连续介质力学（固体）
Continuum Mechanics
Continuum Mechanics
Mechanics of Continua Mechanics of Continuous media
赵溥
赵亚溥
中国科学院力学研究所
非线性力学国家重点实验室
2010年秋季
微梁在液滴的作用下上翘
液气界面张力的横向效应
Ei i 规则就是视乘积的重复哑指标(d i di )为求和指标的约定在广开心一刻(笑话+科学漫画)
求和Einstein 规则，就是视乘积的重复哑指标(dummy indices)为求和指标的约定，在广义相对论里面到处都是，据说是一个印刷工人发现的，印Einstein 的相对论，发现每个罗嗦就去掉了“劳动人们就是智慧”重复的指标前面都有个Σ，罗嗦，就去掉了。“劳动人们就是智慧”.
思考题：
or
应用之一
超弹性中应用
参考文献：
Sunyk R, Steinmann P. On higher gradients in continuum-atomistic modelling. Int. J. Solid Struct., 40 (24): 6877-6896 (2003).
Guo X, Wang JB, Zhang HW. Mechanical properties of single-walled carbon nanotubes based on higher order Cauchy-Born rule. Int. J. Solid Struct., 43 (5): 1276-1290(2006).
<连续介质力学> QM 复习提纲(2010.12) 一、基本要求 1、掌握自由指标与哑指标的判别方法及表达式按指标展开； 2、掌握ij 与ijk e 的定义、性质及相互关系； 3、掌握二阶张量坐标转换的计算； 4、掌握二阶张量特征值、特征向量与三个不变量的计算方法； 5、掌握哈密顿微分算子及其基本计算； 6、掌握小变形应变张量、转动张量及转动向量的计算； 7、掌握正应变的计算； 8、掌握正应力、剪应力及应力向量的计算； 9、掌握应力张量与应变张量的对称性； 10、掌握能量密度及能通量密度向量的计算； 11、掌握各向同性线弹性体的广义胡克定律的两种形式； 12、掌握应力张量与体积膨胀率的关系； 13、掌握各向同性线弹性体的应变能密度函数； 14、会对材料的各个弹性参数之间的关系进行相互推导； 15、掌握从质点的运动方程推导Navier 方程的过程； 16、掌握从质点的运动方程出发推导纵横波的方程的过程； 17、掌握地震波速度与泊松比的关系； 18、掌握非均匀平面简谐波的传播特征； 19、掌握P 波、SV 波入射到自由界面上的传播特征； 20、掌握利用自由界面边界条件确定反射系数和反射波位移场的方法； 21、掌握Reilaygh 波和Stonely 波的传播特征； 22、掌握P 波入射到两种弹性体接触面上的反射系数和透射系数的计算方法； 二、复习题 简答论述题 1、试解释“连续介质”所必须满足的条件。 2、简述弹性动力学基本假设。 3、说明应力、应变、正应力、正应变、剪应力及剪应变的含义。 4、说明杨氏模量、泊松比、体积模量与剪切模量的物理含义。 5、简述小变形应变张量的几何解释。
岩石力学复习题B 一、选择题 1、岩石与岩体的关系是（ B ）。 （A）岩石就是岩体（B）岩体是由岩石和结构面组成的 （C）岩石是岩体的主要组成部分 2、大部分岩体属于（ C ）。 （A）均质连续材料（B）非均质材料 （C）非均质、非连接、各向异性材料 3、比较岩石抗压强度、抗剪强度和抗拉强度的大小为（ C ）。 （A）抗压强度<抗剪强度<抗拉强度（B）抗压强度>抗拉强度>抗剪强度（C）抗压强度>抗剪强度>抗拉强度 4、影响岩体力学性质各向异性的主要因素为（ B ）。 （A）地下水（B）结构面（C）构造应力场 5、巴西试验是一种间接测定岩石（ B ）强度的试验方法。 （A）抗压（B）抗拉（C）抗剪 6、蠕变是指介质在大小和方向均不改变的外力作用下，介质的（ B ）随时 间的变化而增大的现象。 （A）应力（B）应变（C）粘性 7、下列参数不是岩石强度指标的为（ A ）。 （A）弹性模量（B）内聚力（C）摩擦角 8、格里菲斯准则认为岩石的破坏是由于（ A ）。 （A）拉应力引起的拉裂破坏（B）压应力引起的剪切破坏 （C）压应力引起的拉裂破坏 9、按照库仑—莫尔强度理论，若岩石强度曲线是一条直线，则岩石破坏时破裂面与最大主应力作用方向的夹角为（ C ）。 （A）45°（B）45 2 ? ?+ （C） 45 2 ? ?- （D）60° 10、岩石质量指标RQD是（A ）以上岩芯累计长度和钻孔长度的百分比。A
（A ）10cm （B ）20cm （C ）30cm 11、下列关于岩石长期强度S ∞和瞬间强度S 0的关系正确的是（D ）。 （A ）S ∞＞S 0 （B ）S ∞≤S 0 （C ）S ∞≥S 0 （D ）S ∞＜S 0 12 A 13 C 二、 填空题 １． 就破坏机理而言，岩石材料破坏的主要形式有（ 断裂破坏 ）和 （ 流变破坏 ）两种。 ２． 岩石的弹性变形特性常用（ 弹性模量 ）和（ 泊松比 ）两 个常数来表示。 ３． 岩石变形性质按卸载后变形是否可以恢复可分为（ 弹性变形 ）和 （ 塑性变形 ）两类。 ４． 岩石的剪切模量G 可用岩石的弹性模量E 和泊松比μ计算，其计算公式为 （ 2(1)E μ+ ）；同样岩石的拉梅常数λ也可以用岩石的弹性模量 E 和泊松比μ计算，其公式为（ (1)(12)E μ μμ+- ）。 ５． 岩体基本质量应由受（ 岩石坚硬程度 ）和 （ 岩体完整程度 ）。 ６． 巴西劈裂试验中，P 为劈裂破坏时最大压力，D 为岩石圆盘的直径，T 为岩 石圆盘厚度，则岩石抗拉强度的公式为（ 2t P DT σπ= ）。 7本构关系，强度准则 8 松动和蠕动
