复变函数教案5.1 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN
第五章 解析函数的罗朗展式与孤立奇点
教学课题：第一节 解析函数的洛朗展式
教学目的：1、了解双边幂级数在其收敛圆环内的性质；
2、充分掌握洛朗级数与泰勒级数的关系；
3、了解解析函数在孤立奇点和非孤立奇点的洛朗级数
教学重点：掌握洛朗级数的展开方法 教学难点：掌握洛朗级数的展开方法 教学方法：启发式、讨论式 教学手段：多媒体与板书相结合
教材分析：洛朗级数是推广了的幂级数，它既可以是函数在孤立奇点去心邻域内的级数展开，也可以作为工具研究解析函数在孤立奇点去心邻域内的性质。 教学过程： 1、双边幂级数
在本节中，我们讲述解析函数的另一种重要的级数展式，即在圆环内解析函数的一种级数展式。首先考虑级数
...
)(...)()(0202010+-++
-+-+------n
n n z z z z z z ββββ
其中,...,...,,,100n z --βββ是复常数。此级数可以看成变量
1
z z -的幂级数；设这幂级数的收敛半径是R 。如果+∞< z z 1||0>-内绝对收敛并且内闭一致收敛，在R z z 1 ||0< -内发散。同样，如果+∞=R ，那么此级数在0||0>-z z 内绝对收敛并且内闭一致收敛；如果R=0，那么此级数在每一点发散。在上列情形下，此级数在0z z =没有意义。于是根据定理2.3，按照不同情形，此级数分别在 0||)0(1 ||010>-+∞<<=> -z z R R R z z 及内收敛于一个解析函数。 2、解析函数的洛朗展式:更一般地，考虑级数 ,)(0∑+∞ -∞ =-n n n z z β 这里,...)2,1,0(,0±±=n z n β是复常数。当级数 ,)()(1 00 0∑∑-∞ -=+∞ =--n n n n n n z z z z ββ 及 都收敛时，我们说原级数 ∑+∞ -∞ =-n n n z z )(0β 收敛，并且它的和等于上式中两个级数 的和函数相加。设上式中第一个级数在20||R z z <-内绝对收敛并且内闭一致收敛，第二个级数在10||R z z >-内绝对收敛并且内闭一致收敛。于是两级数的和函数分别20||R z z <-及10||R z z >-在内解析。又设21R R <，那么这两个级数都在圆环201||:R z z R D <-<内绝对收敛并且内闭一致收敛，于是我们说级数 ∑+∞ -∞ =-n n n z z )(0β 在这个圆环内绝对收敛并且内闭一致收敛；显然它的和函数是一 个解析函数。我们称级数 ∑+∞ -∞ =-n n n z z )(0 β为洛朗级数。因此，洛朗级数的和函数是圆环D 内的解析函数，我们也有 定理5.1 （洛朗级数）设函数f (z )在圆环：)0(||:21201+∞≤<≤<- ,)()(0∑+∞ -∞ =-= n n n z z z f α 其中， ,...)2,1,0(,)() (211 0±±=-= ?+γζζζπαn d z f i n n γ是圆ρρ,||0 =-z z 是一个满足2 1 R R <<ρ的任何数。 证明：设z 是圆环D 内任一点，在D 内作圆环'||' :'201 R z z R D <-<，使得 'D z ∈，这里2211''R R R R <<<。用'2'1ΓΓ及分别表示圆'||'||2010R z z R z z =-=-及。由于)(ζf 在闭圆环'D 上解析，根据柯西定理，有 ??ΓΓ---= '1'2) (21)(21)(ζζζπζζζπd z f i d z f i z f ， 其中积分分别是沿'2'1ΓΓ及关于它们所围成圆盘的正向取的。 当'2Γ∈ζ时，级数 ∑∞ +=+--=---? -=---=-010000 000) ()(11 1)(11n n n z z z z z z z z z z z ζζζζζ 一致收敛；而当'1Γ∈ζ时，级数 ∑ +∞ =+--=----=--01 000 00 )()()1)((11n n n z z z z z z z z z ζζζ 一致收敛。