21．税收概念与基本特征
（1）概念税收是国家为了实现其职能，凭借政治权力，按照法律规定的标准，参与剩余产品价值的再分配，
强制,无偿地取得财政收入的一种手段。
（2）基本特征：强制性；无偿性；固定性
22．税负转嫁与供求弹性的关系
（1）需求弹性： 需求弹性越大，通过提高卖价把税负向前转嫁给购买者或消费者越困难。需求弹性越小税负越容易转嫁由购买者或消费者负担。
（2）供给弹性： 供给弹性高，易于把税负转嫁出去。相反，供给弹性低，则不易转嫁。
（3）在其他条件不变时，就供给和需求的相对弹性来说，哪方弹性小，税负就向哪方转嫁，供给弹性等于需求弹性时，税负由买卖双方平均负担。
23．税收制度的基本要素：
（1）征税对象；征税对象又称课税对象或课税客体，是指对什么东西征税，即征税的标地物。
（2）纳税人：纳税人又称纳税义务人，它是课税的主体，是指税法上规定的直接负有纳税义务的单位和个
人。包括自然人和法人。
（3）税率：税率是应纳税额与征税对象之间的比例
（4）起征点和免征额：起征点是指征税对象数额所达到的应当征税的界限；免征额是指准予从征税对象数
额中扣除的免于征税的数额。
（5）违章处理
24．营业税计算：
案例：夜莺歌舞厅某月收取门票费20000元，台位费30000元，点歌费10000元、烟酒、饮料费40000元。
舞厅税率为20％。
该歌舞厅当月应纳的营业税＝（20000＋30000＋10000＋40000）×20％＝20000（元）
如果对该歌舞厅进行税收筹划：将歌舞厅内单独设立一烟酒、饮料等日杂小卖部，并专门领取营业执
照，单独核算，这样娱乐业混合销售行为转为兼营行为，应分别计算纳税。
小卖部应纳增值税＝40000÷（1＋4％）×4％＝1538.46（元）
歌舞厅应纳营业税＝（20000＋30000＋10000）×20％＝12000（元）
节税额为：20000－1538.46－12000＝6461.54（元）
25．国际双重征税
指两个或两个以上的国家各自依据自己的税收管辖权就同一税种对同一纳税人的同一征税对象在同一纳税期限内同时征税。
26．消除国际双重征税的基本方法
（1）免税法：免税法是指居住国政府对本国居民来源于境外并已向来源国政府缴税的所得免于征税的方法。 完全放弃行使居民（公民）管辖权
（2）扣除法：居住国政府允许纳税人就境外所得向来源国缴纳的税款从国内外应税所得中扣除的一种方法。
（3）抵免法：居住国政府按照居民纳税人来源于国内外的全部所得计算应纳税额，但允许纳税人从应纳税
额中抵免已在收入来源国缴纳的全部或部分税款。
27．国际逃税、避税途径及防止措施
（1）途径：○
1逃避税收管辖权：通过选择或改变税收居所的方式逃避税收管辖权，达到避税目的； ○
2转移和隐匿征税对象；利用关联企业间转让定价转移收入和费用；利用常设机构进行收入与费用转移；通过避税港实现转移利润避税。
○
3利用税法规定作出避税决策：利用延期纳税的规定，不分或少分股息，通过不合理保留利润达到避税目的；选择有利的企业组织形式避税；滥用税收优惠
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28．资本运营:
资本运营是把企业所拥有的有形与无形的资本存量变为可以增值的活动资本，通过优化配置的流动、收购、
兼并、重组、参股、交易、转让、租赁等途径进行有效运营，使企业具有资本扩张、置换的能力，从而实
现最大限度的资本增值。
29．国有资本运营的操作方法
(1)企业并购(2)国有企业股份制改造(3)出售变现
(4)优势企业托管效益差的国有企业( 5)股权与债权互换(具体的概念请看书本P219)
第十二章
?30．公债的种类
?(1)按发行期限划分
短期公债:指发行期限在一年之内的公债，又称为流动公债。
中期公债: 指发行期限在1－10年之内的公债
长期公债:指发行期限在10年以上的公债。还包括永久公债或无期公债。
(2)按发行地域划分
国内公债:政府在本国的借款和发行的债券为国内公债，简称内债。
国外公债:政府向其他国家的政府、银行或国际金融组织的借款，及在国外发行的债券等，为国外公债，
简称外债。
国外公债的发行和还本付息都要使用外汇
(3)公债是否可以自由流通划分
上市公债:可以在债券市场上出售、并且可以转让的公债，称为上市公债。
不上市公债:不可以转让的公债，称为不上市公债。是公债的主要形式。
(4)按举债形式划分
契约性借款：政府和债权人按照一定的程序和形式共同协商，签订协议或合同，形成权债务关系。具有
手续简便、成本费用较低的优点。但借款范围受到限制，不具有普遍性。
发行公债券即向社会各单位、企业、个人的借债采用发行债券的形式。具有普遍性，应用范围较广。
(5)其它分类方法
按发行主体可分为中央公债和地方公债；按公债计量单位可分为实物公债和货币公债；按公债用途可
分为生产性公债和非生产性公债；按有无利息和利息支付方式划分，可为有息公债、有奖公债等。
31．公债发行市场与交易市场的关系
（1）公债发行市场与交易市场是整个公债市场的两个重要组成部分，两者相辅相成
（2）从发行市场看，公债发行市场是交易市场的前提和基础环节
（3）从交易市场看，公债交易市场又是公债顺利发行的重要保证发行市场和交易市场是一个有机的整体第十七章
32．社会主义市场经济条件下实行宏观调控的必要性
（1）实施宏观调控是减少市场调节成本的要求(2)实施宏观调控是弥补“市场失灵”的要求
（3）实施宏观调控是修复市场残缺的需要(4)实施宏观调控是实现社会目标的需要
（5）实施宏观调控是实现公平分配的需要
33．财政与劳动供给的关系：
从财政的角度来看，影响劳动供给的因素主要是所得税与转移支付:在边际税率不变的情况下，平均税率对劳动
供给只产生收入效应；在平均税率不变的情况下，边际税率对劳动供给只产生替代效应。因此，政府在设计税率
的时候应尽可能降低边际税率，与此同时，通过扩大税基来保持平均税率不变，保证税收收入的取得
增值税
税率：1、基本税率，17%。 2、低税率，13%。3、零税率，适用于纳税人出口货物。
4、征收率，小规模纳税人销售货物或提供应税劳务，采用4%（商业）或6%（工业企业）的征收率。
应纳税额的计算
一般纳税人应纳税额的计算：
应纳税额=当期销项税额－当期进项税额=当期销售额×税率－当期进项税额
小规模纳税人应纳税额的计算：应纳税额=销售额×征收率
进口货物应纳税额的计算：组成计税价格=关税完税价格+关税+消费税
消费税
应纳税额的计算
从价定率计征方法：应纳税额=应税消费品的销售额×消费税税率
从量定额计征办法：应纳税额=应税消费品数量×单位税额
销售额不包括向购买方收取的增值税款。如果纳税人应税消费品的销售额中未扣除增值税款或者因不得开具增值税专用发票而发生价款和增值税税款合并收取的，在计算消费税时，应当换算为不含增值税税款的销售额。其换算公式为：
应税消费品的销售额＝含增值税的销售额/（1＋增值税税率和征收率）
