第 1 页 共 1 页 三角形解的个数问题
学了正、余弦定理后，不少同学为判断三角形的解的个数而烦恼．知道3边，2角1边，2边及其夹角时不会出现两解；在已知三角形的两边及其中一边的对角（即“边边角”）的条件下解三角形时，解的个数有几个呢？一解，二解还是无解？《必修5》在第8页到第9页的“探究与发现”《解三角形的进一步讨论》有详细说明．即
在已知ABC ?中的边长a ，b 和角A ，且已知a ，b 的大小关系，常利用正弦定理求出sin B 的值， ①若该值大于1，与sin 1B ≤矛盾，则无解；
②若该值小于或等于1，则要考虑a ，b 的大小关系及A 为锐角还是钝角：
若A 是钝角，且该值小于1，则有1解，若该值等于1，则无解；
若A 是锐角，且b a >，则有1解；
若b a <，且该值小于1，则有2解；b a <，且该值等于1，则有1解．
但分类层次多，分类种数多，注重形，又指定边角，不易被学生所接受．即本节能理解，操作应用起来也很不方便．下面提供“几招”供同学们选择，希望能帮助同学们顺利破解．
第一招：大角对大边
在已知ABC ?中的边长a ，b 和角A ，且已知a ，b 的大小关系，常利用正弦定理结合“大边对大角” 来判断三角形解的个数，一般的做法如下，首先利用大边对大角，判断出角B 与角A 的大小关系，然后求 出B 的值，根据三角函数的有界性求解．
【例1】在ABC ?
中，已知a =
b =45B =?，求A 、C 及
c ．
解：由正弦定理，得sin sin a B A b ===4590B =?
，sin sin b C c B === 当120A =?时，15C =?
，sin sin sin 45b C c B ?===?． 点评：在三角形中，sin sin a b A B A B >?>?>这是个隐含条件，在使用时我们要注意挖掘． 第二招：二次方程的正根个数
一般地，在ABC ?中的边长a ，b 和角A ，常常可对角A 应用余弦定理，并将其整理为关于c 的一元
二次方程2222cos 0c bc A b a -+-=，若该方程无解或只有负数解，则该三角形无解；若方程有一个正数 解，则该三角形有一解；若方程有两个不等的正数解，则该三角形有两解．
【例2】如图，在四边形ABCD 中，已知AD CD ⊥，10AD =，14AB =，
60BDA ∠=?，135BCD ∠=?，求BC 的长．
解：在ABD ?中，设BD x =，由余弦定理得2221410210cos60x x =+-??， 整理得210960x x --=，解得16x =．
由正弦定理，得sin 16sin30sin sin135BD CDB BC BCD ∠?===∠? 点评：已知三角形两边和其中一边的对角，我们可以采用正弦定理或余弦定理求解，从上述例子可以看出，
利用余弦定理结合二次方程来判断显得更加简捷．
第三招：画圆法
已知ABC ?中，A 为已知角（90≠?），先画出A ，确定顶点A ，再在A 的一边上确定顶点C ，使AC 边长为已知长度，最后以顶点C 为圆心，以CB 边长为半径画圆，看该圆与A 的另一边是否有交点，如果 没有交点，则说明该三角形的解的个数为0；若有一个交点，则说明该三角形的解的个数为1；若有两个 交点，则说明该三角形的解的个数为2．
【例3】在ABC ?中，60A ∠=?
，a =3b =，则ABC ?解的情况（ ）
（A ）无解 （B ）有一解 （C ）有两解 （D
）不能确定
解：在A 的一边上确定顶点C ，使3AC b ==，作60CAD ∠=?，
以顶点C 为圆心，以CB a ==AD 没有交点，
则说明该三角形的解的个数为0，故选A ．
A B
C
D A b C a D
解三角形中的取值范围问题 1、已知a, b, c分别为ABC 的三个内角A, B,C 的对边，且2b cosC 2a c 。（ 1）求角B的大小； （ 2）若ABC的面积为 3 ，求b的长度的取值范围。 解析：（ 1）由正弦定理得2sin BcosC 2sin A sin C ，在ABC 中， sin A sin( B C )sin B cosC cos B sin C ，所以 sin C (2cos B1) 0 。 又因为 0 C, sin C0 1 ，而 0B，所以B ，所以 cos B 123 （2）因为 S ABC3, 所以ac4 ac sin B 2 由余弦定理得 b2a2c22acscos B a2c2 ac ac，即 b2 4 ，所以 b 2 2、在△ABC中 , 角A, B, C所对的边分别为a, b,c,已知cosC(cos A 3 sin A) cos B 0 . (1)求角 B的大小;（2）若 a+c=1,求 b 的取值范围 【答案】解:(1) 由已知得cos(A B)cos Acos B 3 sin A cos B0即有sin Asin B 3 sin Acos B 0因为 sin A0 ,所以 sin B 3 cosB0 ,又 cos B0 ,所以 tan B 3 ,又 0B, 所以B. 1113 (2) 由余弦定理 , 有b2a2c22ac cos B .因为 a c 1,cosB, 有b23(a)2. 1,于是有1 1 224 又 0 a b21,即有b1. 42 3、已知，满足． （I ）将表示为的函数，并求的最小正周期； （II ）已知分别为的三个内角对应的边长，若，且，求的取值范围． 4、已知向量ur x r x 2 x ur r ( 3 sin，，f (x)m n m,1)n(cos ,cos) 44g 4 (1)若 f ( x) 1 ，求 cos(x) 的值； 3 (2)在 ABC 中，角 A、B、C 的对边分别是 a、b、c ，且满足 a cosC 1 c b ，求函数 f ( B) 的取值范围. 2 【解析】 解：（ 1） Q f x m n3sin x cos x cos2 x 3sin x 1cos x 1sin x 6 1, 4442222222
