第三章 三角恒等变换
一、选择题
1．函数y ＝sin ＋cos ??? ?
?
2π ＜ ＜ 0α的值域为( )．
A ．(0，1)
B ．(－1，1)
C ．(1，2]
D ．(－1，2)
2．若0＜＜＜4
π
，sin ＋cos ＝a ，sin ＋cos ＝b ，则( )． A ．a ＜b
B ．a ＞b
C ．ab ＜1
D ．ab ＞2
3．若θθtan ＋2tan 1－＝1，则θθ
2sin ＋12cos 的值为( )．
A ．3
B ．－3
C ．－2
D ．－
2
1
4．已知 ∈???
?
?2π3 ，π，并且sin ＝－
2524，则tan 2α等于( )． A ．34 B ．43 C ．－43 D ．－34
5．已知tan(＋)＝3，tan(－)＝5，则tan 2＝( )． A ．－
4
7
B ．
4
7 C ．－
74
D ．
7
4 6．在△ABC 中，若cos A cos B ＞sin A sin B ，则该三角形是( )． A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形
D ．锐角或直角三角形
7．若0＜＜2π＜且cos ＝－3
1
，sin(＋)＝97，则sin
的值是
( )．
A ．
27
1
B ．
27
5
C ．3
1
D ．
27
23 8．若cos(＋)·cos(－)＝31，则cos 2 －sin
2
的值是( )． A ．－
3
2
B ．3
1
C ．－31
D ．
3
2 9．锐角三角形的内角A ，B 满足tan A －A
2sin 1
＝tan B ，则有( )． A ．sin 2A －cos B ＝0 B ．sin 2A ＋cos B ＝0 C ．sin 2A －sin B ＝0
D ．sin 2A ＋sin B ＝0
10．函数f (x )＝sin 2??? ??4π＋x －sin 2??? ?
?
4π－x 是( )．
A ．周期为 的偶函数
B ．周期为的奇函数
C ．周期为2的偶函数
D ．周期为2的奇函数
二、填空题
11．已知设∈??? ?
?
2π,
0，若sin ＝53，则2cos ??? ?
?
+4πα＝ ．
12．sin 50°(1＋3tan 10°)的值为 ． 13．已知cos ??? ?
?-
6πα＋sin ＝534，则sin ??
? ??
+6π7α的值是 ． 14．已知tan ??? ??α ＋ 4π＝2
1
，则
αα
α2cos ＋1cos －2sin 2
的值为 ．
15．已知tan ＝2，则cos ??
?
?
?
2π3＋ 2α的值等于 ． 16．sin ??? ??α ＋ 4πsin ??? ??α － 4π＝6
1
，
∈??
? ?? π，2π，则sin 4
的值为 ．
三、解答题
17．求cos 43°cos 77°＋sin 43°cos 167°的值．
18．求值：①(tan10°－3)?
?50sin 10cos ； ②?
?
?20cos 20sin －10cos 2．
19．已知cos ??
? ??x ＋ 4π＝53
，127π＜x ＜47π，求x x x tan －1sin 2＋2sin 2的值．
20．若sin ＝55，sin ＝10
10
，且，均为钝角，求＋的值.
参考答案
一、选择题 1．C
解析：∵ sin ＋cos ＝2sin(＋4π
)，又 ∈(0，2
π)，∴ 值域为(1，2]． 2．A
解析：∵ a ＝2sin(＋4π)，b ＝2sin(＋4π)，又4π＜＋4π＜＋4π＜2
π
． 而y ＝sin x 在［0，2
π］上单调递增，∴ sin(＋4π)＜sin(＋4π
)．即a ＜b ．
3．A 解析：由
θ
θtan ＋2tan 1－＝1，解得tan θ＝－21
，
∴ θθ2sin ＋12cos ＝22
2
sin ＋ cos sin － cos )(θθθθ＝θθθθsin ＋ cos sin － cos ＝θθ tan ＋ 1 tan － 1＝
?
??
???
??
??21 － ＋ 121 － － 1＝3． 4．D
解析：sin ＝－
2524，∈(π，2π3)，∴ cos ＝－257
，可知tan 7
24
． 又tan
2
tan － 12
tan
22
α
α
＝
7
24． 即12 tan
2
2α＋7 tan 2
α
－12＝0． 又 2α∈??
? ??4π ，
2π，可解得 tan 2α
＝－34． 5．C 解析：tan 2＝tan[(＋
)＋(－)]＝
)－()＋(－)
－()＋＋(βαβαβαβαtan tan 1tan tan ＝－7
4．
6．C
解析：由cos A cos B ＞sin A sin B ，得cos(A ＋B )＞0?cos C ＜0， ∴ △ABC 为钝角三角形． 7．C
解析：由0＜＜2π＜2π
＜＋＜23cos ＝－3
1
，sin(＋
)＝
9
7， 得sin ＝
32
2，cos(＋)＝－9
24． ∴ sin ＝sin[(＋)－]＝sin(＋
)cos －cos(＋)sin ＝3
1
．
8．B
解析：由cos(＋)·cos(－)＝31，得cos
2
cos
2
－sin
2
sin
2
＝3
1， 即cos
2
(1－sin 2
)－(1－cos
2
)sin
2
＝3
1， ∴ cos 2
－sin
2
＝3
1． 9．A
解析：由tan A －
A 2sin 1＝tan
B ，得A 2s i n 1＝tan A －tan B ?A A cos sin 21
＝B
A B A cos cos －sin )( ?cos B ＝2sin A sin(A －B )?cos[(A －B )－A ]＝2sin A sin(A －B ) ?cos(A －B )cos A －sin A sin(A －B )＝0，即cos(2A －B )＝0．
∵ △ABC 是锐角三角形， ∴ －
2
π
＜2A －B ＜π， ∴ 2A －B ＝2
π
?sin 2A ＝cos B ，即sin 2A －cos B ＝0． 10．B
解析：由sin 2??? ??4π－x ＝sin 2??? ??x －4π＝cos 2??? ??x ＋4π
，
得f (x )＝sin 2??? ??4π＋x －cos 2??? ??x ＋4π
＝－cos ??? ?
