概率小结与复习
一、知识梳理
1. 概率：随机事件A 的概率是频率的稳定值，反之，频率是概率的近似值.
2. 等可能性事件的概率：如果一次试验中可能出现的结果有n 个，且所有结果出现的可能性都相等，那么，每一个基本事件的概率都是
n
1
，如果某个事件A 包含的结果有m 个，那么事件A 的概率n m P(A)=.
3. ①互斥事件：不可能同时发生的两个事件叫互斥事件. 如果事件A 、B 互斥，那么事件A+B 发生(即A 、B 中有一
个发生)的概率，等于事件A 、B 分别发生的概率和，即P(A+B)=P(A)+P(B)，推广：)P(A )P(A )P(A )A A P(A n 21n 21+++=+++ .
②对立事件：两个事件必．．．．．有一个发生的互斥事件．．．．．．．．．．叫对立事件. 例如：从1～52张扑克牌中任取一张抽到“红桃”与抽到“黑桃”互为互斥事件，因为其中一个不可能同时发生，但又不能保证其中一个必然发生，故不是对立事件.而抽到“红色牌”与抽到黑色牌“互为对立事件，因为其中一个必发生. 注意：i.对立事件的概率和等于1：1)A P(A )A P(P(A)=+=+. ii.互为对立的两个事件一定互斥，但互斥不一定是对立事件.
③相互独立事件：事件A(或B)是否发生对事件B(或A)发生的概率没有影响.这样的两个事件叫做相互独立事件. 如果两个相互独立事件同时发生的概率，等于每个事件发生的概率的积，即P(A·B)=P(A)·P(B). 由此，当两个事件同时发生的概率P （AB ）等于这两个事件发生概率之和，这时我们也可称这两个事件为独立事件.例如：从一副扑克牌（52张）中任抽一张设A ：“抽到老K”；B ：“抽到红牌”则 A 应与B 互为独立事件[看上去A 与B 有关系很有可能不是独立事件，但26
1P(B)P(A),2
152
26P(B),13
152
4P(A)=?====.又事件AB 表示“既抽到老K 对抽到红牌”即“抽到红桃老K 或
方块老K”有26
152
2B)P(A ==?，因此有)B P(A P(B)P(A)?=?.
推广：若事件n 21,A ,,A A 相互独立，则)P(A )P(A )P(A )A A P(A n 21n 21 ?=?.
注意：i. 一般地，如果事件A 与B 相互独立，那么A 与A B ,与B ，A 与B 也都相互独立. ii. 必然事件与任何事件都是相互独立的.
iii. 独立事件是对任意多个事件来讲，而互斥事件是对同一实验来讲的多个事件，且这多个事件不能同时发生，故这些事件相互之间必然影响，因此互斥事件一定不是独立事件.
④独立重复试验：若n 次重复试验中，每次试验结果的概率都不依赖于其他各次试验的结果，则称这n 次试验是独立的. 如果在一次试验中某事件发生的概率为P ，那么在n 次独立重复试验中这个事件恰好发生k 次的概率：
k
n k k n n P)
(1P C (k)P --=. 4. 对任何两个事件都有)()()()(B A P B P A P B A P ?-+=+
5．解决概率问题的步骤：
第一步，确定事件性质（等可能事件、互斥事件、独立事件、n 次独立重复试验））即所给的问题归结为四类事件中的某一种.
第二步，判断事件的运算（和事件、积事件）即是至少有一个发生，还是同时发生，分别运用相加或相乘事件.
第三步，运用公式()()()()()()()()(1)
k k n k n n m P A n
P A B P A P B P A B P A P B P k C p p -?
=???+=+?
??=??=-??等可能事件: 互斥事件： 独立事件： n 次独立重复试验:求解
第四步，答，即给提出的问题有一个明确的答复. 题型一 频率与概率
例1．某企业生产的乒乓球被08年北京奥委会指定为乒乓球比赛专用球.日前有关部门对某批产品进行了抽样检测，检查结果如下表所示.
