第四章-二次曲面
二次曲面
Ⅰ 授课题目
§7.3 曲面及其方程
Ⅱ 教学目的与要求
1、理解曲面与方程之间的关系，会建立简单曲面的方程；
2、理解旋转曲面的概念，能建立旋转曲面的方程；
3、理解柱面的概念，掌握柱面方程的特点；
4、理解二次曲面的概念，知道二次曲面的方程与图形的对应关系。
Ⅲ 教学重点与难点
重点：曲面方程的概念、旋转曲面、柱面。
难点：二次曲面的形状，截割分析
Ⅳ 讲授内容
一、曲面方程的概念
在空间解析几何中, 任何曲面都可以看作点的几何轨迹. 在这样的意义下, 如果曲面S 与三元方程
F (x , y , z )=0
有下述关系:
(1) 曲面S 上任一点的坐标都满足方程F (x , y , z )=0;
(2) 不在曲面S 上的点的坐标都不满足方程F (x , y , z )=0,
那么, 方程F (x , y , z )=0就叫做曲面S 的方程, 而曲面S 就叫做方程F (x , y , z )=0的图形.
常见的曲面的方程:
例1 建立球心在点M 0(x 0, y 0, z 0)、半径为R 的球面的方程.
解 设M (x , y , z )是球面上的任一点, 那么
|M 0M |=R .
即 R z z y y x x =-+-+-202020)()()(,
或 (x -x 0)2+(y -y 0)2+(z -z 0)2=R 2.
这就是球面上的点的坐标所满足的方程. 而不在球面上的点的坐标都不满足这个方程. 所以
(x -x 0)2+(y -y 0)2+(z -z 0)2=R 2.
就是球心在点M0(x0,y0,z0)、半径为R的球面的方程.
特殊地,球心在原点O(0, 0, 0)、半径为R的球面的方程为
x2+y2+z2=R2.
例2 设有点A(1, 2, 3)和B(2,-1, 4),求线段AB的垂直平分面的方程.
解由题意知道,所求的平面就是与A和B等距离的点的几何轨迹.设M(x,y,z)为所求平面上的任一点,则有
|AM|=|BM|,
即2
2
2
2)4
2
2
-
+
-
-
+
y
x.
+
y
z
x
-z
=
)2
(
(
)1
(
+
)3
(-
+
(
)1
(
)2
等式两边平方,然后化简得
2x-6y+2z-7=0.
这就是所求平面上的点的坐标所满足的方程,而不在此平面上的点的坐标都不满足这个方程,所以这个方程就是所求平面的方程.
以上表明作为点的几何轨迹的曲面可以用它的点的坐标间的方程来表示，反之，变量x、y和z间的方程通常表示一个曲面。因此在空间解析几何中关于曲面的研究，有下列两个基本问题:
(1) 已知一曲面作为点的几何轨迹时,建立这曲面的方程;
(2) 已知坐标x、y和z间的一个方程时,研究这方程所表示的曲面的形状.
例3 方程x2+y2+z2-2x+4y=0表示怎样的曲面？
解通过配方,原方程可以改写成
(x-1)2+(y+2)2+z2=5.
这是一个球面方程,球心在点M0(1,-2, 0)、半径为5
R.
=
一般地,设有三元二次方程
Ax2+Ay2+Az2+Dx+Ey+Fz+G=0,
这个方程的特点是缺xy,yz,zx各项,而且平方项系数相同,只要将方程经过配方就可以化成方程
(x -x 0)2+(y -y 0)2+(z -z 0)2=R 2.
的形式, 它的图形就是一个球面.
二、旋转曲面
以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转一周所成的曲面叫做旋转曲面, 这条定直线叫做旋转曲面的轴.
设在yO z 坐标面上有一已知曲线C , 它的方程为
f (y , z ) =0,
把这曲线绕z 轴旋转一周, 就得到一个以z 轴为轴的旋转曲面. 它的方程可以求得如下:
设M (x , y , z )为曲面上任一点, 它是曲线
C 上点M 1(0, y 1, z 1)绕z 轴旋转而得到的. 因
此有如下关系等式
0) ,(11=z y f , 1z z =, 221||y x y +=, 从而得 0) ,(22=+±z y x f ,
这就是所求旋转曲面的方程.
在曲线C 的方程f (y , z )=0中将y 改 成22y x +±, 便得曲线C 绕z 轴旋转所 成的旋转曲面的方程0) ,(22=+±z y x f .
同理, 曲线C 绕y 轴旋转所成的旋转曲面的方程为
0) ,(22=+±z x y f . 例4 直线L 绕另一条与L 相交的直线旋转一周, 所得旋转曲面叫做圆锥面. 两直线的交点叫做圆锥面的顶点, 两直线的夹角α (2
0πα<<)叫做圆锥面的半顶角. 试建立顶点在坐标原点O , 旋转轴为z 轴, 半顶角为α的圆锥面的方程.
解 在yO z 坐标面内, 直线L 的方程为
z =y cot α ,
将方程z =y cot α 中的y 改成22y x +±, 就得到所要求的圆锥面的方程 αcot 22y x z +±=,
或
z 2=a 2 (x 2+y 2),
其中a =cot α .
例5. 将zOx 坐标面上的双曲线122
22=-c z
a x
分别绕x 轴和z 轴旋转一周, 求所生成的旋转曲面的方程.
解 绕x 轴旋转所在的旋转曲面的方程为
12
2222=+-c z y a x ; 绕z 轴旋转所在的旋转曲面的方程为
122222=-+c
z a y x . 这两种曲面分别叫做双叶旋转双曲面和单叶旋转双曲面.
