关于“芝诺悖论”的一些思考
王玉峰北京大学哲学系
现在流传下来而广为人所知的所谓“芝诺悖论”共有九个：四个是关于运动的，三个是指向“多”的，一个是反对空间观念的，另一个则试图表明感觉是不可靠的。[1]这些芝诺“悖论”长久以来就引起了人们的广泛兴趣，其中尤以关于所谓运动的那四个悖论最为著名。而芝诺反对运动的那些论证其原著已经佚失，现有资料来自亚里士多德在《物理学》中的论述，主要是该书第六卷第九章。[2]根据亚里士多德的记载，这四个所谓关于运动的悖论分别是：两分法，阿喀琉斯，飞矢不动和运动场。[3]
亚里士多德在其《物理学》中分别反驳了芝诺，指出了芝诺的这些“悖论”都是“错误”的。后来的大多数学者们基本上是继承了亚里士多德的看法，而近代以来也有一些数学家和逻辑学家们借助于当时的数学和逻辑学成就，主要是微积分理论，来试图“解决”这些“悖论”。表面上看来，这些学者们似乎是“解决”了这些“悖论”，可是带有悖谬性的是，正是通过这些“悖论”的“解决”，芝诺由一个哲学家变成了一个没有常识的人。
而在本文中，笔者则通过对芝诺关于所谓运动的这四个“悖论”的重新诠释，来试图恢复芝诺作为一个严肃的哲学家的本来面目。
根据这四个悖论的内容，我把它们分成两组来分别加以论述，那就是两分法和阿喀琉斯一组，飞矢不动和运动场一组。我将表明芝诺的这两组悖论分别是针对当时在数学和物理学中流行的错误“前提”的，所以他的这些“悖论”没有什么所谓的“逻辑”错误。
（一）两分法与阿喀琉斯
根据亚里士多德的记载，所谓的“两分法”是指，一个位移的事物在达到目的地之前必须先抵达一半处，可是这种一再二分的一半是为数无限的，因此不可能走完为数无限的路程，因此运动不存在。[4]有人认为这和中国古代哲学中的“一尺之棰，日取其半，万世不竭”的道理是一样的。
[5]
而“阿喀琉斯”的悖论意思是说：“一个跑得最快的人永远追不上一
个跑得最慢的人。因为追赶的人必须首先跑到被追的人的出发点，因此走的慢的人必然永远领先。”[6]亚里士多德说，“这个论证和第一个论证，即二分法的论证是一回事，分别只在于：在分划那个量时这里不是用的二分法。”[7]弗里曼用现代数学来解释这个论证：设慢跑者为快跑者速度的1/10，快者跑10单位长度，慢者只能跑1单位长度，按10：1列式为：1/10+1/100+1/1000+……+1/n，这样只能无限接近，不能赶上。[8]
对这两个“悖论”，亚里士多德认为芝诺的这些想法都是错误的。针对“两分法”，亚里士多德说，“芝诺在有一个论证里犯了错误。他主张一个事物不可能在有限的时间里通过无限的事物，或者分别地和无限的事物相接触。须知长度和时间被说成是‘无限的’有两种涵义，并且一般地说，一切连续事物被说成是‘无限的’都有两种涵义：或分起来的无限，或延伸上的无限。因此，一方面，事物在有限的时间里不能和数量上无限的事物相接触，另一方面，却能和分起来无限的事物相接触，因为时间本身分起来也是无限的。因此通过一个无限的事物是在无限的世界里而不是在有限的时间里进行的，和无限的事物接触是在无限数的而不是在有限数的现在上进行的。因此，既不能在有限的时间里通过无限的量，也不能在无限的时间里通过有限的量；而是：时间无限，量也无限，量无限，时间也无限。”[9]
也就是说，在亚里士多德看来，芝诺是混同了以上两种不同的无限概念，有限的时间固然不能穿越无限延展的距离而达到终点，可是有限的时间却可以越过一定量度（它是可以被无限分割的）中无限数的点而达到终点，因为这有限的时间也是同样可以被无限分割的。[10]
对于“阿喀琉斯”悖论，亚里士多德认为，由于它和“二分法”的论证是一回事，所以“对这个论证的解决办法也必然是同一个方法。”[11]亚里士多德说，“认为在运动中领先的东西不能被追上这个想法是错误的。因为在它领先的时间内是不能被赶上的，但是，如果芝诺允许它能越过所规定的有限的距离的话，那么它是可以被赶上的。”[12]
因此我们可以看到，芝诺的这两个悖论是以时空的“无限分割”为前提，亚里士多德对这两个悖论的解决方式是：承认了时空的这种无限可分性，但是通过区分了两种不同的“无限”，而主张在有限的时间里通过有限距离的无限的点是可能的。因为有限的时间和距离本身都是可以无限分割的。
近代以来的数学家和逻辑学家们用微积分的方式来解决这两个悖论的方法和亚里士多德的方式是很相似的，他们都是首先承认了时空的某种无限可分性，然后再对这个问题加以处理。且不管数学家们求极限和积分的运算是否正确，我们的一个问题是：这是否是芝诺提出这两个“悖论”的原意？这些学者们是否理解了芝诺“悖论”的意图？
在我看来，亚里士多德和近代以来的微积分学者们所说的这些固然是“正确”的，因为这些显然可以被我们的经验所直接证明。可是由于他们误解了芝诺“悖论”的“意图”，所以他们对这些“悖论”的解决本身乃是无的放矢的！下面我讲试图说明这一点。
众所周知，芝诺是哲学家巴门尼德的学生及好友，而根据柏拉图在《巴门尼德篇》中的记载，芝诺不仅仅原意在友谊方面和巴门尼德相契，而且在他的著作中也愿意和他保持一致。也就是说芝诺的学说是以另外一种方式来论证他的老师的观点。因此，要想了解芝诺悖论的意图，我认为必须要首先了解巴门尼德的一些基本思想。在巴门尼德看来，存在是一种不生不灭，连续的和绝对完满的“一”。[13]在这里需要特别注意的是，在巴门尼德那里，这个绝对完满的“一”乃是“有限”的，他曾把之比喻为“滚圆的球体”。因此，“无限”反而表示不完满和有缺陷的意思。也正是如此，绝对的无限乃是根本不存在的东西，任何有限的事物也不可能“无限可分”。所以根据巴门尼德的哲学，“无限”和“无限可分”乃是一些违反“自然”的概念。
芝诺悖论必须要放到巴门尼德哲学的这种背景中来思考。第欧根尼.拉尔修认为芝诺是辩证法的创始人。芝诺的这种辩证法和苏格拉底的方法是很相似的，他们都是从一个假定的“前提”出发，然后推导出一个明显荒谬的结论，或者推导出两个正相反对的结论，以此来否定那个原先假定的“前提”。对芝诺的这些“悖论”因此也必须要放到这种“辩证法”的思想方式中来把握。
在说明了以上两点后，我们下面就可以来看一看芝诺的“两分法”和“阿喀琉斯”悖论了。毫无疑问，这两个“悖论”是以时空的某种“无限可分”性为前提的，并且它们的结论也明显是荒谬的，一个运动的物体当然可以经过整个路程的一半而到达终点，阿喀琉斯当然可以追上乌龟。根据“辩证法”的思路，这两个明显荒谬的结论显然是在质疑事物的“无限可分”这个前提。因此，芝诺在此根本不存在什么逻辑矛盾，如果一个有限的距离真的可以“无限分割”，即所谓“日取其半，万世不竭”的话，那一个运动的物体当然永远不可能达到终点，阿喀琉斯当然永远不可能追上乌龟。因此，问题就在于：“无限分割”这个观念是否是正确的或它是否是符合自然的？这才是芝诺这两个悖论的真实意图。而显然，在这里芝诺是通过“另一种方式”和他的老师巴门尼德在思想上保持了一致：存在是“有限”的完满的，不存在什么广延上的“无限”，也不存在什么在量上的“无限可分”。
芝诺“两分法”和“阿喀琉斯”的悖论除了捍卫他的老师的观点外，似乎也是直接针对当时毕达哥拉斯学派的某些观点的。比如十九世纪后期法国研究科学和哲学史的泰纳利（Paul Tannery）就认为亚里士多德误解了芝诺，芝诺并不是否认运动的可能性，他只是说运动和多不相容。芝诺的真正目的是反对毕达哥拉斯学派关于线，面，体是无数的点的总和这种
观点。[14]
