1．第1题
设是n 阶齐次线性方程的线性无关的解, 其中是连续函数. 则
A. 的朗斯基行列式一定是正的;
B. 的朗斯基行列式一定是负的;
C. 的朗斯基行列式可有零点, 但不恒为零;
D. 的朗斯基行列式恒不为零.
A.A
B.B
C.C
D.D
您的答案：B
题目分数：2
此题得分：2.0
2．第2题
满足初始条件和方程组的解为
( ).
A. ;
B.
; C.
—; D. .
A..
B..
C..
D..
您的答案：B
题目分数：2
此题得分：2.0
3．第6题
下列四个微分方程中, 三阶常微分方程有( )个.
(i) , (ii) ,
(iii) , (iv) .
A.1
B.2
C.3
D.4
您的答案：C
题目分数：2
此题得分：2.0
4．第8题
是某个初值问题的唯一解，其中方程是, 则初始条件应该是( ).
—
A. ,
B. ,
C. ,
D. .
A.A
B.B
C.C
D.D
您的答案：A
题目分数：2
此题得分：2.0
5．第9题
可将一阶方程化为变量分离方程的变换为
A. ；
B.
； C. ； D.
.
A..
B..
C..
D..
您的答案：C
题目分数：2
此题得分：2.0
6．第15题
可将六阶方程化为二阶方程的变换是( ).
A.;
B.
; C.;
D..
A..
B..
C..
D..
您的答案：B
题目分数：2
此题得分：2.0
7．第16题
设，及是连续函数，和是二阶变系数齐次线性方程
的两个线性无关的解, 则以常数变易公式
作为唯一解的初值问题是
A. B.
C. D.
A..
B..
C..
D..
您的答案：B
题目分数：2
此题得分：2.0
8．第18题
设和是方程组的两个基解矩阵, 则
A. 存在某个常数方阵C使得, 其中;
B. 存在某个常数方阵C使得, 其中
;
C. 存在某个常数方阵C使得, 其中;
D. 存在某个常数方阵C使得, 其中.
A..
B..
—
C..
D..
您的答案：A
题目分数：2
此题得分：2.0
9．第20题
微分方程的一个解是( ).
A. ,
B. ,
C. ,
D. .
A..
B..
C..
D..
您的答案：D
题目分数：2
此题得分：2.0
10．第22题
设有四个常微分方程：
(i) , (ii) ,
(iii) , (iv)
.
A.线性方程有一个;
B.线性方程有两个;
C.线性方程有三个;
D.线性方程有四个.
题目分数：2
此题得分：2.0
11．第23题
微分方程是
( ).
A.n阶变系数非齐次线性常微分方程;
B.n阶变系数齐次线性常微分方程;
C.n阶常系数非齐次线性常微分方程;
D.n阶常系数齐次线性常微分方程.
您的答案：A
题目分数：2
此题得分：2.0
12．第24题
设有四个常微分方程：(i) , (ii)
,
(iii) , (iv) .
A.非线性方程有一个;
B.非线性方程有两个;
C.非线性方程有三个;
D.非线性方程有四个.
您的答案：B
此题得分：2.0
13．第25题
是某个初值问题的唯一解，其中方程是, 则初始条件应该是( ).
A. ,
B. ,
C. ,
D. .
A..
B..
C..
D..
您的答案：A
题目分数：2
此题得分：2.0
14．第29题
已知是某一三阶齐次线性方程的解, 则和的伏朗斯基行列式( ).
A. ;
B.
; C.
; D. .
A.A
B.B
C.C
D.D
您的答案：A
题目分数：2
此题得分：2.0
15．第30题
初值问题, 的第二次近似解可以写为( ).
＋
A. 6;
B.
; C.
; D. +.
A..
B..
C..
D..
您的答案：D
题目分数：2
此题得分：2.0
16．第5题
利用降阶法求解二阶方程的过程中, 下划线所指出的那些步骤中, 哪些是关键性的:
解答：这是不显含自变量的二阶方程, 因此可以用第二种降阶法。令(A), 则
.
代入到原方程中可将原方程化为如下的一阶方程:
(B).
这是一个变量分离型的方程. 如果, 可得是原方程的解,
故不妨假设(C), 因此可以约掉一个z, 分离变量后有:
,
两边积分可得:
,
又由, 代入上述方程, 再次分离变量(D)
,
在等式两边积分可得原方程的通解(E):
.
—
A..
B..
C..
D..
E..
您的答案：A,B,C,D,E
题目分数：5
此题得分：5.0
17．第11题
设有方程:, 以下步骤中正确的是:
A. 利用变量变换,
B. 由，有,
C. 代入原方程得到,
D. 整理后可得,
E. 分离变量得到.
A.A
B.B
C.C
D.D
E.E
您的答案：A,B,C,D,E
题目分数：5
此题得分：5.0
18．第12题
以下各个步骤中的哪些能够证明方程的任何两个解之差当x 趋向于正无穷大时趋向于零:
A. 原方程的任何两个解的差是对应齐次方程的解,
B. 对应齐次方程的特征根是,
C. 对应齐次方程的基本解组是,
D. =0, =0,
E. 原方程的任何两个解的差当x 趋向于正无穷大时趋向于零.
A..
B..
C..
D..
E..
您的答案：A,B,C,D,E
题目分数：5
此题得分：5.0
19．第13题
求解方程时, 以下的解题步骤中不能省略的有哪几步:
A. 因为,
B. 所以原方程是恰当方程;
C. 将方程中的重新分项组合,
D. 凑出全微分：,
E. 得到通解：.
A.A
B.B
C.C
D.D
E.E
您的答案：A,B,C,D,E
题目分数：5
此题得分：5.0
20．第14题
以下利用参数法求解一阶隐方程的过程中, 下划线所指出的那些步骤中, 哪些是不能省略的:
解答：引入参数(A)，则原方程可以写为, 将此方程两边对x求导(B), 可得:
, 或(C).
