欧拉（Euler）线：
同一三角形的垂心、重心、外心三点共线，这条直线称为三角形的欧拉线；
且外心与重心的距离等于垂心与重心距离的一半。
九点圆：
任意三角形三边的中点，三高的垂足及三顶点与垂心间线段的中点，共九个点共圆，这个圆称为三角形的九点圆；
其圆心为三角形外心与垂心所连线段的中点，其半径等于三角形外接圆半径的一半。
费尔马点：
已知P为锐角△ABC内一点，当∠APB＝∠BPC＝∠CPA＝120°时，PA＋PB＋PC的值最小，这个点P称为△ABC的费尔马点。
海伦（Heron）公式：
塞瓦（Ceva）定理：
在△ABC中，过△ABC的顶点作相交于一点P的直线，分别
交边BC、CA、AB与点D、E、F，则(BD/DC)·(CE/EA)·(AF/FB)＝1；其逆亦真。
密格尔（Miquel）点：
若AE、AF、ED、FB四条直线相交于A、B、C、D、E、F六点，
构成四个三角形，它们是△ABF、△AED、△BCE、△DCF，
则这四个三角形的外接圆共点，这个点称为密格尔点。
葛尔刚（Gergonne）点:
△ABC的内切圆分别切边AB、BC、CA于点D、E、F，
则AE、BF、CD三线共点，这个点称为葛尔刚点。
西摩松（Simson）线：
已知P为△ABC外接圆周上任意一点，PD⊥BC，PE⊥ACPF⊥AB，D、E、F为垂足，
则D、E、F三点共线，这条直线叫做西摩松线。
黄金分割：
把一条线段(AB)分成两条线段，使其中较大的线段(AC)是原线段(AB) 与较小线段(BC)的比例中项，这样的分割称为黄金分割。
帕普斯（Pappus）定理：
已知点A1、A2、A3在直线l1上，已知点B1、B2、B3在直线l2上，且A1 B2与A2 B1交于点X，A1B3与A3 B1交于点Y，A2B3于A3 B2交于
点Z，则X、Y、Z三点共线。
笛沙格（Desargues）定理：
已知在△ABC与△A'B'C'中，AA'、BB'、CC'三线相交于点O，
BC与B'C'、CA与C'A'、AB与A'B'分别相交于点X、Y、Z，则X、Y、Z三点共线；其逆亦真
摩莱（Morley）三角形：
在已知△ABC三内角的三等分线中，分别与BC、CA、AB相邻的每两线相交于点D、E、F，则△DEF是正三角形，
这个正三角形称为摩莱三角形。
已知圆内接六边形ABCDEF的边AB、DE延长线交于点G，边BC、EF 延长线交于点H，边CD、FA延长线交于点K，则H、G、K三点共线。
托勒密（Ptolemy）定理：
在圆内接四边形中，AB·CD＋AD·BC＝AC·BD
（任意四边形都可！哇哈哈）
设P为△ABC边BC上一点，且BP：PC＝n：m，则m·(AB2)＋n·(AC2)＝m·(BP2 )＋n·(PC2)＋（m＋n）(AP2)
梅内劳斯定理：
在△ABC中，若在BC、CA、AB或其延长线上被同一条直线
截于点X、Y、Z，则(BX/XC)·(CY/YA)·(AZ/ZB)＝1
阿波罗尼斯（Apollonius）圆
一动点P与两定点A、B的距离之比等于定比m:n，则点P的轨迹，是以定比m:n内分和外分定线段的两个分点的连线为直径的圆，这个圆被称为阿波罗尼斯圆，简称“阿氏圆”。
布拉美古塔（Brahmagupta）定理：
在圆内接四边形ABCD中，AC⊥BD，自对角线的交点P向一边作垂线，其延长线必平分对边。
广勾股定理：
在任一三角形中，
(1)锐角对边的平方，等于两夹边之平方和，减去某夹边和另一夹边在此边上的影射乘积的两倍．
(2)钝角对边的平方，等于两夹边的平方和，加上某夹边与另一夹边在此边延长上的影射乘积的两倍．
加法原理：
做一件事情，完成它有N类办法，在第一类办法中有M1种不同的方法，在第二类办法中有M2种不同的方法，……，在第N类办法中有M(N)种不同的方法，那么完成这件事情共有M1+M2+……+M(N)种不同的方法。
比如说：从北京到上海有3种方法可以直接到达上海，
1：火车k1
2：飞机k2
3：轮船k3，那么从北京-上海的方法N = k1+k2+k3
乘法原理：
做一件事，完成它需要分成n个步骤，
做第一步有m1种不同的方法，
做第二步有m2不同的方法，……，做第n步有m·n不同的方法.那么完成这件事共有 N=m1·m2·m3…mn 种不同的方法.