三角形解的个数问题 学了正、余弦定理后，不少同学为判断三角形的解的个数而烦恼.知道 3边，2 角1边，2边及其夹角时不会出现两解；在已知三角形的两边及其中一边的对角（即 “边边角”）的条件下解三角形时，解的个数有几个呢？ 一解，二解还是无解？《必 修5》在第8页到第9页的“探究与发现”《解三角形的进一步讨论》有详细说明.即 在已知ABC 中的边长a , b 和角A ，且已知a , b 的大小关系，常利用正弦定理 求出sinB 的值， ① 若该值大于1,与sinB 1矛盾，则无解； ② 若该值小于或等于 1,则要考虑a , b 的大小关系及 A 为锐角还是钝角： 若A 是钝角，且该值小于 1,则有1解，若该值等于1,则无解； 若A 是锐角，且b a ，则有1解； 若b a ，且该值小于1,则有2解；b a ，且该值等于1，则有1解. 但分类层次多，分类种数多，注重形，又指定边角，不易被学生所接受.即本 节能理解， 操作应用起来也很不方便.下面提供“几招”供同学们选择，希望能帮 助同学们顺利破解. 第一招：大角对大边 在已知ABC 中的边长a , b 和角A ，且已知a , b 的大小关系，常利用正弦定理 结合“大 边对大角” 来判断三角形解的个数，一般的做法如下，首先利用大边对大角，判断出角 B 与角A A B sinA sinB 这是个隐含条件，在使用时我们要注意 第二招：二次方程的正根个数 一般地，在ABC 中的边长a , b 和角A ，常常可对角A 应用余弦定理，并将其整 理为关于 c 的一元 二次方程c 2 2bccosA b 2 a 2 0 ,若该方程无解或只有负数解，则该三角形无解；若 方程 有一个正数 解，则该三角形有一解；若方程有两个不等的正数解, 【例2】如图，在四边形ABCD 中，已知AD CD , BDA 60 , BCD 135，求 BC 的长. 解：在ABD 中，设BD x ，由余弦定理得142 x 2 由正弦定理，得 BC BDsin CDB 16sin3° &2 ? 的大小关系，然后求 出B 的值，根据三角函数的有界性求解._ 【例1】在ABC 中，已知a -.3 , b ,2 , B 45，求A 、C 及c . 解:由正弦定理，得sinA 3si n 45 3 ,... R 45 90 , b a ，二 A 60 或 120 . b V2 2 、、2 sin 75 、、6 2 _______ _______ . sin 45 2 ， 、、2si n15 ■ 6 & sin 45 2 当A 60时，C 当A 120时，C 75 , 15 , bsin C sin B bsinC sin B 点评：在三角形中，a b 挖 掘. B
解决与三角形相关的取值范围问题 例1：在锐角ABC V 中，2A B =，则c b 的取值范围是 例2：若ABC V 的三边,,a b c 成等比数列，,,a b c 所对的角依次为,,A B C ，则sin cos B B +的取值范围是 例3：在ABC V 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且cos ,cos ,cos a C b B c A 成等差数列。（1）求B 的大小。 （2）若5b =，求ABC V 周长的取值范围。 例4：在ABC V 中，2222 3 a b c ab +=+，若ABC V ，则ABC V 的面积的最大值为
例5：（2008，江苏）满足 2,AB AC ==的ABC V 的面积的最大值是 例6：已知角,,A B C 是ABC V 三个内角，,,a b c 是各角的对边，向量 (1cos(),cos )2A B m A B -=-+u r ，5(,cos )82A B n -=r ，且98 m n ?=u r r （1）求tan tan A B ?的值。 （2）求 222 sin ab C a b c +-的最大值。 通过以上例题，我们发现与三角形相关的取值范围问题常常结合正弦定理、余弦定理、面积公式、数列、三角函数、基本不等式、二次函数、向量等知识综合考查。这一类问题有利于考查学生对知识的综合运用能力，是高考命题的热点。理顺这些基本知识以及技巧和方法可以提高我们解题的能力。希望本文能对同学们复习备考有所帮助。 巩固练习 1．在ABC V 中，2,1a c ==，则C ∠的取值范围为 2．若钝角三角形的三内角的度数成等差数列，且最大边长与最小边长的比值为m ，则m 的取值范围是
解三角形专题2 令狐采学 三角形解的个数问题 A为锐角A为钝角或直角图形 关系 bsinA
D ．既为充分也不必要条件 另解法 法1：大角对大边 在已知ABC ?中的边长a ，b 和角A ，且已知a ，b 的大小关系，常利用正弦定理结合“大边对大角” 来判断三角形解的个数，一般的做法如下，首先利用大边对大角，判断出角B 与角A 的大小关系，然后求 出B 的值，根据三角函数的有界性求解． 【例1】在 ABC ?中，已知a =b =，45B =?，求A 、C 及c ． 解：由正弦定理，得sin sin 2 a B A b ===，∵4590B =??>?>这是个隐含条件，在使用时我们要注意挖掘． 法2：二次方程的正根个数 一般地，在ABC ?中的边长a ，b 和角A ，常常可对角A 应用余弦定理，并将其整理为关于c 的一元 二次方程2222cos 0c bc A b a -+-=，若该方程无解或只有负数解，则该三角形无解；若方程有一个正数
文档 1．在锐角△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A 、B 、C 的对边，且B=2A ，求的a b 取值范围 2．在△ABC 中，,,a b c 分别为角A ，B ，C 的对边，设22222 ()()4f x a x a b x c =---，（1）若(1)0f =，且B －C= 3 π ，求角C. （2）若(2)0f =，求角C 的取值范围.
