正方形的判定
一．选择题（共8小题）
1．已知四边形ABCD是平行四边形，再从①AB=BC，②∠ABC=90°，③AC=BD，④AC⊥BD四个条件中，选两个作为补充条件后，使得四边形ABCD是正方形，现有下列四种选法，其中错误的是（）
A．选①②B．选②③C．选①③D．选②④
2．下列说法中，正确的是（）
A．相等的角一定是对顶角
B．四个角都相等的四边形一定是正方形
C．平行四边形的对角线互相平分
D．矩形的对角线一定垂直
3．下列命题中是假命题的是（）
A．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
B．一组对边相等且有一个角是直角的四边形是矩形
C．一组邻边相等的平行四边形是菱形
D．一组邻边相等的矩形是正方形
4．已知四边形ABCD是平行四边形，下列结论中不正确的有（）
①当AB=BC时，它是菱形；②当AC⊥BD时，它是菱形；③当∠ABC=90°时，它是矩形；④当AC=BD时，它是正方形．
A．1组B．2组C．3组D．4组
5．四边形ABCD的对角线AC=BD，AC⊥BD，分别过A、B、C、D作对角线的平行线，所成的四边形EFMN是（）
A．正方形B．菱形C．矩形D．任意四边形
6．如果要证明平行四边形ABCD为正方形，那么我们需要在四边形ABCD是平行四边形的基础上，进一步证明（）
A．AB=AD且AC⊥BD B．AB=AD且AC=BD C．∠A=∠B且AC=BD D．AC和BD互相垂直平分
7．下列命题中，真命题是（）
A．对角线相等的四边形是矩形
B．对角线互相垂直的四边形是菱形
C．对角线互相平分的四边形是平行四边形
D．对角线互相垂直平分的四边形是正方形
8．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，BC的垂直平分线EF交BC于点D，交AB于点E，且BE=BF，添加一个条件，仍不能证明四边形BECF为正方形的是（）
A．BC=AC B．CF⊥BF C．BD=DF D．AC=BF
二．填空题（共6小题）
9．能使平行四边形ABCD为正方形的条件是_________（填上一个符合题目要求的条件即可）．
10．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，DE垂直平分AC，DF⊥BC，当△ABC满足条件_________时，四边形DECF是正方形．
（要求：①不再添加任何辅助线，②只需填一个符合要求的条件）
11．如图，菱形ABCD的对角线相交于点O，请你添加一个条件：_________，使得该菱形为正方形．
12．如图，在四边形ABCD中，AB=BC=CD=DA，对角线AC与BD相交于点O，若不增加任何字母与辅助线，要使四边形ABCD是正方形，则还需增加一个条件是_________．
13．已知四边形ABCD中，∠A=∠B=∠C=90°，若添加一个条件即可判定该四边形是正方形，那么这个条件可以是_________．
14．要使一个菱形成为正方形，需添加一个条件为_________．
三．解答题（共8小题）
15．已知：如图，△ABC中，∠ABC=90°，BD是∠ABC的平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥BC于点F．求证：四边形DEBF是正方形．
16．如图，在四边形ABCD中，AB=BC，对角线BD平分∠ABC，P是BD上一点，过点P作PM⊥AD，PN⊥CD，垂足分别为M，N．
（1）求证：∠ADB=∠CDB；
（2）若∠ADC=90°，求证：四边形MPND是正方形．
17．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，过点C的直线MN∥AB，D为AB边上一点，过点D作DE⊥BC，交直线MN于E，垂足为F，连接CD、BE．
（1）求证：CE=AD；
（2）当D在AB中点时，四边形BECD是什么特殊四边形？说明你的理由；
（3）若D为AB中点，则当∠A的大小满足什么条件时，四边形BECD是正方形？请说明你的理由．
18．如图，在△ABC中，点D、E分别是边AB、AC的中点，将△ADE绕点E旋转180°得到△CFE．
（1）求证：四边形ADCF是平行四边形．
（2）当△ABC满足什么条件时，四边形ADCF是正方形？请说明理由．
19．如图，分别以线段AB的两个端点为圆心，大于AB的长为半径作弧，两弧交于M、N两点，连接MN，交AB 于点D、C是直线MN上任意一点，连接CA、CB，过点D作DE⊥AC于点E，DF⊥BC于点F．
（1）求证：△AED≌△BFD；
（2）若AB=2，当CD的值为_________时，四边形DECF是正方形．
20．如图，AB是CD的垂直平分线，交CD于点M，过点M作ME⊥A C，MF⊥AD，垂足分别为E、F．
（1）求证：∠CAB=∠DAB；
（2）若∠CAD=90°，求证：四边形AEMF是正方形．
21．如图，△ABC中，点O是边AC上一个动点，过O作直线MN∥BC，设MN交∠ACB的平分线于点E，交∠ACB 的外角平分线于点F．
（1）探究：线段OE与OF的数量关系并加以证明；
（2）当点O运动到何处时，且△ABC满足什么条件时，四边形AECF是正方形？
（3）当点O在边AC上运动时，四边形BCFE_________是菱形吗？（填“可能”或“不可能”）
22．已知：如图，△ABC中，点O是AC上的一动点，过点O作直线MN∥AC，设MN交∠BCA的平分线于点E，交∠BCA的外角∠ACG的平分线于点F，连接AE、AF．
（1）求证：∠ECF=90°；
（2）当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形？请说明理由；
（3）在（2）的条件下，△ABC应该满足条件：_________，就能使矩形AECF变为正方形．（直接添加条件，无需证明）
正方形的判定
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
1．已知四边形ABCD是平行四边形，再从①AB=BC，②∠ABC=90°，③AC=BD，④AC⊥BD四个条件中，选两个作为补充条件后，使得四边形ABCD是正方形，现有下列四种选法，其中错误的是（）
A．选①②B．选②③C．选①③D．选②④
考点：正方形的判定；平行四边形的性质．
分析：要判定是正方形，则需能判定它既是菱形又是矩形．
解答：解：A、由①得有一组邻边相等的平行四边形是菱形，由②得有一个角是直角的平行四边形是矩形，所以平行四边形ABCD是正方形，正确，故本选项不符合题意；
B、由②得有一个角是直角的平行四边形是矩形，由③得对角线相等的平行四边形是矩形，所以不能得出平行四边形ABCD是正方形，错误，故本选项符合题意；
C、由①得有一组邻边相等的平行四边形是菱形，由③得对角线相等的平行四边形是矩形，所以平行四边形ABCD 是正方形，正确，故本选项不符合题意；
D、由②得有一个角是直角的平行四边形是矩形，由④得对角线互相垂直的平行四边形是菱形，所以平行四边形ABCD是正方形，正确，故本选项不符合题意．
故选：B．
点评：本题考查了正方形的判定方法：
①先判定四边形是矩形，再判定这个矩形有一组邻边相等；
②先判定四边形是菱形，再判定这个矩形有一个角为直角．
③还可以先判定四边形是平行四边形，再用1或2进行判定．
2．下列说法中，正确的是（）
A．相等的角一定是对顶角
B．四个角都相等的四边形一定是正方形
C．平行四边形的对角线互相平分
D．矩形的对角线一定垂直
考点：正方形的判定；对顶角、邻补角；平行四边形的性质；矩形的性质．
分析：根据对顶角的定义，正方形的判定，平行四边形的性质，矩形的性质对各选项分析判断利用排除法求解．
解答：解：A、相等的角一定是对顶角错误，例如，角平分线分成的两个角相等，但不是对顶角，故本选项错误；
B、四个角都相等的四边形一定是矩形，不一定是正方形，故本选项错误；
C、平行四边形的对角线互相平分正确，故本选项正确；
D、矩形的对角线一定相等，但不一定垂直，故本选项错误．
故选：C．
点评：本题考查了正方形的判定，平行四边形的性质，矩形的性质，对顶角的定义，熟记各性质与判定方法是解题的关键．
3．下列命题中是假命题的是（）
A．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
B．一组对边相等且有一个角是直角的四边形是矩形
C．一组邻边相等的平行四边形是菱形
D．一组邻边相等的矩形是正方形
考点：正方形的判定；平行四边形的判定；菱形的判定；矩形的判定．
专题：证明题．
分析：做题时首先熟悉各种四边形的判定方法，然后作答．
解答：解：A、一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，（平行四边形判定定理）；正确．
B、一组对边相等且有一个角是直角的四边形是矩形，不一定是矩形，还可能是不规则四边形，错误．
C、一组邻边相等的平行四边形是菱形，正确；
D、一组邻边相等的矩形是正方形，正确．
故选B．
点评：本题主要考查各种四边形的判定，基础题要细心．
4．已知四边形ABCD是平行四边形，下列结论中不正确的有（）
①当AB=BC时，它是菱形；②当AC⊥BD时，它是菱形；③当∠ABC=90°时，它是矩形；④当AC=BD时，它是正方形．
A．1组B．2组C．3组D．4组
考点：正方形的判定；平行四边形的性质；菱形的判定；矩形的判定．
分析：根据邻边相等的平行四边形是菱形可判断①正确；根据所给条件可以证出邻边相等，可判断②正确；根据有一个角是直角的平行四边形是矩形可判断③正确；根据
对角线相等的平行四边形是矩形可以判断出④错误．
解答：解：①根据邻边相等的平行四边形是菱形可知：四边形ABCD是平行四边形，当AB=BC时，它是菱形正确；
②∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BO=OD，
∵AC⊥BD，
∴AB2=BO2+AO2，AD2=DO2+AO2，
∴AB=AD，
∴四边形ABCD是菱形，故②正确；