例如，美馨妆品厂为增值税一般纳税人，4月1日向某大型商场销售化妆品一批，开具增值税专用发票，取得不含增值税销售额100万元，增值税额17万元。4月25日向某单位销售化妆品一批，开具普通发票，取得含增值税销售额11.7万元。化妆品适用消费税税率30%.该化妆品生产企业4月应缴纳的消费税额为：
应缴纳的消费税额=[100+11.7/（1+17%）]×30%= 33（万元）
营业税
应纳税额的计算
应纳税额=营业额×税率
案例：夜莺歌舞厅某月收取门票费20000元，台位费30000元，点歌费10000元、烟酒、饮料费40000元。舞厅税率为20％。
该歌舞厅当月应纳的营业税＝（20000＋30000＋10000＋40000）×20％＝20000（元）
如果对该歌舞厅进行税收筹划：将歌舞厅内单独设立一烟酒、饮料等日杂小卖部，并专门领取营业执照，单独核算，这样娱乐业混合销售行为转为兼营行为，应分别计算纳税。
小卖部应纳增值税＝40000÷（1＋4％）×4％＝1538.46（元）
歌舞厅应纳营业税＝（20000＋30000＋10000）×20％＝12000（元）
节税额为：20000－1538.46－12000＝6461.54（元）
企业所得税
税率：法定税率为33%，优惠税率为18%、27%。
应纳税所得额的计算
应纳税所得额 = 收入总额-准予扣除项目金额
应纳税额的计算与征收：全年应纳所得税额=全年应纳税所得额×税率-扣除税额
外商投资企业和外国企业所得税
应纳税额的计算与缴纳
1）季度预缴、年终汇算清缴：
企业所得税应纳税额＝应纳税所得额×适用税率 地方所得税应纳税额＝应纳税所得额×适用税率
2）外国税收抵免 个人所得税
应纳税额的计算和征收：应纳税额=应纳税所得额×适用税率
印花税
境内境外所得总额来源于某外国的所得额计算的应纳税总额境内境外所得按税法的扣除限额境外所得税税款?=境内境外所得总额
来源于某外国的所得额计算的应纳税总额境内境外所得按税法税款抵免限额境外所得税?
=
应纳税额的计算
应纳税额=凭证所载应税金额×适用比例税率应纳税额=应税凭证件数×单位税额
消除国际双重征税的基本方法：免税法、扣除法、抵税法
免税法的案例
某跨国公司年度境内所得800万元，境外所得200万元。境内所得税率是全额累进税率，不超过800万元者税率20%，超过800万元者税率30%。计算本公司应缴纳企业所得税额。
计算：
1.全额豁免法：应纳税额＝800×20%＝160万元
2.累进豁免法：应纳税额＝[(800+200)×30%] ×(800÷1000)＝240万元
扣除法
计税公式：应纳税金＝（应税所得－国外已纳税款）×税率
（这种方法只是将国外已缴税款作为费用开支处理的，显然，它不能完全避免重复征税。（采用此法的国家较少）某跨国公司年度境内所得800万元，境外所得200万元。境内所得税率30%，境外所得税率20%。计算在扣除法条件下该公司如何缴纳企业所得税收。
计算：
应纳税额＝〔 (800+200)－(200 ×20%)〕×30%
＝(1000－40) ×30%
＝288万元
点评：将40万元已纳税金作为费用扣除，不能彻底消除重复课税问题。
抵免法
计税公式：应纳税额＝（国内所得＋国外所得）×税率－国外已纳税金
抵免法较好地协调了不同国家的税收管辖权，被许多国家采用。（我国亦采用）
抵免法的两种分类方法：直接抵免和间接抵免、全额抵免和限额抵免
直接抵免法的案例
某企业境内所得800万元，境外所得200万元。境内税率30%，境外税率35%。计算在抵免法条件下的应纳税额。
计算：
1）全额抵免：
应纳税额＝(800+200)×30%－200 ×35%＝300－70＝230万元
2）限额抵免：
应纳税额＝(800+200)×30%－200 ×30%＝300－60＝240万元
间接抵免法的案例
某跨国公司的母公司获得境内所得800万元，另从境外子公司获得税后红利40万元。境内所得税率30%，境外所得税率20%。计算本母公司应纳税额。
计算：
境外所得税前利润＝40÷(1－20%)＝50万元
母公司应纳税额＝(800+50)×30%－50 ×20%＝255－10＝245万元
《计算方法》习题答案 第一章 数值计算中的误差 1．什么是计算方法？（狭义解释） 答：计算方法就是将所求的的数学问题简化为一系列的算术运算和逻辑运算，以便在计算机上编程上机，求出问题的数值解，并对算法的收敛性、稳定性和误差进行分析、计算。 2．一个实际问题利用计算机解决所采取的五个步骤是什么？ 答：一个实际问题当利用计算机来解决时，应采取以下五个步骤： 实际问题→建立数学模型→构造数值算法→编程上机→获得近似结果 4．利用秦九韶算法计算多项式4)(5 3 -+-=x x x x P 在3-=x 处的值，并编程获得解。 解：400)(2 3 4 5 -+?+-?+=x x x x x x P ，从而 所以，多项式4)(5 3 -+-=x x x x P 在3-=x 处的值223)3(-=-P 。 5．叙述误差的种类及来源。 答：误差的种类及来源有如下四个方面： （1）模型误差：数学模型是对实际问题进行抽象，忽略一些次要因素简化得到的，它是原始问题的近似，即使数学模型能求出准确解，也与实际问题的真解不同，我们把数学模型与实际问题之间存在的误差称为模型误差。 （2）观测误差：在建模和具体运算过程中所用的一些原始数据往往都是通过观测、实验得来的，由于仪器的精密性，实验手段的局限性，周围环境的变化以及人们的工作态度和能力等因素，而使数据必然带有误差，这种误差称为观测误差。 （3）截断误差：理论上的精确值往往要求用无限次的运算才能得到，而实际运算时只能用有限次运算的结果来近似，这样引起的误差称为截断误差（或方法误差）。 （4）舍入误差：在数值计算过程中还会用到一些无穷小数，而计算机受机器字长的限制，它所能表示的数据只能是一定的有限数位，需要把数据按四舍五入成一定位数的近似的有理数来代替。这样引起的误差称为舍入误差。 6．掌握绝对误差（限）和相对误差（限）的定义公式。 答：设* x 是某个量的精确值，x 是其近似值，则称差x x e -=* 为近似值x 的绝对误差（简称误差）。若存在一个正数ε使ε≤-=x x e * ，称这个数ε为近似值x 的绝对误差限（简称误差限或精度）。 把绝对误差e 与精确值* x 之比* **x x x x e e r -==称为近似值x 的相对误差，称
目录 第一章非线性方程求根 (3) 1.1迭代法 (3) 1.2牛顿法 (4) 1.3弦截法 (5) 1.4二分法 (6) 第二章插值 (7) 2.1线性插值 (7) 2.2二次插值 (8) 2.3拉格朗日插值 (9) 2.4分段线性插值 (10) 2.5分段二次插值 (11) 第三章数值积分 (13) 3.1复化矩形积分法 (13) 3.2复化梯形积分法 (14) 3.3辛普森积分法 (15) 3.4变步长梯形积分法 (16) 第四章线性方程组数值法 (17) 4.1约当消去法 (17) 4.2高斯消去法 (18) 4.3三角分解法 (20)