3．在锐角ABC ?中，,,a b c 分别是角,,A B C 2sin ,c A = （1）确定角C 的大小； （2）若c =ABC ?面积的最大值.
文档 4.已知△ABC中，角A，B，C，所对的边分别是a，b，c，且2(a2+b2－c2)=3ab． (1)求cos C； (2)若c=2，求△ABC面积的最大值．
5.在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且ab b a c -+=222. （Ⅰ）若tan tan tan tan )A B A B -= +?，求角B ； （Ⅱ）设(sin ,1)m A =u r ，(3,cos 2)n A =r ，试求?的最大值.
文档 6．ABC ?的三个内角A B C ，，依次成等差数列． （1）若C A B sin sin sin 2 =，试判断ABC ?的形状； （2）若ABC ?为钝角三角形，且c a >，试求代数式2 12222 C A A sin cos -的取值范围． 7．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对边长分别为,,a b c ，8=?，BAC θ∠=，
（1）求b c ?的最大值及θ的取值范围； （2）求函数22()()2cos 4 f π θθθ=++-. 8．在ABC △中，1tan 4A =，3tan 5 B =. （1）求角 C 的大小； （2）若ABC △
解三角形中的取值范围问题 1、已知a ,b ,c 分别为ABC ?的三个内角,,A B C 的对边，且2cos 2b C a c =-。 （1）求角B 的大小； （2）若ABC ?b 的长度的取值范围。 解析：（1）由正弦定理得2sin cos 2sin sin B C A C =-，在ABC ?中， sin sin()sin cos cos sin A B C B C B C =+=+，所以sin (2cos 1)0C B -=。 又因为0,sin 0C C π<<>，所以1cos 2B = ，而0B π<<，所以3B π= （2）因为1sin 2ABC S ac B ?= = 所以4ac = 由余弦定理得222222scos b a c ac B a c ac ac =+-=+-≥，即2 4b ≥，所以2b ≥ 2、在△ABC 中,角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,已知cos (cos )cos 0C A A B +-=. (1) 求角B 的大小;（2）若a +c =1,求b 的取值范围 【答案】解:(1)由已知得cos()cos cos cos 0A B A B A B -++= 即有sin sin cos 0A B A B = 因为sin 0A ≠,所以sin 0B B -=,又cos 0B ≠,所以tan B =, 又0B π<<,所以3B π= . (2)由余弦定理,有2222cos b a c ac B =+-. 因为11,cos 2a c B +== ,有22113()24b a =-+. 又01a <<,于是有 2114b ≤<,即有112 b ≤<. 3、已知，满足． （I ）将表示为的函数，并求的最小正周期； （II ）已知分别为的三个内角对应的边长，若，且，求的取值范围． 4、已知向量,1)4x m =u r ，2(cos ,cos )44 x x n =r ，()f x m n =u r r g (1)若()1f x =，求cos()3x π +的值； (2)在ABC ?中，角A B C 、、的对边分别是a b c 、、，且满足1cos 2a C c b + =，求函数()f B 的取值范围. 【解析】 解：（1）()2111cos cos cos sin ,4442222262 x x x x x x f x m n π??=?=+=++=++ ???Q
解三角形中的取值范围问题 1、已知a,b,c 分别为ABC ?的三个内角,,A B C 的对边，且2cos 2b C a c =-。 （1）求角B 的大小； （2）若ABC ?b 的长度的取值范围。 解析：（1）由正弦定理得2sin cos 2sin sin B C A C =-，在ABC ?中， sin sin()sin cos cos sin A B C B C B C =+=+，所以sin (2cos 1)0C B -=。 又因为0,sin 0C C π<<>，所以1 cos 2 B =，而0B π<<，所以3B π= （2）因为1 sin 2 ABC S ac B ?