第二章.极限概念 函数的连续性
对于函数的概念，我们总是能够从日常直观出发，就能很好地加以理解，因为毕竟因果关系的观念在我们的意识当中是非常深根蒂固的。那么要真正严格地理解极限的观念，就不是那么自然的了。
对于极限的观念，最为关键的问题是，如何定量地加以描述，并把这种描述作为一般的判别标准。
这个问题实际上困扰了人们几百年，一直到19世纪才加以解决的。
数列的极限描述（数列存在极限判别定理，定义法、柯西法、子数列法、夹逼法、单调有界法）
设存在一个数列，也就是一个数值的集合，这个集合的元素可以一个一个的数出来，同时每一个元素都可以加上唯一的标志，而自然数是最为适宜作这件工作的。比如说，把一个数列写成这样的样子：,....,,321a a a ，或者简单地记成{}a n 。
观察这个数列取值变化， 有的数列变化具有下面的变化规律：
对于数列,....,,321a a a ，假设存在一个确定的常数a ，现在我们考虑变量a a n -（显然这是一个反映数列数值变化的，随着n 而发生变化的变量。），如果我们任意找到一个数ε，无论它的数值有多么大或者多么小，我们总是能够在这个数列当中找到一个元素a N ，使得在这个a N 元素后面的所有的数列元素，都使得相应的变量a a n -的值小于ε，
换一句话来说，对于任意的ε，总是存在一个N ，当n>N 时，
总是有ε<-a a n 成立
这时我们就把a 称为数列,...,,321a a a 的极限。并且称数列
,....,,321a a a 收敛于极限a 。我们使用记号a a n n =∞→lim 来表示该数列极限。
否则我们就说数列{}a n 是发散的。
这就是一个数列收敛于一个极限或者说存在一个极限的定义。
在这个定义里面，最为关键的地方，也是初学者最为困难的地方有两个：1。数值ε是任意的。就是说只要存在一个ε的数值不满足定义的条件，就不能说数列收敛于极限a。
这里初学者感到非常困难的地方是，我们是不是一定要对所有可能的ε都进行检验，才能得到最后的判断呢？不是的,在实际问题中，由于我们的
目的是希望知道变量
a
a n-是否越来越小，一般只要取ε大于0，并且足够
小（我们在有关极限的定义当中，总是先假设了这点，），当然这样不能减少我们对ε的任意取值进行验证的任务，但是我们所处理的数列，总是按照某种特定的规律来变化，一般从这个数列的变化规律本身就可以找到由ε决定
的N的值，使得
a
a n-小于ε，或者是找到反例。从而实现对所有可能的ε
们进行判断.
不过，我们的课程在这个方面的要求并不是过高的，因此我们只是需要考虑一些比较简单的例子，而我们的精力应该集中在对于极限思想的理解。
2.满足条件的n必须取遍所有大于N的自然数。
初学者往往会觉得这是不可能的，实际上，我们并不需要对所有大于N 的n值进行检验，同样由于数列的变化是具有规律的，从数列本身的规律，我们一般总是能够通过有限的步骤，来得到所需要的判断。
那么数列的规律是什么呢？一般说来，一个数列的元素总是一个由变量n决定的函数，这里变量n取遍自然数，就生成了数列的全部项。这个函数
的表达式称为通项a n的通项公式。
不过通项公式有时候并非完全只是n的函数，有时由变量n和第n项之前的项所决定，这时，通项公式表现为一个递推公式，这种情况的处理比较复杂，我们不过多的涉及。
利用极限的定义和应用不等式（绝对值不等式.）对一个数列进行检验是否存在极限，实际上是预先假设知道了这个极限是多少，所谓的检验只不过是证明这个数列的极限是否是这个给出的极限值。
答疑解难。
1．数列的极限的定义当中，ε与N的取值是一一对应的吗？
[答]：不是。
初学者对于极限的定义的叙述往往理解不够深入，并且常常产生歧义，这个问题就是最为典型的。
尽管在根据定义进行具体的极限分析时，常常是由ε推出N的表达式，但这并不是意味着这两个变量之间具有一定的函数关系，这两个变量之间确实是具有一定的关系，但决不是函数的关系，而是一种两个区间的相互影响与决定的关系，实际上，我们给出一个ε的意思，实际上是给出了一个区间，同样由此而得到的N，也是一个区间的概念，而不是两个数值变量的关系，因此N的求法是很多形式的，实际问题当中，我们只是选择了最为方便的形式而已。
那么在不知道预先极限值时，有没有方法验证数列是否有极限，这就是相当重要的柯西收敛原理：
我们说数列{}a n 收敛，它的充要条件是：对于任意的ε>0，总是存在正整数N ，使得对于任意的自然数p 和n>0，有
ε<-+a a n p n 成立。
可以看到，在这里对数列所进行的检验与极限的定义当中对数列所进行的检验是存在一点差异的，就是在这里对数列进行检验，我们并不需要知道这个数列的极限a 究竟是多少，而通过检验，我们也只是知道这个极限是否存在极限，但求不出极限是多少。
而在极限的定义当中，要对一个数列进行检验，实际上是预先假设知道了这个极限是多少，所谓的检验只不过是证明这个数列的极限是否是这个给出的极限值。
柯西原理是更为方便的验证是否有极限方法
其他判别极限存在定理
（1）数列{}a n 以a 为极限的另一个说法，或者说一个充要条件是：对于数列{}a n 的任意一个子数列{}
a n i 都以a 为极限。
我们只要能够在一个数列里，构造出一个发散的子数列，或者是构造出两个具有不同收敛极限的子数列，就可以说明这个数列是发散的。
（2）如果数列{}a n 的子数列{}12a k +和{}2a k 都收敛于同一个极限，那么数列{}a n 也收敛于这个极限。
显然这个定理比性质（1）所需要的条件更弱，但结论是一样的，这是因为我们选取了特定的子数列。
（3）如果两个不同数列具有相同的极限：c
b a n n n n ==∞
→∞
→lim lim ，
而另外
一个数列{}c n 满足条件：存在一个确定的自然数N ，当n>N 时，总是有
b c a n n n ≤≤
成立，那么数列{}c n 收敛，并且极限为c 。
这个性质被称为夹逼定理，常常用来求某个合适的数列的极限，前提是已知另外两个数列的极限，并且这三个数列具有定理所要求的关系。
（4）如果我们把数列看成是以自然数为自变量的函数，那么就可以相应地定义这个函数的有界性和单调性，这两个概念是相当直观的，并且显然可以知道一个收敛数列必然是有界的，因为按照极限(收敛)的定义，满足
ε>-a a n 的项总是有限的，因此总能够得到一个确定的函数的界。
反过来，则还必须加上一个条件(单调)： 单调而且有界的数列必定存在极限。 这是一个相当重要的极限存在定理，因为往往判定一个数列的单调性和有界性是比较容易的。
数列存在极限判别方法中，定义法、子数列法、夹逼法、需要知晓极限然后去验证。单调有界法、柯西法不需要知晓极限就可以验证
极限四则运算的理解
如果一个数列是由两个收敛数列通过四则运算得到的，那么这个数列的收敛性质就由这两个数列决定，
这就是数列极限的四则运算性质： a ．如果数列an 极限存在（收敛），那么a k a k n n lim lim =其中k 为实数；
b ．如果数列an 、bn 极限存在（收敛），那么
b a b a n n n n lim lim )lim(+=+；
而数列的减法则没有一般的运算规则
c ．如果数列an 、bn 极限存在（收敛），那么b a b a n n n n lim lim )lim(?=?；
d ．如果数列an 、bn 极限存在（收敛），其中0
lim ≠b n ，
那么
b a b a n n n n l i m l i m l i m =
，。
函数的极限
数列可以看成是对于一种最为简单的函数，唯一的差别，就是函数自变量以及函数值往往是连续的，而数列的变量和数列的值是离散的。数列的这种离散取值形式对于数列的极限是无关紧要的。所以我们可以仿照数列的极限的定义，说明一个连续取值函数的极限的定义。
一个函数变化过程当中极限有两种？一种类似于数列的极限过程，函数自变量趋近任意大时的函数值极限过程，另一种是自变量趋近某一个特定值时函数值极限过程。
为了说明自变量与某个特定值的距离任意小这种变化的特定形式，我们定义一个概念，就是邻域的概念：
对于确定的一个实数x ，我们定义它的一个邻域，是一个开区间
),,(εε+-x x 这个开区间的特别之处在于ε可以看成是一个变量，并且一
般是可以取任意小的变量，所以这个开区间的大小是可以任意地小。邻域这个概念在下面函数的极限定义当中具有关键的作用，希望同学们认真加以体会。
首先假设函数f （x ）在点x 0的邻域),(δδ+-x x 内有定义，而在x 0点不一定有定义。如果存在一个确定的点A ，而我们如果取点A 的任意一个邻域),(εε+-A A ，都可以找到相应的点x 0的邻域),,(δδ+-x x 只要自变量x 属于邻域),(δδ+-x x 里，对于函数y=f （x ）来说，就有因变量y 属于邻域),(εε+-A A ，这样我们就可以说当函数自变量x 趋向于点x 0时，
函数以A 为极限，记成 A
