第六章代数系统
1. 填空题：f是X上的n元运算的定义是（）。
2. 判断正误，并说明原因：自然数集合N上的减法运算“－”是个封闭的运算。
3. 判断正误，并说明原因：实数集合R上的除法运算“”是个封闭的运算。
4.填空题：代数系统的定义是：（）。
5. 填空题：*是X上的二元运算，*具有交换性，则它的运算表的特征是（）。
6.填空题：*是X上的二元运算，*具有幂等性，则它的运算表的特征是（）。
7. 简答题：*是X上的二元运算，*具有幺元，如何在它的运算表上判定哪个元素是幺元？
8. 简答题：*是X上的二元运算，*具有零元，如何在它的运算表上判定哪个元素是零元？
9. 简答题：*是X上的二元运算，*具有幺元，如何判定哪个元素是元素x的逆元？
10 令N4={0,1,2,3}，N4上定义运算+4：
任何x,y∈N4 , x+4 y=(x+y)(mod 4) 。例如2+43=(2+3)(mod 4) =5(mod 4)＝1
请列出
11. 判断正误，并说明原因：对于整集合I上的减法运算“－”来说， 0是幺元。
12. 填空题：E是全集，E={a,b}，E的幂集P(E)上的交运算的幺元是（）。零元是（）。有逆元的元素是（），它们的逆元分别是（）。
13. 填空题：E是全集，E={a,b}，E的幂集P(E)上的并运算的幺元是（）。零元是（）。有逆元的元素是（），它们的逆元分别是（）。
14. 填空题：E是全集，E={a,b}，E的幂集P(E)上的对称差运算的幺元是（）。零元是（）。有逆元的元素是（）。它们的逆元分别是（）。
15. 填空题：对于自然数集合N上的加法运算“＋”，13＝（）。
16. 填空题：你所知道的满足吸收律的运算有（）。
17. 填空题：你所知道的具有零元的运算有（），其零元是（）。
18. 设是X上的二元运算，如果有左幺元 e L∈X，也有右幺元 e R∈X，则 e L= e R =e ，且幺元 e 是唯一的。
19. 设是X上的二元运算，如果有左零元θL∈X，也有右零元θR∈X，则θL=θR =θ,且零元θ是唯一的。
20. 设是X上有幺元e且可结合的二元运算，如果 x∈X，x的左、右逆元都存在，则x的左、右逆元必相等。且x的逆元是唯一的。
21. 设是X上且可结合的二元运算，如a∈X，且a-1∈X，则a是可消去的，即任取x,y∈X，设有a x=a y 则x=y。
22. 对于实数集合R，给出运算如下：＋是加法、—是减法、是乘法、max是两个数中取最大的、min是两个数中取最小的、|x-y|是x与y差的绝对值。判断这
”。
＋－max min|x-y|
可结合性
可交换性
存在幺元
存在零元
23. 设R是实数集合，在R上定义二元运算* 如下：任取x,y∈R，
x*y=xy－2x－2y＋6
1．验证运算* 是否满足交换律和结合律。
2．求运算*是否有幺元和零元，如果有请求出幺元和零元。
3．对任何实数x，是否有逆元？如果有，求它的逆元，如果没有，说明原因。
24.设是X 上有幺元e 且可结合的二元运算，求证如果x ∈X ，都存在左逆元，则x 的左逆元也是它的右逆元。
25. .给定下面4个运算表如下所示。分别判断这些运算的性质，并用“Y ”表示“有”，用“N ”表示“无”填下面表。如果运算有幂等元、有幺元、有零元、有可逆元素，要指出这些元素是什么。
交换性
幂等元 幂等性
有幺元 有零元
有可逆元素
a) b) c)
d)
26. 分别说明什么叫做两个代数系统同态、满同态、单一同态、同构、自同构？
27. 什么叫做同态核？
28.请举同构的两个代数系统的例子，并说明它们同构的理由。
29. 给出集合A ＝{0,1,2,3}和A 上的二元运算“*”。集合B ＝{S,R,A,L}和B 上的二元运算“o ”。 它们的运算表如下面所示。验证
a b c
a b c
a b c b
c a c a b
a)
a b c
a b c
a b c b
a c c c c
b)
a b c
a b c
a b c a
b c a b c
c)
a b c
a b c
a b c b
b c c c b
d)
30令S={
31. 令A ={0,1,2,3,4,…},B={1,2,4,8,16,…}，+表示加法，*表示乘法， 问
32 已知代数系统
试证明它们同构。
a b c
a b c
a b c b b c
c b c
· 1 2 3
1 2 3
1 2 1 1 2 2
1 2 3
*
0 1 2 3
0 0 1 2 3
1 1
2
3 0
2 2
3 0 1 3 3 0 1 2
*
S R A L
S S R A L
R R A L S
A A L S R L L S R A
o
33给定两个代数系统，
34. 已知代数系统
35. 已知代数系统
36. 已知代数系统
37. 已知代数系统
38 已知代数系统
39集合A上两个同余关系R、S, 证明R∩S也是同余关系.
40. 考察代数系统
a).
b).
c).
d).
41. 填空：是A上二元运算，代数
42. 填空：是A上二元运算，代数
43 列举出5个你所熟悉的是半群的例子。
44. 列举出5个你所熟悉的是独异点的例子。
45 列举出1个你所熟悉的是半群但不是独异点的例子。
46. 给定代数系统
a b=a+b+a·b
求证
47.
a) a∈A，有a a=a
b) a,b∈A， a b a=a
c) a,b,c∈A， a b c=a c
48. 设
a,b∈S，有 (a*b)2=a2*b2
49. 设
50. 设A是有理数集合，在笛卡尔积A×A上，定义二元运算△如下：
任取
求证
51..设
52.令I：是整数集合；N：自然数集合，R：实数集合。＋是加法运算，×是乘法运算。给定代数系统
53. X=R－{0,1}, X上定义六个函数，如下所示：x∈X,
f1(x)=x f2(x)=x-1 f3(x)=1-x
f4(x)=(1-x) -1 f5(x)=(x-1)x-1 f6(x)=x(x-1) -1
令F={f1,f2, f3, f4, f5, f6}，是F上的复合运算，试证明
54. 令R是实数，F={f| f(x)=ax+b，a,b,x∈R,a o }，是F上的函数左复合运算，试证明
55. 设
a) 证明, a,b,c∈A，若 a b=a c，则 b=c。
b) 证明
56. .设
57.填空：令