互斥对立
(1)计算表中乒乓球优等品的频率；
(2)从这批乒乓球产品中任取一个，质量检查为优等品的概率是多少？(结果保留到小数点后三位)
(1)计算表中进球的频率；(2)这位运动员投篮一次，进球的概率是多少？
题型二随机事件间的关系
例2．从一副桥牌(52张)中任取1张.判断下列每对事件是否为互斥事件，是否为对立事件.
(1)“抽出红桃”与“抽出黑桃”；
(2)“抽出红色牌”与“抽出黑色牌”；
(3)“抽出的牌点数为3的倍数”与“抽出的牌点数大于10”.
【变式训练】抽查10件产品，设事件A：至少有两件次品，则A的对立事件为()
A.至多两件次品
B.至多一件次品
C.至多两件正品
D.至少两件正品
题型三概率概念的应用
例3．.
. (1)请完成上面列联表；
已知从全部105人中随机抽取1人为优秀的概率为
7
(2)根据列联表的数据，若按95%的可靠性要求，能否认为“成绩与班级有关系”(参考数据P(K2＞6.635)＝0.05)；
(3)若按下面的方法从甲班优秀的学生中抽取一人：把甲班优秀的10人按2到11进行编号，然后两次掷一枚均匀的骰子，出现的点数之和为被抽取人的编号.试求抽到6号或10号的概率.
【变式训练】袋内有35个球，每个球上都记有从1~35中的一个号码，设号码为n 的球的重量为3
2
n －5n ＋20克，这
些球以等可能性从袋里取出(不受重量、号码的影响).
(1)如果取出1球，试求其重量比号码数大5的概率；(2)如果任意取出2球，试求它们重量相等的概率.
题型四 古典概率模型的计算问题
例4．)，
现按分层抽样的方法在这个月生产的轿车中抽取50辆，其中有A 类10辆.(1)求z 的值；(2)用分层抽样的方法在C 类轿车中抽取一个容量为5的样本，将该样本视为一个总体，从中任取2辆，求至少有1辆舒适型轿车的概率；(3)用随机抽样方法从B 类舒适型轿车中抽取8辆，经检测它们的得分如下：9.4,8.6,9.2,9.6,8.7,9.3,9.0,8.2把这8辆车的得分看成一个总体，从中任取一个数，求该数与样本平均数之差的绝对值不超过0.5的概率.
【变式训练】已知△ABC 的三边是10以内(不包含10)的三个连续的正整数，求任取一个△ABC 是锐角三角形的概率.
题型五 有放回抽样与不放回抽样
例5．现有一批产品共有10件，其中8件为正品，2件为次品.
(1)如果从中取出一件，然后放回，再取一件，求连续3次取出的都是正品的概率； (2)如果从中一次取3件，求3件都是正品的概率.
【点拨】关于不放回抽样，计算基本事件个数时，既可以看作是有顺序的，也可以看作是无顺序的，其结果是一样
【变式训练】有5张卡片，上面分别写有0,1,2,3,4中的1个数.求：
(1)从中任取两张卡片，两张卡片上的数字之和等于4的概率；
(2)从中任取两次卡片，每次取一张，第一次取出卡片，记下数字后放回，再取第二次，两次取出的卡片上的数字之和恰好等于4的概率.
题型六 古典概型问题的综合应用
例6．甲、乙两袋装有大小相同的红球和白球，甲袋装有2个红球，2个白球；乙袋装有2个红球，n 个白球.从甲、乙两袋中各任取2个球.
(1)若n ＝3，求取到的4个球全是红球的概率；(2)若取到的4个球中至少有2个红球的概率为3
4
，求n .
例7.某单位组织4个部门的职工旅游，规定每个部门只能在峨眉山、泰山、华山3个景区中任选一个，假设各部门选择每个景区是等可能的.
（Ⅰ）求3个景区都有部门选择的概率；（Ⅱ）求恰有2个景区有部门选择的概率.