x f x x =→)(l i m 0。 我们也可以不使用邻域是概念，直接使用实数之间距离的概念，类似于数列极限的形式来说明函数的极限：
对于函数y=f （x ），假设存在两个确定的常数x 0和A ，现在我们分别考虑变量
x x 0
-（这个变量反映了函数自变量和一个确定的点之间的距离）
和A
x f -)(（显然这是一个反映函数数值变化的，随着x 而发生变化的距离变量。），如果我们任意找到一个数ε，无论它的数值有多么大或者多么小，我们总是能够找到一个相应的数δ，当变量
x x 0
-满足
δ
<- 时，使得相应的变量 A x f -)(的数值小于ε， 换一句话来说，就是对于任意的ε，总是存在一个δ，当 δ <- 时，总是有 ε <-A x f )( 成立，这时我们就把A 称为函数f （x ）在x 趋向于x 0时的极限。我们使用记号a a n n =∞→lim 来表示这点极限。否则我们就说函数f （x ）在x 趋向于x 0时是发散的。 由于函数变化的连续性，使得函数的极限的概念比数列的极限的概念要显得复杂，因此我们还可以通过图形的方式来加强理解。 如下图所示，我们可以分别观察在X轴和Y轴上的取值情况。 可以看到，在x的取值向x0接近的过程中，函数y=f（x）表现出了这么一种现象，就是在Y轴上存在一点A，无论我们取多么小的A的一个邻域，我们都总能至少找到x0的一个邻域，使得在这个邻域内的所有函数值都处于我们取定了的A的那个邻域内，这就说明了函数在x趋向x0时，存在一个极限A。 假如在x0的这个邻域内存在一点，使得函数值超出了A的那个邻域，比如函数的图形如图中虚线所示，突出一个峰B点，那么我们还可以在继续向x0接近的过程中，找到更小的邻域使函数值在A邻域内。 另外在图中，我们也可以看到，极限的存在并不要求函数在x0是有定义的，只要函数能够无限地接近这点就可以了。 从图形当中我们可以体会到，函数在某点存在极限，反映的是函数在这点附近的局部性质，函数在这点是否具有这个极限性质，是分析函数在这点的行为的一个强大工具。后面的学习当中，我们能够进一步体会到，判断一个函数在某点处是否具有极限，是表示函数在这点行为的重要特征。 函数的单侧极限，左右极限，函数的分段点处的极限。 在前面的图形说明当中，我们可以看到，函数自变量的取值趋向某个特定的点，还可以取特定的方向，比方说只从左边或者只从右边接近特定的点，这就自然地得到了单侧极限的概念。 根据自变量趋向某点的方向的左右，可以把单侧极限分成两种，即左极限与右极限。顾名思义，左极限就是在X轴上，自变量总是从左边趋向特定的点，右极限就是在X轴上，自变量总是从右边趋向特定的点，引入这个概念，首先在理论上具有重要的作用，这体现在如下的定理当中：一个函数在自变量趋向某点时具有极限A，这件事的另一个说法，或者说它的一个充要条件就是函数在这点的左右极限都存在，并且都是A。 这个定理可以应用于对很多函数在特定点的极限性质的判断，当然一般是应用于否定性的判断，即通过计算出函数在这个特定点的左右极限，由于它们不相等，从而得到函数在这点不存在极限的结论。 这个定理还具有另外一个方面的实际应用价值，就是用于分析分段函数。我们知道分段函数在分段点处的性质是分段函数最为关键的地方，而对于分段函数在分段点处的极限性质，就只有通过分别地考虑函数在分段点处的左右极限来得到。 1．函数的极限的定义当中，ε与δ是取值是一一对应的吗？ [答]：不对。 这里的原因与数列的情形是类似的。这两个变量同样是意味着两个区域，而并不是两个数值变量的关系。因此在作具体问题时，可以灵活地选择最为方便的途径来求出它们的对应关系。 2．函数的极限的定义当中，不等式 δ < - x 里面大于0是必要的吗？ [答]：是。 初学者往往忽略了这点，因为在数列的极限的定义当中不存在这个问题。 这里的意思其实就是取x0的去心邻域。因为函数可以对某点取极限，而同时函数不一定需要在该点有定义，这种情况在实际问题当中是有必要考虑的，因此为了照顾到这种情况，就在定义当中加入了这点要求，而同时不会损害极限的定义本身。 3．求极限的主要方法有哪些？ [答]：在求极限之前，要注意观察，通过观察来判断需要应用什么样的途径与方法，而不是盲目尝试，一般的方法有如下的几种，其中有些方法是基于后面的知识，我们也列出，以供参考： （1）对于函数在连续点的极限，直接代入即可； （2）运用消去零因子的方法； （3）通过一定的变形，利用两个重要的极限； （4）在某些特殊情况下，需要通过左右极限来判断函数在某点的极限；（5）运用等价无穷小或者无穷大的性质； （6）运用单调有界性质； （7）运用夹逼准则； （8）通过变量代换； （9）对于未定式，必要的话可以考虑运用罗必塔法则； （10）对于数列，可以先尝试计算出有限和，再取其极限； （11）运用级数收敛的必要条件； （12）通过运用定积分的定义来得到； （13）应用导数的定义； （14）运用微分中值定理。 无穷小量，无穷大量，无穷小量的阶。 在微积分的历史上，一种具有重要意义的极限过程，即无穷小量充当了很关键的角色。而在理论的角度来看，这种极限过程也是非常有用的。 所谓无穷小量就是这样一种函数的极限过程，即当函数自变量趋向于某个特定的值时，函数值本身趋向于0，直观地说，也就是函数值要多小就有多小。更清楚地说明这点，就是： 对于任意的ε，总是存在一个δ，使得当 δ x - < 时，总是有 ε f (x ) < 成立。 这里的f（x）在x趋向于x0时，就是无穷小量。 正如一个函数的极限和这个函数在这点的取值不能混为一谈一样，无穷小量和0不能混为一谈。无穷小量是一种极限过程，可以理解为是“运动物体”，而任何一个确定的数值，总是一个“静止物体”。一个无穷小量可以无限地接近而总是不能取值为0，因为极限过程毕竟表达的是一个函数值的变化过程。 把无穷小量看成是以0为极限值的函数，则同样可以对它进行四则运算，我们可以得到如下定理： （1）有限个无穷小量的和仍然是无穷小量。 （2）有界函数与无穷小量的乘积是无穷小量。 （3）常数和无穷小量的乘积是无穷小量。 （4）有限个无穷小量的乘积是无穷小量。 既然以0为极限的函数具有特定的研究价值，那么反过来，比方说无穷小量的倒数，是趋向于无穷大的，也是具有一点价值的研究对象。这就是所谓无穷大量。 类似地，我们可以定义无穷大量为当函数自变量趋向于某个特定的值时，函数值本身趋向于无穷大，直观地说，也就是函数值要多大就有多大。我们更清楚地说明这点，就是： 对于任意的ε，总是存在一个δ，使得当 δ x < - 时，总是有 ε f (x > ) 成立。 这里的f（x）在x趋向于x0时，就是无穷大量。 无穷小量最为重要的研究价值，体现在我们可以对它的趋向于0的“速度”进行比较。这种比较的结果，就得到了阶的概念。 设在同一个极限过程当中，α和β都是无穷小量，如果 （1）0→βα ，那么α关于β就是高阶无穷小量，反过来β关于α就 是低阶无穷小量。写成)(βοα=。 （2）1 →βα ，那么α和β就是等阶无穷小量，写成α～β。并且称α 和β互为主要部分。 如果α～β，则有)(αοβα=-和)(βοβα=-。反过来也成立。 这个定理则是进行近似计算的基本定理，即用主要部分代替一个变量，误差为一个高阶无穷小。 （3）)0(,≠→a a βα ，那么α和β就是同阶无穷小量，写成α～a β。 。 利用无穷小量的性质求极限 无穷小量无穷大量之间的关系求极限 首先, 利用无穷小量乘有界变量仍然是无穷小量,这一方法在求极限时常常用到;再者利用等价无穷量。在求函数极限过程中,如果此函数是某个无穷小量与所有其他量相乘或相除时, 这个无穷小量可以用它的等价无穷小量来代替,从而使计算简化。 例1：求2 1 lim sin x x x →∞的值 解：因为 21 lim x x →∞ 是无穷小量，而lim sin x x →∞是有界变量，所以 2 1 lim sin x x x →∞还是无穷小量，即 2 1 lim sin 0x x x →∞= 利用等价无穷小量代换来求极限 所谓等价无穷小量即 () lim 1 ()x f x g x →∞ =称)(x f 与)(x g 是 0x x →时的等价无穷小量，记作)(x f )(~x g . )(0x x →. 定理：设函数)(),(),(x h x g x f 在 )(00x u 内有定义， 且有)(x f )(~x g . )(0x x → 1.若 lim ()()x f x g x A →∞ =则lim ()()x h x g x A →∞ = 2.若 ()lim ()x h x B f x →∞ =则() lim ()x h x B g x →∞= 证明：① () lim ()()lim lim ()()1()x x x g x g x h x f x h x A A f x →∞→∞ →∞ =?=?= ②可类似证明，在此就不在详细证明了！ 