高等数学练习题 第二章 导数与微分
系 专业 班 姓名 学号
第一节 导数概念
一．填空题 1.若)(0x f '存在，则x
x f x x f x ?-?-→?)
()(lim
000
= )(0x f '-
2.h
h x f h x f h )()(lim
000
--+→= )(20x f ' ， 又当0)0(=f 时x x f x )
(lim 0→= )0(f '
3.设20-=')(x f , 则=--→)()2(lim
)000
x f x x f x
x 4
1
4.已知物体的运动规律为2
t t s +=(米)，则物体在2=t 秒时的瞬时速度为5（米/秒）
5.曲线x y co s =上点（
3
π，21）处的切线方程为03
123=-
-+π
y x ，法线方程为
03
22332=-+
-π
y x 6.用箭头?或?表示在一点处函数极限存在、连续、可导、可微之间的关系， 可微 ? 可导 ?/? 连续 ?/? 极限存在。
二、选择题
1．设0)0(=f ,且)0(f '存在，则x
x f x )
(lim
0→= [ B ]
（A ）)(x f ' ( B) )0(f ' (C) )0(f (D) 2
1
)0(f 2. 设)(x f 在x 处可导，a ,b 为常数，则x
x b x f x a x f x ??--?+→?)
()(lim 0 = [ B ]
（A ）)(x f ' ( B) )()(x f b a '+ (C) )()(x f b a '- (D) 2
b
a +)(x f ' 3. 函数在点0x 处连续是在该点0x 处可导的条件 [ B ] （A ）充分但不是必要 （B ）必要但不是充分 （C ）充分必要 （D ）即非充分也非必要 4．设曲线22
-+=x x y 在点M 处的切线斜率为3，则点M 的坐标为 [ B ] （A ）(0,1) ( B) (1, 0) (C) ( 0,0) (D) (1,1)
5.设函数|sin |)(x x f =，则 )(x f 在0=x 处 [ B ] （A ）不连续。 （B ）连续，但不可导。 (C)可导，但不连续。 （D ）可导，且导数也连续。
三、设函数???>+≤=1
1
)(2x b ax x x x f 为了使函数)(x f 在1=x 处连续且可导，a ，b 应取什么值。
解：由于)(x f 在1=x 处连续, 所以 )1()1(1)1(f b a f f =+===+-
即 1=+b a
又)(x f 在1=x 处可导，所以
21
1
lim )1(21'=--=+
→-x x f x
a
x b a b ax f x =-++=+
→+1
)
_(lim )1(1
'
有 2=a ， 1-=b 故 求得 2=a ， 1-=b
四、如果)(x f 为偶函数，且)0(f '存在，证明)0(f '=0。
解：由于)(x f 是偶函数, 所以有 )()(x f x f -=
0)
0()(lim
)0(0--='+
→x f x f f x
)
0()(lim 0
---=+
→x f x f x
)0()
0()(lim f t
f t f t t
x '-=--=+
→=0令
即 0)0(2='f ， 故 0)0(='f
五、 证明：双曲线2a xy =上任一点处的切线与两坐标轴构成三角形的面积为定值。
解：22
2,x
a y x a y -='=在任意),(00y x 处的切线方程为
)(020
2
0x x x a y y --=-
则该切线与两坐标轴的交点为：)2,0(0
2
x a 和)0,2(0x 所以切线与两坐标轴构成的三角形的面积为
20
2
22221a x x a A =??=，
（a 是已知常数） 故其值为定值.
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第二节 求导法则（一）
一、填空题
1．x x y sin )sec 2(+=, y '=1cos 2tan
2
++x x ;
x e y sin -=, y '=x xe sin cos --.
2．)2cos(x
e y =，y '=x
e
e 221+ ; y =x x
2sin ，y '=22sin 2cos 2x x x x - 3．2
tan
ln θ
ρ=，ρ'=θcsc ; =r 2ln log 2+x x , r '= a
x ln 1
log 2+
4. )tan ln(sec t t w +=, w '=t sec .
5. =
'+)1(2x 2
1x
x +; (
c x ++21 )'=
2
1x
x + .
6. ]2tan [ln 'x =x sin 1
; ( c x x +++)1ln(2 )'=211x
+ .
二、选择题
1．已知y=
x
x
sin ，则 y '= [ B ] （A ）2cos sin x x x x - (B) 2sin cos x x x x - (C) 2
sin sin x x x x - (D)x x x x sin cos 2
3- 2. 已知y=x x
cos 1sin + ，则 y '= [ C ]
（A ）1cos 21cos +-x x (B) 1cos 2cos 1-+x x (C) x cos 11+ (D) x
x cos 11
cos 2+-
3. 已知x
e y sec =，则 y '= [ A ]
（A ）x x x e e e tan sec (B) x x
e
e tan sec
(C) x e tan (D)x x e e cot
4. 已知)1ln(2x x y ++=，则 y '= [ A ]
（A ）
2
11x + (B)
21x + (C)
2
1x x + (D)
12-x
5. 已知x y cot ln ==，则 4
|
π
=
'x y = [ C ]
（A ）1 （B ）2 （C ）2/1- (D) 2- 6. 已知 x
x
y +-=11，则 y '= [ C ] （A ） 2)1(2+x (B) 2)1(2+-x (C) 2)1(2+x x (D) 2
)1(2+-x x
三、计算下列函数的导数：
(1) )(ln sec 3
x y = (2) x
x x y 2
1ln -+=
解：?=)sec(ln )(ln sec 3'2x x y x x 1)tan(ln ? 解：)'1(1'2
2
x x x x
x x
y -+-+= )t a n (l n )(l n s e c 3
3x x x
=
)
11(
12
22
2
2
x
x x x x
x x ----+=
)
1(11
2
2
x x x x -+--
=
(3) v
e u 1sin 2
-= (4 ) )tan(ln x y =
解：?-?=-v
e
u v
1sin 2('1sin 2
))1
(1cos 2v v -? 解：
x
x y 1
)
(ln sec '2= v e v
v 1
sin 22
2sin 1-= )(ln sec 12x x =
四、设)(x f 可导，求下列函数y 的导数
dx
dy
（1）)()(x f x e e f y = (2))(cos )(sin 22x f x f y += 解：
)()(''x f x x e e e f y ??= 解：x x x f y cos sin 2)(sin ''2= )(')()(x f e e f x f x ??+ ))sin (cos 2)((cos '2x x f x -?+
＝)()(')('[)
(x x x x f e f x f e f e e + ＝))(cos ')(sin '(2sin 2x f x f x -
(3) )](arctan[x f y = (4))](sin[)(sin x f x f y += 解：)(')
(11
'2
x f x f y ?+=
解：+=x x f y cos )(sin '')('))(cos(x f x f ? ＝
)
(1)
('2
x f x f + +=)(sin 'cos x x ))(cos()('x f x f
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第二节 求导法则（二）
一、填空题： 1.x e
y x 3cos 2
-=,
'y x y
2ln 1+=,'y 2．
x
y 1
arccos
=，'y ； x
arx e y tan
=， ='
y 3．x x y sin 21sin 2arcsin
++=，='y
4．设x x f ln )(=，则dx
x df )
(sin
5．设3
22
)(x e
x y -+=，则'=0|x y 6．设)(x f 有连续的导数，0)0(=f ，且b f =')0(，若函数??
