2020年中考数学必考经典题讲练案【苏科版】
专题07一次函数的应用问题
【方法指导】
1. 解决一次函数的实际问题的一般步骤
（1）设出实际问题中的变量；
（2）建立一次函数关系式；
（3）利用待定系数法求出一次函数关系式；
（4）确定自变量的取值范围； （5）利用一次函数的性质求相应的值，对所求的值进行检验，是否符合实际意义；
（6）做答.
2、一次函数的最值问题
一次函数本身并没有最值，但在实际问题中，自变量的取值往往有一定的限制，其图象为射线或线段.涉及最值问题的一般思路：确定函数表达式→确定函数增减性→根据自变量的取值范围确定最值.
3、.一次函数实际问题的常见题型
（1）一次函数的图象型实际应用题
（2）一次函数的表格类问题
（3）一次函数的分段函数类应用题
（4）一次函数的最优化及方案设计型问题
【题型剖析】
【类型1】一次函数的实际生活图象问题
【例1】（2019?徐州）如图①，将南北向的中山路与东西向的北京路看成两条直线，十字路口记作点A ．甲从中山路上点B 出发，骑车向北匀速直行；与此同时，乙从点A 出发，沿北京路步行向东匀速直行．设出发xmin 时，甲、乙两人与点A 的距离分别为1y m 、2y m ．已知1y 、2y 与x 之间的函数关系如图②所示．
（1）求甲、乙两人的速度；
（2）当x 取何值时，甲、乙两人之间的距离最短？
【分析】（1）设甲、乙两人的速度，并依题意写出函数关系式，再根据图②中函数图象交点列方程组求解；
（2）设甲、乙之间距离为d ，由勾股定理可得22229(1200240)(80)64000()1440002
d x x x =-+=-+，根据二次函数最值即可得出结论．
【解析】（1）设甲、乙两人的速度分别为/am min ，/bm min ，则：
112001200ax y ax -?=?-?
2y bx =
由图②知： 3.75x =或7.5时，12y y =，∴1200 3.75 3.757.512007.5a b a b -=??-=?，解得：24080a b =??=?
11200240y x ∴=-，令10y =，则5x =
11200240(05)2401200(5)x x y x x -?∴=?->?
剟 280y x =
答：甲的速度为240/m min ，乙的速度为80/m min ．
（2）设甲、乙之间距离为d ，
则222(1200240)(80)d x x =-+
2964000()1440002
x =-+， ∴当92
x =时，2d 的最小值为144000，即d 的最小值为12010 答：当92x =
时，甲、乙两人之间的距离最短．
【方法小结】本题考查了函数图象的读图识图能力，正确理解图象交点的含义，从图象中发现和获取有用信息，提高分析问题、解决问题的能力．
【变式1-1】（2019?建邺区校级二模）某校学生步行到郊外春游，一班的学生组成前队，速度为4/km h ，二班的学生组成后队，速度为6/km h ．前队出发1h 后，后队才出发，同时，后队派一名联络员骑自行车在两队之间不间断的来回进行联络，他骑车的速度为/akm h ．若不计队伍的长度，如图，折线A B C --，A D E --分别表示后队、联络员在行进过程中，离前队的路程()y km 与后队行进时间()x h 之间的部分函数图象．
（1）联络员骑车的速度a
= ；
（2）求线段AD 对应的函数表达式；
（3）求联络员折返后第一次与后队相遇时的时间．
【分析】（1）根据题意和函数图象中的数据可以求得a 的值；
（2）根据函数图象中的数据可以求得线段AD 对应的函数表达式；
（3）根据题意和函数图象中的数据可以求得联络员折返后第一次与后队相遇时的时间．
【解析】（1）由图可得，
11(44)1222
a =+?÷=， 故答案为：12；
（2）设线段AD 对应的函数表达式为y kx b =+，
4102
b k b =???+=??，得84k b =-??=?， 即线段AD 对应的函数表达式为184(0)2
y x x =-+剟； （3）设联络员折返后第一次与后队相遇的时间th 时，
11(126)()4(64)22
t +-=--?，
解得，2
3t =， 答：联络员出发23
h 时第一次与后队相遇． 【方法小结】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和数形结合的思想解答．
【变式1-2】（2019?高港区三模）甲、乙两车分别从A 、B 两地同时出发相向而行，并以各自的速度匀速行驶，两车在相遇之前同时改变了一次速度，并同时到达各自目的地，两车距B 地的路程()y km 与出发时间()x h 之间的函数图象如图所示．
（1）分别求甲、乙两车改变速度后y 与x 之间的函数关系式；
（2）若1m =，分别求甲、乙两车改变速度之前的速度；
（3）如果两车改变速度时两车相距90km ，求m 的值．
【分析】（1）利用待定系数法解得即可；
（2）分别求出甲、乙两车改变速度之后行驶的路程即可；
（3）根据题意列方程解答即可．
【解析】（1）设甲车y 与x 之间的关系式为：11y k b =+，根据题意得：
1111216040k b k b +=??+=?，解得11
80320k b =-??=?， ∴甲车y 与x 之间的关系式为80320y x =-+；
设乙车y 与x 之间的关系式为：22y k b =+，根据题意得：