由该定理就可利用等价无穷小量代换来求某些函数的极限 例1：求 30 tan sin lim sin x x x x →-的极限 解：由 ).cos 1(cos sin sin tan x x x x x -= -而)0(,~sin →x x x ； , 2~cos 12 x x -(0)x →；33sin x x -3~x ,(0)x →. 故有2330 0tan sin 112lim lim sin cos 2x x x x x x x x x →→? -=? = 注：由上例可以看出，欲利用此方法求函数的极限必须熟练掌握 一些常用的等价无穷小量，如：由于0sin lim 1 x x x →=，故有 x s i n ).0(,~→x x 又由于0arctan lim 1 x x x →=故有arctan ~x x ，(0)x →。 另注：在利用等价无穷小代换求极限时，应该注意：只有对所求极限中相乘或相除的因式才能用等价无穷小量来代换，而对极限式中的相加或相减的部分则不能随意代换。如上式中若因有t an ~x x ， (0)x →；sin ,(0)x x x →→，而推出的 3300tan sin lim lim 0sin sin x x x x x x x x →→--==则得到的结果是错误的。 小结:在求解极限的时候要特别注意无穷小等价替换,无穷小等价替换可以很好的简化解题。 函数极限的四则运算法则。 在研究数列的极限时，我们已经讨论了数列极限的四则运算性质，对于函数的极限，具有同样的性质，因为这种运算性质只涉及到极限过程本身，与是数列还是函数无关。我们列出如下： 首先假设函数f （x ）和g （x ）都在自变量x 趋向于x 0时存在有限的极限，那么就有下面的运算规则，（我们简写了极限符号，都是表示x x 0→）： a ．如果f （x ）极限存在，那么)(lim )(lim x f k x kf =其中k 为实数； b ．如果f （x ）、g （x ）极限存在， 那么)(lim )(lim )]()(lim[x g x f x g x f ±=±； c ．如果f （x ）、g （x ）极限存在， 那么)(lim )(lim )]()(lim[x g x f x g x f ?=?； d ．如果f （x ）、g （x ）极限存在，其中0)(lim ≠x g 那么 )(lim ) (lim )()(lim x g x f x g x f = ，。 注意这里函数的运算规则里面包括了减法，而数列的减法则没有一般的运算规则。 函数除了通过四则运算进行构造以外，另一个重要的函数构造途径就是函数的复合，那么复合函数的极限与其组成函数的极限有什么关系呢？ （1） 设u x g x x 0 )(lim 0 =→，A u f u u =→)(lim 0 ； （2） 设存在x 0的一个去心邻域。对于在这个邻域内的所有x 都有 u x g 0)(≠，也就是说，在x 趋向于x 0 的过程当中，g （x ）不会取 值u 0； 在这两个条件下，我们有 =→)]([lim 0 x g f x x A u f u u =→)(lim 0 这个法则对于我们求函数的极限是非常有用的，因为常常需要进行变量代换，使得复杂函数变换为比较简单的函数，从而得到所需要的极限。 函数极限存在的判别定理 类似于数列极限的夹逼定理，同样存在函数极限的夹逼定理： 设两个函数g （x ）和h （x ）在x x 0→时，存在同一个极限A ，而在x 0的去心邻域里，存在另一个函数f （x ）满足以下条件： )()()(x h x f x g ≤≤， 那么在x x 0→时，f （x ）也存在极限A 。 在有关函数极限的问题当中，记住重要的一点，就是函数的自变量只需要考虑在它所趋向的点的去心邻域内的有定义即可。 这个定理在某些条件下，可以应用于求函数在某点的极限，即如果已知g （x ）和h （x ）具有简单极限性质，和要考虑的函数f （x ）具有上面不等式所要求的性质，则可以直接得到f （x ）函数的极限性质。 利用这个定理，可以得到重要的两种形式的函数的极限。 两个重要极限。 对于这两个极限，重要的是抓住它们的结构特征： （1）1sin lim 0=→x x x 。 这个极限的结构特征可以表示为： 1()sin()lim 0()=→， 也就是说，括号里的部分是无穷小量。这个极限可以应用于求很多函数的极限。 （2）e x x x =+∞→)1 1(lim 这个极限的结构特征可以表示为： e =+∞→)()11(lim () () 也就是说，括号里的部分是无穷大量。这个极限同样可以应用于求很多函数 的极限。 我们在后面的练习当中，会遇到很多的例子。 函数的连续性，单侧连续性。 我们已经提到过实数的连续性，不过实数的连续性是比较困难的概念，我们不要求掌握，至于函数的连续性，则是另外一个概念，利用极限作为工具，可以说明函数的连续。 我们说函数在某点是连续的，意思是说 （1） 函数在这点的某个领域内有定义； （2） 函数在这点存在极限； （3） 函数在这点的极限等于函数在这点的函数值。 精确地说，就是： 我们说函数在某点x 0处是连续的，意思是说 （1） 函数在这点的某个领域内有定义； （2） 对于任意给定的ε，总是存在某个δ，使得只要 δ<-x x 0，就可以得到相应的 ε<-)()(0x f x f ， 注意与极限定义相比，这里x x 0-没有要求大于0，而是存在等于0的情况。 我们可以看到极限与连续存在紧密联系，比照单侧极限的可以用单侧极限来定义单侧连续。 函数在某点存在左极限，并且左极限值等于函数在这点的因变量值，这称函数在这点左连续； 函数在某点存在右极限，并且右极限值等于函数在这点的因变量值，这称函数在这点右连续。 显然函数在这点连续的一个充要条件就是函数在这点同时左连续与右连续，左右极限值都同时等于函数在这点的因变量值。 同样这种单侧连续概念可以应用于研究分段函数。 最后，我们可以看到，函数极限性质是函数一种局部性质，函数连续性同样是函数在一点的局部性质，都要求函数在这点的某个邻域有定义。邻域概念本身就是一个表达一点的局部范围的概念。 对于一个函数，如果它在定义域的每一点都是连续的，则称函数在它的定义域上都是连续的。 连续函数的运算性质，初等函数的连续性。（连续性运算）非常类似于极限的运算性质，对于连续性，由于它的极限本质，同样存在相应的四则运算性质和复合性质： 1．设函数f（x）和g（x）在x0处连续，则函数 （1） ) ( ) (x bg x af+，其中a，b为任意常数； （2） ) ( ) (x g x f?； （3） ) ( ) ( x g x f ，其中g（x）不能等于0。 都在x0处连续。 2．设函数u=g（x）在x0处连续，函数y=f（u）在u0处连续，g（x0）= u0，那么函数 y=f[g（x）]在x0处连续。 有了这两个基本定理，我们从基本初等函数的连续性开始，可以一步一步地得到初等函数的连续性，即任意初等函数在其定义域上的每一点处都是连续的。 这个结论具有极其重要的价值。后面我们可以看到，初等函数的这个性质使得我们对它们的处理大大简化了。 闭区间连续函数的性质，中值，最值。 所谓区间的连续性，直观地看，就是实数轴X上面的一个线段区间，而函数的连续性，就是把X轴上面的一个连续线段区间，变换为Y轴上面的一个连续线段区间。 对于所谓实数区间的连续性，我们只能从直观的角度来把握，而不能作更进一步的理论探讨，因为这超出了本课程的范围。 对于连续函数来说，实数轴上面的闭区间具有非常重要的意义，首先我们给出一个基本定理： 定义在有限闭区间上面的连续函数的值域也是有限闭区间。定义域是闭区间函数的值域也是闭区间 从这个基本定理出发，我们可以从下面的几个定理体会到闭区间对于连续函数的意义之所在： （1）定义在一个闭区间上面的连续函数，必定存在函数在这个区间上面的最大值与最小值。这就是所谓最值定理。 （2）定义在一个闭区间上面的连续函数，必定是有界的。这就是所谓有界性定理。 （3）定义在一个闭区间[a，b]上面的连续函数f（x），对于满足 f（a） ] , [ 'b a x∈，使得. )' (c x f= 这就是所谓介值定理。 （4）定义在一个闭区间[a，b]上面的连续函数f（x），如果f（a）·f （b）<0，则总是存在一个 ] , [ 'b a x∈ ，使得 . )' (c x f= 这就是所谓零值定理。 （5）如果函数y=f（x）为在闭区间[a，b]上面严格单调增加（减小）的连续函数，f（a）=A，f（b）=B，则在闭区间[A，B]上面存在f的反函数x=g（y）为严格单调增加（减小）。这实际上是极其基本的反函数存在定理。 间断点及其分类。 前面我们已经把函数在某点连续的意思概括为三点，那么相应的，如果说一个函数在某点不连续，或者说发生了间断，就必定是出现了三种情况之一： （1） 函数在这点没有定义； （2） 函数在这点左右极限之一不存在或左右极限都不存在； （3） 函数在这点的左右极限存在但不等于该点的函数值 怎么理解函数的间断点及其分类？ [答] 函数的间断点是以否定连续性来定义的，要讨论函数f(x)在点x=x0 的连续性，主要是讨论极限 () x f lim x x 0 →。