我个人认为，显然泰纳利的观点更加符合芝诺悖论的原意和初衷。芝诺并不是要否认运动，他只是在质疑某些数学家们的一些错误“前提”。
（二）飞矢不动与运动场悖论
所谓的“飞矢不动”悖论是指，由于飞矢在其运动中的每一时刻都占据着一个固定的位置，因此飞矢在每一个时刻都是静止不动的。亚里士多德说，“这个结论是因为把时间当作是由“现在”合成的而引起的，如果不肯定这个前提，这个结论是不会出现的。”[15]
而“运动场”悖论，根据亚里士多德的记载是这样的，“跑到上有两排物体，大小相同，数量相同，一排从终点排到中间点，另一派从中间点排到起点，它们以相同的速度作相反的运动，芝诺认为可以说明：一半的时间可以和整个时间相等。”[16]而亚里士多德认为，“这里的错误在于他把一个运动的事物经过另一个运动的事物和以同速度经过同大小的静止
事物所花的时间看作是相等的，事实上这两者是不相等的。”[17]
亚里士多德说的这些固然“正确”，可是我认为对于芝诺悖论我们必须要从其“辩证法”的角度来思考才能领会其原意。我之所以把“飞矢不动”和“运动场”悖论放到一组来考察，那是因为在我看来这两个悖论可以看作是芝诺对“运动的相对性”的质疑或批评。
先让我们来看一下所谓“飞矢不动”这个悖论。之所以会造成“飞矢不动”这种不符合经验和理性的悖谬，那是由于某种“参考系”所造成的。也就是说，是因为人们首先是用一个静止的“参考系”来衡量一个运动着的物体，这样才会造成“飞矢”相对于那个静止的参考系而言，在每一时刻都占据一个所谓的“位置”，从而“不动”这种悖论。因此，这是以一种外在的标准（参照系）来衡量一个内在状态（运动）所带来的后果。可是，如果一个“运动”的物体它的“运动”是由其内在的本质状态来决定的话，那么就不会出现这种情况了。
“运动场”悖论也是由这种“参照系”的不同而引起的。假设AAAA为大小相等的不动的一排事物，BBBB位于由AAAA的中间到起点处，CCCC位于终点到AAAA的中间处，A,B,C大小数目都相等，并且B,C的速度相等。于是当BBBB和CCCC做相反方向的运动时，第一个B到达最末一个C的同时第一个C也到达了最末一个B处。这时第一个C已经经过了所有的B,
而第一个B只经过了A的一半，因此一半的时间和全部的时间相等。[18]
我们可以看到，之所以会出现“一半的时间等于全部的时间”这种悖论，那是由于同一个运动的物体BBBB同时以静止的AAAA为参照系，又和运动着的CCCC相参照而出现的情况。这个悖论虽然较“飞矢不动”较为复杂一些，但是道理是一样的，它们都是在质疑能否以一个（或两个，多个）外在的参照系来衡量一个事物由其内在本质所决定的某种状态（运动）。如果“运动”仅仅是“相对”的话，那么显然就会出现芝诺所指出的这些“悖论”，因为同一个运动对于不同的参照系会呈现出完全不同的情况。
因此，显然芝诺的“飞矢不动”和“运动场”理论并非在单纯的否定事物的“运动”，而是在质疑“运动的相对性”这种观点。
小结：芝诺“悖论”给我们的启示和意义
在数学和物理学迅速发展，尤其是“微积分”和“相对论”在其各自领域取得了巨大成就的今天，再来看看这些“芝诺悖论”似乎别有一番感受。“无限”，“无限分割”这些观念真的是“符合自然”的吗？“运动”真的是“相对”的吗？重新思考两千多年以前“芝诺悖论”所提出的这些问题似乎对于当今的科学而言仍然不算过时。
芝诺悖论似乎也在让我们思考：哲学家和一般的数学家，也包括物理学家们的区别在哪里呢？柏拉图在《理想国》中的那个说法我想仍然是非常有道理的，那就是辩证法家是从“前提”上升到“原理”，而数学家们则是从“前提”下降到“结论”。[19]因此哲学家们总是具有一种一般的科学家所不具有的“前提批判”精神。
如果说芝诺是历史上第一位“辩证法”家的话，那么他通过这些“悖论”无疑很好地诠释了只有哲学才具有的那种“辩证”精神。在我看来，芝诺是一位头脑清楚而严谨的思想家，而不是一个没有常识的人，而最好的证明就是他的这些所谓“悖论”。
参考文献：
柏拉图，《理想国》，郭斌和，张竹明译，商务印书馆，1997年。
亚里士多德，《物理学》，张竹明译，商务印书馆，1997年。
汪子嵩，范明生，陈村富，姚介厚，《希腊哲学史》，第一卷，人民
出版社，1988年。
赵敦华，《西方哲学简史》，北京大学出版社，2001年。
W.K.C, Guthrie, A History of Greek Philosophy, VolumeⅠ,
Ⅱ,Cambridge University Press,1975.
Anthony Gottlieb, The dream of reason: A history of philosophy form the Greeks to the Renaissance, New York and London, 2002.
作者简介：
王玉峰（1980年——），男，北京大学哲学系在读博士，外国哲学专业。
[1]See Anthony Gottlieb, The dream of reason: a history of western philosophy from the Greeks to the renaissance (New York and London: W. W. Norton＆Company , 2002), p.66.
[2]参见汪子嵩，范明生，陈村富，姚介厚，《希腊哲学史》，人民出版社，1988年，第一卷，第703页。
[3]参见亚里士多德，《物理学》，张竹明译，商务印书馆，1997年，239b5-240a19。
[4]参见亚里士多德，《物理学》，239b10-13,263a5-11。
[5]参见汪子嵩，范明生，陈村富，姚介厚，《希腊哲学史》，人民出版社，1988年，第一卷，第705页。
[6]参见亚里士多德，《物理学》，239b14-16。
[7]参见亚里士多德，《物理学》，239b20-21。
[8]弗里曼，《苏格拉底以前的哲学家》，第162页。转引自汪子嵩，范明生，陈村富，姚介厚，《希腊哲学史》，人民出版社，1988年，第一卷，
第710页及其注释2。
[9]参见亚里士多德，《物理学》，233a23-35。
[10]参见汪子嵩，范明生，陈村富，姚介厚，《希腊哲学史》，人民出版社，1988年，第一卷，第706页。
[11]参见亚里士多德，《物理学》，239b26。
[12]参见亚里士多德，《物理学》，239b27-29。
[13]参见赵敦华，《西方哲学简史》，北京大学出版社，2001年，第17-18页。
[14]参见汪子嵩，范明生，陈村富，姚介厚，《希腊哲学史》，人民出版社，1988年，第一卷，第690页。
[15]参见亚里士多德，《物理学》，239b31-33。
[16]参见亚里士多德，《物理学》，239b33-36。
[17]参见亚里士多德，《物理学》，240a1-4。
[18]参照亚里士多德，《物理学》，240a5-12。
[19]参见柏拉图，《理想国》，511A-E。