正弦定理
在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等。
即a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R （2R 在同一个三角形中是恒量，是此三角形外接圆的直径）
这一定理对于任意三角形ABC ，都有
a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R （R 为三角形外接圆半径）
余弦定理：
对于任意三角形，任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与他们夹角的余弦的两倍积，若三边为a, b, c 三角为A,B,C ，则满足性质：
a 2=
b 2+
c 2
-2bc ·Cos A b 2
=a 2
+c 2
-2ac ·Cos B c 2
=a 2
+b 2
-2ab ·Cos C Cos C= (a 2
+b 2
-c 2
)/2ab Cos B= (a 2
+c 2
-b 2
)/2ac
Cos A= (c ^2+b ^2-a ^2)/2bc
解析几何中的基本公式
1、 两点间距离：若)y ,x (B ),y ,x (A 2211，则212212)()(y y x x AB -+-=
2、 平行线间距离：若0C By Ax :l ,0C By Ax :l 2211=++=++
则：2
2
21B
A C C d +-=
注意点：x ，y 对应项系数应相等。
3、 点到直线的距离：0C By Ax :l ),y ,x (P =++
则P 到l 的距离为：2
2
B
A C
By Ax d +++=
4、 直线与圆锥曲线相交的弦长公式：⎩
⎨⎧=+=0)y ,x (F b
kx y
消y ：02=++c bx ax ，务必注意.0>∆
若l 与曲线交于A ),(),,(2211y x B y x
则：2122))(1(x x k AB -+=
5、 若A ),(),,(2211y x B y x ，P （x ，y ）。P 在直线AB 上，且P 分有向线段AB 所成的比为λ，
则⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧
λ+λ+=λ+λ+=112121y y y x x x ，特别地：λ=1时，
P 为AB 中点且⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧
+=+=22
21
21y y y x x x 变形后：y
y y y x x x x --=λ--=λ21
21或
6、 若直线l 1的斜率为k 1，直线l 2的斜率为k 2，则l 1到l 2的角为),0(,π∈αα
适用范围：k 1，k 2都存在且k 1k 2≠－1 ， 2
11
21tan k k k k +-=
α
若l 1与l 2的夹角为θ，则=
θtan 21211k k k k +-，]2
,0(π
∈θ
注意：（1）l 1到l 2的角，指从l 1按逆时针方向旋转到l 2所成的角，范围),0(π l 1到l 2的夹角：指 l 1、l 2相交所成的锐角或直角。
（2）l 1⊥l 2时，夹角、到角=2
π
。
（3）当l 1与l 2中有一条不存在斜率时，画图，求到角或夹角。
7、 （1）倾斜角α，),0(π∈α； （2）]0[,π∈θθ→
→，，夹角b a ；
（3）直线l 与平面]20[π
∈ββα，，的夹角；
（4）l 1与l 2的夹角为θ，∈θ]2
0[π
，，其中l 1//l 2时夹角θ=0；
（5）二面角,θ],0(π∈α； （6）l 1到l 2的角)0(π∈θθ，，
8、 直线的倾斜角α与斜率k 的关系
a) 每一条直线都有倾斜角α，但不一定有斜率。 b) 若直线存在斜率k ，而倾斜角为α，则k=tan α。
9、 直线l 1与直线l 2的的平行与垂直
（1）若l 1，l 2均存在斜率且不重合：①l 1//l 2⇔ k 1=k 2
②l 1⊥l 2⇔ k 1k 2=－1 （2）若0:,0:22221111=++=++C y B x A l C y B x A l