按现行高等数学教材的定义，只有 当f(x)在x0的邻域或某个去心邻域? ?? ? ?δ∧,x U 0内有定义时，才可能讨论此极限，这时也说此极限是有意义的（注意：极限是否有意义与极限是否存在是 两码事）。如果邻域无意义，极限也没有意义，说函数f(x)在点x0是连续或间断，也就没有意义。 此外，由于我们定义了单侧极限，因此，在双侧极限无意义而单侧极限有意义时，我们也可说该点是函数的连续点或间断点。 间断点的分类也按极限() x f lim x x 0 →的情况来分：左、右极限都存在的间断点称第一类间断点（包括可去间断点和跳跃间断点两种） 左右极限至少有一个不存在的间断点称为 第二类间断点（包括无穷间断点，振荡间断点，以及其它有名称或无名称的间断点）。 此外，在双侧极限无意义而单侧极限有意义时，也按单侧极限存在与否来对间断点分类，例如 ()x e x f 11=，x=0是()x f 1的第二类间断点。因此()+∞=+001f ，()0001=-f ， 所以x=0不是第一类间断点，也不是无穷间断点。 ()x ln x f =2，x=0是()x f 2的第二类（无穷）间断点（虽然在x=0只 有单侧极限）；x=-1即不是()x f 2的间断点，也不是连续点。 ()x x f =3，x=0是()x f 3的连续点，因为()()03300f x f lim x =+→，即()x f 3在x=0右连续，而在x<0时()x f 3无定义。 ()x x sin x f = 4，x=0是()x f 4的第一类（可去）间断点，因为右极限 存在，而左极限无意义。 关于大学高等数学函数极 限和连续 Last revision on 21 December 2020 第一章 函数、极限和连续 § 函数 一、 主要内容 ㈠ 函数的概念 1. 函数的定义: y=f(x), x ∈D 定义域: D(f), 值域: Z(f). 2.分段函数: ? ? ?∈∈=21)()(D x x g D x x f y 3.隐函数: F(x,y)= 0 4.反函数: y=f(x) → x=φ(y)=f -1(y) y=f -1 (x) 定理:如果函数: y=f(x), D(f)=X, Z(f)=Y 是严格单调增加(或减少)的； 则它必定存在反函数： y=f -1(x), D(f -1)=Y, Z(f -1)=X 且也是严格单调增加(或减少)的。 ㈡ 函数的几何特性 1.函数的单调性: y=f(x),x ∈D,x 1、x 2∈D 当x 1＜x 2时,若f(x 1)≤f(x 2), 则称f(x)在D 内单调增加( )； 若f(x 1)≥f(x 2), 则称f(x)在D 内单调减少( )； 若f(x 1)＜f(x 2), 则称f(x)在D内严格单调增加( )； 若f(x1)＞f(x2), 则称f(x)在D内严格单调减少( )。 2.函数的奇偶性：D(f)关于原点对称 偶函数：f(-x)=f(x) 奇函数：f(-x)=-f(x) 3.函数的周期性： 周期函数：f(x+T)=f(x), x∈(-∞，+∞) 周期：T——最小的正数 4.函数的有界性： |f(x)|≤M , x∈(a,b) ㈢基本初等函数 1.常数函数： y=c ， (c为常数) 2.幂函数： y=x n , (n为实数) 3.指数函数： y=a x , (a＞0、a≠1) 4.对数函数： y=log x ,(a＞0、a≠1) a 5.三角函数： y=sin x , y=con x y=tan x , y=cot x y=sec x , y=csc x 6.反三角函数：y=arcsin x, y=arccon x y=arctan x, y=arccot x ㈣复合函数和初等函数 1.复合函数： y=f(u) , u=φ(x) y=f[φ(x)] , x∈X 2.初等函数: 对函数极限相关性质的理解及应用 定西师范高等专科学校 数学系 数学教育专业 09级3班 程艳君 摘 要：函数极限的概念和存在条件是我们理解函数极限和判断函数极限是否存在的主要依据，函数的极限在数学分析中占有十分重要的地位，因此，较为复杂函数极限的计算也是我们学者应该掌握的。本文浅略地介绍了函数极限的概念和存在条件，函数极限的性质以及两个重要极限在计算比较复杂的函数极限中的应用。 关键词：函数极限；重要极限；四则运算；迫敛法。 引 言： 函数极限是数学分析的重要概念，它贯彻于整个数学分析中，函数极限理论是研究函数连续、导数、积分、级数等的基本工具，而一些较为复杂的函数极限计算又在解决实际问题中是必不可少的。本文最主要介绍函数极限的概念和函数极限存在的条件，还有两个重要函数极限、迫敛法和四则运算法在解较复杂函数极限中的应用。 1 . 函数的极限和极限存在的条件 1.1 函数的极限 1.1.1 x 趋于∞+时函数的极限 设函数f 定义在 ),[∞a 上，类似于数列的情形，我们研究当自变量x 趋于∞+时，对应的函数值能否无限的接近于某个正数A 。例如，对于函数x x f 1)(=，从图像上可见，当x 无限的增大时，函数值无限的接近于0；而对于函数 x crc x g tan )(=，则当x 趋于∞+时函数值无限的接近于2 π。我们称这两个函数当x 趋于∞+时有极限。一般地，当x 趋于∞+ 时函数的极限饿精确定义如下： 设f 为定义在),[∞a 上的函数，A 为定数。若对任给的0>ε，存在正数M(a ≥)，使得当M x >时有ε<-a x f )(，则称函数f 当x 趋于∞+时以A 为极限，记作 函数极限的定义 林芳 20101101903 数学科学学院 2010级（1）班 指导教师 韩刚 摘要 极限是数分中的重要内容，用定义证明极限类型题都要用到它。本文就给出二十四个函数极限的定义。 关键词 极限 1函数在一点的极限的定义 1.1函数在0x 点的极限的定义 设函数f(x)在0x 点的附近（但可能除掉点本身）有定义，又设A 是一个定数。如果对任意给定的ε>0，一定存在δ>0，使得当0<0x x -<δ时，总有A x f -)(<ε，我们就称A 是函数在点0x 的极限，记为 A x f x x =→0 )(lim , 或者记为 f(x)→A(x 0x →). 这时也称函数f(x)在0x 点极限存在，其极限值是A. 1.2函数在点0x 右侧的极限的定义 设函数f(x)在（0x ，η+0x ）内有定义，η是一个确定的正数，又设A 是一个定数。如果对任意给定的ε>0,总存在δ>0，当0 我们就称A 是函数f(x)在点x 0的右极限，记为 0)(lim +→x x x f =A 或f(x 0+0)=A 或 f(x)→A (x 0x →+0) 这时也称函数f(x)在点0x 右极限存在。 1.3函数在0x 点左侧的极限的定义 设函数f(x)在（00,x x η-）内有定义，η是一个确定的正数，又设A 是一个定数。如果对任意给定的ε>0,总存在δ>0，当0<δ<-x x 0时，有A x f -)(<ε,我们就称A 是函数f(x)在点的左极限，记为 0)(lim -→x x x f =A 或 f(00-x )=A 或 f(x))0(0-→→x x A 这时也称函数f(x)在0x 点左极限存在. 2函数在无限远处的极限 2.1函数在无限远处极限的定义 若对任意给定的ε>0，存在X>0，当X x >时，总有ε<-A x f )(，我们说A 是f(x)在无限远处的极限，或者说A 是当x 的极限时)(x f ∞→,记为 ) ()()()(lim ∞→→=∞=∞→x A x f A f A x f x 或 这时也称函数f(x)在无限远处极限存在 2.2函数在正无限远处的极限的定义 引言 在数学分析中，极限的概念占有主要的低位并以各种形式出现而贯穿全部内容,同时极限概念与方法是近代微积分的基础. 因此掌握好极限的求解方法是学习数学分析和微积分的关键一环.本文主要对一元函数极限定义和它的求解方法进行了归纳总结,并在具体求解方法中就其中要注意的细节和技巧做了说明, 以便于我们了解函数的各种极限以及对各种极限进行计算.求函数极限的方法较多,但每种方法都有其局限性, 都不是万能的, 对某个具体求极限的问题,我们应该选择合适的方法. 一、函数极限概念 定义1[]1 设f 为定义在[)+∞,a 上的函数，A 为定数.若对任给的ε>0，存在 正数M （a ≥），使得当M x >时有 ()f x A ε-<， 则称函数f 当x 趋于+∞时以A 为极限，记作 lim ()x f x A →+∞ = 或()().f x A x →→+∞ 定义2[]1 （函数极限的ε-δ定义）设函数f 在点 0x 的某个空心邻域0 U （0x ；'δ）内有定义，A 为定数。若对任给的ε>0，存在正数δ（<'δ），使得当0<0x x δ-<时有 ()f x A ε-<， 则称函数f 当x 趋于0x 时以A 为极限，记作 lim ()x f x A →∞ =或0()()f x A x x →→. 