悖论及其科学意义 西班牙的小镇塞维利亚有一个理发师,他有一条很特别的规定: 只给那些不给自己刮胡子的人刮胡子。 这个拗口的规定看起来似乎没什么不妥,但有一天,一个好事的人跑去问这个理发师一个问题,着实让他很为难,也暴露了这个特别规定的矛盾。那个人的问题是: “理发师先生,您给不给自己刮胡子呢?” 让理发师为难的是: 如果他给自己刮胡子,他就是自己刮胡子的人,按照他的规定,他不能给自己刮胡子;如果他不给自己刮胡子,他就是不自己刮胡子的人,按照他的规定,他就应该给自己刮胡子。不管怎样的推论,理发师的做法都是自相矛盾的。这真是令人哭笑不得的结果。 这就是悖论。 悖,中文的含义是混乱、违反等。 悖论,在英语里是paradox,来自希腊语“para+ dokein”。意思是“多想一想”。悖论是指一种导致矛盾的命题。 悖论都有这样的特征: 它看上去是合理的,但结果却得出了矛盾——由它的真,可以推出它为假;由它的假,则可以推出它为真。 悖论与谬论不同,谬论是用目前的理论就能够证明、判断其为错误的理论、观点,总体来说,谬论是完全错误的;而悖论则看起来是是非难辨的。但这种“是非难辨”并非是永远不能分辨的,随着人们认识能力的不断提高,随着科学的不断发展,悖论是可以逐步得到消除的,矛盾是可以解决的。
广义上说,凡似是而非或似非而是的论点,都可以叫做悖论,如欲速则不达、大智若愚等都是典型的悖论;还有一些对常识的挑战也可称为悖论。 狭义上说,悖论是从某些公认正确的背景知识中逻辑地推导出来的两个相互矛盾(或相互反对)命题的等价式。通俗地说,如果承认它是真的,经过一系列正确的推理,却又得出它是假的;如果承认它是假的,经过一系列正确的推理,却又得出它是真的。这就是悖论。狭义的悖论又可称为严格意义上的悖论或真正的悖论。 “我说的这句话是假的”,这就是典型的悖论,因为从这句话所包含的大前提来看,这是一句假话,其内容必定就是“假”的;既然是假的,则其意必然与其所指相反,所以,这句话应该是“真”的。但如果假设这句话是真的,其本身又恰恰证明它是假的。所以,你无从分辨这句话的真假。 悖论一般可以分为语义悖论和逻辑悖论两种。如果从一命题为真可推出其为假,又从该命题为假可推出其为真,则这个命题就构成语义悖论。前面所说的“我说的这句话是假的”就是如此。 逻辑悖论总是相对于一个公理系统而言,如果在一个公理系统中既可以证明A又可以证明非A,则我们就说在这个公理系统中含有一个悖论。集合论中著名的罗素悖论就是一个逻辑悖论。实际上,自然科学中出现的悖论一般都是逻辑悖论。 自然科学中的悖论一般还被称为佯谬。在英文中,佯谬与悖论是同一词paradox。它们都是由于前提、判断和结论的运用而产生的,具有相同的逻辑本性。如由爱因斯坦等提出的EPR悖论,也可称为EPR佯谬。 悖论有很多种称谓。古希腊的亚里士多德称之为难题;中世纪的经院哲学家们称之为不可解命题;近现代的科学家一般称之为悖论或佯谬,哲学家则称之为二律背反(“悖论”在英文中还有一个词antinomy)。 1979年,美国数学家霍夫斯塔德(D.R.Hofstad—ter)认为悖论是一个“怪 圈”(strange loop,又译为奇异的循环),是由于“自我相关”而导致的。这种怪圈不仅存在于数学和思维中,也存在于绘画和音乐中。埃
对于悖论存在及其意义的探究 摘要：悖论的存在已有数千年历史,悖论到底如何定义的?是为什么会存在的?历史上人们又是怎么对待悖论的?悖论能够怎样被解决?悖论的存在又有什么意义?这一切问题都需要我们深入思考研究。 关键词:悖论；逻辑哲学；存在；本体论；形而上学 一、什么是悖论？ 在人类思想史上，已经提出了各种各样的谜题与悖论，它们对人类理智构成了严重的挑战，许多大家、巨擘以及无名氏前仆后继地对其进行了艰辛的探索。从古希腊、中国先秦时期到现代数学、逻辑学等众多学科中，已经发现了各种各样的悖论或怪论，悖论已经成为数学、逻辑学、哲学、语言学、计算机科学、思维科学等多学科专家共同探讨的课题，谈论“悖论”几乎成为时髦。那么,到底什么是悖论呢?悖论，亦称为吊诡或诡局，是指一种导致矛盾的命题。通常从逻辑上无法判断正确或错误称为悖论，似非而是称为佯谬；有时候违背直觉的正确论断也称为悖论。悖论的英文paradox一词，来自希腊语paradoxos，意思是“未预料到的”，“奇怪的”。如果承认它是真的，经过一系列正确的推理，却又得出它是假的；如果承认它是假的，经过一系列正确的推理，却又得出它是真的。 二、悖论与逻辑哲学 说谎者悖论被认为是世界上最早的悖论,由公元前六世纪的哲学家克利特人艾皮米尼地斯提出:“所有克利特人都说谎，他们中间的一个诗人这么说。”这个悖论最简单的表述形式是:“我在说谎”。如果他在说谎，那么“我在说谎”就是一个谎，因此他说的是实话；但是如果这是实话，他又在说谎。矛盾不可避免。这类悖论的一个标准形式是：如果事件A 发生，则推导出非A，非A发生则推导出A，这是一个自相矛盾的无限逻辑循环。悖论的存在显然是因为某些命题正在逻辑上存在不合理性从而引起了众多学者的探究。 虽然逻辑不能等同于逻辑哲学，但是逻辑哲学基本上是和逻辑同时产生的，任何逻辑学家都在无形中进行着对逻辑哲学的研究。尤其是对于数学这样的极其讲究严密的逻辑性的研究领域，逻辑哲学的研究根本无法避免。著名的“罗素悖论”的出现甚至引起了第三次数学危机。所谓的罗素悖论是罗素针对当时建立不久的集合论体系提出的一个基础上存在的矛盾：“定义两个集合：P={A∣A∈A} ，Q={A∣A?A} 。问题：Q∈P 还是 Q?P？”。显然，无论是指定哪个判断为真，最后都能够推断出与其相反的结论。为了使其更容易被理解，罗素悖论又被称为“理发师悖论”：“有一个理发师说：‘我将为本城所有不给自己刮脸的人刮脸，我也只给这些人刮脸’”。那么这个理发师要不要给自己刮脸呢？无论他怎么做，最后都一定会违背自己当初的话。 悖论的流行引发了世界上的思想风暴。越来越多的人认识到我们现有社会中存在的不完美，思维方式不能再局限于既定逻辑，而要尝试打破规则，因为悖论的存在充分说明了现有的规则有着无法忽视的漏洞，甚至会动摇社会根基。 三、悖论与本体论 西方哲学从古希腊开始一直以研究世界的本原为己任, 形成了西方哲学的本体论传统。本体论的最主要特征就是研究存在问题, 即关于什么样的实体存在, 以及作为实体在资格
浅谈芝诺悖论——阿基里斯与乌龟 公元前5世纪，芝诺用他的无穷、连续以及部分和的知识，引发出以下著名的悖论：他提出让阿基里斯和乌龟之间举行一场赛跑，并让乌龟在阿基 里斯前头1000米开始．假定阿基里斯能够跑得比乌龟快10 倍．当比赛开始的时候，阿基里斯跑了1000米，此时乌龟仍 然前于他100米．当阿基里斯跑了下一个100米时，乌龟依 然前于他10米．芝诺辩解说，阿基里斯能够继续逼近乌龟， 但他决不可能追上它。 此问题可用数学知识表示为；如图设阿基里斯处在A 点，乌龟处在B 点，A ，B 点相距X ，阿基里斯以速度V 前进，则乌龟以速度1∕10V 前进，若阿基里斯前进了X ，则乌龟前进了1/10X ，若阿基里斯前进了1/10X ，则乌龟前进了1/10?2X ，就这样无限的进行下去， 乌龟前进的路程可表示为S=1/10X+1/10?2X+1/10?3X+1/10?4X+…1/10?nX ，而阿基里斯前进的路程为S ’=X+1/10X+1/10?2X+1/10?3X+1/10?4X+…1/10?(n-1)X, 所以二者之差S ’—S= X —1/10?nX ，乌龟与阿基里斯相距1/10?nX ，当n 为无穷大时，S ’—S ≈X ， 1/10?nX ≈0，但是1/10?nX 总是一个大于0的数，因此阿基里斯是追不上乌龟的. 然而如果我们深思这个问题我们会发现，当n 为无穷大时，1/10?nX 会越来越小，通过这段路程的时间会趋于0. 对于宏观上分析，显然我们可以得出当1/10?nX ≈0时，阿基里斯与乌龟所占的空间要比1/10?nX 大得多，我们说阿基里斯没有追上乌龟这是不科学的。对于微观上分析，我们将阿基里斯与乌龟分别看成两个质点，设为A ，B ，而质点是没有体积的，这样讨论就不会产生宏观上的不科学的观点。若A,B 是质点，我们显然可以得到A 是永远追不上B 的。但在牛顿的经典物理学中，我们可以知道若A 比B 的速度快，经过有限时间后，A 是一定会追上B 的，因此这个问题是不可以用牛顿的经典物理学来分析的，经典物理学有两个假设： 其一是假定时间和空间是绝对的，长度和时间间隔的测量与观测者的运动无关，物质间相互作用的传递是瞬时到达的；其二是一切可观测的物理量在原则上可以无限精确地加以测定。也就是在经典物理学中时间和空间都是连续的，因此我们可以以时间不是连续的观点来讨论这A X B