③根据有一个角是直角的平行四边形是矩形可知③正确；
④根据对角线相等的平行四边形是矩形可知当AC=BD时，它是矩形，不是正方形，故④错误；
故不正确的有1个．
故选：A．
点评：此题主要考查了菱形的判定、矩形的判定、正方形的判定，关键是熟练掌握三种特殊平行四边形的判定定理．
5．四边形ABCD的对角线AC=BD，AC⊥BD，分别过A、B、C、D作对角线的平行线，所成的四边形EFMN是（）
A．正方形B．菱形C．矩形D．任意四边形
考点：正方形的判定．
分析：根据平行线的性质和判定得出∠NAO=∠AOD=∠N=90°，EN=NM=FM=EF，进而判断即可．
解答：证明：如图所示：
∵分别过A、B、C、D作对角线的平行线，
∴AC∥MN∥EF，EN∥BD∥MF，
∵对角线AC=BD，AC⊥BD，
∴∠NAO=∠AOD=∠N=90°，EN=NM=FM=EF，
∴四边形EFMN是正方形．
故选：A．
点评：此题主要考查了正方形的判定以及平行线的性质和判定等知识，熟练掌握正方形的判定定理是解题关键．
6．如果要证明平行四边形ABCD为正方形，那么我们需要在四边形ABCD是平行四边形的基础上，进一步证明（）
A．AB=AD且AC⊥BD B． AB=AD且AC=BD C．∠A=∠B且AC=BD D． AC和BD互相垂直平分
考点：正方形的判定．
分析：根据正方形的判定对各个选项进行分析从而得到最后的答案．
解答：解：A、根据有一组邻边相等的平行四边形是菱形，或者对角线互相垂直的平行四边形是菱形，所以不能判断平行四边形ABCD是正方形；
B、根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形，对角线相等的平行四边形为矩形，所以能判断四边形ABCD是正方形；
C、一组邻角相等的平行四边形是矩形，对角线相等的平行四边形也是矩形，即只能证明四边形ABCD是矩形，不能判断四边形ABCD是正方形；
D、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，对角线互相平分的四边形是平行四边形，所以不能判断四边形ABCD是正方形．
故选B．
点评：本题是考查正方形的判别方法，判别一个四边形为正方形主要根据正方形的概念，途经有两种：
①先说明它是矩形，再说明有一组邻边相等；
②先说明它是菱形，再说明它有一个角为直角．
7．下列命题中，真命题是（）
A．对角线相等的四边形是矩形
B．对角线互相垂直的四边形是菱形
C．对角线互相平分的四边形是平行四边形
D．对角线互相垂直平分的四边形是正方形
考点：正方形的判定；平行四边形的判定；菱形的判定；矩形的判定；命题与定理．
分析：A、根据矩形的定义作出判断；
B、根据菱形的性质作出判断；
C、根据平行四边形的判定定理作出判断；
D、根据正方形的判定定理作出判断．
解答：解：A、两条对角线相等且相互平分的四边形为矩形；故本选项错误；
B、对角线互相垂直的平行四边形是菱形；故本选项错误；
C、对角线互相平分的四边形是平行四边形；故本选项正确；
D、对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形；故本选项错误；
故选C．
点评：本题综合考查了正方形、矩形、菱形及平行四边形的判定．解答此题时，必须理清矩形、正方形、菱形与平行四边形间的关系．
8．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，BC的垂直平分线EF交BC于点D，交AB于点E，且BE=BF，添加一个条件，仍不能证明四边形BECF为正方形的是（）
A．BC=AC B．CF⊥BF C．BD=DF D．AC=BF
考点：正方形的判定；线段垂直平分线的性质．
分析：根据中垂线的性质：中垂线上的点到线段两个端点的距离相等，有BE=EC，BF=FC进而得出四边形BECF是菱形；由菱形的性质知，以及菱形与正方形的关系，进而分别分析得出即可．
解答：解：∵EF垂直平分BC，
∴BE=EC，BF=CF，
∵BF=BE，
∴BE=EC=CF=BF，
∴四边形BECF是菱形；
当BC=AC时，
∵∠ACB=90°，
则∠A=45°时，菱形BECF是正方形．
∵∠A=45°，∠ACB=90°，
∴∠EBC=45°
∴∠EBF=2∠EBC=2×45°=90°
∴菱形BECF是正方形．
故选项A正确，但不符合题意；
当CF⊥BF时，利用正方形的判定得出，菱形BECF是正方形，故选项B正确，但不符合题意；
当BD=DF时，利用正方形的判定得出，菱形BECF是正方形，故选项C正确，但不符合题意；
当AC=BF时，无法得出菱形BECF是正方形，故选项D错误，符合题意．
故选：D．
点评：本题考查了菱形的判定和性质及中垂线的性质、直角三角形的性质、正方形的判定等知识，熟练掌握正方形的相关的定理是解题关键．
二．填空题（共6小题）
9．能使平行四边形ABCD为正方形的条件是AC=BD且AC⊥BD（填上一个符合题目要求的条件即可）．
考点：正方形的判定；平行四边形的性质．
专题：开放型．
分析：对角线互相垂直的平行四边形是菱形，对角线相等的平行四边形是矩形，矩形和菱形的结合体是正方形．
解答：解：可添加对角线相等且对角线垂直或对角线相等，且一组邻边相等；或对角线垂直，有一个内角是90°．答案不唯一，此处填：AC=BD且AC⊥BD．
点评：本题考查正方形的判定，需注意它是菱形和矩形的结合．
10．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，DE垂直平分AC，DF⊥BC，当△ABC满足条件AC=BC时，四边形DECF 是正方形．
（要求：①不再添加任何辅助线，②只需填一个符合要求的条件）
考点：正方形的判定．
专题：计算题；开放型．
分析：由已知可得四边形的四个角都为直角，因此再有四边相等即是正方形添加条件．此题可从四边形DECF是正方形推出．
解答：解：设AC=BC，即△ABC为等腰直角三角形，
∵∠C=90°，DE垂直平分AC，DF⊥BC，
∴∠C=∠CED=∠EDF=∠DFC=90°，
DF=AC=CE，
DE=BC=CF，
∴DF=CE=DE=CF，
∴四边形DECF是正方形，
故答案为：AC=BC．
点评：此题考查的知识点是正方形的判定，解题的关键是可从四边形DECF是正方形推出△ABC满足的条件．
11．如图，菱形ABCD的对角线相交于点O，请你添加一个条件：AC=BD或AB⊥BC，使得该菱形为正方形．
考点：正方形的判定；菱形的性质．
专题：压轴题．
分析：根据正方形判定定理进行分析．
解答：解：根据对角线相等的菱形是正方形，可添加：AC=BD；
根据有一个角是直角的菱形是正方形，可添加的：AB⊥BC；
故添加的条件为：AC=BD或AB⊥BC．
点评：本题答案不唯一，根据菱形与正方形的关系求解．
12．如图，在四边形ABCD中，AB=BC=CD=DA，对角线AC与BD相交于点O，若不增加任何字母与辅助线，要使四边形ABCD是正方形，则还需增加一个条件是AC=BD或AB⊥BC．
考点：正方形的判定；菱形的判定．
专题：开放型．
分析：根据菱形的判定定理及正方形的判定定理即可解答．
解答：解：∵在四边形ABCD中，AB=BC=CD=DA
∴四边形ABCD是菱形
∴要使四边形ABCD是正方形，则还需增加一个条件是：AC=BD或AB⊥BC．
点评：解答此题的关键是熟练掌握正方形的判定定理，即有一个角是直角的菱形是正方形．
13．已知四边形ABCD中，∠A=∠B=∠C=90°，若添加一个条件即可判定该四边形是正方形，那么这个条件可以是AB=AD或AC⊥BD等．
考点：正方形的判定；矩形的判定与性质．
专题：开放型．
分析：由已知可得四边形ABCD是矩形，则可根据有一组邻边相等或对角线互相垂直的矩形是正方形添加条件．
解答：解：由∠A=∠B=∠C=90°可知四边形ABCD是矩形，根据根据有一组邻边相等或对角线互相垂直的矩形是正方形，得到应该添加的条件为：AB=AD或AC⊥BD等．
故答案为：AB=AD或AC⊥BD等．
点评：本题是考查正方形的判别方法，判别一个四边形为正方形主要根据正方形的概念，途经有两种：
①先说明它是矩形，再说明有一组邻边相等；
②先说明它是菱形，再说明它有一个角为直角．
14．要使一个菱形成为正方形，需添加一个条件为有一个角是直角或对角线相等．
考点：正方形的判定；菱形的性质．
专题：开放型．
分析：根据菱形的性质及正方形的判定进行分析，从而得到最后答案．
解答：解：要使一个菱形成为正方形，需添加一个条件为：有一个角是直角或对角线相等．
点评：解答此题的关键是熟练掌握正方形的判定定理：
（1）有一个角是直角的菱形是正方形；
（2）对角线相等的菱形是正方形．
三．解答题（共8小题）
15．已知：如图，△ABC中，∠ABC=90°，BD是∠ABC的平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥BC于点F．求证：四边形DEBF是正方形．
考点：正方形的判定．
专题：证明题．
分析：由DE⊥AB，DF⊥BC，∠ABC=90°，先证明四边形DEBF是矩形，再由BD是∠ABC的平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥BC于点F得出DE=DF判定四边形DEBF是正方形．
解答：解：∵DE⊥AB，DF⊥BC，
∴∠DEB=∠DFB=90°，
又∵∠ABC=90°，
∴四边形BEDF为矩形，
∵BD是∠ABC的平分线，且DE⊥AB，DF⊥BC，
∴DE=DF，
∴矩形BEDF为正方形．
点评：本题考查正方形的判定、角平分线的性质和矩形的判定．要注意判定一个四边形是正方形，必须先证明这个四边形为矩形或菱形．
16．如图，在四边形ABCD中，AB=BC，对角线BD平分∠ABC，P是BD上一点，过点P作PM⊥AD，PN⊥CD，垂足分别为M，N．
（1）求证：∠ADB=∠CDB；
（2）若∠ADC=90°，求证：四边形MPND是正方形．
考点：正方形的判定；全等三角形的判定与性质．
专题：证明题．