???=≠+=0,0
,sin )()(
x A x x
x a x f x F 在0=x 处连续，则常数A =
二、选择题：
1．设)(x f y -=，则='y [ D ] （A ）)(x f ' （B ）)(x f '- （C ）)(x f -' （D ）)(x f -'-
2．
=x
d x d )(ln [ B ]
（A ）
x 2 （B ）x 2 （C ）x x 2 （D ）x
x 21 3. 已知 212arctan 21x x
y -=
，则 y '= [ C ] （A ） 112+x (B) 21x + (C) 1
1
2+x (D) 12-x
4. 已知)ln arcsin(x x y =，则 y '= [ C ] （A ）x ln (B) 2
)
ln (1ln x x x x - (C)
2
)
ln (1ln 1x x x -+ (D)
1
ln )ln (12
--x x x
三、已知2
arctan )(,2323x x f x x f y ='??
?
??+-=，求：0|=x dx dy
解：令2
323+-=
x x u ， 则)(u f y =且2
arctan )('u u f =
)'2
323(arctan ')('2+-?=?=?=∴
x x u u u f dx du du dy dx dy
2
2
)2
323arctan()23(12+-?+=
x x x =
∴=0x dx
dy π4
3)2
323arctan()23(120
2
2
=+-?+=x x x x
四、设0>x 时，可导函数)(x f 满足：x
x f x f 3
)1(2)(=
+，求)(x f ' )0(>x 解：令x
t
1=
，则 t t f t f 3)(2)1
(=+，即
x x f x
f 3)(2)1
(=+ (1) 又
x
x f x f 3
)1(2)(=+ (2)
由(1)式和(2)式可得 x
x x f 1
2)(-=
212)'12()('x
x x x f +=-
=∴
五、已知)
(2
)(x f
a x =ψ，且)
(ln 1
)(x f a x f ?=
'，证明：)(2)(x x ψψ='
证明：因为 )(')(2ln )'()(')
()
(22x f x f a a a x x f x f ???==ψ，又
)
(ln 1
)(x f a x f ?=
'
所以 )(22)(')
(2x a x x f ψψ==
六、证明：可导的奇函数的导数是偶函数。
证明：设
)(x f 是奇函数且可导. 则 )()(x f x f -=-, 即
)()(x f x f --=
)('))'(()('x f x f x f -=--=∴
从而 )('x f 是偶函数.
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第三节 高阶导数
一、填空题
１．设φφcos =r ，则r '
r ''
2.设=z 2
t te ,则z '
z ''
３．设)1ln(2x x y ++=,则
y 'y ''
４．设12-+=x n e x y ,则)(n y
5. 若)(2
t f y =, 且)(t f ''
存在，则dt dy 22dt
y d
６．设)2001
()2)(1()(-
--=x x x x x f ，则)0(f '．
二、选择题
1．若x x y ln 2
=, 则y ''= [ D ] （A ）x ln 2 （B ）1ln 2+x （C ）2ln 2+x （D ）3ln 2+x
2.设)(u f y =，x
e u =,则2
2dx
y
d = [ B ] （A ）)(2u f e
x
'' （B ）)()(2u f u u f u '+'' （C ）)(2u f e '' （D ）)()(u uf u f u +''
3．设x e y x
cos =, 则)
4(y
= [ B ]
（A ）x e x
cos 4 （B ）x e x
cos 4- （C ）x e x
cos 2 （D ）x e x
cos 2- 4．设x y 2
s i n =则=)(n y [ A ]
（A ）]2)1(2sin[21
π-+-n x n （B ）]2)1(2cos[21π
-+-n x n
（C ）]2)1(2sin[2
1
π-++n x n （D ）]2
)1(2sin[2π
-+n x n
5. 设x xe y =，则=)(n y [ A ] （A ）)(n x e x + （B ）)(n x e x - （C ）)(2n x e x + （D ）nx
xe
三、设)(x f ''存在，求下列函数y 的二阶导数2
2dx
y
d 1．)(x
e
f y =
解：
x x e e f dx
dy
?=)(' x x x x e e f e e f x
d y d ?+?=)(')(''222
2．)](ln[x f y =
解：
)
()
(')(')(1x f x f x f x f dx dy =
?= 2
2
22)]
([)]('[)()(''x f x f x f x f x d y d -= 四、验证函数x b x a y ln sin ln cos +=满足方程02
=+'+''y y x y x
解：由于
)ln sin ln cos (1
1ln cos 1ln sin 'x a x b x
x x b x x a y -=?+?
-= )1ln cos 1ln sin (1)ln sin ln cos (1''2x x a x x b x x a x b x y ?-?-+--
=
]ln sin )(ln cos )[(1
2x a b x b a x
-++-
= 所以
y xy y x ++'''2+-++-=]ln sin )(ln cos )[(x a b x b a
x a x b ln sin ln cos -x b x a ln sin ln cos ++ 0=
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第四节 隐函数及由参数方程所确定的函数的导数
一、填空题
1．设y
xe y +=1，则y ', y ''.
2. 设)tan(r r +=θ，则r ', r ''.
3. 设x y
y x arctan ln 2
2
=+,则y ', y ''。
4．设???==t
e y t e x t
t cos sin ，则dx dy ，3|π=t dx dy
。
5．设???-==arctgt
t y t f x )(，且2t dx dy =，则22dx y d
二、选择题
1. 由方程0sin =+y
xe y 所确定的曲线)(x y y =在（0，0）点处的切线斜率为 [ A ]
（A ）1- （B ）1 （C ）
21 （D ）2
1- 2. 设由方程22
=xy 所确定的隐函数为)(x y y =，则dy = [ A ]
（A ）dx x y 2- （B ）dx x y 2 （C ）dx x y - （D ）dx x
y 3. 设由方程0sin 21=+-y y x 所确定的隐函数为)(x y y =，则dx
dy
= [ A ]
（A ）
y cos 22- （B ）y
sin 22+ （C ）y cos 22+ （D ）x cos 22-
4. 设由方程??
?-=-=)
cos 1()sin (t a y t t a x 所确定的函数为)(x y y =，则在2π
=t 处的导数为 [ B ]
（A ）1- （B ）1 （C ）0 （D ）2
1
-
5.设函数)(x y y =由方程04ln 22
=++x y x y 确定，则=dx
dy
[ C ] （A ）
)
ln (222
x x y x y y +?- （B ）
x x y ln 2 （C ）x x y ln 2-； （D ）)
1(ln 22
+-y x x x y
.