悖论的意思是什么 导读：我根据大家的需要整理了一份关于《悖论的意思是什么》的内容，具体内容：悖论的意思：悖论是表面上同一命题或推理中隐含着两个对立的结论，而这两个结论都能自圆其说。悖论的抽象公式就是：如果事件A 发生，则推导出非A，非A发生则推导出A。悖论是命题或推理中隐...悖论的意思： 悖论是表面上同一命题或推理中隐含着两个对立的结论，而这两个结论都能自圆其说。悖论的抽象公式就是：如果事件A发生，则推导出非A，非A发生则推导出A。悖论是命题或推理中隐含的思维的不同层次、意义(内容)和表达方式(形式)、主观和客观、主体和客体、事实和价值的混淆，是思维内容与思维形式、思维主体与思维客体、思维层次与思维对象的不对称，是思维结构、逻辑结构的不对称。悖论根源于知性认识、知性逻辑(传统逻辑)、矛盾逻辑的局限性。产生悖论的根本原因是把传统逻辑形式化、把传统逻辑普适性绝对化。 英文解释 [数] antinomy;paradox ; [paradox] 逻辑学和数学中的矛盾命题 定义 悖论是表面上同一命题或推理中隐含着两个对立的结论，而这两个结论都能自圆其说。悖论的抽象公式就是：如果事件A发生，则推导出非A，非A发生则推导出A。
性质 悖论是命题或推理中隐含的思维的不同层次、意义(内容)和表达方式(形式)、主观和客观、主体和客体、事实和价值的混淆，是思维内容与思维形式、思维主体与思维客体、思维层次与思维对象的不对称，是思维结构、逻辑结构的不对称。 根源 悖论根源于知性认识、知性逻辑(传统逻辑)、矛盾逻辑的局限性。产生悖论的根本原因是把传统逻辑形式化、把传统逻辑普适性绝对化。 解悖 悖论与解悖只要运用对称逻辑，没有一个悖论无解。悖论是表面上同一命题或推理中隐函着两个对立的结论，而这两个结论都能自圆其说。悖论的抽象公式就是：如果事件A发生，则推导出非A，非A发生则推导出A。悖论是命题或推理中隐含的思维的不同层次、意义(内容)和表达方式(形式)、主观和客观、主体和客体、事实和价值的混淆，是思维内容与思维形式、思维主体与思维客体、思维层次与思维对象的不对称，是思维结构、逻辑结构的不对称。悖论根源于知性认识、知性逻辑(传统逻辑)、矛盾逻辑的局限性。产生悖论的根本原因是把传统逻辑形式化、把传统逻辑普适性绝对化。 用对称逻辑思维层次法解"说谎者悖论" 这个悖论即"我在说谎"这句话中所蕴含的悖论。这个悖论表面上由"我在说谎"和"我说实话"这两个对立的"命题"组成，实际上这两个"命题"并不等价——前一个命题包含思维内容，后一个"命题"只是前一个命题的语言表达式，因此后一个"命题"不是
芝诺悖论的极限分析 学生姓名：王慧文指导教师：岳进 摘要：古希腊哲学家芝诺提出了著名的“二分法”，其结论的荒谬性不言而喻，可是对他的论证我们 似乎很难找出毛病，好像是可以接受的。其结论之所以不可以接受，源于在他的论证中隐藏着一些 谬论。在极限方面过程中把带有统一度量单位的“无穷”混为一谈。在哲学方面违反了辩证法的客观 性原则、全面性原则和对立统一性原则；但芝诺悖论的提出，对辩证法的方法，以及运动过程中诸 要素的多种矛盾，通过逻辑运算对芝诺悖论的荒谬性进行反驳，对数学的发展起了很大的作用。 同时本文利用数学求极限的方法,通过逻辑运算,揭示阿基里斯永远追不上乌龟结论的错误。 关键词：悖论；无穷与有穷；运动与静止；连续与间断 引言： 数学悖论是数学发展过程中的一个重要的存在形态,它是数学体系中出现的一种尖锐的矛盾,对于这一矛盾的处理与研究,丰富了数学的内容,促进了数学的发展。 芝诺是公元五世纪古希腊埃利亚学派的代表人物。芝诺“二分法”悖论是说，你不能在有限的时间内穿过无穷的点。在你穿过一定的距离的全部之前,你必须穿过这个距离的一半。这样做下去就会陷入无止境,所以在任何一定的空间中都有无穷个点,你不能在有限的时间中一个接一个地接触无穷个点。运动只是假象，不动不变才是真实。假如承认有运动，就得承认速度最快的赶不上速度最慢的”，即快的“只能无限地接近但永远不能赶上”慢的。因为，快的要追上慢的，总要到达慢的所处，的所经过的每个出发点，而当它到达第一个出发点时，慢的已经往前走了“一段，即阿基里斯追赶乌龟的赛跑。 芝诺的哲学观点虽然不对，但是，他如此尖锐地提出了空间和时间是连续还是离散的问题，引起人们长期的讨论和发展，不能不说是巨大的贡献。本论文就是通过极限与哲学的分析，对芝诺悖论进行剖析。 1、悖论对数学产生的作用 1.1从悖论说起 什么是悖论？它既属于逻辑矛盾、语义矛盾,也属于思想方法上的矛盾。简单地说，悖论一般表现为这样的命题：如果你认为它真，则可以推出它为假；如果你认为它假，则可以推出它为真[1]。悖论往往以逻辑推理为手段，深入到原理论的基础之中深刻地揭露出该理论体系中的无法回避的矛
芝诺（埃利亚）（Zeno of Elea）生活在古代希腊的埃利亚城邦。他是埃利亚学派的著名哲学家巴门尼德（Parmenides）的学生和朋友。关于他的生平，缺少可靠的文字记载。柏拉图在他的对话《巴门尼德》篇中，记叙了芝诺和巴门尼德于公元前5世纪中叶去雅典的一次访问。其中说：“巴门尼德年事已高，约65岁；头发很白，但仪表堂堂。那时芝诺约40岁，身材魁梧而美观，人家说他已变成巴门尼德所钟爱的了。”按照以后的希腊著作家们的意见，这次访问乃是柏拉图的虚构。然而柏拉图在书中记述的芝诺的观点，却被普遍认为是相当准确的。据信芝诺为巴门尼德的“存在论”辩护。但是不象他的老师那样企图从正面去证明存在是“一”不是“多”，是“静”不是“动”，他常常用归谬法从反面去证明：“如果事物是多数的，将要比是‘一’的假设得出更可笑的结果。”他用同样的方法，巧妙地构想出一些关于运动的论点。他的这些议论，就是所谓“芝诺悖论”。芝诺有一本著作《论自然》。在柏拉图的《巴门尼德》篇中，当芝诺谈到自己的著作时说：“由于青年时的好胜著成此篇，著成后，人即将它窃去，以致我不能决断，是否应当让它问世。”公元5世纪的评论家普罗克洛斯（Proclus）在给这段话写的评注中说，芝诺从“多”和运动的假设出发，一共推出40个各不相同的悖论。芝诺的著作久已失传，亚里士多德的《物理学》和辛普里西奥斯（Simplici－us）为《物理学》作的注释是了解芝诺悖论的主要依据，此外只有少量零星残篇可提供佐证。现在流传下来而广为人所知的所谓“芝诺悖论”共有九个：四个是关于运动的，三个是指向“多”的，一个是反对空间观念的，另一个则试图表明感觉是不可靠的，其中关于运动的4个悖论尤为著名。 直到19世纪中叶，亚里士多德关于芝诺悖论的引述及批评几乎是权威的，人们普遍认为芝诺悖论不过是一些诡辩。