若A 1、A 2、B 1、B 2都不为零
① l 1//l 2⇔
2
12121C C B B A A ≠=； ② l 1⊥l 2⇔ A 1A 2+B 1B 2=0； ③ l 1与l 2相交⇔
2
121B B A A ≠ ④ l 1与l 2重合⇔
2
12121C C B B A A ==； 注意：若A 2或B 2中含有字母，应注意讨论字母=0与≠0的情况。
10、 直线方程的五种形式
名称 方程 注意点
斜截式： y=kx+b 应分①斜率不存在 ②斜率存在 点斜式： )( x x k y y -=- （1）斜率不存在： x x = （2）斜率存在时为
)( x x k y y -=-
两点式： 1
21
121x x x x y y y y --=--
截距式：
1=+b
y
a x 其中l 交x 轴于)0,(a ，交y 轴于),0(
b 当直线l 在坐标轴上，
截距相等时应分：
（1）截距=0 设y=kx （2）截距=0≠a 设
1=+a
y a x 即x+y=a 一般式： 0=++C By Ax （其中A 、B 不同时为零）
11、直线0=++C By Ax 与圆222)()(r b y a x =-+-的位置关系有三种
若2
2
B
A C Bb Aa d +++=
，0<∆⇔⇔>相离r d
0=∆⇔⇔=相切r d 0>∆⇔⇔<相交r d
13、圆锥曲线定义、标准方程及性质 （一）椭圆
定义Ⅰ：若F 1，F 2是两定点，P 为动点，且21212F F a PF PF >=+ （a 为
常数）则P 点的轨迹是椭圆。
定义Ⅱ：若F 1为定点，l 为定直线，动点P 到F 1的距离与到定直线l 的距离之比为常数e （0 标准方程：122 22=+b y a x )0(>>b a 定义域：}{a x a x ≤≤-值域：}{b y b x ≤≤- 长轴长=a 2，短轴 长=2b 焦距：2c 准线方程：c a x 2 ± = 焦半径 ： ) (2 1c a x e PF +=， ) (2 2x c a e PF -=， 2 12PF a PF -=， c a PF c a +≤≤-1等 （注意涉及焦半径①用点P 坐标表示，②第一定义。） 注意：（1）图中线段的几何特征：=11F A c a F A -=22，=21F A c a F A +=12 =11F B a F B F B F B ===122221 ，222122b a B A B A +==等等。顶 点与准线距离、焦点与准线距离分别与c b a ,,有关。 （2）21F PF ∆中经常利用余弦定理．．．．、三角形面积公式．．．．．．． 将有关线段1PF 、 2 PF 、2c ，有关角2 1 PF F ∠结合起来，建立1PF +2PF 、1 PF • 2 PF 等关系 （3）椭圆上的点有时常用到三角换元：⎩⎨⎧θ =θ =sin cos b y a x ； （4）注意题目中椭圆的焦点在x 轴上还是在y 轴上，请补充当焦点在y 轴 上时，其相应的性质。 二、双曲线 （一）定义：Ⅰ若F 1，F 2是两定点，21212F F a PF PF <=-（a 为常数），则动点P 的轨迹是双曲线。 Ⅱ若动点P 到定点F 与定直线l 的距离之比是常数e （e>1），则动点P 的轨迹是双曲线。 （二）图形： （ 三）性质 方程：12222=-b y a x )0,0(>>b a 122 22=-b x a y )0,0(>>b a 定义域：}{a x a x x ≤≥或； 值域为R ； 实轴长=a 2，虚轴长=2b 焦距：2c 准线方程：c a x 2 ± = 焦半径： )(21c a x e PF +=，)(2 2x c a e PF -=，a PF PF 221=-； 注意：（1）图中线段的几何特征：=1AF a c BF -=2，=2AF c a BF +=1 顶点到准线的距离：c a a c a a 2 2+ -或；焦点到准线的距离：c a c c a c 22+ -或;两准线间的距离=c a 2 2 （2）若双曲线方程为12222=-b y a x ⇒渐近线方程：⇒=-02222b