发信人: Rubik (韦小宝@好事多磨), 信区: Mathematics 标题: 个人体会－如何学习《连续介质力学》－基本概念zz 发信站: 吉林大学牡丹园站(2008年04月07日00:04:04 星期一), 站内信件 作者为baibing@SimWe 连续介质力学，也叫连续统理论，或者叫理性力学。叫连续介质力学，是因为他的框 架内一个最重要得假设是“介质是宏观连续的”，可以用连续的数学理论来处理，显 然这种命名方法带有物理，力学的的痕迹。 叫连续统理论，实际上是借用了数学上的概念。学数学的人都知道，数学中就有“连 续统”的概念，比如，连续的线段，连续的曲面，和连续的体。由于数学上这些概念 都是抽象出来的，没有物理意义的，可以叫连续统。很多人不知道连续统，连续介质 ，我想实际上可以理解为不同学科的不同称呼。但是，说连续介质，实际上表示考虑了具体物理特性的连续统。 叫理性力学，实际上是从力学研究的方法论上来命名的。以那种理性的，数学化的， 公理化的思维和方法来研究力学。看过连续介质力学书籍的人应该是深有体会的。里 面到处充满这理性的思维的魅力。 说明：本人2004年在中国科学院研究生院学习了王文标教授的《连续介质力学基础》课程。这是本人一年后的感悟，欢迎我得同学一同加入进来讨论。 不知道从什么时候开始，我养成了一个习惯，那就是每接触一个新的学科，总是希望 获得这门学科最权威而且是最经典，最全面的书籍。当然这样的书籍是找不到的。但是，相对而样比较好的书籍还是有的，力学更是这样。 《非线性连续统力学》，北航出版社，李松年，黄执中的作品，80年代中期写的。这本书我第一次看到的时候，惊为天人所写，前半部分写的是张量分析，后面是连续统 力学，两方面都比一般的连续介质力学全面，而且讲解浅显易懂。特别是其前言和结语写的尤为出色，不仅概括了这门学科的梗概，而且指出了这门学科的前景，真是绝 佳的资料。 A.C.ERIGEN的《连续统力学》，这是我目前见到的最经典的书，实际上前面一本书很大一部分是参考了这本书编写的，当然，加入了自己的内容（这是我读后才知道的） 。这一点都不奇怪， A.C.ERIGEN是连续统力学的鼻祖人物，也是集大成者。和钱伟长先生关系很好。 英国东英格兰大学的查德威克先生写的《连续介质力学简明理论和例题》，虽然这本书只有短短一百多页，但是用逼一般力学书籍夺得数学，比数学书籍少得多的数学非 常准确地阐释了连续介质力学理论，尤其是和数学地结合方面，能够让你从本质上， 从数学的角度认识和理解连续介质力学。而且有大量的习题。 陈志达先生的《理性力学》。大家都知道陈志达先生吧，中国矿业大学的老师，98年
〈连续介质力学〉期末复习提纲一弹性力学部分 1、自由指标与哑指标判别（★） 2、自由指标与哑指标的取值范围约定 3、自由指标与哑指标规则 4> Einstein 求和约定（★） 5、Kronecker-delta 符号（★） 、、, f 0, i j 定乂：廿 性质:(1) §ij= Eji (2)e f -e)= % (3)戈=久+爲2+爲3=3 (6) S ik5kj=S ij 6、Ricci符号（置换符号或排列符号）（★） 1,北为1,2,3的偶排列 定义:e..k = -1, ■从为1,2,3的奇排列 0, 门，舛任两个相等 性质：(1) e ijk = e jki = e kij = -e Jik = -e ikj = -e kji (2)弓23 =幺23] =?】2 =1 (3)弓32=?2I =勺口=_1 ⑷e^ej=e ijk e k (5) (axb)k = egbj, a、b为向量 7、％与爲的关系（★） 魯i詁0 § ZQ
8、坐标变换（★） 向量情形： 旧坐标系： ox [兀込尹丘，仔，￡ 新坐标系： 州兀姿戸心乙列 变换系数： e[?e 尸（3 坐标变换关系： X ， i - 0ijXj x t = 0jXj 0厂（角）T 矩阵形式为： 011 012 013 011 0 】2 013 X * = 021 022 023 兀2 或[耳,兀;,堪]=[西，兀2,兀 021 022 023 A.几 2 A.3_ _^3_ .031 032 033. 011 012 013 A 011 012 013 兀2 — 021 022 023 %； 或[西，吃，兀3] = [X ，%；，兀；] 021 022 023 _031 032 033 _ .031 032 033. 张量情形 入芋与A“?是两个二阶张量，角是坐标变换系数矩阵，则有 気=炕0“九 矩阵形式为[匍=[0]|? ]|> ]，其中[A J=[A ]T （★） 9、 张量的基本代数运算 （1） 张量的相等 （2） 张量的加减法 （3） 张量的乘积 （4） 张量的缩并 （5） 张量的内积（★） （6） 张量的商法则 10、 几中特殊形式的张量 （1） 零张量 （2） 单位张量
