(t-n∆)-u(t-(n+1) ∆)], 2—3 此处c1,c2为常数，由于球x(t)和h(t)的微积分时，与此常数无关，所以此处可不必求出。 对式子2—2，求微分有：
x’(t)= ∑[x((m+1)∆−x(m∆)∆∞m=0t+c1][u(t-m∆)-u(t-(m+1) ∆)], 2—4
设t=k∆,对2—3式求积分有： ∫h(τ)dτ=∑12[h(n∆)+h(n+1)∆.k−1n=0
t
0 2—5
则 x’(t)和h’(t)如图2—5(a),(b)所示:
3—5 斜梯函数的一次微分与积分 X’’(t)=∑[x((m+1)∆)+x(m−1)∆)−2x(m∆)∆∞
m=0]δ(t−m∆) 2—6
H(-2)(t)=∑14∞n=0∆2[2(n-1)h(0)+∑4(n−k)h(k∆)+h(n∆)]n−1k=1 2—7 式2—6,2—7如下图3—6所示。 3—6 斜梯函数的二次额积分 令H(k∆)=h(-2)(t),
2—7 x(t)和h(t)的卷机过程 由 y(t)=x(t)*h(t)=x’’(t)*H(t)得
Y(k∆)=∑[x((m+1)∆)+x((m−1)∆)−2x(m∆)]H(k∆−m∆)km=0. 2—8 由图2—7 可以清楚的看出如果计算从0到k∆的也为N点序列，所以共需要N2次乘法，属于有效算法。
四、设计过程
假设有有一DSP系统，如果激励信号的的波形如图4—1所示，定义的时间区间是(t0,,t)，τ表示从t0到t之前的任意时刻。对于任意输入信号的作用，可以看成是一系列具有相同宽度的矩形脉冲用近似表示e(τ).把时间区间(t0,,t)分成相等的几段，每段宽度为∆，即t1-t0=t2-t1=tk+1-tk=…=∆.因此e(τ)可以用图中的阶梯曲线来近似表示，即可以看成是一系列的矩形脉冲的合成。这一系列的矩形脉冲可以通过单位脉冲函数和延迟的单位脉冲函数，即P∆(τ)和P∆(τ−τk)来表示。因此可以用上述矩形脉冲表示e(τ),即 e(τ)=e(t0)P∆(τ- t0) ∆+e(t1)P∆(τ- t1) ∆+ e(t2)P∆(τ- t2) ∆+ …e(tk)P∆(τ- tk) ∆+…e(tn-1)P∆(τ- tn-1) ∆ =∑e(tk)P∆(τ− tk) ∆n−1k=0 2--9
输入信号P∆(τ)后，其响应为h∆(τ)对每一延迟的矩形脉冲P∆(τ−tk),在时刻t观察到的相应的响应应为h∆(t-tk), e(tk)P∆(τ- tk) ∆
的响应应该为e(tk)h∆(τ- tk) ∆,所以2—9式的输出信号应该为： r∆=∑e∆n−1k=0(t- tk) ∆ 为了保证e(τ)的阶梯矩形近似更接近真实e(τ)，令t0到t区间的脉冲数不断增加。当t→∞时，∆→0，每个单位矩形脉冲变成冲击函数，h∆变成了冲击函
数h，e∆变成了原来的激励e(τ)，响应r∆(t)则变成了对应原激励的响应r(t),
同时上式的求和也变成了积分，tk变成了连续变量τ，∆则变成了dτ,于是有 r(t)=∫e(tk)h(t−tt0τ)dτ
其中t0为任意激励施加的时刻，t为待求响应对应的时刻。特别的，当t0=0时，有
r(t)=∫e(tk)h(t−tt0τ)dτ 2—10
式子1—10所示的积分就是卷积的积分。因此，只要知道系统的冲击响应，对于任意的激励信号e(t)的作用，都可根据卷积的积分求出响应。 对于更为复杂的二阶系统，运用这种方法更能看出其优势，由于计算过程大致类似，我们应用MATLAB自带的命令计算结果绘制于4—2图中