= = 所以4ac = 由余弦定理得2 2 2 2 2 2scos b a c ac B a c ac ac =+-=+-≥，即2 4b ≥，所以2b ≥ 2、在△ABC 中,角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,已知cos (cos )cos 0C A A B +=. (1) 求角B 的大小;（2）若a +c =1,求b 的取值范围 【 答 案 】 解 :(1) 由 已 知 得 cos()cos cos cos 0 A B A B A B -++= 即有 s i n n 3s i n c o s A A B = 因为sin 0A ≠,所以sin 0B B =,又cos 0B ≠,所以tan B =又0B π<<,所以3 B π =. (2)由余弦定理,有2 2 2 2cos b a c ac B =+-. 因为11,cos 2a c B +==,有2 2113()24 b a =-+. 又01a <<,于是有 21 14 b ≤<,即有112b ≤<. 3、已知(2cos 23sin ,1),(cos ,)m x x n x y =+=-，满足0m n ?=． （I ）将y 表示为x 的函数()f x ，并求()f x 的最小正周期； （II ）已知,,a b c 分别为ABC ?的三个内角,,A B C 对应的边长，若3)2 A ( =f ，且2a =，求b c +的取值范围．
课题 解三角形中的各类问题 考点一 利用正弦、余弦定理解三角形(重点保分型考点——师生共研) [必备知识] 1．正弦定理：a sin A ＝b sin B ＝c sin C ＝2R ，其中R 是三角形外接圆的半径．由正弦定理可以变形： (1)a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C ； (2)a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C . 2．余弦定理 a 2＝ b 2＋ c 2－2bc cos A ，b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ． 变形：cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ，cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ，cos C ＝a 2＋b 2－c 2 2ab . [典题例析] (2014·辽宁高考)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a >c .已知BA u u u r · BC uuu r ＝2，cos B ＝1 3 ，b ＝3，求： (1)a 和c 的值； (2)cos(B －C )的值． 解：(1)由BA u u u r ·BC uuu r ＝2得c ·a cos B ＝2，又cos B ＝13 ，所以ac ＝6. 由余弦定理，得a 2＋c 2＝b 2＋2ac cos B . 又b ＝3，所以a 2＋c 2＝9＋2×2＝13.
解????? ac ＝6，a 2＋c 2＝13，得????? a ＝2，c ＝3或????? a ＝3，c ＝2. 因为a >c ，所以a ＝3，c ＝2. (2)在△ABC 中，sin B ＝ 1－cos 2B ＝ 1－????132＝22 3， 由正弦定理，得sin C ＝c b sin B ＝23×223＝42 9. 因a ＝b >c ，所以C 是锐角， 因此cos C ＝ 1－sin 2C ＝ 1－????4292＝7 9 . 于是cos(B －C )＝cos B cos C ＋sin B sin C ＝13×79＋223×429＝23 27 . [类题通法] 正、余弦定理的应用原则 (1)正弦定理是一个连比等式，在运用此定理时，只要知道其比值或等量关系就可以通过约分达到解决问题的目的，在解题时要学会灵活运用． (2)运用余弦定理时，要注意整体思想的运用． [演练冲关] 在锐角三角形ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 所对的边，且满足3a －2b sin A ＝0. (1)求角B 的大小； (2)若a ＋c ＝5，且a >c ，b ＝7，求AB u u u r ·AC u u u r 的值． 解：(1)因为3a －2b sin A ＝0，所以3sin A －2sin B sin A ＝0. 因为sin A ≠0，所以sin B ＝3 2 . 又B 为锐角，则B ＝π 3 . (2)由(1)知B ＝π3，因为b ＝7，根据余弦定理得7＝a 2＋c 2－2ac cos π 3， 整理，得(a ＋c )2－3ac ＝7. 由已知a ＋c ＝5，则ac ＝6. 又a >c ，可得a ＝3，c ＝2. 于是cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝7＋4－947 ＝7 14， 所以AB u u u r ·AC u u u r ＝|AB u u u r |·|AC u u u r |cos A ＝cb cos A ＝2×7×7 14 ＝1.