连续介质力学基础 物质坐标和空间坐标 对于有限个质点组成的质点系统，我们可以采用给质点编号的方式区分各个质点;对于有无限个质点组成的系统，我们就采用坐标识别系统中各个质点。用于标示质点的坐标称为物质坐标132(,,)ξξξ；表示空间中几何点的坐标312(,,)x x x 则称为欧拉坐标。 两种坐标是通过连续介质的运动联系起来的：如果在时刻t 质点132(,,)ξξξ占据空间位置312(,,)x x x ，则二者之间具有函数关系： 123(,,,)k k x x t ξξξ= 由于这个函数必须是一一影射的，其反函数存在并且唯一： 123(,,,) k k x x x t ξξ= 因此，质点的位置矢量、速度等都可以等价地用物质坐标或空间坐标描述： (,)((),)t t =r ξr ξx 当我们采用物质坐标时，相应的基矢量： i i ?ξ ?=?r g 当我们采用空间（Euler ）坐标时，相应的基矢量： i i x ?= ?r g 两者之间具有转换关系： k k i k i k i i x x ?x ξξξ ????===????r r g g j j m m ?x ξ?=?g g k k i k i i k i ?x x x ξξξ????===????r r g g j j m m x ?ξ ?=?g g 物质导数 质点的速度： D D k k k k (,t )()x (,t )v t t x t ???==???r r ξr x ξv g 算子D D t 称为物质导数（全导数）。它的含义是保持物质坐标不变时，张量随时间的变
化率。 Euler 坐标基底矢量的物质导数： k k m i i ik m k D v v Dt x ?==Γ?g g g i i k k i m mk k D v v Dt x ?==-Γ?g g g 物质坐标（Langrange ）基底矢量的物质导数： ?(,)()i i D t Dt t ξ ??=??g r ξ 欧氏空间中矢量求偏导数的顺序是可以交换的，因此 ?(,)()i i i D t Dt t ξξ ???==???g r ξv 利用协变基与逆变基之间的关系，我们得到： () m i i i m ?D ????Dt ξ ?=??=???g v g g v g () m i i i m ?D ????Dt ξ ?=??=???g v g g g v Langrange 逆变基底矢量的物质导数可以由逆变基的定义式 j j i i ??δ?=g g 求得。显而易见： ??()0i m D Dt ?=g g 因此 i m i i m m ??D D ???Dt Dt ξ ??=-?=-??g g v g g g 该式左端是逆变基物质导数在协变基下的分量，因而 ????()???i i m i m m i i m D Dt ξ ξ ?=-??=-????=-??=-???g v g g g v v g g v g （物质坐标基底矢量的物质导数可表示为速度梯度与基矢量的点积；协变基的导数与哈密顿算子相邻；逆变基的导数与负的速度矢量相邻）
第二章连续介质力学的基本定律 在第一章中，我们仅考察了连续介质运动的运动学描述，而没有考虑到引起运动和变形的因素。本章我们将引入应力等概念，并给出连续介质力学的基本定律：质量守恒定律、动量平衡定律、动量矩平衡定律、能量守恒定律及熵不等式。 2.1 应力矢量与应力张量 在物体的运动中，物体的两部分之间或物体与其外界间的力学作用是通过力来描述的。在连续介质力学中我们主要研究三种类型的力：(1)一个物体的两部分之间的接触力；(2)由外界作用于物体边界上的接触力；(3)由外界作用于物体内部点的非接触力(如重力、离心力等)。在另一方面，由于(1)(2)型的力总是通过某一接触面发生作用的，因此通常把作用于单位接触面积上的接触力称为表面力，或简称面力；由于(3)型力作用于物体整个体积内所含的物质点，因此通常把它称为体积力，或简称体力。 在连续介质力学中重要的公理之一就是关于接触力形式的柯西假设。柯西假设在运动过程中的时刻t对于任何物质坐标X和与之对应的接触面S上的单位法矢量n，表面力的存在形式为 ()n t X t t,, =(2.101) 通常，我们规定()n t X t t,, =指向接触面S的外法向时为正，反之为负(见图2.1). 现在不管在X和S面与S'面的曲率相差多少。 为了研究物体内部的力学状态，我们把一物体用一假想平面S截断成两部分A和B，如图2.3所示。此时S面就是A和B相互作用的接触面，B部分对A部分一 点的作用，便可以用A部分截面上的表面力t n 来表征，我们称之为应力矢量。反过来，考虑A部分对B部分作用，按照牛顿的作用与反作用定律可得应力矢量 t n -。它与t n 作用于同一平面上的同一点处，并且大小相等，方向相反。即 t t n n =-(2.102) 对于物体内部的一点P，通过它可以有无穷多个方向的截面，而对于不同 方向的截面，应力矢量也就不同，这种复杂情况只有引进应力张量的概念才能充分地加以描述。为了刻画一点的应力状态，设想在一点P的附近任意给定一个单位法矢量为