英国数学家B．罗素感慨的说：“在这个变化无常的世界上，没有什么比死后的声誉更变化无常了。死后得不到应有的评价的最典型例子莫过于埃利亚的芝诺了。他虽然发明了四个无限微妙无限深邃的悖论，后世的大批哲学家们却宣称他只不过是个聪明的骗子，而他的悖论只不过是一些诡辩。遭到两千多年的连续驳斥之后这些诡辩才得以正名。”19世纪下半叶以来，学者们开始重新研究芝诺。他们推测芝诺的理论在古代就没能得到完整的、正确的报道，而是被诡辩家们用来倡导怀疑主义和否定知识，亚里士多德正是按照被诡辩家们歪曲过的形象来引述芝诺悖论的。目前，学者们对芝诺提出这些悖论的目的还不清楚，但大家一致认为，芝诺关于运动的悖论不是简单的否认运动，这些悖论后面有着更深的内涵。亚里士多德的著作保存了芝诺悖论的大意，从这个意义上来说，他功不可没，但他对芝诺悖论的分析和批评是否成功，还不可以下定论。 芝诺悖论（Zeno's paradoxes)是芝诺提出的一系列关于运动的不可能性的哲学悖论。这些悖论由于被记录在亚里士多德的《物理学》一书中而为后人所知。芝诺为了支持他老师巴门尼德关于“存在不动”、是一的学说（万物为一且永不变化的学说），提出了著名的运动悖论和多悖论，以表明运动和多是不可能的。他的结论在常人看来当然很荒谬，但他居然给出了乍看起来颇令人信服的论证，故人们常常称这些论证构成了悖论或佯谬。不过，若细细推敲，其结论未必荒谬，其论证未必令人信服，故中性的称这些论证为芝诺论辨（Argument）最为合适。 这些悖论中最著名的两个是：“阿基里斯跑不过乌龟”和“飞矢不动”。这些方法现在可以用微积分（无限）的概念解释，但还是无法用微积分解决，因为微积分原理存在的前提是存在广延（如，有广延的线段经过无限分割，还是由有广延的线段组成，而不是由无广延的点组成。），而芝诺悖论中既承认广延，又强调无广延的点。这些悖论之所以难以解决，是因为它集中强调后来笛卡尔和伽桑迪为代表的的机械论的分歧点。这些悖论其实都可以简化为：1/0=无穷。
浅谈亚里士多德实体与属性二分下的芝诺悖论 一、导言 哲学有两种功效: 诊断和治疗。本文主要集中在对问题本身的诊断。维特根斯坦在《逻辑哲学论》中把哲学比喻为梯子，我们不应仅仅执迷于梯子上有什么，而应更加关注会有多少种梯子，因为不同的梯子可能会通向不同的方向。通常的解读下，哲学史是对柏拉图问题的回答，进一步讲，也可以认为是对巴门尼德问题的回答，但这只是问题的一个方面。如果把解决巴门尼德问题看作对真的追求，那么对芝诺问题的消解就可以看作对假的消除。既然哲学史可以解读为对真的追求，那么同样也可以解读为对假的消除，即哲学史既可以理解成是努力追求巴门尼德的真，亦可以理解成是在努力消解芝诺问题。 二、实体与属性: 芝诺悖论的多层结构 1. 按照胡吉特 ( Nick Huggett) 理论对芝诺悖论的结构分层 ( 1) 数量悖论。①密度悖论: 如果有多，他们必须与自身一样多，既不更多也不更少。但是如果他们和自身一样多，他们则是被限制的。如果他们是多，多这样的事物是不被限制的。因为在多的事物之间总是有其它的事物，并且在这些事物之间还有另一些事物，因此多这样的事物是不被限制的。②有限量悖论: 如果把其他存在的事物增加于它，这不会使其变大。因为如果它没有体量并且被增加，它在体量上也不可能增加。因此立即可以得出这样的结论，即被增加的是无。但是如果它被减少时其他事物并没有变小，它被增加时其他事物没有增加，那么显然被增加或减少的事物是无。但是如果它存在，每一个事物必须有一些体量和厚度，它的一部分必定与其他部分是不同的部分。同样的推理适用于在前面的部分。对于这部分，其自身有体量，所以其中也有在前的部分。现在基于同样的推理，不停重复。因为没有一个部分是最终的部分，也没有一个部分是与另一部分无关的。因此，如果有很多事物，他们必定是既小又大; 如此之小以至于没有体量，但是如此之大以至于是无限的。完全分割悖论:一旦一个事物被自然方法不停地分割，无论是用两分法或其他任何方法，如果这个事物确实被分了，那么最终什么都不可能留下虽然事实上可能没有一个物体能被这样分。 ( 2) 运动悖论。①二分法悖论: 你不能在有限的时间内越过无穷的点，当你穿过一定距离的全部之前，你必须穿过这个距离的一半，这样做下去就会陷入无止境。所以在任何一定的空间中都有无穷个点，你不能在有限的时间中一个一个接触无穷个点。②阿基里斯与龟悖论:阿基里斯永远追不上乌龟，他首先必须到达乌龟出发的地点，这时候乌龟会向前走了一段路，于是阿基里斯又必须赶上这段路，而乌龟又向前走了一段路。他总是愈追愈近，但是始终追不上它。③飞矢不动悖论: 飞着的箭是静止的，因为如果每一件东西在占据一个与它自身相等的空间时是静止的，而飞着的东西在任何一定的霎间总是占据一个与它自身相等的空间，那么它就不能动了。④运动场悖论: 运动场上有两排物体，每排由大小相等、数目相同的物体组成，各以相同速度按相反方向通过跑道，其中一排从终点开始排到中间，另一排从中间排到起点。他 [芝诺] 认为，这里包含了一个结论，一半时间等于一倍时间。 ( 3) 其他悖论。①空间悖论: 如果每一个存在的事物都占有一个空间，位置自身也占有一个空间，依此类推至无穷。②谷粒悖论:芝诺论证说米粒的任何一个部分都能发出声响，因为没有什么妨碍米粒的一个部分在不论什么时间中不能像一个整体的麦蒂蒙洛 (古希腊亚
概念 bèilùn （paradox，也称逆论，反论） 逻辑学和数学中的“矛盾命题”,是指一种导致矛盾的命题。 悖论的定义可以这样表述：由一个被承认是真的命题为前提，设为B，进行正确的逻辑推理后，得出一个与前提互为矛盾命题的结论非B；反之，以非B为前提，亦可推得B。那么命题B就是一个悖论。当然非B也是一个悖论。我们可以按照某些制定或约定的公理规则去判定或证明某一命题的真假，但是我们按照制定或约定的公理规则去判定或证明有些命题的真假时，有时却出现发生了无法解决的悖论问题，这种情况说明了什么问题？ 自然在整体上是包含多样性的，而我们却置这些情况于不顾，而专门关注属于我们感兴趣的那一种特殊情况，当特殊情况与其它相反的情况或普遍性存在的一般情况相遇时必然产生某种相悖的结论。不是数学悖论对数学基础产生大的危机影响，而是对逻辑和认识产生重大影响。 无限集合本身就是一个模糊不清的概念规定，有限是可以称为集合，无限是不能称为集合的。集合是指表示在某一个范围内无限则是指范围为无限大的，否则就不应该称为无限而称有限。无限不应该成为一个任意性选择或适用的范围，一个数量当超过人类所能达到或认识的程度便进入无限的范围之中。到现在为止，人类还没有完全清楚地知道我们所能认识到的半径有多大，所以无法准确精确地规定无限与有限它们之间的界限究竟在那里。 集合本身的概念就是一个没有限制性的概念，总的集合可任意分成若干集合，都是集合，确切地说我们不知道究竟是在那种意义前提限制下的集合。 子集合中存在悖论，或与别的集合之间存在悖论，子母集合之间也还存在悖论，因为在每种具体的子集合中都有属于它自身的规定规则，只在自身范围有效。超越范围则失效，这是永远不可避免或取消的。除非取消类的集合层次之间的区别，那么又不符合对待具体事物的态度，无法满足实际应用要求。另外集合的本义与引申义常混合使用，有时与元素意义混同，集合在低层次相当于元素，当上升时为集合，当再次上升时又相当于元素，是累积式的。 