高二数学解三角形与数列知识整理 1. 三角基本关系式： 22sin cos 1αα+=，sin tan cos α αα =． 2. 两角和与差的正弦、余弦和正切公式： ⑴()cos cos cos sin sin αβαβαβ-=+；⑵()cos cos cos sin sin αβαβαβ+=-； ⑶()sin sin cos cos sin αβαβαβ-=-；⑷()sin sin cos cos sin αβαβαβ+=+； ⑸()tan tan tan 1tan tan αβ αβαβ --= +，变形：()()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ-=-+； ⑹()tan tan tan 1tan tan αβ αβαβ ++= -，变形：()()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ+=+-． 3. 重要的诱导公式： ()sin sin ααπ-=，()cos cos ααπ-=-，()tan tan ααπ-=-． 三角形中常考点： sin()sin A B C +=；cos()cos A B C +=-； tan()tan A B C +=-，tan tan tan tan tan tan A B C A B C ++=??． 4. 二倍角的正弦、余弦和正切公式： ⑴sin 22sin cos ααα=； ⑵2 222 cos2cos sin 2cos 112sin ααααα=-=-=-， 变形：2 1cos 2cos 2αα+=，2 1cos 2sin 2 αα-=； ⑶222 sin 22sin cos 2tan tan 2cos 2cos sin 1tan αααα ααααα = ==--． 5. 一个综合性很强的例子： 22 222 cos 2cos sin (cos sin )(cos sin ) 1sin 2sin cos 2sin cos (sin cos )cos sin 1tan 1tan tan()sin cos tan 11tan 4 ααααααααααααααααααααααα--+== ++++---π====-+++ 6. 辅助角公式（一角一函数）： ()sin cos a b ααα?+=+，其中tan b a ?= ． 常见辅助角公式： sin cos x x x π? ?±=± ?4??， 2sin x x x π? ?=± ?4? ?， cos 2sin x x x π??±=± ?6??， sin 2sin x x x π? ?±=± ?3? ?， 3sin 2x x x π??=± ?6??， 3cos 2x x x π??±=± ?3? ?， 7. 根据“函数()()sin 00y x ω?ω=A +A >>，”的定义域，利用其单调性求其最值． 8. 设A 、B 两点的坐标分别为()11x y ，，()22x y ，，有： ⑴()1212,x x y y AB =--；⑵||(x AB =． 9. 设()11a x y =，，()22b x y =，，有： ⑴模长：21a x = +2b x =+ ⑵坐标运算：()1212a b x x y y +=++，，()1212a b x x y y -=--，，1212a b x x y y ?=+； ⑶平行与垂直：若a ∥b ，则12210x y x y -=；若a b ⊥，则12120a b x x y y ?=+=； ⑷数量积：cos a b a b θ?=， 12 1 cos a b a b x θ?== + 10. 正弦定理： 在C ?AB 中，有 2sin sin sin a b c R C ===A B ，其中，R 为C ?AB 的外接圆的半径． 正弦定理的变形公式： ①2sin a R =A ，2sin b R =B ，2sin c R C =； ②sin 2a R A = ，sin 2b R B =，sin 2c C R =； ③::sin :sin :sin a b c C =A B ； ④sin sin sin sin sin sin a b c a b c C C ++===A +B +A B ． 11. 射影定理：（要求会用两角和的正弦公式及正弦定理证明） cos cos cos cos cos cos .a b C c B b a C c A c a B b A =+=+=+，，
解三角形求取值范围问题 类型1：正弦定理+外接圆半径+三角函数 1.在ABC ?中，若3 sin 4 B =，10b =，则边长c 的取值范围是（ ） A. 15 (,)2 +∞ B. (10,)+∞ C. 40(0,]3 D. (0,10) 2．在△ABC 中，C=，AB=3，则△ABC 的周长为（ ） A ． B ． C ． D ． 3．在△ABC 中，，则△ABC 的周长为（ ） A ． B ． C ． D ． 4．在ABC ?中，c b a ,,分别为内角C B A ,,所对的边，若3=a ，3 π = A ，则c b +的最大值为 （ ） A ．4 B ． 33 C. 32 D ．2 5．在ABC ?中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知3a =，tan 21tan A c B b +=，则b c +的最大值为___6____． 6．在锐角△ABC 中， a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 所对的边，且 3a ＝2c sin A . (1)确定角C 的大小；(2)若c ＝3，求△ABC 周长的取值范围． 解：(1)已知a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 所对的边， 由 3a ＝2c sin A ，得 3sin A ＝2sin C sin A ，又sin A ≠0，则sin C ＝32 ， ∴C ＝ π3或C ＝2π3，∵△ABC 为锐角三角形，∴C ＝2π3舍去，∴C ＝π3 . (2)∵c ＝3，sin C ＝ 32，∴由正弦定理得：a sin A ＝b sin B ＝c sin C ＝3 3 2 ＝2，
即a ＝2sin A ，b ＝2sin B ，又A ＋B ＝π－C ＝2π3，即B ＝2π 3－A ， ∴a ＋b ＋c ＝2(sin A ＋sin B )＋ 3 ＝2???? ??sin A ＋sin ? ????2π3－A ＋ 3 ＝2? ????sin A ＋sin 2π3cos A －cos 2π3sin A ＋ 3 ＝3sin A ＋3cos A ＋ 3 ＝23? ????sin A cos π6＋cos A sin π6＋3＝23·si n ? ?? ??A ＋π6 ＋3， ∵△ABC 是锐角三角形，∴ π6＜A ＜π2，∴32＜sin ? ????A ＋π6≤1， 则△ABC 周长的取值范围是(3＋3，3 3 ]． 7. 在锐角△ABC 中，a ，b ，c 分别为∠A ，∠B ，∠C 的对边，且c=2，∠C=60°，求a +b 的取值范围． 解：由正弦定理知 ，则a= ，b= ，而C=60°， 所以a+b= =4sin （A+30°） 因为锐角△ABC ，C=60°，则30°＜A ＜90°，所以a+b ∈（2，4] ∴a+b 的取值范围为（2 ，4]． 8.已知角A 、B 、C 为△ABC 的三个内角，其对边分别为a 、b 、c ，若a 2＝b 2＋c 2+bc ，且a ＝23． （Ⅰ）若△ABC 的面积S ＝3，求b ＋c 的值； （Ⅱ）求b ＋c 的取值范围． 【解析】 （1）∵a 2 ＝b 2 ＋c 2 +bc ，∴2221 cos 22 b c a A bc +-= =-，即cosA ＝－12， 又∵A ∈(0，π)，∴A ＝2π3. 又由S △ABC ＝1 2bcsinA ＝3，所以bc ＝4， 由余弦定理得：12=a 2＝b 2＋c 2－2bc·cos 2π 3＝b 2＋c 2＋bc ，∴16＝(b ＋c)2，故b ＋c ＝4. （2）由正弦定理得：b sinB ＝c sinC ＝a sinA ＝23sin 2π3＝4，又B ＋C ＝π－A ＝π3， ∴b ＋c ＝4sinB ＋4sinC ＝4sinB ＋4sin(π3－B)＝4sin(B ＋π 3)， ∵0＜B ＜π3，则π3＜B ＋π3＜2π3，则32＜sin(B ＋π 3)≤1，即b ＋c 的取值范围是(23，4].