力学学科分类---力学是从物理学中独立出来的一个分支学科 力学分类 力学是研究物质机械运动的科学。机械运动亦即力学运动,是物质在时间、空间中的集团变化,包括移动、转动、流动、变形、振动、波动、扩散等。力学原是物理学的一个分支学科,当物理学摆脱了机械(力学) 的自然观而获得进一步发展时,力学则在人类生产和工程技术的推动下按自身逻辑进一步演化和发展,而从物理学中独立出来。它既是探索自然界一般规律的基础科学,又是一门为工程服务的技术科学,担负认识自然和改造自然的任务。力学的研究对象是以天然的或人工的宏观的物质机械运动为主。但由于本学科自身的发展和完善以及现代科技发展所促成的学科的相互渗透,有时力学也涉及微观各层次中的对象及其运动规律的研究。机械运动是物质的最基本的运动形式,但还不能脱离其他运动(热、电磁、原子、分子运动及化学运动等) 形式而独立存在,只是在研究力学问题时突出地甚至单独地考虑机械运动形式而已。如果需要考虑不同运动之间的相互作用,则力学与其他学科之间形成交叉学科或边缘学科。力学产生很早, 古希腊的阿基米德(约公元前287 —212) 是静力学的奠基人。在欧洲文艺复兴运动以后,人们对力和运动之间的关系逐渐有了正确的认识。英国科学家牛顿继承和发展了前人的研究成果,提出了物体运动三定律,标志着力学开始成为一门科学。到了20 世纪,力学更得到蓬勃的发展。到目前为止,已形成了几十个分支学科,诸如一般力学、固体力学、结构力学、物理力学、流体力学、空气动力学、流变学、爆炸力学、计算力学、连续介质力学、应用力学、岩土力学、电磁流体力学、生物力学,等等。为了充分发挥这些力学文献的作用,必须对其进行科学的分类。本文拟对力学文献的分类标准、分类体系和分类方法进行研究。 一、力学文献的分类标准 根据力学文献的属性,其分类标准很多,但根据读者(用户) 的检索需求和文献分类法的立类列类原则,主要采用以下9 种标准: 1.1 根据研究对象分 根据研究各种物体不同的运动,力学就形成了不同的分类。例如:当物体是液体或气体时,就是流体力学;当物体是固体时,就是固体力学;当研究固体在外界加力影响下,内部的变形和应力状态,以及它受力的性能时,就是弹塑性力学;当研究物体的整体运动的时候,而不去仔细考虑物体每一部分的情况便是一般力学。 1.2 根据研究方法分 根据研究方法,力学可以分为实验力学、理论力学、物理力学、理性力学和计算力学等。1.3 根据研究的时代分 根据研究的时代,力学可以分为经典力学和近代力学。从牛顿至哈密顿的理论体系称为经典
张量 张量是用来描述矢量、标量和其他张量之间线性 关系的几何对象。这种关系最基本的例子就是点积、 叉积和线性映射。矢量和标量本身也是张量。张量可 以用多维数值阵列来表示。张量的阶（也称度或秩） 表示阵列的维度，也表示标记阵列元素的指标值。例 如，线性映射可以用二位阵列--矩阵来表示，因此该 阵列是一个二阶张量。矢量可以通过一维阵列表示， 所以其是一阶张量。标量是单一数值，它是0阶张量。 张量可以描述几何向量集合之间的对应关系。例 如，柯西应力张量T 以v 方向为起点，在垂直于v 终点方向产生应力张量T(v)，因此，张量表示了这两个 向量之间的关系，如右图所示。 因为张量表示了矢量之间的关系，所以张量必 须避免坐标系出现特殊情况这一问题。取一组坐标 系的基向量或者是参考系，这种情况下的张量就可 以用一系列有序的多维阵列来表示。张量的坐标以 “协变”（变化规律）的形式独立，“协变”把一种 坐标下的阵列和另一种坐标下的阵列联系起来。这 种变化规律演化成为几何或物理中的张量概念，其 精确形式决定了张量的类型或者是值。 张量在物理学中十分重要，因为在弹性力学、流体力学、广义相对论等领域中，张量提供了一种简洁的数学模型来建立或是解决物理问题。张量的概念首先由列维-奇维塔和格莱格里奥-库尔巴斯特罗提出，他们延续了黎曼、布鲁诺、克里斯托费尔等人关于绝对微分学的部分工作。张量的概念使得黎曼曲率张量形式的流形微分几何出现了替换形式。 历史 现今张量分析的概念源于卡尔?弗里德里希?高斯在微分几何的工作，概念的 制定更受到19世纪中叶代数形式和不变量理论的发展[2]。“tensor ”这个单词在 1846年被威廉·罗恩·哈密顿[3]提及，这并不等同于今天我们所说的张量的意思。 [注1]当代的用法是在1898年沃尔德马尔·福格特提出的[4]。 “张量计算”这一概念由格雷戈里奥·里奇·库尔巴斯特罗在1890年《绝对微分几何》中发展而来，最初由里奇在1892年提出[5]。随着里奇和列维-奇维塔1900年的经典著作《Méthodes de calcul différentiel absolu et leurs applications 》（绝对微分学的方法及其应用）出版而为许多数学家所知[6]。 在20世纪，这个学科演变为了广为人知的张量分析，1915年左右，爱因斯坦的广义相对论理论中广泛应用了这一理论。广义相对论完全由张量语言表述。爱因斯坦曾向几何学家马塞尔·格罗斯曼学习过张量方法，并学得很艰苦。[7]1915 年到1917年之间，列维·奇维塔 在与爱因斯坦互相尊重互相学习的氛围下，对爱因斯坦的张量表述给与了一些指正。 “我很佩服你的计算方法的风采，它必将使你在数学大道上策马奔腾，然而我们却只能步履蹒跚。”阿尔伯特·爱因斯坦，意大利相对论数学家[8]。 柯西应力张量是一个二阶张量。该张量的元素在三维笛卡尔坐标系下组成如下矩 阵： 312()()()111213212223313233 T T T =e e e σσσσσσσσσσ??=???????????? 该矩阵的各列表示作用在 e 1,e 2,e 3方向正方体表面上的应力（单位面积上的力）。