4.4雅可比迭代法 (21) 4.5高斯—赛德尔迭代法 (23) 第五章常积分方程数值法 (25) 5.1显示欧拉公式法 (25) 5.2欧拉公式预测校正法 (26) 5.3改进欧拉公式法 (27) 5.4四阶龙格—库塔法 (28)
数值计算方法 第一章非线性方程求根 1.1迭代法 程序代码： Private Sub Command1_Click() x0 = Val(InputBox("请输入初始值x0")) ep = Val(InputBox(请输入误差限ep)) f = 0 While f = 0 X1 = (Exp(2 * x0) - x0) / 5 If Abs(X1 - x0) < ep Then Print X1 f = 1 Else x0 = X1 End If Wend End Sub 例：求f(x)=e2x-6x=0在x=0.5附近的根（ep=10-10）
1.2牛顿法 程序代码： Private Sub Command1_Click() b = Val(InputBox("请输入被开方数x0")) ep = Val(InputBox(请输入误差限ep)) f = 0 While f = 0 X1 = x0 - (x0 ^ 2 - b) / (2 * b) If Abs(X1 - x0) < ep Then Print X1 f = 1 Else x0 = X1 End If Wend End Sub 例：求56的值。（ep=10-10）
一 选择题(55分=25分) (A)1. 3.142和3.141分别作为π的近似数具有（）和（）为有效数字(有效数字) A. 4和3 B. 3和2 C. 3和4 D. 4和4 解,时,, m-n= -3,所以n=4,即有4位有效数字。当时,, ，m-n= -2,所以n=3,即有3位有效数字。 (A)2. 为了减少误差，在计算表达式时，应该改为计算，是属于（）来避免误差。（避免误差危害原则） A.避免两相近数相减； B.化简步骤，减少运算次数； C.避免绝对值很小的数做除数； D.防止大数吃小数 解：由于和相近，两数相减会使误差大，因此化加法为减法，用的方法是避免误差危害原则。 (B)3.下列算式中哪一个没有违背避免误差危害原则（避免误差危害原则） A.计算 B.计算 C.计算 D.计算 解:A会有大数吃掉小数的情况C中两个相近的数相减，D中两个相近的数相减也会增大误差 (D)4.若误差限为,那么近似数0.003400有()位有效数字。(有效数字) A. 5 B. 4 C. 7 D. 3 解：即m-n= -5,，m= -2，所以n=3，即有3位有效数字 (A)5.设的近似数为，如果具有3位有效数字，则的相对误差限为()（有效数字与相对误差的关系） A． B. C. D. 解：因为所以,因为有3位有效数字，所以n=3,由相对误差和有效数字的关系可得a的相对误差限为 二 填空题：(75分=35分)
1.设则有2位有效数字，若则a有3位有效数字。(有效数字) 解:,时,，，m-n= -4,所以n=2,即有2位有效数字。当时, ，m-n= -5,所以n=3,即有3位有效数字。 2.设 =2.3149541...，取5位有效数字，则所得的近似值x=2.3150(有效数字)解：一般四舍五入后得到的近似数，从第一位非零数开始直到最末位，有几位就称该近似数有几位有效数字，所以要取5位有效数字有效数字的话，第6位是5，所以要进位，得到近似数为2.3150. 3.设数据的绝对误差分别为0.0005和0.0002，那么的绝对误差约为 0.0007 。（误差的四则运算） 解：因为，， 4.算法的计算代价是由 时间复杂度 和 空间复杂度 来衡量的。(算法的复杂度) 5.设的相对误差为2%，则的相对误差为 2n% 。（函数的相对误差） 解：， 6.设>0，的相对误差为δ，则的绝对误差为 δ 。（函数的绝对误差） 解：，， 7.设，则=2时的条件数为 3/2 。(条件数) 解:， 三 计算题(220分=40分) 1.要使的近似值的相对误差限小于0.1%，要取几位有效数字？（有效数字和相对误差的关系） 解：设取n位有效数字,由定理由于知=4所以要使相对误差限小于0.1%,则，只要取n-1=3即n=4。所以的近似值取4位有效数字,其相对误差限小于0.1%。 2.已测得某场地长的值为，宽d的值为，已知试求面积的绝对误差限和
第一章绪论 1．设0x >,x 的相对误差为δ，求ln x 的误差。 解：近似值* x 的相对误差为* **** r e x x e x x δ-= == 而ln x 的误差为()1ln *ln *ln ** e x x x e x =-≈ 进而有(ln *)x εδ≈ 2．设x 的相对误差为2%，求n x 的相对误差。 解：设()n f x x =，则函数的条件数为'() | |() p xf x C f x = 又1 '()n f x nx -= , 1 ||n p x nx C n n -?∴== 又((*))(*)r p r x n C x εε≈? 且(*)r e x 为2 ((*))0.02n r x n ε∴≈ 3．下列各数都是经过四舍五入得到的近似数，即误差限不超过最后一位的半个单位，试指 出它们是几位有效数字：*1 1.1021x =,*20.031x =, *3385.6x =, * 456.430x =,*57 1.0.x =? 解：*1 1.1021x =是五位有效数字； *20.031x =是二位有效数字； *3385.6x =是四位有效数字； *456.430x =是五位有效数字； *57 1.0.x =?是二位有效数字。 4．利用公式(2.3)求下列各近似值的误差限：(1) * * * 124x x x ++,(2) ***123x x x ,(3) **24/x x . 其中****1234 ,,,x x x x 均为第3题所给的数。 解：
*4 1* 3 2* 13* 3 4* 1 51()1021()1021()1021()1021()102 x x x x x εεεεε-----=?=?=?=?=? *** 124***1244333 (1)()()()() 1111010102221.0510x x x x x x εεεε----++=++=?+?+?=? *** 123*********123231132143 (2)() ()()() 111 1.10210.031100.031385.610 1.1021385.610222 0.215 x x x x x x x x x x x x εεεε---=++=???+???+???≈ ** 24**** 24422 *4 33 5 (3)(/) ()() 11 0.0311056.430102256.43056.430 10x x x x x x x εεε---+≈ ??+??= ?= 5计算球体积要使相对误差限为1，问度量半径R 时允许的相对误差限是多少？ 解：球体体积为34 3 V R π= 则何种函数的条件数为 2 3'4343 p R V R R C V R ππ=== (*)(*)3(*)r p r r V C R R εεε∴≈= 又(*)1r V ε=