分析：（1）根据角平分线的性质和全等三角形的判定方法证明△ABD≌△CBD，由全等三角形的性质即可得到：∠ADB=∠CDB；
（2）若∠ADC=90°，由（1）中的条件可得四边形MPND是矩形，再根据两边相等的四边形是正方形即可证明四边形MPND是正方形．
解答：证明：（1）∵对角线BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠CBD，
在△ABD和△CBD中，
，
∴△ABD≌△CBD（SAS），
∴∠ADB=∠CDB；
（2）∵PM⊥AD，PN⊥CD，
∴∠PMD=∠PND=90°，
∵∠ADC=90°，
∴四边形MPND是矩形，
∵∠ADB=∠CDB，
∴∠ADB=45°
∴PM=MD，
∴四边形MPND是正方形．
点评：本题考查了全等三角形的判定和性质、角平分线的性质、矩形的判定和性质以及正方形的判定，解题的关键是熟记各种几何图形的性质和判定．
17．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，过点C的直线MN∥AB，D为AB边上一点，过点D作DE⊥BC，交直线MN于E，垂足为F，连接CD、BE．
（1）求证：CE=AD；
（2）当D在AB中点时，四边形BECD是什么特殊四边形？说明你的理由；
（3）若D为AB中点，则当∠A的大小满足什么条件时，四边形BECD是正方形？请说明你的理由．
考点：正方形的判定；平行四边形的判定与性质；菱形的判定．
专题：几何综合题．
分析：（1）先求出四边形ADEC是平行四边形，根据平行四边形的性质推出即可；
（2）求出四边形BECD是平行四边形，求出CD=BD，根据菱形的判定推出即可；
（3）求出∠CDB=90°，再根据正方形的判定推出即可．
解答：（1）证明：∵DE⊥BC，
∴∠DFB=90°，
∵∠ACB=90°，
∴∠ACB=∠DFB，
∴AC∥DE，
∵MN∥AB，即CE∥AD，
∴四边形ADEC是平行四边形，
∴CE=AD；
（2）解：四边形BECD是菱形，
理由是：∵D为AB中点，
∴AD=BD，
∵CE=AD，
∴BD=CE，
∵BD∥CE，
∴四边形BECD是平行四边形，
∵∠ACB=90°，D为AB中点，
∴CD=BD，
∴四边形BECD是菱形；
（3）当∠A=45°时，四边形BECD是正方形，理由是：
解：∵∠ACB=90°，∠A=45°，
∴∠ABC=∠A=45°，
∴AC=BC，
∵D为BA中点，
∴CD⊥AB，
∴∠CDB=90°，
∵四边形BECD是菱形，
∴四边形BECD是正方形，
即当∠A=45°时，四边形BECD是正方形．
点评：本题考查了正方形的判定、平行四边形的性质和判定，菱形的判定，直角三角形的性质的应用，主要考查学生运用定理进行推理的能力．
18．如图，在△ABC中，点D、E分别是边AB、AC的中点，将△ADE绕点E旋转180°得到△CFE．
（1）求证：四边形ADCF是平行四边形．
（2）当△ABC满足什么条件时，四边形ADCF是正方形？请说明理由．
考点：正方形的判定；平行四边形的判定．
分析：（1）利用旋转的性质得出点A、E、C三点共线，点D、E、F三点共线，且AE=CD，DE=FE，即可得出答案；
（2）首先得出CD⊥AB，即∠ADC=90°，由（1）知，四边形ADCF是平行四边形，故四边形ADCF是矩形．进而求出CD=AD即可得出答案．
解答：（1）证明：∵△CFE是由△ADE绕点E旋转180°得到，
∴点A、E、C三点共线，点D、E、F三点共线，
且AE=CE，DE=FE，
故四边形ADCF是平行四边形．
（2）解：当∠ACB=90°，AC=BC时，四边形ADCF是正方形．
理由如下：
在△ABC中，∵AC=BC，AD=BD，
∴CD⊥AB，即∠ADC=90°．
而由（1）知，四边形ADCF是平行四边形，
∴四边形ADCF是矩形．
又∵∠ACB=90°，
∴，
故四边形ADCF是正方形．
点评：此题主要考查了平行四边形的判定以及正方形的判定等知识，得出四边形ADCF是矩形是解题关键．
19．如图，分别以线段AB的两个端点为圆心，大于AB的长为半径作弧，两弧交于M、N两点，连接MN，交AB 于点D、C是直线MN上任意一点，连接CA、CB，过点D作DE⊥AC于点E，DF⊥BC于点F．
（1）求证：△AED≌△BFD；
（2）若AB=2，当CD的值为1时，四边形DECF是正方形．
考点：正方形的判定；全等三角形的判定．
分析：（1）先由作图知MN是线段AB的垂直平分线，根据垂直平分线的性质得出CA=CB，AD=BD，由等边对等角得到∠A=∠B，然后利用AAS即可证明△AED≌△BFD；
（2）若AB=2，当CD的值为1时，四边形DECF是正方形．先由CD=AD=BD=1，MN⊥AB，得出△ACD与△BCD 都是等腰直角三角形，则∠ACD=∠BCD=45°，∠ECF=90°，根据有三个角是直角的四边形是矩形证明四边形DECF 是矩形，再由等角对等边得出ED=CE，从而得出矩形DECF是正方形．
解答：（1）证明：由作图知，MN是线段AB的垂直平分线，
∵C是直线MN上任意一点，MN交AB于点D，
∴CA=CB，AD=BD，
∴∠A=∠B．
在△AED与△BFD中，
，
∴△AED≌△BFD（AAS）；
（2）解：若AB=2，当CD的值为1时，四边形DECF是正方形．理由如下：
∵AB=2，
∴AD=BD=AB=1．
∵CD=AD=BD=1，MN⊥AB，
∴△ACD与△BCD都是等腰直角三角形，
∴∠ACD=∠BCD=45°，
∴∠ECF=∠ACD+∠BCD=90°，
∵∠DEC=∠DFC=90°，
∴四边形DECF是矩形，∠CDE=90°﹣45°=45°，
∴∠ECD=∠CDE=45°，
∴ED=CE，
∴矩形DECF是正方形．
故答案为1．
点评：本题考查了线段垂直平分线的性质，全等三角形的判定，正方形的判定，等腰直角三角形的判定与性质，难度适中．
20．如图，AB是CD的垂直平分线，交CD于点M，过点M作ME⊥A C，MF⊥AD，垂足分别为E、F．
（1）求证：∠CAB=∠DAB；
（2）若∠CAD=90°，求证：四边形AEMF是正方形．
考点：正方形的判定；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的判定与性质．
专题：证明题．
分析：（1）根据AB是CD的垂直平分线，得到AC=AD，然后利用三线合一的性质得到∠CAB=∠DAB 即可；
（2）首先判定四边形AEMF是矩形，然后证得ME=MF，利用邻边相等的矩形AEMF是正方形进行判定即可．
解答：（1）证明：∵AB是CD的垂直平分线，
∴AC=AD，
又∵AB⊥CD
∴∠CAB=∠DAB（等腰三角形的三线合一）；
（2）证明：∵ME⊥A C，MF⊥AD，∠CAD=90°，
即∠CAD=∠AEM=∠AFM=90°，
∴四边形AEMF是矩形，
又∵∠CAB=∠DAB，ME⊥A C，MF⊥AD，
∴ME=MF，
∴矩形AEMF是正方形．
点评：本题考查正方形的判定，线段的垂直平分线的性质及等腰三角形的判定与性质的知识，综合性较强，难度不大．
21．如图，△ABC中，点O是边AC上一个动点，过O作直线MN∥BC，设MN交∠ACB的平分线于点E，交∠ACB 的外角平分线于点F．
（1）探究：线段OE与OF的数量关系并加以证明；
（2）当点O运动到何处时，且△ABC满足什么条件时，四边形AECF是正方形？
（3）当点O在边AC上运动时，四边形BCFE不可能是菱形吗？（填“可能”或“不可能”）
考点：正方形的判定；菱形的判定．
分析：（1）由直线MN∥BC，MN交∠BCA的平分线于点E，交∠BCA的外角平分线于点F，易证得△OEC 与△OFC是等腰三角形，则可证得OE=OF=OC；
（2）正方形的判定问题，AECF若是正方形，则必有对角线OA=OC，所以O为AC的中点，同样在△ABC中，当∠ACB=90°时，可满足其为正方形；
（3）菱形的判定问题，若使菱形，则必有四条边相等，对角线互相垂直．
解答：解：（1）OE=OF．理由如下：
∵CE是∠ACB的角平分线，
∴∠ACE=∠BCE，
又∵MN∥BC，
∴∠NEC=∠ECB，
∴∠NEC=∠ACE，
∴OE=OC，
∵OF是∠BCA的外角平分线，
∴∠OCF=∠FCD，
又∵MN∥BC，
∴∠OFC=∠ECD，
∴∠OFC=∠COF，
∴OF=OC，
∴OE=OF；
（2）当点O运动到AC的中点，且△ABC满足∠ACB为直角的直角三角形时，四边形AECF是正方形．理由如下：∵当点O运动到AC的中点时，AO=CO，
又∵EO=FO，
∴四边形AECF是平行四边形，
∵FO=CO，
∴AO=CO=EO=FO，
∴AO+CO=EO+FO，即AC=EF，
∴四边形AECF是矩形．
已知MN∥BC，当∠ACB=90°，则
∠AOF=∠COE=∠COF=∠AOE=90°，
∴AC⊥EF，
∴四边形AECF是正方形；
（3）不可能．理由如下：
如图，∵CE平分∠ACB，CF平分∠ACD，
∴∠ECF=∠ACB+∠ACD=（∠ACB+∠ACD）=90°，
若四边形BCFE是菱形，则BF⊥EC，
但在△GFC中，不可能存在两个角为90°，所以不存在其为菱形．
故答案为不可能．
点评：本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，等腰三角形的判定，正方形、菱形的判定，难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．
22．已知：如图，△ABC中，点O是AC上的一动点，过点O作直线MN∥AC，设MN交∠BCA的平分线于点E，交∠BCA的外角∠ACG的平分线于点F，连接AE、AF．
（1）求证：∠ECF=90°；
（2）当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形？请说明理由；
（3）在（2）的条件下，△ABC应该满足条件：∠ACB为直角的直角三角形，就能使矩形AECF变为正方形．（直接添加条件，无需证明）
考点：正方形的判定；等腰三角形的判定与性质；矩形的判定．
