匀速圆周运动专题
从现行高中知识体系来看，匀速圆周运动上承牛顿运动定律，下接万有引力，因此在高一物理中占据极其重要的地位，同时学好这一章还将为高二的带电粒子在磁场中的运动及高三复习中解决圆周运动的综合问题打下良好的基础。 （一）基础知识
1. 匀速圆周运动的基本概念和公式
（1）线速度大小T r
t s v π2=
=
，方向沿圆周的切线方向，时刻变化； （2）角速度T
t π
ϕω2==，恒定不变量；
（3）周期与频率f
T 1
=；
（4）向心力2
2ωmr r mv F ==，总指向圆心，时刻变化，向心加速度22ωr r
v a ==，方向与向心力相同；
（5）线速度与角速度的关系为r v ω=，v 、ω、T 、f 的关系为rf r T
r
v πωπ22===
。所以在ω、T 、f 中若一个量确定，其余两个量也就确定了，而v 还和r 有关。
2. 质点做匀速圆周运动的条件
（1）具有一定的速度；
（2）受到的合力（向心力）大小不变且方向始终与速度方向垂直。合力（向心力）与速度始终在一个确定不变的平面且一定指向圆心。 3. 向心力有关说明
向心力是一种效果力。任何一个力或者几个力的合力，或者某一个力的某个分力，只要其效果是使物体做圆周运动的，都可以认为是向心力。做匀速圆周运动的物体，向心力就是物体所受的合力，总是指向圆心；做变速圆周运动的物体，向心力只是物体所受合外力在沿着半径方向上的一个分力，合外力的另一个分力沿着圆周的切线，使速度大小改变，所以向心力不一定是物体所受的合外力。
（二）解决圆周运动问题的步骤 1. 确定研究对象；
2. 确定圆心、半径、向心加速度方向；
3. 进行受力分析，将各力分解到沿半径方向和垂直于半径方向；
4. 根据向心力公式，列牛顿第二定律方程求解。
基本规律：径向合外力提供向心力向合F F =
（三）常见问题及处理要点 1. 皮带传动问题
例1：如图1所示，为一皮带传动装置，右轮的半径为r ，a 是它边缘上的一点，左侧是一轮轴，大轮的半径为4r ，小轮的半径为2r ，b 点在小轮上，到小轮中心的距离为r ，c 点和d 点分别位于小轮和大轮的边缘上，若在传动过程中，皮带不打滑，则（ ）
A. a 点与b 点的线速度大小相等
r
a c d a c d d a 确。本题正确答案C 、D 。
点评：处理皮带问题的要点为：皮带（链条）上各点以及两轮边缘上各点的线速度大小相等，同一轮上各点的角速度相同。 2. 水平面的圆周运动 转盘：物体在转盘上随转盘一起做匀速圆周运动，物体与转盘间分无绳和有绳两种情况。无绳时由静摩擦力提供向心力；有绳要考虑临界条件。
例1：如图2所示，水平转盘上放有质量为m 的物体，当物块到转轴的距离为r 时，
盘产生的摩擦力还未达到最大静摩擦力，细绳的拉力仍为0，即01=T F 。
（2）因为0223ωμω>=
r
g
，所以物体所需向心力大于物与盘间的最大静摩擦力，则细绳将对物体施加拉力2T F ，由牛顿第二定律得r m mg F T 2
22ωμ=+，解得2
2mg F T μ=。
点评：当转盘转动角速度0ωω<时，物体有绳相连和无绳连接是一样的，此时物体做
圆周运动的向心力是由物体与圆台间的静摩擦力提供的，求出r
g
μω=
0。可见，0ω是物
体相对圆台运动的临界值，这个最大角速度0ω与物体的质量无关，仅取决于μ和r 。这一结论同样适用于汽车在平路上转弯。
圆锥摆：圆锥摆是运动轨迹在水平面的一种典型的匀速圆周运动。其特点是由物体所受的重力与弹力的合力充当向心力，向心力的方向水平。也可以说是其中弹力的水平分力提供向心力（弹力的竖直分力和重力互为平衡力）。
例2：小球在半径为R 的光滑半球做水平面的匀速圆周运动，试分析图3中的θ（小
（1）弹力只可能向下，如绳拉球。这种情况下有mg R
mv mg F ≥=+2
，即gR v ≥，否则不能通过最高点；
（2）弹力只可能向上，如车过桥。在这种情况下有mg R
mv F mg ≤=-2
，gR v ≤，否则车将离开桥面，做平抛运动；
（3）弹力既可能向上又可能向下，如管转（或杆连球、环穿珠）。这种情况下，速度大小v 可以取任意值。但可以进一步讨论：a. 当gR v >时物体受到的弹力必然是向下的；
当gR v <
时物体受到的弹力必然是向上的；当gR v =时物体受到的弹力恰好为零。b. 当弹力大小mg F <时，向心力有两解F mg ±；当弹力大小mg F >时，向心力只有一解mg F +；当弹力mg F =时，向心力等于零，这也是物体恰能过最高点的临界条件。
结合牛顿定律的题型
例3：如图5所示，杆长为l ，球的质量为m ，杆连球在竖直平面绕轴O 自由转动，已知在最高点处，杆对球的弹力大小为mg F 2
1
=
，求这时小球的瞬时速度大小。 图5
解析：小球所需向心力向下，本题中mg mg F <=2
1
，所以弹力的方向可能向上也可能向下。
（1）若F 向上，则l
mv F mg 2
=-，2
gl v =
； （2）若F 向下，则l mv F mg 2=+，2
3gl
v =
点评：本题是杆连球绕轴自由转动，根据机械能守恒，还能求出小球在最低点的即时速
度。
需要注意的是：若题目中说明小球在杆的带动下在竖直面做匀速圆周运动，则运动过程中小球的机械能不再守恒，这两类题一定要分清。
结合能量的题型
例4：一壁光滑的环形细圆管，位于竖直平面，环的半径为R （比细管的半径大得多），在圆管中有两个直径与细管径相同的小球A 、B ，质量分别为1m 、2m ，沿环形管顺时针运动，经过最低点的速度都是0v ，当A 球运动到最低点时，B 球恰好到最高点，若要此时作用于细管的合力为零，那么1m 、2m 、R 和0v 应满足的关系是 。
解析：由题意分别对A 、B 小球和圆环进行受力分析如图6所示。
对于A 球有R v m g m F N 20
111=-
对于B 球有R v m g m F N 2
222=+
根据机械能守恒定律R g m v m v m 2212122
2202⋅+=
由环的平衡条件012='-'N N
F F 而11N
N F F '-=，22N N F F '-=