第一章：基本概念 1. 1 2...1 2...1.m m m m n m n x x x x x x x x +++++=±1 2...1 2....m m m m n x x x x x x x +++=± 若1 102 n x x --≤? ，称x 准确到n 位小数，m n x + 及其以前的非零数字称为准确数字。 各位数字都准确的近似数称为有效数，各位准确数字称为有效数字。 2. 1 2...()0.l t f x x x x x β==±? 进制：β，字长：t ，阶码：l ，可表示的总数：12(1)(1)1t U L ββ-?-+?-+ 3.计算机数字表达式误差来源 实数到浮点数的转换，十进制到二进制的转换，结算结果溢出，大数吃小数。 4. 数据误差影响的估计： 121 (,,...)n n i i x x x y y x x ??-≤??∑ 121 (,,...)n n i i i y y x x x x x y x y ?δ-?≤?∑ ，小条件数。 解接近于零的都是病态问题，避免相近数相减。避免小除数大乘数。 5.算法的稳定性 若一个算法在计算过程中舍入误差能得到控制，或者舍入误差的积累不影响产生可靠的计算结果，称算法数值稳定。 第二章：解线性代数方程组的直接法 1.高斯消去法 步骤：消元过程与回代过程。 顺利进行的条件：系数矩阵A 不为零；A 是对称正定矩阵，A 是严格对角占优矩阵。 2.列主元高斯消去法 失真：小主元出现，出现小除数，转化为大系数，引起较大误差。 解决：在消去过程的第K 步，交换主元。 还有行主元法，全主元法。 3.三角分解法 杜立特尔分解即LU 分解。 用于解方程LY b AX b LUX b UX Y =?=→=→? =? ； 用于求1122...nn A LU L U U u u u ====。 克罗特分解：11()()A LU LDD U LD D U --===，下三角阵和单位上三角阵的乘积。 将杜立特尔分解或克罗特分解应用于三对角方程，即为追赶法。 对称正定矩阵的乔列斯基分解，T A GG =，下三角阵及其转置矩阵的乘积；用于求解 AX b =的平方根法。 改进平方根法：利用矩阵的T A LDL =分解。 4.舍入误差对解的影响
第一性原理计算方法讲 义 标准化管理部编码-[99968T-6889628-J68568-1689N]
第一性原理计算方法 引言 前面讲述的有限元和有限差分等数值计算方法中，求解的过程中需要知道一些物理参量，如温度场方程中的热传导系数和浓度场方程中的扩散系数等，这些参量随着材料的不同而改变，需要通过实验或经验来确定，所以这些方法也叫做经验或者半经验方法。而第一性原理计算方法只需要知道几个基本的物理参量如电子质量、电子的电量、原子的质量、原子的核电荷数、布朗克常数、波尔半径等，而不需要知道那些经验或半经验的参数。第一性原理计算方法的理论基础是量子力学，即对体系薛定额方程的求解。 量子力学是反映微观粒子运动规律的理论。量子力学的出现，使得人们对于物质微观结构的认识日益深入。原则上，量子力学完全可以解释原子之间是如何相互作用从而构成固体的。量子力学在物理、化学、材料、生物以及许多现代技术中得到了广泛的应用。以量子力学为基础而发展起来的固体物理学，使人们搞清了“为什么物质有半导体、导体、绝缘体的区别”等一系列基本问题，引发了通讯技术和计算机技术的重大变革。目前，结合高速发展的计算机技术建立起来的计算材料科学已经在材料设计、物性研究方面发挥着越来越重要的作用。 但是固体是具有～1023数量级粒子的多粒子系统，具体应用量子理论时会导致物理方程过于复杂以至于无法求解，所以将量子理论应用于固体系统必须采用一些近似和简化。绝热近似（Born-Oppenheimei近似）将电子的运动和原子核的运动分开，从而将多粒子系统简化为多电子系统。Hartree-Fock近似将多电子问题简化为仅与以单电子波函数（分子轨道）为基本变量的单粒子问题。但是其中波函数的行列式表示使得求解需要非常大的计算量；对于研究分子体系，他可以作为一个很好的出发点，但是不适于研究固态体系。1964年，Hohenberg和Kohn提出了严格的密度泛函理论（Density Functional Theory, DFT）。它建立在非均匀电子气理论基础之上，以粒子数密度()r 作为基本变量。1965年，Kohn和Sham提出Kohn-Sham方程将复杂的多电子问题及其对应的薛定谔方程转化为相对简单的单电子问题及单电子Kohn-Sham方程。将精确的密度泛函理论应用到实际，需要对电子间的交换关联作用进行近似。局域密度近似（LDA）、广义梯度近似（GGA）等的提出，以及以密度泛函理论为基础的计算方法（赝
第2章流体的P-V-T关系 基本要求 1.掌握状态方程式和用三参数对应态原理计算PVT性质的方法。 2.了解偏心因子的概念，掌握有关图表及计算方法。 1.状态方程：在题意要求时使用该法。 ①范德华方程：常用于公式证明和推 导中。 ②R—K 方程： ③维里方程： 2.普遍化法：使用条件：在不清楚用何种 状态方程的情况下使用。 三参数法： ①普遍化压缩因子法 ②普遍化第二维里系数法 第3章纯物质的热力学性质 本章要求 1.掌握热力学性质间的基本关系式，并能用P-V-T关系计算有关热力学性质。 2.了解热力学性质图、表的制作原理，学会工程上常用热力学图表的使用。重点弄
清剩余性质的概念，并能计算。 3.1 热力学性质间的关系 dU TdS pdV =- H=U+PV dH TdS Vdp =+ A=U-TS d A S d T p =-- G=H-TS d G S d T V =-+ Maxwell 关系式 S V T P V S ?????? =- ? ? ?????? S P T V P S ?????? = ? ??????? V T P S T V ??????= ? ??????? P T V S T P ?????? =- ? ? ?????? 推荐记忆法：T → V ↑↓顺② P → S 逆① 其中，顺②=逆①时， S P ??? ???? 带“－”号 要求：根据热力学第一定律，结合状态函数和数学知识，推导得出有关热力学性质之间的关系式。 推导H ?和S ?的计算公式的一般步骤： 1.任意设关系。------依题意，根据经验得出一推导简便的关系式