第一章 解三角形 一.正弦定理： 1.正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，并且都等于外 接圆的直径，即 R C c B b A a 2sin sin sin ===（其中R 是三角形外接圆的半径） 2.变形：1）sin sin sin sin sin sin a b c a b c C C ++===A +B +A B ． 2）化边为角：C B A c b a sin :sin :sin ::=； ;sin sin B A b a = ;sin sin C B c b = ;sin sin C A c a = 3）化边为角：C R c B R b A R a sin 2,sin 2,sin 2=== 4）化角为边： ;sin sin b a B A = ;sin sin c b C B =;sin sin c a C A = 5）化角为边： R c C R b B R a A 2sin ,2sin ,2sin === 3. 利用正弦定理可以解决下列两类三角形的问题： ①已知两个角及任意—边，求其他两边和另一角； 例：已知角B,C,a ， 解法：由A+B+C=180o ，求角A,由正弦定理;s in s in B A b a = ;sin sin C B c b = ;sin sin C A c a =求出b 与c ②已知两边和其中—边的对角，求其他两个角及另一边。 例：已知边a,b,A, 解法：由正弦定理B A b a sin sin =求出角B,由A+B+C=180o 求出角C ，再使用正弦定理C A c a sin sin =求出c 边 4.△ABC 中，已知锐角A ，边b ，则 ①A b a sin <时，B 无解； ②A b a sin =或b a ≥时，B 有一个解； ③b a A b < 三角形解的个数问题 学了正、余弦定理后，不少同学为判断三角形的解的个数而烦恼．知道3边，2角1边，2边及其夹角时不会出现两解；在已知三角形的两边及其中一边的对角（即“边边角”）的条件下解三角形时，解的个数有几个呢？一解，二解还是无解？《必修5》在第8页到第9页的“探究与发现”《解三角形的进一步讨论》有详细说明．即 在已知ABC ?中的边长a ，b 和角A ，且已知a ，b 的大小关系，常利用正弦定理求出sin B 的值， ①若该值大于1，与sin 1B ≤矛盾，则无解； ②若该值小于或等于1，则要考虑a ，b 的大小关系及A 为锐角还是钝角： 若A 是钝角，且该值小于1，则有1解，若该值等于1，则无解； 若A 是锐角，且b a >，则有1解； 若b a <，且该值小于1，则有2解；b a <，且该值等于1，则有1解． 但分类层次多，分类种数多，注重形，又指定边角，不易被学生所接受．即本节能理解，操作应用起来也很不方便．下面提供“几招”供同学们选择，希望能帮助同学们顺利破解． 第一招：大角对大边 在已知ABC ?中的边长a ，b 和角A ，且已知a ，b 的大小关系，常利用正弦定理结合“大边对大角” 来判断三角形解的个数，一般的做法如下，首先利用大边对大角，判断出角B 与角A 的大小关系，然后求 出B 的值，根据三角函数的有界性求解． 【例1】在ABC ? 中，已知a = b =45B =?，求A 、C 及 c ． 解：由正弦定理，得sin sin 2a B A b ===，∵4590B =??>?>这是个隐含条件，在使用时我们要注意挖掘． 第二招：二次方程的正根个数 一般地，在ABC ?中的边长a ，b 和角A ，常常可对角A 应用余弦定理，并将其整理为关于c 的一元 二次方程2222cos 0c bc A b a -+-=，若该方程无解或只有负数解，则该三角形无解；若方程有一个正数 解，则该三角形有一解；若方程有两个不等的正数解，则该三角形有两解． 【例2】如图，在四边形ABCD 中，已知AD CD ⊥，10AD =，14AB =， 60BDA ∠=?，135BCD ∠=?，求BC 的长． 解：在ABD ?中，设BD x =，由余弦定理得2221410210cos60x x =+-??， 整理得210960x x --=，解得16x =． 由正弦定理，得sin 16sin30sin sin135BD CDB BC BCD ∠?===∠? 点评：已知三角形两边和其中一边的对角，我们可以采用正弦定理或余弦定理求解，从上述例子可以看出， 利用余弦定理结合二次方程来判断显得更加简捷． 第三招：画圆法 已知ABC ?中，A 为已知角（90≠?），先画出A ，确定顶点A ，再在A 的一边上确定顶点C ，使AC 边长为已知长度，最后以顶点C 为圆心，以CB 边长为半径画圆，看该圆与A 的另一边是否有交点，如果 没有交点，则说明该三角形的解的个数为0；若有一个交点，则说明该三角形的解的个数为1；若有两个 交点，则说明该三角形的解的个数为2． 【例3】在ABC ?中，60A ∠=? ，a =3b =，则ABC ?解的情况（ ） （A ）无解 （B ）有一解 （C ）有两解 （D ）不能确定 解：在A 的一边上确定顶点C ，使3AC b ==，作60CAD ∠=?