1.复习乘法原理和加法原理；
2.培养学生综合运用加法原理和乘法原理的能力．
3.让学生懂得并运用加法、乘法原理来解决问题，掌握常见的计数方法，会使用这些方法解决问题． 在分类讨论中结合分步分析，在分步分析中结合分类讨论；教师应该明确并强调哪些是分类，哪些是分步．并了解与加、乘原理相关的常见题型：数论类问题、染色问题、图形组合．
一、加乘原理概念
生活中常有这样的情况：在做一件事时，有几类不同的方法，在具体做的时候，只要采用其中某一类中的一种方法就可以完成，并且这几类方法是互不影响的．那么考虑完成这件事所有可能的做法，就要用到加法原理来解决．
还有这样的一种情况：就是在做一件事时，要分几步才能完成，而在完成每一步时，又有几种不同的方法．要知道完成这件事情共有多少种方法，就要用到乘法原理来解决．
二、加乘原理应用
应用加法原理和乘法原理时要注意下面几点：
⑴加法原理是把完成一件事的方法分成几类，每一类中的任何一种方法都能完成任务，所以完成任务的不同方法数等于各类方法数之和．
⑵乘法原理是把一件事分几步完成，这几步缺一不可，所以完成任务的不同方法数等于各步方法数的乘积．
⑶在很多题目中，加法原理和乘法原理都不是单独出现的，这就需要我们能够熟练的运用好这两大原理，综合分析，正确作出分类和分步．
加法原理运用的范围：完成一件事的方法分成几类，每一类中的任何一种方法都能完成任务，这样的问题可以使用加法原理解决．我们可以简记为：“加法分类，类类独立”．
乘法原理运用的范围：这件事要分几个彼此互不影响的独立步骤来完成，这几步是完成这件任务缺一不可的，这样的问题可以使用乘法原理解决．我们可以简记为：“乘法分步，步步相关”．
【例 1】 商店里有2种巧克力糖：牛奶味、榛仁味；有2种水果糖：苹果味、梨味、橙味．小明想买一些
糖送给他的小朋友．
⑴如果小明只买一种糖，他有几种选法？
⑵如果小明想买水果糖、巧克力糖各1种，他有几种选法？
【考点】加乘原理之综合运用 【难度】1星 【题型】解答
【解析】 ⑴小明只买一种糖，完成这件事一步即可完成，有两类办法：第一类是从2种巧克力糖中选一种
有2种办法；第二类是从3种水果糖中选一种，有3种办法．因此，小明有235+=种选糖的方法．
⑵小明完成这件事要分两步，每步分别有2种、3种方法，因此有326?=种方法．
【答案】⑴5 ⑵6
【例 2】 从2，3，5，7，11这五个数中，任取两个不同的数分别当作一个分数的分子与分母，这样的分数有教学目标
例题精讲
知识要点
7-3-1.加乘原理之综合运用
_______________个，其中的真分数有________________个。
【考点】加乘原理之综合运用 【难度】3星 【题型】填空
【关键词】希望杯，五年级，二试，第7题
【解析】 第一问要用乘法原理，当分子有5种可能时，分母有4种可能，即5×4=20种，所以这样的分数有
20个。第二问中，分母为3的真分数有1个，分母为5的真分数有2个，分母为7的真分数有3个，分母为11的真分数有4个，所以真分数共有1+2+3+4=10个。
【答案】10个
【例 3】 从北京到广州可以选择直达的飞机和火车，也可以选择中途在上海或者武汉作停留，已知北京到
上海、武汉和上海、武汉到广州除了有飞机和火车两种交通方式外还有汽车．问，从北京到广州
一共有多少种交通方式供选择？
【考点】加乘原理之综合运用 【难度】1星 【题型】解答
【解析】 从北京转道上海到广州一共有339?=种方法，从北京转道武汉到广州一共也有339?=种方法供选
择，从北京直接去广州有2种方法，所以一共有99220++=种方法．
【答案】20
【例 4】 从学而思学校到王明家有3条路可走，从王明家到张老师家有2条路可走，从学而思学校到张老
师家有3条路可走，那么从学而思学校到张老师家共有多少种走法？
王明家
张老师家学而思学校
【考点】加乘原理之综合运用 【难度】1星 【题型】解答
【解析】 根据乘法原理，经过王明家到张老师家的走法一共有326?=种方法，从学而思学校直接去张老师家
一共有3条路可走，根据加法原理，一共有639+=种走法．
【答案】9
【巩固】 如下图，从甲地到乙地有2条路，从乙地到丙地有4条路，从甲地到丁地有3条路可走，从丁地到
丙地也有3条路，请问从甲地到丙地共有多少种不同走法？
丁丙
乙
甲 【考点】加乘原理之综合运用 【难度】1星 【题型】解答
【解析】 从甲地到丙地有两种方法：第一类，从甲地经过乙地到丙地，根据乘法原理，走法一共有428?=种
方法，；第二类，从甲地经过丁地到丙地，一共有339?=种方法．根据加法原理，一共有8917+=种
走法．
【答案】17
【巩固】 王老师从重庆到南京，他可以乘飞机、汽车直接到达，也可以先到武汉，再由武汉到南京．他从重
庆到武汉可乘船，也可乘火车；又从武汉到南京可以乘船、火车或者飞机，如图．那么王老师从重
庆到南京有多少种不同走法呢？
【考点】加乘原理之综合运用 【难度】2星 【题型】解答
【解析】从重庆到南京的走法有两类：第一类从重庆经过武汉去南京，根据乘法原理，有236
?=(种)走法；
第二类不经过武汉，有2种走法．根据加法原理，从重庆到南京一共有268
+=种不同走法．
【答案】8
【例 5】某条铁路线上，包括起点和终点在内原来共有7个车站，现在新增了3个车站，铁路上两站之间往返的车票不一样，那么，这样需要增加多少种不同的车票？
【考点】加乘原理之综合运用【难度】3星【题型】解答
【解析】1、新站为起点，旧站为终点有3×7=21张，2、旧站为起点，新站为终点有7×3=21张，3、起点、终点均为新站有3×2=6张，以上共有21＋21＋6=48张．
【答案】48
【例 6】如右图所示，每个小正三角形边长为1，小虫每步走过1，从A出发，走4步恰好回到A的路有（）条．(途中不再回
A)
【考点】加乘原理之综合运用【难度】3星【题型】填空
【关键词】走美杯，四年级，初赛，第8题，五年级，初赛，第12题
【解析】因为第一、三步到的点一定是以A为中心的六边形的六个顶点，根据一定的规则进行计数：（1）第一步与第三步是同一个点的情况有：6×5=30（种）
（2）第一步与第三步不是同一个点的情况有：4×6=24（种）
所以共有30+24=54（种）
【答案】54种
【例 7】如下图，八面体有12条棱，6个顶点．一只蚂蚁从顶点A出发，沿棱爬行，要求恰好经过每一个顶点一次．问共有多少种不同的走法？
F
E D
C
B
A
【考点】加乘原理之综合运用【难度】3星【题型】解答
【解析】走完6个顶点，有5个步骤，可分为两大类：
①第二次走C点：就是意味着从A点出发，我们要先走F，D，E，B中间的一点，再经过C点，
但之后只能走D，B点，最后选择后面两点．
有412118
????=种(从F到C的话，是不能到E的)；
②第二次不走C：有4222132
????=种(同理，F不能到E)；
共计：83240
+=种．
【答案】40
【例 8】有3所学校共订300份中国少年报，每所学校订了至少98份，至多102份．问：一共有多少种不同的订法？
【考点】加乘原理之综合运用【难度】3星【题型】解答
【解析】可以分三种情况来考虑：
⑴3所学校订的报纸数量互不相同，有98，100，102；99，100，101两种组合，每种组各有3
36
P=种不同的排列，此时有6212
?=种订法．
⑵3所学校订的报纸数量有2所相同，有98，101，101；99，99，102两种组合，每种组各有3种
不同的排列，此时有326
?=种订法．
⑶3所学校订的报纸数量都相同，只有100，100，100一种订法．