第一章 绪 论 本章以误差为主线，介绍了计算方法课程的特点，并概略描述了与算法相关的基本概念，如收敛性、稳定性，其次给出了误差的度量方法以及误差的传播规律，最后，结合数值实验指出了算法设计时应注意的问题． §1.1 引 言 计算方法以科学与工程等领域所建立的数学模型为求解对象，目的是在有限的时间段内利用有限的计算工具计算出模型的有效解答。 由于科学与工程问题的多样性和复杂性，所建立的数学模型也是各种各样的、复杂的. 复杂性表现在如下几个方面：求解系统的规模很大，多种因素之间的非线性耦合，海量的数据处理等等，这样就使得在其它课程中学到的分析求解方法因计算量庞大而不能得到计算结果，且更多的复杂数学模型没有分析求解方法． 这门课程则是针对从各种各样的数学模型中抽象出或转化出的典型问题，介绍有效的串行求解算法，它们包括 (1) 非线性方程的近似求解方法； (2) 线性代数方程组的求解方法； (3) 函数的插值近似和数据的拟合近似； (4) 积分和微分的近似计算方法； (5) 常微分方程初值问题的数值解法； (6) 优化问题的近似解法；等等 从如上内容可以看出，计算方法的显著特点之一是“近似”． 之所以要进行近似计算，这与我们使用的工具、追求的目标、以及参与计算的数据来源等因素有关． 计算机只能处理有限数据，只能区分、存储有限信息，而实数包含有无穷多个数据，这样，当把原始数据、中间数据、以及最终计算结果用机器数表示时就不可避免的引入了误差，称之为舍入误差． 我们需要在有限的时间段内得到运算结果，就需要将无穷的计算过程截断， 从而产生截断误差． 如 +++=! 21 !111e 的计算是无穷过程，当用 ! 1 !21!111n e n ++++= 作为e 的近似时，则需要进行有限过程的计算，但产生了 截断误差e e n -．
习题二 1. 用二分法求方程0134=+-x x 在区间【0.3,0.4】内的根，要求误差不超过2102 1-?。 3.方程0123=--x x 在1.5附近有根，把方程写成4种不同的等价形式，并建立相应的迭代公式。 （1）231x x +=，32 11n n x x +=+ （2）211x x + =，=+1n x 211n x + （3）1 1 2 -= x x ，=+1n x 1 1-n x
（4）132-=x x ，= +1n x 13-n x 4.用迭代法求02.05 =--x x 的正根，要求准确到小数点后第5位 解：迭代公式:512.0+=+x x n 7.用迭代-加速公式求方程x e x -=在x=0.5附近的根，要求准确到小数点后第4位 解：迭代公式：x n e x -+=1，n n x q q x q x ---= +1111 8用埃特金加速法求方程13 -=x x 在区间【1,1.5】内的根，要求准确到小数点后第4位 解：迭代公式：13 1-=+x x n ，13 12-=++n n x x ，n n n n n n n x x x x x x x +--= ++-++122 1 212
9.用牛顿法求方程0133=--x x 在20=x 附近的根，要求准确到小数点后第3位 解：迭代公式：3 31 32 31 ----=+n n n n n x x x x x 11.分别用单点和双点弦截法求方程013 =--x x 在【1,1.5】内的根，要求 51102 1 ||-+?≤ -n n x x 解：单点：)111() 111()1(1 13 1--------- =+n n n n x x x x 双点：)1() 1()1(3 13 1311--------- =---+n n n n n n n n n n x x x x x x x x x x
幂的运算 一、知识网络归纳 二、学习重难点 学习本章需关注的几个问题： ●在运用n m n m a a a +=?（m 、n 为正整数），n m n m a a a -=÷（0≠a ，m 、n 为正整数且m ＞n ），mn n m a a =)(（m 、n 为正整数），n n n b a ab =)(（n 为正整数），)0(10≠=a a ，n n a a 1 = -（0≠a ，n 为正整数）时，要特别注意各式子成立的条件。 ◆上述各式子中的底数字母不仅仅表示一个数、一个字母，它还可以表示一个单项式，甚至还可以表示一个多项式。换句话说，将底数看作是一个“整体”即可。 ◆注意上述各式的逆向应用。如计算20052004425.0?，可先逆用同底数幂的乘法法则将20054写成442004?，再逆用积的乘方法则计算 11)425.0(425.02004200420042004==?=?，由此不难得到结果为1。 ◆通过对式子的变形，进一步领会转化的数学思想方法。如同底数幂的乘法
就是将乘法运算转化为指数的加法运算，同底数幂的除法就是将除法运算转化为指数的减法运算，幂的乘方就是将乘方运算转化为指数的乘法运算等。 ◆在经历上述各个式子的推导过程中，进一步领悟“通过观察、猜想、验证与发现法则、规律”这一重要的数学研究的方法，学习并体会从特殊到一般的归纳推理的数学思想方法。 一、同底数幂的乘法 1、同底数幂的乘法 同底数幂相乘，底数不变，指数相加. 公式表示为：()m n m n a a a m n +?=、为正整数 2、同底数幂的乘法可推广到三个或三个以上的同底数幂相乘，即 () m n p m m p a a a a m n p ++??=、、为正整数 注意点： （1） 同底数幂的乘法中，首先要找出相同的底数，运算时，底数不变，直接把指数相加，所得的和作为积的指数. （2） 在进行同底数幂的乘法运算时，如果底数不同，先设法将其转化为相同的底数，再按法则进行计算. 例题： 例1：计算列下列各题 （1） 34a a ?； （2） 23b b b ?? ； （3） ()()()2 4 c c c -?-?- 简单练习： 一、选择题 1. 下列计算正确的是( ) A.ａ2+ａ3=ａ5 B.ａ2·ａ3=ａ5 C.3m +2m =5m D.ａ2+ａ2=2ａ4 2. 下列计算错误的是( ) A.5ｘ2-ｘ2=4ｘ2 B.ａm +ａm =2ａm C.3m +2m =5m D.ｘ·ｘ2m-1= ｘ2m 3. 下列四个算式中①ａ3·ａ3=2ａ3 ②ｘ3+ｘ3=ｘ6 ③ｂ3·ｂ·ｂ2=ｂ 5 ④ p 2+p 2+p 2=3p 2 正确的有( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 4. 下列各题中，计算结果写成底数为10的幂的形式，其中正确的是( ) A.100×102=103 B.1000×1010=103 C.100×103=105 D.100×1000=104 二、填空题 1. ａ4·ａ4=_______；ａ4＋ａ4=_______。 2、 b 2·b ·b 7 =________。 3、103·_______=1010 4、(-ａ)2·(-ａ)3·ａ5 =__________。 5、ａ5·ａ( )=ａ2·( ) 4=ａ18 6、(ａ+1)2·(1+ａ)·(ａ+1)5 =__________。 中等练习： 1、 (-10)3·10+100·(-102 )的运算结果是( ) A.108 B.-2×104 C.0 D.-104