罗素悖论在当它们还没有进行相互联系时是有效的，当它们进行相互联系时即它们已经成为一个类或一个整体，那么一个类或一个整体中是不允许或无法执行两种衡量标准或规定的，自我否定是和没说一个样，或等于没有规定一样。 哥德尔关于一阶逻辑完全性定理与不完全性定理的本身就是悖论，已经暴露出逻辑导致发生的问题。哥德尔不完全性定理是缺乏评判，以决定的主导方面为衡量标准，或衡量标准过多而引起的悖论。所谓的标准也是一种规定。失效以后还可以根据实际需要再次进行新的规则规定，反正原来的规则也是规定，为什么出现发生悖论以后不可以再次重新进行规定规则，以满足实际应用的目的的需要呢？明明是自己的规定，可是自己又制造新的规定来破坏原来的规定，如果这样来干活，那么将永远有活干了，永远有干不完的活。 类是人为区分出来的，但类是根据需要人为任意性制造的，若分类，故类有所不同。在整体上却不存在类同与不同，由于类不同，故数也有所不同，有些不同相悖是很正常必然的。然而人们又想进行类与数之间变换，那么又不得不重新再作新的规定。 证明也只是按照预先所设置和认为的规定去操作，必然会符合规定，我们只管按规定操作执行好了，证明又有什么作用或意义呢？类的悖论问题不是通过进行证明就所能解决得了的。 悖论是属于领域广阔、定义严格的数学分支的一个组成部分，这一分支以“趣味数学”知名于世。这就是说它带有强烈的游戏色彩。然而，切莫以为大数学家都看不起“趣味数学”问题。欧拉就是通过对bridge-crossing之谜的分析打下了拓扑学的基础。莱布尼茨也写到过他在独自玩插棍游戏（一种在小方格中插小木条的游戏）时分析问题的乐趣。希尔伯特证明
[马丁·加德勒]从惊讶到思考——数学悖论奇景第一 章逻辑学悖论 第一章逻辑学悖论 如果你曾向学生介绍过逻辑学的基本概念，就会发现，没有什么比一个使人主意忽左忽右的悖论更能引起他们的兴趣了。他们被一步一步地引上繁花似锦的小道，遵循着一条无懈可击的推理思路往前走，结果他们忽然发现自己已陷入矛盾之中。到底是什么错了？难道就在演绎推理这一过程背后有可能隐伏着什么倒霉的缺陷吗？ 这一章的主要目的，是尽可能用娱乐的方式，通过提出现代逻辑学中最重要的悖论来引起学生的兴趣。在这里，“悖论”这个词意思比其他部分要窄一点。在其他几章中，悖论是强烈违反我们直觉的问题。在这里，悖论只是直接导致彼此矛盾的结果，就像证明2+2又等于4，又不等于4一样。逻辑悖论是“不可解”的，除非能找到一种方法来完全消除这种恶性的矛盾。 尽管从古希腊起到今天，逻辑悖论一直人们带来很大乐趣，可是最伟大的数学家都总是极严肃地对待它。在发展现代逻辑学和集合论中一些巨大进展正是努力解决经典悖论的直 接结果。在这里，你会看到引自伯特兰德·罗素的话，
他谈到他花了好些年的时间研究悖论而没有成功，后来他和阿尔弗雷德·怀特里德合作，写了《数学原理》，这是一本奠基了现代形式逻辑的代表性论著。 作为一个数学教师，不用人提醒就懂得，逻辑学是一切演绎推理的基础，一个不懂基础逻辑的学数学的学生是没有能力来掌握数学基础的。对这些基础的理解往往是较困难的，它使初学学生丧失对数学的兴趣。幸好，这组故事可以帮助你使学生认识到，逻辑学并不像他们想象的那样枯燥无味，而是一个对数学很重要的、生动有趣的课题、其中有很多令人兴奋的问题尚待解决。 在这组故事中有三个中心问题。 1．在我们谈论语句的真实价值时，为什么需要以一种更高级的语言(称为“元语言”)来谈论它？ 2．为什么现代集合论有一些规则禁止一个集合是此集合本身的元素？ 3．在什么样的特殊情况下，预言未来在逻辑上是不可能的？最好是在学习逻辑学、集合论或演绎（推理）证明的时候来认真阅读这一部分。现代几何学教科书，如雅可比的《几何学》，和很多代数以及普通数学教科书一样是以演绎推理开头的。如果你使用的是这类教科书．那末在教课（或学习）之前最好先看看这一章。 这一章的内容为展开演绎推理方面的讨论提供了丰富的背
芝诺悖论之“飞箭不动” 摘要：自从芝诺提出他的悖论以来, 对哲学、逻辑学、数学和物理学等学科的发展, 产生了深远的影响, 以至今日它仍然是学界讨论的热门话题之一。在历史上, 亚里士多德、黑格尔和罗素等人对芝诺悖论都有极高的评价。但每一代人都需要以彻底改造的方式进行某种重建，这是因为论据、困惑、悖论必须在当代的语境之中被重复发现和重新建构。当然，时间哲学自芝诺时代以来一直在发展着，但这并不是说芝诺之“箭”不能以当代问题的方式提出。自从芝诺提出他的悖论以来, 对哲学、逻辑学、数学和物理学等学科的发展, 产生了深远的影响, 以至今日它仍然是学界讨论的热门话题之一。在历史上, 亚里士多德、黑格尔和罗素等人对芝诺悖论都有极高的评价。但每一代人都需要以彻底改造的方式进行某种重建，这是因为论据、困惑、悖论必须在当代的语境之中被重复发现和重新建构。当然，时间哲学自芝诺时代以来一直在发展着，但这并不是说芝诺之“箭”不能以当代问题的方式提出。 关键词：飞箭不动；历史评价；重建 一、飞箭不动悖论 芝诺悖论(Zeno's paradoxes)是古希腊数学家芝诺（Zeno of Elea）提出的一系列关于运动的不可分性的哲学悖论。芝诺以一种看来是严格的逻辑论证的方法，提出了一与多、动与静、连续与间断等存在的悖论，其目的是要否定现象的多、动和可分的间断性，以归谬法来反证“一”即不动、连续的存在才是世界全体的合理本性。 芝诺从形式上看使用的都是归谬法，而从内容上看则主要集中在两个方面：
一是论证存在单一反对存在众多，二是论证存在不动反对存在运动。他提出了关于“运动”的四个悖论，本文主要就“飞箭不动”的悖论提出一些看法。 所谓的“飞箭不动”悖论是指，如果任何事物，当它是在一个和自己大小相同的空间里时（没有越出它），它是静止的。如果位移的事物总是在“现在”里占有这样一个空间，那么飞着的箭是不动的。 简单来说，即，一支箭从A点飞到B点，要经过A点与B点之间的所在点。在每一瞬间，它都处在某一点上，在这一瞬间它在这个点上是不动的（否则我们就不能说它在这一点上）。从A到B的距离是由其间的每一点集合而成，飞箭在每一瞬间在每一点上都是不动的，不动加不动仍然等于不动，所以飞箭不动。 飞箭既然在每一点上都是静止的，那么所有静止的点集合起来仍然是静止，故曰飞箭不动。“飞箭”实际上是“不动”的；如果说它在动，那就等于说它同时在这一点上又不在这一点上，但这是矛盾的。 亚里士多德批评道：“这个说法是错的，因为时间不是由不可分割的‘瞬间’组成的，正如别的量度也都不是由不可分割的部分组成一样。”这个悖论的实质是将运动经历的时间无限微分为不连续、不可超越的静态‘瞬间’，以此论证，就世界本性的存在而言，运动是表面的假象，运动不过是由无数静止的画面拼接而成的，就像如今动态的电影放映时连接的是静态胶片一样。 二、对飞箭不动悖论的历史评价 19世纪下半叶以来，学者们开始重新研究芝诺．他们推测芝诺的理论在古代就没有得到完整的、正确的报道，而是被诡辩家们用作倡导怀疑主义和否定知识的工具，从而背离了芝诺的真正宗旨。而亚里士多德正是按照被诡辩家们歪曲过的形象来引述芝诺悖论的。然而，迄今为止，学者们还找不出可靠的证
从数学史浅谈科学技术理念问题