三、柱面
例6 方程x 2+y 2=R 2表示怎样的曲面？
解 方程x 2+y 2=R 2在xOy 面上表示圆心在原点O 、半径为R 的圆. 在空间直角坐标系中, 这方程不含竖坐标z , 即不论空间点的竖坐标z 怎样, 只要它的横坐标x 和纵坐标y 能满足这方程, 那么这些点就在这曲面上. 也就是说, 过xOy 面上的圆x 2+y 2=R 2, 且平行于z 轴的直线一定在x 2+y 2=R 2表示的曲面上. 所以这个曲面可以看成是由平行于z 轴的直线l 沿xOy 面上的圆x 2+y 2=R 2移动而形成的. 这曲面叫做圆柱面, xOy 面上的圆x 2+y 2=R 2叫做它的准线, 这平行于z 轴的直线l 叫做它的母线.
第八章 二次型 二次型理论起源于解析几何中的化二次曲线和二次曲面方程为标准形的问题，这一理论在数理统计、物理、力学及现代控制理论等诸多领域都有很重要的应用. 本章主要介绍二次型的基本概念,讨论化二次型为标准形及正定二次型的判定等问题. §8.1 二次型及其矩阵表示 在解析几何中,我们曾经学过二次曲线及二次曲面的分类,以平面二次曲线为例,一条二次曲线可以由一个二元二次方程给出： 2 2 0ax bxy cy dx ey f +++++= (1.1) 要区分(1.1)式是哪一种曲线(椭圆、双曲线、抛物线或其退化形式),我们通常分两步来做:首先将坐标轴旋转一个角度以消去xy 项, 再作坐标的平移以消去一次项. 这里的关键是消去 xy 项,通常的坐标变换公式为: cos sin sin cos x x y y x y θθθθ''=-??''=+? (1.2) 从线性空间与线性变换的角度看,(1.2)式表示平面上的一个线性变换.因此二次曲线分类的关键是给出一个线性变换,使(1.1)式中的二次项只含有平方项.这种情形也在空间二次曲面的分类时出现,类似的问题在数学的其它分支、物理、力学中也会遇到. 为了讨论问题的方便,只考虑二次齐次多项式. 定义8.1.1 设f 是数域P 上的n 元二次齐次多项式: 212111121211222223232222 1,111,1(,, ,)22222n n n n n n n n n n n n nn n f x x x a x a x x a x x a x a x x a x x a x a x x a x -----=++ ++++++ +++ (1.3) 称为数域P 上的n 元二次型,简称二次型. 如果数域P 为实数域R ,则称f 为实二次型; 如果数域P 为复数域C ,则称f 为复二次型; 如果二次型中只含有平方项,即 222121122(,, ,)n n n f x x x d x d x d x =+++ 称为标准形式的二次型,简称为标准形. 说明: 在这个定义中,非平方项系数用2ij a 主要是为了以后矩阵表示的方便. 例8.1.2 下列多项式都是二次型: 22 2 2 2 (,)33(,,)22343f x y x xy y f x y z x xy xz y yz z =++=+-++- 下列多项式都不是二次型:
不变量法化简二次曲面 徐晓利摘要：二次曲面的化简是一项复杂又高难度的工作.本文主要总结了计算简便易掌握的不变量法，即运用变量和不变量化简二次曲面的方法，并举例讲解方法.关键词：二次曲面；化简；不变量二次曲面是解析几何的重点内容，也是高等代数这一模块中重要的二次型理论的经典应用.我们往往通过化简其方程，判别二次曲面的类型，并确定其几何形状.化简二次曲面，是二次曲面一般理论中最重要的内容，也是难点所在.坐标变换法（正交变换）是化简二次曲面方程普遍常用的方法，但是由于相关高等代数理论抽象难懂，计算过程复杂，课堂教学显得很是困难.在欧式坐标系中，二次曲面存在着许多不变量，总结归纳不变量关系与二次曲面标准方程之间联系，由此来进行化简.1二次曲面定义1在三维空间中，用三元二次方程来表示的曲面称为二次曲面.设二次曲面的一般方程为：（1.1）.二次曲面方程中的常用记号：将的二次项部分记为，将的系数排成矩阵，叫做二次曲面的矩阵..2不变量法化简二次曲面定义2二次曲面的标准方程：无法再使用平移、旋转变换进行化简的方程.即满足以下三者的方程：1）方程中不包含交叉项xy，xz，yz；2）若方程中存在某一坐标的二次项，就不存在这一坐标的一次项；3）若方程中只存在某一坐标的一次项，且此时其中不存在.在高等代数课程中，有一个重要理论，称为二次型理论.二次型理论告诉我们，通过求解矩阵的特征方程，求相应特征根，最后得到唯一的标准形.这也就是我们常常所说的正交变换.二次曲面方程中也有
相应的二次型矩阵，从而二次曲面便能用此变换化简，在这里不加以展开.在变换中我们发现，二次曲面方程在直角坐标变换后，方程虽然发生了一定变化，但是决定二次曲面的几何特征的性质却没有任何变化，那些不变的性质我们可以采用不变量来刻画.这种不变量可以用二次曲面方程的系数来表达.我们称，不因直角坐标变化而发生改变的量为正交不变量.正交不变量在解析几何研究中十分重要的一项，为二次曲面和二次曲线的化简有着尤为重要的作用，下面我将证明二次曲面中的不变量.引理 1.是二次曲面的不变量.即是正交不变量.推论 1.二次曲面的特征方程和特征根在任意直角坐标变换下都不变.引理2.和在转轴变换下不变，称为半不变量.引理3.给定二次曲面方程（1）当时，是不变量；（2）当时，是不变量.任意一个二次曲面方程在选取适当的直角坐标变化后可以被分为5大类别，表示为化简的五个方程之一，下面我们利用二次曲面在转轴变化下的不变量与半不变量对二次曲面进行化简.定理1.不变量得简化方程：（1）当时，简化方程为；（2）当时，简化方程为；（3）当时，简化方程为；（4）当时，简化方程为；（5）当时，简化方程为.其中表示非零特征根.证明：从略.例1：化簡下面二次曲面方程，并判断出它为何种二次曲面.解：二次曲面的矩阵，分别计算不变量，得，，，.特征方程为，特征根为：，，.又由，所以二次曲面的简化方程为：，该曲面为椭圆柱面.例2：化简二次曲面方程.解：二次曲面的矩阵，分别计算不变量，得，，，由故二次曲面为中心二次曲面，特征方程为，特征根为：，，又所以二次曲面的简化方程为：，这是一个