第一性原理计算方法 引言 前面讲述的有限元和有限差分等数值计算方法中，求解的过程中需要知道一些物理参量，如温度场方程中的热传导系数和浓度场方程中的扩散系数等，这些参量随着材料的不同而改变，需要通过实验或经验来确定，所以这些方法也叫做经验或者半经验方法。而第一性原理计算方法只需要知道几个基本的物理参量如电子质量、电子的电量、原子的质量、原子的核电荷数、布朗克常数、波尔半径等，而不需要知道那些经验或半经验的参数。第一性原理计算方法的理论基础是量子力学，即对体系薛定额方程的求解。 量子力学是反映微观粒子运动规律的理论。量子力学的出现，使得人们对于物质微观结构的认识日益深入。原则上，量子力学完全可以解释原子之间是如何相互作用从而构成固体的。量子力学在物理、化学、材料、生物以及许多现代技术中得到了广泛的应用。以量子力学为基础而发展起来的固体物理学，使人们搞清了“为什么物质有半导体、导体、绝缘体的区别”等一系列基本问题，引发了通讯技术和计算机技术的重大变革。目前，结合高速发展的计算机技术建立起来的计算材料科学已经在材料设计、物性研究方面发挥着越来越重要的作用。 但是固体是具有?1023数量级粒子的多粒子系统，具体应用量子理论时会导致物理方程过于复杂以至于无法求解，所以将量子理论应用于固体系统必须采用一些近似和简化。绝热近似（Born-Oppenheimei 近似）将电子的运动和原子核的运动分开，从而将多粒子系统简化为多电子系统。Hartree-Fock 近似将多电子问题简化为仅与以单电子波函数（分子轨道）为基本变量的单粒子问题。但是其中波函数的行列式表示使得求解需要非常大的计算量；对于研究分子体系，他可以作为一个很好的出发点，但是不适于研究固态体系。1964年，Hohenberg和Kohn提出了严格的 密度泛函理论（Density Functional Theory, DFT ）。它建立在非均匀电子气理论基础之上，以粒子数密度（『）作为基本变量。1965年，Kohn和Sham提出Kohn-Sham方程将复杂的多电子问题及其对应的薛定谔方程转化为相对简单的单电子问题及单电子Kohn-Sham方程。将精确的密度泛函理 论应用到实际，需要对电子间的交换关联作用进行近似。局域密度近似（LDA、广义梯度近似（GGA 等的提出，以及以密度泛函理论为基础的计算方法（赝势方法、全电子线形缀加平面波方法（FLAPW）等、的提出，使得密度泛函理论在化学和固体物理中的电子结构计算取得了广泛的应用，从而使得固体材料的研究取得长足的进步。 第一性原理计算方法的应用 1、体系的能量
第六章 函数逼近 用简单的函数近似代替复杂函数，是计算数学中最基本的方法之一。近似又 称为逼近，被逼近的函数与逼近函数之差)()()(x p x f x R -=称为逼近的误差或余项。 简单函数：仅用加、减、乘、除。多项式是简单函数。插值也可 以理解为一种逼近形式。用 Taylor 展开： 10)1(00) (000)()! 1()()(!)())(()()(++-++-+ -'+=n n n n x x n f x x n x f x x x f x f x f ξ 的部分和逼近f (x )也是一种逼近方法，其特点是：x 越接近于x 0，误差就越小。如何在给定精度下求出计算量最小的近似式，这就是函数逼近要解决的问题。逼近的度量标准有：一致逼近和平方逼近。 6.1 函数内积 本节介绍几个基本定义：权函数、内积、正交、正交函数系。 定义1 设ρ (x )定义在有限或无限区间[a , b ]上，若具有下列性质：(1) ρ (3) 对非负的连续函数g (x )，若?=b a dx x x g 0)()(ρ，则在(a , b )上g (x ) ≡ 0，称ρ (x )为[a , b ]上的权函数。 常用权函数有：2 11)(],1,1[x x -= -ρ； x e x -=∞)(],,0[ρ；2 )(],,[x e x -=∞+-∞ρ；1)(],1,1[=-x ρ等。 定义2 设f (x )，g (x ) ∈ C [a , b ]，ρ (x )是[a , b ]上的权函数，则称 ?=b a dx x g x f x g f )()()(),(ρ为f (x )与g (x )在[a , b ]上以ρ (x )为权函数的内积。 内积有如下性质：(1) (f , f )≥0，且(f , f )=0 ? f = 0；(2) (f , g ) = (g , f )；
专题分析： 加减巧算主要是运用“凑整”的方法，把接近整十、整百、整千的数看做所接近的数进行简算。凑整之后，对于原数与整十、整百、整千……相差的数，要根据“多加要减去，少加要加上，多减要加上，少减要减去”的原则进行处理。另外，可结合加法交换律、结合律及减法性质凑整，从而达到简算目的。 在进行加减运算时，为了又快又准确，除了要熟练地掌握计算法则外，还需要掌握一些巧算方法。加减法的巧算主要是“凑整”，就是将算式中的数分成若干组，使每组的运算结果都是整十、整百、整千......的数，再将各组的结果求和。这种“化零为整”的思想是加减法巧算的基础。加法具有以下两个运算律： （1）加法交换律：两个数相加，交换加数的位置，它们的和不变。即a+b=b+a 一般地，多个数相加，任意改变相加的次序，其和不变。 （2）加法结合律：三个数相加，先把前两个数相加，再加上第三个数；或者，先把后两个相加，再与第一个数相加，它们的和不变。即a+b+c=（a+b）+c=a+（b+c） 借数凑整法：直观上凑整不明显的可以“借数”凑整。 （1）在加、减法混合运算中，去括号时，如果括号前面是“+”号，那么去掉括号后，括号内的数的运算符号不变；如果括号前面是“—”号，那么去掉括号后，括号内的数的运算符号“+”变为“—”，变为“+”。例如， （2）在加减法混合运算中，添括号时，如果添加的括号前面是“+”号，那么括号内的数的原运算符号不变；如果添加的括号前面“—”号，那么括号内的数的原运算符号“+”变为“—”，“—”变为“+” 在进行加减运算时，为了又快又准确地算出结果，除了要熟练地掌握运算法则外，还需要掌握一些常用运算方法和技巧。 ?在速算与巧算中常用的三大基本思想： 1.凑整（目标：整十整百整千...） 2.分拆（分拆后能够凑成整十整百整千...） 3.组合(合理分组再组合 ) 加法交换律：两个数相加，交换加数的位置，它们的和不变。即 a+b=b+a。一般地，多个数相加，任意改变相加的次序，其和不变。 加法结合律：几个数相加，先把前两个数相加，再加上第三个数；或者，先把后两个数相加，再与第一个数相加，它们的和不变。即a+b+c = (a+b)+c = a+(b+c)，