分析：（1）由已知MN∥BC，CE、CF分别平分∠BCO和∠GCO，可推出∠OEC=∠OCE，∠OFC=∠OCF，所以得EO=CO=FO．
（2）由（1）得出的EO=CO=FO，点O运动到AC的中点时，则由EO=CO=FO=AO，所以这时四边形AECF是矩形．
（3）由已知和（2）得到的结论，点O运动到AC的中点时，且△ABC满足∠ACB为直角的直角三角形时，则推出四边形AECF是矩形且对角线垂直，所以四边形AECF是正方形．
解答：（1）证明：∵CE平分∠BCO，CF平分∠DCO，
∴∠OCE=∠BCE，∠OCF=∠DCF，
∴∠ECF=×180°=90°；
（2）解：当点O运动到AC的中点时，四边形AECF是矩形．理由如下：
∵MN∥BC，
∴∠OEC=∠BCE，∠OFC=∠DCF，
又∵CE平分∠BCO，CF平分∠DCO，
∴∠OCE=∠BCE，∠OCF=∠DCF，
∴∠OCE=∠OEC，∠OCF=∠OFC，
∴EO=CO，FO=CO，
∴OE=OF；
又∵当点O运动到AC的中点时，AO=CO，
∴四边形AECF是平行四边形，
∵∠ECF=90°，
∴四边形AECF是矩形；
（3）解：当点O运动到AC的中点时，且△ABC满足∠ACB为直角的直角三角形时，四边形AECF是正方形．∵由（2）知，当点O运动到AC的中点时，四边形AECF是矩形，
已知MN∥BC，当∠ACB=90°，则
∠AOF=∠COE=∠COF=∠AOE=90°，
∴AC⊥EF，
∴四边形AECF是正方形．
故答案为：∠ACB为直角的直角三角形．
点评：此题考查的是正方形和矩形的判定，角平分线的定义，平行线的性质，等腰三角形的判定等知识．解题的关键是由已知得出EO=FO，确定（2）（3）的条件．
F E D C B A 第三讲 正方形的性质与判定 一、知识要点 1．正方形的定义： 有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形． 2．正方形的性质 正方形是特殊的平行四边形、矩形、菱形．它具有前三者的所有性质： 1 边的性质：对边平行，四条边都相等． 2角的性质：四个角都是直角． 3 对角线性质：两条对角线互相垂直平分且相等，?每条对角线平分一组对角． 4 对称性：正方形是中心对称图形，也是轴对称图形． 平行四边形、矩形、菱形和正方形的关系：（如图） 3．正方形的判定 1：对角线相等的菱形是正方形 2：对角线互相垂直的矩形是正方形,正方形是一种特殊的矩形 3：四边相等,有一个角是直角的四边形是正方形 4：一组邻边相等的矩形是正方形 5：一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形 二、典型例题 例1 如图12-2-14，已知过正方形ABCD 对角线BD 上一点P ，作PE ⊥BC 于E ，作PF ⊥CD 于F ．试说明AP ＝EF ． 分析：由PE ⊥BC ，PF ⊥CD 知，四边形PECF 为矩形，故有EF ＝PC ，这时只需证AP ＝CP ，由正方形对角线互相垂直平分知AP ＝CP ． 解：连结AC 、PC ， ∵四边形ABCD 为正方形， ∴BD 垂直平分AC ， ∴AP ＝CP ． 正 方形 菱形 矩形平行四边形
∵PE⊥BC，PF⊥CD，∠BCD＝90°， ∴四边形PECF为矩形， ∴PC＝EF， ∴AP＝EF． 注意：①在正方形中，常利用对角线互相垂直平分证明线段相等． ②无论是正方形还是矩形经常通过连结对角线证题，这样可以使分散条件集中． 思考：由上述条件是否可以得到AP⊥EF． 提示：可以，延长AP交EF于N，由PE∥AB，有∠NPE＝∠BAN． 又∠BAN＝∠BCP，而∠BCP＝∠PFE，故∠NPE＝∠PFE， 而∠PFE＋∠PEF＝90°，所以∠NPE＋∠PEF＝90°，则AP⊥EF． 例2如图12-2-15，△ABC中，∠ABC＝90°，BD平分∠ABC，DE⊥BC，DF⊥AB，试说明四边形BEDF是正方形． 解：∵∠ABC＝90°，DE⊥BC， ∴DE∥AB，同理，DF∥BC， ∴BEDF是平行四边形． ∵BD平分∠ABC，DE⊥BC，DF⊥AB， ∴DE＝DF． 又∵∠ABC＝90°，BEDF是平行四边形， ∴四边形BEDF是正方形． 思考：还有没有其他方法？ 提示：(有一种方法可以证四边形DFBE为矩形，然后证BE＝DE，可得．另一种方法，可证四边形DFBE为菱形，后证一个角为90°可得) 注意：灵活选择正方形的识别方法． 例3 如图12-2-16所示，四边形ABCD是正方形，△ADE是等边三角形，求∠BEC的大小．
《正方形的判定》的教学设计 教学目的：使学生掌握正方形的定义、性质和判定，会用正方形的概念和性质进行有关的论证和计算，理解正方形与平行四边形、矩形、菱形的内在联系和区别，进一步加深对“特殊与一般的认识。 教学重点：正方形的定义． 教学难点：正方形与矩形、菱形间的关系． 教学方法：双边合作如：在教学时可播放转换动画使学生获得生动、形象的可视思维过程，从而掌握判定一个四边形是正方形的方法．为了活跃学生的思维，可以得出下列问题让学生思考： （1）对角线相等的菱形是正方形吗？为什么？ （2）对角线互相垂直的矩形是正方形吗？为什么？ （3）对角线垂直且相等的四边形是正方形吗？为什么？如果不是，应该加上什么条件？ （4）能说“四条边都相等的四边形是正方形”吗？为什么？ （5）说“四个角相等的四边形是正方形”，对吗？ 教学过程： 让学生将事先准备好的矩形纸片，按要求对折一下，裁出正方形纸片． 问：所得的图形是矩形吗？它与一般的矩形有什么不同？ 所得的图形是菱形吗？它与一般的菱形有什么不同？ 所得的图形在小学里学习时称它为什么图形？它有什么特点？ 由此得出正方形的定义：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形． （一）新课 由正方形的定义可以得知：正方形是有一组邻边相等的矩形，又是有一个角是直角的菱形，因此正方形具有矩形的性质，同时又具有菱形的性质． 请同学们推断出正方形具有哪些性质？ 性质１、（１）正方形的四个角都是直角。 （２）正方形的四条边相等。 性质２、（１）正方形的两条对角线相等。 （２）正方形的两条对角线互相垂直平分。 （３）正方形的每条对角线平分一组对角。 例1 求证：正方形的两条对角线把正方形分成四个全等的等腰直角三角形．已知：四边形ABCD是正方形，对角线AC、BD相交于点O． 求证：△ABO、△BCO、△CDO、△DAO是全等的等腰直角三角形． 证明：∵四边形ABCD是正方形， ∴AC=BD，AC⊥BD，AO=CO=BO=DO （正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分）． ∴△ABO、△BCO、△CDO、△DAO都是等腰直角三角形，并且△ABO≌△ BCO≌△CDO≌△DAO． 问：如何判定一个四边形是正方形呢？ 正方形的判定方法： 1.先判定四边形是矩形，再判定这个矩形是菱形； 2.先判定四边形是菱形，再判定这个菱形是矩形．
19.2.3正方形（第二课时）学案 学习目标 1．掌握正方形的定义性质和判定方法． 2．能正确区分平行四边形、矩形、菱形、正方形的关系。 3.能运用正方形的性质和判定方法进行有关的计算和证明。 学习重点 掌握正方形的判定条件。 学习过程 一、在问题情境带着悬念中进入新课的学习 二、在探索中思考 探究： 你有什么方法判定一个四边形是正方形呢 1、讨论：平行四边形，矩形，菱形，正方形之间有怎样的包含关系？ 2、温故知新 （1）要使一个平行四边形成为正方形需增加的条件是 （填上一个条件即可） （2）要使一个矩形成为正方形需增加的条件是 （填上一个条件即可） （3）要使一个菱形成为正方形需增加的条件是 （填上一个条件即可） 讨论： 你有什么方法判定一个四边形是正方形呢？ 三、在应用中理解 1、判断下列说法是对还是错： （1）四条边相等，且有一个角是直角的四边形是正方形。（）（2）如果一个矩形的对角线互相垂直，那么它一定是正方形。（） （3）如果一个菱形的对角线相等，那么它一定是正方形。（） 2、典型例题 在正方形ABCD中，点E、F、G、H分别在各边上， 且AE=BF=CG=DH．四边形EFGH 是正方形吗?为什么? 四、一展身手 1、在四边形ABCD中，O是对角线的交点，能判定这个四边形是正方形的是（）A．AC=BD，AB∥CD，AB=CD B．AD∥BC，∠A=∠C C．AO=BO=CO=DO，AC⊥BD D．AO=CO，BO=DO，AB=BC 2．四个内角都相等，四条边也都相等的四边形一定是（） A．正方形B．菱形C．矩形D．平行四边形 3、下列命题正确的是（） A、四个角都相等的四边形是正方形 B、四条边都相等的四边形是正方形 C、对角线相等的平行四边形是正方形 D、对角线互相垂直的矩形是正方形 五、总结提高 对角线的矩形是正方形。 对角线的菱形是正方形。 对角线的平行四边形是正方形。 对角线的四边形是正方形。
正方形第一课时 一、自主学习 ●目标导学 1、理解并掌握正方形的性质。 2、通过自学、合作、交流培养自己分析问题解决问题的能力。 ●合作探究 【探究一】正方形的定义 1、正方形的定义： 2、正方形与矩形和菱形的关系是 【探究二】正方形的性质 1、归纳正方形的性质：边 角 对角线 对称性 2、用几何语言叙述正方形的性质： 【探究三】正方形的周长与面积 边讲边练： ①正方形与等腰三角形（等边三角形）结合 1. 如图，E是正方形ABCD的对角线BD上一点，且BE＝BC，则∠ACE＝° 2. 如图，四边形ABCD是正方形，延长CD到E，使CE=CB，则∠DBE＝°. 3. 如图，正方形ABCD中，点E在BC的延长线上，AE平分∠DAC,则下列结论： （1）∠E=22.5°；(2) ∠AFC=112.5°；(3) ∠ACE=135°；（4）AC=CE；(5) AD∶CE=1∶ 2. 其中正确的有（） A．5个 B.4个 C.3个 D.2个 4. 如图，等边△EDC在正方形ABCD内，连结EA、EB，则∠AEB＝°；∠ACE＝°. 5.已知正方形ABCD，以CD为边作等边△CDE，则∠AED的度数是°.
