循环小数与分数的互化，循环小数之间简单的加、减运算，涉及循环小数与分数的主要利用运算定律进行简算的问题．
1.1
7的“秘密” 10.1428577??=，20.2857147??=，30.4285717??=，…， 60.8571427
??= 2.推导以下算式
⑴10.19=
；1240.129933==；123410.123999333==；12340.12349999
=； ⑴121110.129090-==；12312370.123900300-==；123412311110.123490009000
-==； ⑶ 1234126110.123499004950-==；123411370.123499901110
-== 以0.1234为例，推导1234126110.123499004950
-==． 设0.1234A =，将等式两边都乘以100，得：10012.34A =；
再将原等式两边都乘以10000，得：100001234.34A =，
两式相减得：10000100123412A A -=-，所以12341261199004950A -==． 3.循环小数化分数结论
纯循环小数 混循环小数 分子 循环节中的数字所组成的数 循环小数去掉小数点后的数字所组成的数与
不循环部分数字所组成的数的差
分母 n 个9，其中n 等于循环节所
含的数字个数
按循环位数添9，不循环位数添0，组成分
母，其中9在0的左侧 0.9a =； 0.99ab =； 0.09910990ab =?=； 0.990abc =，……
循环小数的计算
教学目标
知识点拨
模块一、循环小数的认识 【例 1】 在小数l.80524102007上加两个循环点，能得到的最小的循环小数是_______(注：公元2007年
10月24日北京时间18时05分，我国第一颗月球探测卫星“嫦娥一号”由“长征三号甲”运载火箭在西昌卫星发射中心升空，编写此题是为了纪念这个值得中国人民骄傲的时刻。)
【考点】循环小数的认识 【难度】2星 【题型】填空
【关键词】第六届，希望杯，1试
【解析】 因为要得到最小的循环小数，首先找出小数部分最小的数为0，再看0后面一位上的数字，有05、
02、00、07，00最小，所以得到的最小循环小数为l.80524102007??
【答案】l.80524102007??
【巩固】 给下列不等式中的循环小数添加循环点：0.1998>0.1998>0.1998>0.1998
【考点】循环小数的认识 【难度】3星 【题型】计算 【解析】 根据循环小数的性质考虑，最小的循环小数应该是在小数点后第五位出现最小数字1的小数，因
此一定是0.1998??，次小的小数在小数点后第五位出现次小数字8，因此一定是0.1998?．其后添加的循环点必定使得小数点后第五位出现9，因此需要考虑第六位上的数字，所以最大的小数其循环节中在9后一定还是9，所以最大的循环小数是0.1998??，而次大数为0.1998??
，于是得到不等式：0.19980.19980.19980.1998???????>>>
【答案】0.19980.19980.19980.1998???????
>>>
【例 2】 真分数7a 化为小数后，如果从小数点后第一位的数字开始连续若干个数字之和是1992，那么a 是多少?
【考点】循环小数的认识 【难度】3星 【题型】计算
【解析】 1=0.1428577， 27=0.285714，37=0.428571，47=0.571428，57=0.714285， 67
=0.857142．因此，真分数7
a 化为小数后，从小数点第一位开始每连续六个数字之和都是1+4+2+8+5+7=27，又因为1992÷27=73……21，27-21=6，而6=2+4，所以.=0.8571427
a ，即6a =． 【答案】6a =
【巩固】 真分数7
a 化成循环小数之后，从小数点后第1位起若干位数字之和是9039，则a 是多少？ 【考点】循环小数的认识 【难度】3星 【题型】计算 【解析】 我们知道形如7
a 的真分数转化成循环小数后，循环节都是由1、2、4、5、7、8这6个数字组 成，只是各个数字的位置不同而已，那么9039就应该由若干个完整的142857+++++和一个不完整142857+++++组成。 ()903912457833421÷+++++=，而21276=-，所以最后一个循环节中所缺的数字之和为6，经检验只有最后两位为4，2时才符合要求，显然，这种情况下
完整的循环节为“857142”，因此这个分数应该为67
，所以6a =。 【答案】6a =
例题精讲
【巩固】 真分数
7
化成循环小数之后，小数点后第2009位数字为7，则a 是多少？ 【考点】循环小数的认识 【难度】3星 【题型】计算
【解析】 我们知道形如7
a 的真分数转化成循环小数后，循环节都是由6位数字组成，200963345÷=，因此只需判断当a 为几时满足循环节第5位数是7，经逐一检验得3a =。
【答案】3a =
【巩固】 （2009年学而思杯4年级第6题）67÷所得的小数，小数点后的第2009位数字是 ．
【考点】循环小数的认识 【难度】3星 【题型】计算 【解析】 60.8571428571427
=……6个数一循环，20096336÷=……3，是7 【答案】7
【例 3】 写出下面等式右边空白处的数，使等式能够成立：0.6+0.06+0.006+……=2002÷______ 。 【考点】循环小数的认识 【难度】3星 【题型】计算
【关键词】2003年，第1届小希望杯4年级 【解析】 0.6+0.06+0.006+……=0.6=6293
==2002÷3003 【答案】3003
【例 4】 下面有四个算式： ①0.6+0.....
1330.733;=
①0.625=58
； ①514+32=35142++=816=12
； ①337×415
=1425； 其中正确的算式是（ ）.
（A ）①和① (B) ①和① (C) ①和① (D) ①和①
【考点】循环小数的认识 【难度】3星 【题型】选择
【关键词】2009年，第十四届，华杯赛，初赛
【解析】 对题中的四个算式依次进行检验：
① 0.6+0.133=0.6+0.133133=0.733133，所以⑴不正确；
② 0.625=58是正确的； ③ 两个分数相加应该先进行通分，而非分子、分母分别相加，本算式通过
32﹥12
即可判断出其不正确； ④ 337×145=247×215=725=2145
，所以⑴不正确。 那么其中正确的算式是⑴和⑴，正确答案为B 。
【答案】B
【例 5】 在混合循环小数2.718281的某一位上再添上一个表示循环的圆点，使新产生的循环小数尽可能
大，请写出新的循环小数。
【考点】循环小数的认识 【难度】3星 【题型】计算
【关键词】第一届，华杯赛，初赛
【解析】 小数点后第7位应尽可能大，因此应将圈点点在8上，新的循环小数是2.718281。
【答案】2.718281
【例 6】将1
2
化成小数等于0.5，是个有限小数；将
1
11
化成小数等于0.090…，简记为0.09，是纯循环小
数；将1
6
化成小数等于0.1666……，简记为0.16，是混循环小数。现在将2004个分数
1
2
，
1
3
，
1 4，…，
1
2005
化成小数，问：其中纯循环小数有多少个？
【考点】循环小数的认识【难度】3星【题型】计算
【关键词】2005年，第10届，华杯赛，总决赛，二试
【解析】凡是分母的质因素仅含2和5的，化成小数后为有限小数，凡是分母的质因素不含2和5的，化成小数后为有限小数后为纯循环小数，所以本题实际上是问从2到2005的2004个数中，不含质因数2或5的共有多少个.这2004个数中，含质因数2的有2004÷2＝1002个，含质因数5的有2005÷5＝401个，既含2又含5的有2000÷10＝200个，所以可以化成纯循环小数的有2004－1002－401＋200＝801个.
【答案】801
模块二、循环小数计算
【例 7】计算：0.30.030.003
--=（结果写成分数形式）
【考点】循环小数计算【难度】2星【题型】计算
【关键词】2009年，希望杯，第七届，五年级，一试
【解析】原式
11189 330300300
=--=。
【答案】89 300
【巩固】计算：0．3+0．3=_____(结果写成分数)。
【考点】循环小数计算【难度】2星【题型】计算【关键词】2005年，希望杯，第三届，五年级，一试
【解析】原式=
3119 10330
+=
【答案】19 30
【巩固】请将算式0.10.010.001
++的结果写成最简分数．
【考点】循环小数计算【难度】2星【题型】计算【关键词】第三届，华杯赛，初赛
【解析】原式
11110010111137 990900900900300
++
=++===.