三、用对数求导法求下列函数的导数 1．x
x
x y )1(
+= ， 2. x e x x y -=1sin 解:
)1ln(
x
x x e
y +=))1ln((ln x x x e +-= 解: )1ln(4
1
sin ln 21ln 21ln x e x x y -++=
)1ln(
'x
x
x e
y +=))111(1(ln x x x x x +-++
)
1(4s i n 2c o s 21'1x
x
e e x x x y y --++= ]111[ln )1(x x x x x x ++++= ))
1(4cot 221(1sin 'x
x x
e e x x e x x y --+-=
四、求曲线???=--=+-0
201sin 3
θθθy e x x 在0=θ处的切线方程，法线方程 解:
)23(2+=θθ
d dy
0c o s s i n =+?-θθθ
θx x e d dx e d dx θθθs i n 1c o s x x
e e d dx -=∴
, 从而 θθθθ
θc o s )s i n 1)(23(2x
x e e d dx d dy
dx dy -+== 当 0,1,0=-==y x θ,
e dx
dy 20
==θ
故 切线方程为
)1(2+=x e y
法线方程为
)1(21
+-
=x e
y
五、落在平静水面上的石头，产生同心波纹，若最外一圈波半径的增大率总是6米/秒。问在2
秒末搅动水面面积的增大率是多少？
解: 设搅动的水面面积为2r S π=, 其中r 为半径. 则
dt
dr r dt ds ?=π2
当2=t 时, 12=r , 又已知
6=dt
dr
所以在2秒末搅动水面面积增大率为 πππ14461222=??=?=dt
dr r dt ds .
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第五节 函数的微分
一． 已知x x y -=2，计算在2=x 处
（1）当1.0=?x 时，=?y dy
（2）当001.0=?x 时,y ? dy
二．（1）函数2
1arcsin x y -=在21
-=x
三．（2）函数)1cos(-=-x e y x 在0=x 四．填空（求函数的微分）
1、)sin 2(2θθd
2、))(ln(cos x d x
3、))1((ln 2
x d -
4、))21((tan 22x d +2dx
5、)1)
((
t
t d -?
6、))1
(arctan
(x f d
7、))(ln(22a x x d ++
8、)tan sec (ln x x d +五．将适当的函数填入下列括号内,使等号成立。
(1).
dx x a 2
21
+d = (2). 2
1x
dx -d =
(3).
dx x x 2
1-d = (4). dx e x 2-d =
(5). dx e
e x
x +1d = (6). dx x d =
(7). )(2
2
x d e x d =(
(8). )
32(cos 2
-x dx
d =(
(9).
dx e x x x
2ln ln d =( );
(10). )(sin 2x d x d sin =( )dx 六．求下列函数或隐函数的微分 (1).y x y arctan +=，求dy 解: 对方程两边求微分得
2
1y dy
dx dy ++
=
所以 dx y
y dy 2
2
1+= (2). x
x
y sin =，求dy
解: 由于
x x e y ln sin =
所以 dx x
x
x x x dy x
]sin ln [cos sin +
= (3). 122
22=+b
y a x , 求dy
解: 对方程两边求微分得
02222
=+b ydy a xdx 所以 y
a xdx
b dy 22-=
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第二章综合练习（一）
一、填空题
1．设)(x f '存在，0≠a 为常数，则h
a h x f a h x f h )()(lim
0--+→
2．若抛物线c bx x y ++=2在点（1，1）处的切线平行于直线01=+-
x y , 则b
c 3.若)(x f 可导，且)sin (??+=-e f y ，则y '
4.若???+==)
1ln()(2t y t f x , 且
t dx dy 2=, 则2
2dx y d . 5.若02
=-
+x e xy y ，则dy 6. 若
u
ue y -=则)
100(y .
二、选择题
1．若)(x f -=)(x f ，且在（0，∞）内)(x f '>0，)(x f ''< 0,则)(x f 在（-∞，0）内 [ A ] （A ）)(x f '< 0，)(x f ''< 0
（B ）)(x f '< 0，)(x f ''> 0
（C ）)(x f '>0，)(x f ''< 0 （D ）)(x f '>0，)(x f ''> 0
2．设函数)(u f 可导，)(2
x f y =当自变量x 在1-=x 处取得增量1.0-=?x 时，相应地函数
增量y ?的线性主部为0.1，则=')1(f [ D ] （A ） 1- （B ）0.1 （C ）1 （D ）0.5 3．设1
arcsin
)1()(+-=x x
x x f ，则 [ C ] （A ）0)1(='f （B ）1)1(='f （C ）4
)1(π
=
'f （D ）)1(f '不存在
4．设x x x
y tan ln cos 2
tan
ln ?-=， 则y '= [ B ] （A ）x x tan ln cos （B ）x x tan ln sin （C ）x x cot ln sin （D ）x x tan ln tan . 三、设函数)(x y y =由方程e xy e y =+所确定，求)0(y ''. 解: 方程两边对x 求导得:
0''=++xy y y e y
y
e x y y +-
='
2)()
'1()('''y y y e x y e y e x y y ++-+-=
3
2)
(22y y
y e x e y xy ye +-+= 当0=x , 得
1=y . 所以 21)0(''e
y =
四、求下列由参数方程所确定的函数的一阶导数dx dy 及二阶导数2
2dx y
d .
1.?????=+=t
y t x arctan 1ln 2
2.???==θθ3
3sin cos a y a x 解: t dt t t dt
t dx dy 1111
2
2=++= 解: θθθθθtan )sin (cos 3cos sin 32
2-=-?=a a dx dy dx dt t dt d dx dy dx d dx y d )1()(22== dx
d d d dx dy dx d dx y d θ
θθ)tan ()(2
2-== 32
2
21111t t t t t
+-=+?
-= θθθs i n c o s 31s e c 2
2
?--=a
θθcsc sec 31
4a
=
五、设x
e x y =，用对数求导法求dx
dy 解: 函数两边取对数得:
x e y x ln ln =
上式两边对x 求导得
x
e
x e y y x
x +=ln '1
所以 y dx dy =)ln (x
e x e x x
+ x
e x =)ln (x
e x e x
x
+
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系 专业 班 姓名 学号
第二章综合练习（二）
一.填空题
1.设)(x f '存在，则 )]()1
([lim x f h
x f h h -+
∞
→
. 2
．当a 2ax y =，x y ln =
3．若)(x f 在（∞-，∞+）内有一阶连续导数且0)0(=
f ，当=
A
g(x)=?????=≠0
0)(x A
x x
x f 在（∞-，∞+）内连续。
4．y=b
a
x
a
x x b b
a )()()(??，dy
5．d
) =dx x )3ln 32(-， d( )
(ln x f 'x
dx
.
6． 若 uv e
v
u =+，则du dv
dv du 。
二．选择题
1．设x
x x f =)(，则其导数为 [ C ] （A ）x
x x f =')( （B ）x x x f x
ln )(=' （C ）)1(ln )(+='x x x f x
（D ）1
)(-='x x x f
2. ≠')(a f [ C ]
a x a f x f A a x --→)()(lim
)(； x
x a f a f B x ??--→?)()(lim ).(0；
t a f a t f C t )()(lim ).(0--→； s
s a f s a f D S )
2()2(lim ).(0--+→ 3. 设))(cos()(cos x f x f y ?=，且f 可导 则y '= [ C ] （A ）)())(sin(sin )(cos x f x f x x f '??'