②正方形与旋转结合 1. 如图1，四边形ABCD 是正方形，E 是边CD 上一点，若△AFB 经过逆时针旋转角θ后与△AED 重合，则θ的取值可能为 （ ） A.90° B.60° C.45° D.30° 2. 已知正方形ABCD 中，点E 在边DC 上，DE = 2，EC = 1（如图2所示） 把线段AE 绕点A 旋转，使点E 落在直线BC 上的点F 处，则F 、C 两点的距离为___________. 3. 如图3，在正方形ABCD 中，点E ，F 分别为DC ，BC 边上的点，且满足∠EAF =45°，连接EF ，求证：DE +BF =EF ． ③正方形对角线的对称性 1. 如图：正方形ABCD 中，AC =10，P 是AB 上任意一点，PE ⊥AC 于E ， PF ⊥BD 于F ，则PE +PF = .可以用一句话概括：正方形边上的任意 一点到两对角线的距离之和等于 . 思考：如若P 在AB 的延长线时，上述结论是否成立？若不成立，请写出 你的结论，并加以说明. 2.如图，点P 是正方形ABCD 的对角线BD 上一点，PE ⊥BC 于点E ，PF ⊥CD 于点F ，连接EF 给出下列五个结论：①AP =EF ；②AP ⊥EF ；③△APD 一定是等腰三角形； ④∠PFE =∠BAP ；⑤PD = 2EC ．其中正确结论的序号是 ． 思考：当点P 在DB 的长延长线上时，请将备用图补充完整，并思考（1）正确结论是否依旧成立？若成立，直接写出结论；若不成立，请写出相应的结论.
正方形的定义性质判定 执笔：陈振华课型：新课审稿：八年级数学组 教学目标：理解正方形的定义，掌握正方形的性质和判定方法 预习导航 一、理解定义 1、如何将长方形纸片折叠后得到正方形图形，折一折 2 由上面的操作可给正方形定义为______________的矩形叫正方形 3、如何将顶点不固定的棱形变为正方形 因此，我们还可以把_____________的棱形叫正方形 二、找性质 1、因为正方形是特殊的矩形，所以它具有矩形的性质，对边_________，四角都 是__________，对角线_______________ 2、因为正方形是特殊的棱形，所以它具有棱形的性质，四边_____，对角线___ ___且_________ 讲例与探究 探究一、（1）求证：正方形的两条对角线把这个正方形分成了四个全等的等腰直角三角形 （2）若边长为a，求BO的长 D 探究二、 边长为1的正方形ABCD绕点A逆时针旋转30度到正方形AB 1C 1 D 1 的位置，则图 中阴影部分的面积是
1、求证：对角线互相垂直的矩形是正方形 2、在边长为12cm 的正方形纸片ABCD 的BC 边上有一点P ，已知PB ＝5cm ，如果将纸折起，使点A 落在点P 上，试求折痕的长度。 3、设P 是正方形ABCD 内的一点，满足PA ∶PB ∶PC ＝1∶2∶3，求∠APB ． 4、 ABCD 为正方形，MN ∥AB 且MN 分别交OA 、OB 于M 、N ， 求证：BM ＝CN 。
2、如图，正方形ABCD 中，△BEC 为等边三角形，求∠EAD 的度数 3、四边形ABCD 是正方形，点E 是边BC 上任一点，∠AEF=90°，且EF 交正方形的外角的平分线CF 于点F ，求证：AE=AF 1．如图(5)，在AB 上取一点C ，以AC 、BC 为正方形 的一边在同一侧作正方形AEDC 和BCFG 连结AF 、BD 延长BD 交AF 于H 。 试猜想AF 与BD 的关系并证明 B A
课题：正方形（性质） 授课人：冯光军 教学目标 知识目标： 了解正方形的有关概念，理解并掌握正方形的性质． 能力目标： 经历探索正方形有关性质、判定条件的过程，在观察中寻求新知，在探究中发展推理能力，逐步掌握说理的基本方法． 情感目标： 培养合情推理能力和探究习惯，体会平面几何的内在价值． 教学重点、难点、关键 重点：探索正方形的性质． 难点：掌握正方形的性质． 关键：把握正方形既是矩形又是菱形这一特性来学习本节课内容． 教学准备 教师准备：矩形纸片，活动的菱形框架． 学生准备：复习平行四边形、矩形、菱形性质，预习本节课内容． 学法解析 1．认知起点：已积累了几何中平行四边形、矩形、菱形等知识，?在取得一定的经验的基础上，认知正方形． 2．知识线索： 3．学习方式：采用自导自主学习的方法解决重点，突破难点． 教学过程 一、合作探究，导入新课 显示内容：举出生活中有关正方形例子，展示出正方形图片。 【活动方略】 教师活动：边展示图片，边提出下面的问题： 1．同学们观察的图片后，有什么联想？正方形四条边有什么关系？?四个角呢？ 2．正方形是矩形吗？是菱形吗？为什么？ 3．正方形具有哪些性质呢？ 学生活动：观察展示的正方形图片．进行联想．易知：1．?正方形四条边都相等（小学已学过）；正方形四个角都是直角（小学学过）． 实验活动：教师拿出矩形折叠．然后展开，让学生发现：只要矩形一组邻边相等，这样的特殊矩形是正方形；同样，教师拿出活动菱形框架，运动中让学生发现：只要菱形有一个内角为90°，这样的特殊菱形是正方形． 教师活动：组织学生联想正方形还具有哪些性质，板书画出一个正方形，如下图：
正方形的性质及判定 一、正方形的性质 【例1】 ☆⑴已知正方形BDEF 的边长是正方形ABCD 的对角线，则:BDEF ABCD S S =正方形正方形 ⑵如图，已知正方形ABCD 的面积为256，点F 在CD 上，点E 在CB 的延长线上，且 20AE AF AF ⊥=，，则BE 的长为 F E D C B A ⑶如图，在正方形ABCD 中，E 为AB 边的中点，G ，F 分别为AD ，BC 边上的点，若1AG =，2BF =，90GEF ∠=?，则GF 的长为 ． 【例2】 ☆将n 个边长都为1cm 的正方形按如图所示摆放，点12...n A A A ，，，分别是正方形的中心，则n 个 正方形重叠形成的重叠部分的面积和为 A 5 A 4 A 3 A 2 A 1 【例3】 ☆如图，正方形ABCD 的边长为2cm ，以B 为圆心，BC 长为半径画弧交对角线BD 于点E ，连 接CE ，P 是CE 上任意一点，PM BC ⊥于M ，PN BD ⊥于N ，则PM PN +的值为 P N M E D C B A 【铺垫】如图，E 是正方形ABCD 对角线BD 上的一点，求证：AE CE =．
E D C B A 【例4】 如图，P 为正方形ABCD 对角线上一点，PE BC ⊥于E ，PF CD ⊥于F .求证：AP EF =. F E P D C B A 【巩固】 如图所示，正方形ABCD 对角线AC 与BD 相交于O ，MN ∥AB ，且分别与AO BO 、交于 M N 、．试探讨BM 与CN 之间的关系，写出你所得到的结论的证明过程． M N C D O B A 【巩固】 ☆如图，已知P 是正方形ABCD 内的一点，且ABP ?为等边三角形，那么DCP ∠= P D C B A 【例5】 已知正方形ABCD ，在AD 、AC 上分别取E 、F 两点，使2ED AD FC AC =∶∶，求证：BEF ?是 等腰直角三角形． G E H D F C B A 【例6】 如图，已知E 、F 分别是正方形ABCD 的边BC 、CD 上的点，AE 、AF 分别与对角线BD 相交 于M 、N ，若50EAF ∠=?，则CME CNF ∠+∠= ．
学生做题前请先回答以下问题 问题1：矩形的定义是什么？正方形的定义是什么？ 问题2：矩形有哪些性质？正方形有哪些性质？ 问题3：矩形的判定定理是什么？ 问题4：正方形的判定定理是什么？ 矩形、正方形的性质和判定（北师版） 一、单选题(共10道，每道10分) 1.下列说法，错误的是( ) A.矩形的对边互相平行 B.矩形的对角相等 C.矩形的对角线相等 D.矩形的对角线平分一组对角 答案：D 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：矩形的性质 2.矩形具有而平行四边形不具有的性质是( ) A.对角线互相平分 B.邻角互补 C.对角线相等 D.对角相等 答案：C 解题思路：
试题难度：三颗星知识点：矩形的性质 3.矩形、正方形、菱形的共同性质是( ) A.对角线相等 B.对角线互相垂直 C.对角线互相平分 D.每一条对角线平分一组对角 答案：C 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：菱形的性质 4.如图，矩形ABCD的对角线AC=8，∠AOD=120°，则AB的长为( ) A. B.2 C. D.4 答案：D 解题思路：