三维空间中二次方程与二次曲面 张晓青（2010073060029） 指导教师：李厚彪 【摘要】 利用正交变换可以将二次型化为标准型，在三维空间中一个二次方程对应着一种 二次曲面.在研究二次方程的几何意义时，先将二次方程进行正交变换进而研究所得到的标准型对应的几何图形，可以证明所得的几何图形是一个与原几何图形相同但位于特殊位置的图形，具有一定的对称性，为研究带来方便.这种正交变换法适用于一般情况具有探究价值，本文基于教材，进一步讨论正交变换后不同的标准型与几何图形的关系，并附有图解. 【关键词】正交表换 二次方程 二次曲面 1 引 言 教材第六章二次型与二次曲面的几何应用中告诉我们不同的标准型的参数对应17种不同的几何图形，那么它们究竟是什么样的曲面图形呢？接下来我们一一讨论. 2．正 文 如果线性变换=X CY 中的系数举矩阵C 是正交矩阵，则称这个线性变换为正交变换 对n 维实向量T 12(,,,)n a a a =α，T 12(,,,)n b b b =β，设A 为n 阶正交矩阵，作正交变 换 =X A α，=Y A β， 则 T T T T (,)(,)()()(,).=====X Y A αA βA αA βαΑA βαβαβ 即，正交变换保持向量内积不变，因为也就保持向量的长度与夹角不变.于是在正交变换下，几何图形的形状不会发生改变. 设 222 12311122233312121313 2323112233(,,)222? f x x x a x a x a x a x x a x x a x x b x b x b x c =+++++++++ （1.1） 则方程123(,,)0f x x x =在几何空间中表示一个二次曲面. 令11 121321 222331 32 33a a a a a a a a a ?? ? = ? ???A ,123x x x ?? ?= ? ???X ，123b b b ?? ?= ? ??? b 则（1.1）式可记为 T T ()f c =++X X AX b X （1.2） 下面，令T ()g =X X AX 1. 作正交变换=X CY ，其中T 123(,,)y y y =Y ，则 223'' '112233112233()f y y y b y b y b y c λλλ=++++++X （1.3）
第十章 曲线积分与曲面积分 一、 基本内容要求 1． 理解线、面积分的概念，了解线、面积分的几何意义及物理意义，能用线、 面积分表达一些几何量和物理量； 2． 掌握线、面积分的计算法； 3． 知道两类曲线积分及两类曲面积分的联系； 4． 掌握格林公式，并能将沿闭曲线正向的积分化为该曲线所围闭区域上的二重 积分； 5． 掌握曲线积分与路径无关的充要条件，并能求全微分为已知的某个原函数， 注意此时所讨论问题单连通域的条件不可缺少； 6． 掌握高斯公式，并能将闭曲面Σ外侧上的一个曲面积分化为由其所围空间闭 区间Ω上的三重积分。 二、 选择 1．设OM 是从O （0，0）到点M （1，1）的直线段，则与曲线积分I=ds e om y x ? +2 2不相等的积分是：（ ） A)dx e x 21 2? B) dy e y 21 02? C) dt e t ? 2 D) dr e r 21 ? 2．设L 是从点O(0,0)沿折线y=1-|x-1| 至点A(2,0) 的折线段，则曲线积分I= ? +-L xdy ydx 等于（ ） A)0 B)-1 C)2 D)-2 3．设L 为下半圆周)0(222≤=+y R y x ，将曲线积分I= ds y x L ? +)2(化为定
积分的正确结果是：（ ） A) dt t t R )sin 2(cos 0 2+? -π B) dt t t R )sin 2(cos 0 2 +?π C) dt t t R )cos 2sin (0 2+-?- π D) dt t t R )cos 2sin (232 2+-?π π 4．设L 是以A(-1,0) ,B(-3,2) ,C(3,0) 为顶点的三角形域的周界沿ABCA 方向， 则 ? -+-L dy y x dx y x )2()3(等于：（ ） A) -8 B) 0 C) 8 D) 20 5．设AEB 是由点A(-1,0) 沿上半圆 21x y -=经点E(0,1)到点B(1,0)， 则曲线积分I= dx y AEB ? 3等于：（ ） A) 0 B)dx y BE ? 32 C) dx y EB ? 32 D) dx y EA ? 32 三、 填空 1．γβαcos ,cos ,cos 是光滑闭曲面Σ的外法向量的方向余弦，又Σ所围的空间闭区域为Ω；设函数P(x,y,z),Q(x,y,z)和R(x,y,z)在Ω上具有二阶连续偏导数，则由高斯公式，有 ds y P x Q x R z P z Q y R ]cos )(cos )(cos )[( γβα??-??+??-??+??-???? ∑ = 。 2．设L 是xoy 平面上沿顺时针方向绕行的简单闭曲线，且
第十一章 曲线积分与曲面积分 内容要点 一、引例 设有一曲线形构件所占的位置是xOy 面内的一段曲线L （图10-1-1），它的质量分布不均匀，其线密度为),(y x ρ，试求该构件的质量. 二、第一类曲线积分的定义与性质 性质1 设α，β为常数，则 ???+=+L L L ds y x g ds y x f ds y x g y x f ),(),()],(),([βαβα； 性质2设L 由1L 和2L 两段光滑曲线组成(记为=L 21L L +)，则 .),(),(),(2 1 2 1 ???+=+L L L L ds y x f ds y x f ds y x f 注： 若曲线L 可分成有限段，而且每一段都是光滑的，我们就称L 是分段光滑的，在以后的讨论中总假定L 是光滑的或分段光滑的. 性质3 设在L 有),(),(y x g y x f ≤，则 ds y x g ds y x f L L ??≤),(),( 性质4（中值定理）设函数),(y x f 在光滑曲线L 上连续，则在L 上必存在一点),(ηξ，使 s f ds y x f L ?=?),(),(ηξ 其中s 是曲线L 的长度. 三、第一类曲线积分的计算：)(), (),(βα≤≤?? ?==t t y y t x x dt t y t x t y t x f ds y x f L )()(])(),([),(22'+'=??β α 如果曲线L 的方程为 b x a x y y ≤≤=),(，则 dx x y x y x f ds y x f b a L )(1])(,[),(2'+=?? 如果曲线L 的方程为 d y c y x x ≤≤=),(，则 dy y x y y x f ds y x f d c L )(1]),([),(2'+=?? 如果曲线L 的方程为 βθαθ≤≤=),(r r ，则 θθθθθβ α d r r r r f ds y x f L )()()sin ,cos (),(22'+=??