<连续介质力学> 期末复习提纲—弹性波理论部分 1、无界线弹性体中的波传播 （1）Helmholtz 定理 a. 定理内容 b. 位移场的分解---无旋部分与无散部分 (1)(2u u u =+ ，其中(1)0u ??= ，(2)0u ??= c. 转动向量与体积膨胀率的位移场表示 (2)21122 u ωψ=??=-? ， (1)2u θφ=??=? （2）无界线弹性体中的P 波与S 波 a. 体积膨胀率与转动向量满足的波动方程 （★） 2212211 112,f c c c λμ θθ ρ +?+??== 2 2 2222211,2f c c c μωωρ ?+??== b. Helmholtz 势满足的波动方程 222 2 22221211,b B c t c t φφφψ???+=?+=?? c. 位移场无旋部分与无散部分满足的波动方程 2 (1) (1)2 (2) (2) 221 2 1 1 ,u b u u B u c c ?+?=?+??= d. 纵波与横波的相速度及其比值 （★） 2 1121221222) 21c c c c c c c c ν??=- ????===?? ???= -?? ??? ?????? 2、无界线弹性体中的平面波 （1）波阵面、平面波与球面波 （2）一般平面波及其描述 （★）
a. 一般平面波位移场的形式 （★） (,)()u x t f x n ct d =?- b. 纵横波满足的条件及相速度公式 （★） 2 0()()()0d n n d c c P wave S wave c d n d n μρλμ?=±?=---++?= c. 一般平面波的能量密度与能通量密度向量 （★） ① 平面纵波的情况 （★） 能量密度： [][][] 222211112 21111 2211()()22 ()p ij ij i i e u u c f x n c t c f x n c t c f x n c t ετρρρρ=+''=?-+?-'=?- 能通量密度向量：[]2 311()p ij i j u e n c f x n c t ?τρ'=-=?- 二者关系： 1p p c n ?ε= ② 平面横波的情况 （★） 能量密度： [][][] 2222212122 211 12 2 11()()22 ()s ij ij i i e u u c f x n c t c f x n c t c f x n c t ετρρρρ=+''= ?-+?-'=?- 能通量密度向量：[ ]2 321()s ij i j u e n c f x n c t ?τρ'=-=?- 二者关系： 2s s c n ?ε= （2）平面简谐波及其描述 （★） a. 描述平面简谐波的物理量 （★） kc ω=，2T π ω = ，12T ωαπ= =，22c cT k ππ ωΛ=== 2k n n c ωπ==Λ ， 22 2i i k k k k k c ω?===
重庆大学学术型硕士研究生培养方案 力学 专业代码：080100 一、培养目标 本学科专业培养能够从事力学方面的教案、科研或相关工程设计工作的高层次人才。学位获得者应具备坚实的力学和数学基础理论和较宽广的专业知识；较为熟练地掌握一门外国语；了解本学科理论研究和工程应用的前沿动态；具有一定的理论分析、实验研究及数值分析能力，能结合与本学科相关的实际问题从事科学研究或工程技术工作，并取得较系统的研究成果。 二、学科、专业及研究方向简介 重庆大学工程力学专业创建于1978年。1981年获得固体力学硕士学位授权点，是全校最早的硕士授权点之一；1986年获得固体力学博士学位授权点，是原重庆大学八个最早获得博士学位授权点的学科之一；2003年获得力学博士学位授权一级学科；2007年力学一级学科被确立为重庆市重点学科。 重庆大学力学博士学位授权一级学科包括固体力学、工程力学、流体力学和一般力学与基础力学四个二级学科博士学位授权点；固体力学、工程力学、流体力学和一般力学与基础力学四个硕士学位授权点。本学科拥有先进的MTS材料实验机和并行计算机系统等一批重要设备，为力学理论、实验和数值研究提供必要的条件。近年来，本学科承担了数十项国家和省部级工程以及大量重点横向合作工程，获得了丰富的科研成果。 本学科主要研究领域： 1多场耦合理论与智能材料及结构力学 2生物材料力学与高性能复合材料制备 3材料与结构的强度与破坏 4超常环境下材料及其微结构特性的理论与测试 5纳M材料特性及其微结构机理、多尺度及跨尺度分析 6结构动态特性及失效 7结构运动与变形耦合动力学及控制 8微重力下晶体生长过程的流体动力学、热张力流和浮力流理论、方法及其应用 9输配电装备及系统安全的关键力学问题 10多孔介质力学及其应用 11生物力学 12振动测试理论与技术 13智能与虚拟仪器的研制与开发 14 可压缩流体动力学 15 超音速流和冲击波 16 线性波和非线性波 1 / 8 主要研究方向及其内容： 1材料的强度理论与破坏机理
第六章连续介质力学方法 连续介质力学方法的出发点是支护结构与围岩相互作用，组成一个共同承载体系，其中围岩是主要的承载结构，支护结构是镶嵌在无限或半无限介质孔洞上的加劲环。它的特点能反映出隧道开挖后围岩的应力状态。 解析法：即根据所给定的边界条件，对问题的平衡方程、几何方程和物理方程直接求解。由于数学上的困难，现在还只能对少数问题求解。 数值法：主要是指有限元法。它把围岩和支护结构都划分为若干单元，然后根据能量原理建立单元刚度矩阵，并形成整个系统的总体刚度矩阵，从而求出系统上各个节点的位移和单元的应力。它不但可以模拟各种施工过程和各种支护效果，同时可以分析复杂的地层情况(如断层、节理等地质构造以及地下水等)和材料的非线性等。 6.1 解析法 以均匀内压水工隧洞的计算为例，说明解析法计算的基本思路。 (1)衬砌应力的分析 水工隧洞衬砌厚度一般在20 cm以上、故力学分析中可将其视为厚壁圆筒。如图6.1.1 （a）所示。在均匀内水压力作用下，厚壁圆筒的内力分析是轴对称问题。 衬砌的径向应变为： 近似按平面应变问题分析衬砌，则由平面问题极坐标解的物理方程可写为： 作用在单元体上的外荷载为零，且在轴对称情况下单元体内力分量中的剪应力也为零，故根据平面问题极坐标解的静力平衡力程式，有：