试题难度：三颗星知识点：矩形的性质 5.如图，在矩形ABCD中，点E在AD边上，且EF⊥EC，EF=EC，AF=2，矩形的周长为16，则AE的长为( ) A.3 B.4 C.5 D.7 答案：A 解题思路：
试题难度：三颗星知识点：矩形的性质 6.在等腰三角形ABC中，AB=AC，分别延长BA，CA到点D，E，使DA=AB，EA=CA，则四边形 BCDE是( ) A.任意四边形 B.矩形 C.菱形 D.正方形 答案：B 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：矩形的判定 7.如图，在矩形ABCD中，DE⊥AC于E，∠EDC:∠EDA=1:3，且AC=10，则DE的长为( )
正方形的性质及判定
正方形的性质 及判定 板块名称 中考考试要求层次 A B C 正方形 会识别正方形 掌握正方形的概念、性质和判定，会用正方形的性质和判定解决简单问题 会用正方形的知识解决有关问题 1．正方形的定义：有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形． 2．正方形的性质 正方形是特殊的平行四边形、矩形、菱形．它具有前三者的所有性质： ① 边的性质：对边平行，四条边都相等． ② 角的性质：四个角都是直角． ③ 对角线性质：两条对角线互相垂直平分且相等，?每条对角线平分一组对角． ④ 对称性：正方形是中心对称图形，也是轴对称图形． 平行四边形、矩形、菱形和正方形的关系：（如图） 3．正方形的判定 判定①：有一组邻边相等的矩形是正方形． 判定②：有一个角是直角的菱形是正方形． 1. 掌握正方形的定义和性质，弄清正方形与平行四边形、菱形、矩形的关系 2. 掌握正方形的判定方法并能在解题中选择恰当的方法。 3. 提高学生分析问题及解决问题的能力。 4. 通过分析概念之间的联系与区别，培养学生辨证唯物主义观点 教学目标 知识点睛 中考要求 正 方形 菱形 矩形平行四边形
重点：知晓正方形的性质和正方形的判定方法。 难点：正方形知识的灵活应用 一、正方形的性质 【铺垫】正方形有条对称轴． 【例1】☆⑴已知正方形BDEF的边长是正方形ABCD的对角线，则: BDEF ABCD S S= 正方形正方形 ⑵如图，已知正方形ABCD的面积为256，点F在CD上，点E在CB的延长线上，且 20 AE AF AF ⊥= ，，则BE的长为 F E D C B A ⑶如图，在正方形ABCD中，E为AB边的中点，G，F分别为AD，BC边上的点， 若1 AG=，2 BF=，90 GEF ∠=?，则GF的长为． 【例2】☆将n个边长都为1cm的正方形按如图所示摆放，点 12 ... n A A A ，，，分别是正方形的中心，则n个正方形重叠形成的重叠部分的面积和为 A5 A4 A3 A2 A1 【例3】☆如图，正方形ABCD的边长为2cm，以B为圆心，BC长为半径画弧交对角线BD于点E，连接CE，P是CE上任意一点，PM BC ⊥于M，PN BD ⊥于N，则PM PN +的值为 例题精讲 重、难点
正方形的性质与判定（二）教学目标： 知识与技能： 1.掌握正方形的判定定理，并能综合运用特殊四边形的性质和判定解决问题。 2.发现决定中点四边形形状的因素，熟练运用特殊四边形的判定及性质对中点四边形进行判断，并能对自己的猜想进行证明，进一步发展学生演绎推理的能力。 3.使学生进一步体会证明的必要性以及计算与证明在解决问题中的作用。 过程与方法： 1.经历“探索—发现—猜想—证明”的过程，掌握正方形的判定定理，发现决定中点四边形形状的因素，并能综合运用特殊四边形的性质和判定解决问题。 2.通过凸四边形的中点四边形的探求过程，以及引申至凹四边形的中点四边形的探求过程，引导学生体会证明过程中所运用的由一般到特殊再到一般的归纳、类比、转化的思想方法等，培养积极探索、勇于创新的精神，以及推陈出新的创新能力。 情感与态度： 通过师生互动、合作交流以及多媒体软件的使用，进一步发展学生合作交流的能力和数学表达能力，并使学生发现数学中蕴涵的美，激发学生学习的自觉性、积极性，提高学习数学的兴趣。 教学过程 本节课设计了六个教学环节： 第一环节：情景引入；第二环节：运用巩固；第三环节：猜想结论，分组验证；第四环节：学以致用；第五环节：课堂小结；第六环节：布置作业。 第一环节：情景引入 活动内容： 问题：将一张长方形纸对折两次，然后剪下一个角，打开，怎样 剪才能剪出一个正方形？
（学生动手折叠、思考、剪切） 活动目的： 因为正方形的两条对角线把它分成四个全等的等腰直角三角形，把折痕作对角线，这时只需剪一个等腰直角三角形，打开即是正方形，因此只要保证剪口线与折痕成45°角即可。 活动的注意事项： 部分学生在动手操作时，会剪出菱形，教师要引导学生思考：正方形是特殊的矩形和菱形，因此想得到一个正方形，可以在矩形的基础上强化边的条件得到，也可以在菱形的基础上强化角的条件得到，而折痕是正方形的对角线，所以本环节要从对角线的角度考虑，即对角线要垂直相等且平分，学生很自然的会想到需要剪一个等腰直角三角形，因此只要保证剪口线与折痕成45°角即可，本节课的第一个教学难点迎刃而解。 本环节中教师可以鼓励操作快的学生帮助有困难的学生，请同学到讲台前讲解自己的做法和判断依据，顺势引导学生总结出正方形的判定定理： 1.对角线相等的菱形是正方形。 2.对角线垂直的矩形是正方形。 3.有一个角是直角的菱形是正方形。 教师可以课件展示下面的框架图，复习巩固平行四边形、矩形、菱形、正方形之间的关系。 此框架图给出了正方形的判别条件，先判定一个四边形是平行四边形，再判定这个平行四边形是矩形，然后再判定这个矩形是菱形；或者先判定一个四边形
正方形的性质与判定（1） 主讲：叶良国 课题：正方形的性质与判定（1） 课型：新授课 教学目标： 1．了解正方形概念，理解并掌握正方形的性质和判定方法，通过由一般到特殊的研究方法，分析平行四边形、矩形、菱形、正方形的概念及性质之间的区别与联系．并形成文本信息与图形信息相互转化的能力． 2．在观察、操作、推理、归纳等探索明正方形的性质和判定定理过程中，发展合情推理能力，进一步培养自己的说理习惯与能力 3．培养学生勇于探索、团结协作交流的精神．激发学生学习的积极性与主动性． 教学重难点： 重点：探索正方形的性质与判定。 难点：掌握正方形的性质和判定的应用方法。 关键：把握正方形既是矩形又是菱形这一特性来学习本节内容教学过程 教学过程： 一、回忆童年，情境引入 想一想：什么是矩形？是菱形？ 做一做：大家小时候都做过风车吗？在准备材料的时候我们往往会先折一张正方形的纸片，大家来做一做用一张长方形的纸片折出一个正方形． 设计意图：学生在动手中对正方形产生感性认识，并感知正方形与矩形的关系． 猜一猜：什么样的平行四边形是正方形？ 正方形定义：有一组邻边相等 ．．．．．叫做正方形． ．．．．．．并且有一个角是直角 ．．．．．．．的平行四边形 看一看：几何画板演示动画
设计意图：从学生的生活实际出发，从制作、动画中，提出问题，创设情境，激发学生强烈的好奇心和求知欲。 我们这节课就来研究正方形．板书课题【正方形的性质与判定】 二、实践探究，交流新知 师：其定义包括了两层意：⑴有一组邻边相等的平行四边形（菱形）⑵有一个角是直角的平行四边形（矩形），所以说正方形既是菱形又是矩形． 平行四边形、菱形、矩形、正方形之间有什么关系？你能用一个图直观地表示它们之间 的关系吗？与同伴交流． 生：画图展示 设计意图：锻炼学生文本信息图形化的能力．构建他们之间的逻辑关系；重建学生的认知结构． 师：正方形都具有什么性质呢？ 生：由正方形的定义可以得知，正方形既是有一组邻边相等的矩形，又是有一个角是直角的菱形．所以它应该具备菱形和矩形的所有性质．（多媒体补充显示性质）正方形性质 ①正方形的四个角都是直角，四条边都相等． ②正方形的两条对角线相等并且互相垂直平分． 师：同学们从正方形定义中能尝试口述这两个命题的证明过程吗？ 生：学生独立完成，并相互交流 师：正方形有几条对称轴？ 生：思考或者画图验证 师：什么样的矩形是正方形？什么样的菱形是正方形？（多媒体演示） 设计意图：通过分析让学生感受到正方形与矩形和菱形、平行四边形的紧密联系，明确正方形的判定。 生：回答正方形判定（多媒体补充显示判定）