第七章 二次型与二次曲面 二次型的定义 定义：n 个变量n ,x ,,x x 21的二次齐次多项式 ()ji ij n i n j j i ij n a a ,x x a ,x ,,x x Q ==∑∑==11 21 称为n 元二次型或二次形式。当系数ij a 取实数时，称为实二次型；ij a 取复数时，称为复二次型。 例：()32212 13213x x x x x ,x ,x x Q +-= 例：()233221213212x x x x x x x ,x ,x x Q ++-= ()() () ????? ???????????????????=++++++++++++===∑∑==n nn n n n n n n nn n n n n n n n n ji ij n i n j j i ij n x x x a a a a a a a a a ,x ,,x x x a x x a x x a x x a x a x x a x x a x x a x a a a ,x x a ,x ,,x x Q 21212222111211212 22112222 221221112112211111 21 令()()T ij T n A A a ,A ,x ,,x x x ===则,21 ，且二次型可表示为 ()Ax x ,x ,,x x Q T n = 21， 称A 为二次型的矩阵。
()x x x x x x x ,x ,x x Q T ??????? ? ? ?--=+-=02 302302102113322121321 例：写出下列二次型对应的矩阵，假设A 为实对称矩阵，且 r (A )=n . ()∑∑ ===n i n j j i ij n x x |A| A ,x ,,x x Q 11 21 矩阵的相合 设n n ,β,,ββ,,α, ,αα 2121是n 维线性空间V 的两组基，这两组基的过渡矩阵为P ，即 ()()P ,α, ,αα,β,,ββn n 2121= 设向量V ∈α在两组基下的坐标分别为 ()()T n T n ,y ,,y y ,y ,x ,,x x x 2121== 则有坐标变换公式（也称可逆的线性替换）： x P y Py x 1 -==或。 则 ()()() y AP P y APy Py Ax x αQ T T T T === 称同一个二次函数()αQ 在不同基下所对应的两个二次型 Ax x T 和()By y y AP P y T T T =是等价的。 定义：给定两个n 阶方阵A 和B ，如果存在可逆矩阵P ，使得B =P T AP ，则称B 与A 相合（或合同）。
第十章 曲线积分与曲面积分 (A) 1．计算()?+L dx y x ，其中L 为连接()0,1及()1,0两点的连直线段。 2．计算? +L ds y x 22，其中L 为圆周ax y x =+22。 3．计算()?+L ds y x 22，其中L 为曲线()t t t a x sin cos +=，()t t t a y cos sin -=， ()π20≤≤t 。 4．计算?+L y x ds e 2 2，其中L 为圆周222a y x =+，直线x y =及x 轴在第一 角限内所围成的扇形的整个边界。 5．计算???? ? ??+L ds y x 34 34，其中L 为内摆线t a x 3cos =，t a y 3sin =??? ??≤≤20πt 在第一象限内的一段弧。 6．计算 ? +L ds y x z 2 22 ，其中L 为螺线t a x cos =，t a y sin =，at z =()π20≤≤t 。 7．计算?L xydx ，其中L 为抛物线x y =2上从点()1,1-A 到点()1,1B 的一段弧。 8．计算?-+L ydz x dy zy dx x 2233，其中L 是从点()1,2,3A 到点()0,0,0B 的直线 段AB 。 9．计算()?-+++L dz y x ydy xdx 1，其中L 是从点()1,1,1到点()4,3,2的一段直 线。 10．计算()()?---L dy y a dx y a 2，其中L 为摆线()t t a x sin -=，() t a y cos 1-=的一拱(对应于由t 从0变到π2的一段弧)： 11．计算()()?-++L dy x y dx y x ，其中L 是： 1）抛物线x y =2上从点()1,1到点()2,4的一段弧； 2）曲线122++=t t x ，12+=t y 从点()1,1到()2,4的一段弧。
常见的空间曲面与方程 常见的空间曲面有平面、柱面、锥面、旋转曲面和二次曲面。 1. 平面 空间中平面的一般方程为 0a x b y c z d +++= 其中,,a b c 均为常数，且,,a b c 不全为零。 例如，1x y z ++=（图8-6（a ）），0x =（图8-6（b ））均表示空间中的平面， z yoz 平面（x =0） y y x 图8-6（a ） 图8-6 (b) 图8-6 2. 柱面 与给定直线L 平行的动直线l 沿着某给定的曲线C 移动所得到空间曲面，称为柱面， l 为母线，C 为准线。 如图8-7所示 图8-7 图8-8
例如，222x y R +=表示空间中母线平行于z 轴，准线是xoy 平面上的圆222x y R +=的 圆柱面的方程，简称圆柱面图（8-8）。 3. 二次曲面 三元二次方程 222 1231 2 31230a x a y a z b x y b y z b z x c x c y c z d +++ ++++++= 所表示的曲面称为二次曲面，其中,,(1,2,3),i i i a b c i d =均为常数，且,,i i i a b c 不全为0. 二次曲面有以下几种标准形式，它们分别为： 球面： 图8-9 椭球面：222 2221(,,0)x y z a b c a b c ++=>图8-10 图8-9 图8-10 单叶双曲面：222 2221(,,0)x y z a b c a b c -+=>图8-11 双叶双曲面：222 2221(,,0)x y z a b c a b c +-=->图8-12 2222(0)x y z R R + += >x z