定理1[]1 设函数f 在0'0(,)U x δ+（或00(;')U x δ-）内有定义，A 为实数。若 对任给的0ε>，存在正数'()δδ<，使得当00x x x δ<<+（或00x x x δ-<<）时有 ()f x A ε-<， 则称数A 为函数f 当x 趋于0x +（或0x -）时的右（左）极限，记作 云南大学 数学分析习作课（1）读书报告 题目：数列极限与函数极限的异同 （定义，存在条件，性质，运算四方面的对比）学院：物理科学技术学院 专业：数理基础科学 姓名、学号： 任课教师： 时间： 2009-12-26 摘要 极限是数学中极其重要的概念之一，极限的思想是人们认知数学世界解决数学问题的 重要武器，是高等数学这个庞大的数学体系得以建立的基础和基石； 极限在数学中处于基础的地位，它是解决微积分等一系列重要数学问题的前提和基 础； 极限是一种思维，在学习高数时最好理解透彻了，在线代中没什么用.但是概率中用 的比较多，另外物理中许多都用到了极限的思维，它也能帮助更好的理解一些物理知 识； 在高等数学中，极限是一个重要的概念，极限可分为数列极限与函数极限，下面是关于两种极限的简要联系与说明。 关键词：数列极限与函数极限的定义，存在条件，性质，运算 一数列极限与函数极限的定义 1、数列与函数： a、数列的定义：数列是指按自然数编了号的一串数：x1，x2，x3，…，x n，…. 通常记作{x n}，也可将其看作定义在自然数集N上的函数x n=N (， ), n n f∈故也称之为整标函数。 b、函数的定义：如果对某个范围X内的每一个实数x，可以按照确定的规律f， 得到Y内唯一一个实数y和这个x对应，我们就称f是X上的函数，它在x的数值（称为函数值）是y，记为) f y=。 (x (x f，即) 称x是自变量，y是因变量，又称X是函数的定义域，当x遍取X内的所有实数时，在f的作用下有意义，并且相应的函数值) f的全体所组成的范围叫作 (x 函数f 的值域，要注意的是：值域不一定就是Y ，它当然不会比Y 大，但它可能比Y 小。 2、 （一） 数列极限的定义： 对数列}{x n ，若存在常数A ，对N n N >?∈?>?,N ,0ε，有 ε<-A x n ，则称 数列收敛且收敛于A ，并称数列}{x n 的极限为A ，记为x n n lim ∞ →=A. 例1.试用定义验证：01 lim =∞→n n . 证明：分析过程，欲使,1 01ε<=-n n 只需ε 1 >n 即可，故 εεε<->?+?? ? ???=?>?01:,11,0n N n N . 例2.试用定义验证：).11(lim <<-=∞ →q n 证明：分析过程.欲使[]ε <=-n n q q 0， 只需q n lg lg ε > （注意0lg 函数极限的综合分析与理解 PB 王欣 极限可以与很多的数学问题相联系。例如，导数从根本上是求极限；函数连续首先要求函数在某一点的左极限等于右极限。有鉴于函数极限的重要性，结合自己的学习心得，笔者写下了此文。其目的在于归纳和总结解决函数极限问题的实用方法和技巧，以期对函数极限问题的学习有所帮助。 一、函数极限的定义和基本性质 函数极限可以分成x →0x ，x →∞两类，而运用ε-δ定义更多的见诸于已知极限值的证明题中。掌握这类证明对初学者深刻理解运用极限定义大有裨益。以0x x →的极限为例，()x f 在点0x 以A 极限的定义是：,0,0>?>?δε使当δ<-<00x x 时，有()().f x A A ε-<为常数问题的关键在于找到符合定义要求的δ，在这一过程中会用到一些不等式技巧，例如放缩法等。 函数极限性质的合理运用。常用的函数极限的性质有函数极限的唯一性、局部有界性、保序性以及函数极限的运算法则和复合函数的极限等等。如函数极限的唯一性（若0 lim x x →存在，则在该点的极限是唯一的）可以体现在用海涅定理证明()x f 在0x 处的极限不存在。即如果()A x f n →，()B x f n →'（0',x x x n n n →∞→和）， 则()x f 在0x 处的极限不存在。 运用函数极限的性质可以方便地求出一些简单函数的极限值。例如对于有理分式()()() x Q x P x f =（()()x Q x P ,均为多项式，()0≠x Q ）。设()x P 的次数为n ,()x Q 的次数为m ， 当∞→x 时，若m n <，则()0→x f ;若m n =，则()→x f ()x P 与()x Q 的最高次项系数之比；若 m n >，则()∞→x f 。 000()()(()0)()P x f x Q x Q x →→≠0当x x 时,。 二、运用函数极限的判别定理 最常用的判别定理包括单调有界定理和夹挤定理，在运用它们去求函数的极限时尤需注意以下关键之点。一是先要用单调有界定理证明收敛，然后再求极限值，参见附例2。二是应用夹挤定理的关键是找到极限值相同的函数()x g 与()x h ，并且要满足()()()x h x f x g ≤≤，从而证明或求得函数()x f 的极限值。 设 f ( x ) 2 x ， 求 f ( x ) 的 定 义 域 及 值 域 。 1 x 设 f ( x) 对一切实数 x 1， x 2 成立 f ( x 1 x 2 ) f ( x 1 ) f ( x 2 )，且 f (0 ) 0， f (1) a ， 求 f (0 )及 f ( n)．(n 为正整数 ) 定 义 函 数 I ( x) 表 示 不 超 过 x 的 最 大 整 数 叫 做 x 的 取 整 函 数 ，若 f ( x) 表 示 将 x 之 值 保 留 二 位小数，小数第 3 位起以后所有数全部舍去，试用 表 示 f ( x) 。 I ( x) 定 义 函 数 I ( x) 表 示 不 超 过 x 的 最 大 整 数 叫 做 x 的 取 整 函 数 ，若 g ( x) 表 示 将 x 依 4 舍 5 入 法 则 保 留 2 位 小 数 ， 试 用 I ( x) 表 示 g ( x) 。 在某零售报摊上每份报纸的进价为 0.25 元，而零售价为 0.40 元，并且如果报纸当天未售 出 不 能 退 给 报 社 ，只 好 亏 本 。若 每 天 进 报 纸 t 份 ，而 销 售 量 为 x 份 ，试 将 报 摊 的 利 润 y 表 示 为 x 的函数。 定义函数 I ( x)表示不超过 x 的最大整数叫做 x 的取整函数，试判定 ( x) x I ( x )的周期性。 判定函数 x x ln( 1 x x )的奇偶性。 f ( x ) ( e 1) 设 f ( x ) e x sin x ， 问 在 0 ， 上 f ( x ) 是 否 有 界 ？ 函 数 y f ( x ) 的 图 形 是 图 中 所 示 的 折 线 O BA ， 写 出 y f ( x) 的 表 达 式 。 x 2 ， 0 x ； x ， x ； 设 f ( x) 2 ( x) 0 4 求 f ( x ) 及f ( x ) ． x x 4 x x ， ． ， ． 2 2 2 4 6 设 f ( x ) 1， x 0 ； ( x ) 2 x 1， 求 f ( x ) 及 f ( x) ． 1 ， x 0 ． e x ， x ； 0 ， x 0 ； 设 f ( x ) 求 f ( x )的反函数 g ( x ) 及 f ( x ) ． x x ( x) x 2， x 0 ， ． ． 1 x ) ， ( x ) x ， x 0 ； 求 f ( x ) ． 设 f ( x )( x x 2 ， x 2 0 ． 2 x ， x 0 ； 求 f f ( x ) 设 f ( x ) x 0． ． 2 ， 0 ， x ； x ， x ； ( x ) 求 f ( x) ( x )． 设 f ( x ) x ， x 0 ． x ， x ． 1 XX大学 数学分析习作课（1）读书报告 题目：数列极限与函数极限的异同 （定义，存在条件，性质，运算四方面的对比）学院：物理科学技术学院 专业：数理基础科学 、学号： 任课教师： 时间：2009-12-26摘要 极限是数学中极其重要的概念之一，极限的思想是人们认知数学世界解决数学问题的 重要武器，是高等数学这个庞大的数学体系得以建立的基础和基石； 极限在数学中处于基础的地位，它是解决微积分等一系列重要数学问题的前提和基础； 极限是一种思维，在学习高数时最好理解透彻了，在线代中没什么用.但是概率中用的比较多，另外物理中许多都用到了极限的思维，它也能帮助更好的理解一些物理知识；在高等数学中，极限是一个重要的概念，极限可分为数列极限与函数极限，下面是关于两种极限的简要联系与说明。 关键词：数列极限与函数极限的定义，存在条件，性质，运算 一数列极限与函数极限的定义 1、数列与函数： a 、数列的定义：数列是指按自然数编了号的一串数：x 1，x 2，x 3，…，x n ，…. 通常记作{x n }，也可将其看作定义在自然数集N 上的函数x n =N n n f ∈),(， 故也称之为整标函数。 