这是一个关于p和x的方程, 且是未知函数p的导数可以解出的一阶常微分方程, 进而还是变量分离型方程. 因此我们将这个方程分离变量:
.(D)
两边积分并求出积分可以得到（C是任意常数）:
,
因此, 将此式和参数的表达式联立, 即得原方程的参数形式解: (E)
.
A..
B..
C..
D..
E..
您的答案：A,B,C,D,E
题目分数：5
此题得分：5.0
21．第19题
如下求解三阶常系数线性方程的过程中, 下划线所指出的部分哪些计算有错误或叙述有错误:
解答：(i) 先求对应齐方程的通解：对应齐方程的特征方程及特征根分别为
(A), , , .
故对应齐方程的通解为(B).
(ii) 因为有特征根非零(C), 故应设原方程的特解有形如, 这里a,b 是待定常数.
代入原方程可得
.
利用对应系数相等便得到代数方程组:
.
由此可解得(D), 故.
(iii) 原方程的通解可以表示为
(E).
A..
B..
C..
D..
E..
您的答案：A,B,C,D,E
题目分数：5
此题得分：5.0
22．第21题
试求方程组的基解矩阵，并求满足初始条件的解
其中, . 判断哪些步骤所得到的结果是正确的：
A. 齐次线性方程组的特征方程是,
B. 矩阵A 的特征根为, 对应的特征向量可分别取为, .
C. 原方程组基解矩阵可取为: .
D. 标准基解矩阵为=.
E. 原方程组满足所给初始条件的解为
A..
B..
C..
D..
E..
您的答案：A,B,C,D,E
题目分数：5
此题得分：5.0
23．第26题
设为方程（ A 为常数矩阵）的一个基解矩阵，试指出如下的断言中哪些是错误的:
A. 可以是也可以不是原方程组的解矩阵,
B. 因为不知道是否有, 故无法判断是否是原方程组的基解矩阵,
C. 存在奇异的常数矩阵C, 使得,
D. 取, 可得到.
E. .
A..
B..
C..
D..
E..
您的答案：A,B,C,D,E
题目分数：5
此题得分：5.0
24．第27题
以下是一阶微分方程的求解过程, 请说明下划线所指出那些步骤中, 哪些是可以省略的:
解答：记, 则(A), 注意到(B)，因此方程不是恰当方程(C). 可以计算
, 因而方程有只与x 有关的积分因子，并且该积分因子可以求出为：
.
将该积分因子乘在原方程的两端：(D), 分项组合为,
或可整理为(E), 最后得到原方程的通解
.
A.A
B.B
C.C
D.D
E.E
您的答案：A,B,C,D,E
题目分数：5
此题得分：5.0
25．第28题
请查出求解一阶线性微分方程的过程中有错误的步骤:
A. 先求解对应齐方程：，分离变量可得,
B. 两边积分求出积分可以得到（C是任意常数）：,
C. 再将常数C 变易为函数：.
D. 代入到原方程中可以得到：,
E. 原方程的通解（C 是任意常数）：.
A.A
B.B
C.C
D.D
E.E
您的答案：A,B,C,D,E
题目分数：5
此题得分：5.0
26．第3题
欧拉方程的一个基本解组为.
您的答案：正确
题目分数：4
此题得分：4.0
27．第4题
利用变换可将伯努利方程化为线性方程.
您的答案：错误
28．第7题
当用比较系数法求方程的一个特解时, 可将这个待定系数的特解设为.
您的答案：错误
29．第10题
对于初值问题可判定其解在的某邻域内存在且唯一, 理由
是在整个平面上连续并且关于y满足李普希茨条件.
您的答案：正确
30．第17题
平面上过点的曲线为, 该曲线上任一点处的切线与切点和原点的连线的夹角为, 则这个曲线应满足的常微分方程是, 初始条件为.
您的答案：正确
常微分方程试题库 二、计算题（每题6分） 1. 解方程：0cot tan =-xdy ydx ； 2. 解方程：x y x y e 2d d =+； 3. 解方程：； 4. 解方程： t e x dt dx 23=+； 5. 解方程：0)2(=+---dy xe y dx e y y ； 6. 解方程：0)ln (3=++dy x y dx x y ； 7. 解方程：0)2()32(3222=+++dy y x x dx y x xy ； 8. 解方程：0485=-'+''-'''x x x x ； 9. 解方程：02)3()5()7(=+-x x x ； 10. 解方程：02=-''+'''x x x ； 11. 解方程：1,0='-'='+'y x y x ； 12. 解方程： y y dx dy ln =； 13. 解方程：y x e dx dy -=； 14. 解方程：02)1(22=+'-xy y x ； 15. 解方程：x y dx dy cos 2=； 16. 解方程：dy yx x dx xy y )()(2222+=+； 17. 解方程：x xy dx dy 42=+； 18. 解方程：23=+ρθ ρ d d ； 19. 解方程：22x y xe dx dy +=； 20. 解方程：422x y y x =-'； 选题说明：每份试卷选2道题为宜。
二、计算题参考答案与评分标准：（每题6分） 1. 解方程：0cot tan =-xdy ydx 解： ,2,1,0,2 ,±±=+==k k x k y π ππ是原方程的常数解， （2分） 当2 ,π ππ+ ≠≠k x k y 时，原方程可化为： 0cos sin sin cos =-dx x x dy y y ， （2分） 积分得原方程的通解为： C x y =cos sin . （2分） 2. 解方程： x y x y e 2d d =+ 解：由一阶线性方程的通解公式 ? ? +? =-),)(()()(dx e x f C e y dx x p dx x p （2分） x x x x dx x dx e Ce dx e C e dx e e C e 3 1 )() (23222+=+=?+?=---?? 分） （分） （22 3. 解方程： 解：由一阶线性方程的通解公式 ??+?=-))(()()(dx e x f C e y dx x p dx x p （2分） =??+?-)sec (tan tan dx xe C e xdx xdx （2分） ?+=)sec (cos 2xdx C x x x C sin cos +=. （2分） 4. 解方程： t e x dt dx 23=+ 解：由一阶线性方程的通解公式 ??+? =-))(()()(dt e t f C e x dt t p dt t p （2分） =??+?-)(323dt e e C e dt t dt （2分） ?+=-)(53dt e C e t t