由加法原理，不同的订法一共有126119
++=种．
【答案】19
【例 9】玩具厂生产一种玩具棒，共4节，用红、黄、蓝三种颜色给每节涂色。这家玩具厂共可生产种颜色不同的玩具棒。
【考点】加乘原理之综合运用【难度】3星【题型】填空
【关键词】走美杯，五年级，初赛，第10题
【解析】总共有45种，分三类：
只有一种颜色的有：3种；
有两种颜色的有：3824
?=；
有3种颜色的有：6318
?=
所以共有：3241845
++=（种）
【答案】45种
【例 10】如果从3本不同的语文书、4本不同的数学书、5本不同的外语书中选取2本不同学科的书阅读，那么共有多少种不同的选择？
【考点】加乘原理之综合运用【难度】2星【题型】解答
【解析】因为强调2本书来自不同的学科，所以共有三种情况：来自语文、数学：3×4=12；来自语文、外语：3×5=15；来自数学、外语：4×5=20；所以共有12＋15＋20=47．
【答案】47
【例 11】过年了，妈妈买了7件不同的礼物，要送给亲朋好友的5个孩子每人一件．其中姐姐的儿子小强想从智力拼图和遥控汽车中选一个，朋友的女儿小玉想从学习机和遥控汽车中选一件．那么妈妈送出这5件礼物共有____________种方法．
【考点】加乘原理之综合运用【难度】3星【题型】填空
【关键词】迎春杯，中年级，决赛，7题
【解析】假如给小强的是智力拼图，则有2543120
???=（种）方法．
假如给小强的是遥控汽车，则有154360
???=（种）方法．
总共有12060180
+=（种）方法．
【答案】180种
【例 12】某件工作需要钳工2人和电工2人共同完成．现有钳工3人、电工3人，另有1人钳工、电工都会．从7人中挑选4人完成这项工作，共有多少种方法？
【考点】加乘原理之综合运用【难度】3星【题型】解答
【解析】分两类情况讨论：
⑴都会的这1人被挑选中，则有：
①如果这人做钳工的话，则再按乘法原理，先选一名钳工有3种方法，再选2名电工也有3种方法；
所以有339
?=种方法；
②同样，这人做电工，也有9种方法．
⑵都会的这一人没有被挑选，则从3名钳工中选2人，有3种方法；从3名电工中选2人，也有3
种方法，一共有339
?=种方法．
所以，根据加法原理，一共有99927
++=种方法．
【答案】27
【例 13】某信号兵用红，黄，蓝，绿四面旗中的三面从上到下挂在旗杆上的三个位置表示信号．每次可挂一面，二面或三面，并且不同的顺序，不同的位置表示不同的信号．一共可以表示出多少种不同
的信号？
【考点】加乘原理之综合运用【难度】3星【题型】解答
【解析】由于每次可挂一面、二面或三面旗子，我们可以根据旗杆上旗子的面数分三类考虑：
第二类第一类
第一类，可以从四种颜色中任选一种，有4种表示法；
第二类，要分两步完成：第一步，第一面旗子可以从四种颜色中选一种，有4种选法；第二步，第
二面旗子可从剩下的三种中选一种，有3种选法．根据乘法原理，共有4312?=种表示法；
第三类，要分三步完成：第一步，第一面旗子可以从四种颜色中选一种，有4种选法；第二步，第
二面旗子可从剩下的三种中选一种，有3种选法；第三步，第三面旗子可从剩下的两种颜色中选一种，有2种选法．根据乘法原理，共有43224??=种表示法．
根据加法原理，一共可以表示出4122440++=种不同的信号．
【答案】40
【巩固】 五面五种颜色的小旗，任意取出一面、两面或三面排成一行表示各种信号，问：共可以表示多少种
不同的信号？
【考点】加乘原理之综合运用 【难度】3星 【题型】解答
【解析】 分3种情况：
⑴取出一面，有5种信号；
⑵取出两面：可以表示5420?=种信号；
⑶取出三面：可以表示：54360??=种信号；
由加法原理，一共可以表示：5206085++=种信号．
【答案】85
【例 14】 五种颜色不同的信号旗，各有5面，任意取出三面排成一行，表示一种信号，问：共可以表示多
少种不同的信号？
【考点】加乘原理之综合运用 【难度】3星 【题型】解答
【解析】 方法一：取出的3面旗子，可以是一种颜色、两种颜色、三种颜色，应按此进行分类
⑴ 一种颜色： 5种可能；
⑵ 两种颜色：
54360??=（） ⑶ 三种颜色：54360??=
所以，一共可以表示56060125++=种不同的信号
方法二：每一个位置都有5种颜色可选，所以共有555125??=种．
【答案】125
【巩固】 红、黄、蓝、白四种颜色不同的小旗，各有2，2，3，3面，任意取出三面按顺序排成一行，表示一
种信号，问：共可以表示多少种不同的信号？如果白旗不能打头又有多少种？
【考点】加乘原理之综合运用 【难度】3星 【题型】解答
【解析】 (一)取出的3面旗子，可以是一种颜色、两种颜色、三种颜色，应按此进行分类
第一类，一种颜色：都是蓝色的或者都是白色的，2种可能；
第二类，两种颜色：(43)336??=
第三类，三种颜色：43224??=
所以，根据加法原理，一共可以表示2362462++=种不同的信号．
(二)白棋打头的信号，后两面旗有4416?=种情况．所以白棋不打头的信号有621646-=种．
【答案】46
【例 15】 小红和小明举行象棋比赛，按比赛规定，谁先胜头两局谁赢，如果没有胜头两局，谁先胜三局谁
赢．共有 种可能的情况．
【考点】加乘原理之综合运用 【难度】1星 【题型】解答
【关键词】清华附中
【解析】 小红和小明如果有谁胜了头两局，则胜者赢，此时共2种情况；如果没有人胜头两局，即头两局中
两人各胜一局，则最少再进行两局、最多再进行三局，必有一人胜三局，如果只需再进行两局，则这两局的胜者为同一人，对此共有224?=种情况；如果还需进行三局，则后三局中有一人胜两局，另一人只胜一局，且这一局不能为最后一局，只能为第三局或第四局，此时共有2228??=种情况，
所以共有24814
++=种情况．
【答案】14
【例 16】玩具厂生产一种玩具棒，共4节，用红、黄、蓝三种颜色给每节涂色．这家厂共可生产________种颜色不同的玩具棒．
【考点】加乘原理之综合运用【难度】4星【题型】解答
【解析】每节有3种涂法，共有涂法333381
???=(种)．但上述81种涂法中，有些涂法属于重复计算，这是因为有些游戏棒倒过来放时的颜色与顺着放时的颜色一样，却被我们当做两种颜色计算了两次．
可以发现只有游戏棒的颜色关于中点对称时才没有被重复计算，关于中点对称的游戏棒有
???=(种)．故玩具棒最多有(819)245
33119
+÷=种不同的颜色．
【答案】45
【例 17】奥苏旺大陆上的居民使用的文字非常独特，他们文字的每个单词都由5个字母a、b、c、d、e组成，并且所有的单词都有着如下的规律，⑴字母e不打头，⑵单词中每个字母a后边必然紧跟着字母b，⑶c和d不会出现在同一个字母之中，那么由四个字母构成的单词一共有多少种？
【考点】加乘原理之综合运用【难度】4星【题型】解答
【解析】分为三种：
第一种：有两个a的情况只有abab1种
第二种，有一个a的情况，又分3类
第一类，在第一个位置，则b在第二个位置，后边的排列有4416
?=种，减去c、d同时出现的两种，总共有14种，
第二类，在第二个位置，则b在第三个位置，总共有34210
?-=种.
第三类，在第三个位置，则b在第四个位置，总共有34210
?-=种.
第三种，没有a的情况:
分别计算没有c的情况:233354
???=种.
没有d的情况：233354
???=种.
没有c、d的情况：12228
???=种.
由容斥原理得到一共有54548100
+-=种.