b 、函数的定义：如果对某个围X 的每一个实数x ，可以按照确定的规律f ，得到Y 唯 一一个实数y 和这个x 对应，我们就称f 是X 上的函数，它在x 的数值（称为函数值）是y ，记为)(x f ，即)(x f y =。 称x 是自变量，y 是因变量，又称X 是函数的定义域，当x 遍取X 的所有实数 时，在f 的作用下有意义，并且相应的函数值)(x f 的全体所组成的围叫作函数f 的值域，要注意的是：值域不一定就是Y ，它当然不会比Y 大，但它可能比Y 小。 2、 （一）数列极限的定义： 对数列}{x n ，若存在常数A ，对N n N >?∈?>?,N ,0ε，有 ε<-A x n ，则称 数列收敛且收敛于A ，并称数列}{x n 的极限为A ，记为x n n lim ∞ →=A. 例1.试用定义验证：01 lim =∞→n n . 证明：分析过程，欲使,1 01ε<=-n n 只需ε 1 > n 即可，故 εεε<->?+?? ? ???=?>?01:,11,0n N n N . 例2.试用定义验证：).11(lim <<-=∞ →q n 证明：分析过程.欲使[]ε <=-n n q q 0， 只需q n lg lg ε > （注意0lg 对函数极限概念的理解 函数极限概念，不易理解。由于极限概念具有高度的抽象性，因此，令人很难快速正确理解和掌握极限数学语言的真正内涵，以致于学完了极限，极限的意识还很薄弱。因此，要抓住理解的关键，我们体会，宜抓住以下三点： （一）将“任意近处”的描绘性语言，转化为可进行量化比较的准确表达 考察数集X={x},若在点x0的任意近处包含有X中异于x0的x的值，则点x0称为这数集的聚点。 为着要更准确地表达这定义，我们引入点x0的邻域的概念：以点x0为中心的开区间（x0?δ，x0+δ）称为点x0的邻域。下边我们将聚点做可进行量化比较的准确表达：若在点x0的任一邻域内包含X中异于x0的x的值，则x0是数集X的聚点。关于“任一邻域”，δ=1cm算不算“任一邻域”？不算。只能说它是“任一邻域”之一部分而不是全部；δ=1mm算不算“任一邻域”？不算。只能说它是“任一邻域”之一部分而不是全部；δ=1nm算不算“任一邻域”？不算。只能说它是“任一邻域”之一部分而不是全部；……,点x0的邻域可以无穷小。因此，“任一邻域”是一个无穷集。 对聚点x0本身来说，可以属于X，或不属于X。也就是说x0在X上可以有定义或无定义。x0在X上无定义时，它的邻域也存在，叫做空心领域。 （二）注意函数f(x)在x接近于x0时的性态。 设在区域X内给定函数f(x)，且x0是X的聚点。这函数f(x)在x接近于x0时的性态是值得注意的。相对于自变量x,通过法则f,得到f(x)，若出现了f(x)无限趋近于数A的性态，或者叫做f(x)与数A的差距无限小的性态，则可类似于x0的邻域δ，把ε看作A的邻域， 而把这种性态更准确地表达为：Ⅰf(x)- AⅠ<ε(ε是任一大于零的数)。这个表达就具备了可 进行量化比较性。 （三）δ与ε的关系 从x与f(x)的关系看，前者为因，后者为果。但是从x0的邻域δ与A的邻域ε的关系看，则是前者依赖后者，总是要先给定任一ε>0，而后求那个能保证ε成立的δ。即δ的几何空 间受ε的几何空间的约束。既然f(x)无限趋近于数A的性态，可更准确地表达为：Ⅰf(x)- A Ⅰ<ε(ε是任一大于零的数)，那么，使Ⅰf(x)- AⅠ<ε(ε是任一大于零的数)成立的δ应是什么样呢？也就是如何依赖Ⅰf(x)- AⅠ<ε求δ呢？具体过程如下： 将Ⅰf(x)- AⅠ变形：Ⅰf(x)- AⅠ=MⅠx-x0Ⅰ,其中M是一个与x无关的常量。 再取δ=ε M ，则当0<Ⅰx-x0Ⅰ<δ时，有0<Ⅰx-x0Ⅰ<ε M ，整理为0 第三节 函数的极限（一） 教学目的：（1）理解函数极限和左、右极限的概念； （2）理解无穷小概念，掌握其性质 教学重点：函数极限的概念，无穷小概念 教学难点：函数极限的概念的理解与应用 教学方法：讲授法 教学时数：2课时 本节我们将数列极限的概念推广到一元实值函数，然后研究函数极限的性质及其运算法则. 一、函数极限的概念 1.自变量x 趋于无穷大时函数的极限 1）+∞→x 时的极限： +∞→x 读作“x 趋于正无穷大”，表示x 无限增加，0x > ． 例：对于x x f 1)(= ，当自变量+∞→x 时，x x f 1 )(=与常数0无限接近 ． 复习数列极限的定义：数列{}n x 以a 为极限即a x n n =∞ →lim ? 0>?ε，N ?，N n >时,ε<-a x n ． 令()n f x n =，则()?=∞ →a n f n lim 0>?ε，N ?，当N n >时，()ε<-a n f ．将n 换成连续变量x ，将a 改记为A ，就可以得到x →+∞时，()A x f →的极限的定义及其数学上的精确描述 ． 定义3.1：设函数)(x f 在),(+∞a 内有定义，,A ∈若0>?ε，0X ?>，当x X >时，有()ε<-A x f ，则称数A 为函数()x f 当x →+∞时的极限，记作()lim x f x A →+∞ =， 或()A x f →，（x →+∞） ． 几何意义：对任意给定的0ε>，在轴上存在一点X ，使得函数的图象 {(,)|(),(,)}x y y f x x a =∈+∞在X 右边的部分位于平面带形),(),(εε+-?+∞A A X 内 ． 2）x →-∞时的极限： x →-∞读作“x 趋于负无穷大”，表示x 无限增加，0x < ． 定义：设函数)(x f 在),(a -∞内有定义，,A ∈若0>?ε，0X ?>，当x X <-时，有()ε<-A x f ，则称数A 为函数()x f 当x →-∞时的极限，记作()lim x f x A →-∞ = 一、函数、极限、连续重要概念公式定理 （一）数列极限的定义与收敛数列的性质 数列极限的定义：给定数列{}n x ,如果存在常数A ,对任给0ε>,存在正整数N ,使当n N >时,恒有 n x A ε-<,则称A 是数列{}n x 的当n 趋于无穷时的极限,或称数列{}n x 收敛于A ,记为lim n n x A →∞ =.若 {}n x 的极限不存在,则称数列{}n x 发散. 收敛数列的性质： (1)唯一性：若数列{}n x 收敛,即lim n n x A →∞ =,则极限是唯一的． (2)有界性：若lim n n x A →∞ =,则数列{}n x 有界,即存在0M >,使得对n ?均有n x M ≤. (3)局部保号性：设lim n n x A →∞ =,且()00A A ><或,则存在正整数N ,当n N >时,有()00n n x x ><或. (4)若数列收敛于A ,则它的任何子列也收敛于极限A . （二）函数极限的定义 （三）函数极限存在判别法 (了解记忆) 1．海涅定理：()0 lim x x f x A →=?对任意一串0n x x →()0,1,2,n x x n ≠= ,都有 ()l i m n n f x A →∞ = ． 2.充要条件：(1)()()0 lim ()lim lim x x x x x x f x A f x f x A + -→→→=?==; (2)lim ()lim ()lim ()x x x f x A f x f x A →∞ →+∞ →-∞ =?==. 3.柯西准则：()0 lim x x f x A →=?对任意给定的0ε>,存在0δ>,当 100x x δ<-<,200x x δ<-<时,有()()12f x f x ε-<. 4.夹逼准则：若存在0δ>,当00x x δ<-<时,有)()()x f x x ? φ≤≤（,且0 lim ()lim (),x x x x x x A ?φ→→==则0 lim ()x x f x A →=. 5.单调有界准则：若对于任意两个充分大的1212,,x x x x <,有()()12f x f x <(或()()12f x f x >),且存在 常数M ,使()f x M <(或()f x M >),则()lim x f x →+∞ 存在. （四）无穷小量的比较 (重点记忆) 1.无穷小量阶的定义,设lim ()0,lim ()0x x αβ==. (1)若() lim 0() x x αβ=,则称()x α是比)x β（高阶的无穷小量. (2)() lim ,())() x x x x ααββ=∞若则是比（低阶的无穷小量. (3)() lim (0),())() x c c x x x ααββ=≠若则称与（是同阶无穷小量. (4)() lim 1,())() x x x x ααββ=若则称与（是等价的无穷小量,记为()()x x αβ~. (5)() lim (0),0,())() k x c c k x x k x ααββ=≠>若则称是（的阶无穷小量 2.