例8.一个盒子装有六张卡片，上面分别写着如下六个定义域为R 的函数：f 1(x )=x ，f 2(x )=x 2
，f 3(x )=x 3
，f 4(x )=sin x ，
f 5(x )=cos x ，f 6(x )=2．
（1）现从盒子中任取两张卡片，将卡片上的函数相加得一个新函数，求所得函数是奇函数的概率；（2）现从盒子中进行逐一抽取卡片，且每次取出后均不放回，若取到一张记有偶函数的卡片则停止抽取，否则继续进行，求抽取3次的概率.
例9.一厂家向用户提供的一箱产品共10件，其中有2件次品，用户先对产品进行抽检以决定是否接收．抽检规则是这样的：一次取一件产品检查（取出的产品不放回箱子），若前三次没有抽查到次品，则用户接收这箱产品；若前三次中一抽查到次品就立即停止抽检，并且用户拒绝接收这箱产品.
（1）求这箱产品被用户接收的概率；（2）抽检的产品数为ξ，求ξ分别为1、2、3的概率
【变式训练】甲、乙二人参加普法知识竞赛，共有10道不同的题目，其中选择题6道，判断题4道，甲、乙二人一次各抽取一题.
(1)甲抽到选择题，乙抽到判断题的概率是多少？(2)甲、乙二人至少有一个抽到选择题的概率是多少？
总结提高
1.对古典概型首先必须使学生明确判断两点：①对于每个随机试验来说，所有可能出现的试验结果数n 必须是有限个；②出现的各个不同的试验结果数m 其可能性大小必须是相同的.只有在同时满足①、②的条件下，运用的古典概型计
算公式P (A )＝m n 得出的结果才是正确的.使用公式P (A )＝m
n
计算时，确定m 、n 的数值是关键所在.
2.对于n 个互斥事件A 1，A 2，…，A n ，其加法公式为P (A 1＋A 2＋…＋A n )＝P (A 1)＋P (A 2)＋…＋P (A n ).
3.分类讨论思想是解决互斥事件有一个发生的概率的一个重要的指导思想.
4.在应用题背景条件下，能否把一个复杂事件分解为若干个互相排斥或相互独立、既不重复又不遗漏的简单事件是解答这类应用题的关键，也是考查学生分析问题、解决问题的能力的重要环节. 题型七 几何概型长度问题
例10．如图，∠AOB ＝60°，OA ＝2，OB ＝5，在线段OB 上任取一点C ，
试求：
(1)△AOC 为钝角三角形的概率； (2)△AOC 为锐角三角形的概率.
【点拨】我们把每一个事件理解为从某个特定的区域内随机地取一点，该区域中每一点被取到的机会都一样，而一个事件发生则理解为恰好在上述区域内的某个指定的区域内的点，这样的概率模型就可以用几何概型求解. 【变式训练】点A 为周长等于3的圆周上的一个定点，若在该圆周上随机取一点B ，则劣弧AB 的长度小于1的概率为 .
题型八 几何概型面积问题
例11． 两个CB 对讲机(CB 即CitizenBand 民用波段的英文缩写)持有者，莉莉和霍伊都为卡尔货运公司工作，他们的对讲机的接收范围为25公里，在下午3：00时莉莉正在基地正东距基地30公里以内的某处向基地行驶，而霍伊在下午3：00时正在基地正北距基地40公里以内的某地向基地行驶，试问在下午3：00时他们能够通过对讲机交谈的概率有多大？
【变式训练】如图，以正方形ABCD 的边长为直径作半圆，重叠部分为花瓣.现在向该正方形区域内随机地投掷一飞镖，求飞镖落在花瓣内的概率.
题型九 体积问题
例12． 在线段[0,1]上任意投三个点，设O 至三点的三线段长为x 、y 、z ，研究方法表明：x ，y ，z 能构成三角形只要点(x ，y ，z )落在棱长为1的正方体T 的内部由△ADC ，△ADB ，△BDC ，△AOC ，△AOB ，△BOC 所围成的区域G 中(如图)，则x ，y ，z 能构成三角形与不能构成三角形这两个事件中哪一个事件的概率大？
【变式训练3】已知正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1内有一个内切球O ，则在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1内任取点M ，点M 在球O 内的概率是( )
A.π4
B.π8
C.π
6
D.π12
总结提高
1.几何概型是一种概率模型，它与古典概型的区别是试验的可能结果不是有限个.其特点是在一个区域内均匀分布，概率大小与随机事件所在区域的形状和位置无关，只与该区域的大小有关.如果随机事件所在区域是一个单点，其测度为0，则它出现的概率为0，但它不是不可能事件. 如果随机事件所在区域是全部区域扣除一个单点， 其测度为1，则它出现的概率为1，但它不是必然事件.