y a x x a b y ±= 若渐近线方程为 x a b y ± =⇒ 0=±b y a x ⇒双曲线可设为λ=-2 2 22b y a x 若双曲线与12222=-b y a x 有公共渐近线，可设为λ=-22 22b y a x （0>λ，焦点在x 轴上，0<λ，焦点在y 轴上） （3）特别地当⇔=时b a 离心率2=e ⇔两渐近线互相垂直，分别为 y=x ±，此时双曲线为等轴双曲线，可设为λ=-22y x ； （4）注意21F PF ∆中结合定义a PF PF 221=-与余弦定理21cos PF F ∠， 将有关线段1 PF 、2 PF 、2 1 F F 和角结合起来。 二、抛物线 （一）定义：到定点F 与定直线的距离相等的点的轨迹是抛物线。 即：到定点F 的距离与到定直线l 的距离之比是常数e （e=1）。 （二）图形： （三）性质：方程： 焦参数-->=p p px y ),0(,22； 焦点： )0,2 (p ，通径p AB 2=； 准线： 2 p x - =； 焦 半径 ： ,2 p x CF + = 过焦点弦长 p x x p x p x CD ++=+++ =21212 2 注意：（1）几何特征：焦点到顶点的距离= 2 p ；焦点到准线的距离=p ；通径长=p 2 顶点是焦点向准线所作垂线段中点。 （2）抛物线px y 22=上的动点可设为P ),2(2 y p y 或 或)2,2(2pt pt P P px y y x 2),(2=其中 初中数学竞赛几何中常用的24个必备定理 1. 同位角定理：同位角互相相等或互补。 2. 对顶角定理：对顶角相等。 3. 同旁内角定理：同旁内角互补。 4. 外角定理：与一个多边形任意一内角相对的外角相等。 5. 内角和定理：n边形的内角和为180度×(n-2)。 6. 相关角定理：相邻角互补，对顶角互相相等。 7. 垂直直角定理：垂线与直线相交，形成直角。 8. 垂线定理：直线上任意一点向另一直线作垂线，垂线所在直线与原直线垂直。 9. 三角形内角和定理：三角形内角和为180度。 10. 等腰三角形定理：等腰三角形的底角相等。 11. 等边三角形定理：等边三角形的三个内角均为60度。 12. 直角三角形性质：直角三角形斜边平方等于其他两条边平方和。 13. 等角定理：两角相等的两个三角形全等。 14. 外接圆定理：三角形三个顶点到外接圆圆心的距离相等。 15. 中线定理：连接三角形两边的中线相等。 16. 中位线定理：连接三角形两边中点的线段平分第三边。 17. 高线定理：连接三角形顶点与对边垂直的线段相交于三角形内心。 18. 海伦公式：用三角形三条边的长度求其面积：S=sqrt[p(p- a)(p-b)(p-c)]，其中p=(a+b+c)/2。 19. 正多边形内角定理：正n边形的内角和为(180度×(n-2))/n。 20. 球面三角形定理：球面三角形三个顶点到球心的距离相等。三条边为大圆弧。 21. 圆周角定理：圆周角等于对应的弧所夹的圆心角。 22. 切线定理：切线相切于圆，与该切点相切的直线垂直于切线。 23. 弦长定理：在同一圆上，两条弦所夹的圆心角相等，则它们的弦长相等。 24. 弧长定理：同一圆上，两个相等的圆心角所对应的弧长相等。 欧拉（Euler）线: 同一三角形的垂心、重心、外心三点共线，这条直线称为三角形的欧拉线; 且外心与重心的距离等于垂心与重心距离的一半。 九点圆： 任意三角形三边的中点,三高的垂足及三顶点与垂心间线段的中点,共九个点共圆，这个圆称为三角形的九点圆； 其圆心为三角形外心与垂心所连线段的中点，其半径等于三角形外接圆半径的一半。 费尔马点： 已知P为锐角△ABC内一点，当∠APB＝∠BPC＝∠CPA＝120°时,PA ＋PB＋PC的值最小，这个点P称为△ABC的费尔马点。 海伦（Heron）公式： 塞瓦（Ceva）定理： 在△ABC中，过△ABC的顶点作相交于一点P的直线，分别 交边BC、CA、AB与点D、E、F,则（BD/DC）·(CE/EA）·（AF/FB）＝1；其逆亦真。 