所以，根据加法原理，一共有1141010100135
++++=种．
【答案】135
【例 18】从6名运动员中选出4人参加4100
?接力赛，求满足下列条件的参赛方案各有多少种：
⑴甲不能跑第一棒和第四棒；
⑵甲不能跑第一棒，乙不能跑第二棒
【考点】加乘原理之综合运用【难度】3星【题型】解答
【解析】⑴先确定第一棒和第四棒，第一棒是除甲以外的任何人，有5种选择，第四棒有4种选择，剩下的四人中随意选择2个人跑第二、第三棒，有4312
??=种参赛
?=种，由乘法原理，共有：5412240方案
⑵先不考虑甲乙的特殊要求，从6名队员中随意选择4人参赛，有6543360
???=种选择.考虑若甲跑第一棒，其余5人随意选择3人参赛，对应54360
??=种选择，考虑若乙跑第二棒，也对应54360
??=种选择，但是从360种中减去两个60种的时候，重复减了一次甲跑第一棒且乙跑第
二棒的情况，这种情况下，对应于第一棒第二棒已确定只需从剩下的4人选择2人参赛的4312
?=种方案，所以，一共有36060212252
-?+=种不同参赛方案．
【答案】252
乘法原理与加法原理 在日常生活中常常会遇到这样一些问题，就是在做一件事时，要分几步才能完成，而在完成每一步时，又有几种不同的方法，要知道完成这件事一共有多少种方法，就用我们将讨论的乘法原理来解决． 例如某人要从北京到大连拿一份资料，之后再到天津开会．其中，他从北京到大连可以乘长途汽车、火车或飞机，而他从大连到天津却只想乘船．那么，他从北京经大连到天津共有多少种不同的走法？ 分析这个问题发现，某人从北京到天津要分两步走．第一步是从北京到大连，可以有三种走法，即： 第二步是从大连到天津，只选择乘船这一种走法，所以他从北京到天津共有下面的三种走法： 3×1=3． 如果此人到大连后，可以乘船或飞机到天津，那么他从北京到天津则有以下的走法： 共有六种走法，注意到3×2=6． 在上面讨论问题的过程中，我们把所有可能的办法一一列举出来．这种方法叫穷举法．穷举法对于讨论方法数不太多的问题是很有效的． 在上面的例子中，完成一件事要分两个步骤．由穷举法得到的结论看到，用第一步所有的可能方法数乘以第二步所有的可能方法数，就是完成这件事所有的方法数． 一般地，如果完成一件事需要个步骤，其中，做第一步有种不同的方法，做第二步有种
不同的方法，…，做第步有种不同的方法，那么，完成这件事一共有 种不同的方法． 这就是乘法原理． 例1.某人到食堂去买饭，主食有三种，副食有五种，他主食和副食各买一种，共有多少种不同的买法？ 补充说明：由例题可以看出，乘法原理运用的范围是：①这件事要分几个彼此互不影响的独立步骤来完成；②每个步骤各有若干种不同的方法来完成．这样的问题就可以使用乘法原理解决问题．例2.右图中有7个点和十条线段，一只甲虫要从A点沿着线段爬到B点，要求任何线段和点不得重复经过．问：这只甲虫最多有几种不同的走法？ 例3.书架上有6本不同的外语书，4本不同的语文书，从中任取外语、语文书各一本，有多少种不同的取法？ 例4.王英、赵明、李刚三人约好每人报名参加学校运动会的跳远、跳高、100米跑、200米跑四项中的一项比赛，问：报名的结果会出现多少种不同的情形？ 例5.由数字0、1、2、3组成三位数，问： ①可组成多少个不相等的三位数？ ②可组成多少个没有重复数字的三位数？ 分析在确定由0、1、2、3组成的三位数的过程中，应该一位一位地去确定．所以，每个问题都可以看成是分三个步骤来完成． ①要求组成不相等的三位数．所以，数字可以重复使用，百位上，不能取0，故有3种不同的取法；十位上，可以在四个数字中任取一个，有4种不同的取法；个位上，也有4种不同的取法.
第二十六周乘法和加法原理 例题1： 由数字0，1，2，3组成三位数，问： ①可组成多少个不相等的三位数？ ②可组成多少个没有重复数字的三位数？ 在确定组成三位数的过程中，应该一位一位地去确定，所以每个问题都可以分三个步骤来完成。 ①要求组成不相等的三位数，所以数字可以重复使用。百位上不能取0，故有3种不同的取法：十位上有4种取法，个位上也有4种取法，由乘法原理共可组成3×4×4=48个不相等的三位数。 ②要求组成的三位数没有重复数字，百位上不能取0，有三种不同的取法，十位上有三种不同的取法，个位上有两种不同的取法，由乘法原理共可组成3×3×2=18个没有重复数字的三位数。 练习1： 1、有数字1，2，3，4，5，6共可组成多少个没有重复数字的四位奇数？ 2、在自然数中，用两位数做被减数，一位数做减数，共可组成多少个不同的减法算式？ 3、由数字1，2，3，4，5，6，7，8，可组成多少个： ①三位数； ②三位偶数； ③没有重复数字的三位偶数； ④百位是8的没有重复数字的三位数； ⑤百位是8的没有重复数字的三位偶数。 例题2： 有两个相同的正方体，每个正方体的六个面上分别标有数字1，2，3，4，5，6。将两个正方体放在桌面上，向上的一面数字之和为偶数的有多少种情形？ 要使两个数字之和为偶数，就需要这两个数字的奇、偶性相同，即两个数字同为奇数或偶数。所以，需要分两大类来考虑： 两个正方体向上一面同为奇数的共有3×3=9（种）不同的情形； 两个正方体向上一面同为偶数的共有3×3=9（种）不同的情形； 两个正方体向上一面同为偶数的共有3×3+3×3=18（种）不同的情形。 练习2： 1、在1—1000的自然数中，一共有多少个数字1？
1.复习乘法原理和加法原理； 2.培养学生综合运用加法原理和乘法原理的能力． 3.让学生懂得并运用加法、 乘法原理来解决问题，掌握常见的计数方法，会使用这些方法解决问题． 在分类讨论中结合分步分析，在分步分析中结合分类讨论；教师应该明确并强调哪些是分类，哪些是分步．并了解与加、乘原理相关的常见题型：数论类问题、染色问题、图形组合． 一、加乘原理概念 生活中常有这样的情况：在做一件事时，有几类不同的方法，在具体做的时候，只要采用其中某一类中的一种方法就可以完成，并且这几类方法是互不影响的．那么考虑完成这件事所有可能的做法，就要用到加法原理来解决． 还有这样的一种情况：就是在做一件事时，要分几步才能完成，而在完成每一步时，又有几种不同的方法．要知道完成这件事情共有多少种方法，就要用到乘法原理来解决． 二、加乘原理应用 应用加法原理和乘法原理时要注意下面几点： ⑴加法原理是把完成一件事的方法分成几类，每一类中的任何一种方法都能完成任务，所以完成任务的不同方法数等于各类方法数之和． ⑵乘法原理是把一件事分几步完成，这几步缺一不可，所以完成任务的不同方法数等于各步方法数的乘积． ⑶在很多题目中，加法原理和乘法原理都不是单独出现的，这就需要我们能够熟练的运用好这两大原理，综合分析，正确作出分类和分步． 加法原理运用的范围：完成一件事的方法分成几类，每一类中的任何一种方法都能完成任务，这样的问题可以使用加法原理解决．我们可以简记为：“加法分类，类类独立”． 乘法原理运用的范围：这件事要分几个彼此互不影响．．．． 的独立步骤．．．． 来完成，这几步是完成这件任务缺一不．．．可的．． ，这样的问题可以使用乘法原理解决．我们可以简记为：“乘法分步，步步相关”． 【例 1】 由数字1，2，3 可以组成多少个没有重复数字的数？ 【考点】加乘原理之综合运用 【难度】2星 【题型】解答 【解析】 因为有1，2，3共3个数字，因此组成的数有3类：组成一位数；组成二位数；组 成三位数．它们的和就是问题所求． 教学目标 例题精讲 知识要点 7-3-2.加乘原理之数字问题（一）