十 曲线积分与曲面积分习题 (一) 对弧长的曲线积分 1. 计算ds y x L ?+)(22，其中L 为圆周t a y t a x sin ,cos == )20(π≤≤t . 解 320 32 2 2 2 20 2 2 2 2 2 2 2cos sin )sin cos ()(a dt a dt t a t a t a t a ds y x L ππ π==++=+???. 2. 计算ds x L ?，其中L 为由直线x y =及抛物线2x y =所围成的区域的整个边界. 解 )12655(12 1 4121 021 0-+= ++=???dx x x dx x ds x L . 3．计算?L yds ,其中L 是抛物线x y 42=上从)0,0(O 到)2,1(A 的一段弧. 解 ?L yds ＝dy y y dy y y ??+=+2 22 2421)2(1 )122(3 4)4(4412202-=++= ?y d y . 4．计算?+L ds y x )(，其中L 为从点)0,0(O 到)1,1(A 的直线段. 解 ?+L ds y x )(＝23 2 11)(1 0= ++?x x . 5．计算?L xyzds ，其中L 是曲线232 1 ,232,t z t y t x == =)10(≤≤t 的一段. 解 ?L xyzds ＝??+=++1 31 02223)1(232 )2(121232dt t t t dt t t t t t ＝143 216. 6．计算L ?，其中L 为圆周222x y a +=,直线y x =及x 轴在第 一象限所围成的扇形的整个边界.
二次型的几何分类及其应用 田金慧 内容摘要：通过对二次型的基本概念与基本理论的阐述，重点讨论了二次型的五种分类：正定二次型、半正定二次型、负定二次型、半负定二次型和不定二次型，通过具体的实例给出了分类问题的几何描述。其次，分析并列举了二次型相关理论在实际中的一些应用，其中包括二次型标准型在二次曲面分类上的应用，由此得到了十七种二次曲面标准方程，并对典型方程给出了图形描述；同时包括二次型正定性用于求解多元函数极值问题的应用实例；还包括以实例展示半正定二次型用于不等式证明的步骤和方法。最后，作为二次型理论应用广泛的例证，阐述了它在统计学中关于统计距离、参数估计量的自由度求解以及量子物理中关于耦合谐振子问题的应用。 在问题的研究中，采用理论分析与实例应用相结合，充分发挥数学应用软件的优势，将二次型（实）理论的内涵形象、直观、清晰地给予展现。 关键词：二次型；几何描述；正定性；实际应用 1导言 在数学的学习和应用中，二次型的理论是十分重要的，它不仅是代数中的重要理论，更是连接代数与几何的有力桥梁。事实上，二次型的理论就起源于解析几何中二次曲线、二次曲面方程的化简问题。学习和理解二次型的理论不但可以对数学中的代数定理有深刻地理解，也可以对几何有更为形象的认识。 因此，掌握二次型理论的有关应用问题是十分必要的。 但是，在现有的教材中，都只是对二次型理论的代数性质进行了一定的介绍，
并没有对它的几何意义加以阐述；即使有一些书籍对它的几何性质稍有涉及，但也只是点到为止，并没有给出形象的表示，关于二次型可能的应用问题更是很少提及，然而在数学的很多分支以及一些其他学科中都或多或少地涉及到二次型有关理论的应用，如解析几何、统计学和量子物理等。 本文以二次型分类为切入点，以几何描述为主线，充分发挥数学软件的优势，将二次型有关理论的内涵加以展现。 当然，这里所讨论的二次型理论只是其中的基础，关于它的深入研究请参阅参考文献[1]。 2 二次型及其标准型 所谓二次型就是一个二次齐次多项式。 定义2.1 在数域F 上，含有n 个变量12,, ,n x x x 的二次齐次函数 22 212111222(,, ,)n nn n f x x x a x a x a x =++ + n n x x a x x a 11211222+++ +n n n n x x a 112--+ （1） 称为n 元二次型，简称二次型【2】。 当ij a 为复数时，),,,(21n x x x f 称为复二次型；当ij a 为实数时，),,,(21n x x x f 称为实二次型。本文仅讨论实二次型。 若取ij ji a a =，则i j ji j i ij j i ij x x a x x a x x a +=2于是（1）式可写成 12,1 (,, ,)n T n ij i j i j f x x x a x x X AX ===∑ （2） 其中，11 12121 2221 2 n n n n nn a a a a a a A a a a ?? ? ?= ? ? ???，12 n x x X x ?? ? ?= ? ? ??? ，A 为实对称矩阵，称为二次型f 的矩阵
3. 2 其它二次曲面 本节主要从曲面的方程出发，考虑三类二次曲面，运用用平面截线法来讨论其几何特征及图像。 一般二次曲面的方程设为： 2221112221323332220a x a xy a y a xz a yz a z Ax By Cz D +++++++++= 上节我们以讨论过二次锥面，即222 2220x y z a b c +-=。 本节讨论下面三类二次曲面 222 2221x y z a b c ++= (椭球面)， 222 222 1x y z a b c +-=± (单叶，双叶双曲面) 22222x y z a b += (椭圆抛物面)，22 222x y z a b -= (双曲抛物面) 3.2.1 椭球面 在空间直角坐标系下，由方程 2222221x y z a b c ++= (其中,,a b c 为正常数) (3． 2．1) 所确定的曲面称为椭球面．特别，当,,a b c 有两个相等时，(3．2．1)表示旋转椭球面，当 a b c ==时，(3．2．1)表示球面． 下面来讨论椭球面的几何特征及其图像． 1）范围 由方程(3．2．1)可知，x a ≤，y b ≤，z c ≤．故曲面包含在由六个平面x a =±， y b =±，z c =±所围成的立方体中． 2）对称性 x 用x -，y 用y -，z 用z -来代替，方程(3．2．1)不变，这表明椭球面关于三个坐 标面，三个坐标轴及原点都是对称的，此时原点称为椭球面的中心． 3）与三个坐标轴的交点及与平行于坐标面的平面的交线 椭球面与三个坐标轴交点分别为(,0,0)a ±，(0,,0)b ±，(0,0,)c ±，这六个点称为椭球面的顶点，若 a b c >>，则,,a b c 分别称为椭球面的长半轴，中半轴，短半轴．