密格尔(Miquel）点: 若AE、AF、ED、FB四条直线相交于A、B、C、D、E、F六点， 构成四个三角形,它们是△ABF、△AED、△BCE、△DCF, 则这四个三角形的外接圆共点，这个点称为密格尔点。 葛尔刚（Gergonne)点： △ABC的内切圆分别切边AB、BC、CA于点D、E、F， 则AE、BF、CD三线共点,这个点称为葛尔刚点。 西摩松(Simson）线: 已知P为△ABC外接圆周上任意一点，PD⊥BC，PE⊥ACPF⊥AB，D、E、F为垂足， 则D、E、F三点共线,这条直线叫做西摩松线。 黄金分割： 把一条线段（AB）分成两条线段，使其中较大的线段（AC)是原线段(AB） 与较小线段（BC）的比例中项,这样的分割称为黄金分割. 帕普斯（Pappus）定理: 已知点A1、A2、A3在直线l1上,已知点B1、B2、B3在直线l2上， 且A1 B2与A2 B1交于点X，A1B3与A3 B1交于点Y，A2B3于A3 B2交于 点Z，则X、Y、Z三点共线. 欧拉（Euler）线： 同一三角形的垂心、重心、外心三点共线，这条直线称为三角 形的欧拉线; 且外心与重心的距离等于垂心与重心距离的一半。 九点圆： 夕卜心重心重心垂心 200厘米43厘米 任意三角形三边的中点，三高的垂足及三顶点与垂心间线段的中点，共九个点共圆，这个圆称为三角形的九点圆； 其圆心为三角形外心与垂心所连线段的中点，其半径等于三角形外接圆半径的一半。 费尔马点: 已知P 为锐角△ ABC 内一点，当/ APB=Z BPC=Z CPA= 120°时, PA + PB + PC 的值最小， 这个点P 称为△ ABC 的费尔马点。 EE = 3.45 厘米 CE = 33塵米 片丘=306曇半 EP = 4.93 CP = 3. AP - 2.33屋亲 海伦（Heron ）公式： 海伦(H F /W ?)公式第 1 泌ABC 中F 边BQ. CA. 的 长分别为瓠b. s 若p=- (a-l-b+c), 则 A A EG 的面积 S=./p (p-a) (p~b) (p~c) ￡0 = 6. g 屋米 7 CA = & QO 瘗厳 — (AB + BC^CA) = 73 層米 p = 7.54^ ^BPC = 1202 ^2PA = 120^ XAPB= 120^ B 9.94 密格尔(Miquel)点： 塞瓦(Cevs)定理： 在厶ABC中，过△ ABC的顶点作相交于一点P的直线，分别 交边BC CA AB与点D、E、F,则(BD/DC) - (CE/EA)? (AF/FB)= 1;其逆亦真 若AE、AF、ED FB四条直线相交于A、B、C、D、E、F六点, 构成四个三角形，它们是△ ABF、△ AED △ BCE △ DCF, 欧拉（Euler)线： 同一三角形的垂心、重心、外心三点共线,这条直线称为三角形的欧拉线； 且外心与重心的距离等于垂心与重心距离的一半。 九点圆： 任意三角形三边的中点,三高的垂足及三顶点与垂心间线段的中点，共九个点共圆，这个圆称为三角形的九点圆； 其圆心为三角形外心与垂心所连线段的中点,其半径等于三角形外接圆半径的一半。 费尔马点： 已知P为锐角△ABC内一点，当∠APB＝∠BPC＝∠CPA＝120°时，PA＋PB＋PC的值最小，这个点P称为△ABC的费尔马点。 海伦(Heron)公式： 塞瓦（Ceva）定理: 在△ABC中，过△ABC的顶点作相交于一点P的直线,分别 交边BC、CA、AB与点D、E、F，则(BD/DC）·(CE/EA）·(AF/FB)＝1;其逆亦真。 密格尔（Miquel）点： 若AE、AF、ED、FB四条直线相交于A、B、C、D、E、F六点， 构成四个三角形,它们是△ABF、△AED、△BCE、△DCF， 则这四个三角形的外接圆共点，这个点称为密格尔点。 葛尔刚（Gergonne)点： △ABC的内切圆分别切边AB、BC、CA于点D、E、F， 则AE、BF、CD三线共点,这个点称为葛尔刚点. 西摩松(Simson）线: 已知P为△ABC外接圆周上任意一点,PD⊥BC，PE⊥ACPF⊥AB,D、E、F为垂足, 则D、E、F三点共线，这条直线叫做西摩松线。 黄金分割: 把一条线段(AB）分成两条线段，使其中较大的线段（AC)是原线段(AB) 与较小线段(BC)的比例中项,这样的分割称为黄金分割. 