第十二章 常微分方程 (A) 一、是非题 1．任意微分方程都有通解。( ) 2．微分方程的通解中包含了它所有的解。( ) 3．函数x x y cos 4sin 3-=是微分方程0=+''y y 的解。( ) 4．函数x e x y ?=2是微分方程02=+'-''y y y 的解。( ) 5．微分方程0ln =-'x y x 的通解是()C x y += 2ln 2 1 (C 为任意常数)。( ) 6．y y sin ='是一阶线性微分方程。( ) 7．xy y x y +='33不是一阶线性微分方程。( ) 8．052=+'-''y y y 的特征方程为0522=+-r r 。( ) 9． 221xy y x dx dy +++=是可分离变量的微分方程。( ) 二、填空题 1．在横线上填上方程的名称 ①()0ln 3=-?-xdy xdx y 是 。 ②()()022=-++dy y x y dx x xy 是 。 ③x y y dx dy x ln ?=是 。 ④x x y y x sin 2+='是 。 ⑤02=-'+''y y y 是 。 2．x x y x y cos sin =-'+'''的通解中应含 个独立常数。 3．x e y 2-=''的通解是 。 4．x x y cos 2sin -=''的通解是 。 5．124322+=+'+'''x y x y x y x 是 阶微分方程。 6．微分方程()06 ='-''?y y y 是 阶微分方程。 7．y 1 = 所满足的微分方程是 。
8．x y y 2='的通解为 。 9． 0=+x dy y dx 的通解为 。 10．()2511 2+=+-x x y dx dy ，其对应的齐次方程的通解为 。 11．方程()012=+-'y x y x 的通解为 。 12．3阶微分方程3x y ='''的通解为 。 三、选择题 1．微分方程()043 ='-'+''y y y x y xy 的阶数是( )。 A ．3 B ．4 C ．5 D ． 2 2．微分方程152=-''-'''x y x y 的通解中应含的独立常数的个数为( )。 A ．3 B ．5 C ．4 D ． 2 3．下列函数中，哪个是微分方程02=-xdx dy 的解( )。 A ．x y 2= B ．2x y = C ．x y 2-= D ． x y -= 4．微分方程3 23y y ='的一个特解是( )。 A ．13+=x y B ．()3 2+=x y C ．()2 C x y += D ． ()3 1x C y += 5．函数x y cos =是下列哪个微分方程的解( )。 A ．0=+'y y B ．02=+'y y C ．0=+y y n D ． x y y cos =+'' 6．x x e C e C y -+=21是方程0=-''y y 的( )，其中1C ，2C 为任意常数。 A ．通解 B ．特解 C ．是方程所有的解 D ． 上述都不对 7．y y ='满足2|0==x y 的特解是( )。 A ．1+=x e y B ．x e y 2= C ．2 2x e y ?= D ． x e y ?=3 8．微分方程x y y sin =+''的一个特解具有形式( )。 A ．x a y sin *= B ．x a y cos *?= C ．()x b x a x y cos sin *+= D ． x b x a y sin cos *+= 9．下列微分方程中，( )是二阶常系数齐次线性微分方程。
常微分方程练习试卷 一、 填空题。 1. 方程23 2 10d x x dt +=是 阶 （线性、非线性）微分方程. 2. 方程 ()x dy f xy y dx =经变换_______，可以化为变量分离方程 . 3. 微分方程 3230d y y x dx --=满足条件(0)1,(0)2y y '==的解有 个. 4. 设常系数方程 x y y y e αβγ'''++=的一个特解*2()x x x y x e e xe =++，则此方程的系数α= ，β= ，γ= . 5. 朗斯基行列式 ()0W t ≡是函数组12(),(),,()n x t x t x t 在a x b ≤≤上线性相关的 条件. 6. 方程 22(2320)0xydx x y dy ++-=的只与y 有关的积分因子为 . 7. 已知 ()X A t X '=的基解矩阵为()t Φ的，则()A t = . 8. 方程组 20'05??=???? x x 的基解矩阵为 ． 9.可用变换 将伯努利方程 化为线性方程. 10 .是满足方程 251y y y y ''''''+++= 和初始条件 的唯一解. 11.方程 的待定特解可取 的形式: 12. 三阶常系数齐线性方程 20y y y '''''-+=的特征根是 二、 计算题 1.求平面上过原点的曲线方程, 该曲线上任一点处的切线与切点和点(1,0)的连线相互垂直. 2．求解方程13 dy x y dx x y +-=-+. 3. 求解方程 222()0d x dx x dt dt += 。 4．用比较系数法解方程. . 5．求方程 sin y y x '=+的通解. 6．验证微分方程 22(cos sin )(1)0x x xy dx y x dy -+-=是恰当方程，并求出它的通解.
一单项选择题(每小题2分, 共40分) 1. 下列四个微分方程中, 为三阶方程的有( )个. (1) (2) (3) (4) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 2. 为确定一个一般的n阶微分方程=0的一个特解, 通常应给出的初始条件是( ). A. 当时, B. 当时, C. 当时, D. 当时, 3. 微分方程的一个解是( ). A. B. C. D.