【答案】37 300
【例 8】计算: 2.004 2.008
?（结果用最简分数表示）
【考点】循环小数计算【难度】2星【题型】计算【关键词】2004年，第9届，华杯赛，总决赛，一试
【解析】原式＝
481804200636188249047065606 224 900999900999899100224775224775?=?===
【答案】4224775
【例 9】 将4255.4250.6350.63999???=? ???的积写成小数形式是____. 【考点】循环小数计算 【难度】2星 【题型】计算
【关键词】2007年，第十二届，华杯赛，初赛
【解析】 ()59994250.63425341465.4250.6350.63 3.41809999999990?+????=?=== ??? 【答案】3.4180
【例 10】 计算：0.010.120.230.340.780.89+++++
【考点】循环小数计算 【难度】2星 【题型】计算
【解析】 方法一：0.010.120.230.340.780.89+++++ 1121232343787898909090909090
-----=+++++ 11121317181909090909090=+++++= 216 2.490
= 方法二：0.010.120.230.340.780.89+++++
=0+0.1+0.2+0.3+0.7+0.8+0.010.020.030.040.080.09+++++
=2.1+0.01(1+2+3+4+8+9)? 12.12790
=+? 2.10.3 2.4=+= 【答案】2.4
【巩固】 计算 （1）0.2910.1920.3750.526-++ （2）0.3300.186?
【考点】循环小数计算 【难度】2星 【题型】计算
【解析】 （1）原式29119213755265999990999990--=+++291375521191999990+-=+6663301999990
=+=
（2）原式3301861999990-=?330185999990?=?581
= 【答案】（1）1 （2）581
【例 11】 ① 0.540.36+=
⑵191.21.2427
????+= 【考点】循环小数计算 【难度】2星 【题型】计算
【解析】 ⑴ 法一：原式5453649489990999011990
-=+=+=． 法二：将算式变为竖式：
可判断出结果应该是··0.908，化为分数即是9089899990990
-=． ⑴ 原式224191112319201199927999279=?+=?+= 0.544444
0.363636
0.908080+
【答案】⑴
990⑴
9
【巩固】⑴计算：0.160.1428570.1250.1
+++
⑵
19
1.2 1.24
27
?+=________．
【考点】循环小数计算【难度】2星【题型】计算【关键词】2007年，香港圣公会，2006年，第四届，希望杯，六年级，1试
【解析】⑴原式
16114285711
1001099999989
-
=+++
-
1111275
6789504
=+++=；
⑴ 原式
22419111231920 11
99927999279
=?+=?+=．
【答案】⑴275
504
⑴
20
9
【巩固】⑴
(11)
0.150.2180.3
111
??
+??
?
??
；⑵()
2.2340.9811
-÷(结果表示成循环小数)
【考点】循环小数计算【难度】2星【题型】计算
【解析】⑴原式
1512182311
909909111
--
??
=+??
?
??
37111112345679
0.012345679
99311181999999999
=??===
⑴
2342232
2.23422
990990
-
==，
98
0.98
99
=，所以
2329824222
2.2340.98211
9909999090
-=-==，()2212
2.2340.98111110.090.020.113
901190
-÷=÷=+=+=
【答案】⑴0.012345679⑴0.113
【例 12】0.30.030.0032009
+++=÷（）。
【考点】循环小数计算【难度】2星【题型】计算【关键词】2008年，中环杯，五年级，决赛
【解析】
.1
0.30.030.0030.3
3
+++==，所以括号中填200936027
?=
【答案】6027
【例 13】计算
2009200911
99900999909901
??
-?
?
??
(结果表示为循环小数)
【考点】循环小数计算【难度】4星【题型】计算
【解析】由于
1
0.00001
99900
=，
1
0.00001
99990
=，
所以
11
0.000010.000010.00000000900991 9990099990
-=-=，
而9009917139901919901
=??=?，
所以，
200920091111
0.000000009009912009 999009999099019901??
-?=??
?
??
0.000000000000911120090.0000000000100120090.00000002011009
=??=?=
【答案】0.00000002011009
【例 14】某学生将1.23乘以一个数a时，把1.23误看成1.23，使乘积比正确结果减少0.3.则正确结果该是多少?
【考点】循环小数计算【难度】3星【题型】计算
【解析】 由题意得：1.23 1.230.3a a ?-=，即：0.0030.3a ?=，所以有：
90010a =．解得90a =， 所以1111.23 1.23909011190
a ??=?=?= 【答案】111
【例 15】 计算：0.1+0.125+0.3+0.16，结果保留三位小数．
【考点】循环小数计算 【难度】2星 【题型】计算
【解析】 方法一：0.1+0.125+0.3+0.160.1111+0.1250+0.3333+0.1666=0.7359=0.736≈
方法二：0.1+0.125+0.3+0.161131598990=+++111188=+530.736172
== 【答案】0.736
【例 16】 将循环小数0.027与0.179672相乘，取近似值，要求保留一百位小数，那么该近似值的最后一位
小数是多少?
【考点】循环小数计算 【难度】3星 【题型】计算 【解析】 0.027×0.17967227179672117967248560.00485699999999937999999999999
=?=?== 循环节有6位，100÷6=16……4，因此第100位小数是循环节中的第4位8，第10l 位是5．这样四舍五入后第100位为9．
【答案】9
【例 17】 有8个数，0.51，23，59
，0.51，2413,4725是其中6个，如果按从小到大的顺序排列时，第4个数是0.51，那么按从大到小排列时，第4个数是哪一个数?
【考点】循环小数计算 【难度】3星 【题型】计算
【解析】 2=0.63，5=0.59
，240.510647≈，13=0.5225 显然有0.5106<0.51<0.51<0.52<0.5<0.6即241352<051<0.51<<<472593
，8个数从小到大排列第4个是0.51，所以有241352<<<0.51<0.51<<<472593口口．(“□”，表示未知的那2个数).所以，这8个数从大到小排列第4个数是0.51．
【答案】0.51
【例 18】 20022009和1287
化成循环小数后第100位上的数字之和是_____________. 【考点】循环小数计算 【难度】2星 【题型】计算
【解析】 如果将20022009和1287
转化成循环小数后再去计算第100位上的数字和比较麻烦，通过观察计算我们发现2002112009287
+=，而10.9?=，则第100位上的数字和为9. 【答案】9
【例 19】 将循环小数..0.081与..