(2)洞室围岩应力 分析均匀内力圆形水工隧洞围岩的应力仍可采用厚壁圆筒原理。 由式(6.1.16)可知：内水压力使围岩产生的切向应力σt是拉应力。若σt 的量值大于围岩中原来存在的压应力，且差值超过岩体的抗拉强度，则当衬砌抗拉强度不足时岩体将与衬砌一起发生开裂。将式(6.1.16)中的r0理解为毛洞半径，Pa理解为内压力，则该式就成为无衬砌圆形水工隧洞围岩应力的计算式。 (3)衬砌与围岩共同作用的计算 分析均匀内力圆形水工隧洞围岩的应力仍可采用厚壁圆筒原理。
第一章流体力学基础知识 本章先介绍流体力学的基本任务，研究方向和流体力学及空气动力学的发展概述。然后介绍流体介质，气动力系数，矢量积分知识。最后引入控制体，流体微团及物质导数的概念。为流体力学及飞行器空气动力学具体知识的学习做准备。 1.1流体力学的基本任务和研究方法 1.1.1流体力学的基本任务 流体力学是研究流体和物体之间相对运动（物体在流体中运动或者物体不动而流体流过物体）时流体运动的基本规律以及流体与物体之间的作用力。而空气动力学则是一门研究运动空气的科学。 众所周知，空气动力学是和飞机的发生，发展联系在一起的。在这个意义上，这门科学还要涉及到飞机的飞行性能，稳定性和操纵性能问题。事实上，空气动力学研究的对象还不限于飞机。 空气相对物体的运动，可以在物体的外部进行，像空气流过飞机表面，导弹表面和螺旋浆等；也可以在物体的内部进行，像空气在风洞内部和进气道内部的流动。在这些外部或内部流动中，尽管空气的具体运动和研究运动的目的有所不同，但它们都发生一些共同的流动现象和遵循一些共同的流动规律，例如质量守恒，牛顿第二定律，能量守恒和热力学第一定律，第二定律等。 研究空气动力学的基本任务，不仅是认识这些流动所发生现象的基本实质，要找出这些共同性的基本规律在空气动力学中的表达，并且研究如何应用这些规律能动地解决飞行器的空气动力学问题和与之相关的工程技术问题，并对流动的新情况、新进展加以预测。 1.1.2空气动力学的研究方法 空气动力学研究是航空科学技术研究的重要组成部分，是飞行器研究的“先行官”。其研究方法，如同物理学各个分支的研究方法一样，有实验研究、理论分析和数值计算三种方法。这些不同的方法不是相互排斥，而是相互补充的。通过这些方法以寻求最好的飞行器气动布局形式，确定整个飞行范围作用在飞行器的力和力矩，以得到其最终性能，并保证飞行器操纵的稳定性。 实验研究方法在空气动力学中有广泛的应用，其主要手段是依靠风洞、水洞、激波管以及测试设备进行模拟实验或飞行实验。其优点在于，它能在所研究的问题完全相同或大致相同的条件下，进行模拟与观测，因此所得到的结果较为真实、可靠。但是，实验研究的方法往往也受到一定的限制，例如受到模拟尺寸的限制和实验边界的影响。此外实验测量的本身也会影响所得到结果的精度，并且实验往往要耗费大量的人力和物力。因此这种方法亦常常遇到困难。 理论分析的方法一般包括以下步骤；（1）通过实验或观察，对问题进行分析研究，找出其影响的主要因素，忽略因素的次要方面，从而抽象出近似的合理的理论模型；（2）运用基本定律，原理和数学分析，建立描写问题的数学方程，以及相应的边界条件和初始条件；（3）利用各种数学方法准确地或近似地解出方程；（4）对所得解答进行分析、判断，并通过必要的实验与之修正。 理论分析方法的特点，在于它的科学抽象，能够用数学方法求得理论结果，以及揭示问题的内在规律。然而，往往由于数学发展水平的限制，又由于理论模型抽象的简化，因而无法满足研究复杂的实际问题的需要。 上个世纪七十年代以来，随着大型高速计算机的出现，以及一系列有效的近似计算方法（例如有限差分方法、有限元素法和有限体积法等）的发展，使得计算流体力学（CFD）数值方法在空气动力学研究方法中的作用和地位不断提高。与实验方法相比，其研究所需要费用比较少。对有些无法进
第二章 连续介质力学的基本定律 在第一章中，我们仅考察了连续介质运动的运动学描述，而没有考虑到引起运动和变形的因素。本章我们将引入应力等概念，并给出连续介质力学的基本定律：质量守恒定律、动量平衡定律、动量矩平衡定律、能量守恒定律及熵不等式。 2.1 应力矢量与应力张量 在物体的运动中，物体的两部分之间或物体与其外界间的力学作用是通过力来描述的。在连续介质力学中我们主要研究三种类型的力：(1)一个物体的两部分之间的接触力；(2)由外界作用于物体边界上的接触力；(3)由外界作用于物体内部点的非接触力(如重力、离心力等)。在另一方面，由于(1)(2)型的力总是通过某一接触面发生作用的，因此通常把作用于单位接触面积上的接触力称为表面力，或简称面力；由于(3)型力作用于物体整个体积内所含的物质点，因此通常把它称为体积力，或简称体力。 在连续介质力学中重要的公理之一就是关于接触力形式的柯西假设。柯西假设在运动过程中的时刻t 对于任何物质坐标X 和与之对应的接触面S 上的单位法矢量n ，表面力的存在形式为 ()n t X t t ,,= (2.101) 通常，我们规定()n t X t t ,,=指向接触面S 的外法向时为正，反之为负(见图2.1). 