第二章小结： 1．运动副及其分类，运动链，机构。 2．机构运动简图绘制 3．（平面）机构自由度的计算，计算自由度的三个注意事项，机构具有确定运动的条件。 4．机构的组成原理及结构分类，基本杆组条件。 第三章小结： 1．瞬心的确定，三心定理，用瞬心法对机构速度分析。 2．（矢量方程）图解法对机构速度和加速度分析： （1）同一构件上两点速度关系及加速度关系（随基点平动加绕基点转动），速度多边形，加速度多边形。 已知同一构件上的两个点速度﹑加速度，其它点的速度和加速度可分别利用速度影像和加速度影像得到。 （2）两个构件重合点运动关系（绝对运动等于牵连运动加上相对运动），哥氏加速度大小及方向。 注意点：矢量有大小和方向，矢量方程可解两个未知量；牵连运动有转动角速度时，哥氏加速度一般不为零（即哥氏加速度存在）；当两构件组成移动副且两构件均为运动构件时，两构件角速度相等。 3．利用解析法求位置﹑速度﹑加速度，各种解析法的共同点及不同点。矢量方程及坐标分解
第四章小结： 1．机构力分析的目的，何谓静力分析和动态静力分析？惯性力的确定方法，动代换和静代换的条件。 2．移动副中当量摩擦系数和当量摩擦角的概念，及其在螺旋副中的应用；转动副中摩擦圆的概念，及其在考虑摩擦时机构力分析中应用。 3．构件杆组静定条件；机构动态静力分析图解法的步骤即：运动分析﹑确定惯性力﹑确定首解杆组（首解副）﹑逐一列杆组的矢量方程（包括力和力矩方程）﹑逐一用力多边形求解。 4．不同解析法中的共同点和不同点。 5．仅考虑摩擦时的（静）力分析 第五章小结： 1．利用功﹑功率﹑力矩﹑力表达机械效率方式；串联﹑并联﹑混联机组的机械效率计算。 2．何谓自锁? 自锁条件的几种求解方法。自锁在工程中的应用举例。3．螺旋机构的上升和下降效率﹑自锁条件。 第六章小结： 1．静平衡和动平衡的条件及计算，适用场合。 2．机构平衡的条件，机构平衡的实质，机构平衡的不同方法（完全
计算方法（C） 目录 第1章绪论 1.1 数值计算 1.2 数值方法的分析 1.2.1计算机上数的运算 1.2.2算法分析 第2章线性代数方程组 2.1 Gauss消去法 2.1.1消去法 2.1.2主元消去法 2.2 矩阵分解 2.2.1Gauss消去法的矩阵意义 2.2.2矩阵的LU分解及其应用 2.2.3其他类型矩阵的分解 2.2.4解三对角矩阵的追赶法 2.3线性方程组解的可靠性 2.3.1向量和矩阵范数 2.3.2残向量与误差的代数表征 2.4解线性方程组解的迭代法 2.4.1基本迭代法 2.4.2迭代法的矩阵表示 2.4.3收敛性
第3章数据近似 3.1 多项式插值 3.1.1插值多项式 3.1.2Lagrange插值多项式 3.1.3Newton插值多项式 3.1.4带导数条件的插值多项式 3.1.5插值公式的余项 3. 2 最小二乘近似 3.2.1 最小二乘问题的法方程 3.2.2 正交化算法 第4章数值微积分 4.1 内插求积，Newton-Cotes公式 4.1.1Newton-Cotes公式 4.1.2复化求积公式 4.1.3步长的选取 4.1.4Romberg方法 4.1.5待定系数法 4.2数值微分 4.2.1插值公式方法 4.2.2Taylor公式方法(待定系数法) 4.2.3外推法 第5章非线性方程求解
5.1 解一元方程的迭代法 5.1.1简单迭代法 5.1.2Newton法 5.1.3割线法 5.1.4区间方法 5.2 收敛性问题 5.2.1简单迭代——不动点 5.2.2收敛性的改善 5.2.3Newton法的收敛性 5.2.4收敛速度 第1章绪论 1.1数值计算 现代科学的发展，已导致科学与技术的研究从定性前进到定量，尤其是现代数字计算机的出现及迅速发展，为复杂数学问题的定量研究与解决，提供了强有
宇宙速度的计算方法 第一宇宙速度的计算方法 第一宇宙速度（V 1）： 航天器沿地球表面作圆周运动时必须具备的速度，也叫环绕速度。按照力学理论可以计算出V 1＝7．9km/s 。航天器在距离地面表面数百公里以上的高空运行，地面对航天器引力比在地面时要小，故其速度也略小于V 1 第二宇宙速度的计算方法 1.第二宇宙速度（V 2）： 当航天器超过第一宇宙速度V 1达到一定值时，它就会脱离地球的引力场而成为围绕太阳运行的人造行星，这个速度就叫做第二宇宙速度，亦称逃逸速度。按照力学理论可以计算出 第三宇宙速度（V3） 从地球表面发射航天器，飞出太阳系，到浩瀚的银河系中漫游所需要的最小速度，就叫做第三宇宙速度。按照力学理论可以计算出第三宇宙速度V 3＝16．7公里／秒。需要注意的是，这是选择航天器入轨速度与地球公转速度方向一致时计算出的V 3值；如果方向不一致，所需速度就要大于16．7公里／秒了。可以说，航天器的速度是挣脱地球乃至太阳引力的惟一要素，目前只有火箭才能突破宇宙速度 设物体以第三宇宙速度抛出时具有的动能为1232E mV k =，这部分动能应该包括两部分：即脱离地球引 力的动能E k1和脱离太阳引力的动能E k2。即：E k ＝E k1+E k2。易知：1 2122E mV k =，V 2为地球第二宇宙 速度。下面再求E k2： 有两点说明：①因为地球绕太阳公转的椭圆轨道的离心率很小，可以当作圆来处理。②发射时个行星对物体的引力很小，可以忽略不计。基于这两点简化，发射过程可以应用机械能守恒定律解题。 物体随地球绕太阳的公转速率等于29.8km/s 倍应该为物体挣脱太阳引力所需的速度，即：'29.842.2/2V km s =（以太阳为参照物）。 如果准备飞出太阳系的物体在地球上的发射方向与地球绕太阳公转方向相同，便可以充分利用地球公转速度，这样物体在离开地球时只需要有相对地球的速度V’＝42.2-29.8=12.4km/s 的速率便可以脱离太阳系。与此相对应的动能为： 12'22 E mV k = 既能摆脱地球引力也能摆脱太阳引力所需要的总动能为： 222 312222232111'222 'k k k E mV E E mV mV V V V = =＝＋＋＝＋
第一章习题 2．按四舍五入原则，将下列各数舍入成5位有效数字： 816．9567 6。000015 17。32250 1．235651 93。18213 0。01523623 答案：816。96 6。0000 17。323 1．2357 93。182 0。015236 3．下列各数是按四舍五入原则得到的近似数，它们各有几位有效数字？ 81．897 0。00813 6。32005 0。1800 答案：5 3 6 4 4．若1/4用0。25来表示，问有多少位有效数字？ 答案：任意多位 5．若a=1.1062 , b=0.947 是经过舍入后得到的近似值，问：a+b, ab 各有几位有效数字？ 答案：3 ， 3 因为45110211021--?=?= da 33102 11021--?=?=db 31234102 1102110211021)(----?=?≤?+?=+=+db da b a d 4)15(102110121---?=??=a d r ，2)13(1018 110921---?=??=b d r 22410181101811021)(---?≈?+?=+=b d a d ab d r r r 6．设y 1=0.9863, y 2=0.0062是经过舍入后作为x 1和x 2的近似值，求1/y 1和1/y 2的计算值与真值的相对误差限及y 1y 2和真值的相对误差限。 答案： 53)14()1(*1*111*11*1*11*11*1*1 1106.51018 110921102111 11------?=?=??=?≤-=-=-=-n y y y y y y y y y y y y y y α也可用5)14(111 121111106.5109 21111)1(1---?=??====y dy y dy y y y d y d r 同理 31)12()1(*2*22*2*2 2103.81012 11062110211 11------?=?=??=?≤-==-n y y y y y y α 3 35*2*22)1*11*2*1*2*12*12*121*2*1*2 *121104.8103.8106.5---?≈?+?≤-+-=-+-=-y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y