帕普斯（Pappus）定理： 已知点A1、A2、A3在直线l1上，已知点B1、B2、B3在直线l2上, 且A1 B2与A2 B1交于点X，A1B3与A3 B1交于点Y，A2B3于A3 B2交于 点Z,则X、Y、Z三点共线。 3、三角形的三条中线交于一点，并且，各中线被这个点分成2：1的两部分 4、四边形两边中心的连线的两条对角线中心的连线交于一点 5、间隔的连接六边形的边的中心所作出的两个三角形的重心是重合的。 6、三角形各边的垂直一平分线交于一点。 7、从三角形的各顶点向其对边所作的三条垂线交于一点 8、设三角形ABC的外心为O，垂心为H，从O向BC边引垂线，设垂足不L，则AH=2OL 9、三角形的外心，垂心，重心在同一条直线上。 10、(九点圆或欧拉圆或费尔巴赫圆)三角形中，三边中心、从各顶点向其对边所引垂线的垂足，以及垂心与各顶点连线的中点，这九个点在同一个圆上， 11、欧拉定理：三角形的外心、重心、九点圆圆心、垂心依次位于同一直线(欧拉线)上 12、库立奇*大上定理：(圆内接四边形的九点圆) 圆周上有四点，过其中任三点作三角形，这四个三角形的九点圆圆心都在同一圆周上，我们把过这四个九点圆圆心的圆叫做圆内接四边形的九点圆。 13、(内心)三角形的三条内角平分线交于一点，内切圆的半径公式： r=(s-a)(s-b)(s-c)ss为三角形周长的一半 14、(旁心)三角形的一个内角平分线和另外两个顶点处的外角平分线交于一点 15、中线定理：(巴布斯定理)设三角形ABC的边BC的中点为P，则有 AB2+AC2=2(AP2+BP2) 16、斯图尔特定理：P将三角形ABC的边BC内分成m:n，则有 n×AB2+m×AC2=(m+n)AP2+mnm+nBC2 17、波罗摩及多定理：圆内接四边形ABCD的对角线互相垂直时，连接AB中点M和对角线交点E的直线垂直于CD 18、阿波罗尼斯定理：到两定点A、B的距离之比为定比m:n(值不为1)的点P，位于将线段AB分成m:n的内分点C和外分点D为直径两端点的定圆周上 19、托勒密定理：设四边形ABCD内接于圆，则有AB×CD+AD×BC=AC 20、以任意三角形ABC的边BC、CA、AB为底边，分别向外作底角都是30度的等腰△BDC、△CEA、△AFB，则△DEF是正三角形， 21、爱尔可斯定理1：若△ABC和三角形△都是正三角形，则由线段AD、BE、CF的重心构成的三角形也是正三角形。 22、爱尔可斯定理2：若△ABC、△DEF、△GHI都是正三角形，则由三角形△ADG、△BEH、△CFI的重心构成的三角形是正三角形。 23、梅涅劳斯定理：设△ABC的三边BC、CA、AB或其延长线和一条不经过它们任一顶点的直线的交点分别为P、Q、R则有BPPC×CQQA×ARRB=1 初中竞赛需要，重要 24、梅涅劳斯定理的逆定理：(略) 25、梅涅劳斯定理的应用定理1：设△ABC的∠A的外角平分线交边CA于Q、∠C的平分线交边AB于R，、∠B的平分线交边CA于Q，则P、Q、R三点共线。 完整版)初中数学竞赛定理大全 欧拉线是同一三角形的垂心、重心、外心三点共线的直线，且外心与重心的距离等于垂心与重心距离的一半。 九点圆是任意三角形三边的中点、三高的垂足及三顶点与垂心间线段的中点共九个点共圆，其圆心为三角形外心与垂心所连线段的中点，其半径等于三角形外接圆半径的一半。 费尔马点是△ABC内一点P，当∠APB＝∠XXX∠CPA ＝120°时，PA＋PB＋PC的值最小，这个点P称为△XXX的 费尔马点。 海伦公式是用三角形三边的长度计算其面积的公式，即面积=sqrt[s(s-a)(s-b)(s-c)]，其中s=(a+b+c)/2. 塞瓦定理是指在△ABC中，过△ABC的顶点作相交于一 点P的直线，分别交边BC、CA、AB与点D、E、F，则 (BD/DC)·(CE/EA)·(AF/FB)＝1；其逆亦真。 密格尔点是指若AE、AF、ED、FB四条直线相交于A、B、C、D、E、F六点，构成四个三角形，它们是△ABF、 △AED、△BCE、△DCF，则这四个三角形的外接圆共点，这个点称为密格尔点。 