现在不管在X 和S 面与S'面的曲率相差多少。 为了研究物体内部的力学状态，我们把一物体用一假想平面S 截断成两部分A 和B ，如图2.3所示。此时S 面就是A 和B 相互作用的接触面，B 部分对A 部分一点的作用，便可以用A 部分截面上的表面力t n 来表征，我们称之为应力矢量。反过来，考虑A 部分对B 部分作用，按照牛顿的作用与反作用定律可得应力矢量t n -。它与t n 作用于同一平面上的同一点处，并且大小相等，方向相反。即 t t n n =- (2.102) 对于物体内部的一点P ，通过它可以有无穷多个方向的截面，而对于不同方向的截面，应力矢量也就不同，这种复杂情况只有引进应力张量的概念才能充分地加以描述。为了刻画一点的应力状态，设想在一点P 的附近任意给定一个单位法矢量为 (),cos ,cos ,cos 321ααα=n ()n e n e n e ???=321,, (2.103) 的平截面。相应地，过P 点沿活动标架作三个坐标平面。于是它们在物体内截得一个微小四面体，如图2.4所示。在这个微小四面体的每一个面上，都受有物体的其余部分给它的作用力，不妨设在ABC 上受到的作用力为t A ?，在PBC ，PCA 与PAB 上的作用力分别为-t A 11?、-t A 22?与-t A 33?，其中?A 与?A i 分别为各微小平面的面积，作用于微小四面体ABCP 上单位质量的体力为b 。 现在假设对物体的任何部分，特别是对微小四面体ABCP 而言，动量的变化率与作用的合力成正比。虽然这是个很自然且牛顿第二定律更强的新假设(因为牛顿第二定律只适用于整个物体)，然而，它却不能用实验直接验证，因为不可
第二章 连续介质力学的基本定律 在第一章中，我们仅考察了连续介质运动的运动学描述，而没有考虑到引起运动和变形的因素。本章我们将引入应力等概念，并给出连续介质力学的基本定律：质量守恒定律、动量平衡定律、动量矩平衡定律、能量守恒定律及熵不等式。 2.1 应力矢量与应力张量 在物体的运动中，物体的两部分之间或物体与其外界间的力学作用是通过力来描述的。在连续介质力学中我们主要研究三种类型的力：(1)一个物体的两部分之间的接触力；(2)由外界作用于物体边界上的接触力；(3)由外界作用于物体内部点的非接触力(如重力、离心力等)。在另一方面，由于(1)(2)型的力总是通过某一接触面发生作用的，因此通常把作用于单位接触面积上的接触力称为表面力，或简称面力；由于(3)型力作用于物体整个体积内所含的物质点，因此通常把它称为体积力，或简称体力。 在连续介质力学中重要的公理之一就是关于接触力形式的柯西假设。柯西假设在运动过程中的时刻t 对于任何物质坐标X 和与之对应的接触面S 上的单位法矢量n ，表面力的存在形式为 ()n t X t t ,,= (2.101) 通常，我们规定()n t X t t ,,=指向接触面S 的外法向时为正，反之为负(见图2.1). 现在不管在X 和S 面与S'面的曲率相差多少。 为了研究物体内部的力学状态，我们把一物体用一假想平面S 截断成两部分A 和B ，如图2.3所示。此时S 面就是A 和B 相互作用的接触面，B 部分对A 部分一点的作用，便可以用A 部分截面上的表面力t n 来表征，我们称之为应力矢量。反过来，考虑A 部分对B 部分作用，按照牛顿的作用与反作用定律可得应力矢量t n -。它与t n 作用于同一平面上的同一点处，并且大小相等，方向相反。即 t t n n =- (2.102) 对于物体内部的一点P ，通过它可以有无穷多个方向的截面，而对于不同方向的截面，应力矢量也就不同，这种复杂情况只有引进应力张量的概念才能充分地加以描述。为了刻画一点的应力状态，设想在一点P 的附近任意给定一个单位法矢量为 (),cos ,cos ,cos 321ααα=n ()n e n e n e ???=321,, (2.103) 的平截面。相应地，过P 点沿活动标架作三个坐标平面。于是它们在物体内截得一个微小四面体，如图2.4所示。在这个微小四面体的每一个面上，都受有物体的其余部分给它的作用力，不妨设在ABC 上受到的作用力为t A ?，在PBC ，PCA 与PAB 上的作用力分别为-t A 11?、-t A 22?与-t A 33?，其中?A 与?A i 分别为各微小平面的面积，作用于微小四面体ABCP 上单位质量的体力为b 。 现在假设对物体的任何部分，特别是对微小四面体ABCP 而言，动量的变化率与作用的合力成正比。虽然这是个很自然且牛顿第二定律更强的新假设(因为牛顿第二定律只适用于整个物体)，然而，它却不能用实验直接验证，因为不可能做内部表面接触力的直接测定，这种力的存在与大小只能由其它量的观测推知。描述一点是应力张量，描述通过一点的某一截面是应力矢量。 对于微小四面体ABCP ，柯西定律给出 t A t A t A t A b V ?????---+112233ρ