摘要：本文从哲学、科学、数学之间的关系角度出发，结合自身研究与实践以及几位伟大数学家的范例，阐述和分析了科学技术中数学环节的重 要性和必要性，举例说明了科学数学与自然哲学之间的关系，同时讨 论了工程技术人材应该的树立正确的科学理念。接着讨论了工程技术 人员应该秉持的科学哲学理念。最后讨论了高科技技术人员的道德伦 理问题。 关键字：哲学、科学、科学理念、道德伦理 18世纪，康德提出：科学是一种知识系统的见解：“每一种学问，只要其任务是按照特定原则建立一个完整的知识系统的话，皆可被称为科学。” ——《自然科学的形而上学起源》科学和哲学是人类理论思维的两种基本方式。科学用于构筑关于世界的模型；而科学哲学建构关于科学的模型。科学一词拉丁文Scientia表示知识或学问。科学是以世界的各种不同的领域、不同的方面、不同的层次或不同的问题为对象，哲学则以“整个世界”为对象；科学提供关于世界的不同领域或不同方面的“特殊规律”，哲学则提供关于整个世界的“普遍规律”。因此，哲学理论思维较之科学理论思维来说在对世界的把握上就具有最高的概括性和最高的解释性。在此意义上，哲学是科学之帅。由于人类理论思维形成的过程首先是逻辑思维的形成过程，而古希腊时代的三位伟大哲人——苏格拉底、柏拉图和亚里士多德——都曾殚精竭虑地思考和追究过思维的逻辑问题，他们对概念和思维规则的探索和认识，使人类理论思维的能力逐步走向成熟。在此意义上来说，哲学是科学之母。因此，科技工作者从事科学研究，都必然会受到一定的哲学世界观的指导和哲学思维特性的影响。当然，科技工作者并非学了哲学才会思维，但学好了哲学，通晓思维的形式和规律之后，有助于他更正确地思考、提高自己的思维能力。下面我们将首先从数学史上的伟人着手，分析科学哲学的基本理念。 一、科学探索需要灵感，灵感来源于长期的思维碰撞摩擦 “假如别人和我一样深刻和持续地思考真理,他们会作出同样的发现。” ——高斯高斯是一对贫穷夫妇的唯一的儿子。母亲是一个贫穷石匠的女儿，虽然十分聪明，但却没有接受过教育。他的父亲曾做过园丁，商人和一个小保险公司的评估师。当高斯三岁时便能够纠正他父亲的借债账目的事情，已经成为一个轶事流传至今。 14岁时，布伦兹维克公爵卡尔·威廉·斐迪南召见了高斯。这位朴实、聪明但家境贫寒的孩子赢得了公爵的同情，公爵慷慨地提出愿意作高斯的资助人，让他继续学习。
对悖论的理解 一、什么是悖论 悖论，在物理学中也常称为佯谬。在英语中它们是同一个词paradox，指那些与常识相抵触、自相矛盾的反论，有的“似非而是”，又有的“似是而非”。严格说起来，佯谬只是悖论的一种，而且是其中最主要的一种，现在在自然科学工作者中几乎成了悖论的同义语。所谓佯谬，字面上的意思就是“假的谬误”，这是一些看起来是错的，实际上却是对的，即“似非而是”的那样一些论断。另外还有两种形式的悖论，我们把它总归为第二类。其一是在本来意义上的自相矛盾的反论。悖者，违背，违反之意也。如果对所考虑的某件事情，这样分析会得出一种结论，那样分析又会得出另一种结论，陷入左右为难，自相矛盾的境地，这就构成了悖论。其二则是那些真正错误的论断，可看起来似乎是对的，即“似是而非”，就是我们通常所说的诡辩。这与香港的黄展骥先生在“构成‘说谎者’悖论的两个矛盾———逻辑自身消解不了逻辑矛盾!”一文中把悖论定义为挑战常识的“大是若非”的卓论和“大非若是”的谬论的观点是一致的。 第一类，大是若非者，落实在“是”上，似非而是。数学史上导致三次里程碑式发现的悖论———希帕索斯(或毕达哥拉斯)无理数悖论(有些数不能表示成整数之比)、贝克莱无穷小悖论(无穷小量既等于零又不等于零)、罗素集合论悖论(可构造一个集合Ａ，Ａ∈Ａ当且仅当Ａ∈Ａ)。前两次悖论的消解分别扩展了数的系统并引发了欧几里德几何公理系统和亚里斯多德逻辑体系的建立；将微积分建立在严格的极限理论基础上，发展了严密的数学分析学科；第三次悖论的余波至今未平，它推动了数理逻辑的发展，导致了哥德尔不完全性定理(在包含初等数论的形式公理系统中，至少存在着一个不可判定命题，该命题本身和它的否定命题在这个系统中都是无法证明的)。还有量子力学中的三大佯谬———ＥＰＲ佯谬、薛定谔的猫、维格纳的朋友，以及导致狭义相对论发轫的光速佯谬(相向传播的两束光，它们的相对速度仍然是光速———或者与其等价的追光佯谬)，导致广义相对论诞生的双生子佯谬，导致现代宇宙学诞生的奥尔伯斯夜黑佯谬等。当然，随着理论的发展，它们也都将不再成为悖论了。 第二类大非若是者，落实在“非”上，似是而实非。伊壁尼门德的说谎者悖论(“我说的这句话是谎话”)、罗素的理发师悖论(塞维利亚的男人可分两类，第一类是自己给自己刮脸的，第二类是自己不给自己刮脸的，凡自我刮脸的理发师就不给他刮脸，而不自己给自己刮脸的则理发师给他刮脸。那么理发师是否自己给自己刮脸呢?)，芝诺悖论(善跑者追不上乌龟)，公孙龙悖论(白马非马，因为马是形体的名称，而白是颜色的名称，形体不是颜色，所以白马不是马)，芝诺的飞矢不动悖论等都可归入这类。说谎者悖论和理发师悖论在塔尔斯基指出应区分对象语言(“被谈论”的语言)和元语言(用来“谈论”对象的语言)后，从语义学上得到了澄清。实际上，“我这句话是假的”，这个语句是一个带有自我指涉的复合语
悖论的内容 因为一运动物体在到达目的地之前，必须先抵达距离目的地之一半的位置。即：若要从A处到达B处，必须先到AB中点C，要到达C，又须先到达AC的中点D。如此继续划分下去，所谓的“一半距离”数值将越来越小。最后“一半距离”几乎可被视为零。 这就形成了此一物体若要从A移动到B，必须先停留在A的悖论。这样一来，此物体将永远停留在初始位置（或者说物体初始运动所经过的距离近似0），以至这物体的运动几乎不能开始。因此，我们得出了运动不可能开始的结论。 见《庄子·天下篇》，庄子提出：“一尺之捶，日取其半，万世不竭。” 悖论的解释 其实此悖论的解释如下： 此悖论在设立时有意忽略了一个事实：那就是从A到B的“运动”必须是一个时间相关的概念而不仅仅是距离的概念。也就是说如果运动的速度为0的时候这个悖论为真！但是一旦运动起来，必然有一个速度，速度等于经过的距离除以历经的时间。什么时候速度为0呢？一种情况是距离为0，根本没有要动，另一种情况大家一般会忽略掉，就是经历的时间趋近于无限，不论距离多大，只要是一个固定值，那么速度就是0，于是悖论就成立了。 此悖论虽然没有提及时间，但是却故意掩盖了时间这个因素。 这同最小分割无关，因为在数学上，无限分割是成立的。 2.阿奇里斯悖论 动得最慢的物体不会被动得最快的物体追上。由于追赶者首先应该达到被追者出发之点，此时被追者已经往前走了一段距离。因此被追者总是在追赶者前面。 —亚里士多德, 物理学VI:9, 239b15 如柏拉图描述，芝诺说这样的悖论，是兴之所至的小玩笑。首先，巴门尼德编出这个悖论，用来嘲笑"数学派"所代表的毕达哥拉斯的"1>0.999..., 1-0.999...>0"思想。然后，他又用这个悖论，嘲笑他的学生芝诺的"1=0.999..., 但1-0.999...>0"思想。最后，芝诺用这个悖论，反过来嘲笑巴门尼德的"1-0.999...=0, 或1-0.999...>0"思想。譬如说，阿基里斯速度是10m/s，乌龟速度是1m/s,乌龟在前面100m。追乌龟要涉及到极限问题:t=lim(n->∞)(1/2+1/4+....1/ n)=1，而极限是个无限过程，这涉及到潜无限问题，即无限过程无法完成，即1只能无限逼近，不能达到1，乌龟是不能被追上的。 为此，潜无限只能假设空间不可以无限分割，这样悖论就不存在了。但实无限认为，无限过程可以完成，即极限可以达到1，乌龟可以追上，无限过程怎么完成，凭信仰.我们的实数，极限，微积分都建立上实无限上，对潜无限来说，实数，极限等都不成立，只能无限逼近. 3.飞矢不动悖论