?2π＋2x ＝sin 2x ．
二、填空题 11．
1
5
． 解析：由∈??? ?
?2π,
0，sin ＝53得cos ＝54，2cos ??? ?
?
+4πα＝cos －sin ＝
5
1
． 12．1．
解析：sin50°(1＋3tan10°) ＝sin50°·
?
?
?10cos 10sin 3＋10cos
＝sin50°·
?
???? ????10 cos 10sin 23＋10 cos 212 ＝sin50°·
?
?
10cos 50cos 2
＝??
10cos 100sin
＝?
?10cos 10cos ＝1． 13．－
45
． 解析：cos ???
?
?-
6πα＋sin ＝
23cos ＋2
1sin ＋sin ＝
23( cos ＋3sin )＝5
34， 所以cos ＋3sin ＝58
． sin ??
?
?
?+
6π7α＝sin cos
6
π
7＋cos sin
6
π7 ＝－
23sin －21cos ＝－21(3sin ＋cos )＝－5
4． 14．－
6
5． 解析：由tan ??? ??α ＋ 4π＝α
α
tan 4
πtan －1tan ＋4π
tan ＝ααtan －1tan ＋1＝21，解得tan ＝－31，
∴ α
αα2cos ＋1cos －2sin 2
＝αααα22cos 2cos －cos sin 2
＝α
ααcos 2cos －sin 2
＝tan －
2
1 ＝－31－21
＝－6
5． 15．
45
． 解析：tan ＝
α
αcos sin ＝2，sin ＝2cos ．又sin 2 ＋cos 2
＝1， 所以sin
2
＝
54，又cos ??
? ??
+2π32α＝sin 2
＝2sin
cos ＝sin
2
＝
5
4
． 16．－
9
2
4． 解析：∵ sin ???
??α － 4π＝sin ????????? ??α ＋ 4
π － 2π＝cos ??? ??α ＋ 4π，
∴ sin ??
? ??α ＋ 4πsin ??? ??α － 4π＝61
?sin ??? ??α ＋ 4πcos ??? ??α ＋ 4π＝61
?sin ??? ??α2 ＋ 2π＝3
1．
∴ cos 2＝31
，又 ∈(2π，π)，∴ 2
∈(π，2π)．
∵ sin 2＝－α2cos －12＝－3
2
2， ∴ sin 4
＝2sin 2
cos 2
＝－
9
2
4． 三、解答题
17．解：cos 43°cos 77°＋sin 43°cos 167°
＝cos 43°cos 77°－sin 43°sin 77° ＝cos(43°＋77°)＝cos 120°＝－2
1． 18．①解法1：
原式＝(tan 10°－tan 60°)
?
?
50sin 10cos
＝??? ??????cos60sin60 － cos10sin10??
50sin 10cos ＝???60cos 10cos 50－sin )(·?
?50sin 10cos
＝－2． 解法2：
原式＝?
?? ????3 － cos10sin10??50sin 10
cos
＝???? ?????cos10cos103－sin10??50sin 10cos
＝
?
???? ????50 sin 10 cos 23－10 sin 212 ＝
?
??50sin 60－10sin 2 )
(
＝－2． ②解：原式＝
?
?
??20cos 20sin －20－30cos 2 )(
＝??
????20cos 20sin －20sin 30sin 2＋20cos 30cos 2
＝
?
?
?20cos 20cos 30cos 2
＝3．
19．解：∵
127π＜x ＜4
7π，∴ 65π＜4π＋x ＜
2
又cos ??? ??x ＋ 4π＝53
＞0，
∴ 23π＜4
π＋x ＜
2
∴ sin ??? ??x ＋ 4π＝－54，tan ??
?
??x ＋ 4π＝－34．
又 sin 2x ＝－cos ??
? ??x 2 ＋ 2π＝－cos 2??? ??x ＋ 4π＝－2cos 2??? ??x ＋ 4π
＋1＝257，
∴ 原式＝x
x x
x cos sin －
1sin 2＋2sin 2
＝x x x x x x sin －cos cos sin 2＋cos 2sin 2
＝x
x x x x sin －cos sin ＋cos 2sin )(
＝
x
x x tan －1tan ＋12sin )
(
＝sin 2x ·tan(4
π
＋x ) ＝－
75
28． 20．解：∵ ，
均为钝角且sin ＝
55，sin ＝10
10， ∴ cos ＝－α2sin 1-＝－
552，cos ＝－β2sin 1-＝－10
10
3， ∴ cos(＋)＝cos cos －sin
sin ＝???? ??-
552×???? ??-101035
5-×
1010
＝
2
2
． 又 2π＜＜π， 2
π＜＜π，∴ π＜＋＜2π，则＋＝4π7．