葛尔刚点是指△XXX的内切圆分别切边AB、BC、CA于点D、E、F，则AE、BF、CD三线共点，这个点称为葛尔刚点。 西摩松线是指已知P为△ABC外接圆周上任意一点，PD⊥BC，PE⊥AC，PF⊥AB，D、E、F为垂足，则D、E、F 三点共线，这条直线叫做西摩松线。 黄金分割是指把一条线段(AB)分成两条线段，使其中较大的线段(AC)是原线段(AB)与较小线段(BC)的比例中项，这样的分割称为黄金分割。 XXX定理是指已知点A1、A2、A3在直线l1上，已知点B1、B2、B3在直线l2上，且A1B2与A2B1交于点X，A1B3 1.过两点有且只有一条直线 2.两点之间线段最短 3.同角或等角的补角相等 4.同角或等角的余角相等 5.过一点有且只有一条直线和已知直线垂直 6.直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短 7.平行公理经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行 8.如果两条直线都和第三条直线平行，这两条直线也互相平行 9.同位角相等，两直线平行 10.内错角相等，两直线平行 11.同旁内角互补，两直线平行 12.两直线平行，同位角相等 13.两直线平行，内错角相等 14.两直线平行，同旁内角互补 15.定理三角形两边的和大于第三边 16.推论三角形两边的差小于第三边 17.三角形内角和定理三角形三个内角的和等于180° 18.推论1 直角三角形的两个锐角互余 19.推论2 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和 20.推论3 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角 21.全等三角形的对应边、对应角相等 22.边角边公理(SAS) 有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等 23.角边角公理( ASA)有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等 24.推论(AAS) 有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等 25.边边边公理(SSS) 有三边对应相等的两个三角形全等 26.斜边、直角边公理(HL) 有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等 27.定理1 在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等 28.定理2 到一个角的两边的距离相同的点，在这个角的平分线上 29.角的平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合 30.等腰三角形的性质定理等腰三角形的两个底角相等(即等边对等角） 31.推论1 等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边 32.等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合 33.推论3 等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60° 34.等腰三角形的判定定理如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（等角对等边） 35.推论1 三个角都相等的三角形是等边三角形 36.推论2 有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形 37.在直角三角形中，如果一个锐角等于30°那么它所对的直角边等于斜边的一半 38.直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半 39.