·1· 习 题 一
1．写出下列随机试验的样本空间及下列事件中的样本点：
（1）掷一颗骰子，记录出现的点数. A‘出现奇数点’；
（2）将一颗骰子掷两次，记录出现点数. A‘两次点数之和为10’，B‘第一次的点数，比第二次的点数大2’；
（3）一个口袋中有5只外形完全相同的球，编号分别为1,2,3,4,5；从中同时取出3只球，观察其结果，A‘球的最小号码为1’；
（4）将,ab两个球，随机地放入到甲、乙、丙三个盒子中去，观察放球情况，A‘甲盒中至少有一球’；
（5）记录在一段时间内，通过某桥的汽车流量，A‘通过汽车不足5台’，B‘通过的汽车不少于3台’。
解 （1）123456{,,,,,}Seeeeee其中ie‘出现i点’1,2,,6i，
135{,,}Aeee。
（2）{(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6)S
(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(
(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(
(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(
(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(
(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(}；
{(4,6),(5,5),(6A；
{(3,1),(4,2),(5,3),B。
（3）{(1,2,3),(2,3,4),(3,4,5),(1,3,4),(1,4,5),(1,2,4),(1,2,5)S
(2,3,5),(2,4,5),(1
{(1,2,3),(1,2,4),(1,2,5),(1,3,4),(,(1,4,5)}A
（4）{(,,),(,,),(,,),(,,),(,,),(,,),Sabababababba
(,,),(,,,),(,baabba，其中‘’表示空盒；
{(,,),(,,),(,,),(,,),Aabababbaba。
（5）{0,1,2,},{0,1,2,3,4},{3,4,}SAB。
2．设,,ABC是随机试验E的三个事件，试用,,ABC表示下列事件：
（1）仅A发生；
（2）,,ABC中至少有两个发生； ·2· （3）,,ABC中不多于两个发生；
（4）,,ABC中恰有两个发生；
（5）,,ABC中至多有一个发生。
解 （1）ABC
（2）ABACBC或ABCABCABCABC；
（3）ABC或ABCABCABCABCABCABCABC；
（4）ABCABCABC；
（5）ABACBC或ABCABCABCABC；
3．一个工人生产了三件产品，以(1,2,3)iAi表示第i件产品是正品，试用iA表示下列事件：（1）没有一件产品是次品；（2）至少有一件产品是次品；（3）恰有一件产品是次品；（4）至少有两件产品不是次品。
解 （1）123AAA；（2）123AAA；（3）123123123AAAAAAAAA；（4）121323AAAAAA。
4．在电话号码中任取一个电话号码，求后面四个数字全不相同的概率。
解 设A‘任取一电话号码后四个数字全不相同’，则
4104126()0.50410250PPA
5．一批晶体管共40只，其中3只是坏的，今从中任取5只，求
（1）5只全是好的的概率；
（2）5只中有两只坏的的概率。
解 （1）设A‘5只全是好的’，则
537540()0.662CPAC；
（2）设B‘5只中有两只坏的’，则
23337540()0.0354CCPBC.
6．袋中有编号为1到10的10个球，今从袋中任取3个球，求
（1）3个球的最小号码为5的概率；
（2）3个球的最大号码为5的概率.
解 （1）设A‘最小号码为5’，则
253101()12CPAC； ·3· （2）设B‘最大号码为5’，则
243101()20CPBC.
7．（1）教室里有r个学生，求他们的生日都不相同的概率；
（2）房间里有四个人，求至少两个人的生日在同一个月的概率.
解 （1）设A‘他们的生日都不相同’，则
365()365rrPPA；
（2）设B‘至少有两个人的生日在同一个月’，则
212223214121141241212441()1296CCPCCCPCPB；
或
412441()1()11296PPBPB.
8．设一个人的生日在星期几是等可能的，求6个人的生日都集中在一个星期中的某两天，但不是都在同一天的概率.
解 设A‘生日集中在一星期中的某两天，但不在同一天’，则
2676(22)()0.011077CPA.