对弧长的曲线积分??+=L L y d x d y x f ds y x f 22),(),( ???==) ()(:t y y t x x L βα≤≤t dt t y t x t y t x f ?'+'βα)()())(),((22 (,,)((),(),(L L f x y z ds f x t y t z t =??():()()x x t L y y t z z t =??=??=? βα≤≤t ((),(),(f x t y t z t βα ? 22222.2x y L L L e ds e ds e ds e π+===? ?? 22=2(0)L x y y +≥为上半圆周 ?+L dy y x q dx y x p ),(),( ???==) ()(:t y y t x x L α=t β=t dt t y t y t x q dt t x t y t x p )())(),(()())(),(('+'?βα (,,)(,,)(,,)L P x y z dx Q x y z dy R x y z dz ++?
():()()x x t L y y t z z t =??=??=? α=t β =t ((),(),())()((),(),())()((),(),())()P x t y t z t x t dt Q x t y t z t y t dt R x t y t z t z t dt βα'''++? 11 (,)(,)(,)(,)L L L p x y dx q x y dy p x y dx q x y dy ++-+?? 1( )(,)(,)L D q p dxdy p x y dx q x y dy x y ??=±--+????? ??=??-??D dxdy y p x q )( ?+L dy y x q dx y x p ),(),( y p x q ??=?? ???+=+2 1212211),(),(),(),(21) ,(),(y y x x y x y x dy y x q dx y x p dy y x q dx y x p (,)(,)(,)P x y dx Q x y dy dU x y +=Q P x y ??? =?? 1、 ?? ??++= =∑xy D y x dxdy f f y x f y x ds z y x y x f z 221)),(,,(),,(),(μμ 2、 (,)(,,)(,(,),xz D y f x z x y z ds x f x z z μμ∑==???? 3、 (,)(,,)((,),,yz D x f y z x y z ds f y z y z μμ∑==???? ds ∑ =∑??面积。
第八章二次型 二次型理论起源于解析几何中的化二次曲线和二次曲面方程为标准形的问题，这一理论 在数理统计、物理、力学及现代控制理论等诸多领域都有很重要的应用?本章主要介绍二次 型的基本概念，讨论化二次型为标准形及正定二次型的判定等问题 § 8.1二次型及其矩阵表示 在解析几何中，我们曾经学过二次曲线及二次曲面的分类，以平面二次曲线为例，一条二次曲线可以由一个二元二次方程给出： 2 2 ax bxy cy dx ey f 0 (1.1) 要区分(1.1)式是哪一种曲线(椭圆、双曲线、抛物线或其退化形式),我们通常分两步来做：首先将坐标轴旋转一个角度以消去xy项，再作坐标的平移以消去一次项.这里的关键是消去 xy项，通常的坐标变换公式为： x x cos y sin (1.2) y x sin y cos 从线性空间与线性变换的角度看，(1.2)式表示平面上的一个线性变换.因此二次曲线分类的关 键是给出一个线性变换，使(1.1)式中的二次项只含有平方项.这种情形也在空间二次曲面的分类时出现，类似的问题在数学的其它分支、物理、力学中也会遇到.为了讨论问题的方便，只 考虑二次齐次多项式. 定义8.1.1设f是数域P上的n元二次齐次多项式： 2 f (X1,X2 ,L ,X n) 印必242X1X2 L 2a1n X1X n 2 a22X2 2a23X2X3 L 2a2n X2X n (1.3) 1 2 2 2 L a n 1,n 1 x n 1 2a n 1,n x n 1 x n a nn x n 称为数域P上的n元二次型，简称二次型.如果数域P为实数域R,则称f为实二次型；如果 数域P为复数域C,则称f为复二次型；如果二次型中只含有平方项，即 2 2 2 f(X1,X2丄，X n) d j X1 d2X2 L d n X n 称为标准形式的二次型，简称为标准形. 说明：在这个定义中，非平方项系数用2a j主要是为了以后矩阵表示的方便 例8.1.2下列多项式都是二次型： 2 2 f (x, y) x 3xy 3y f (x, y,z) 2x22xy 3xz y24yz ，3z2 F列多项式都不是二次型