《微积分》第二章测试题 1. 【导数的概念】已知()23f '=，求()() 22lim h f h f h h →+-- 解()() ()() ()()()0 0222222lim lim 226h h f h f h f h f f h f f h h h →→+--+---??'=+== ?-?? 2. 设函数cos ln x y x e a -=++，求 d y d x 解 sin x dy x e dx -=-- 3. 设函数arctan x y e =，求 d y d x 解 d y d x () arctan arctan 1 1 1221x x e e x x x x =? ? = ++ 4. 设函数2 sin cos 2y x x =，求 d y d x ， x dy dx = 解()2 2 2 2 4 sin cos 2sin 12sin sin 2sin y x x x x x x ==-=- ()()3 2 2 2sin cos 8sin cos 2sin cos 14sin sin 214sin dy x x x x x x x x x dx =-=-=-， 0x dy dx == 5. 【函数的微分，记得加dx 】设函数2 sin 2x y x = ，求dy 解2 4 3 3 2cos 22sin 22cos 22sin 22cos 22sin 2,dy x x x x x x x x x x dy dx dx x x x ---== ∴= 6. 【高阶导数】设函数11 y x = -，求 n n d y dx 解 () () () () () () () 2 3 1 2 3 4 1 23 ! 11, 21, 3!1,, 1n n n n dy d y d y d y n x x x x dx dx dx dx x ----+' = -=--=-=--=-- 7.【隐函数求导】 设函数()y y x =由方程2 sin 20xy y -=确定，求 d y d x 解 等式两边同时对x 求导2 22sin 20,y xyy y y ''+-=则 () 2 2 2 2sin 222221dy y y y y dx y xy xy xy x y '== = = ---
第12章习题答案 1.设T 是一个非平凡树，证明T 中最长基本链的起点和终点的次数为1。 证明：假设P 是T 中最长的基本链，P 的起点或终点的次数不为1，即它的次数至少是2，则至少有一个顶点，令其为u ，与P 的起点或终点邻接。若u 在P 上，则构成圈，与T 是树矛盾，若u 不在P 上，则存在比P 更长的基本链，这与P 是T 中最长的基本链矛盾。因此，非平凡树T 中最长基本链的起点和终点的次数必为1。 2.证明恰好有两个顶点的次数为1的树必为一基本链。 证明：假设T 是任意一个恰好有两个顶点的次数为1的树，如果T 不是一基本链，则至少有一个分支顶点的次数大于2。设T 有n 个顶点，则T 有n-2个分支顶点，n-1条边。根据定理9.1，T 的顶点的次数之和等于T 的边数的2倍，可知 2（n-1）>2+2（n-2） 因此得到2n-2>2n-2，矛盾。故T 必为一基本链。即恰好有两个顶点的次数为1的树必为一基本链。 3.一个树有n 2个顶点次敉为2，n 3个顶点次数为3，…，n k 个顶点次数为k ，问这个树有几片树叶？ 解：设这个树为T ，有x 片树叶，则T 有x +n 2+n 3+…+n k -1条边。根据定理9.1，T 的顶点的次数之和等于T 的边数的2倍，有 x +2n 2+3n 3+…+k n k =2（x +n 2+n 3+…+n k -1） 解得 x =n 3+2n 4+3n 5+…+（k-2）n k +2 即这个树有n 3+2n 4+3n 5+…+（k-2）n k +2片树叶。 7.证明在完全二元树中，弧的总数等于2(n t -1)，这里n t 是树叶的数目。 证明：设完全二元树T 有n 个顶点，m 条弧。因为它有n t 片树叶，所以除树叶以外的顶点有n -n t 个。由于在完全二元树中，除树叶以外的顶点的引出次数均为2，每片树叶的引出次数均为0，故所有顶点的引出次数之和为2（n -n t ），它等于弧的总数m 。又因为1-=n m ， 故有2（n -n t ）=1-n ，解得n =2n t -1。因此m=n-1=2(n t -1)。 11. 图12.11给出了一个有序树，试求其对应的位置二元树。 解：把该树顶点标记i u 的下标i 作为序， 利用将有序树转化为位置二元树的算法， 求得其对应的位置二元树如右图所示。 4u 3 u 5 u 7 u 0u 1 u 2 u 6 u 8 u 9 u 10
第一章 函数与极限 §1 函数 必作习题 P16－18 4 (5) (6) (8)，6，8，9，11，16，17 必交习题 一、一列火车以初速度0v ，等加速度a 出站，当速度达到1v 后，火车按等速运动前进；从 出站经过T 时间后，又以等减速度a 2进站，直至停止。 (1) 写出火车速度v 与时间t 的函数关系式； (2) 作出函数)(t v v =的图形。 二、 证明函数1 2+= x x y 在),(+∞-∞内是有界的。
三、判断下列函数的奇偶性： (1)x x x f 1sin )(2= ； (2)1 212)(+-=x x x f ； (3))1ln()(2++=x x x f 。 四、 证明：若)(x f 为奇函数，且在0=x 有定义，则0)0(=f 。
§2 初等函数 必作习题 P31－33 1，8，9，10，16，17 必交习题 一、 设)(x f 的定义域是]1,0[，求下列函数的定义域： (1))(x e f ； (2))(ln x f ； (3))(arcsin x f ； (4))(cos x f 。 二、(1)设)1ln()(2x x x f +=，求)(x e f -； (2)设23)1(2+-=+x x x f ，求)(x f ； (3)设x x f -= 11)(，求)]([x f f ，})(1{x f f 。)1,0(≠≠x x
三、设)(x f 是x 的二次函数，且1)0(=f ，x x f x f 2)()1(=-+，求)(x f 。 四、设???>+≤-=0, 20, 2)(x x x x x f ，???>-≤=0, 0,)(2x x x x x g ，求)]([x g f 。
第二章 一、选择题. 1. 函数1y x =+在0x =处 （ ） A 、无定义 B 、不连续 C 、可导 D 、连续但不可导 2. 设函数221,0(), 0x x f x x x +
7. (arctan 2)d x =________，[]ln(sin 2)d x =__________. 8. 函数32()39f x x ax x =++-，已知()f x 在3x =-时取得极值，则a =______. 9．设需求量q 对价格p 的函数为2e 100)(p p q -=，则需求弹性E p =__________. 三、判断题. 1. 若()f x 在点0x 处可导，则()f x 在点0x 处连续. （ ） 2. dy 是曲线()y f x =在点00(,())x f x 处的切线纵坐标对应于x ?的改变量. （ ） 3. 函数()y f x =在0x 点处可微的充要条件是函数在0x 点可导. （ ） 4. 极值点一定是驻点. （ ） 5. 函数y x =在点0x =处连续且可导. （ ） 四、计算题. 1.求函数y =. 2. 求由方程0e e 2=+-+y x y x 所确定的隐函数()y f x =的导数y '. 3. 设e x y x =，求y '. 4. 求由方程cos()y x y =+所确定的隐函数()y f x =的二阶导数.y '' 五、求下列极限. （1）sin lim sin x x x x x →∞-+， （2）x x x x x x x --+-→4240sin 23lim ， （3）11lim 1ln x x x x →??- ?-? ?， (4）1lim(1)(0)x x a x a →∞->, （5）()10lim 1x x x →+, （6）1lim ()x x x x e →+∞+. 六、应用题. 1. 求函数32 ()391f x x x x =--+的单调性、极值与极值点、凹凸区间及拐点． 2.某厂生产一批产品，其固定成本为2000元，每生产一吨产品的成本为60元，对这种产品的市场需求量为100010q p =-（q 为需求量,p 为价格）．试求：(1）成本函数，收入函数；（2）产量为多少吨时利润最大？