222221604360k b k b +=??+=?，解得22
10040k b =??=-?， ∴乙车y 与x 之间的关系式为10040y x =-；
（2）当1m =时，甲车改变速度之前的速度为：36016023120(/)km h -÷?=；
乙车改变速度之前的速度为：360(360160)2360(/)km h --÷?=；
答：甲车改变速度之前的速度为120/km h ，乙车改变速度之前的速度为60/km h ；
（3）根据题意得：
-+--=，
x x
80320(10040)90
解得 1.5
x=，
答：如果两车改变速度时两车相距90km，m的值为1.5．
【方法小结】本题考查一次函数的应用，解答此类问题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用函数的思想解答．
【类型2】：一次函数的表格类应用题
【例2】（2019?江阴市一模）某公司生产一种纪念品，去年9月份以前，每天的产量与销售量均为400箱，进入9月份后，每天的产量保持不变，市场需求量却不断增加．如图是9月前后一段时期库存量y（箱)与生产时间x（月份）之间的函数图象．
（1）该厂10月份开始出现供不应求的现象；9月份的平均日销售量为箱？
（2）为满足市场需求，该厂打算在投资不超过200万元的情况下，购买10台新设备，使扩大生产规模后的日总产量不低于9月份的平均日销售量．现有A、B两种型号的设备可供选择，其价格与两种设备的日产量如下表：
型号A B
价格（万元/台）2516
日产量（箱/台）3020
请设计一种购买设备的方案，使日总产量最大．
（3）在（2）的条件下（市场日平均需求量与9月相同），若安装设备需三天（即10月4日新设备开始生产），指出何时开始该厂会有库存？
【分析】（1）根据题意和函数图象中的数据可以解答本题；
（2）根据题意和表格中的数据可以得到相应的不等式组，从而可以求得购买方案，然后根据一次函数的性质即可设计一种购买设备的方案，使日总产量最大；
（3）根据（2）中的方案和题意可以得到相应的不等式，从而可以解答本题．
【解析】（1）由图象可得，
该厂10月份开始出现供不应求的现象，9月份的平均日销售量为：400660030400220620+÷=+=（台)， 故答案为：10，620；
（2）设A 型x 台，则B 型(10)x -台，
2516(10)2004003020(10)620x x x x +-??++-?
?…， 解得，24x 剟
x Q 为整数，
2x ∴=，3或4，
()40030201010600W x x x =++-=+日总产量，
当4x =时，W 最大为640台，
即购买A 型号的设备4台，B 型号的设备6台，可以使得日总产量最大；
（3）设10月4日开始的第x 天会有库存，
4003640620(3)0x x ?+-+>
解得，33x >
所以10月4日开始的第34天开始有库存（或者11月6日开始有库存）．
【方法小结】本题考查一次函数的应用、一元一次不等式的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和不等式的性质解答．
【变式2-1】（2019?锡山区校级二模）2018年4月，无锡外卖市场竞争激烈，美团、滴滴、饿了么等公司订单大量增加，某公司负责招聘外卖送餐员，每月工资：底薪1000元，另加外卖送单补贴（送一次外卖称为一单），具体方案如下：
（1）若某“外卖小哥”4月份送餐600单，求他这个月的工资总额；
（2）设这个月“外卖小哥”送餐x 单，所得工资为y 元，求y 与x 的函数关系式；
（3）若“外卖小哥”本月送餐800单，所得工资64006500y 剟，求m 的取值范围．
【分析】（1）根据题意和表格中的数据可以求得若某“外卖小哥”4月份送餐600单，他这个月的工资总额；
（2）根据题意和表格中的数据可以写出各段y 与x 的函数解析式；
（3）根据题意可以列出相应的不等式，求出m 的取值范围．
【解析】（1）由题意可得，
10005006(600500)8100030008004800+?+-?=++=（元)，
答：若某“外卖小哥”4月份送餐600单，他这个月的工资总额是4800元；
（2）由题意可得，
当0500x
当500x m
当x m >时，10005006(500)8()10102y m x m x m =+?+-?+-?=-，
由上可得，10006(0500)8(500)102()x x y x
x m x m x m +?
??； （3）若800900m
若700800m 剟，64002108006500m -+?剟，
解得，750800m 剟，
综上所述：750900m 剟．
【变式1-2】（2019?扬州一模）某商场购进一批30瓦的LED 灯泡和普通白炽灯泡进行销售，其进价与标价如下表：
（1）该商场购进了LED 灯泡与普通白炽灯泡共300个，LED 灯泡按标价进行销售，而普通白炽灯泡打九折销售，当销售完这批灯泡后可获利3200元，求该商场购进LED 灯泡与普通白炽灯泡的数量分别为多少个？
（2）由于春节期间热销，很快将两种灯泡销售完，若该商场计划再次购进这两种灯泡120个，在不打折的情况下，请问如何进货，销售完这批灯泡时获利最多且不超过进货价的30%，并求出此时这批灯泡的总利润为多少元？