0.200836相乘，小数点后第2008位是 。
【考点】循环小数计算 【难度】3星 【题型】计算
【关键词】2008年，第6届，走美杯，6年级，决赛
【解析】 ..30.08137=，..2008360.200836999999=，所以乘积为..3200836162840.01628437999999999999
?==， 200863344÷=，所以第2008位是2。
小学奥数公式大全 1 、每份数×份数＝总数总数÷每份数＝份数总数÷份数＝每份数 2 、1倍数×倍数＝几倍数几倍数÷1倍数＝倍数几倍数÷倍数＝1倍数 3 、速度×时间＝路程路程÷速度＝时间路程÷时间＝速度 4 、单价×数量＝总价总价÷单价＝数量总价÷数量＝单价 5 、工作效率×工作时间＝工作总量工作总量÷工作效率＝工作时间工作总量÷工作时间＝工作效率 6 、加数＋加数＝和和－一个加数＝另一个加数 7 、被减数－减数＝差被减数－差＝减数差＋减数＝被减数 8 、因数×因数＝积积÷一个因数＝另一个因数 9 、被除数÷除数＝商被除数÷商＝除数商×除数＝被除数 1 、正方形 C周长 S面积 a边长周长＝边长× 4 C=4a 面积=边长×边长S=a×a 表面积=棱长×棱长×6 S表=a×a×6体积=棱长×棱长×棱长V=a×a×a 3 、长方形 C周长 S面积 a边长周长=(长+宽)×2 C=2(a+b) 面积=长×宽 S=ab 4 、长方体 V:体积 s:面积 a:长 b: 宽 h:高 (1)表面积(长×宽+长×高+宽×高)×2 S=2(ab+ah+bh) (2)体积=长×宽×高 V=abh 5 、三角形 s面积 a底 h高面积=底×高÷2s=ah÷2
三角形高=面积×2÷底三角形底=面积×2÷高 6 、平行四边形 s面积 a底 h高面积=底×高 s=ah 7 、梯形 s面积 a上底 b下底 h高面积=(上底+下底)×高÷2s=(a+b)× h÷2 8、圆形 S面积 C周长∏ d=直径 r=半径 (1)周长=直径×∏=2×∏×半径C=∏d=2∏r (2)面积=半径×半径×∏ 9 、圆柱体 v:体积 h:高 s;底面积 r:底面半径 c:底面周长 (1)侧面积=底面周长×高 (2)表面积=侧面积+底面积×2 (3)体积=底面积×高（4）体积＝侧面积÷2×半径 10 、圆锥体 v:体积 h:高 s;底面积 r:底面半径 体积=底面积×高÷3总数÷总份数＝平均数 和差问题的公式 (和＋差)÷2＝大数 (和－差)÷2＝小数 和倍问题 和÷(倍数－1)＝小数小数×倍数＝大数 (或者和－小数＝大数) 差倍问题 差÷(倍数－1)＝小数小数×倍数＝大数 (或小数＋差＝大数) 植树问题 1 非封闭线路上的植树问题主要可分为以下三种情形:
循环小数与分数的互化，循环小数之间简单的加、减运算，涉及循环小数与分数的主要利用运算定律进行简算的问题． 1.1 7的“秘密” 10.1428577??=，20.2857147??=，30.4285717??=,…, 60.8571427 ??= 2.推导以下算式 ⑴10.19= ；1240.129933==；123410.123999333==；12340.12349999=； ⑵121110.129090-==；12312370.123900300-==；123412311110.123490009000-==； ⑶ 1234126110.123499004950-==；123411370.123499901110 -== 以0.1234为例，推导1234126110.123499004950 -==． 设0.1234A =，将等式两边都乘以100，得：10012.34A =； 再将原等式两边都乘以10000，得：100001234.34A =， 两式相减得：10000100123412A A -=-，所以12341261199004950A -==． 3.循环小数化分数结论 纯循环小数 混循环小数 分子 循环节中的数字所组成的数 循环小数去掉小数点后的数字所组成的数与 不循环部分数字所组成的数的差 分母 n 个9，其中n 等于循环节所含的数字个数 按循环位数添9，不循环位数添0，组成分 母，其中9在0的左侧 0.9a =； 0.99ab =； 0.09910990 ab =?=； 0.990abc =，…… 模块一、循环小数的认识 例题精讲 知识点拨 教学目标 循环小数的计算
奥数公式 和差倍问题: 年龄问题的三个基本特征： ①两个人的年龄差是不变的； ②两个人的年龄是同时增加或者同时减少的; ③两个人的年龄的倍数是发生变化的； 归一问题的基本特点： 问题中有一个不变的量，一般是那个“单一量”，题目一般用“照这样的速度” 等词语来表示。关键问题：根据题目中的条件确定并求出单一量； 植树问题: 鸡兔同笼问题： 基本概念：鸡兔同笼问题又称为置换问题、假设问题，就是把假设错的那部分置换出来； 基本思路：
①假设，即假设某种现象存在（甲和乙一样或者乙和甲一样）： ②假设后，发生了和题目条件不同的差，找出这个差是多少； ③每个事物造成的差是固定的，从而找出出现这个差的原因； ④再根据这两个差作适当的调整，消去出现的差。 基本公式： ①把所有鸡假设成兔子：鸡数=（兔脚数X总头数-总脚数）宁（兔脚数-鸡脚数） ②把所有兔子假设成鸡：兔数=（总脚数一鸡脚数X总头数）宁（兔脚数一鸡脚数） 关键问题：找出总量的差与单位量的差。 盈亏问题：基本概念：一定量的对象，按照某种标准分组，产生一种结果：按照另一种标准分组，又产生一种结果，由于 分组的标准不同，造成结果的差异，由它们的关系求对象分组的组数或对象的总量． 基本思路：先将两种分配方案进行比较，分析由于标准的差异造成结果的变化，根据这个关系求出参加分配的总份数，然后根据题意求出对象的总量．基本题型： ①一次有余数，另一次不足； 基本公式：总份数=（余数+不足数）宁两次每份数的差 ②当两次都有余数； 基本公式：总份数=（较大余数一较小余数）宁两次每份数的差 ③当两次都不足； 基本公式：总份数=（较大不足数一较小不足数）宁两次每份数的差 基本特点：对象总量和总的组数是不变的。 关键问题：确定对象总量和总的组数。 牛吃草问题：基本思路：假设每头牛吃草的速度为“ 1”份，根据两次不同的吃法，求出其中的总草量的差；再找出造成这种差异的原因，即可确定草的生长速度和总草量。基本特点：原草量和新草生长速度是不变的； 关键问题：确定两个不变的量。 基本公式： 生长量=（较长时间X长时间牛头数-较短时间X短时间牛头数）+ （长时间-短时间）； 总草量二较长时间X长时间牛头数-较长时间X生长量； 周期循环与数表规律：周期现象：事物在运动变化的过程中，某些特征有规律循环出现。周期：我们把连续两次出现所经过的时间叫周期。关键问题：确定循环周期。 闰年：一年有366 天； ①年份能被4整除；②如果年份能被100整除，则年份必须能被400整除; 平年：一年有365 天。 ①年份不能被4整除；②如果年份能被100整除，但不能被400整除；平均数：基本公式：①平均数二总数量+总份数 总数量二平均数X总份数 总份数二总数量+平均数 ②平均数二基准数+每一个数与基准数差的和+总份数
计算问题1 一、速算与巧算 1、口算 278＋99= 554－198= 297＋265= 378＋69－178= 272＋63－72＋137= 498－173－227= 583－（183＋358）= 64×12.5×0.25= 320÷1.25÷0.8= 3500÷125= 406×312÷104÷203= 136.41―42.73―16.41―57.27= 72.56―（5.87＋22.56）= 11+14+17+ (101) 34.5×10.1= 5.7×99＋5.7= 4235×1.24－423.5×8.7＋4.235×630= 2、计算： 100＋99－98－97＋96＋95－94－93＋…＋4＋3－2－1 88×91＋11×72 1999＋999×999 9999×2222＋3333×3334 ?-?200420032002200220032004 ?-?200920082008200820092009 练习： ?-? 计算：20092008200820082008200920092009 ?-? 200620052006200520062005
二、分数计算技巧 计算： （1）5519 4.821 995－（＋）－ （2）3311 15 2.257314414－－＋ （3）52 5.14.0213?-? （4）6 .0539716.0978＋?-? 练习： （1）25.02.7415113?-? （2）175 4.31 1.2524104?? ＋＋ 计算： （1）11387797906124?+? （2）93 24108671010 ??＋ 练习：（1）6.07361072??＋ （2）3 3750.75326 3.754??＋－ （3）14×5.7－1.9×12 计算：（1）137136 138? （2） 7113164 ?