2.若试验的全部结果是一个包含无限个点的区域(长度，面积，体积)，一个基本事件是区域中的一个点.此时用点数度量事件A 包含的基本事件的多少就毫无意义.“等可能性”可以理解成“对任意两个区域，当它们的测度(长度，面积，体积，…)相等时，事件A 对应点落在这两区域上的概率相等，而与形状和位置都无关”.
3.几何概型并不限于向平面(或直线、空间)投点的试验，如果一个随机试验有无限多个等可能的基本结果，每个基本结果可以用平面(或直线、空间)中的一点来表示，而所有基本结果对应于一个区域Ω，这时，与试验有关的问题即可
题型十 条件概率的求法
例13.一张储蓄卡的密码共6位数字，每位数字都可从0~9中任选一个.某人在银行自动提款机上取钱时，忘记了密码的最后一位数字，求：(1)任意按最后一位数字，不超过2次就按对的概率；(2)如果他记得密码的最后一位是偶数，不超过2次就按对的概率.
【变式训练】设某种动物从出生算起活到20岁以上的概率为0.8，活到25岁以上的概率为0.4.现有一只20岁的这种动物，问它能活到25岁以上的概率是 .
题型十一 相互独立事件的概率
例14.三人独立破译同一份密码，已知三人各自破译出密码的概率分别为15，14，1
3，且他们是否破译出密码互不影响.
(1)求恰有二人破译出密码的概率；(2)“密码被破译”与“密码未被破译”的概率哪个大？说明理由.
【变式训练】甲、乙、丙三个口袋内都分别装有6个只有颜色不相同的球，并且每个口袋内的6个球均有1个红球，2个黑球，3个无色透明的球，现从甲、乙、丙三个口袋中依次随机各摸出1个球，求恰好摸出红球、黑球和无色球各1个的概率.
题型十二 综合问题
例15.某公司招聘员工，指定三门考试课程，有两种考试方案.
方案一：三门课程中至少有两门及格为考试通过；
方案二：在三门课程中随机选取两门，这两门都及格为考试通过.
假设某应聘者对三门指定课程考试及格的概率分别是a ，b ，c ，且三门课程考试是否及格相互之间没有影响. (1)分别求该应聘者在方案一和方案二下考试通过的概率；
(2)试比较该应聘者在上述两种方案下考试通过的概率的大小，并说明理由.
【变式训练】甲，乙，丙三人分别独立地进行某项体能测试，已知甲能通过测试的概率是2
5
，甲，乙，丙三人都能通
过测试的概率是320，甲，乙，丙三人都不能通过测试的概率是3
40
，且乙通过的概率比丙大.
(1)求乙，丙两人各自通过测试的概率分别是多少？(2)测试结束后，最容易出现几人通过的情况？
总结提高
1.互斥事件、对立事件、相互独立事件的区别：
对于事件A 、B ，在一次试验中，A 、B 如果不能同时发生，则称A 、B 互斥.一次试验中，如果A 、B 互斥且A 、B 中必有一个发生，则称A 、B 对立.显然，A ＋A 为必然事件，A 、B 互斥则不能同时发生，但可能同时不发生.两事件相互独立是指一个事件的发生与否对另一事件的发生的概率没有影响.事实上：
A 、
B 互斥，则P (AB )＝0； A 、B 对立，则P (AB )＝0且P (A )＋P (B )＝1； A 、B 相互独立，则P (AB )＝P (A )P (B ). 它们是不相同的.