第五章最小二乘法与曲线拟合小结 一、本章知识梳理 1、 从整体上考虑近似函数同所给数据点 (i=0,1,…,m)误差 (i=0,1,…,m) (i=0,1,…,m)绝对值的最大值，即误差向量 的∞—范数；二是误差绝对值的和，即误差向量r的1—范数；三是误差 平方和的算术平方根，即误差向量r的2—范数；前两种方法简单、自然，但不便于微分运算，后一种方法相当于考虑 2—范数的平方，因此在曲线拟合 中常采用误差平方和来度量误差 (i=0，1，…，m)的整体大小。 数据拟合的具体作法是：对给定数据 (i=0,1,…，m)，在取定的函 数类中,求,使误差(i=0,1,…,m)的平方和最小，即 从几何意义上讲，就是寻求与给定点 (i=0,1,…,m)的距离平方和为最小 的曲线（图6-1）。函数称为拟合函数或最小二乘解，求拟合 函数的方法称为曲线拟合的最小二乘法。 2、多项式拟合 假设给定数据点 (i=0,1,…,m)，为所有次数不超过的多项式构成的函数类，现求一,使得 (1) 当拟合函数为多项式时，称为多项式拟合，满足式（1）的称为最小二乘 拟合多项式。特别地，当n=1时，称为线性拟合或直线拟合。 显然 为的多元函数，因此上述问题即为求的极值问题。由多元函数求极值的必要条件，得 (2) 即
(3) （3）是关于的线性方程组，用矩阵表示为 (4) 式（3）或式（4）称为正规方程组或法方程组。 可以证明，方程组（4）的系数矩阵是一个对称正定矩阵，故存在唯一解。 从式（4）中解出 (k=0,1,…，n)，从而可得多项式 (5) 可以证明，式（5）中的满足式（1），即为所求的拟合多项式。我 们把称为最小二乘拟合多项式的平方误差，记作 由式(2)可得 (6) 多项式拟合的一般方法可归纳为以下几步： (1) 由已知数据画出函数粗略的图形——散点图，确定拟合多项式的次数n； (2) 列表计算和； (3) 写出正规方程组，求出； (4) 写出拟合多项式。 在实际应用中，或；当时所得的拟合多项式就是拉格朗日或牛 顿插值多项式。 3、曲线拟合： 曲线拟合，即把一组数据拟合为曲线，需遵循最小二乘法。常用双曲线型和指数型函数。
第四章 线性方程组 许多科学技术问题可归结为有多个未知量x 1, x 2, …, x n 的线性方 程组：?????? ?=+++=+++=+++n n nn n n n n n n b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a 22112 222212*********，这里a ij 为系数。方程组的矩阵形式为：AX = B ，其中?? ?? ??? ??=??????? ??=??? ??? ? ??=n n nn n n n n b b b B x x x X a a a a a a a a a A 2121212222111211,,。 线性方程组的数值解法有直接法和迭代法两大类。直接法不考虑 舍入误差，通过有限步骤四则运算即能求得线性方程组的解。用克莱姆法则来求解线性代数方程组并不实用。 4.1高斯消去法 高斯消去法思想是通过逐步消元，把方程组化为系数矩阵为三角 形，用回代法解此三角形方程组。 三角形方程组 三角形方程组分：下三角???????=+++=+=n n nn n n b x a x a x a b x a x a b x a 221122 221211111 和上三角 ?? ? ? ?? ?==++=+++n n nn n n n n b x a b x a x a b x a x a x a 222221 1212111两类。 若a ii ≠ 0，i = 1, 2,…, n ，则下三角的解为：
???? ?----==--kk k k k k k k k a x a x a x a b x a b x /)(11,221111 11 ，k = 2, 3,…, n ，称为前推。 若a ii ≠ 0, i = 1, 2,…, n ，则上三角解为 ???? ?---==++kk n kn k k k k k nn n n a x a x a b x a b x /)(11, ，k = n-1, n-2,…, 1，称为回代。 高斯消去法的过程实例 例 求解?????=++II =++I =++III) (323034)(5253)(6 432321 321321x x x x x x x x x 。（I ）乘（2 3-）后加到（II ）上，（I ）乘（2 4-）后加（III ）上，可消去（II ）、（III ）中 x 1，?? ???=+-II -=-I =++III) (20 223)(4 45.0)(6 4323232321x x x x x x x 。 （II ）乘（5.03）后加（III ），得：?? ???-=-II -=-I =++III) (42)(4 45.0)(6 432332321x x x x x x ，回代得x 3 = 2， x 2 = 8，x 1 = -13。 将原方程组转化为：?? ?? ???? ?==+=+++=+++++-+---++)(1,) 1(1,1)1(1) 2(1 ,2)2(23)2(232) 1(1,1)1(13)1(132)1(121 n n n n n n n n n nn n n n n n n n a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x ，回代公式为：?? ???-=-==∑+=++1 ,,1,1 )() (1,) (1 , n k x a a x a x n k j j k kj k n k k n n n n 。高斯消去法分为消元与回代过 程。算法复杂度为n 3。 例 求解???=+=+00.200.100.100.100.10001.02 121x x x x 。精确解为：00010.1999910000 1≈= x ，99990.09999 9998 2≈= x 。用消去法第一步以0.0001为主元，从第二个方程