第八章 测 验 题 一、选择题： 1、若a → ，b → 为共线的单位向量，则它们的数量积 a b →→ ?= ( ). (A) 1； (B)-1； (C) 0； (D)cos(,)a b →→ . 向量a b →→?与二向量a → 及b → 的位置关系是( ). 共面； (B)共线； (C) 垂直； (D)斜交 . 3、设向量Q → 与三轴正向夹角依次为,,αβγ，当 cos 0β=时，有( ) ()(); (); ()A Q xoy B Q yoz C Q xoz D Q xoz ⊥r r r r 面； 面面面 5、2 ()αβ→ → ±=( ) (A)22αβ→→±； (B)2 2 2ααββ→→→ →±+； (C)2 2 ααββ→→→ →±+； (D)2 2 2ααββ→→→ →±+. 6、设平面方程为0Bx Cz D ++=，且,,0B C D ≠， 则 平面( ). (A) 平行于轴；x ；(B) y 平行于轴； (C) y 经过轴；(D) 经过轴y . 7、设直线方程为111122 00A x B y C z D B y D +++=??+=?且 111122,,,,,0A B C D B D ≠,则直线( ). (A) 过原点； (B)x 平行于轴； (C)y 平行于轴； (D)x 平行于轴. 8、曲面2 50z xy yz x +--=与直线5 13 x y -=- 10 7 z -= 的交点是( ). (A)(1,2,3),(2,1,4)--；(B)(1,2,3)； (C)(2,3,4)； (D)(2,1,4).-- 9、已知球面经过(0,3,1)-且与xoy 面交成圆周 22160 x y z ?+=?=?，则此球面的方程是( ). (A)2 2 2 6160x y z z ++++=； (B)222 160x y z z ++-=； (C)2 2 2 6160x y z z ++-+=； (D)2 2 2 6160x y z z +++-=. 10、下列方程中所示曲面是双叶旋转双曲面的是( ). (A)2 2 2 1x y z ++=； (B)22 4x y z +=； (C)22 2 14y x z -+=； (D)2221916 x y z +-=-. 二、已知向量,a b r r 的夹角等于3 π ，且2,5a b →→==，求 (2)(3)a b a b →→→→ -?+ . 三、求向量{4,3,4}a → =-在向量{2,2,1}b → =上的投影 . 四、设平行四边形二边为向量 {1,3,1};{2,1,3}a b → → =-=-{}2,1,3b =-，求其面积 . 五、已知,,a b →→ 为两非零不共线向量，求证： ()()a b a b →→→→-?+2()a b →→ =?. 六、一动点与点(1,0,0)M 的距离是它到平面4x =的距离的一半，试求该动点轨迹曲面与yoz 面的交线方程 . 七、求直线L ：31258x t y t z t =-?? =-+??=+? 在三个坐标面上及平面 π380x y z -++=上的投影方程 . 八、求通过直线 122 232 x y z -+-==-且垂直于平面3250x y z +--=的平面方程 .
高等数学测试（第二章） 一．选择题（每小题２分，共20分） 1 ．设函数0()10 2 x f x x ≠=??=?? 在0x =处（ ） A ．不连续B ．连续但不可导C ．可导D ．可微 2．设函数()ln 2f x x x =在0x 处可导，且0()2f x '=，则0()f x 等于（ ）A ．1 B ．2 e C ．2e D ．e 3．设函数()f x 在点x a =处可导，则0()()lim x f a x f a x x →+--等于（ ） A ．0 B ．()f a ' C ．2()f a ' D ．(2)f a ' 4．设x x x f += ??? ??11，x x g ln )(=，则[()]f g x '= （ ） A ． 2) 1(1x + B ．2)1(1x +- C ．1x x + D ．22 )1(x x +- 5．设函数 )(x f 在),(+∞-∞内可导，则下列结论中正确的是 （ ） A ．若)(x f 为周期函数，则)(x f '也是周期函数 B ．若)(x f 为单调增加函数，则)(x f '也是单调增加函数 C ．若)(x f 为偶函数，则)(x f '也是偶函数 D ．若 )(x f 为奇函数，则)(x f '也是奇函数 6．设)(x f 可导，则下列不成立的是 （ ） A ．)0()0()(lim 0 f x f x f x '=-→ B ．)()()2(lim 0 a f h a f h a f h '=-+→ C ．)()()(lim 0 000 x f x x x f x f x '=??--→? D ．)(2)()(lim 0000 x f x x x f x x f x '=??--?+→?
高等数学第一章习题 一、填空 1.设)(x f y =的定义域是]1,0(，x x ln 1)(-=?，则复合函数)]([x f y ?=的定义域为),1[e 2. 设)(x f y =的定义域是[1,2],则)1 1 ( +x f 的定义域 [-1/2,0] 。 3.设?? ?≤<-≤≤=2 11 101 )(x x x f ， 则)2(x f 的定义域 [0，1] 。 5.设)(x f 的定义域为)1,0(，则)(tan x f 的定义域 Z k k k x ∈+ ∈,)4 ,(π ππ 6. 已知2 1)]([,sin )(x x f x x f -==φ，则)(x φ的定义域为 22≤≤-x 。 7. 设()f x 的定义域是[]0,1,则()x f e 的定义域(,0]-∞ 8.设()f x 的定义域是[]0,1,则(cos )f x 的定义域2,22 2k k π πππ?? -+ ??? ? 9. x x sin lim x ∞→＝ 0 10.()()()=+-+∞→17 6 1125632lim x x x x 176 5 3。 11.x x x )2 1(lim -∞ →＝ 2 e - 12.当∞→x 时， x 1 是比3-+x 13.当0→x 时，1132-+ax 与1cos -x 为等价无穷小，则=a 2 3- 14.若数列}{n x 收敛，则数列}{n x 是否有界 有界 。 15.若A x f x x =→)(lim 0 （A 为有限数），而)(lim 0 x g x x →不存在， 则)]()([lim 0 x g x f x x +→ 不存在 。 16.设函数)(x f 在点0x x =处连续，则)(x f 在点0x x =处是否连续。（ 不一定 ） 17.函数2 31 22 ++-= x x x y 的间断点是－1、－2 18. 函数)(x f 在0x 处连续是)(x f 在该点处有定义的充分条件；函数)(x f 在0x 处有定义是)(x f 在该点处有极限的无关条件。（填：充要，必要，充分，既不充分也不必要，无关）。 19.函数左右极限都存在且相等是函数极限存在的 充要 条件，是函数连续的 必要 条件。（填：充分、必要、充要、既不充分也不必要）
第十二章 数项级数 证明题 1 ． 证明下列级数的收敛性 ,并求其和 : (4) ( n 2 2 n 1 n); 2n 2. 证明:若级数 u n 发散,则 Cu n 也发散(c ≠0). 3. 证明 :若数列 {a n }收敛于 a,则级数 (a n a n 1) a 1-a . (1) 1 1 1 (3) 1 n(n 1)(n 2) 2n 1 (5) (5n 4)(5n 1) 1.6 6.11 11.16 (2)
4 ．证明: 若数列{b n}有lim b n ,则 n (1)级数(b n 1 b n)发散; 1 1 1 (2)当b n≠0 时,级数 n b n 1 b1 5. 证明级数u n 收敛的充要条件是:任给正数ε ,有某自然数N, 对一切n>N 总有 |u N+u n+1+?+u n|< ε 6. 设u n、v n 为正项级数,且存在正数N0,对一切n>N 0,有 u n 1 v n 1 u n v n 7. 设正项级数a n 收敛,证明级数a2n 也收敛;试问反之是否成立? 8. 设a n≥0,且数列{na n}有界，证明级数a2n收敛.