2.由于当事件A 、B 相互独立时，P (AB )＝P (A )P (B )，因此式子1－P (A )P (B )表示相互独立事件A 、B 中至少有一个不发生的概率.对于n 个随机事件A 1，A 2，…，A n ，有
P (A 1＋A 2＋…＋A n )＝1－P (1A ∩2A ∩…∩n A )，此称为概率的和与积的互补公式.
例16．从某批产品中，有放回地抽取产品二次，每次随机抽取1件，假设事件A ：“取出的2件产品中至多有1件是二等品”的概率()0.96P A ．
（1）求从该批产品中任取1件是二等品的概率p ；
（2）若该批产品共100件，从中任意抽取2件，求事件B ：“取出的2件产品中至少有一件二等品”的概率()P B ．
例17．甲、乙两袋装有大小相同的红球和白球，甲袋装有2个红球，2个白球；乙袋装有2个红球，n 个白球.由甲，乙两袋中各任取2个球.
(Ⅰ)若n=3，求取到的4个球全是红球的概率；(Ⅱ)若取到的4个球中至少有2个红球的概率为43
，求n.
例18.某商场经销某商品，顾客可采用一次性付款或分期付款购买．根据以往资料统计，顾客采用一次性付款的概率是0.6，经销一件该商品，若顾客采用一次性付款，商场获得利润200元；若顾客采用分期付款，商场获得利润250元．
（Ⅰ）求3位购买该商品的顾客中至少有1位采用一次性付款的概率；
（Ⅱ）求3位顾客每人购买1件该商品，商场获得利润不超过650元的概率．
例19.盒中有6只灯泡，其中2只次品，4只正品，有放回地从中任取两次，每次取一只，试求下列事件的概率： （1）2只都是次品；（2）2只中正品、次品各一只；（3）2只中至少有一只正品。
例20.一个不透明的口袋内装有材质、重量、大小相同的7个小球，且每个小球的球面上要么只写有数字“08”，要么只写有文字“奥运”.假定每个小球每一次被取出的机会都相同，又知从中摸出2个球都写着“奥运”的概率是
7
1
。现甲、乙两个小朋友做游戏，方法是：不放回从口袋中轮流摸取一个球，甲先取、乙后取，然后甲再取，直到两个小朋友中有1人取得写着文字“奥运”的球时游戏终止，每个球在每一次被取出的机会均相同. （1）求该口袋内装有写着数字“08”的球的个数；（2）求当游戏终止时总球次数不多于3的概率.
例21.重复抛掷一枚骰子5次得到点数为6的次数记为ξ，求P(ξ>3)．
例22.有A 、B 、C 、D 、E 共5个口袋，每个口袋装有大小和质量均相同的4个红球和2个黑球，现每次从其中一个口袋中摸出3个球，规定：若摸出的3个球恰为2个红球和1个黑球，则称为最佳摸球组合。 （1）求从口袋A 中摸出的3个球为最佳摸球组合的概率；
（2）现从每个口袋中摸出3个球，求恰有3个口袋中摸出的球是最佳摸球组合的概率。
例23.甲，乙两人进行乒兵球比赛，在每一局比赛中，甲获胜的概率为p 。
(1)如果甲，乙两人共比赛4局，甲恰好负2局的概率不大于其恰好胜3局的概率，试求p 的取值范围；(2)若13
p =
，当采用3局2胜制的比赛规则时，求甲获胜的概率；
例24.有一种舞台灯，外形是正六棱柱ABCDEF —A 1B 1C 1D 1E 1F 1，在其每一个侧面上（不在棱上）安装5只颜色各异的彩灯，假若每只灯正常发光的概率是0.5，若一个面上至少有3只灯发光，则不需要维修，否则需要更换这个面. 求面ABB 1A 1需要维修的概率；
例25.将一个半径适当的小球放入如图所示的容器最上方的入口处,小球将自由下落.小球在下落过程中,将3次遇到黑色障碍物,最后落入A 袋或B 袋中.已知小球每次遇到黑色障碍物时向左、右两边下落的概率都是12
.
（Ⅰ）求小球落入A 袋中的概率()P A ;
（Ⅱ）在容器入口处依次放入4个小球,记ξ为落入A 袋中小球的个数,试求3=ξ的概率