1．和差倍问题 和差问题和倍问题差倍问题 已知条件几个数的和与差几个数的和与倍数几个数的差与倍数 一、和差倍问题 （一）和差问题：已知两个数的和及两个数的差;求这两个数。 方法①：（和－差）÷2= 较小数;和-较小数=较大数 方法②：（和+ 差）÷2=较大数;和- 较大数=较小数 例如：两个数的和是15;差是5;求这两个数。 方法：（15-5）÷2=5 ;（15+5）÷2=10 . （二）和倍问题：已知两个数的和及这两个数的倍数关系;求这两个数。 方法：和÷（倍数+1）=1倍数（较小数） 1倍数（较小数）×倍数=几倍数（较大数） 或和-1 倍数（较小数）= 几倍数（较大数） 例如：两个数的和为50;大数是小数的4倍;求这两个数。 方法：50÷（4+1）=10 10×4=40 （三）差倍问题：已知两个数的差及两个数的倍数关系;求这两个数。 方法：差÷（倍数-1 ）=1倍数（较小数） 1倍数（较小数）×倍数=几倍数（较大数） 或和-倍数（较小数）=几倍数（较大数） 例如：两个数的差为80;大数是小数的5倍;求这两个数。 方法：80÷（5-1）=20 20×5=100 和与差和与倍数差与倍数
2．年龄问题的三个基本特征： ①两个人的年龄差是不变的; ②两个人的年龄是同时增加或者同时减少的; ③两个人的年龄的倍数是发生变化的;两人年龄的倍数关系是变化的量; 解答年龄问题的一般方法是： 几年后年龄=大小年龄差÷倍数差-小年龄; 几年前年龄=小年龄-大小年龄差÷倍数差． 题目一般用“照3．归一问题的基本特点：问题中有一个不变的量;一般是那个“单一量”； 这样的速度”……等词语来表示。 关键问题：根据题目中的条件确定并求出单一量; 4．植树问题 基本类型在直线或者不封闭的曲线上植树;两端都植树在直线或者不封闭的曲线上植树;两端都不植树在直线或者不封闭的曲线上植树;只有一端植树封闭曲线上植树 三、植树问题 （一）不封闭型（直线）植树问题 1、直线两端植树：棵数=段数+1=全长÷株距+1 ; 全长=株距×（棵数-1 ）; 株距=全长÷（棵数-1 ）; 2、直线一端植树：全长=株距×棵数; 棵数=全长÷株距; 株距=全长÷棵数; 3 、直线两端都不植树：棵数=段数-1= 全长÷株距-1 ;
小学奥数博弈问题解题技巧 我国民间一直流传着一个名叫“抢十八”的数学游戏：参与游戏的两人从1开始轮流报数，每人每次可报一个数或两个连续的数，谁先报到18，谁就获胜。本讲就是研究类似于这类游戏的取胜策略。 这类问题要用倒推法进行研究。以“抢十八”游戏为例，最后要抢到18，此前必须抢到15，只留给对方3个数，无论对方报一个数或两个连续的数，己方都能抢到18；同理要抢到15，此前必须抢到12。如此倒推回去，可得到一系列关键数：18、15、12、9、6、3。这个游戏的取胜策略就是：每一步都抢到关键数，直到最后抢到18。这个游戏是一个不公平的游戏，报数顺序决定了最后的结果：只有后报数者才能抢到这一系列关键数，后报数者才有必胜策略。 根据以上分析，确立取胜策略重要的是抢到关键数。 游戏者所能用到的最大数和最小数之和称为关键因子，关键数要根据关键因子确定。如“抢十八”游戏中关键因子就是3，我们从最后一个数依次减3，通过倒推可以找出游戏中所有关键数。 在“抢十八”游戏中，最后数18是关键因子3的整数倍，也就是关键因子能被最后报数整除，这样的游戏称为平衡游戏，后报数者必胜。如果最后报数与关键因子相除有余数，这样的游戏称为不平衡游戏，余数就是不平衡因子。不平衡抢数游戏也是不公平的游戏，先报数者有必胜策略：先消除不平衡因子，使其变成一个平衡游戏，先报数者随后就成为平衡游戏的后报数者。 【题目】： 有1996个球，甲、乙两人进行取球比赛，规则是两人轮流取，每人每次最少取1个，最多取4个，取到最后一个球的人为胜。如果甲先取，如果取法才能保证取胜？ 【解析】： 这题的关键因子是：1+4=5。1996÷5=399……1，这是个不均衡的游戏，不均衡因子是1。 甲取胜策略为：甲先取1个球，剩下1995个球是5的399倍，使游戏变成了均衡游戏。然后每次乙取完之后，甲总是取出适量的球，保持与乙取出球的个数和为5，那么剩下的球始终是5的倍数。直到最后只剩下5个球，无论乙取几个球，甲都能取到最后一个球。 【题目】：
1．和差倍问题 和差问题和倍问题差倍问题已知条件几个数的和与差几个数的和与倍数几个数的差与倍数一、和差倍问题 （一）和差问题：已知两个数的和及两个数的差 ;求这两个数。 方法① ：（和－差）÷2= 较小数 ;和 -较小数 =较大数 方法② ：（和+ 差）÷2=较大数 ;和- 较大数 =较小数 例如：两个数的和是 15;差是 5; 求这两个数。方法：（15-5）÷2=5 （; 15+5）÷2=10 . （二）和倍问题：已知两个数的和及这两个数的倍数关系;求这两个数。 方法：和÷（倍数 +1）=1 倍数（较小数） 1 倍数（较小数）×倍数 = 几倍数（较大数） 或和 -1 倍数（较小数） = 几倍数（较大数） 例如：两个数的和为 50;大数是小数的 4 倍 ;求这两个数。 方法： 50÷（ 4+1） =10 10×4=40 （三）差倍问题：已知两个数的差及两个数的倍数关系 ;求这两个数。 方法：差÷（倍数 -1 ）=1 倍数（较小数） 1 倍数（较小数）×倍数 = 几倍数（较大数） 或和 -倍数（较小数） =几倍数（较大数） 例如：两个数的差为 80;大数是小数的 5 倍 ;求这两个数。 方法： 80÷（ 5-1）=20 20×5=100 和与差和与倍数差与倍数 2．年龄问题的三个基本特征： ①两个人的年龄差是不变的 ; ②两个人的年龄是同时增加或者同时减少的 ;
③两个人的年龄的倍数是发生变化的 ; 两人年龄的倍数关系是变化的量 ; 解答年龄问题的一般方法是： 几年后年龄 =大小年龄差÷倍数差 -小年龄 ; 几年前年龄 =小年龄 -大小年龄差÷倍数差． 3．归一问题的基本特点：问题中有一个不变的量 ;一般是那个“单一量”题;目一般用“照这样的速度”??等词语来表示。 关键问题：根据题目中的条件确定并求出单一量 ; 4．植树问题 基本类型在直线或者不封闭的曲线上植树;两端都植树在直线或者不封闭的曲线上植 树 两端都不植树在直线或者不封闭的曲线上植树;只有一端植树封闭曲线上植树 三、植树问题 （一）不封闭型（直线）植树问题 1、直线两端植树：棵数 =段数 +1=全长÷株距+1 ; 全长=株距×（棵数-1 ）; 株距=全长÷（棵数-1 ）; 2、直线一端植树：全长=株距×棵数; 棵数 =全长÷株距 ; 株距 =全长÷棵数 ; 3 、直线两端都不植树：棵数 =段数-1= 全长÷株距 -1 ; 株距=全长÷（棵数 +1 ） （二）封闭型（圆、三角形、多边形等）植树问题 棵数 =总距离÷棵距; 总距离 =棵数×棵距;
奥数公式 和差倍问题： 年龄问题的三个基本特征：
①两个人的年龄差是不变的； ②两个人的年龄是同时增加或者同时减少的； ③两个人的年龄的倍数是发生变化的； 归一问题的基本特点： 问题中有一个不变的量，一般是那个“单一量”，题目一般用“照这样的速度”……等词语来表示。 关键问题：根据题目中的条件确定并求出单一量； 植树问题：