四年级奥数乘法原理 This manuscript was revised by the office on December 22, 2012
四年级奥数乘法原理 1、三位小朋友每两人通一次电话,一共通了多少次？ 2、在一次聚会上,小刚遇见了他的5位朋友,他们彼此握了一次手,他们一共握了多少次手？ 3、校运动会上,四年级有5人参加乒乓球单打比赛,每人都要和另外4人比赛一场,一共要比赛多少场 4、小红和她的爸爸,妈妈,弟弟去公园玩,每次选2人进行合影留念,有多少种不同的选法? 5、某旅行社推出"五一"黄金周的旅游景点为:桂林,花果山,周庄,苏州园林,南京中山陵.小红家想选择其中的两个景点游玩,他们家一共有多少种不同的选择方案? 6、有5位同学,如果每两人互赠一件礼物,共需多少件礼物? 7、某小姐有三件裙子,四件上衣,两双鞋子,问总共有几种不同的搭配方法？ 8、设一室有五个门,甲分由不同之门进出此室各一次,但不得由同一门进出,则其方法有几种？ 9、图书馆中有五本不同的三民主义书和八本不同的数学书,一学生欲选一本书的方法有几种若三民主义和数学各选一本,共有多少种选法？ 10、某篮球校队是由二位高一学生,四位高二学生,六位高三学生所组成,现在要从校队中选出三人,每年级各选一人,参加篮球讲习会,问总共有多少种选法？
11、甲班有40位同学,乙班有45位同学, 丙班有50位同学,若各班推选一人筹办文艺展览会,共有几种选派法？ 12、用0,1,2,3,4,5,6组成四位数的密码共有几种？ 13、用0,1,2,3,4五个数字排成的三位数有几个其中数字相异的三位数有几个？ 某人到食堂去买饭，主食有三种，副食有五种，他主食和副食各买一种，共有多少种不同的买法？ 14.在小于10000的自然数中，含有数字1的数有多少个？ 15.马戏团的小丑有红、黄、蓝三顶帽子和黑、白两双鞋，他每次出场演出都要戴一顶帽子、穿一双鞋。问：小丑的帽子和鞋共有几种不同搭配？ 16.从甲地到乙地有2条路，从乙地到丙地有3条路，从丙地到丁地也有2条路。问：从甲地经乙、丙两地到丁地，共有多少种不同的走法？ 17.用数字0，1，2，3，4，5可以组成多少个三位数（各位上的数字允许重复） 18.求360共有多少个不同的约数。
小学奥数：加法原理 在日常生活与实践中，我们经常会遇到分组、计数的问题。解答这一类问题，我们通常运用加法与那里与乘法原理这两个基本的计数原理。熟练掌握这两个原理，不仅可以顺利解答这类问题，而求可以为今后升入中学后学习排列组合等数学知识打下好的基础。 什么叫做加法原理呢？我们先来看这样一个问题： 从到上海，可以乘火车，也可以乘汽车、轮船或者飞机。假如一天中到上海有4班火车、6班汽车，3班轮船、2班飞机。那么一天中乘做这些交通工具从到上海共有多少种不同的走法？ 我们把乘坐不同班次的火车、汽车、轮船、飞机称为不同的走法，那么从到上海，乘火车有4种走法，乘汽车有6种走法，乘轮船有3种走法，乘坐飞机有2种走法。因为每一种走法都可以从到上海，因此，一天中从到上海共有4+6+3+2 = 15 (种)不同的走法。 我们说，如果完成某一种工作可以有分类方法，一类方法中又有若干种不同的方法，那么完成这件任务工作的方法的总数就等于各类完成这件工作的总和。即N = m1 + m2 + …+ m n (N代表完成一件工作的方法的总和，m1,m2, …m n 表示每一类完成工作的方法的种数)。这个规律就乘做加法原理。 例题与方法： 例1书架上有10本故事书，3本历史书，12本科普读物。志远
任意从书架上取一本书，有多少种不同的取法？ 例2一列火车从上上海到，中途要经过6个站，这列火车要准备多少中不同的车票？ 例3、4 x 4的方格图中（如下图），共有多少个形？ 例4、妈妈，爸爸，和小明三人去公园照相：共有多少种不同的照法？ 练习与思考： 1.从甲城到乙城，可乘汽车，火车或飞机。已知一天中汽车有2班，火车有4班，甲城到乙城共有（）种不同的走法。
乘法原理 一般地，如果完成一件事需要n个步骤，其中，做第一步有m1种不同的方法，做第二步有m2种不同的方法，…，做第n步有mn种不同的方法，那么，完成这件事一共有：N=m1×m2×…×mn种不同的方法．这就是乘法原理． 特别提示： 1、做一件事分几步完成 2、每一步都有多种选择 3、步步相乘4、步步相关例1、某人要从北京到大连拿一份资料，之后再到天津开会．其中，他从北京到大连可以乘长途汽车、火车或飞机，而他从大连到天津却只想乘船．那么，他从北京经大连到天津共有多少种不同的走法？如果此人到大连后，可以乘船或飞机到天津，那么他从北京到天津则有多少种走法呢？ 例2 右图中有7个点和十条线段，一只甲虫要从A点沿着线段爬到B点，要求任何线段和点不得重复经过．问：这只甲虫最多有几种不同的走法？ 例3 书架上有6本不同的外语书，4本不同的语文书，从中任取外语、语文书各一本，有多少种不同的取法？ 例4 王英、赵明、李刚三人约好每人报名参加学校运动会的跳远、跳高、100米跑、200米跑四项中的一项比赛，问：报名的结果会出现多少种不同的情形？
例5 由数字0、1、2、3组成三位数，问： ①可组成多少个不相等的三位数？ ②可组成多少个没有重复数字的三位数？ 例6 由数字1、2、3、4、5、6共可组成多少个没有重复数字的四位奇数？ 例7 右图中共有16个方格，要把A、B、C、D四个不同的棋子放在方格里，并使每行每列只能出现一个棋子．问：共有多少种不同的放法？ 例8 现有一角的人民币4张，贰角的人民币2张，壹元的人民币3张，如果从中至少取一张，至多取9张，那么，共可以配成多少种不同的钱数？ 习题一 1．某罪犯要从甲地途经乙地和丙地逃到丁地，现在知道从甲地到乙地有3条路可以走，从乙地到丙地有2条路可以走，从丙地到丁地有4条路可以走．问，罪犯共有多少种逃走的方法？ 2．如右图，在三条平行线上分别有一个点，四个点，三个点（且不在同一条直线上的三个
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奥数讲解八 题型一：乘法原理 【知识要点】 1. 乘法原理：如果完成一件任务需要分成n个步骤进行，做第1步有m1种方法，做第2步有m2种方法……做第n步有mn种方法，那么按照这样的步骤完成这件任务共有 N＝m1×m2×…×mn 种不同的方法。 2. 从乘法原理可以看出：将完成一件任务分成几步做，是解决问题的关键，而这几步是完成这件任务缺一不可的。 【典型例题】 例1：马戏团的小丑有红、黄、蓝三顶帽子和黑、白两双鞋，他每次出场演出都要戴一顶帽子、穿一双鞋。问：小丑的帽子和鞋共有几种不同搭配？ 例2：从甲地到乙地有2条路，从乙地到丙地有3条路，从丙地到丁地也有2条路。问：从甲地经乙、丙两地到丁地，共有多少种不同的走法？ 例3：用数字0，1，2，3，4，5可以组成多少个三位数（各位上的数字允许重复）？ 例4：如下图，A，B，C，D，E五个区域分别用红、黄、蓝、白、黑五种颜色中的某一种染色，要使相邻的区域染不同的颜色，共有多少种不同的染色方法？ 例5：有10块糖，每天至少吃一块，吃完为止。问：共有多少种不同的吃法？ 【同步训练】 1.有五顶不同的帽子，两件不同的上衣，三条不同的裤子。从中取出一顶帽子、一件上衣、一条裤子配成一套装束。问：有多少种不同的装束？ 2. 四角号码字典，用4个数码表示一个汉字。小王自编一个“密码本”，用3个数码（可取重复数字）表示一个汉字，例如，用“011”代表汉字“车”。问：小王的“密码本”上最多能表示多少个不同的汉字？