4. 下列方程中, 既是齐次方程又是线性方程的是( ). A. B. C. D. 5. 若方程是恰当方程, 则（）. A. B. C. D. 6. 若方程有只与y有关的积分因子, 则可取为( ). A. B. C. D. 7. 可用变换( )将伯努利方程化为线性方程. A. B. C. D. 8. 是满足方程和初始条件( )的唯一解. A. B. C. D. 9. 设是n阶齐线性方程的解,
其中是某区间中的连续函数. 如下叙述中, 正确的是( ). A.若的伏朗斯基行列式为零, 则线性无关 B.若的伏朗斯基行列式不为零, 则线性相关 C.若的伏朗斯基行列式不为零, 则线性无关 D.由的伏朗斯基行列式是否为零, 不能确定的线性相关性 10. 设线性无关的函数和是方程的解,则方程 的通解是( ) A.(是任意常数, 下同) B. C. D. 11. 三阶系数齐线性方程的特征根是( ). A. 0, 1, 1 B. 0, 1, -1 C. 1, D. 1, 12. 方程的基本解组是( ).
A. B. C. D. 13. 方程的待定特解可取如下( )的形式: A. B. C. D. 14. 已知是某一三阶齐线性方程的解, 则 和 的伏朗斯基行列式( ). A. 3 B. 2 C. 1 D. 0 15. 可将三阶方程化为二阶方程的变换为( ). A. B. C. D. 16. 方程组满足初始条件的解为( ). A. B. C. D. 17. n阶函数方阵在上连续, 方程组有基解矩阵,
常微分方程第三版答案 Document serial number【KK89K-LLS98YT-SS8CB-SSUT-SST108】
习题 1． dx dy =2xy,并满足初始条件：x=0,y=1的特解。 解： y dy =2xdx 两边积分有：ln|y|=x 2+c y=e 2 x +e c =cex 2另外y=0也是原方程的解，c=0时，y=0 原方程的通解为y= cex 2,x=0 y=1时 c=1 特解为y= e 2 x . 2. y 2dx+(x+1)dy=0 并求满足初始条件：x=0,y=1的特解。 解：y 2dx=-(x+1)dy 2 y dy dy=-1 1+x dx 两边积分: - y 1 =-ln|x+1|+ln|c| y=|)1(|ln 1+x c 另外y=0,x=-1也是原方程的解 x=0,y=1时 c=e 特解：y= | )1(|ln 1 +x c 3．dx dy =y x xy y 321++ 解：原方程为：dx dy =y y 21+31 x x + y y 21+dy=31 x x +dx 两边积分：x(1+x 2)(1+y 2)=cx 2 4. (1+x)ydx+(1-y)xdy=0 解：原方程为： y y -1dy=-x x 1 +dx 两边积分：ln|xy|+x-y=c 另外 x=0,y=0也是原方程的解。
5．（y+x ）dy+(x-y)dx=0 解：原方程为： dx dy =-y x y x +- 令 x y =u 则dx dy =u+x dx du 代入有： -112++u u du=x 1dx ln(u 2+1)x 2=c-2arctgu 即 ln(y 2+x 2)=c-2arctg 2x y . 6. x dx dy -y+22y x -=0 解：原方程为： dx dy =x y +x x | |-2)(1x y - 则令 x y =u dx dy =u+ x dx du 2 11u - du=sgnx x 1 dx arcsin x y =sgnx ln|x|+c 7. tgydx-ctgxdy=0 解:原方程为： tgy dy =ctgx dx 两边积分：ln|siny|=-ln|cosx|-ln|c| siny= x c cos 1=x c cos 另外y=0也是原方程的解，而c=0时，y=0. 所以原方程的通解为sinycosx=c. 8 dx dy +y e x y 32 +=0 解：原方程为：dx dy =y e y 2 e x 3 2 e x 3-3e 2 y -=c.
2005——2006学年第二学期 常微分方程课程试卷（B） 一、填空题（每空2 分，共16分）。 1．李普希滋条件是初值问题存在唯一解的充分条件． 2. 一阶微分方程的一个特解的图像是二 维空间上的一条曲线． 3．线性齐次微分方程组Y A Y ) ( d d x x =的一个基本解组的个数不能多于n个，其中R ∈ x，n R Y∈． 4．二阶线性齐次微分方程的两个解) ( 1 x y? =,) ( 2 x y? =成为其基本解组的充要条件是线性无关． 5．方程2 sin() y xy y '' =+的通解是 6．变量可分离方程()()()()0= +dy y q x p dx y N x M的积分因子是()() x P y N 1 7．性齐次微分方程组的解组) ( , ), ( ), ( 2 1 x x x n Y Y Y 为基本解组的充分必要条件是它们的朗斯基行列式0 ) (≠ x W． 8．方程540 y y y ''' ++=的基本解组是x x e e4 ,- - 二、选择题（每小题3 分，共15分）。 9．两个不同的线性齐次微分方程组（ D ）的基本解组． (A) 一定有相同(B) 可能有相同 (C) 一定有相似(D) 没有相同 10．方程组 ? ? ? ?? ? ? + = + = y x t y y x t x 4 3 d d 2 d d 的奇点)0,0(的类型是（D ）． （A）稳定焦点（B）不稳定焦点（C）鞍点（D）不稳定结点11．方程x(y2－1)d x+y(x2－1)d y=0的所有常数解是（ C ）． (A) 1± = x(B)1± = y