摘要：弹塑性力学在材料加工工程中的应用相当广泛，首先说明下材料加工工程包括焊接、铸造、塑性成形三个方面。我主要是简单说明下弹塑性力学在金属塑性成形方面的应用。金属的变形分为两个阶段：弹性变形阶段与塑性变形阶段，对这两个阶段的研究相应的就分为弹性力学跟塑性力学[1]。 关键词：弹性力学、塑性力学、塑性成形、有限元、屈服准则、滑移线、应力、应变 首先来简单介绍下两个学科。弹性力学也称弹性理论，主要研究弹性体在外力作用或温度变化等外界因素下所产生的应力、应变和位移，从而解决结构或机械设计中所提出的强度和刚度问题。在研究对象上，弹性力学同材料力学和结构力学之间有一定的分工[2]。材料力学基本上只研究杆状构件；结构力学主要是在材料力学的基础上研究杆状构件所组成的结构，即所谓杆件系统；而弹性力学研究包括杆状构件在内的各种形状的弹性体。 弹性力学是固体力学的重要分支，广泛应用于建筑、机械、化工、航天等工程领域。弹性体是变形体的一种，它的特征为：在外力作用下物体变形，当外力不超过某一限度时，除去外力后物体即恢复原状。绝对弹性体是不存在的。物体在外力除去后的残余变形很小时，一般就把它当作弹性体处理。 首先来简单介绍下弹性力学在塑性成形方面的应用。弹性力学一般来解决两个方面的问题，一个是平面问题，一个是空间问题。而平面问题的解决包括平面问题的直角坐标解答、平面问题的极坐标解答、平面问题的有限单元法解答。应用弹性力学来解决塑性成形方面的应力、应变方面的问题，恰当的应力大小、应变程度就有金属的不同工艺性能。分析各种结构物或其构件在弹性阶段的应力和位移，校核它们是否具有所需的强度跟刚度，并寻求或改进它们的计算方法。空间问题解决的是运用平衡微分方程来分析物体内任一点的应力状态、最大与最小的应力等问题[3]。 有限元法在塑性成形方向的应用有这重要的作用，我简单说下有限元法在板料冲压方面的应用。在冲压板料成形加工中，钣金件展开计算非常重要。求得钣金件的展开毛坯，是分析钣金件变形程度、设计工艺以及拟定工艺规程的前提。合理的毛坯形状和尺寸，可以明显改善冲压过程中板料变形不均匀的现象，充分发挥金属的成形性能。在钣金件的展开方法中，基于全量理论的有限元逆算法只
连续介质力学复习题 （1）1.10， 1.19 答： 120 122 22m 32 ()()()()11( )|1211 () 12 1 (1)(2)M(x)k 1=x =const D C (1)(2)2-2m=0.m=1. m x x m m m x m m m M x x kD d x k d kC x m m kC x x m m kC x m m m m ξξξξξ ξξ+++++-=-=-=-++=-++=++++????令D(x)=Cx Cx 所以：
（2）2.13，考察一个被约束在圆形轨道上作匀速运动的质点。设v 是任意时刻的速度，质点的加速度是多少，即力量dv/dt 是多少？ 2.19，两个矢量123u=,,u u u （）和123v=,,v v v （）的矢量积是矢量w=u v ?， 其分量为证明上式可以简写为 =i ijk j k u v ωε 证明：反证法：有 =i ijk j k u v ωε 所以有11=jk j k u v ωε 22=jk j k u v ωε 33=jk j k u v ωε 1111111121211313123231212113232122221313113333=++++++++u v u v u v u v u v u v u v u v u v ωεεεεεεεεε 2211112121221312221212222222323231312323223333 3311113121231313321213222232323331313323233333 =++++++++=++++++++u v u v u v u v u v u v u v u v u v u v u v u v u v u v u v u v u v u v ωεεεεεεεεεωεεεεεεεεε
张量分析在连续介质力学中的应用 薛玉洁 （中国矿业大学力学与建筑工程学院，桥梁与隧道工程，ZS13030047） 摘要：本研究将叙述张量分析在连续介质力学中的应用，Euclid空间上张量场分析、二维曲面(Riemann流形)上的张量场分析的相关知识体系要点，以及作为应用的可变形边界局部动力学有关研究的理论基础等。张量分析是我国著名力学家周培源先生常用的数学及力学分析方法，亦谨以此文表示为前辈诚挚的仰慕之情。 关键词：连续介质力学；Euclid空间；二维曲面；涡量与涡动力学 1引言 一般连续介质力学的理论体系，引入初始物理构形以及当前物理构形，对二者可再分别引入初始参数构形以及当前参数构形，物理构形与参数构形之间的关系即为一般曲线坐标系，数学上对应为有限维Euclid空间之间二个开集之间的微分同胚。 为研究边界的有限变形运动对介质运动的影响，我们对于当前物理构形引入显含时间的曲线坐标系，表现为时空空间中的微分同胚。通过构造适当的曲线坐标系可将物理空间中几何形态不规则且随时间变化的运动区域微分同胚至参数空间中的几何形态规则且不随时间变化的参数区域。如图l所示，对于研究出口边界可作有限变形运动的射流场，其当前物理构形显得极其复杂，但我们可以考虑如图所示的对应于当前物理构形的显含时间的曲线坐标系，使得当前参数构形不仅几何形态规则而且不随时间变化。进一步将连续介质运动的控制方程按曲线坐标系的局部基展开就可获得定义于参数区域上的控制方程。特别地，可基于非完整系理论系统获得控制方程在一般单位正交系(非完整系)下的分量方程，也适用于按时均分解的湍流控制方程。我们亦可将把相关方法推广至张量梯度的多点表示形式。 以上所述，一定程度上归纳了现代张量分析在现代连续介质力学中有关应用的基本思想及方法。本文将叙述Euclid空间上张量场分析、二维曲面(Riemann流形)上的张量场分析的相关知识体系要点，以及作为应用的可变形边界局部动力学有关研究的理论基础。