把这两个式子代入前面的式子，然后逐项积分，我们就看到f (z )有展式 ,)()(0∑+∞ -∞ =-= n n n z z z f α 其中， ,...)2,1,0(,)()(21'210?Γ+=-= n d z f i n n ζζζπα,...)2,1(,) () (21'110?Γ+--=-=n d z f i n n ζζζπα 由柯西定理，上面两式中的积分可以换成沿圆的积分，于是定理的结论成立。 注解1、由于函数f (z )的解析区域不是单连通区域，所以公式 ,...)2,1,0(,)() (2110±±=-=?+γζζζπαn d z f i n n 不能写成：.! )(0)(n z f n n =α 注解2、我们称∑+∞ =-0 0)(n n n z z α为f (z )的解析部分，而称 ∑-∞ -=-1 )(n n n z z α为其主要部分。 注解3、我们称,)(0∑+∞ -∞=-n n n z z α为f (z )的洛朗展式。 定理5.2 设洛朗级数∑+∞ -∞ =-n n n z z )(0β在圆环 )0(||:21201+∞≤<≤<- 中内闭一致收敛于和函数g (z )，那么此展式就是g (z )在D 内的洛朗展式： .)()(0∑+∞ -∞ =-= n n n z z z g β 证明：现在把系数用g (z )计算出来。在D 内任取一圆)(|:|210R R z z <<=-ρργ，用乘10)(21 ---k z z i π以定理中展式的两边，然后沿γ求积分。由于所讨论的级数 在 γ上一致收敛，在求积分时，对有关级数可以逐项积分，于是我们有 ,...) 2,1,0()(21 )()(211010±±==-=-?∑?--+∞ ∞ -+k dz z z i dz z z z g i k k n k k βπβπγγ 这里因为上式中求和记号∑+∞ ∞ -后各项只有在n=k 时不为零，因此定理的结论成 立。 注解：此定理表明，洛朗级数的系数可以用它的和函数来计算，同时，这也表明，g (z )在D 内不可能有其他形式的洛朗展式，因此我们有下面的解析函数洛朗展式的唯一性定理： 推论5.1 在定理5.1的假设下，f (z )在D 的洛朗展式式唯一的。 例1、 求函数 ) 2)(1(1 --z z 分别在圆环1<|z |<2及+∞<<||2z 内的洛朗级数展 式。 解：如果1<|z |<2，那么,1|1 |,1|2| < 2+++++=-n αααα 我们得 1121)2)(1(1---=--z z z z ;12)11(1)2 1(21101∑∑+∞ =+∞=+-=----=n n n n n z z z z z 如果+∞<<||2z ，那么,1|1 |,1|2| < z 同样，我们有 1121)2)(1(1---=--z z z z 11112 112121 .21(1)(1) n n n n n n n n z z z z z z z --+∞ +∞+∞===--=-=-=--∑∑∑ 例2、 2sin z z 及z z sin 在+∞<<||0z 内的洛朗级数展式是： ...)!12()1(...!5!31sin 1 232++-+-+-=-n z z z z z z n n ...)! 12()1(...!5!31sin 242++-+-+-=n z z z z z n n 例3、 z e 1 在+∞<<||0z 内的洛朗级数展式是： ...1!1...1!211121+++++ =n z z n z z e 。 例4、 求函数 ) 3)(1(1 2--z z 在圆环1<|z |<3内的洛朗级数展式。 解：由于1<|z |<3，那么,1|3|,1|1|< z 利用当1||<α时的幂级数展式 (111) 2+++++=-n αααα 我们得 )1331(81)3)(1(122-+--=--z z z z z )1 3 131(8122-----=z z z z ， 而 ;331)31(31310∑+∞=-=--=-n n n z z z ;11)11(1110222 22∑+∞==-=-n n z z z z z
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