(C )1±=y , 1±=x (D )1=y , 1=x 12．n 阶线性非齐次微分方程的所有解（ D ）． （A ）构成一个线性空间 （B ）构成一个1-n 维线性空间 （C ）构成一个1+n 维线性空间 （D ）不能构成一个线性空间 13．方程4d d +-=x y x y （ A ）奇解． (A) 无 (B) 有一个 (C) 有两个 (D) 可能有 三、计算题（每小题8分，共48分） 。 14．求方程 x y x y x y tan d d +=的通解 解：令x y u =，则u x u y '+='， u x u x tan d d = 当0tan ≠u 时，等号两边积分 1d tan d C x x u u +=?? C x u ln ln sin ln += 0≠C Cx x y =sin 15．求方程0d d )1(2=+--y x x y x 的通解 解：积分因子21)(x x =μ， 则 0d 1d 122=+--y x x x y x 为全微分方程．取10=x ，00=y ，于是通积分为 1012 2d d 1C y x x y x y x =+--?? 即 C x x x y =++1 16．求方程2221)(x y x y y + '-'=的通解 解:令 p y ='，得到2 2 2x xp p y +-= （*） ，两端同时关于求导，
常微分方程试题 一、填空题(每小题3分，共39分) 1.常微分方程中的自变量个数是________. 2.路程函数S(t)的加速度是常数a，则此路程函数S(t)的一般形式是________. 3.微分方程=g( )中g(u)为u的连续函数，作变量变换________，方程可化为变 量分离方程. 4.微分方程F(x,y′)=0中令P=y′,若x、P平面上的曲线F(x,P)=0的参数形式 为x= (t),P=ψ(t),t为参数，则方程参数形式的通解为________. 5.方程=(x+1)3的通解为________. 6.如果函数f(x,y)连续，y= (x)是方程=f(x,y)的定义于区间x0≤x≤x0+h上，满 足初始条件 (x0)=y0的解.则y= (x)是积分方程________定义于x0≤x≤x0+h 上的连续解. 7.方程=x2+xy，满足初始条件y(0)=0的第二次近似解是________. 8.方程+a1(t) +…+a n-1(t) +a n(t)x=0 中a i(t) i=1,2,…，n是〔a,b〕上的连续函数，又x1(t),x2(t),…，x n(t)为方程n 个线性无关的解，则其伏朗斯基行列式W(t) 应具有的性质是：________. 9.常系数线性方程x(4)(t)-2x″(t)+x(t)=0的通解为________. 10.设A(t)是区间a≤t≤b上的连续n×n矩阵，x1(t),x2(t),…，x n(t)是方程组 x′=A(t)x的n个线性无关的解向量.则方程组的任一解向量x(t)均可表示为：x(t)=________的形式. 11.初值问题(t)+2x″(t)-tx′(t)+3x(t)=e-t,x(1)=1,x′(1)=2,x″(1)=3 可化为与之 等价的一阶方程组________. 12.如果A是3×3的常数矩阵，-2为A的三重特征值，则方程组x′=Ax的基 解矩阵exp A t=________. 13.方程组 的奇点类型是________. 二、计算题(共45分) 1.(6分)解方程 = . 2.(6分)解方程 x″(t)+ =0. 3.(6分)解方程 (y-1-xy)dx+xdy=0. 4.(6分)解方程
常微分方程试题
一单项选择题(每小题2分, 共40分) 1. 下列四个微分方程中, 为三阶方程的有( )个. (1) (2) (3) (4) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 2. 为确定一个一般的n阶微分方程=0的一个特解, 通常应给出的初始条件是( ). A. 当时, B. 当时, C. 当时, D. 当时, 3. 微分方程的一个解是( ). A. B. C. D.
4. 下列方程中, 既是齐次方程又是线性方程的是( ). A. B. C. D. 5. 若方程是恰当方程, 则（）. A. B. C. D. 6. 若方程有只与y有关的积分因子, 则可取为( ). A. B. C. D. 7. 可用变换( )将伯努利方程化为线性方程. A. B. C. D. 8. 是满足方程和初始条件( )的唯一解. A. B. C. D. 9. 设是n阶齐线性方程的解,
其中是某区间中的连续函数. 如下叙述中, 正确的是( ). A.若的伏朗斯基行列式为零, 则线性无关 B.若的伏朗斯基行列式不为零, 则线性相关 C.若的伏朗斯基行列式不为零, 则线性无关 D.由的伏朗斯基行列式是否为零, 不能确定的线性相关性 10. 设线性无关的函数和是方程的解,则方程 的通解是( ) A.(是任意常数, 下同) B. C. D. 11. 三阶系数齐线性方程的特征根是( ). A. 0, 1, 1 B. 0, 1, -1 C. 1, D. 1, 12. 方程的基本解组是( ).