9. 设正项级数 u n 收敛,证明级数 u n u n 1 也收敛 . (2) 若 n>N 0 时有 C n ≤0, 且 lim 1 b k ,则级数 a n n1 10. 证明下列极限 11. 设 {a n }为递减正项数列 ,证明 :级数 a n 与 2m a 2m 同时 n1 m 0 收敛或同时发散 a 12. 设 a n >0, b n >0, C n =b n n b n+1,证明: a n 1 N 0及常数 K,当 n>N 0 时,有 C n ≥k>0, 则级数 a n 收敛 ; n1 n (1) l n im (n n !) 0; (2) lim (2n!) n! n a n! 0(a 1). (1) 若存在某自然数
2．2）1 ()3,0 x f x x ==； 解： 11 lim 11 lim lim ()lim 3330 lim ()lim 333 x x x x x x x x x x f x f x - →--+ →++-∞ →→+∞ →→========+∞ 因为0 lim ()lim ()x x f x f x - + →→≠，所以3 lim ()x f x →-不存在。 3）2 11(),02x f x x - ?? == ? ?? ； 解： 2 10000 11lim ()lim ()lim ()lim 22x x x x x f x f x f x -+- -∞ →→→→?? ??=====+∞ ? ??? ?? 所以3 lim ()x f x →-不存在。 4）3,3 9)(2 -=+-= x x x x f ； 解：63 ) 3)(3(lim )(lim )(lim 3 3 3 -=+-+==+ + - -→-→-→x x x x f x f x x x 故极限6)(lim 3 -=-→x f x 2 2 2 2 2 5).lim ()224,lim ()3215, lim ()lim (),lim ()x x x x x f x f x f x f x f x -+-+→→→→→=?==?-=≠解：因为所以不存在。 ()0 6.lim ()lim 21,lim ()lim cos 12,lim ()lim (),lim ()x x x x x x x x f x f x x f x f x f x --++-+→→→→→→→===+=≠）解：因为所以不存在。 7）1()arctan ,0f x x x ==；
考试科目:《高等数学》高起专 一．选择题 (每题4分，共20分) 1. 函数 y = 的定义域是 ( ). (a) (2,6)- (b) (2,6] (c)[2,6) (d)[2,6]- 2. 设11f x x =-（）， 则(())f f x = ( ) (a) 1x x - (b) 12x - (c) 1x - (d) 1x x - 3. 10 lim(12)x x x →- (a) e (b) 1 (c) 2e - (d) ∞ 4. 2 20lim (2) x x sin x → (a) 12 (b) 13 (c) 1 (d) 14 5. 在 0x → 时, sin x x - 是关于 x 的 ( ) (a) 低阶无穷小量 (b) 等价无穷小量 (c) 高阶无穷小量 (d) 同阶但不等价无穷小量 二.填空题(每题4分，共28分) 6. 设2(1)3f x x x -=++, 则 ()f x =___________. 7. 函数()f x = 的定义域是__________ 8. 若(31)1x f x +=+, 则()f x =__________ . 9. 2sin(2)lim 2 x x x →--=_____. 10. 设1,0,()5,0,1tan ,0x x f x x x x -? , 则 0lim ()x f x +→=_______.
11. 4lim(1)x x x →∞-=_____. 12. 3232lim 35 x x x x x →∞+--+=_____. 三.解答题(满分52分) 13. 求 45lim()46 x x x x →∞--. 14. 求 0x →. 15. 求 2sin lim 24cos x x x x x →∞-+. 16. 求 2lim x →-. 17. 求 123lim 24 n n n +→∞-+. 18. 设函数22cos ,0()2,0ln(14)a x x x f x x x x +-≤??=?>?+? , 在 0x = 处极限存在, 求 a 的值。 19. 若 33lim 12 x x ax b →-=++, 试确定常数 ,a b 的值。 附：参考答案： 一．选择题 (每题4分，共20分) 1）a 2）d 3）c 4）a 5）c 二.填空题(每题4分，共28分) 6）2 35x x ++ 7）12x -<<
1 下列函数组在其定义区间内哪些是线性无关的？ (1x x2 解因为不恒为常数所以x x2是线性无关的 (2x 2x 解因为所以x 2x是线性相关的 (3e2x 3e2x 解因为所以e2x 3e2x是线性相关的 (4ex ex 解因为不恒为常数所以ex ex是线性无关的 (5cos2x sin2x 解因为不恒为常数所以cos2x sin2x是线性无关的 (6 解因为不恒为常数所以是线性无关的 (7sin2x cos x sin x 解因为所以sin2x cos x sin x是线性相关的 (8ex cos2x ex sin2x 解因为不恒为常数所以ex cos2x ex sin2x是 线性无关的
解因为不恒为常数所以ln x x ln x是线性无关的 (10eax ebx(ab 解因为不恒为常数所以eax ebx是线性无关的 2 验证y1cos x及y2sin x都是方程y2y0的解并写 出该方程的通解 解因为 y12y12cos x2cos x0 y22y22sin x2sin x0 并且不恒为常数所以y1cos x与y2sin x是方程的 线性无关解从而方程的通解为yC1cos xC2sin x 提示y1 sin x y12cos x y2 cos x y12sin x 3 验证及都是方程y4xy(4x22y0的解 并写出该方程的通解 解因为 并且不恒为常数所以与是方程的线性无关解从而方程的通解为 提示
4 验证 (1(C1、C2是任意常数是方程 y3y2ye5x 的通解 解令y1e x y2e2x 因为 y13y12y1e x3e x2e x0 y23y22y24e2x3(2e2x2e2x0 且不恒为常数所以y1与y2是齐次方程y3y2y0的线性无关解从而YC1e x C2e2x是齐次方程的通解 又因为 所以y*是方程y3y2ye5x的特解 因此是方程y3y2ye5x的通解 (2(C1、C2是任意常数是方程y9yx cos x的通解 解令y1cos3x y2sin3x因为 y19y19cos3x9cos3x0 y29y29sin3x9sin3x0