常用的等价无穷小量 (命题重点,历年必考) 当0x →时, sin arcsin tan ~,arctan ln(1)e 1x x x x x x x ????? ? ? ? +? -?? () 2 11c o s ~2 (1)1~x x x x ααα-+- 是实常数 （五）重要定理 (必记内容,理解掌握) 定理1 0 00lim ()()()x x f x A f x f x A -+→=?==. 定理2 0 lim ()()(),lim ()0x x x x f x A f x A a x a x →→=?=+=其中. 定理3 (保号定理)：0 lim (),0(0),0x x f x A A A δ→=>设又或则一个,当 000(,),()0(()0)x x x x x f x f x δδ∈-+≠><且时，或. 定理4 单调有界准则：单调增加有上界数列必有极限;单调减少有下界数列必有极限. 定理5 (夹逼定理)：设在0x 的领域内,恒有)()()x f x x ? φ≤≤（,且 0 lim ()lim (),x x x x x x A ?φ→→==则0 lim ()x x f x A →=． 设x x x f += 12)(，求)(x f 的定义域及值域。 ，，，且成立，对一切实数设a f f x f x f x x f x x x f =≠=+)1(0)0()()()()(212121)()()0(为正整数．及求n n f f 定义函数)(x I 表示不超过x 的最大整数叫做x 的取整函数，若)(x f 表示将x 之值保留二位小数，小数第3位起以后所有数全部舍去，试用)(x I 表示)(x f 。 定义函数)(x I 表示不超过x 的最大整数叫做x 的取整函数，若)(x g 表示将x 依4舍5入法则保留2位小数，试用)(x I 表示)(x g 。 在某零售报摊上每份报纸的进价为0.25元，而零售价为0.40元，并且如果报纸当天未售出不能退给报社，只好亏本。若每天进报纸t 份，而销售量为x 份，试将报摊的利润y 表示为x 的函数。 的取整函数，试判定的最大整数叫做表示不超过定义函数x x x I )(的周期性。)()(x I x x -=? 的奇偶性。 判定函数)1ln()1()(x x e x f x x -+?-=+ [ )设，问在，上是否有界？f x e x f x x ()sin ()=+∞0 函数的图形是图中所示的折线，写出的表达式。y f x OBA y f x ==()() ???≤≤-<≤=????≤≤+<≤=．， ； ，．，；， 设64240)(42220)(2 x x x x x x x x x x f [][]．及求)()(x f x f ?? [][]设，； ，． ，求及．f x x x x x f x f x ()()()()=-≤>???=-101021??? ???>-≤=????>≤-=． ，； ，．， ；，设000)(00)(2 x x x x x x x e x f x []．及的反函数求)()()(x f x g x f ? []设，，；，．求．f x x x x x x x x f x ()()()()=+=<≥???1 2002?? []设，； ， ．求．f x x x x f f x ()()=+<≥???2020 ．求．，； ，．，；，设)()( 111)(000)(x x f x x x x x x x x x f ?+? ??≥<+=????≥<= 常量与变量 变量的定义 我们在观察某一现象的过程时，常常会遇到各种不同的量，其中有的量在过程中不起变化,我们把其称之为常量；有的量在过程中是变化的，也就是可以取不同的数值，我们则把其称之为变量。 注：在过程中还有一种量，它虽然是变化的，但是它的变化相对于所研究的对象是极其微小的，我们则把它看作常量。 变量的表示 如果变量的变化是连续的，则常用区间来表示其变化范围。 在数轴上来说，区间是指介于某两点之间的线段上点的全体。 以上我们所述的都是有限区间，除此之外，还有无限区间： [a，+∞)：表示不小于a的实数的全体，也可记为：a≤x＜+∞； (-∞，b)：表示小于b的实数的全体，也可记为：-∞＜x＜b； (-∞，+∞)：表示全体实数R，也可记为：-∞＜x＜+∞ 注：其中-∞和+∞，分别读作"负无穷大"和"正无穷大",它们不是数,仅仅是记号。 邻域 设α与δ是两个实数，且δ＞0.满足不等式│x-α│＜δ的实数x的全体称为点α的δ邻域，点α称为此邻域的中心，δ称为此邻域的半径。 函数 函数的定义 如果当变量x在其变化范围内任意取定一个数值时，量y按照一定的法则总有确定的数值与它对应，则称y是x的函数。变量x的变化范围叫做这个函数的定义域。通常x叫做自变量，y叫做因变量。 注：为了表明y是x的函数，我们用记号y=f(x)、y=F(x)等等来表示.这里的字母"f"、"F"表示y与x之间的对应法则即函数关系,它们是可以任意采用不同的字母来表示的. 注：如果自变量在定义域内任取一个确定的值时，函数只有一个确定的值和它对应，这种函数叫做单值函数，否则叫做多值函数。这里我们只讨论单值函数。 函数的有界性 如果对属于某一区间I的所有x值总有│f(x)│≤M成立，其中M是一个与x无关的常数，那么我们就称f(x)在区间I有界，否则便称无界。 注意：一个函数，如果在其整个定义域内有界，则称为有界函数 例题：函数cosx在(-∞,+∞)内是有界的. 函数的单调性 高等数学第一章函数与极限试题 一. 选择题 1.设F(x)是连续函数f(x)的一个原函数，""N M ?表示“M 的充分必要条件是N ”，则必有 （A ） F(x)是偶函数?f(x)是奇函数. （B ） F(x)是奇函数?f(x)是偶函数. （C ） F(x)是周期函数?f(x)是周期函数. （D ） F(x)是单调函数?f(x)是单调函数 2．设函数,1 1)(1 -= -x x e x f 则 （A ） x=0,x=1都是f(x)的第一类间断点. （B ） x=0,x=1都是f(x)的第二类间断点 （C ） x=0是f(x)的第一类间断点，x=1是f(x)的第二类间断点. （D ） x=0是f(x)的第二类间断点，x=1是f(x)的第一类间断点. 3．设f (x)=x x 1 -，x ≠0,1,则f [)(1 x f ]= ( ) A ） 1－x B ） x -11 C ） X 1 D ） x 4．下列各式正确的是 ( ) A ） lim + →x )x 1 +1(x =1 B ） lim + →x )x 1 +1(x =e C ） lim ∞ →x )x 1 1－(x =-e D ） lim ∞ →x )x 1 +1(x -=e 5．已知9)( lim =-+∞→x x a x a x ，则=a ( )。 A.1； B.∞； C.3ln ； D.3ln 2。 6．极限：=+-∞→x x x x )1 1( lim ( ) A.1； B.∞； C.2 -e ； D.2 e 7．极限：∞ →x lim 3 32x x +=（ ） A.1； B.∞； C.0； D.2． 8．极限：x x x 11lim 0-+→=（ ） A.0； B.∞； C 2 1； D.2． 函数极限总结 一．极限的产生 极限理论是研究关于极限的严格定义、基本性质和判别准则等问题的基础理论。 极限思想的萌芽可以追溯到古希腊时期和中国战国时期，但极限概念真正意义上的首次出现于沃利斯的《无穷算数》中，牛顿在其《自然哲学的数学原理》一书中明确使用了极限这个词并作了阐述。但迟至18世纪下半叶，达朗贝尔等人才认识到，把微积分建立在极限概念的基础之上，微积分才是完善的，柯西最先给出了极限的描述性定义，之后，魏尔斯特拉斯给出了极限的严格定义（ε-δ和ε-N 定义）。 从此，各种极限问题才有了切实可行的判别准则，使极限理论成为了微积分的工具和基础。[1] 二．极限知识点总结 1. 极限定义 函数极限：设函数f(x)在点的x 0某一去心邻域内有定义，如果存在常数A ，对于任意给定的正数ε（无论它多么小），总存在正数 ，使得当x 满足不等式 时，对应的函数值 都满足不等式： 那么常数A 就叫做函数f(x)?当x →x 0时的极限，记作。[2] 单侧极限：?.左极限：或 ?.右极限：或 定理： 函数当时极限存在的充分必要条件是左、右极限各自存在且相 δ<<|x -x |00ε <-|)(|A x f A x f x x =→)(lim 0 A x f x x =- →)(lim )()(左→→x A x f A x f x x =+ →)(lim )()(右→→x A x f A x f x f A x f x x ==? =+-→)()()(lim 0 )(x f 0x x → 等 即。 2. 极限概念 函数极限可以分成以的极限为例，f(x) 在点x 0以A 为极限的定义是：对于任意给定的正数ε（无论它多么小），总存在正数δ，使得当x 满足不等式 时，对应的函数值f(x)都满足不 等式：|f(x)-A|<ε，那么常数A 就叫做函数f(x)当 x →x 。