鸡兔同笼问题： 基本概念：鸡兔同笼问题又称为置换问题、假设问题，就是把假设错的那部分置换出来； 基本思路： ①假设，即假设某种现象存在（甲和乙一样或者乙和甲一样）： ②假设后，发生了和题目条件不同的差，找出这个差是多少； ③每个事物造成的差是固定的，从而找出出现这个差的原因； ④再根据这两个差作适当的调整，消去出现的差。 基本公式： ①把所有鸡假设成兔子：鸡数＝（兔脚数×总头数－总脚数）÷（兔脚数－鸡脚数） ②把所有兔子假设成鸡：兔数＝（总脚数一鸡脚数×总头数）÷（兔脚数一鸡脚数） 关键问题：找出总量的差与单位量的差。 盈亏问题： 基本概念：一定量的对象，按照某种标准分组，产生一种结果：按照另一种标准分组，又产生一种结果，由于
分组的标准不同，造成结果的差异，由它们的关系求对象分组的组数或对象的总量． 基本思路：先将两种分配方案进行比较，分析由于标准的差异造成结果的变化，根据这个关系求出参加分配的总份数，然后根据题意求出对象的总量． 基本题型： ①一次有余数，另一次不足； 基本公式：总份数＝（余数＋不足数）÷两次每份数的差 ②当两次都有余数； 基本公式：总份数＝（较大余数一较小余数）÷两次每份数的差 ③当两次都不足； 基本公式：总份数＝（较大不足数一较小不足数）÷两次每份数的差基本特点：对象总量和总的组数是不变的。 关键问题：确定对象总量和总的组数。 牛吃草问题： 基本思路：假设每头牛吃草的速度为“1”份，根据两次不同的吃法，求出其中的总草量的差；再找出造成这种差异的原因，即可确定草的生长速度和总草量。 基本特点：原草量和新草生长速度是不变的；
循环小数 例1：变换循环节 在下列循环小数中，移动循环节左边的循环点，使新产生的循环小数尽可能小。 （1）0.452415254 （2）4.7312415823 例2：巧组循环数 如图，圆周上的十二个数字按顺时针方向可以组成具有一位整数的循环小数，例如：5.81487581487，所有这样的循环小数中最大的一个循环小数是（） 例3：妙猜循环位 算算3÷13的商，猜猜：
（1）小数点后面第2013位上的数字是几？ （2）小数点后2013个数字之和是多少？ 例4：循环数字和 在循环小数0.520483中，最少从小数点右面第几位开始到第几位止的数字之和等于2014？ 练习1：在下列混循环小数中，移动循环节左边的循环点，使新产生的循环小数尽可能大。 （1）0.158425244 （2）0.79137925213
练习2：在下列混循环小数中，移动循环节左边的循环点，使新产生的循环小数尽可能小。 （1）0.357275239 （2）0.4068058 练习3：在循环小数0.56253128中，小数点右面第100位上的数字是几？ 练习4：在循环小数6.358237419中，小数点右面第2013位上的数字是几？小数点后2013个数字之后是多少？ 练习5：在循环小数0.2076852中，小数点右面第2014位上的数字是几？小数点后2014个数字之后是多少？
练习6：如图，圆周上的十二个数字按顺时针方向可以组成具有一位整数的循环小数，例如：2.59496259496.所有这样的循环小数中最大的一个循环小数是多少？ 练习7：如图，圆周上的十个数字按顺时针方向可以组成具有两位整数的循环小数，例如：81.92381923，所有这样的循环小数中最小的一个循环小数是多少？ 练习8：从小数0.49340184205最后一位开始划去任意个数字（注意：不能跳着划，也就是不出出现0.98这样的小数），构造一个循环节至少有两位数字的循环小数，例如0.4934018，请找出这样的小数中最
分数的简便运算 ------特殊的运算技巧：约分法，拆分法，代数法 一、综合运用结合律、交换律以及分配律 （注意构造满足乘法分配律的条件） 20725.220344311 )2072()318431326413 (12425.04 172 342551 4二、约分法 【教材-王牌例题3】计算1994 199219931 19941993分析：仔细观察分子、分母中各数的特点，就会发现分子中1993×1994可变形为1992＋1）×1994=1992×1994＋1994，同时发现1994－1 = 1993，这样就可以把原式转化成分子与分母相同，从而简化运算。所以原式＝【（1992＋1）×1994－1】/（1993＋1992×1994） （1）1 19891988198719891988（2）143 138058419921991584204【教材-王牌例题5】计算：)9 575()9 27729(（1）)9 475113()11673198(（2）)13 101151()131211173(（3）)25812732132()252436736396(
（4） 【补充例题1】3521710 62531211476423 21【补充例题2】991 1 (41) 131 121 1 99【补充例题3】969696 969969696696 696969三、拆分法 运用拆分法解题主要是使拆开后的一些分数互相抵消，达到简化运算的目的。 形如1a ×(a+1) 的分数可以拆成1a －1a+1；形如1a ×（a+n ） 的分数可以拆成1n ×（1a －1a+n ）形如a+b a ×b 的分数可以拆成1a +1b 【教材-王牌例题1】计算：11×2+12×3+13×4+…..+ 199×100 （1） 14×5+15×6+16×7+…..+ 139×40（2） 12+16+112+120+ 130+142（3）1－16+142+156+172
裂项运算常用公式 一、分数“裂差”型运算 (1) 对于分母可以写作两个因数乘积的分数，即b a ?1形式的，这里我们把较小的数写在前面，即 a ＜ b ，那么有: (2) 对于分母上为 3 个或 4 个连续自然数乘积形式的分数，即有： 二、分数“裂和”型运算 常见的裂和型运算主要有以下两种形式： （1） a b b a b b a a b a b a 1 1 +=?+?=?+ （2）a b b a b a b b a a b a b a +=?+?=?+2 2 2 2 裂和型运算与裂差型运算的对比： 裂差型运算的核心环节是“两两抵消达到简化的目的”，“先裂再碎，掐头去尾” 分数裂和型运算的题目不仅有“两两抵消”型的，同时还有转化为“分数凑整”型的，以达到简化目的。裂和：抵消，或 凑整 三、整数裂项基本公式 (1))1()1(31 )1(......433221+-=?-++?+?+?n n n n n (2) )1()1)(2(41 )1()2(......543432321+--=?-?-++??+??+??n n n n n n n (3) )1()1(31 )2)(1(31)1(+--++=+n n n n n n n n (4) )2)(1()1(41 )3)(2)(1(41 )2)(1(++--+++=++n n n n n n n n n n n (5) !)!1(!n n n n -+=? 裂项求和部分基本公式 1.求和： 1)1(1 (541) 431 321 211+=+++?+?+?+?=n n n n S n 证：111 1)111()5141()4131()3121()211(+=+-=+-++-+-+-+-=n n n n n S n