3. “IMO”是国际数学奥林匹克的缩写，把这3个字母写成三种不同颜色。现在有五种不同颜色的笔，按上述要求能写出多少种不同颜色搭配的“IMO”？ 4. 用四种颜色给右图的五块区域染色，要求每块区域染一种颜色，相邻的区域染不同的颜色。问：共有多少种不同的染色方法？ 题型二：加法原理（一） 加法原理：如果完成一件任务有n类方法，在第一类方法中有m1种不同方法，在第二类方法中有m2种不同方法……在第n类方法中有mn种不同方法，那么完成这件任务共有 N=m1+m2+…+mn种不同的方法。 【典型例题】 例1：从甲地到乙地，可以乘火车，也可以乘汽车，还可以乘轮船。一天中火车有4班，汽车有3班，轮船有2班。问：一天中乘坐这些交通工具从甲地到乙地，共有多少种不同走法？ 例2：旗杆上最多可以挂两面信号旗，现有红色、蓝色和黄色的信号旗各一面，如果用挂信号旗表示信号，最多能表示出多少种不同的信号？ 例3：两次掷一枚骰子，两次出现的数字之和为偶数的情况有多少种？ 例4：用1，2，3，4这四种数码组成五位数，数字可以重复，至少有连续三位是1的五位数有多少个？ 例5：用五种颜色给右图的五个区域染色，每个区域染一种颜色，相邻的区域染不同的颜色。问：共有多少种不同的染色方法？ 【同步训练】 1. 南京去上海可以乘火车、乘飞机、乘汽车和乘轮船。如果每天有20班火车、6班飞机、8班汽车和4班轮船，那么共有多少种不同的走法？
四年级奥数乘法原理 1、三位小朋友每两人通一次,一共通了多少次？ 2、在一次聚会上,小刚遇见了他的5位朋友,他们彼此握了一次手,他们一共握了多少次手？ 3、校运动会上,四年级有5人参加乒乓球单打比赛,每人都要和另外4人比赛一场,一共要比赛多少场 4、小红和她的爸爸,妈妈,弟弟去公园玩,每次选2人进行合影留念,有多少种不同的选法? 5、某旅行社推出"五一"黄金周的旅游景点为:,花果山,周庄,园林,陵.小红家想选择其中的两个景点游玩,他们家一共有多少种不同的选择方案? 6、有5位同学,如果每两人互赠一件礼物,共需多少件礼物? 7、某小姐有三件裙子,四件上衣,两双鞋子,问总共有几种不同的搭配方法？ 8、设一室有五个门,甲分由不同之门进出此室各一次,但不得由同一门进出,则其方法有几种？
9、图书馆中有五本不同的三义书和八本不同的数学书,一学生欲选一本书的方法有几种若三义和数学各选一本,共有多少种选法？ 10、某篮球校队是由二位高一学生,四位高二学生,六位高三学生所组成,现在要从校队中选出三人,每年级各选一人,参加篮球讲习会,问总共有多少种选法？ 11、甲班有40位同学,乙班有45位同学, 丙班有50位同学,若各班推选一人筹办文艺展览会,共有几种选派法？ 12、用0,1,2,3,4,5,6组成四位数的密码共有几种？ 13、用0,1,2,3,4五个数字排成的三位数有几个其中数字相异的三位数有几个？ 某人到食堂去买饭，主食有三种，副食有五种，他主食和副食各买一种，共有多少种不同的买法？ 14.在小于10000的自然数中，含有数字1的数有多少个？ 15.马戏团的小丑有红、黄、蓝三顶帽子和黑、白两双鞋，他每次出场演出都要戴一顶帽子、穿一双鞋。问：小丑的帽子和鞋共有几种不同搭配？ 16.从甲地到乙地有2条路，从乙地到丙地有3条路，从丙地到丁地也有2条路。问：从甲地经乙、丙两地到丁地，共有多少种不同的走法？
7-3-3加乘原理之图论 教学目标 1.复习乘法原理和加法原理； 2.培养学生综合运用加法原理和乘法原理的能力． 3.让学生懂得并运用加法、乘法原理来解决问题，掌握常见的计数方法，会使用这些方法解决问题． 在分类讨论中结合分步分析，在分步分析中结合分类讨论；教师应该明确并强调哪些是分类，哪些是分步．并了解与加、乘原理相关的常见题型：数论类问题、染色问题、图形组合． 知识要点 一、加乘原理概念 生活中常有这样的情况：在做一件事时，有几类不同的方法，在具体做的时候，只要采用其中某一类中的一种方法就可以完成，并且这几类方法是互不影响的．那么考虑完成这件事所有可能的做法，就要用到加法原理来解决． 还有这样的一种情况：就是在做一件事时，要分几步才能完成，而在完成每一步时，又有几种不同的方法．要知道完成这件事情共有多少种方法，就要用到乘法原理来解决． 二、加乘原理应用 应用加法原理和乘法原理时要注意下面几点： ⑴加法原理是把完成一件事的方法分成几类，每一类中的任何一种方法都能完成任务，所以完成任务的不同方法数等于各类方法数之和． ⑵乘法原理是把一件事分几步完成，这几步缺一不可，所以完成任务的不同方法数等于各步方法数的乘积． ⑶在很多题目中，加法原理和乘法原理都不是单独出现的，这就需要我们能够熟练的运用好这两大原理，综合分析，正确作出分类和分步． 加法原理运用的范围：完成一件事的方法分成几类，每一类中的任何一种方法都能完成任务，这样的问题可以使用加法原理解决．我们可以简记为：“加法分类，类类独立”．乘法原理运用的范围：这件事要分几个彼此互不影响的独立步骤来完成，这几步是完成这件任务缺一不可的，这样的问题可以使用乘法原理解决．我们可以简记为：“乘法分步，步步相关”． 例题精讲 【例 1】5条直线两两相交，没有两条直线平行，没有任何三条直线通过同一个点，以这5条直线的交点为顶点能构成几个三角形？ 【考点】加乘原理之图论【难度】3星【题型】解答
7-3-2.加乘原理之数字问题（一） 教学目标 1.复习乘法原理和加法原理； 2.培养学生综合运用加法原理和乘法原理的能力． 3.让学生懂得并运用加法、乘法原理来解决问题，掌握常见的计数方法，会使用这些方法解决问题． 在分类讨论中结合分步分析，在分步分析中结合分类讨论；教师应该明确并强调哪些是分类，哪些是分步．并了解与加、乘原理相关的常见题型：数论类问题、染色问题、图形组合． 知识要点 一、加乘原理概念 生活中常有这样的情况：在做一件事时，有几类不同的方法，在具体做的时候，只要采用其中某一类中的一种方法就可以完成，并且这几类方法是互不影响的．那么考虑完成这件事所有可能的做法，就要用到加法原理来解决． 还有这样的一种情况：就是在做一件事时，要分几步才能完成，而在完成每一步时，又有几种不同的方法．要知道完成这件事情共有多少种方法，就要用到乘法原理来解决． 二、加乘原理应用 应用加法原理和乘法原理时要注意下面几点： ⑴加法原理是把完成一件事的方法分成几类，每一类中的任何一种方法都能完成任务，所以完成任务的不同方法数等于各类方法数之和． ⑵乘法原理是把一件事分几步完成，这几步缺一不可，所以完成任务的不同方法数等于各步方法数的乘积． ⑶在很多题目中，加法原理和乘法原理都不是单独出现的，这就需要我们能够熟练的运用好这两大原理，综合分析，正确作出分类和分步． 加法原理运用的范围：完成一件事的方法分成几类，每一类中的任何一种方法都能完成任务，这样的问题可以使用加法原理解决．我们可以简记为：“加法分类，类类独立”． 乘法原理运用的范围：这件事要分几个彼此互不影响 ．．． ．．．．的独立步骤 ．．．．来完成，这几步是完成这件任务缺一不 可的 ．．，这样的问题可以使用乘法原理解决．我们可以简记为：“乘法分步，步步相关”． 例题精讲 【例1】由数字1，2，3可以组成多少个没有重复数字的数？ 【例2】用数字1，2，3可以组成6个没有重复数字的三位数，这6个数的和是。 【巩固】由数字0，3，6组成的所有三位数的和是__________。