透过第二次数学危机浅谈神秘可恨的微积分 作者：华中师范大学计算机科学系2010级郑舒月学号77 内容摘要：基于大家在学习微积分的过程中的困惑，本文试图透过第二次数学危机谈一 谈这位既神秘又可恨可怜的“消失了的量的鬼魂”，以“贝克莱悖论（Berkeley paradox）”、 “芝诺悖论（Zeno paradox）”等悖论了解牛顿和莱布尼兹关于微积分的理论及公式。由于 18世纪的微积分的理论并不严谨，这就有悖于数学这一学科的首要特点。关于“无穷小量究 竟是否为0”的问题：就无穷小量在当时实际应用而言，它必须既是0，又不是0。但从形式 逻辑而言，这无疑是一个矛盾。从而掀起了第二次数学危机。 关键词：第二次数学危机微积分 Abstract：Based on most of students have the confusion in the process of studying calculus, from the second mathematical crisis,this paper tries to talk about this mysterious,hateful and poor "disappeared quantity of ghosts", with "Berkeley paradox ", "Zeno paradox" and so on, to know about the theories and formulas of Newton and . Because of calculus theori es were not rigorous in the 18th century, this is contrary to the primary feature of the question-- " whether infinitely small quantity is zero" :as infinitely small quantity is concerned in practical application at that time, it must be zero, and is not zero at the same time. But from the view of the form logic , there is no doubt that this is a contradiction. Thus the second mathematical crisis broke out. Key words：The second mathematical crisis calculus 前言 大家知道，在公元前5世纪出现了数学基础的第一次灾难性危机，这就是无理数的诞 生。这次危机的产生和解决大大地推动了数学的发展。初次接触微积分时，大家都被弄迷糊 了，基本学完教材微积分的知识，仍是无数个疑问让大家百思不得其解，比如：无穷小量似
老虎悖论是博弈论中一个著名的逻辑悖论。 故事 国王要处决一个囚犯，但给他一个生还的机会。囚犯被带到5扇紧闭的门前，其中一扇后面关着一只老虎。国王 对囚犯说：“你必须依次打开这些门。我可以肯定的是，在你没有打开关着老虎的那扇门之前，你是无法知道老虎是在那扇门后。”显然，如果囚犯有可能在打开有老虎的那扇门前知道，就证明国王在撒谎，那么就可以活命。开门之前，囚犯进行了如下分析：假如老虎在第五扇门，那当他把前四扇门打开后都没发现老虎，那他肯定猜到老 虎在第五扇门中，因国王说过不论何时他也料不到老虎在哪扇门后，那国王的说话就错了。因此，老虎肯定不在 第五扇门中。同样道理，老虎也不在第四道门中，否则囚犯打开三道门后，只剩两道门，老虎既不在第五扇门后，那就会给他料到在第四扇门后；依次类推，老虎不存在任何一道门后；囚犯这时就不再多想，冒冒失失依次推门，结果老虎从第二扇门中跳了出来，把囚犯咬死了。国王看见了说：“不是跟你说了老虎在哪扇门后总是出乎你的意料了吗？现在你就是万料不到了。” 悖论分析 如果囚犯的推理成立，那么就算国王把老虎放在第五扇门后，也是“料想不到”，学者们争论的重点在于：这个推理究竟错在第几步？ 1.主张错在第一步 如果第一步是正确的，那么后面几步为什么是错的？所以第一步就错了。错在囚犯把国王的思路作为论据。 首先必须定义怎样算国王所谓的“知道”(或“意料”)，如果投机猜测算的话，那国王不论怎样放都不能保证不被猜中，所以带投机成分的猜测不能算“知道”（国王为了自身利益也会这么定义），设“知道”定义为“在即有事实下的逻辑推
理”，那么囚犯不仅要正确预测老虎，还要对其预测给出严格的逻辑证明才行。本例中不考虑没有老虎的情况，即 囚犯已知必有1老虎。作为囚犯，他在每次打开一个门前都会进行逻辑推理，如果能推出老虎是在即将打开的门 里就赢了，如果不能推出，他就只能打开这个门，如果打开后没有老虎就继续推理下一个门是否有老虎，依此类推。 然后，把问题从5个门简化为只有2个门，囚犯会在打开第一个门之前，对第一个门里是否有老虎做逻辑推理： 由于囚犯要引用国王的思路，故须先考虑国王思路是否是会错。 A.如果相信国王是不会错的，那么你不可能推测出第一个门里有没有，因为如果推测出就说明国王会错，所以在 这个前提下不可能知道。囚犯无法推测出第一个门里有没有老虎，必然要打开第一个门。 B.如果相信国王是会错的： 囚犯首先认为国王放第二个门是错的，但国王既然是会错的，他为何不会按囚犯认为错误的思路放第二个门呢？ 所以国王的思路就没法唯一的推测了。囚犯失去国王的思路做论据，无法推测出第一个门里有没有老虎，必然要 打开第一个门。 因此，国王应且只应放到第一个门中，则国王必胜。 推广到n个门的情况，只要国王不把老虎放到最后一个门，则国王必胜，囚犯必败。 2.主张错在第二步 故事中的囚犯最后决定相信“没有老虎”。但，国王并不知道囚犯是否会这样，所以的确不可能把老虎放在第五扇门。如果囚犯决定相信“一定有老虎”，那么在前四扇门都没有老虎之后，第五扇门后的老虎的确就变成“可预料的”了。 既然老虎在第五扇门的话，它一定是“可预料的”，那么当你已经开了三扇空门时，情况是怎么样？我们可以试着写成逻辑式子：前提一、老虎不可预料。前提二、老虎如果在第五扇门时，可预料。前提三、老虎不在第五扇门时，就一定在第四扇门。前提四、老虎如果在第四扇门时，可预料。结论：前提互相矛盾。 请注意：这时的逻辑推理中，既然前提互相矛盾，必定有一个以上不成立，那么可能性就是以下四个其中之一、 或是更多： A.老虎可预料。 B.老虎如果在第五扇门时，不可预料。 C.老虎不在第五扇门时，也不一定在第四扇门。 D.老虎如果在第四扇门时，不可预料。 二和四自身是矛盾命题，不考虑，三会导致老虎变成薛定谔的猫，也就是既存在亦非存在的状态（囚犯把老虎往 前门推是错误的，因为前提中包含“已经开了三扇空门”）。所以可能性只有一个：老虎可预料。但若老虎可预料，那么显示国王说谎，如果国王可能说谎，那么老虎也真的有可能消失。 这时的正确结论是：国王一定说谎，但他的谎言可能是“老虎可预料”，却也可能是“根本没老虎”，囚犯只是偏心于 一个可能性，结果帮国王圆谎罢了。 3.主张错在最后一步 如果“不可预料”并不是一种保证，而只意味“高机率”，“有老虎”才是保证，那么情况又整个改观。可以列成以下状况：