线段图解题 主要容：1、线段图解题的方法和技巧；2、常见的可以用线段图来表示的数量关系；3、用线段图解题。 重难点：1、常见的可以用线段图来表示的数量关系；2、较复杂的线段图问题。 意义：利用线段图解决应用题是数学中常见的一种解题方法。相比于传统的文字分析方法，线段图可以直观清晰地将题中的复杂数量关系展现在我们的眼前，对于理解题意和解决问题有十分重要的作用。 一、线段图解题方法和技巧： 什么是线段？那就是一条直线上的两个点和它们之间的部分就叫做线段，线段的长度是有限的，所以我们常用来表示有限的量，帮助我们分析题目中隐藏的数量关系，达到轻松解题的目的。 1、用线段的长短来表示量的大小，并对应的标上数据； 2、根据题意，有的可能只需要一条线段，有的可能需要多条线段； 3、画多条线段时，要一端对齐，方便比较大小； 4、画多条线段时，一般先画最小的量。 5、虚实结合。“比……多”时，多的部分画实线；“比……少”时，少的部分画虚线，且立即标上数据； 二、常见的可以用线段图来表示的数量关系 1、和的关系：用一条较长线段来表示“和”，将组成“和”的各分量依次标在该线段上。当出现多种数量关系时，和关系还可以用大括号来表示。 例如：甲的文具数量为5个，乙的文具数量为2个，那么甲乙的和是多少？ 2、差的关系：从小到大依次画出各个量，并保持一端对齐后，另一端多出的部分线段即可表示量与量之间的差。 例如：数学考试后小明的得分为100分，小强的得分为95分，那么小强比甲的5个 乙的2个 7个文具
小明少几分？ 小强的得分： 小明的得分： 3、倍的关系：先画出最小的量，再画跟它成倍数关系的量，是它的几倍就画几段线段。可将最小的量看作1份，则其它的量是它的几倍，就是几份。 例如：甲的年龄为5岁，乙的年龄为甲的3倍，那么乙的年龄为几岁？ 甲的年龄： 乙的年龄： 注意：在同一个问题中，一条线段只能代表一个数量（若两个数量相等，则可用等长的线段来表示），与这个数量有大小或倍数关系的其它数量应该在这条线段的长度上分别延长（或缩短或等长延长）来表示。 练习：用线段图表示下列数量关系。 1、妈妈的年龄是小明的4倍。 2、王强的得分比军的得分少3分。 3、甲乙的弹珠总数为17颗。 三、用线段图解一般题 例题1：甲乙两人今年共有27岁，其中甲比乙大了3岁，求甲乙今年各多少岁？ 示意图： 乙的年龄： 甲的年龄： 分析：题目中既出现了“和”关系，又出现了“差”关系，那么我们画图时，就要先表示出“差”关系，再用大括号来表示“和”关系。 计算过程：甲：（27+3）÷2=15岁乙：27-15=12岁 拓展：已知两个数的和、差，求这两个数分别是多少？（可进行推导） （和+差）÷2=较大数 （和-差）÷2=较小数 练习： 27岁 小明比小强多的5分 甲的3倍，即甲的线段长度的3倍
小学奥数公式 和差问题的公式 (和＋差)÷2＝大数 (和－差)÷2＝小数 和倍问题的公式 和÷(倍数－1)＝小数小数×倍数＝大数 (或者和－小数＝大数) 差倍问题的公式 差÷(倍数－1)＝小数小数×倍数＝大数 (或小数＋差＝大数) 植树问题的公式 1 非封闭线路上的植树问题主要可分为以下三种情形: ⑴如果在非封闭线路的两端都要植树,那么: 株数＝段数＋1＝全长÷株距－1 全长＝株距×(株数－1) 株距＝全长÷(株数－1) ⑵如果在非封闭线路的一端要植树,另一端不要植树,那么: 株数＝段数＝全长÷株距 全长＝株距×株数 株距＝全长÷株数 ⑶如果在非封闭线路的两端都不要植树,那么: 株数＝段数－1＝全长÷株距－1 全长＝株距×(株数＋1) 株距＝全长÷(株数＋1) 2 封闭线路上的植树问题的数量关系如下 株数＝段数＝全长÷株距 全长＝株距×株数 株距＝全长÷株数 盈亏问题的公式 (盈＋亏)÷两次分配量之差＝参加分配的份数 (大盈－小盈)÷两次分配量之差＝参加分配的份数 (大亏－小亏)÷两次分配量之差＝参加分配的份数 相遇问题的公式 相遇路程＝速度和×相遇时间 相遇时间＝相遇路程÷速度和 速度和＝相遇路程÷相遇时间 追及问题的公式 追及距离＝速度差×追及时间 追及时间＝追及距离÷速度差 速度差＝追及距离÷追及时间 流水问题 顺水路程=顺水速度×时间 逆水路程=逆水速度×时间 顺流速度＝静水速度＋水流速度 逆流速度＝静水速度－水流速度
静水速度＝(顺流速度＋逆流速度)÷2 水流速度＝(顺流速度－逆流速度)÷2
过桥问题 过桥问题的一船的数量关系是： 路程=桥长＋车长 车速=（桥长＋车长）÷通过时间 通过时间=（桥长＋车长）÷车速 车长=车速×通过时间－桥长 桥长=车速×通过时间－车长 浓度问题的公式 溶质的重量＋溶剂的重量＝溶液的重量 溶质的重量÷溶液的重量×100%＝浓度 溶液的重量×浓度＝溶质的重量 溶质的重量÷浓度＝溶液的重量 利润与折扣问题的公式 利润＝售出价－成本 利润率＝利润÷成本×100%＝(售出价÷成本－1)×100% 涨跌金额＝本金×涨跌百分比 折扣＝实际售价÷原售价×100%(折扣＜1) 利息＝本金×利率×时间 税后利息＝本金×利率×时间×(1－20%) 等差数列求和 数列是指按一定规律顺序排列成一列数。如果一个数列中从第二个数开始，每一个数减去前一个数所得的差都是相等的话，我们就把这样的一列数叫做等差数列。 等差数列中的每一个数都叫做项，第一个数叫第一项，通常也叫“首项”，第二个数叫第二项，第三个数叫第三项……最后一项叫做“末项”。 等差数列中相邻两项的差叫做“公差”。 等差数列中项的个数叫做“项数”。 = ×n÷2 n = ÷ ＋1
任何分数化为小数只有两种结果，或者是有限小数，或者是循环小数，而循环小数又分为纯循环小数和混循环小数两类。那么，什么样的分数能化成有限小数？什么样的分数能化成纯循环小数、混循环小数呢？我们先看下面的分数。 （1）中的分数都化成了有限小数，其分数的分母只有质因数2和5，化 因为40=23×5，含有3个2，1个5，所以化成的小数有三位。 （2）中的分数都化成了纯循环小数，其分数的分母没有质因数2和5。 （3）中的分数都化成了混循环小数，其分数的分母中既含有质因数2或5，又含有2和5以外的质因数，化成的混循环小数中的不循环部分的位数与 5，所以化成混循环小数中的不循环部分有两位。 于是我们得到结论： 一个最简分数化为小数有三种情况： （1）如果分母只含有质因数2和5，那么这个分数一定能化成有限小数，并且小数部分的位数等于分母中质因数2与5中个数较多的那个数的个数；
（2）如果分母中只含有2与5以外的质因数，那么这个分数一定能化成纯循环小数； （3）如果分母中既含有质因数2或5，又含有2与5以外的质因数，那么这个分数一定能化成混循环小数，并且不循环部分的位数等于分母中质因数2与5中个数较多的那个数的个数。 例1判断下列分数中，哪些能化成有限小数、纯循环小数、混循环小数？能化成有限小数的，小数部分有几位？能化成混循环小数的，不循环部分有几位？ 分析与解：上述分数都是最简分数，并且 32=25，21=3×7，250=2×53，78=2×3×13， 117=33×13，850=2×52×17， 根据上面的结论，得到： 不循环部分有两位。 将分数化为小数是非常简单的。反过来，将小数化为分数，同学们可能比较熟悉将有限小数化成分数的方法，而对将循环小数化成分数的方法就不一定清楚了。我们分纯循环小数和混循环小数两种情况，讲解将循环小数化成分数的方法。 1.将纯循环小数化成分数。