二讲加法与乘法原理 知识导航 加法原理：做一件事情，完成 ．．它有n类办法，在第一类办法中有M1种不 同的方法，在第二类办法中有m 2种不同的方法，……，在第n类办法中有m n 种不同的方法，那么完成这件事情共有m 1+m 2 +……+m n 种不同的方法。 运用加法原理计数，关键在于合理分类，不重不漏。要求每一类中的每一种方法都可以独立地完成此任务；两类不同办法中的具体方法，互不相同(即分类不重)；完成此任务的任何一种方法，都属于某一类(即分类不漏)。合理分类也是运用加法原理解决问题的难点，不同的问题，分类的标准往往不同，需要积累一定的解题经验。 乘法原理：完成一件工作共需N个步骤：完成第一个步骤有m 1 种方法，完 成第二个步骤有m 2种方法，…，完成第N个步骤有m n 种方法，那么，完成这件 工作共有m 1×m 2 ×…×m n 种方法。 运用乘法原理计数，关键在于合理分步。完成这件工作的N个步骤，各个步骤之间是相互联系的，任何一步的一种方法都不能完成此工作，必须连续完成这N步才能完成此工作；各步计数相互独立；只要有一步中所采取的方法不同，则对应的完成此工作的方法也不同。 精典例题 例1：一个口袋内装有3个小球，另一个口袋内装有8个小球，所有这些小球颜色各不相同。问： ①从两个口袋内任取一个小球，有多少种不同的取法？ ②从两个口袋内各取一个小球，有多少种不同的取法？
思路点拨 ①：从两个口袋中只需取一个小球,则这个小球要么从第一个口袋中取，要么从第二个口袋中取，共有两大类方法。所以是加法原理的问题。 ②：要从两个口袋中各取一个小球，则可看成先从第一个口袋中取一个，再从第二个口袋中取一个，分两步完成，是乘法原理的问题。 模仿练习 孙老师的一个口袋内装有60个小球，另一个口袋内装有80个小球，所有这些小球颜色各不相同。问： （1）从两个口袋内任取一个小球，有多少种不同的取法？ （2）从两个口袋内各取一个小球，有多少种不同的取法？ 例2：一把钥匙只能开一把锁，淘气有7把钥匙和7把锁全部都搞乱了，最多要试验多少次才能全部配好锁和相应的钥匙？ 思路点拨 要求“最多”多少次配好锁和钥匙，就要从最糟糕的情况开始考虑：第1把钥匙要配到锁，最多要试6次（如果6次配对失败，第7把锁就一定是这把钥匙，不用再试）；同理，第2把钥匙最多要试5次；……第6把锁最多试1次，最好一把锁不用试。
加乘法原理 加法原理： 完成一件事情，如果有n类办法，在第一类办法中有a种不同做法，第二类有b 种不同做法，第三类中有c中不同的做法。。。那么完成这件事就有N=a+b+c+d+。。。种不同的做法。 例1：小龙和小虎是亲戚，暑假小龙邀请小虎去另一城市玩，小虎所在城市每天有三趟火车、 两班轮船、四班汽车去小龙的城市，请问小虎去的话有多少种选择方式？ 乘法原理：做一件事情需要分n步骤，做第一步有a种不同方法，做第二步有b 种不同方法，第三步有c种不同方法。。。那么完成这件事就有N=a×b×c×。。。种不同方法。 例2：从甲地到乙地有2条路可走，从乙地到丙地有3条路可走，试问从甲地经乙地到丙地 共有多少种不同的走法？ 练习： 1、小东到新华书店买书，他喜欢的书有5种数学书，3种科幻书，6种古典小说。他带的 钱只能买其中的一种，他有多少种不同的选择方法？ 2、一条直线上标有ABCDE共5个点，问：用这5个点中的任意两点为端点，能数出多少 条不同的线段？ 3、从1~9这九个数中，每次取2个数的和大于10，能有几种取法？
4、某人有一个5分硬币，四个2分硬币，八个1分硬币，现在要拿出8分，有几种不同的拿法？ 5、运行于杭州、上海之间的快车，中途要停靠六个站，这列快车要准备多少种不同的车票？ 6、一只甲虫从A点出发沿着线段爬到B点，要求任何点和线段都不重复经过，有多少种不 同的走法？ A B 7、小东到新华书店买书，他喜欢的书有5种数学书，3种科幻书，6种古典小说。他各买 一本有多少种不同的选择方法？ 8、某市电话号码为8位，其中首位是8，这个市的电话号码最多有几个？ 9、正方形有16个方格，要把ABCD四个不同的棋子放在方格里，并使每行每列只能出现 一个棋子，问共有多少种不同的放法？ 10、由0、3、5、8组成三位数，（1）可以组成几个不相等的三位数，（2）可以组成几个没有重复数字的三位数
加法原理 在日常生活与实践中，我们经常会遇到分组、计数的问题。解答这一类问题，我们通常运用加法与那里与乘法原理这两个基本的计数原理。熟练掌握这两个原理，不仅可以顺利解答这类问题，而求可以为今后升入中学后学习排列组合等数学知识打下好的基础。 什么叫做加法原理呢？我们先来看这样一个问题： 从南京到上海，可以乘火车，也可以乘汽车、轮船或者飞机。假如一天中南京到上海有4班火车、6班汽车，3班轮船、2班飞机。那么一天中乘做这些交通工具从南京到上海共有多少种不同的走法？ 我们把乘坐不同班次的火车、汽车、轮船、飞机称为不同的走法，那么从南京到上海，乘火车有4种走法，乘汽车有6种走法，乘轮船有3种走法，乘坐飞机有2种走法。因为每一种走法都可以从南京到上海，因此，一天中从南京到上海共有4+6+3+2 = 15 (种)不同的走法。 我们说，如果完成某一种工作可以有分类方法，一类方法中又有若干种不同的方法，那么完成这件任务工作的方法的总数就等于各类完成这件工作的总 和。即N = m 1 + m 2 + … + m n (N代表完成一件工作的方法的总和，m1,m2, … m n 表示每一类完成工作的方法的种数)。这个规律就乘做加法原理。 例题与方法： 例1 书架上有10本故事书，3本历史书，12本科普读物。志远任意从书架上取一本书，有多少种不同的取法？ 例2一列火车从上上海到南京，中途要经过6个站，这列火车要准备多少中不同的车票？
例3、4 x 4的方格图中（如下图），共有多少个正方形？ 例4、妈妈，爸爸，和小明三人去公园照相：共有多少种不同的照法？ 练习与思考： 从甲城到乙城，可乘汽车，火车或飞机。已知一天中汽车有2班，火1. 车有4班，甲城到乙城共有（）种不同的走法。 一列火车从上海开往杭州，中途要经过4个站，沿途应为这列火车准2. 备____种不同的车票。 3.下面图形中共有____个正方形。 4.图中共有_____个角。 5.书架上共有７种不同的的故事书，中层６本不同的科技书，下层有４钟不同的历史书。如果从书架上任取一本书，有____种不同的取法。 6.平面上有８个点（其中没有任何三个点在一条直线上），经过每两个点画一条直线，共可以画_____条直线。