第八章曲线积分与曲面积分 本章是把定积分概念推广到定义在曲线是的函数和定义曲面上的函数上去，就得到曲线积分和曲面积分。 §1对弧长的曲线积分 问题：设有一曲线形构件占xOy 面上的一段曲线L ，设构件的质量分布函数为),(y x ρ，设),(y x ρ定义在L 上且在L 上连续，求构件的质量。 ∑=→=n i i i i S M 10 ),(lim ?ηξρλ 定义：设L 为xOy 平面上的一条光滑的简单曲线弧，),(y x f 在L 上有界，在L 上任意插入一点列1M ，2M ，…，1-n M 把L 分成n 个小弧段 i i i M M L 1-=?的长度为i S ?，又),(i i ηξ是i L ?上的任一点，作乘积 i i i S f ?ηξ),(，),,2,1(n i =，并求和∑=n i i i i S f 1 ),(?ηξ，记}max {i S ?λ=，若 ∑=→n i i i i S f 1 ),(lim ?ηξλ存在，且极限值与L 的分法及),(i i ηξ在i L ?的取法无关， 则称极限值为),(y x f 在L 上对弧长的曲线积分，记为：?L s y x f d ),(，即 ?L s y x f d ),(∑=→=n i i i i S f 1 ),(lim ?ηξλ 。 其中),(y x f 叫做被积函数，L 叫做积分曲线。 对弧长曲线积分的存在性： 设),(y x f 在光滑曲线L 上连续，则?L s y x f d ),(一定存在。 对弧长曲线积分的性质：
1、???±=±L L L s y x g s y x f s y x g y x f d ),(d ),(d )],(),([ 2、??=L L s y x f k s k y x kf d ),(d ),( 3、设21L L L +=，则???+=2 1 d ),(d ),(d ),(L L L s y x f s y x f s y x f 这里规定：若L 是封闭曲线，则曲线积分记为?L s y x f d ),( 有上述对弧长的曲线积分，则上面的问题就可以用对弧长的曲线积分表示为 ?=L s y x f M d ),( 对弧长的曲线积分的计算法： 在一定体积下化为定积分计算，首先要注意： 1、),(y x f 定义在曲线L 上， 2、s d 是弧长微分。 定理：设),(y x f 在光滑曲线L 上连续，L 由参数方程) ()() (βαψ?≤≤? ? ?==t t y t x 给出，其中)(t ?、)(t ψ在],[βα上具有连续导数且0)()(22≠'+'t t ψ?，则 ? L s y x f d ),(存在，且：??'+'=β α ψ?ψ?t t t t t f s y x f L d )()()](),([d ),(22。 若L 方程为：)(x y ψ=，b x a ≤≤，则??'+=b a L x x x x f s y x f d )(1)] (,[d ),(2ψψ。 若L 方程为：)(y x ?=，d y c ≤≤，则??'+=d c L y y y y f s y x f d )(1]),([d ),(2?? 例1、计算?L s y d ，其中L ：)20()cos 1() sin (π≤≤? ? ?-=-=t t a y t t a x
高等数学下册常用常见知识点 第八章 空间解析几何与向量代数 （一） 向量及其线性运算 1、 向量，向量相等，单位向量，零向量，向量平行、共线、共面； 2、 线性运算：加减法、数乘； 3、 空间直角坐标系：坐标轴、坐标面、卦限，向量的坐标分解式； 4、 利用坐标做向量的运算：设),,(z y x a a a a = ，),,(z y x b b b b = ， 则 ),,(z z y y x x b a b a b a b a ±±±=± , ),,(z y x a a a a λλλλ= ； 5、 ； 6、 7、 向量的模、方向角、投影： 1） 向量的模： 2 22z y x r ++= ； 2） 两点间的距离公式： 2 12212212)()()(z z y y x x B A -+-+-= 3） 方向角：非零向量与三个坐标轴的正向的夹角γβα,, 4） 方向余弦：r z r y r x ===γβαcos ,cos ,cos 1cos cos cos 222=++γβα 5） 投影：?cos Pr a a j u =，其中?为向量a 与u 的夹角。 | （二） （三） 数量积，向量积 1、 数量积：θcos b a b a =? 1）2 a a a =? 2）?⊥b a 0=?b a z z y y x x b a b a b a b a ++=? 2、 向量积：b a c ?=
大小：θsin b a ，方向：c b a ,,符合右手规则 1）0 =?a a 2）b a //? =?b a z y x z y x b b b a a a k j i b a =? 运算律：反交换律 b a a b ?-=? （四） 曲面及其方程 1、 ] 2、 曲面方程的概念： ),,(:=z y x f S 3、 旋转曲面：（旋转后方程如何写） yoz 面上曲线0),(:=z y f C ， 绕y 轴旋转一周： 0),(22=+±z x y f 绕 z 轴旋转一周： 0),(22=+±z y x f 4、 柱面：（特点） 0),(=y x F 表示母线平行于z 轴，准线为?????==0 0),(z y x F 的柱面 5、 @ 6、 二次曲面（会画简图） 1） 椭圆锥面：2 2222z b y a x =+ 2） 椭球面：122 2222=++c z b y a x
第六章 二次曲面的一般理论 教学目的 : 本章讨论了一般二次曲面的渐近方向、中心、切线、切平面、径面 奇向、主径面与主方向等重要概念 ,从不同角度对二次曲面进行了分类 . 研究了二次曲面的几何性质 , 并通过坐标变换和不变量、半不变量两种形式 化二次曲面的一般方程为规范方程 , 对二次曲面进行了分类和判定 , 是二次曲面理 论的推广和扩充 . 教学重难点 : 通过坐标变换和运用不变量、半不变量化二次曲面的一般方程为 规范方程 , 既是重点又是难点 . 基本概念 二次曲面 : 在空间 , 由三元二次方程 2 2 2 a 11x a 22 y a 33z 2a 12 xy 2a 13 xz 2a 23 yz 2a 14 x 2a 24 y 2a 34z a 44 0 (1) 所表示的曲面 . 虚元素 :空间中，有序三复数组 (x,y,z) 叫做空间复点的坐标，如果三坐标全是 实数，那么它对应的点是 实点 ，否则叫做 虚点 二次曲面的一些记号 F(x,y,z) F 1(x,y,z) a 11x a 12y a 13z a 14 F 2(x,y,z) a 12x a 23y a 23z a 24 F 3( x, y, z) a 13x a 23y a 33z a 34 F 4 (x,y,z) a 14x a 24y a 34z a 44 2 2 2 (x, y,z) a 11x 2 a 22 y 2 a 33z 2 2a 12 xy 2a 13 xz 2a 23 yz 1 (x,y,z) a 11x a 12 y a 13z 2 (x,y,z) a 12 x a 22 y a 23z 2 a 11 x 22 a 22 y a 33 z 2a 12 xy 2a 13 xz 2a 23 yz 2a 14 x 2a 24 y 2a 34 z a 44