， 以顶点C 为圆心，以CB a ==AD 没有交点， 则说明该三角形的解的个数为0，故选A ． A B C D A b C a D 解三角形专题2 三角形解的个数问题 1 已知下列三角形中的两边及其中一边的对角，判断三角形是否有解，并指出有几解？ (1) 78105a ,b ,A ==∠= (2) 102080a ,b ,A ==∠= (3) 1060b ,c C ==∠= (4) 630a ,A ==∠= 答案:(1) 90A ∠>而a b <，故无解 (2) 90A ,a b sin A b ∠<<<，故有无解 (3) c b >，故有一组解 (4) 90A ,b sin A a b ∠<<<，故有两组解 2在△ABC 中，A =45°，AB =3，则“BC=2”是“△ABC 只有一解且C =60°”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既为充分也不必要条件 另解法 法1：大角对大边 在已知ABC ?中的边长a ，b 和角A ，且已知a ，b 的大小关系，常利用正弦定理结合“大边对大角” 来判断三角形解的个数，一般的做法如下，首先利用大边对大角，判断出角B 与角A 的大小关系，然后求 出B 的值，根据三角函数的有界性求解． 【例1】在ABC ? 中，已知a = b =45B =?，求A 、C 及 c ． 解：由正弦定理， 得sin sin a B A b ===∵4590B =??>?>这是个隐含条件，在使用时我们要注意挖掘． 法2：二次方程的正根个数 一般地，在ABC ?中的边长a ，b 和角A ，常常可对角A 应用余弦定理，并将其整理为关于c 的一元 二次方程2222cos 0c bc A b a -+-=，若该方程无解或只有负数解，则该三角形无解；若方程有一个正数 解，则该三角形有一解；若方程有两个不等的正数解，则该三角形有两解． 【例2】如图，在四边形ABCD 中，已知AD CD ⊥，10AD =，14AB = ， 60BDA ∠=?，135BCD ∠=?，求BC 的长． 解：在ABD ?中，设BD x =，由余弦定理得2221410210cos60x x =+-??， 整理得210960x x --=，解得16x =． 由正弦定理，得sin 16sin30sin sin135BD CDB BC BCD ∠?===∠?． 点评：已知三角形两边和其中一边的对角，我们可以采用正弦定理或余弦定理求解，从上述例子可以看出， 利用余弦定理结合二次方程来判断显得更加简捷． 法3：画圆法 已知ABC ?中，A 为已知角（90≠?），先画出A ，确定顶点A ，再在A 的一边上确定顶点C ，使AC 边长为已知长度，最后以顶点C 为圆心，以CB 边长为半径画圆，看该圆与A 的另一边是否有 A B C D 三角形解的个数问题解析 对于三角形个数问题，主要有两种方法进行判断，在具体的做题过程中，大家需要熟练运用，本文重点给大家梳理一下第二种方法，画圆法。 方法一、大角对大边，正弦定理求解 在已知的ABC 的边长,,a b A ，且已知,a b 的大小关系时，常利用正弦定理结合“大角对大边”来判断三角形解的个数。 例、在ABC 中，已知45,a b B ===?，求,,A C c 。 分析：由正弦定理可得， sin sin 2a B A b ==因为459060,120B A =??>?>，这是一个隐含条件，大家要记得挖掘使用。 方法二、画圆法 方法说明：已知ABC 中，A 为已知角（这个地方先不讨论直角），先画出A ，确定顶点A ，再在A 的一边上确定顶点C ，使AC 边长为已知长度，最后以顶点C 为圆心，以BC 边长为半径画圆，看该圆与A 的另一边是否有交点，如果没有交点，则说明三角形的个数为0个；若有一个交点，则说明该三角形解的个数为1个；若有两个交点，则说明该三角形解的个数为2个。 详细步骤： ①当A 为钝角或者直角时： 如上图所示，只有当 a b>时才能有一解，否则无解。 ②当A为锐角时： Case1、如果a b≥，则只有一解。 Case2、如果a b<，可以细分为以下三种情况： ◎若 sin a b A >，则有两个解； 画图说明： ◎若 sin a b A =，则只有一解； ◎若 sin a b A ，则无解。 1.已知ABC ?中，,,a b c 分别是角,,A B C 的对边，且 222 3sin 3sin 2sin sin 3sin ,B C B C A a +-==AB AC ? 的最大值. 2. 在ABC ?中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，向量(1,cos ),(cos 21,2)m A n A λλ==--- ，已知//m n （1）若2λ=，求角A 的大小； （2）若b c +=，求λ的取值范围. 3. 设ABC ?的内角所对的边分别为,,a b c ，且1cos 2 a C c b += （1）求角A 的大小； （2）若1a =，求ABC ?周长的取值范围. 4. 已知ABC ?是半径为R 的圆的内接?且222(sin sin ))sin R A C b B -=- （1）求角C ； （2）求ABC ?