四年级奥数详解答案 第九讲乘法原理 一、知识概要 如果要完成一件任务需要分成几个步骤进行做，第一步有m1种方法，做第二步有m2种方法……，做第n步有m n种方法，即么，按这样的步骤完成这件任务共有N= m1×m2×…×m n种不同的方法。这就是乘法原理。 乘法原理和加法原理的区别是：加法原理是指完成一件工作的方法有几类，之间不相关系，每类都能独立完成一件工作任务；而乘法原理是指完成一件工作的方法是一类中的几个不同步骤，互相关联，缺一不可，共同才能完成一件工作任务。 二、典型例题精讲 1. 从甲地到乙地有两条路可走，从乙地到丙地有三条路可走，试问：从甲地经乙地到丙 地共有多少种不同的走法？ 分析：如图，很明显，这是个乘法原理的题目。要完成“从甲到丙的行走任务”必须分两步完成。第一步：甲分别通过乙的三条路线到达丙，故有3种走法。第二步： 甲从第二条路线出发又分别通过乙的三条路线到达丙，故又有3种走法。这两种 走法相类似，共同完成“从甲到丙”的任务。 解：3×2=6(种) 答：共有6种不同的走法。 2. 右图中共有16个方格，要把A、B、C、D四个不同的棋子放在方格里，并使每行、 每列只能出现一个棋子，共有多少种不同的放法？ 分析：(如图二)摆放四个棋子分四步来完成。第一步放棋子A，A可任意摆放，有16种摆放；第二步摆B，由于A所在的位置那一行，那一列都不能放，故只有9 种放法；第三步摆C子，也由A、B所在的那一行，那一到都不能，只有四格 可任意放，故有4种放法；第四步，只剩一格放D子，当然只有一种放法。
解：16×9×4×1=576(种) 答：共有576种不同的放法。 3. 有五张卡片，分别写有数字1，2，4，5，8。现从中取出3张片排在一起，组成一个 三位数，如□1□5□2，可以组成个不同的偶数。 分析：分三步取出卡片：1.个位，个位只能放2、4、8；故有3种放法；2.百位，因个位用去1张，所以百位上还有四张可选，故有4种放法；3.十位，因个位和百位 共放了两张，所以还有3张可选放，有3种放法。 解：3×4×3=36(个) 4. 兴趣小组有7名男生，5名女生，现要从这些同学选出4名参加数学竞赛，其中至少 要有2名女生，共有种不同的选法。 分析：分三类选出(加法原理)：第一类：2名学生，先从5名女生中选2名，有5×4÷2=10(种)选法，再从7名男生中选2名有7×6÷2=21(种)，共有10× 21=210(种)；第二类：3名女生，先从5名女生中选3名，(其实等于选出2名 不比赛)有10种选法；再从男生中选1人，有7种选法。共有10×7=70(种)选 法。第三类：4名学生，即从5名选1人不比赛，有5种方法。 解：10×21+10×7+5=285(种) 5. 有4名男生，2名女生，排成一行录像，要求2名不站在两边，且2名女生站在相邻 位置，共有多少种不同的排法？ 分析：分两步考虑，第一步，先确定女生排法，2名女生不站两边，有6种站法。第二步，确定男生的站法，4名男生4个位置可选择，故有4×3×2×1=24(种)站法。 解：6×24=144(种) 答：共有144种不同的排法。 6. 地图上a、b、c、d四个国家(如下图)，现有红、黄、绿、蓝四种颜色给地图染色，使相邻国家的颜色不同。有种不同的染色方法。 分析：着色分四步，在图A中，第一步给a着色，有四种方法；第二步给b着色，因a：b相邻，故有3种色选着，方法有3种；第三步给c着色，有2种着法；第四步， 给d着色，有2种着法。在图B中，a着色后可将b、d的着色分为相同与不同 两类去考虑，染色的顺序为a、b、d、c.
学习奥数的优点 1、激发学生对数学学习的兴趣，更容易让学生体验成功，树立自信。 2、训练学生良好的数学思维习惯和思维品质。要使经过奥数训练的学生，思 维更敏捷，考虑问题比别人更深层次。 3、锻炼学生优良的意志品质。可以培养持之以恒的耐心和克服困难的信心， 以及战胜难题的勇气。可以养成坚韧不拔的毅力 4、获得扎实的数学基本功，发挥创新精神和创造力的最大空间。 学科培优数学 “乘法原理” 学生姓名授课日期 教师姓名授课时长 知识定位 我们在完成一件事时往往要分为多个步骤，每个步骤又有多种方法，当计算 一共有多少种完成方法时就要用到乘法原理. 知识梳理 一乘法原理 完成一件事，这个事情可以分成n个必不可少的步骤（比如说老师从家到黄埔， 必须要先到长宁，那么一共可以分成两个必不可少的步骤，一是从家到长宁，二 是从长宁到黄埔），第1步有A种不同的方法，第二步有B种不同的方法，。。。。。。， 第n步有N种不同的方法。那么完成这件事情一共有A×B×.....×N种不同的 方法。 二乘法原理的考题类型：
1、路线种类问题——比如说老师举的这个例子就是个路线种类问题。 2、字的染色问题——比如说要3个字，然后有5种颜色可以给每个字然后，问3个字有多少种染色的方法 3、地图的染色问题——同学们可以回家看地图，比如中国每个省的染色情况，给你几种颜色，问你一张包括几个部分的地图有几种染色的方法。 4、排队问题——比如说6个同学，排成一个队伍，有多少种排法。 5、数码问题——就是对一些数字的排列，比如说给你几个数字，然后排个几为数的偶数，有多少种排法。 三解题关键： 1、分清有几个必要的步骤 2. 分请每个步骤有多少种选择情况，有的时候要考虑前面几个步骤的选择结果，再考虑本步骤有多少个选择情况。 例题精讲 【试题来源】 【题目】邮递员投递邮件由A村去B村的道理有3条，由B村去C村的道路有2条，那么邮递员从A村经B村去C村，共有多少种不同的走法？ 【答案】6 【解析】A经过B到C，肯定是要先到B，再到C。那么这个过程可分成两个必不可少的过程，第一步是A——B；第二步是B——C，然后可以根据乘法原理算出答案。 3×2=6 【知识点】乘法原理 【适用场合】当堂例题 【难度系数】1 【试题来源】 【题目】如下图，有个小蚂蚁要从A点，沿着线段爬到B点，要求任 何点不得重复经过，问：这只小蚂蚁一共有几种不同走法 【答案】9 1、【解析】首先看提问，提问可以转成——小蚂蚁一共有多少 种走法
第一讲加乘原理 加法原理：做一件事情，完成它有N类方式，第一类方式有M1种方法，第二类方式有 M2种方法，……，第N类方式有M(N)种方法，那么完成这件事情共有M1+M2+……+M(N) 种方法。 乘法原理：做一件事，完成它需要分成n个步骤，做第一步有ml种不同的方法，做第二 步有m2不同的方法，，做第n步有mn不同的方法。那么完成这件事共有N=m1 x m2 Xm3 n 种不同的方法。 核心：分布相乘、分步相加 例题1 : (1)从天津到上海的火车，上午、下午各发一列；也可以乘飞机，有3个不同的航班，还有一艘轮船直达上海。那么从天津到上海共有多少种不同的走法？ (2 )请观察下面的树状图，请问从A到“树叶”节点的路线一共有多少条? 练习1 : (1 )从甲地到乙地，可以乘火车，也可以乘汽车，还可以乘轮船。一天中火车有4班，汽车有3班，轮船有2班。问：一天中乘坐这些交通工具从甲地到乙地，共有多少种 不同走法？ (2 )下图中，一只甲虫要从A点沿着线段爬到B 段和点不得重复经过，问家中最多有多少种走法？ 点，要求任何线*干
例题 2 ：泡泡有许多套服装，帽子数量为 5 顶、上衣有10 件，裤子有8 条，还有运动鞋6双，早晨要从几种服装中各取一个搭配，问：有多少种搭配？ 练习 2 ：书架上有 6 本不同的外语书， 4 本不同的语文书， 3 本不同的数学书，从中任取外语、语文、数学书各一本，有多少种不同的取法？ 例题3：由数字1、2 、3、4、5、6、7、8 可组成多少个没有重复数字的三位数？百位为 7 的没有重复数字的三位数？ 练习3：利用数字1，2，3，4，5 共可组成⑴多少个数字不重复的三位数？⑵多少个数字不重复的三位偶数？⑶多少个数字不重复的偶数？ 例题4：甲、乙、丙、丁、戊五人要驾驶A、B、C、D、E 这五辆不同型号的汽车，一共有 多少种不同的安排方式？ 如果会驾驶汽车 A 的只有甲和乙，一共有多少种安排方式？