定理线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等 40.逆定理和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上 41.线段的垂直平分线可看作和线段两端点距离相等的所有点的集合 42.定理1 关于某条直线对称的两个图形是全等形 欧拉〔Eulei 〕线： 同一三角形的 垂心、重心、外心三点共线，这条直线称为三角 形的欧拉线; 且外心与重心的距离等于垂心与重心距离的一半。 九点圆： 任意三角形三边的中点，三高的垂足及三顶点 与 垂心间线段 的中点，共九个 点共 圆，这个圆称为三角形的九点圆； 其圆心为三角形外心与 垂心 所连 线段的中点，其半径等于三角形外接圆半径 外心重心 重心垂心 23厘米 4.00厘米 OA = W 厘米 08 =「07厘米 OK? = 2.43厘米 BD = 4.8 了厘米 费尔马点: P 为锐角△ ABC 内一点，当/ APB=Z BPC=Z CPA= 120°时, PA+ PB+ PC 的值最小， 这个点P 称为△ ABC 的费尔马点。 海伦(Heron)公式： 海伦(HH3O 公式： 八 2 1 在中〞边BC. CA. 的长分别为緘b. c,假设P=J (a+b+c), 那么△百BC 的面积S=Jp (p —a) (p -b) (p -c) AB = 4.00 BC = 6.Q9^ CA = 5.QQ 厘米 —(AB + BC + CA) = H5A 厘米 p = 7.54厘米 BP^CP^AP BE+CE+AE 询3厘采 11.51^ zBPC = =120^ CE = 53屋米 ^CPA = =120^ AE =33厘米 ZAPS = =120° BP =4.93厘米 g 、BC AD 二 93 厘船 r r r ―1 t i rr p r ■"■! s E E R R ! ! B R P R r p w —r r r —L«tr r r r —hrr run “LLft r r r r i r ■ BE = 3.45 厘米 CP = 3$3厘米 AP = 233厘米 AD = 3.27 欧拉〔Euler〕线： 同一三角形的垂心、重心、外心三点共线，这条直线称为三角形的欧拉线； 且外心与重心的间隔等于垂心与重心间隔的一半。 九点圆： 任意三角形三边的中点，三高的垂足及三顶点与垂心间线段的中点，共九个点共圆，这个圆称为三角形的九点圆； 其圆心为三角形外心与垂心所连线段的中点，其半径等于三角形外接圆半径的一半。 费尔马点： P为锐角△ABC内一点，当∠APB＝∠BPC＝∠CPA＝120°时，PA＋PB＋PC的值最小，这个点P称为△ABC的费尔马点。 海伦〔Heron〕公式： 塞瓦〔Ceva〕定理： 在△ABC中，过△ABC的顶点作相交于一点P的直线，分别 交边BC、CA、AB与点D、E、F，那么(BD/DC)·(CE/EA)·(AF/FB)＝1；其逆亦真。 密格尔〔Miquel〕点： 假设AE、AF、ED、FB四条直线相交于A、B、C、D、E、F六点， 构成四个三角形，它们是△ABF、△AED、△BCE、△DCF， 那么这四个三角形的外接圆共点，这个点称为密格尔点。 葛尔刚〔Gergonne〕点: △ABC的内切圆分别切边AB、BC、CA于点D、E、F， 那么AE、BF、CD三线共点，这个点称为葛尔刚点。 西摩松〔Simson〕线： P为△ABC外接圆周上任意一点，PD⊥BC，PE⊥ACPF⊥AB，D、E、F 为垂足， 那么D、E、F三点共线，这条直线叫做西摩松线。 黄金分割： 把一条线段(AB)分成两条线段，使其中较大的线段(AC)是原线段(AB) 与较小线段(BC)的比例中项，这样的分割称为黄金分割。 帕普斯〔Pappus〕定理： 点A1、A2、A3在直线l1上，点B1、B2、B3在直线l2上， 且A1 B2与A2 B1交于点X，A1B3与A3 B1交于点Y，A2B3于A3 B2交于 点Z，那么X、Y、Z三点共线。初中数学竞赛几何中常用的24个必备定理
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