习题1-10 1. 证明方程x 5-3x =1至少有一个根介于1和2之间. 证明 设f (x )=x 5-3x -1, 则f (x )是闭区间[1, 2]上的连续函数. 因为f (1)=-3, f (2)=25, f (1)f (2)<0, 所以由零点定理, 在(1, 2)内至少有一点ξ (1<ξ<2), 使f (ξ)=0, 即x =ξ 是方程x 5-3x =1的介于1和2之间的根. 因此方程x 5-3x =1至少有一个根介于1和2之间. 2. 证明方程x =a sin x +b , 其中a >0, b >0, 至少有一个正根, 并且它不超过a +b . 证明 设f (x )=a sin x +b -x , 则f (x )是[0, a +b ]上的连续函数. f (0)=b , f (a +b )=a sin (a +b )+b -(a +b )=a [sin(a +b )-1]≤0. 若f (a +b )=0, 则说明x =a +b 就是方程x =a sin x +b 的一个不超过a +b 的根; 若f (a +b )<0, 则f (0)f (a +b )<0, 由零点定理, 至少存在一点ξ∈(0, a +b ), 使f (ξ)=0, 这说明x =ξ 也是方程x =a sin x +b 的一个不超过a +b 的根. 总之, 方程x =a sin x +b 至少有一个正根, 并且它不超过a +b . 3. 设函数f (x )对于闭区间[a , b ]上的任意两点x 、y , 恒有|f (x )-f (y )|≤L |x -y |, 其中L 为正常数, 且f (a )?f (b )<0. 证明: 至少有一点ξ∈(a , b ), 使得f (ξ)=0. 证明 设x 0为(a , b )内任意一点. 因为 0||l i m |)()(|l i m 0000 0=-≤-≤→→x x L x f x f x x x x , 所以 0|)()(|lim 00 =-→x f x f x x , 即 )()(l i m 00 x f x f x x =→. 因此f (x )在(a , b )内连续. 同理可证f (x )在点a 处左连续, 在点b 处右连续, 所以f (x )在[a , b ]上连续. 因为f (x )在[a , b ]上连续, 且f (a )?f (b )<0, 由零点定理, 至少有一点ξ∈(a , b ), 使得f (ξ)=0. 4. 若f (x )在[a , b ]上连续, a x) 1 3. 函数f (x) lnx 在x 1处的切线方程是 _______________________ 1 4. 设 f(—) x ,则 f (x) ___ ________ x 3 5. 函数 f (x) sin(cosx )，贝y f (x) ___________________ 6.设函数f(x) ln cosx ，则二阶导数f (x) 、选择题. 1.函数y A 、无定义 不连续 第二章 C 、可导 D 、连续但不可导 2.设函数f (X ) 2x 2 x , 1,x 0 ，则 f (x)在点x 0处 A 、没有极限 B 、有极限但不连续 C 、连续但不可导 D 、可导 3?设函数y f (x)可微, 则当 y dy 与x 相比，是 x 的等价无穷小 x 的同阶无穷小 C . x 的高阶无穷小 x 的低阶无穷小 4.函数 x 3的单调增区间是 中B 、(严,T 3 3 3 C 、(于 5?函数f (x) 1 (e x e x )的极小值点是 ) ) ) ) (0,+ ) ) 不存在 、填空题. 1. 已知(sin x) cosx , 利用导数定义求极限 2、 如果f (x °) 4，则 lim f(x 0 3x) x 0 f (X o ) 7. d(arctan2x) ,d In (sin 2x) 四、计算题. 六、应用题. 产品的市场需求量为 q 1000 10 p ( q 为需求量，p 为价格)?试求：(1 )成本函数，收入 函数；(2)产量为多少吨时利润最大? 8.函数f(x) x 3 ax 2 3x 9，已知f (x)在x 3时取得极值，则 a = p 9 ?设需求量q 对价格p 的函数为q(p) 100e ? ，则需求弹性E p 三、判 断题. 1. 若f(x)在点X o 处可导，则f (x)在点X o 处连续. 2. dy 是曲线y f (x)在点(x 0, f (怡))处的切线纵坐标对应于 x 的改变量. 3. 函数y f (x)在x 0点处可微的充要条件是函数在 X 。点可导. 4. 极值点一定是驻点. 5. 函数y x 在点x 0处连续且可导. 1.求函数 y arctan-. 1 x 2的导数. 2.求由方程x y e 2x e y 0所确定的隐函数 y f(x)的导数y . e 3.设 y x ，求 y . 4.求由方程y cos(x y)所确定的隐函数 y f (x)的二阶导数y . 五、求下列极限. (1) lim x x sin x x sin x (2) 4 c 2 lim X x 0 3x 2x si nx 4 ， (3) 01 x x 1 ln x (4) 1 lim( a' X 1)x (a 0), (5) (6) lim (x x 1 X \ X e)x . 1.求函数f (x) x 3 3x 2 9x 1的单调性、极值与极值点、凹凸区间及拐点. 2.某厂生产一批产品, 其固定成本为2000元，每生产一吨产品的成本为 60元, 对这种 普通班高数作业（上） 第一章 函数 1、试判断下列每对函数是否是相同的函数，并说明理由：（第二版P22:4；第三版P8:1）（注：“第二版P22:4”指第二版教材第22页的第4题） （2）)sin(arcsin x y =与x y =； （4）x y = 与2x y =； （6）)arctan(tan x y =与x y =； （8）)(x f y =与)(y f x =。 2、求下列函数的定义域，并用区间表示：（第二版P22:5；第三版P8:2） （2）x x x y -+=2； （3）x y x -+=1ln arcsin 21； （7）x e y x ln 111 -+ =。 3、设?????<-≥-=0 ,10 ,1)(2 2x x x x x f ，求)()(x f x f -+。（第二版P23:10；第三版无） 4、讨论下列函数的单调性（指出其单增区间和单减区间）：（第二版P23:11；第 三版P12:1） （2）24x x y -= ； （4）x x y -=。 5、讨论下列函数的奇偶性：（第二版P23:12；第三版P12:2） （2）x x x x f tan 1)(2+-=； （3）)1ln()(2x x x f -+=； （6）x x f ln cos )(=； （7）? ??≥+<-=0,10,1)(x x x x x f 。 6、求下列函数的反函数及反函数的定义域：（第二版P23:16；第三版P14:1） （1）)0,(),21ln(-∞=-=f D x y ； （6）???≤<--≤<-=21,)2(210, 12)(2 x x x x x f 。 7、（1）已知421)1(x x x x f +=-，求)(x f ； （2）已知2 ln )1(222 -=-x x x f ，且x x f ln )]([=?求)(x ?。（第二版P23:19；第三版P16:3） 8、以下各对函数)(u f 与)(x g u =中，哪些可以复合构成复合函数)]([x g f ？哪些不可复合？为什么？（第二版P24:23；第三版P16:7） 第一章 预备知识 一、定义域 1. 已知()f x 的定义域为(,0)-∞ ，求(ln )f x 的定义域。答案：(0,1) 2. 求32233 ()6 x x x f x x x +--=+- 的连续区间。提示：任何初等函数在定义域范围内都是连续的。 答案：()()(),33,22,-∞--+∞ 二、判断两个函数是否相同？ 1. 2 ()lg f x x = ，()2lg g x x = 是否表示同一函数？答案：否 2. 下列各题中，()f x 和()g x 是否相同？答案：都不相同 ()2ln 1 (1) (),()1 1 (2) (),()sin arcsin (3) (),()x x f x g x x x f x x g x x f x x g x e -==-+==== 三、奇偶性 1. 判断()2 x x e e f x --= 的奇偶性。答案：奇函数 四、有界性 , 0?∈?>x D K ，使()≤f x K ，则()f x 在D 上有界。 有界函数既有上界，又有下界。 1. ()ln(1)f x x =- 在(1,2) 内是否有界？答案：无界 2. 221x y x =+ 是否有界？答案：有界，因为2 2 11<+x x 五、周期性 1. 下列哪个不是周期函数（C ）。 A ．sin , 0y x λλ=> B ．2y = C ．tan y x x = D ．sin cos y x x =+ 注意：=y C 是周期函数，但它没有最小正周期。 六、复合函数 1. 已知[]()f x ? ，求()f x 例：已知10)f x x x ??