9．将,,,,,,CCEEINS等7个字母随机地排成一行，那么恰好排成英文单词SCIENCE的概率是多少？
解1 设A‘恰好排成SCIENCE’
将7个字母排成一列的一种排法看作基本事件，所有的排法：
字母C在7个位置中占两个位置，共有27C种占法，字母E在余下的5个位置中占两个位置，共有25C种占法，字母,,INC剩下的3个位置上全排列的方法共3！种，故基本事件总数为22753!1260CC，而A中的基本事件只有一个，故
227511()3!1260PACC；
解2 七个字母中有两个E，两个C，把七个字母排成一排，称为不尽相异元素的全排列。一般地，设有n个元素，其中第一种元素有1n个，第二种元素有2n个…，第k种元素有kn个12()knnnn，将这n个元素排成一排 ·4· 称为不尽相异元素的全排列。不同的排列总数为
12!!!!knnnn，
对于本题有
141()7!7!12602!2!PA.
10．从0,1,2,,9等10个数字中，任意选出不同的三个数字，试求下列事件的概率：1A‘三个数字中不含0和5’，2A‘三个数字中不含0或5’，3A‘三个数字中含0但不含5’.
解 3813107()15CPAC.
333998233310101014()15CCCPACCC，
或
182231014()1()115CPAPAC，
2833107()30CPAC.
11．将n双大小各不相同的鞋子随机地分成n堆，每堆两只，求事件A‘每堆各成一双’的概率.
解 n双鞋子随机地分成n堆属分组问题，不同的分法共(2)!(2)!2!2!2!(2!)nnn‘每堆各成一双’共有!n种情况，故
2!()(2)!nnPAn
12．设事件A与B互不相容，()0.4,()0.3PAPB，求()PAB与()PAB
解 ()1()1()()0.3PABPABPAPB
因为,AB不相容，所以AB，于是
()()0.6PABPA
13．若()()PABPAB且()PAP，求()PB.
解 ()1()1()()()PABPABPAPBPAB ·5· 由()()PABPAB得
()1()1PBPAp
14．设事件,AB及AB的概率分别为,,pqr，求()PAB及()PAB
解 ()()()()PABPAPBPABpqr
()()()()()1()()()PABPAPBPABPAPBPAPAB
11qpqrpr.
15．设()()0.7PAPB，且,AB仅发生一个的概率为0.5，求,AB都发生的概率。
解1 由题意有
0.5()()()PABABPABPAB
()()()(PAPABPBPAB
0.72()PAB，
所以
()0.1PAB.
解2 ,AB仅发生一个可表示为ABAB，故
0.5()()()()2(PABPABPAPBPAB
所以
()0.1PAB.
16．设()0.7,()0.3,()0.2PAPABPBA，求()PAB与()PAB.
解 0.3()()()0.7(PABPAPABPAB，
所以
()0.4PAB，
故
()0.6PAB；
0.2()()()0PBPABPB.
所以
()0.6PB
()1()1()()()0.1PABPABPAPBPAB
17．设ABC，试证明()()()1PAPBPC
[证] 因为ABC，所以
()()()()()()()1PCPABPAPBPABPAPB
故 ·6· ()()()1PAPBPC. 证毕.
18．对任意三事件,,ABC，试证
()()()()PABPACPBCPA.
[证] ()()()()()()PABPACPBCPABPACPABC
()PABAC{()}()PABCPA. 证毕.
19．设,,ABC是三个事件，且1()()(),()()04PAPBPCPABPBC，1()8PAC，求,,ABC至少有一个发生的概率。
解 ()()()()()()()(PABCPAPBPCPABPACPBCPABC
因为 0()()0PABCPAB，所以()0PABC，于是
315()488PABC
20．随机地向半圆202yaxx（a为正常数）内掷一点，点落在园内任何区域的概率与区域的面积成正比，求原点与该点的连线与x轴的夹角小于/4的概率.
解：半圆域如图
设A‘原点与该点连线与x轴夹角小于/4’
由几何概率的定义
2221142()12aaAPAa的面积半园的面积112
21．把长为a的棒任意折成三段，求它们可以构成三角形的概率.
解1 设A‘三段可构成三角形’，又三段的长分别为,,xyaxy，则0,0,0xayaxya，不等式构成平面域S.
A发生0,0,222aaaxyxya
不等式确定S的子域A，所以
1()4APA的面积S的面积
解2 设三段长分别为,,xyz，则0,0,0xayaza且
xyza，不等式确定了三维空间上的有界平面域S. 0yyx
a /4 x
S
0 a/2
a/2 a
a A