A. B. C. D. 13. 方程的待定特解可取如下( )的形式: A. B. C. D. 14. 已知是某一三阶齐线性方程的解, 则 和 的伏朗斯基行列式( ). A. 3 B. 2 C. 1 D. 0 15. 可将三阶方程化为二阶方程的变换为( ). A. B. C. D. 16. 方程组满足初始条件的解为( ). A. B. C. D. 17. n阶函数方阵在上连续, 方程组有基解矩阵,
习题 1 求方程dx dy =x+y 2通过点(0,0)的第三次近似解； 解： 取0)(0=x ? 20020012 1)()(x xdx dx y x y x x x ==++=??? 522200210220 121])21([])([)(x x dx x x dx x x y x x x +=+=++=???? dx x x x y x x ])20 121([)(252003+++=?? = 118524400 1160120121x x x x +++ 2 求方程dx dy =x-y 2通过点(1,0)的第三次近似解； 解： 令0)(0=x ? 则 20020012 1)()(x xdx dx y x y x x x ==-+=??? 522200210220 121])21([])([)(x x dx x x dx x x y x x x -=-=-+=???? dx x x x y x x ])20 121([)(252003--+=?? =118524400 1160120121x x x x -+- 3 题 求初值问题： ?????=-=0 )1(2y x dx dy R ：1+x ≤1，y ≤1 的解的存在区间，并求解第二次近似解，给出在解的存在空间的误差估计； 解： 因为 M=max{22y x -}=4 则h=min(a,M b )=4 1 则解的存在区间为0x x -=)1(--x =1+x ≤4 1 令 )(0X ψ=0 ; )(1x ψ=y 0+?-x x x 0)0(2dx=31x 3+31;
)(2x ψ =y 0+])3131([2132?-+-x x x dx=31x 3-9x -184x -637x +4211 又 y y x f ??),(2≤=L 则：误差估计为：)()(2x x ψ-ψ≤32 2 )12(*h L M +=2411 4 题 讨论方程：31 23y dx dy =在怎样的区域中满足解的存在唯一性定理的条件， 并求通过点（0，0）的一切解； 解：因为y y x f ??),(=3221-y 在y 0≠上存在且连续； 而312 3y 在y 0φσ≥上连续 由 3123y dx dy =有：y =（x+c ）23 又 因为y(0)=0 所以：y =x 2 3 另外 y=0也是方程的解； 故 方程的解为：y =?????≥00023πx x x 或 y=0; 6题 证明格朗瓦耳不等式： 设K 为非负整数，f(t)和g(t)为区间βα≤≤t 上的连续非负函数，
南京农业大学试题纸 2011-2012学年第2 学期课程类型：必修试卷类型：B Array 装 订 线 装 订 线
常微分方程模拟试题(B)参考答案 2012.7 一、填空题（每小题3分，本题共30分） 1．二 2． )()]()([1211x y x y x y C +- 3． ()0W t ≡或00()=0,W t t I ∈ 4． )(x N x N y M ?=??-?? 5.1y =± 6. n 7. 充分 8. 0 0(,)x x y y f x y dx =+ ? 9. 1 ,Re s a s a >- 10. ()+∞∞-, 二、计算题（每小题5分，本题共20分） 11. 解： 齐次方程的通解为 x C y 3e -= (3分) 令非齐次方程的特解为 x x C y 3e )(-= 代入原方程，确定出 C x C x +=5e 5 1)( 原方程的通解为 x C y 3e -=+ x 2e 5 1 （5分） 12. 解： 对应的特征方程为：012 =++λλ， 解得i i 2 3,2321221 1--=+ -=λλ （3分） 所以方程的通解为：)2 3sin 23cos (212 1 t c t c e x t +=- （5分） 13. 1=??y M ，x N ??=1 , x N y M ??=?? 所以此方程是恰当方程. （3分） 凑微分，0)(22 =++-xdy ydx ydy dx x 得 C y xy x =-+23 3 1 （5分） 14． 5,1,dy dt x y t dx dx -===-令则 1,(7)77dt t t dt dx dx t -=---原方程化为：变量分离 （3分） 2 1772 t x c t -=-+两边积分 21 7(5)7.(5)x y x c x y --+=-+-+代回变量 （5分）
常微分方程 1. xy dx dy 2=,并求满足初始条件：x=0,y=1的特解. 解：对原式进行变量分离得 。 故它的特解为代入得 把即两边同时积分得：e e x x y c y x x c y c y xdx dy y 2 2 ,11,0,ln ,21 2 =====+== ,0)1(.22 =++dy x dx y 并求满足初始条件：x=0,y=1的特解. 解：对原式进行变量分离得： 。 故特解是 时，代入式子得。当时显然也是原方程的解当即时，两边同时积分得；当x y c y x y x c y c y x y dy dx x y ++=====++=+=+≠=+- 1ln 11 ,11,001ln 1 ,11ln 0,1112 3 y xy dx dy x y 32 1++ = 解：原式可化为：
x x y x x y x y x y y x y c c c c x dx x dy y y x y dx dy 2 2 2 2 2 2 2 2 322 32)1(1)1)(1(),0(ln 1ln 21ln 1ln 2 1 1 1,0111=++ =++ ≠++-=+ +=+≠+?+=+） 故原方程的解为（即两边积分得故分离变量得显然 .0;0;ln ,ln ,ln ln 0 110000 )1()1(4===-==-+=-++=-=+≠===-++x y c y x xy c y x xy c y y x x dy y y dx x x xy x y xdy y ydx x 故原方程的解为即两边积分时，变量分离是方程的解，当或解：由：
10ln 1ln ln 1ln 1,0 ln 0 )ln (ln :931:8. cos ln sin ln 0 7ln sgn arcsin ln sgn arcsin 1 sgn 11,)1(,,,6ln )1ln(2 11 11,11,,,0 )()(:5332 2 22 2 22 2 22 2 c dx dy dx dy x y cy u d u u dx x x y u dx x y dy x y ydx dy y x x c dy y y y y dx dy c x y tgxdx ctgydy ctgxdy tgydx c x x x y c x x u dx x x du x dx du dx du x u dx dy ux y u x y y dx dy x c x arctgu dx x du u u u dx du x u dx du x u dx dy ux y u x y x y x y dx dy dx x y dy x y e e e e e e e e x y u u x y x u u x y x y y x x x +===+=+-===-?-=--+-=-=+-===-=+?=+?=?=--=+===-+=+-=++ =++-++=++===+-==-++-+-- 两边积分解：变量分离：。 代回原变量得：则有：令解：方程可变为：解：变量分离，得 两边积分得：解：变量分离，得：：也是方程的解。 另外，代回原来变量，得两边积分得：分离变量得：则原方程化为： 解：令：。两边积分得：变量分离，得：则令解：