第一章小学数学解题方法解题技巧之运算法则或方法 【四则运算法则】整数、小数、分数的加、减、乘、除四则运算法则，见小学数学课本，此处略。 【四则运算顺序】见小学数学课本，略。 【繁分数化简方法】繁分数化简的方法，一般有以下两种方法。 （1）利用分数基本性质，把繁分数的分子、分母同乘以所有分母的最小公倍数，从而化简繁分数。 （2）利用分数与除法的关系，将繁分数化简。这是因为繁分数实际上是分数除法的另一种表示形式的缘故。例如 【求连分数的值的方法】由数列a0，a1，……及b1，b2，……所组成的表达式 称为“连分数”。它可简记为
为连分数的值。 连分数有两种，一是有限连分数，二是无限连分数。例如， 求有限连分数的值，也称化简连分数，它的化简方法与繁分数的化简方法基本相同。一般是从最下面的分母运算开始，逐步向上计算。例如上面的这个有限连分数： 求无限连分数的值，就是求它的有限层的值作为它的近似值。当层次愈多时，就愈接近它的值。 注意：繁分数和连分数，都不是“分数”定义里所定义的一种分数。
分解为两个单位分数的和，可按以下步骤去完成： 的任意两个约数a1，a2； （2）扩分：将单位分数的分子、分母同乘以两约数的和（a1+a2）， （3）拆分：将扩分后所得的分数，按照同分母分数相加的法则反过来 （4）约分：将拆开后的两个分数约分，便得到两个单位分数。 注意：（1）因大于1的自然数的约数有时不止2个，有多个，从中任取两个约数的取法也有多种，只要每次取出的两个约数之间不成比例，则将一个单位分数拆成两个单位分数的和的结果也各不相同。
例如，15的约数有1，3，5，15四个，从中任取两个的取法有（1，3）、（1，5）、（1，15）、（3，5）、（3，15）、（5，15）六种，而取（1，3）和（5，15）、（1，5）和（3，15）是成比例 （2）若要将单位分数拆成两个相等的单位分数之和，那只要在扩分时，分子、分母同乘以分母的任何一个约数的2倍或乘以2即可。 拆成n个单位分数的和的方法和步骤与拆成两个单位分数的方法和步骤相同，不同点只在扩分时，分子、分母同乘以分母A的n个约数的和（a1+a2+…+a n）。 解∵15=3×5 ∴15的约数有1，3，5，15。
●小学奥数公式大全1 鸡兔同笼的公式： 解法1：（兔的脚数×总只数－总脚数）÷（兔的脚数－鸡的脚数）=鸡的只数总只数－鸡的只数=兔的只数 解法2：（总脚数－鸡的脚数×总只数）÷（兔的脚数－鸡的脚数）=兔的只数总只数－兔的只数=鸡的只数 解法3：总脚数÷2—总头数=兔的只数 总只数—兔的只数=鸡的只数 ●小学奥数公式大全2 和差问题的公式 (和＋差)÷2＝大数 (和－差)÷2＝小数 和倍问题的公式 和÷(倍数－1)＝小数小数×倍数＝大数 (或者和－小数＝大数) 差倍问题的公式 差÷(倍数－1)＝小数小数×倍数＝大数 (或小数＋差＝大数) ●植树问题的公式 1、非封闭线路上的植树问题主要可分为以下三种情形: ⑴如果在非封闭线路的两端都要植树,那么: 株数＝段数＋1＝全长÷株距－1 全长＝株距×(株数－1) 株距＝全长÷(株数－1) ⑵如果在非封闭线路的一端要植树,另一端不要植树,那么: 株数＝段数＝全长÷株距 全长＝株距×株数 株距＝全长÷株数 ⑶如果在非封闭线路的两端都不要植树,那么: 株数＝段数－1＝全长÷株距－1 全长＝株距×(株数＋1) 株距＝全长÷(株数＋1) 2、封闭线路上的植树问题的数量关系如下 株数＝段数＝全长÷株距 全长＝株距×株数 株距＝全长÷株数 ●小学奥数公式大全4 1、盈亏问题 (盈＋亏)÷两次分配量之差＝参加分配的份数 (大盈－小盈)÷两次分配量之差＝参加分配的份数 (大亏－小亏)÷两次分配量之差＝参加分配的份数 2、相遇问题 相遇路程＝速度和×相遇时间 相遇时间＝相遇路程÷速度和
速度和＝相遇路程÷相遇时间 3、追及问题 追及距离＝速度差×追及时间 追及时间＝追及距离÷速度差 速度差＝追及距离÷追及时间 ●小学奥数公式大全5 1、流水问题 顺流速度＝静水速度＋水流速度 逆流速度＝静水速度－水流速度 静水速度＝(顺流速度＋逆流速度)÷2 水流速度＝(顺流速度－逆流速度)÷2 2、浓度问题的公式 溶质的重量＋溶剂的重量＝溶液的重量 溶质的重量÷溶液的重量×100%＝浓度 溶液的重量×浓度＝溶质的重量 溶质的重量÷浓度＝溶液的重量 3、利润与折扣问题的公式 利润＝售出价－成本 利润率＝利润÷成本×100%＝(售出价÷成本－1)×100% 涨跌金额＝本金×涨跌百分比 折扣＝实际售价÷原售价×100%(折扣＜1) 利息＝本金×利率×时间 税后利息＝本金×利率×时间×(1－20%) 奥数公式(3~6年级) ●小学奥数公式大全6来源： 1、圆周率常取数据 3.14×1＝3.14 3.14×2＝6.28 3.14×3＝9.42 3.14×4＝12.56 3.14×5＝15.7 3.15×6＝18.84 3.14×7＝21.98 3.14×8＝25.12 3.14×9＝28.26 2、常用特殊数的乘积 25×3＝75 25×4＝100 25×8＝200 125×3＝375 125×4＝500 125×8＝1000 625×16＝10000 37×3=111 3、关于常用分数与小数的互化： 1/2=0.5 4=0.25 3/4=0.75 1/5=0.2 2/5=0.4 3/5=0.6 4/5=0.8 1/8=0.125 3/8=0.375 5/8=0.625 7/8=0.875 1/20=0.05 3/20=0.15 7/20=0.35 9/20=0.45 11/20=0.55 1/25=0.04 2/25=0.08 3/25=0.12 4/25=0.16 6 /25=0.24 4、常用平方 5、常用立方
奥数公式 年龄何麵的三片基本特证： ①筋个人飽隼龄墓是不变的, ②商个人的年龄是同时増抑或者同时减少的; ⑶羽亍人的年龄的f就是发生竇化的i
玛免同茏问题 基本槪念：鸡兔同笼词题又称为置换i可题、假设诃题，就是把假设错的那部分置换出来?基本思路： ①假i殳，即假设某种现象存在（甲和乙一样或看乙和甲一样）： ②假设后，发生了和题目聚件不同的差?我出这个差是多少； ⑤每个事物査成的差是固定的，川而找出出现这个差的原因； ⑥再根据这两个差作适当的i周整，消去出现的差。 基本公式： ①把所有鸡假设成免子：鸡数=（免脚频X总头数-总脚数）4-（免即数-鸡脚数） ②把所有兔子假设成吗：兔数=（总脚数一鸡脚数X总头数）4-（免脚数一鸡脚数）关饉词题：钱出总里的差与单位星的差。 盈亏间謹 基本槪念；一定里的龙象，按照某种标准分组，产生一种结果；技照另一种标准分组，又产生一种结果，由于 分组的标准不同，造成錯果的差异，由它们的关聚求对象分组的组数或对象的总里. 基本思路：先将两种分配方案遊行比较，分析由于标;隹的差异程成结果的变化，根据这个关系求出参加分配的总份数，然后根据题意求岀对象的总里. 基不题型； ①一次有余数，另一次不足； 基本公式：总份数=（余数+不足教）斗两次每份数的差 ②当两次都有余数； 基本公式；总份数=（较大余数一较小余数）+两次画份数的差 ?当两次都不足； 基本公式：总份数三（较大不足数一较小不足数）■￡■两次每份数的差 基本特点：对象总里和总的组数是不克的。 关健问题：确定対象总里和总的组数。 牛吃草问题 基本思盘假踽头牝草的腿为屮伤孵献不同的讎，求岀苴射总輕的差；喩岀蹴这种差异顒因，即丽譚的生长腿和总輕。基本特点:原草鲫草生长瞬不蒯 关龍邂:籬两个茯的里。 生长野（誹悯X刪间牛头数我短悯X翻间牛师）-（长帽嗨拥）； 总草里我长时间X刪辭头数?就帼X生確；