主讲：叶良国 课题：正方形的性质与判定（1） 课型：新授课 教学目标： 1．了解正方形概念，理解并掌握正方形的性质和判定方法，通过由一般到特殊的研究方法，分析平行四边形、矩形、菱形、正方形的概念及性质之间的区别与联系．并形成文本信息与图形信息相互转化的能力． 2．在观察、操作、推理、归纳等探索明正方形的性质和判定定理过程中，发展合情推理能力，进一步培养自己的说理习惯与能力 3．培养学生勇于探索、团结协作交流的精神．激发学生学习的积极性与主动性． 教学重难点： 重点：探索正方形的性质与判定。 难点：掌握正方形的性质和判定的应用方法。 关键：把握正方形既是矩形又是菱形这一特性来学习本节内容教学过程 教学过程： 一、回忆童年，情境引入 想一想：什么是矩形？是菱形？ 做一做：大家小时候都做过风车吗？在准备材料的时候我们往往会先折一张正方形的纸片，大家来做一做用一张长方形的纸片折出一个正方形． 设计意图：学生在动手中对正方形产生感性认识，并感知正方形与矩形的关系． 猜一猜：什么样的平行四边形是正方形？ 正方形定义：有一组邻边相等 ．．．．．叫做正方形． ．．．．．．．的平行四边形 ．．．．．．并且有一个角是直角 看一看：几何画板演示动画 设计意图：从学生的生活实际出发，从制作、动画中，提出问题，创设情境，激发学生强烈的好奇心和求知欲。 我们这节课就来研究正方形．板书课题【正方形的性质与判定】
二、实践探究，交流新知 师：其定义包括了两层意：⑴有一组邻边相等的平行四边形（菱形）⑵有一个角是直角的平行四边形（矩形），所以说正方形既是菱形又是矩形． 平行四边形、菱形、矩形、正方形之间有什么关系？你能用一个图直观地表示它们之间的关系吗？与同伴交流． 生：画图展示 设计意图：锻炼学生文本信息图形化的能力．构建他们之间的逻辑关系；重建学生的认知结构． 师：正方形都具有什么性质呢？ 生：由正方形的定义可以得知，正方形既是有一组邻边相等的矩形，又是有一个角是直角的菱形．所以它应该具备菱形和矩形的所有性质．（多媒体补充显示性质）正方形性质 ①正方形的四个角都是直角，四条边都相等． ②正方形的两条对角线相等并且互相垂直平分． 师：同学们从正方形定义中能尝试口述这两个命题的证明过程吗？ 生：学生独立完成，并相互交流 师：正方形有几条对称轴？ 生：思考或者画图验证 师：什么样的矩形是正方形？什么样的菱形是正方形？（多媒体演示） 设计意图：通过分析让学生感受到正方形与矩形和菱形、平行四边形的紧密联系，明确正方形的判定。 生：回答正方形判定（多媒体补充显示判定） 正方形的判定 ①有一组邻边相等的矩形是正方形． ②有一个角是直角的菱形是正方形．
A D C B F E M 图3 A N M F E D C B 备课教师备课年级八年级下册课型新授课 备课内容正方形学生 学习目标 1．知道正方形的概念、性质和判定，并会用它们进行有关的论证和计算 2．理解正方形与平行四边形、矩形、菱形的联系和区别 教学重点正方形的定义及正方形与平行四边形、矩形、菱形的联系 教学难点正方形与矩形、菱形的关系及正方形性质与判定的灵活运用 教学准备多媒体课件、矩形纸片、菱形学具 教学过程： 题组训练一 1.请同学们口述平行四边形、矩形、菱形的定义和它们的特殊性质。 平行四边形矩形菱形定义 边 角 对角线
图3
1、探究正方形的性质：（用符号语言填写） 正方形是特殊的平行四边形，既是矩形，又是___________ 边：______________________________________________ 角：________________________________________________ 对角线：_______________________________对称性：_________________________ 2、例：在正方形ABCD 中，点E ，F 分别在AB ，AD 上，且BE ＝AF ，连接CE ，BF 相交于点G 。求证：BF ⊥CE 设计意图：课前学习微视频认识正方形，让学生用类比的方法从边、角、对角线三个角度总结正方形的性质，用文字语言叙述并用几何语言表示。在此基础上观察正方形是不是轴对称图形，并思考对称轴的条数。小组讨论的过程中教师要给与指导，并且重点关注学生能否用几何语言准确表示正方形的性质。教学中渗透转化思想，让学生理解几何语言、文字语言、图形语言三者之间的关系。 合作探究 精讲点拨 课堂升华 E 、 F 、M 、N 是正方形ABCD 四边上的点，AE=BF=CM=DN ，求证：四边形EFMN 是正方形。 设计意图： 练习题设置简单，基础，让学生进一步了解正方形的性质，并熟悉正方形常用的判定方法，教师重点关注学生的思维过程，对学生的答案及时评价，给学生充分的肯定和鼓励。同时注意总结应用的知识点及帮助学生完善思维过程。 B A D C 图1 O A N M F E D C B
正方形的性质与判定 1.定义：四条边都相等，四个角都是直角的四边形叫做正方形. 2.性质：（1）对边平行；（2）四条边都相等；（3）四个角都是直角； （4）对角线互相垂直平分且相等，对角线平分对角； （5) 两条对角线把正方形分成四个全等的等腰直角三角形； （6）中心对称图形，轴对称图形. 3.面积：=S 正方形边长×边长＝12 ×对角线×对角线 4.判定：（1）有一个角是直角的菱形是正方形； （2）对角线相等的菱形是正方形； （3）一组邻边相等的矩形是正方形 （4）对角线互相垂直的矩形是正方形； （5）对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形； （6）四条边都相等，四个角都是直角的四边形是正方形 随堂练习 1.菱形、矩形、正方形都具有的性质是（ ） A ．对角线相等 B ．对角线互相垂直 C ．对角线互相平分 D ．对角线平分一组对角 2. 已知四边形ABCD 是平行四边形，再从①AB ＝BC ，②∠ABC ＝90°，③AC ＝BD ，④AC ⊥BD 四个条件中，选两个作为补充条件后，使得四边形ABCD 是正方形，现有下列四种选法，其中错误的是( ) A ．选①② B ．选②③ C ．选①③ D ．选②④ 3.如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，BC 的垂直平分线EF 交BC 于点D ，交AB 于点E ，且BE ＝BF ，添加一个条件，仍不能证明四边形BECF 为正方形的是（ ） A ．BC ＝AC B ．CF ⊥BF C ．B D ＝DF D ．AC ＝BF 第3题 第4题 第5题 第6题 4.如图，在正方形ABCD 的外侧，作等边三角形ADE ，AC 、BE 相交于点F ，则∠BFC 为（ ） A ．45° B ．55° C ．60° D ．75° 5.如图，将正方形OABC 放在平面直角坐标系中，O 是原点，A 的坐标为（1，），则点B 的坐标为（ ） A ．（1﹣， +1） B ．（﹣， +1） C ．（﹣1， +1） D ．（﹣1， ）
学案导学题组训练教学设计
学生语言表达能力的训练。同时，锻炼学生符号语言的应用和书写，为严格的推理证明做好准备。 成果展示 反馈交流 已知：如图3，△ABC 中，∠C=90°，CD 平分∠ACB，DE⊥BC 于E ，DF⊥AC 于F 。 求证：四边形CFDE 是正方形。 设计意图：这道题目是对正方形判定方法的应用，正方形的定义以及与矩形和菱形的关系就是最直接的判定方法。大部分学生应该能很清楚的证明这个题目，但是在书写时应当重点注意检查他们严密的逻辑关系，让同学们在小组内互相修改，认真完善证明各式。 题组训练三 1、探究正方形的性质：（用符号语言填写） 正方形是特殊的平行四边形，既是矩形，又是___________ 边：______________________________________________ 角：________________________________________________ 对角线：_______________________________对称性：_________________________ 2、例：在正方形ABCD 中，点E ，F 分别在AB ，AD 上，且BE ＝AF ， 连接CE ，BF 相交于点G 。求证：BF ⊥CE 设计意图：课前学习微视频认识正方形，让学生用类比的方法从边、角、对角线三个角度总结正方形的性质，用文字语言叙述并用几何语言表示。在此基础上观察正方形是不是轴对称图形，并思考对称轴的条数。小组讨论的过程中教师要给与指导，并且重点关注学生能否用几何语言准确表示正方形的性质。教学中渗透转化思想，让学生理解几何语言、文字语言、图形语言三者之间的关系。 合作探究 精讲点拨 课堂升华 E 、F 、M 、N 是正方形ABCD 四边上的点，AE=BF=CM=DN ，求证：四边形EFMN 是正方形。 B A D C 图1 O 图3 A N M F E D C B