面积的最大值. 5. 已知向量(2,1),(sin ,cos())2 A m n B C =-=+ ，角,,A B C 分别为ABC ?的三边,,a b c 所对的角， （1）当m n ? 取得最大值时，求角A 的大小； （2）在（1）的条件下，当a =22b c +的取值范围. 6．已知(2cos ,1)a x x =+ ，(,cos )b y x = 且//a b （1）将y 表示成x 的函数()f x ，并求()f x 的最小正周期； （2）记()f x 的最大值为,,,M a b c 分别为ABC ?的三个内角A B C 、、对应的边长，若(),2A f M =且2a =，求bc 的最大值. 7. 在锐角ABC ?中，,,a b c 分别为内角,,A B C 的对边，设2B A =，求b a 的取值范围. 解三角形中两解的情况 例1．（1）在?ABC 中，已知032.0=A ，081.8=B ，42.9=a cm ，解三角形； （2）在?ABC 中，已知20=a cm ，28=b cm ，040=A ，解三角形（角度精确到01，边长精确到1cm ）。 解析：（1）根据三角形内角和定理， 0180()=-+C A B 000180(32.081.8)=-+066.2=； 根据正弦定理， sin 42.9sin81.880.1()sin sin32.0==≈a B b cm A ； 根据正弦定理， sin 42.9sin66.274.1().sin sin32.0==≈a C c cm A （2）根据正弦定理， 0 sin 28sin40sin 0.8999.20 ==≈b A B a 因为00＜B ＜0180，所以064≈B ，或0116.≈B ①当064≈B 时， 00000180()180(4064)76=-+≈-+=C A B ， sin 20sin7630().sin sin40==≈a C c cm A ②当0116≈B 时， 00000 180()180(40116)24=-+≈-+=C A B ，0 0sin 20sin2413().sin sin40==≈a C c cm A 例2 ）在ABC ?中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且满足25cos 25 A =，3A B A C ?= ． （I ）求ABC ?的面积； （II ）若6b c +=，求a 的值． 解 （1）因为25cos 25 A =，234cos 2cos 1,sin 255A A A ∴=-==，又由3A B A C ?= 得cos 3,bc A =5bc ∴=，1sin 22 ABC S bc A ?∴== （2）对于5bc =，又6b c +=，5,1b c ∴==或1,5b c ==，由余弦定理得 2222cos 20a b c bc A =+-=，25a ∴= 两招破解三角形解的个数问题 学了正、余弦定理后，不少同学为判断三角形的解的个数而烦恼，当三角形中已知两边和其中一边的对角时，可能出现一解、二解、无解等情况，虽然书上也有相应的方法，可是一些同学茫然依旧，下面提供“两招”供同学们选择，希望能帮助同学们顺利破解。 第一招：大角对大边 在已知三角形ABC 中的边长a ，b 和角A ，且已知a ，b 的大小关系，常利用正弦定理结合“大边对大角”来判断三角形解的个数，一般的做法如下，首先利用大边对大角，判断出角B 与角A 的大小关系，然后求出B 的值，根据三角函数的有界性求解。 例1. 在△ABC 中，已知3a =，2b =，?=45B ，求A 、C 及c 。 解：由正弦定理，得 23245sin 3b B sin a A sin =?== ， 因为??>?>这是个隐含条件，在使用时我们要注意挖掘。 第二招：二次方程的正根个数 一般地，在△ABC 中，已知a ，b 和角A ，常常可对角A 应用余弦定理，并将其整理为关于c 的一元二次方程0a b A cos bc 2c 2 22=-+-，若该方程无解或只有负数解，则该三角形无解；若方程有一个正数解，则该三角形有一解；若方程有两个不等的正数解，则该三角形有两解。 例2. 如图，在四边形ABCD 中，已知AD ⊥CD ，AD=10，AB=14，∠BDA=?60，∠BCD=?135，求BC 的长。 解：在△ABD 中，设BD=x ， 则BDA cos AD BD 2AD BD BA 222∠??-+=， 即???-+=60cos x 10210x 14222， 整理得096x 10x 2=--，解得16x 1=，6x 2-=（舍去）。 由正弦定理，得 2830sin 135sin 16CDB sin BCD sin BD BC =???=∠?∠=。 点评：已知三角形两边和其中一边的对角，我们可以采用正弦定理或余弦定理求解，从三招破解三角形解的个数问题
三角形解的个数问题专题
三角形解的个数问题
三角函数解三角形中的最值问题
解三角形中两解的情况
两招破解三角形解的个数问题
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