第十一章：曲线积分与曲面积分 一、对弧长的曲线积分 ?? +=L L y d x d y x f ds y x f 22),(),( 若 ? ? ?==)() (:t y y t x x L βα≤≤t 则 原式= dt t y t x t y t x f ?'+'β α)()()) (),((22 对弧长的曲线积分 (,,)((),(),L L f x y z ds f x t y t z t =? ?若 ():()()x x t L y y t z z t =?? =??=? βα≤≤t 则 原式 = ((),(),(f x t y t z t β α ? 常见的参数方程为： 特别的： 2 2 222.2x y L L L e ds e ds e ds e π+===? ?? 22=2(0)L x y y +≥为上半圆周 二、对坐标的曲线积分 ? +L dy y x q dx y x p ),(),( 计算方法一： 若 ? ? ?==)() (:t y y t x x L 起点处α=t ，终点处β=t 则 原式= dt t y t y t x q dt t x t y t x p )())(),(()())(),(('+'?β α 对坐标的曲线积分 (,,)(,,)(,,)L P x y z dx Q x y z dy R x y z dz ++?
():() ()x x t L y y t z z t =?? =??=? 起点处 α=t ，终点处β=t 则 原式= ((),(),())()((),(),())()((),(),())()P x t y t z t x t dt Q x t y t z t y t dt R x t y t z t z t dt β α'''++? 计算方法二：在计算曲线积分时，通过适当的添加线段或曲线，是之变成一个封闭曲线上的曲线积分与所添加线段或曲线上的曲线积分之差，从而对前者利用格林公式，后者利用参数方程。 1 1 (,)(,)(,)(,)L L L p x y dx q x y dy p x y dx q x y dy ++-+? ? 1 ( )(,)(,)L D q p dxdy p x y dx q x y dy x y ??=±--+????? 如图： 三、格林公式 ??=??-??D dxdy y p x q )( ? +L dy y x q dx y x p ),(),( 其中L 为D 的正向边界 特别地：当 y p x q ??=??时，积分与路径无关， 且 ??? +=+2 1 21 2211),(),(),(),(21) ,() ,(y y x x y x y x dy y x q dx y x p dy y x q dx y x p (,)(,)(,)P x y dx Q x y dy dU x y +=是某个函数的全微分Q P x y ??? =?? 注：在计算曲线积分时，通过适当的添加线段或曲线，是之变成一个封闭曲线上的曲线积分与所添加线段或曲线上的曲线积分之差，从而对前者利用格林公式。 四、对面积的曲面积分 1、 当曲面为 ????++==∑ xy D y x dxdy f f y x f y x ds z y x y x f z 221)) ,(,,(),,() ,(μμ 2、 当曲面为 (,) (,,)(,(,),xz D y f x z x y z ds x f x z z μμ∑ ==???? 3、 当曲面为 (,) (,,)((,),,yz D x f y z x y z ds f y z y z μμ∑ ==????
第六章 二次曲面的一般理论 教学目的: 本章讨论了一般二次曲面的渐近方向、中心、切线、切平面、径面奇向、主径面与主方向等重要概念,从不同角度对二次曲面进行了分类. 研究了二次曲面的几何性质,并通过坐标变换和不变量、半不变量两种形式,化二次曲面的一般方程为规范方程,对二次曲面进行了分类和判定,是二次曲面理论的推广和扩充. 教学重难点: 通过坐标变换和运用不变量、半不变量化二次曲面的一般方程为规范方程,既是重点又是难点. 基本概念 二次曲面: 在空间,由三元二次方程 022222244342414231312233222211=+++++++++a z a y a x a yz a xz a xy a z a y a x a （1） 所表示的曲面. 虚元素:空间中，有序三复数组),,(z y x 叫做空间复点的坐标，如果三坐标全是实数，那么它对应的点是实点，否则叫做虚点 二次曲面的一些记号 ≡ ),,(z y x F 44 342414231312233222211222222a z a y a x a yz a xz a xy a z a y a x a +++++++++ 141312111),,(a z a y a x a z y x F +++≡ 242323122),,(a z a y a x a z y x F +++≡ 343323133),,(a z a y a x a z y x F +++≡ 443424144),,(a z a y a x a z y x F +++≡ yz a xz a xy a z a y a x a z y x 231312233222211222),,(+++++≡Φ z a y a x a z y x 1312111),,(++≡Φ z a y a x a z y x 2322122),,(++≡Φ