正方形的性质与判定优 秀教案 Company number【1089WT-1898YT-1W8CB-9UUT-92108】
课题：1．3．1正方形的性质与判定 课型：新授课年级：九年级 教学目标： 1．理解正方形的概念，通过由一般到特殊的研究方法，分析平行四边形、矩形、菱形、正方形的概念及性质之间的区别与联系．并形成文本信息与图形信息相互转化的能力． 2．在观察、操作、推理、归纳等探索明正方形的性质定理过程中，发展合情推理能力，进一步培养自己的说理习惯与能力 3．培养学生勇于探索、团结协作交流的精神．激发学生学习的积极性与主动性． 教学重、难点： 重点：理解正方形的定义和性质． 难点：选择适当的方法解决有关正方形的问题． 教学过程： 一、回忆童年，情境引入 师：大家小时候都做过风车吗？在准备材料的时候我们往往会先折一张正方形的纸片，大家再来做一做用一张长方形的纸片折出一个正方形． 学生在动手中对正方形产生感性认识，并感知正方形与矩形的关系． 师：结合菱形和矩形的定义想一想什么样的四边形是正方形？ 学生思考回答
正方形定义：有一组邻边相等．．．．．．并且有一个角是直角．．．．．．．的平行四边形．．．．．叫做正方形． 其定义包括了两层意：⑴有一组邻边相等的平行四边形（菱形）⑵有一个角是直角的平行四边形（矩形） 所以说正方形既是菱形又是矩形． （几何画板演示动画） 我们这节课就来深入了解正方形． 【板书课题1．3．1正方形的性质与判定】 设计意图：从学生的生活实际出发，创设情境，提出问题，激发学生强烈的好奇心和求知欲．学生经历了将实际问题抽象为数学问题的建模过程． 二、实践探究，交流新知 师：正方形都具有什么性质呢？ 生：由正方形的定义可以得知，正方形既是有一组邻边相等的矩形，又是有一个角是直角的菱形．所以它应该具备菱形和矩形的所有性质． 设计意图：通过分析让学生感受到正方形与矩形和菱形、平行四边形的紧密联系；同时，把思维兴奋点集中到要研究的正方形上来，为下面学习新知识创造了良好开端． 师：你能详细说一说吗？ 生：正方形的四个角都是直角，四条边都相等．正方形的两条对角线相等并且互相垂直平分． （多媒体显示）
武威第四中学课堂教学设计 提高学生的逻辑思维能力． 使学生经历探究正方形的性质与判定的过程，体会探索研究问题的方法，使学生在数学活动中获取成功的体验，增强自信心。
武威第四中学课堂教学设计（续页） 一、复习回顾，引入新课 1．做一做：用一张长方形的纸片（如图所示）折出一个正方形． 学生在动手做中对正方形产生感性认识，并感知正方形与矩形的关系．问题：什么样的四边形是正方形？ 正方形定义：有一组邻边相等．．．．．．并且有一个角是直角．．．．．．．的平行四边形．．．．．叫做正方形． 指出：正方形是在平行四边形这个大前提下定义的，其定义包括了两层意： （1）有一组邻边相等的平行四边形 （菱形） （2）有一个角是直角的平行四边形 （矩形） 2．【问题】正方形有什么性质？ 由正方形的定义可以得知，正方形既是有一组邻边相等的矩形，又是有一个角是直角的菱形． 所以，正方形具有矩形的性质，同时又具有菱形的性质． 二、例题分析 例1（教材例4） 求证：正方形的两条对角线把正方形分成四个全等的等腰直角三角形． 已知：四边形ABCD 是正方形，对角线AC 、BD 相交于点O （如图）． 求证：△ABO 、△BCO 、△CDO 、△DAO 是全等的等腰直角三角形． 证明：∵ 四边形ABCD 是正方形， ∴ AC=BD ， AC ⊥BD ，
4．已知：如图，点E是正方形ABCD的边CD上一点，点F是CB 的延长线上一点，且DE=BF． 求证：EA⊥AF． 5．已知：如图，△ABC中，∠C=90°，CD平分∠ACB，DE⊥BC于E，DF⊥AC于F．求证：四边形CFDE是正方形． 6．已知：如图，正方形ABCD中，E为BC上一点，AF平分∠DAE 交CD于F，求证：AE=BE+DF． 四、课后小结 这节课你学习了什么？ 本节课，我们主要学习了正方形的性质与判定方法: 1、有一个角是直角的平行四边形是矩形 2、有三个角是直角的四边形是矩形 3、对角线相等的平行四边形是矩形 分清三种判定方法的条件，正解选择方法进行推理论证。 五、布置作业 习题18.2第7,9题
《正方形的判定》教案 林维勤 教学目标：掌握判断一个四边形是否是正方形的方法 教学重点：运用正方形的判定方法 课前诊测：复习提问特殊四边形的判定方法 教学过程： 把一个长方形折叠就可以得到一个正方形。现在请同学们拿出一个长方形纸条，按动画所示进行折叠处理。 师：这就是我们得到的正方形。下面请同学们拿出三角板（刻度尺）和圆规，我们来研究正方形的几何性质—边、角以及对角线之间的关系。请大家测量各边的长度、各角的大小、对角线的长度以及对角线交点到各顶点的长度。 师：这些性质里那些是矩形的性质？ [学生活动；寻找菱形性质。] 师：这说明正方形具有矩形和菱形的全部性质。 师：根据这些性质，我们能不能给正方形下一个定义？怎么样给正方形下一个准确的定义？ 师：请同学们回想矩形与菱形的定义，可以根据矩形与菱形的定义类似的给出正方形的定义。 板书： 1、“有一组邻边相等的矩形叫做正方形。” 2、“有一个角是直角的菱形叫做正方形。” 3、“有一个角是直角且有一组邻边相等的平行四边形叫做正方形。” 师：当然平行四边形、矩形、菱形和正方形它们之间的关系还可以用下图表示：
图1 例题讲解 例1在已知锐角三角形ABC外边作正方形ABDE和正方形ACFG，求证：BG=CE 分析：据已知条件画出图形，如图2所示，要证明线段相等，与图形可以证明两个三角形全等，即只需证明△ABG≌△AEC. 证明：∵四边形ABDE和ACFG都是正方形 ∴AB=AE,AG=AC ∠BAE=∠CAG=90° ∴∠BAE+∠BAC=∠CAG+∠BAC 即∠BAG=∠EAC ∴△ABG≌△AEC ∴BG=CE 图2 说明：应用正方形的性质，可以为证明全等提供条件，要注意等式性质的应用，这与向锐角三角形ABC外作等边三角形的结论完全相同，证法是可以借鉴的。
正方形的性质与判定（二） 教学目标： 知识与技能： 1.掌握正方形的判定定理，并能综合运用特殊四边形的性质和判定解决问题。 2.发现决定中点四边形形状的因素，熟练运用特殊四边形的判定及性质对中点四边形进行判断，并能对自己的猜想进行证明，进一步发展学生演绎推理的能力。 3.使学生进一步体会证明的必要性以及计算与证明在解决问题中的作用。 过程与方法： 1.经历“探索—发现—猜想—证明”的过程，掌握正方形的判定定理，发现决定中点四边形形状的因素，并能综合运用特殊四边形的性质和判定解决问题。 2.通过凸四边形的中点四边形的探求过程，以及引申至凹四边形的中点四边形的探求过程，引导学生体会证明过程中所运用的由一般到特殊再到一般的归纳、类比、转化的思想方法等，培养积极探索、勇于创新的精神，以及推出新的创新能力。 情感与态度： 通过师生互动、合作交流以及多媒体软件的使用，进一步发展学生合作交流的能力和数学表达能力，并使学生发现数学中蕴涵的美，激发学生学习的自觉性、积极性，提高学习数学的兴趣。 教学过程 本节课设计了六个教学环节： 第一环节：情景引入；第二环节：运用巩固；第三环节：猜想结论，分组验
证；第四环节：学以致用；第五环节：课堂小结；第六环节：布置作业。 第一环节：情景引入 活动容： 问题：将一长方形纸对折两次，然后剪下一个角，打开，怎样 剪才能剪出一个正方形？ （学生动手折叠、思考、剪切） 活动目的： 因为正方形的两条对角线把它分成四个全等的等腰直角三角形，把折痕作对角线，这时只需剪一个等腰直角三角形，打开即是正方形，因此只要保证剪口线与折痕成45°角即可。 活动的注意事项： 部分学生在动手操作时，会剪出菱形，教师要引导学生思考：正方形是特殊的矩形和菱形，因此想得到一个正方形，可以在矩形的基础上强化边的条件得到，也可以在菱形的基础上强化角的条件得到，而折痕是正方形的对角线，所以本环节要从对角线的角度考虑，即对角线要垂直相等且平分，学生很自然的会想到需要剪一个等腰直角三角形，因此只要保证剪口线与折痕成45°角即可，本节课的第一个教学难点迎刃而解。 本环节中教师可以鼓励操作快的学生帮助有困难的学生，请同学到讲台前讲解自己的做法和判断依据，顺势引导学生总结出正方形的判定定理： 1.对角线相等的菱形是正方形。 2.对角线垂直的矩形是正方形。