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5．鸡兔同笼问题 基本概念：鸡兔同笼问题又称为置换问题、假设问题，就是把假设错的那部分置换出来； 基本思路： ①假设，即假设某种现象存在（甲和乙一样或者乙和甲一样）： ②假设后，发生了和题目条件不同的差，找出这个差是多少； ③每个事物造成的差是固定的，从而找出出现这个差的原因； ④再根据这两个差作适当的调整，消去出现的差。 基本公式： ①把所有鸡假设成兔子：鸡数＝（兔脚数×总头数－总脚数）÷（兔脚数－鸡脚数） ②把所有兔子假设成鸡：兔数＝（总脚数一鸡脚数×总头数）÷（兔脚数一鸡脚数） 关键问题：找出总量的差与单位量的差。 6．盈亏问题 基本概念：一定量的对象，按照某种标准分组，产生一种结果：按照另一种标准分组，又产生一种结果，由于分组的标准不同，造成结果的差异，由它们的关系求对象分组的组数或对象的总量． 基本思路：先将两种分配方案进行比较，分析由于标准的差异造成结果的变化，根据这个关系求出参加分配的总份数，然后根据题意求出对象的总量． 基本题型：
①一次有余数，另一次不足； 基本公式：总份数＝（余数＋不足数）÷两次每份数的差 ②当两次都有余数； 基本公式：总份数＝（较大余数一较小余数）÷两次每份数的差 ③当两次都不足； 基本公式：总份数＝（较大不足数一较小不足数）÷两次每份数的差 基本特点：对象总量和总的组数是不变的。 关键问题：确定对象总量和总的组数。 7．牛吃草问题 基本思路：假设每头牛吃草的速度为“1”份，根据两次不同的吃法，求出其中的总草量的差；再找出造成这种差异的原因，即可确定草的生长速度和总草量。 基本特点：原草量和新草生长速度是不变的； 关键问题：确定两个不变的量。 基本公式： 生长量=（较长时间×长时间牛头数-较短时间×短时间牛头数）÷（长时间-短时间）； 总草量=较长时间×长时间牛头数-较长时间×生长量； 8．周期循环与数表规律 周期现象：事物在运动变化的过程中，某些特征有规律循环出现。 周期：我们把连续两次出现所经过的时间叫周期。
小学奥数计算公式大全 鸡兔同笼的公式： 解法1： 鸡的只数=（兔的脚数×总只数－总脚数）÷（兔的脚数－鸡的脚数）兔的只数=总只数－鸡的只数 解法2： 兔的只数=（总脚数－鸡的脚数×总只数）÷（兔的脚数－鸡的脚数）鸡的只数=总只数－兔的只数 解法3： 兔的只数=总脚数÷2—总头数 鸡的只数=总只数—兔的只数 和差问题的公式 (和＋差)÷2＝大数 (和－差)÷2＝小数 和倍问题的公式 和÷(倍数－1)＝小数小数×倍数＝大数 (或者和－小数＝大数) 差倍问题的公式 差÷(倍数－1)＝小数小数×倍数＝大数 (或小数＋差＝大数) 植树问题的公式 1 非封闭线路上的植树问题主要可分为以下三种情形: ⑴如果在非封闭线路的两端都要植树,那么: 株数＝段数＋1＝全长÷株距－1 全长＝株距×(株数－1) 株距＝全长÷(株数－1)
⑵如果在非封闭线路的一端要植树,另一端不要植树,那么: 株数＝段数＝全长÷株距 全长＝株距×株数 株距＝全长÷株数 ⑶如果在非封闭线路的两端都不要植树,那么: 株数＝段数－1＝全长÷株距－1 全长＝株距×(株数＋1) 株距＝全长÷(株数＋1) 2 封闭线路上的植树问题的数量关系如下 株数＝段数＝全长÷株距 全长＝株距×株数 株距＝全长÷株数 盈亏问题 (盈＋亏)÷两次分配量之差＝参加分配的份数 (大盈－小盈)÷两次分配量之差＝参加分配的份数 (大亏－小亏)÷两次分配量之差＝参加分配的份数 相遇问题 相遇路程＝速度和×相遇时间 相遇时间＝相遇路程÷速度和 速度和＝相遇路程÷相遇时间 追及问题 追及距离＝速度差×追及时间 追及时间＝追及距离÷速度差 速度差＝追及距离÷追及时间
一、计算技巧 1、加减法 ● 补数、凑整 1361+972+639+28 9898+203 2468-192+532+392-224+1234 375-138+247-175+139-237 竖式运算互补数先加：3618+5724+5463+6782+1396 ● 去括号、添括号 163-(50-18)-(253-76)+(124-18) 2345-299-398-1198 981+145-181-323+55-77 3579-862-138-734+234 622-(357-78)-(600-457) 267-162+84-38-147+116 19+199+1999+19999 19+199+1999+…+199…9 (最后一个数有1999个9)(竞赛题) ● 基准数 78+76+83+82+77+80+79+85+81+84 567+558+562+555+563 98-96-97-105+102+100 ● 分数加减法 32+932+9932+9993 2 2、乘除法 ● 补数、凑整 42×98 56×999 4×7×25 125×5×32×5 175×34+175×66 36×25×15×16 2772÷28+34965÷35 13.64×0.25÷1.1 28+208+2008+...+80 (0020) 100 个 89+899+8999+…+ 9 109...998个 111111×999999+999999×777777(竞赛题) 3203...33个× 6 206...66个（注：9999=10000-1）
● 扩缩法 375×480-2750×48 3300÷25 9966×6+6678×18 19961997×19971996-19961996×19971997(竞赛题) 3.14+6 4.8×0.537×25+ 5.37× 6.48×75-8×64.8×0.125×53.7 65.3×32.2-65.4×32.1 ● 提取公因数 257×11+257×88 (425×5776-425+4225×425) ÷25÷8(竞赛题) 132×31+18×24-7×132 11×13+22×8+33×7 17×19+93÷19-10×17+40÷19 555×445-556×444 90×112-70÷12+10×113-50÷12 ● 平方差公式 951×949-52×48 1002-952+902-852+802-752+。。。+102-52 ● 叠字型多位数的分解 注：20062006=2006×10001 2007×20062006-2006×20072007 1981×198319831983-1982×198119811981 363363363636×636363 636636 3、四则混合运算 在下面算式的两个方框中填入相同的数，使得等式成立，所填的数应是多少？ (□×6.2-3.4×□) ÷7+14.8=20.8 (1- 3611×3)+(3-3611×5)+(5-3611×7)+(7-3611×9)+(9-3611×11)+(11-36 11×13) (1+21+31+…+601)+(32+42+…+602)+(43+53+…+603)+…+(5958+6058)+60 59 1273145×2245173÷2135 13(竞赛题) (126621+358739+947458)×(358739+947458+207378)-(126621+358739+947458+207 378)×(358739+947458)(备注：换元法) 1043÷(483+2008 20082009200912009200922+?-+-)(整体约分) 4、繁分数的计算