常微分方程计算题 2.指出下列方程中的阶数，是线性方程还是非线性方程，并说明理由； （1） t 2 2 2dt u d +t dt du +( t 2 -1)u=0 （2） dx dy =x 2+y 2 ; （3）dx dy + 2 x y =0 3.求曲线族y=C 1e x +C 2x e x 所满足的微分方程 4．验证函数y= C 1e x 2+ C 2e x 2-是微分方程y `` -4y=0的解，进一步验证它是通解。 5.试用一阶微分方程形式不变性求解方程dx dy =2x 6.什么叫积分一个微分方程 7．什么是求解常微分方程的初等积分法 8．分离变量一阶方程的特征是什么 9．求下列方程的通解 （1） y ` ＝sinx （2） x 2 y 2 y ` +1=y （3） tgx dx dy =1+y （4） dx dy =exp(2x-y) （5） dx dy =21y 2- （6） x 2 ydx=(1- y 2 +x-2 x 2 y 2 )dx （7）( x 2 +1)( y 2 -1)dx+xydy=0 10.叙述齐次函数的定义 11．试给出一阶方程y ` ＝f(x,y)或p(x,y)dx+ q(x,y)dy=0为齐次方程的特征。说明二
个方程的关系。 12．求解齐次方程通常用什么初等变换，新旧函数导数关系如何 13．求解下列方程 dx dy ＝2 22y x xy - 14．求解下列方程 （1）（x+2y ）dx —xdy=0 (2) dx dy =x y +y x 2 15. dx dy =22y x xy + 16(x 2 +y 2 )dx —2xydy=0 17. dx dy =5 242+---y x x y 18―――――19 20―――――――27
《常微分方程》模拟练习题及参考答案 一、填空题（每个空格4分，共80分） 1、n 阶线性齐次微分方程基本解组中解的个数恰好是 n 个。 2、一阶微分方程 2=dy x dx 的通解为 2=+y x C （C 为任意常数） ，方程与通过点（2，3）的特解为 2 1=-y x ，与直线y=2x+3相切的解是 2 4=+y x ，满足条件3 3ydx =?的解为 22=-y x 。 3、李普希兹条件是保证一阶微分方程初值问题解惟一的 必要 条件。 4、对方程 2()dy x y dx =+作变换 =+u x y ，可将其化为变量可分离方程，其通解为 tan()=+-y x C x 。 5、方程过点共有 无数 个解。 6、方程 ''2 1=-y x 的通解为 42 12122=-++x x y C x C ，满足初始条件13|2,|5====x x y y 的特解为 4219 12264 =-++x x y x 。 7、方程 无 奇解。 8、微分方程2260--=d y dy y dx dx 可化为一阶线性微分方程组 6?=??? ?=+??dy z dx dz z y dx 。 9、方程 的奇解是 y=0 。 10、35323+=d y dy x dx dx 是 3 阶常微分方程。 11、方程 22dy x y dx =+满足解得存在唯一性定理条件的区域是 xoy 平面 。 12、微分方程22450d y dy y dx dx --=通解为 512-=+x x y C e C e ，该方程可化为一阶线性微分方程组 45?=??? ?=+??dy z dx dz z y dx 。 2 1d d y x y -=)1,2 (πx x y x y +-=d d y x y =d d
常微分方程 一、填空题 1 .微分方程(立)n +业—VEX? = 0的阶数是 dx dx 答：1 2 .若M (x, V)和N (x, V)在矩形区域R内是(x, V)的连续函数，且有连续的一阶偏导数，则 方程M (x,y)dx + N(x, y)dy =0有只与V有关的积分因子的充要条件是 血 f N -1 答：(亏一寸M)= (V) 3. ^为齐次方程. 答：形如dV =g(V)的方程 dx x 4 .如果f (x, V) ___________________________________________ M ,业=f (x, V)存在 dx 唯一的解y = %x)，定义丁区问x-x o 8. 若X i (t)(i =1,2,.....n)为齐次线性方程的一个基本解组，x(t)为非齐次线性方程的一个 特解,则非齐次线性方程的所有解可表为 答：X =' c i x i - X i 4 9. 若中(X)为毕卡逼近序列虬(X)}的极限，则有|%x)M n(x)W 答：MLh n1 (n 1)! 10. 为黎卡提方程，若它有一个特解y(x),则经过变换 ____________________ ,可化为伯努利方程. 答：形如—=p(x)y2+q(x)y + r (x)的方程y = z + y dx 11. 一个不可延展解的存在区间一定是区间. 答：开 12. ______________________________________________________________ 方程业=后〔满足解的存在唯一性定理条件的区域是_______________________________ . dx ' 答：D ={(x,y)在R2y >0},(或不含x轴的上半平■面) 13 .方程华=x2sin y的所有常数解是. dx 答：y =k二，k =0, —1, —2, 14. 函数组明(x)*2(x)，…，气(x)在区间I上线性无关的条件是它们的朗 斯基行列式在区间I上不包等丁零. 答：充分 15. 二阶线性齐次微分方程的两个解y〔(x), y2(x)为方程的基本解组充分必要条件 是. 答：线性无关(或：它们的朗斯基行列式不等丁零) 16. 方程广-2y'+y=0的基本解组是 答：e x, xe X 17. 若y =%x)在(s,十8)上连续，则方程d^= 常微分方程 2.1 1. xy dx dy 2=,并求满足初始条件：x=0,y=1的特解. 解：对原式进行变量分离得 。 故它的特解为代入得 把即两边同时积分得：e e x x y c y x x c y c y xdx dy y 2 2 ,11,0,ln ,21 2 =====+== ,0)1(.22 =++dy x dx y 并求满足初始条件：x=0,y=1的特解. 解：对原式进行变量分离得： 。 故特解是 时，代入式子得。