乘法原理 【课前思考】 某人要从北京到大连拿一份资料，之后再到天津开会．其中，他从北京到大连可以乘长途汽车、火车或飞机，而他从大连到天津却只想乘船．那么，他从北京经大连到天津共有多少种不同的走法？ 【定义】 一般地，如果完成一件事需要n个步骤，其中，做第一步有m1种不同的方法，做第二步有m2种不同的方法，?，做第n步有mn种不同的方法，那么，完成这件事一共有： N=m1×m2×?×mn种不同的方法．这就是乘法原理． 【例题精讲】 例1．某人到食堂去买饭，主食有三种，副食有五种，他主食和副食各买一种，共有多少种不同的买法？ 例2．右图中有7个点和十条线段，一只甲虫要从A点沿着线段爬到B点，要求任何线段和点不得重复经过．问：这只甲虫最多有几种不同的走法？ 例3．书架上有6本不同的外语书，4本不同的语文书，从中任取外语、语文书各一本，有多少种不
同的取法？ 例4．王英、赵明、李刚三人约好每人报名参加学校运动会的跳远、跳高、100米跑、200米跑四项中的一项比赛，问：报名的结果会出现多少种不同的情形？ 例5．由数字0、1、2、3组成三位数，问： ①可组成多少个不相等的三位数？ ②可组成多少个没有重复数字的三位数？ 例6．由数字1、2、3、4、5、6共可组成多少个没有重复数字的四位奇数？ 例7．右图中共有16个方格，要把A、B、C、D四个不同的棋子放在方格里，并使每行每列只能出现一个棋子．问：共有多少种不同的放法？ 例8．现有一角的人民币4张，贰角的人民币2张，壹元的人民币3张，如果从中至少取一张，至多取9张，那么，共可以配成多少种不同的钱数？ 【课后作业】
1．某罪犯要从甲地途经乙地和丙地逃到丁地，现在知道从甲地到乙地有3条路可以走，从乙地到丙地有2条路可以走，从丙地到丁地有4条路可以走．问，罪犯共有多少种逃走的方法？ 2．如右图，在三条平行线上分别有一个点，四个点，三个点（且不在同一条直线上的三个点不共线）．在每条直线上各取一个点，可以画出一个三角形．问：一共可以画出多少个这样的三角形？ 3．在自然数中，用两位数做被减数，用一位数做减数．共可以组成多少个不同的减法算式？ 4．一个篮球队，五名队员A、B、C、D、E，由于某种原因，C不能做中锋，而其余四人可以分配到五个位置的任何一个上．问：共有多少种不同的站位方法？ 5．由数字1、2、3、4、5、6、7、8可组成多少个 ①三位数？ ②三位偶数？ ③没有重复数字的三位偶数？ ④百位为8的没有重复数字的三位数？ ⑤百位为8的没有重复数字的三位偶数？ 6．某市的电话号码是六位数的，首位不能是0，其余各位数上可以是0～9中的任何一个，并且不同位上的数字可以重复．那么，这个城市最多可容纳多少部电话机？ 参考答案
2015年小学奥数计数专题——乘法原理 1．某短跑队有9名运动员，其中2人起跑技术好，另外有3人跑弯道技术好，还有2人冲刺技术好。现在要从中选4人组队参加 4×100米接力赛，为使每人充分发挥特长，共有多少种组队方式？（注： 4×100米接力赛中，第一棒起跑，第二棒跑直道，第三棒跑弯道，第四棒冲刺。） 2．用四种颜色对下列各图的A，B，C，D，E五个区域染色，要求相邻的区域染不同的颜色。问：各有多少种不同的染色方法？ 3．已知15120=24×33×5×7，问：15120共有多少个不同的约数？ 4．在所有的四位数中，前两位的数字之和与后两位的数字之和都等于6的共有多少个？5．在三位数中，至少出现一个6的偶数有多少个？ 6．有三组数：（1）1，2，3；（2）0.5，1.5，2.5，3.5；（3）4，5，6。如果从每组数中各取出一个数相乘，那么所有不同取法的三个数乘积的总和是多少？ 7．将 1332， 332， 32， 2这四个数的 10个数码一个一个地划掉，要求先划位数最多的数的最小数码。共有多少种不同的划法？ 8．有10粒糖，每天至少吃一粒，吃完为止。共有多少种不同的吃法？ 9．在图中，从“华”字开始，每次向下移动到一个相邻的字可以读出“华罗庚学校”．那么共有多少种不同的读法? 10．用红蓝两色来涂图中的小圆圈，要求关于中间那条竖线对称．问共有多少种不同的涂法? 11．如图，把A，B，C，D，E这5部分用4种不同的颜色着色，且相邻的部分不能使用同一种颜色，不相邻的部分可以使用同一种颜色．那么，这幅图共有多少种不同的 着色方法? 12．图是一个中国象棋盘，如果双方准备各放一个棋子，要求它们不在同一行，也不在同一列，那么总共有多少种不同的放置方法? 13．在如图所示的阶梯形方格表的格子中放入5枚棋子，使得每行、每列都只有一枚棋子，那么这样的放法共有多少种? 14．有一种用六位数表示日期的方法是：从左到右第一、二位数表示年，第三、四位数表示月，第五、六位数表示日，例如890817表示1989年8月17日．如果用这种方法表示1991年的日期，那么全年中6个数都不相同的日期共有多少天? 15．如果一个四位数与一个三位数的和是1999，并且四位数和三位数是由7个不同的数字组成的，那么这样的四位数最多能有多少个? 16．有五卡片，分别写有 1、2、4、5、8，现从中取出3卡片，并排放在一起，组成一个三位数，问：可以组成多少个不同的偶数？
海豚教育个性化简案 学生姓名：年级：科目： 授课日期：月日上课时间：时分------ 时分合计：小时 教学目标1. 培养学生的观察能力及逻辑思维能力。. 2. 初步了解“乘法原理”，“加法原理（一）”，“加法原理（二）”。 重难点导航1. 了解掌握奥数阶梯思维． 2. 把奥数思维带入解决应用题中． 教学简案： 一、个性化教案 二、错题汇编 三、个性化作业 授课教师评价：□ 准时上课：无迟到和早退现象 （今日学生课堂表□ 今天所学知识点全部掌握：教师任意抽查一知识点，学生能完全掌握现符合共项）□ 上课态度认真：上课期间认真听讲，无任何不配合老师的情况 （大写）□ 海豚作业完成达标：全部按时按量完成所布置的作业，无少做漏做现象审核人签字：学生签字：教师签字： 备注：请交至行政前台处登记、存档保留，隔日无效（可另附教案内页）大写：壹贰叁肆签章：
海豚教育个性化教案 奥数讲解八 题型一：乘法原理 【知识要点】 1. 乘法原理：如果完成一件任务需要分成n个步骤进行，做第1步有m1种方法，做第2步有m2种方法……做第n步有mn种方法，那么按照这样的步骤完成这件任务共有 N＝m1×m2×…×mn 种不同的方法。 2. 从乘法原理可以看出：将完成一件任务分成几步做，是解决问题的关键，而这几步是完成这件任务缺一不可的。 【典型例题】 例1：马戏团的小丑有红、黄、蓝三顶帽子和黑、白两双鞋，他每次出场演出都要戴一顶帽子、穿一双鞋。问：小丑的帽子和鞋共有几种不同搭配？ 例2：从甲地到乙地有2条路，从乙地到丙地有3条路，从丙地到丁地也有2条路。问：从甲地经乙、丙两地到丁地，共有多少种不同的走法？ 例3：用数字0，1，2，3，4，5可以组成多少个三位数（各位上的数字允许重复）？ 例4：如下图，A，B，C，D，E五个区域分别用红、黄、蓝、白、黑五种颜色中的某一种染色，要使相邻的区域染不同的颜色，共有多少种不同的染色方法？ 例5：有10块糖，每天至少吃一块，吃完为止。问：共有多少种不同的吃法？ 【同步训练】 1.有五顶不同的帽子，两件不同的上衣，三条不同的裤子。从中取出一顶帽子、一件上衣、一条裤子配成一套装束。问：有多少种不同的装束？