时的极限。 函数极限具有唯一性、局部有限性、局部保号性[2] 3. 存在准则 有些函数的极限很难或难以直接运用极限运算法则求得，需要先判定。下面介绍几个常用的判定数列极限的定理。 准则Ⅰ.如果数列，及满足以下条件： （1）从某项起，即，当时，有； （2）；， 那么数列的极限存在，且 准则Ⅰ＇如果（1）当（或）时， （2） ，， 那么存在，且等于。 夹逼定理：（1）当时，有??成立 （2） ?,那么，极限存在，且等于A 【准则Ⅰ，准则Ⅰ′合称夹逼定理】 )()()(lim 0 00x f x f x f x x →+-==0,,,x x x x x →-∞→+∞→∞→0x x →{}n x {}n y {}n z +∈?N n 00n n >n n n z x y ≤≤a y n x =∞→lim a z n x =∞ →lim {}n x a x n x =∞ →lim ),(0r x U x ο ∈M x >||)()()(x h x f x g ≤≤A x g x x x =∞→→)(lim ) (0 A x h x x x o =∞→→)(lim ) ()(lim ) (0 x f x x x ∞→→A ),(x 0r x U ο ?()0x f 第二节二元函数的极限 1、试求下列极限（包括非正常极限）： （1）；（2）； （3）；（4）； （5）；（6）(x+y)sin； （7）x2+y2. 2、讨论下列函数在点(0,0)的重极限与累次极限： （1）f(x,y)=；（2）f(x,y)=(x+y)sinsin； （3）f(x,y)=；（4）f(x,y)= ； （5）f(x,y)=ysin；（6）f(x,y)=； （7）f(x,y)=. 。f(x,y)存在且等于A；2。y在b的某邻域内，有f(x,y)= 3、证明：若1 (y)则 f(x,y)=A. 4、试应用ε—δ定义证明 =0. 5、叙述并证明：二元函数极限的唯一性定理、局部有界性定理与局部保号性定理. 6、试写出下列类型极限的精确定义： （1） f(x,y)=A；（2）f(x,y)=A. 7、试求下列极限： （1）；（2）(x2+y2)e-(x+y)； （3）(1+)xsiny；（4）. 8、试作一函数f(x,y)使当x+,y+时， （1）两个累次极限存在而重极限不存在； （2）两个累次极限不存在而重极限存在； （3）重极限与累次极限都不存在； （4）重极限与一个累次极限存在，另一个累次极限不存在. 9、证明定理16.5及其推论3. 10、设f(x,y)在点(x0,y0)的某邻域U。()上有定义，且满足： （i）在U。()上，对每个y≠y0，存在极限f(x,y)=ψ(y)； （ii）在U。()上，关于x一致地存在极限f(x,y)=(x)(即对任意ε>0，存在δ>0，当0<|y-y0|<δ时，对所有的x，只要(x,y)∈U。()，都有|f(x,y)-(x)|<成立). 试证明 f(x,y)=f(x,y). 第一章 函数、极限和连续 §1.1 函数 一、 主要内容 ㈠ 函数的概念 1. 函数的定义: y=f(x), x ∈D 定义域: D(f), 值域: Z(f). 2.分段函数: ?? ?∈∈=21)()(D x x g D x x f y 3.隐函数: F(x,y)= 0 4.反函数: y=f(x) → x=φ(y)=f -1(y) y=f -1 (x) 定理:如果函数: y=f(x), D(f)=X, Z(f)=Y 是严格单调增加(或减少)的； 则它必定存在反函数： y=f -1(x), D(f -1)=Y, Z(f -1)=X 且也是严格单调增加(或减少)的。 ㈡ 函数的几何特性 1.函数的单调性: y=f(x),x ∈D,x 1、x 2∈D 当x 1＜x 2时,若f(x 1)≤f(x 2), 则称f(x)在D 内单调增加( )； 若f(x 1)≥f(x 2), 则称f(x)在D 内单调减少( )； 若f(x 1)＜f(x 2), 则称f(x)在D 内严格单调增加( )； 若f(x 1)＞f(x 2), 则称f(x)在D 内严格单调减少( )。 2.函数的奇偶性：D(f)关于原点对称 偶函数：f(-x)=f(x) 奇函数：f(-x)=-f(x) 3.函数的周期性： 周期函数：f(x+T)=f(x), x ∈(-∞，+∞) 周期：T ——最小的正数 4.函数的有界性： |f(x)|≤M , x ∈(a,b) ㈢ 基本初等函数 1.常数函数： y=c ， (c 为常数) 2.幂函数： y=x n , (n 为实数) 3.指数函数： y=a x , (a ＞0、a ≠1) 4.对数函数： y=log a x ,(a ＞0、a ≠1) 5.三角函数： y=sin x , y=con x y=tan x , y=cot x y=sec x , y=csc x 6.反三角函数：y=arcsin x, y=arccon x y=arctan x, y=arccot x ㈣ 复合函数和初等函数 1.复合函数： y=f(u) , u=φ(x) y=f[φ(x)] , x ∈X 2.初等函数: 目录 一、函数与极限 (2) 1、集合的概念 (2) 2、常量与变量 (3) 2、函数 (4) 3、函数的简单性态 (4) 4、反函数 (5) 5、复合函数 (6) 6、初等函数 (6) 7、双曲函数及反双曲函数 (7) 8、数列的极限 (8) 9、函数的极限 (10) 10、函数极限的运算规则 (11) 一、函数与极限 1、集合的概念 一般地我们把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫集合（简称集）。集合具有确定性（给定集合的元素必须是确定的）和互异性（给定集合中的元素是互不相同的）。比如“身材较高的人”不能构成集合，因为它的元素不是确定的。 我们通常用大字拉丁字母A、B、C、……表示集合，用小写拉丁字母a、b、c……表示集合中的元素。如果a是集合A中的元素，就说a属于A，记作：a∈A，否则就说a不属于A，记作：a A。 ⑴、全体非负整数组成的集合叫做非负整数集（或自然数集）。记作N ⑵、所有正整数组成的集合叫做正整数集。记作N+或N+。 ⑶、全体整数组成的集合叫做整数集。记作Z。 ⑷、全体有理数组成的集合叫做有理数集。记作Q。 ⑸、全体实数组成的集合叫做实数集。记作R。 集合的表示方法 ⑴、列举法：把集合的元素一一列举出来，并用“｛｝”括起来表示集合 ⑵、描述法：用集合所有元素的共同特征来表示集合。 集合间的基本关系 ⑴、子集：一般地，对于两个集合A、B，如果集合A中的任意一个元素都是集合B的元素，我们就说 A、B有包含关系，称集合A为集合B的子集，记作A B（或B A）。。 ⑵相等：如何集合A是集合B的子集，且集合B是集合A的子集，此时集合A中的元素与集合B中的元素完全一样，因此集合A与集合B相等，记作A＝B。 ⑶、真子集：如何集合A是集合B的子集，但存在一个元素属于B但不属于A，我们称集合A是集合B 的真子集。 ⑷、空集：我们把不含任何元素的集合叫做空集。记作，并规定，空集是任何集合的子集。 ⑸、由上述集合之间的基本关系，可以得到下面的结论： ①、任何一个集合是它本身的子集。即A A ②、对于集合A、B、C，如果A是B的子集，B是C的子集，则A是C的子集。 ③、我们可以把相等的集合叫做“等集”，这样的话子集包括“真子集”和“等集”。 集合的基本运算 ⑴、并集：一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合称为A与B的并集。记作A∪B。（在求并集时，它们的公共元素在并集中只能出现一次。） 即A∪B＝｛x|x∈A，或x∈B｝。 ⑵、交集：一般地，由所有属于集合A且属于集合B的元素组成的集合称为A与B的交集。记作A∩B。 即A∩B＝｛x|x∈A，且x∈B｝。 ⑶、补集： ①全集：一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中所涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集。通常记作U。 ②补集：对于一个集合A，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U 的补集。简称为集合A的补集，记作C U A。关于大学高等数学函数极限和连续
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??? ????????????????=?n q N n q N 对于比较复杂的表达式n n A x α=-，一般地，我们通过运算,适当放大，将n α变形简化到n β，既使得对于0>?ε由不等式εβ
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