当时显然也是原方程的解当即时，两边同时积分得；当x y c y x y x c y c y x y dy dx x y ++=====++=+=+≠=+- 1ln 11 ,11,001ln 1 ,11ln 0,1112 3 y xy dx dy x y 32 1++ = 解：原式可化为： x x y x x y x y x y y x y c c c c x dx x dy y y x y dx dy 2 2 2 2 22 2 2 3 22 3 2 )1(1)1)(1(),0(ln 1ln 21ln 1ln 2 1 1 1,0111=++ =++ ≠++-=+ +=+≠+ ? + =+） 故原方程的解为（即两边积分得故分离变量得显然 .0;0;ln ,ln ,ln ln 0 110000 )1()1(4===-==-+=-++=-=+≠===-++x y c y x xy c y x xy c y y x x dy y y dx x x xy x y xdy y ydx x 故原方程的解为即两边积分时，变量分离是方程的解，当或解：由： 10ln 1ln ln 1ln 1,0 ln 0 )ln (ln :931:8. cos ln sin ln 0 7ln sgn arcsin ln sgn arcsin 1 sgn 11,)1(,,,6ln )1ln(2 11 11,11,,,0 )()(:5332 2 22 2 22 2 22 2 c dx dy dx dy x y cy u d u u dx x x y u dx x y dy x y ydx dy y x x c dy y y y y dx dy c x y tgxdx ctgydy ctgxdy tgydx c x x x y c x x u dx x x du x dx du dx du x u dx dy ux y u x y y dx dy x c x arctgu dx x du u u u dx du x u dx du x u dx dy ux y u x y x y x y dx dy dx x y dy x y e e e e e e e e x y u u x y x u u x y x y y x x x +===+=+-===-?-=--+-=-=+-===-=+?=+?=?=--=+===-+=+-=++ =++-++=++===+-==-++-+-- 两边积分解：变量分离：。 代回原变量得：则有：令解：方程可变为：解：变量分离，得 两边积分得：解：变量分离，得：：也是方程的解。 另外，代回原来变量，得两边积分得：分离变量得：则原方程化为： 解：令：。两边积分得：变量分离，得：则令解： 应 用 题（每题10分） 1、设()f x 在(,)-∞∞上有定义且不恒为零，又()f x '存在并对任意,x y 恒有 ()()()f x y f x f y +=，求()f x 。 2、设()()()F x f x g x =，其中函数(),()f x g x 在(,)-∞∞内满足以下条件 ()(),()(),(0)0,()()2x f x g x g x f x f f x g x e ''===+= （1）求()F x 所满足的一阶微分方程； （2）求出()F x 的表达式。 3、已知连续函数()f x 满足条件320 ()3x x t f x f dt e ??=+ ??? ?，求()f x 。 4、已知函数()f x 在(0,)+∞内可导，()0,lim ()1x f x f x →+∞ >=，且满足 1 1 0()lim ()h x h f x hx e f x →? ?+ ?= ? ?? ? ，求()f x 。 5、设函数()f x 在(0,)+∞内连续，5 (1)2 f =，且对所有,(0,)x t ∈+∞，满足条件 1 1 1 ()()()xt x t f u du t f u du x f u du =+? ??，求()f x 。 6、求连续函数()f x ，使它满足10 ()()sin f tx dt f x x x =+?? 。 7、已知可微函数()f t 满足 31() ()1()x f t dt f x t f t t =-+?，试求()f x 。 8、设有微分方程 '2()y y x ?-=， 其中21 ()01x x x ?? 。试求在(,)-∞∞内的连续函 数()y y x =使之在(,1)-∞和()1,+∞内部满足所给方程，且满足条件(0)0y =。 9、设位于第一象限的曲线()y f x = 过点122?? ? ? ?? ，其上任一点(,)P x y 处的法线与y 轴的交点为Q ，且线段PQ 被x 轴平分。 （1）求曲线()y f x =的方程； （2）已知曲线sin y x =在[0,]π上的弧长为l ，试用l 表示曲线()y f x =的弧长s 。 10、求微分方程(2)0xdy x y dx +-=的一个解()y y x =，使得由曲线()y y x =与直线 1,2x x ==以及x 轴所围成的平面图形绕x 轴旋转一周的旋转体体积最小。 11、设曲线L 位于xOy 平面的第一象限内，L 上任一点M 处的切线与y 轴总相交，交点记为 《常微分方程》测试题1 一、填空题30% 1、形如的方程，称为变量分离方程， 这里.分别为的连续函数。 2、形如-的方程，称为伯努利方程， 这里的连续函数.n 3、如果存在常数-对于所有函数称为在R上 关于满足利普希兹条件。 4、形如-的方程，称为 欧拉方程，这里 5、设的某一解，则它的任一解 - 。 二、计算题40% 1、求方程 2、求方程的通解。 3、求方程的隐式解。 4、求方程 三、证明题30% 1.试验证=是方程组x=x,x= ，在任何不包含原点的区间a上的基解矩阵。 2.设为方程x=Ax（A为nn常数矩阵）的标准基解矩阵（即（0）=E），证明: (t)=(t- t)其中t为某一值.<%建设目标%> 《常微分方程》测试题2 一、填空题：（30%） 1、曲线上任一点的切线的纵截距是切点的横坐标和纵坐标的等差中项，则曲线所满足的 8、已知是二阶齐次线性微分方程的一个非零解，则与线性无关的另一 10、线性微分方程组的解是的基本解组的充要条件是. 二、求下列微分方程的通解：（40%） 1、 2、 3、 4、 5、求解方程． 三、求初值问题的解的存在区间，并求第二次近似解，给出在解的存在区间的误差估计. （10分） 四、求解微分方程组 满足初始条件的解. （10%） 五、证明题：（10%） 设，是方程 的解，且满足==0，，这里在上连续，．试证明：存在常数C使得=C 《常微分方程》测试题3 1．辨别题 指出下列方程的阶数，是否是线性方程：(12%) （1）（2）（3） （4）（5）（6） 2、填空题(8%) （1）．方程的所有常数解是___________. （2）．若y=y1(x)，y=y2(x)是一阶线性非齐次方程的两个不同解，则用这两个解可把其通解表示为________________. （3）.若方程M(x, y)d x + N(x, y)d y= 0是全微分方程，同它的通积分是 ________________. （4）.设M(x0, y0)是可微曲线y=y(x)上的任意一点，过该点的切线在x轴和y轴上的截距分别是_________________. 3、单选题(14%) （1）．方程是（）.常微分方程第三版的课后答案
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