=> ??? ，求()f x 解1： 高等数学练习题 第二章 导数与微分 系 专业 班 学号 第一节 导数概念 一．填空题 1.若)(0x f '存在，则x x f x x f x ?-?-→?) ()(lim 000 = )(0x f '- 2. 若)(0x f '存在，h h x f h x f h ) ()(lim 000 --+→= )(20x f ' . 000 (3)() lim x f x x f x x ?→+?-?=03()f x '. 3.设20-=')(x f , 则=--→)()2(lim )000 x f x x f x x 4 1 4.已知物体的运动规律为2 t t s +=(米)，则物体在2=t 秒时的瞬时速度为5（米/秒） 5.曲线x y cos =上点（ 3 π ，21）处的切线方程为03 123=- -+π y x ，法线方程为 03 22332=-+ -π y x 6.用箭头?或?表示在一点处函数极限存在、连续、可导、可微之间的关系， 可微 ? 可导 <≠ ? | 连续 <≠? 极限存在。 二、选择题 1．设0)0(=f ,且)0(f '存在，则x x f x ) (lim 0→= [ B ] （A ）)(x f ' ( B) )0(f ' (C) )0(f (D) 2 1 )0(f 2. 设)(x f 在x 处可导，a ,b 为常数，则x x b x f x a x f x ??--?+→?) ()(lim 0 = [ B ] （A ）)(x f ' ( B) )()(x f b a '+ (C) )()(x f b a '- (D) 2 b a +)(x f ' 3. 函数在点 x 处连续是在该点 x 处可导的条件 [ B ] （A ）充分但不是必要 （B ）必要但不是充分 （C ）充分必要 （D ）即非充分也非必要 4．设曲线22 -+=x x y 在点M 处的切线斜率为3，则点M 的坐标为 [ B ] 第49页 习题1-5 1 计算下列极限 （1）225 lim 3 x x x →+- 将2x =代入到25 3x x +-中，由于解析式有意义，因此 222525 lim 9323x x x →++==--- （2 ）2231 x x x -+ 将x =223 1 x x -+中，解析式有意义，因此 ()22 2 233 01 1 x x x --= =++ （3）22121 lim 1 x x x x →-+- 将1x =代入到解析式中，分子为0，分母为0，因此该极限为 型，因式分解，可得 ()()()()()2 221111121 0lim lim lim 011112 x x x x x x x x x x x →→→---+====-+-+ （4）322042lim 32x x x x x x →-++ 将0x =代入到解析式中，分子为0，分母为0. 因此该极限为 型，因式分解，可得 ()()()() 22322000421421421lim lim lim 3232322x x x x x x x x x x x x x x x x →→→-+-+-+===+++ （5）()2 2 lim h x h x h →+- 将0h =代入到解析式中，分子为0，分母为0. 因此该极限为 型，因式分解，可得 ()()()2 2 2lim lim lim 22h h h x h x x h h x h x h h →→→+-+==+= （6）211lim 2x x x →∞ ??- + ??? 由于lim 22x →∞ =，1lim 0x x →∞??- = ???，22lim 0x x →∞?? = ??? 因此由极限四则运算法则可知 221112lim 2lim 2lim lim 2002x x x x x x x x →∞ →∞→∞→∞?????? - +=+-+=++= ? ? ??????? （7）221 lim 21 x x x x →∞--- 当x →∞时，分子→∞，分母→∞，因此该极限为∞ ∞ 型，分子分母同时除以x 的最高次项，也就是2 x ，再利用极限四则运算法则，可知： 2 2 2 2221 1 1lim1lim 1101lim lim 1111 212002 2lim 2lim lim x x x x x x x x x x x x x x x x →∞→∞→∞→∞→∞→∞→∞- ---====-------- （8）242lim 31 x x x x x →∞+-+ 当x →∞时，分子→∞，分母→∞，因此该极限为∞ ∞ 型，分子分母同时除以x 的最高次项，也就是4 x ，再利用极限四则运算法则，可知： 2 2323422424 1111lim lim 00lim lim 0113131100 13lim1lim lim x x x x x x x x x x x x x x x x x x x →∞→∞→∞→∞→∞→∞→∞++++====-+-+-+-+ （9）22468 lim 54 x x x x x →-+-+ 4x =代入到解析式中，分子为0，分母为0. 因此该极限为 型，因式分解，可得 ()()()()2244424682422 lim lim lim 54141413 x x x x x x x x x x x x x →→→---+--====-+---- （10）211lim 12x x x →∞ ???? + - ??????? 江南大学现代远程教育2013年上半年第一阶段测试卷考试科目:《高等数学》高起专第一章至第二章（总分100分）时间：90分钟 __________学习中心（教学点）批次：层次： 专业：学号：身份证号： 姓名：得分： 一．选择题 (每题4分，共20分) 1. 函数 y=的定义域是(a ). (a) (2,6) -(b) (2,6](c)[2,6)(d)[2,6] - 2. 设 1 2 f x x = + （），则(()) f f x=( d ) (a) 52 2 x x + + (b) 2 5 x+ (c) 2 x+(d) 2 52 x x + + 3. 1 lim(19)x x x → -= (c) (a) e(b) 9(c) 9 e-(d) ∞ 4. 2 2 lim sin(4) x x x → = ( d) (a) 1 2 (b) 1 3 (c) 1(d) 1 4 5. 在0 x→时, 1cos x -是关于x的( c ) (a) 低阶无穷小量(b) 等价无穷小量(c) 高阶无穷小量(d) 同阶但不等价无穷小量 二.填空题(每题4分，共28分) 6. 设(5)3f x x =-, 则 ()f x =_____ 35x -______. 7. 函数()f x = 的定义域是_____12x -<<___ 8. 若(31)1f x x +=+, 则()f x =_____ 233x +_____ . 9. 3sin [2(3)] lim (3)x x x →-++=___2__. 10. 设34,0, ()5,0,12tan ,0x x f x x x x -? , 则 0lim ()x f x +→=____1___. 11. 24lim (1)x x x +→∞- =___4e -__. 12. 32332lim 325x x x x x x →∞+--+=___1 3__. 三.解答题(满分52分) 13. 求 47lim ( )48 x x x x →∞--. 解：1(48)484471lim ( )lim (1)4848x x x x x x x e x x --→∞→∞-=+ =-- 14. 求 02 lim sin 3x x →. 解：002 21lim ( )lim sin 36x x x x →→== 15. 求 32sin lim 254co s x x x x x →∞+-+-. 解：3 2sin 132sin 1lim lim 5 4co s 254co s 2 2x x x x x x x x x x x x →∞→∞+-+-==+-+-高等数学第二章练习及答案
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